Probeklausur zur Vorlesung Berechenbarkeitstheorie WS 2013/14 13. Januar 2014 Prof. Dr. André Schulz
Bearbeitungszeit: 120 Minuten
[So oder so ähnlich wird das Deckblatt der Klausur aussehen.]
Name .................................................................. Matrikel Nr. ....................................................... Studiengang ....................................................... 1. Ihre Lösungen werden nur bewertet, wenn Sie die Zulassung zu dieser Klausur erworben haben. 2. Schreiben Sie nicht mit Rot- oder Bleistiften. Andernfalls werden Ihre Lösungen nicht bewertet. 3. Auf diesem Klausurbogen ist genügend Platz, um die Lösungen der Aufgaben aufzuschreiben.1 Notfalls kann auch die Rückseite eines Blattes verwendet werden (bitte auf der Vorderseite anmerken). Zusätzliche Blätter müssen mit der Matrikelnummer versehen werden, andernfalls werden diese nicht bewertet. Der Klausurbogen ist auf jeden Fall mit abzugeben! Nicht vergessen, auf allen Blättern die Matrikelnummer einzutragen, auf diesem Deckblatt auch den Namen sowie Ihren Studiengang!
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
8
Σ
maximale Punktzahl
4
4
4
4
4
4
4
4
32
erreichte Punktzahl Korrektor/in Beachten Sie die Hinweise auf der Rückseite! 1 2
Auf der Probeklausur nicht ;-) Die Gesamtpunktzahl wird bei der richtigen Klausur höher sein.
1
2
Je nach Aufgabenstellung müssen Sie Ihre Überlegungen mehr oder weniger detailliert darlegen. Die folgende Übersicht beschreibt welcher Grad von Detailgenauigkeit von Ihnen erwartet wird. • Skizzieren der Vorgehensweise: Hier steht das Ergebnis der Aufgabe im Vordergrund. Bei einem richtigem Ergebnis kann man die volle Punktzahl erreichen. Wir empfehlen jedoch Anmerkungen zum Lösungsweg zu machen, so dass bei Rechenund Folgefehlern trotzdem noch Punkte erzielt werden können. • Ausführen eines Algorithmus: Führen Sie den Algorithmus aus. Das heißt, sie protokollieren die Datenstrukturen, welche während der Ausführung des Algorithmus angelegt bzw. verändert werden. Gegebenenfalls erläutern Sie, wie Verzweigungen/Schleifen bei der Abarbeitung durchlaufen werden. Dokumentieren Sie das Ergebnis des Algorithmus. • Kurz begründen: Führen Sie in 2-5 Sätzen aus, warum ein Sachverhalt gilt, bzw. belegen Sie durch ein Gegenbeispiel warum dies nicht so ist. Üblicherweise müssen hier 2-3 bekannte Fakten zu einer neuen Aussage kombiniert werden. • Beweisen: Vollständiger Beweis gefordert. Alle TM-Programme können in Modulschreibweise angegeben werden. Was darf ich voraussetzen? Alle Aussagen, die in der Vorlesung bzw. als Übungsaufgabe bewiesen wurden, dürfen ohne Beweis benutzt werden. Wenn in der Vorlesung gezeigt wurde, dass eine Sprache in einer (oder nicht in einer) bestimmten Klasse liegt, dürfen Sie das auch verwenden. Bei Anwendung eines Satzes muss man zeigen, dass dessen Voraussetzungen erfüllt sind. Einzige Ausnahme von dieser Regel bilden Klausuraufgaben, die bereits als Übungsaufgaben gestellt wurden. In diesem Fall müssen Sie die Aufgabe noch einmal lösen.
2
Aufgabe 1. Betrachten Sie folgende Sprache: L := {w ∈ {a, b, c}∗ | twa (w) = twb (w) + twc (w)} Hier beschreibt twx (w) wie oft ein Buchstabe x ∈ {a, b, c} im Wort w vorkommt. (a) Beweisen Sie unter Verwendung des Pumpinglemmas, dass L nicht regulär ist. (b) Beweisen Sie, dass L kontextfrei ist.
(4)
Aufgabe 2. Bezeichne A den folgenden DEA über dem Alphabet {a, b}: 2 b
0
a
a
a
3
b b
1
a b
b
4
a
(a) Bestimmen Sie die äquivalenten Zustände. (b) Minimieren Sie A. (c) Geben Sie einen regulären Ausdruck für jede Äquivalenzklasse der Myhill-Nerode Relation von L(A) an. Skizzieren Sie jeweils ihre Vorgehensweise.
(4)
Aufgabe 3. Sei folgende kontextfreie Grammatik über dem Alphabet {x, y, z} gegeben: S →CB|SS|A A →x B →BCz|y C →xz|ε Wie üblich stehen Großbuchstaben für Variablen und Kleinbuchstaben für Terminale; das Startsymbol ist S. Überführen Sie die angegebene Grammatik in Chomsky Normalform. Führen Sie den in der Vorlesung vorgestellten Algorithmus aus. (4)
3
Aufgabe 4. (a) Betrachten Sie folgende Sprache über dem Alphabet {0, 1}: L := {w ∈ {0, 1}∗ | w enthält das Teilwort 001 aber nicht das Teilwort 11} Geben Sie einen DEA an, der die Sprache L erkennt. Skizzieren Sie ihre Vorgehensweise. (b) Bezeichne A den folgenden NEA über dem Alphabet {a, b}: a a
0
1
b
2
b
a b
6
a
7
b
3
a
b
a ε a
a
b b
5
4
Bestimmen Sie die Sprache, die von A erkannt wird. Skizzieren Sie ihre Vorgehensweise. (4)
Aufgabe 5. Seien L, L0 zwei Sprachen über dem Alphabet Σ. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen auf ihre Richtigkeit. Begründen Sie Ihre Antwort kurz. (a) Ist L kontextfrei und L0 regulär, so ist auch L \ L0 kontextfrei. (b) Sind L und L0 regulär und haben die Minimalautomaten von L und L0 beide je n Zustände, so hat der Minimalautomat von L ∪ L0 auch mindestens n Zustände. ← − ← − (c) Sind sowohl L als auch L kontextfrei, so ist L regulär. Hier bezeichnet L die Spiegelung der Sprache L. (4)
Aufgabe 6. Seien L, L0 zwei Sprachen über dem Alphabet Σ. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen auf ihre Richtigkeit. Begründen Sie Ihre Antwort kurz. (a) {hM i | |L(M )| prim } ∈ E (b) Wenn L kontextfrei ist, so ist L auch co-aufzählbar. ¯ ∧ L ∈ A) ⇒ L ∈ E (c) (L ≤m L (d) Wenn Σ aus nur einem Element besteht, dann ist L ∈ E.
4
(4)
Aufgabe 7. (a) Geben Sie eine Sprache aus NP an. Begründen Sie ihre Antwort kurz. (b) Beweisen Sie, dass NP unter Schnitt abgeschlossen ist. (c) Angenommen P 6= NP. Beweisen Sie: es gibt Sprachen L1 , L2 ∈ NP \ {∅, Σ∗ }, so dass L1 p L2 . (d) Angenommen P = NP. Beweisen Sie, dass jede Sprache L aus P \ {∅, Σ∗ } NPvollständig ist. (4) Aufgabe 8. Sei Σ ein Alphabet und f : Σ∗ → Σ∗ eine berechenbare Funktion. Beweisen Sie, dass es eine Turingmaschine M gibt, so dass f (hM i) eine zu M äquivalente Turingmaschine beschreibt. (4)
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