DEPARTAMENTO DE ELETRÔNICA E SISTEMAS

New Wavelets and Applications by Hélio Magalhães de Oliveira

CODEC Grupo de Pesquisas em Comunicações, Departamento de Eletrônica e Sistemas CTG-UFPE C.P.7800, 50711-970, Recife-PE, Brasil fax: (55)-0XX-81-271-8215 E-mail: [email protected] URL: http://www.ee.ufpe.br/codec/WEBLET.html

Reunião da ABC

9/05/03

Aplicações de Wavelets EQUIPE

Hélio Magalhães de Oliveira Ricardo Menezes Campello de Souza Manoel Afonso Carvalho Jr. Renato José de Sobral Cintra, Luciana Reginaldo Soares, Milde da Silva Lira Tiago Henrique Falk, Rodrigo Gurgel Fernandes Távora, Helfarne A. Nascimento Silva, Marcos Müller Vasconcelos, Eric Albert Bouton

Booklet DE OLIVEIRA, H. M., Análise de Sinais: Uma Abordagem via Wavelets, Editora Manole, São Paulo, 2003, no prelo.

Uma teoria mais geral introduzida nos anos 80:

A Transformada de Wavelet ORIGEM- Escola Francesa (Morlet, Grossmann, Meyer, Battle, Lemarié, Cohen, Mallat, Coifman, Rioul, etc.) ... Pacotes de ondas acústicas sísmicas.

Gama de aplicações: geologia sísmica visão computacional e humana radar e sonar computação gráfica predição de terremotos e maremotos turbulência, fractais bancos de filtros espectrometria distinção celular (normais vs patológicas) modelos para trato auditivo compressão de imagens (JPEG 2000)

descontaminação de sinais (denoising) detecção de rupturas e bordas análise de seqüências de DNA análise de tons musicais neurofisiologia detecção de curtos eventos patológicos análise de sinais biomédicos (eletrocardiogramas, mamografias, eletroencefalogramas etc.)

espalhamento em banda larga modelagem de sistemas lineares óptica e eletromagnetismo modelagem geométrica caracterização de sinais acústicos

reconhecimento de alvos transitório e falhas em linhas de potência Metalurgia (rugosidade de superfícies) visualização volumétrica Telecomunicações previsão em mercados financeiros Estatística solução de eq. dif. ordinárias & parciais ..........................

(a) Figura. sinal estacionário × não estacionário.

(b)

Sinais práticos “bem comportados” com relação a estacionaridade: sinais periódicos. Não é à toa que a análise clássica de Fourier é freqüentemente restrita a esta classe de sinais.

Wavelets Contínuas ψ(t) wavelet-mãe

ψ(t)∈L (ℜ). 2

Operações: 1 t ψ ( t ) = ψ   , a≠0. a) escalonamento a |a| a

b) deslocamento ψ b (t ) = ψ (t − b) .

{ψ (t )} → {ψ a ,b (t )} (∀a, a≠0) (∀b∈ℜ). versão: Comprimida da wavelet mãe, se a1.

Define-se +∞

CWT(a,b):= ∫− ∞

f (t )ψ *a , b (t ) dt =< f(t),ψ ψa,b>.

Analogia com Fourier: F(w)=

∫

+∞

−∞

f (t )e − jwt dt =< f(t),ejwt >.

Esta nova "base" é composta por sinais oscilatórios de curta duração - e não sinais ab aeterno.

Figura. A Wavelet-mãe Symmlet 8 em diferentes escalas e localizações.

Exemplos: Um mar de Wavelets 'haar' 'db' 'sym' 'coif' 'bior' 'meyr' 'dmey' 'gaus' 'mexh' 'morl' 'cgau' 'shan' 'deO' 'legd' 'mth' 'cheb' 'FFlet' 'fbsp' 'cmor'

Haar wavelet. Daubechies wavelets. Symlets. Coiflets. Biorthogonal wavelets. Meyer wavelet. Discrete approximation of Meyer wavelet. Gaussian wavelets. Mexican hat wavelet. Morlet wavelet. Complex Gaussian wavelets. Shannon wavelets. de Oliveira wavelets. Legendre wavelets. Mathieu wavelets. Chebyshev wavelets. Finite Field wavelets. Frequency B-Spline wavelets. Complex Morlet wavelets. o

Compressão via wavelets A título de destacar a relevância das wavelets como mecanismos de compressão: Ø Inclusão no padrão internacional JPEG 2000. Ø padrão do FBI (Federal Bureau of Investigations) para o armazenamento de impressões digitais.

Padrão WSQ, "Padrão de Compressão Wavelet/Quantização escalar" (do Inglês: Wavelet/Scalar Quantization standard).

As imagens são produzidas com qualidade de arquivamento e com taxas de compressão em torno de 20:1.

Figura (a) Imagem original (261 KB); (b) Imagem comprimida por JPEG (28 KB); (c) Imagem comprimida wavelets (5KB). M.M.S. LIRA, M.A.CARVALHO JR, H.M. DE OLIVEIRA, Compactação de Sinais de Distúrbios em Sistemas de Transmissão via Wavelets, Seminário Nacional de Produção e Transmissão de Energia Elétrica, XVII SNPTEE, Uberlândia, 2003.

A FAMILY OF WAVELETS AND A NEW ORTHOGONAL MULTIRESOLUTION ANALYSIS BASED ON THE NYQUIST CRITERION DE OLIVEIRA, H.M., SOARES, L.R., FALK T.H., A Family of Wavelets and a New Orthogonal Multiresolution Analysis Based on the Nyquist Criterion, Revista da Sociedade Brasileira Telecomunicações. Campinas, SP: , v.?, n.?, número especial dedicado ao ITS'02, p.XX - XX, 2003. A Family of Wavelets and a New Orthogonal Multiresolution Analysis Based on the Nyquist Criterion, Proc. IEEE/SBrT Int. Telecomm. Symp., 2002. pp. 384-389. (selected paper for special issue)

Wavelet de "de Oliveira" Nova família de wavelets ortogonais complexas. Possuem espectro passa-faixa ideal (plano), com regiões de "rolamento" assimétricas, mantendo a filosofia da análise a Q-constante. Basta escolher

Φ( w )

(raiz de cosseno elevado). Não são de suporte compacto.

   1  1 cos Φ ( w) =  4α  2π  

1 2π

(| w | −(1 − α )π )

1 2π

0

.

4α 1 {cos π (1 + α )t + 4αt. sen π (1 − α )t } . 2 π 1 − ( 4 α t ) 2π 1

.(1 − α ).Sa[(1 − α )πt ] + 0.435

(1 − α )π ≤| w |< (1 + α )π | w |> (1 + α )π

Mostra-se que: φ ( deO ) (t ) =

0 ≤| w |< (1 − α )π

.

0.5

0.4

φ( t , 0.1)

0.3

φ( t , 0.2)

 1 φ t ,   3

0.2

0.1

0 − 0.087 0.1

4 −5

2

0 t

2

4 5

alpha=0.1 alpha=0.2 alpha=0.3

Figura. Função escala de "de Oliveira". (esboço para α=0,1, 0,2 e 0,3).

Figura. Wavelet ψ

( deO )

(t ) : Parte real

Figura. Wavelet ψ ( deO ) (t ) : parte imaginária.

WAVELET SHIFT-KEYING: A NEW DIGITAL MODULATION By H.M. DE OLIVEIRA, H.A.N. SILVA, E.A. BOUTON H.M. DE OLIVEIRA, H.A.N. SILVA, E.A. BOUTON, Wavelet Shift-Keying: A New Digital Modulation, Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, XX SBrT, Setembro 2003, Rio de Janeiro, submetido.

Preliminary ideas of a new digital modulation scheme termed wavelet shift keying (WSK), which is based on discrete wavelet transforms.

The WSK Modulation M-ary WSK signalling schemes can be used in data transmission application. • Scaled versions of the mother wavelet are transmitted in each symbol slot. • It is assumed that scale factor of every slot depends on the input binary data.

The (normalised) non-overlapped modulated signal (M-WSK) based on a wavelet

ϕ n −WSK ( t ) =

ψ ( t ) is given by

+∞

∑

(

), where m

2 n( m ) 2ψ 2 n( m ) ( t − m )

m = −∞

determine the index of the modulation symbol slot at a baud rate of 1 baud and n(m) ∈ {0,1,2,...,M-1}. 10

10 1

1

0.5

5 φnon( t )

φover( t )

0

0 0.5

−5

5

0 0

2

4

6

8 t

10

12

−1

14 15

1

0

2

4

0

6

8 t

10

12

14 15

Figure. Typical (1 baud normalised) non-overlapped and overlapped WSK waveforms: Examples based on the Mexh-WSK scheme with M=4 scales.

Strategy of generating transmitter wavelets (two steps): i) a frequency translation by a mixer; ii) a scaling the wavelet to fulfil the channel bandwidth.

LOCALIZAÇÃO DE FALTAS EM LINHAS DE TRANSMISSÃO UTILIZANDO A REPRESENTAÇÃO WAVELET MULTIRESOLUÇÃO BY L.R. SOARES, M. A. DE CARVALHO JR, H.M. DE OLIVEIRA, L.R. SOARES, M.A.CARVALHO JR, H.M. DE OLIVEIRA, Detecção e Classificação de Faltas Utilizando a Transformada de Wavelets, Seminário Nacional de Produção e Transmissão de Energia Elétrica, XVII SNPTEE, Uberlândia, 2003. L.R. SOARES, M. A. DE CARVALHO JR, H.M. DE OLIVEIRA, Localização de Faltas em Linhas de Transmissão Utilizando a Representação Wavelet Multiresolução, Congresso Brasileiro de Automática-CBA, Natal, Setembro, 2002.

LOCALIZAÇÃO DE FALTAS EM LTs LT: Presidente Dutra/Boa Esperança (PDD/BEA), Norte/Nordeste, 205,6km

As faltas foram simuladas no ATP (Alternative Transient Program), considerando que o monitoramento da linha é realizado no terminal de PDD.

• Localização da falta: método da impedância aparente - versões aproximadas dos sinais de tensão e corrente à terceira escala. • Simulações com erros inferiores a 3,7%, satisfatório para reduzir a área de inspeção por parte das equipes de manutenção.

COMPACTLY SUPPORTED WAVELETS DERIVED FROM LEGENDRE POLYNOMIALS: SPHERICAL HARMONIC WAVELETS By M.M.S. LIRA, H.M. DE OLIVEIRA, M.A. CARVALHO JR, R.M.C. DE SOUZA M.M.S. LIRA, H.M. DE OLIVEIRA, M.A. CARVALHO Jr, R.M.C. DE SOUZA, Compactly Supported Wavelets Derived from Legendre Polynomials: Spherical Harmonic Wavelets, submitted to WSEAS Int. Conf. on Systems, Greece, 2003.

Preliminaries On Legendre Functions Spherical harmonics are solutions of the Legendre 2nd-order differential equation, n integer:

(1 − z 2 )

d2y dz 2

− 2z

dy + n( n + 1 ) y = 0 . dz

The solution of (1) above is the nth order Legendre polynomial Pn(z).

Legendre Multiresolution Filters Pn(cosθ) polynomials can be used to define the smoothing filter H(ω) of a multiresolution analysis (MRA). The low-pass |H(ω)| can be associated to

ω  | H ( ω ) |=| P2 n +1  cos  | Legendre polynomials according to: 2 

Fig. - legd8 wavelet display over MatlabTM using the wavemenu command.

ν+1 non-zero filter coefficients => Legendre wavelets have compact support. 2-dimensional Legendre transform (2D-legdN) for image analysis: Interesting effects in multiresolution decomposition of hand-drawn images.

Fig. - Reconstruction of a hand-drawn draft using 2D-legd2. (a) Original (b) Reconstructed image from 1-level wavelet decomposition.

ELLIPTIC-CYLINDER WAVELETS: THE MATHIEU WAVELETS BY M.M.S. LIRA, H.M. DE OLIVEIRA, R.J. DE SOBRAL CINTRA, R.M.C. DE SOUZA M.M.S. LIRA, H.M. de OLIVEIRA, R.J. de SOBRAL CINTRA, Elliptic-Cylindrical Wavelets: The Mathieu Wavelets, IEEE Signal Processing Letters, accepted, november, 2002. M.M.S. Lira, H.M. de Oliveira, R.J. de Sobral Cintra, R.M.C. de Souza, Wavelets for Elliptical Waveguide Problems, 2002 WSEAS International Conference on Wavelet Analysis and Multirate Systems, Vouliagmeni, Athens, Greece, December 29-31, 2002.

New family of wavelets and a multiresolution analysis, which exploits the relationship between analysing filters and Floquet's solution of Mathieu differential equations.

Wavelets derived by this method seem to possess potential application in the fields of Optics and Electromagnetism.

PRELIMINARIES

In

1868, É. Léonard Mathieu introduced differential equations nowadays termed

Mathieu equations in his "memoir on vibrations of an elliptic membrane". Canonical form of the Mathieu Equation: Given a ∈ℜ, q∈C

d2y + (a − 2q cos 2 w) y = 0 . 2 dw The solution of the above equation (1) is the elliptic-cylinder harmonic, known as Mathieu functions. Broad scope of wave-guide problems involving elliptical geometry, including: i) analysis for weak guiding for step index elliptical core optical fibres ii) power transport of elliptical wave-guides iii) evaluating radiated waves of elliptical horn antennas

ce1(w,5)

ce5(w,5)

Figure - Some plots of 2π-periodic 1st kind even Mathieu functions. Elliptic cosines shape for the following set of parameters: a) ν=1 and q=5 ; b) ν=5 and q=5.

Figure - FIR-Based Approximation of Mathieu Wavelets. Mathieu Wavelet with ν=1 and q=5 for 2,4 and 6 iteration.

ON WAVELET DECOMPOSITION OVER FINITE FIELDS TAVORA, R. G. F., FALK, T.H. SOUZA, R. M. C., DE OLIVEIRA, H. M. DE OLIVEIRA, H. M., FALK, T. H. On Wavelet Decomposition over Finite Fields In: 19º Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2001, Fortaleza CE. Anais do 19º Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2001. (artigo selecionado para publicação do n. especial da Rev. da Soc. Bras. de Telecom.) TAVORA, R. G. F., SOUZA, R. M. C., DE OLIVEIRA, H. M. Um Algoritmo Rápido para a Transformada Wavelet em Corpos Finitos In: 19 Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2001, Fortaleza. Anais do 19 Simpósio Brasileiro de Telecomunicações , 2001. DE OLIVEIRA, H.M., FALK T.H., TÁVORA R.F.G., Decomposição de Wavelets sobre Corpos Finitos, Revista da Sociedade Brasileira de Telecomunicações. Campinas, SP: v.17, n.1, p.38 - 47, 2002.

•Foundations of wavelets over Galois fields. •Standard orthogonal finite-field wavelets including FF-Haar and FF-Daubechies. •FF-wavelets to design spread-spectrum sequences.

APLICAÇÃO: PROJETO DE SEQÜÊNCIAS DE ESPALHAMENTO ESPECTRAL As portadoras wavelet digitais têm a mesma duração T de um símbolo de entrada a ser modulado, tendo N chips por símbolo de dados. Nova classe de esquemas CDM/CDMA baseado em transformadas de wavelet sobre corpos finitos:

Figura: Sistema Multiplex utilizando wavelets FF- Haar.

Análise wavelet para Seqüências de DNA

As FF-Wavelets podem ser mais adequadas! (pesquisa)

CHEBYSHEV WAVELETS By R. J. DE SOBRAL CINTRA H. M. DE OLIVEIRA L. R. SOARES R.J.S. CINTRA, L.R. SOARES, H.M. DE OLIVEIRA, On Filter Banks and Wavelets Based on Chebyshev Polynomials, submitted to WSEAS Int. Conf. on Systems, Greece, 2003.

New family of wavelets, named Chebyshev wavelets, which are derived from conventional Chebyshev polynomials. Properties of Chebyshev filter banks are investigated, including orthogonality and perfect reconstruction conditions. The convergence of the cascade algorithm of 2nd kind Chebyshev wavelets is proved by using properties of Markov chains.

Aplicações: Wavelets Polinomiais em Eletrogastrografia

Contato- Universidade de Calcary, Canadá, Prof. MARTIN P. MINTCHEV

Acometimentos patológicos do sistema digestivo ligados ao estômago (e.g. gastroparesia, gastrites, úlceras pépticas, constipações idiopáticas, refluxo gástrico-esofágico simples, neoplasias gástricas, taquigastrias, doenças gástrico-congênitas).

Figura. Trecho de 20 segundos de um sinal de EGG amostrado a uma freqüência de 2Hz Sinal Típico de EGG e a função wavelet de Chebyshev.

CONCLUSÕES • RESUMO DOS PRINCIPAIS DESENVOLVIMENTOS NA UFPE

Novas wavelets Wavelets em corpos finitos Wavelet de "de Oliveira" Wavelets de Chebyshev Wavelets de Legendre Wavelets de Mathieu

Potenciais aplicações Multiplex, Acesso múltiplo, Análise de seqüências de DNA Modulação digital, Modems ADSL Análise em biomédica (eletrogastrografia, ECG...) Desenhos, Tomografia, RMN, Imagens médicas Óptica, eletromagnetismo (antenas...)

• IMPORTANTE E PODEROSA FERRAMENTA NA ANÁLISE DE SINAIS

• NUMEROSAS APLICAÇÕES E PERSPECTIVAS Agradecimentos: Acadêmicos A. Sial&Cid Araújo, co-autores, presentes.