Statistik - WING ASW

Aufgabe

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- Sommersemester 2013 -

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Melanie Kaspar

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Punkte Summe Punkte Gesamtpunkte:

Nachklausur Statistik Hinweise: • Die Klausur besteht aus 5 Seiten mit insgesamt 10 Aufgaben. Sie omu ¨ ssen aus jeder der beiden Kategorien jeweils 3 Aufgaben l¨ osen. Maximal sind 100 Punkte sen, d.h. insgesamt 6 Aufgaben l¨ erreichbar, in jeder Kategorie 50 Punkte. • Bearbeitungszeit: 120 Minuten. • Geben Sie immer den L¨ osungsweg an! • Zugelassene Hilfsmittel: – Nicht programmierbarer Taschenrechner – Formelsammlungen “Deskriptive Statistik” und “Wahrscheinlichkeitsrechnung” – Tabelle “Normalverteilung”

Viel Erfolg!

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Melanie Kaspar

Teil Deskriptive Statistik - 3 aus 5 Aufgaben l¨ osen Aufgabe 1 20 Punkte (10 P + 4P + 6P) ¨ Es wurde die Durchlaufzeit von 30 Signalen (in ms) durch ein Ubertragungssystem gemessen. Das Ergebnis zeigt folgende Tabelle:

a) Stellen Sie eine Klassenh¨ aufigkeitsverteilung auf und skizzieren Sie das Histogramm. Achten Sie dabei auf die korrekte Beschriftung der Achsen. b) Geben Sie auf Basis der oben genannten Tabelle einen Wert f¨ ur den Median und den Modus der Durchlaufzeit an. c) Geben Sie auf Basis des Histogramms / der Klassenh¨ aufigkeitsverteilung N¨ aherungswerte f¨ ur den Median und das arithmetische Mittel der Durchlaufzeit an. Aufgabe 2 15 Punkte (12,5P + 2,5P) a) Geben Sie mittels der Methode der kleinsten Quadrate eine geeignete Funk1 an, die f¨ ur folgende Meßdatenpaare tion vom Typ f (x) = a0 + a1 · x+1 (xi ,yi ), i = 1, ..5 am besten passt: xi yi

0 3

0 2

1 2

2 2

2 3

b) Welchen Beobachtungswert f¨ ur y sagen Sie an der Stelle x = 3 voraus?

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Aufgabe 3 15 Punkte Im Jahr 2013 haben in der Karnevalszeit von 1000 Autofahrern 180 einen Unfall verursacht. Davon hatten 30% Alkohol im Blut. Man weiß dar¨ uber hinaus, dass der Prozentsatz der Autofahrer insgesamt, die in der Karnevalszeit unter Alkohol fahren, bei 20% liegt. D.h., wir nehmen an, dass 200 der 1000 betrachteten Autofahrer unter Alkohol gefahren sind. Untersuchen Sie, ob das Merkmal “Alkohol im Blut” vom Merkmal “Unfall” stochastisch unabh¨ angig ist oder nicht! Tipp: Stellen Sie im ersten Schritt aus den Angaben im Text eine zweidimensionale H¨ aufigkeitstabelle auf. Aufgabe 4 15 Punkte In einer Stadt wurde an 4 ausgew¨ ahlten Tagen die durchschnittliche Außentemperatur und der Stromabsatz des Elektrizit¨ atswerkes festgestellt:

Untersuchen Sie mit einem geeigneten Maß, ob mit sinkenden Temperaturen der Stromverbrauch linear zunimmt! Aufgabe 5 15 Punkte 6 Personen wurden nach Ihrem Alter (Jahre) und nach der pers¨ onlichen Bedeutung, die ein Sport-Produkt f¨ ur sie hat befragt. Die Bedeutung wurde auf einer Skala von –2,-1, 0,1,2 bewertet, dabei bedeutet -2 = sehr wenig, ...., +2 = sehr hoch. Diese Bewertungen werden Ihrem Alter gegen¨ uber gestellt: Bedeutung Alter

1 47

2 60

-2 20

0 50

1 45

-1 21

Wie bewerten Sie die Behauptung, dass die Bedeutung des Produktes mit steigendem Alter sinkt?

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Teil Wahrscheinlichkeitsrechnung - 3 aus 5 Aufgaben l¨ osen Aufgabe 6 20 Punkte (je 5 Punkte) In einem Lebensmittelladen befinden sich in einem Posten von 50 Lebensmittelpackungen der Firma XYZ 5 abgelaufene Packungen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein K¨ aufer, der (a) eine dieser Packungen kauft, eine abgelaufene Packung erh¨ alt? (b) mit wie vielen Packungen muss man im Durchschnitt rechnen? b) Im Laden steht eine Inventur an. Dabei wird auch das Haltbarkeitsdatum u uft. ¨berpr¨ (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite u ufte Pa¨berpr¨ ckung abgelaufen ist? (b) Bei wie vielen Packungen muss man durchschnittlich das Haltbarkeitsdatum u ufen, bis man die erste nicht mehr haltbare Pa¨berpr¨ ckung findet? Aufgabe 7 15 Punkte Es wird mit 4 gleichm¨ aßigen W¨ urfeln gew¨ urfelt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit f¨ ur folgende Ereignisse: a) Mindestens einer der 4 W¨ urfel zeigt eine Sechs. b) H¨ ochstens einer der 4 W¨ urfel zeigt eine Sechs. c) Es wurden genau 3 Sechsen gew¨ urfelt. Aufgabe 8 15 Punkte Eine Krankheit kommt bei ca. 5% der Bev¨ olkerung vor. Ein Test zur Erkennung der Krankheit f¨ uhrt bei 99% der Kranken zu einer Reaktion, aber auch bei 2% der Gesunden. a) In wieviel Prozent aller F¨ alle tritt bei dem Test eine Reaktion ein? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, bei der die Reaktion eintritt, die Krankheit wirklich hat?

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Aufgabe 9 15 Punkte Bei der Produktion von Rohren schwankt der Normwert des Innendurchmessers X wie folgt normalverteilt um 100mm: X ∼ N (100, (0, 1)2 ). Alle Rohre, deren Innendurchmesser nicht im Intervall [99, 85; 100, 15] mm liegen, gelten als Ausschuß! a) Berechnen Sie die Ausschußrate (Anteil aller Rohre, die Ausschuss sind) der Produktion! b) Berechnen Sie den Toleranzbereich um 100 mm herum, d.h. das ǫ, so dass genau 1% aller Rohre außerhalb des Toleranzbereiches [100 − ǫ, 100 + ǫ] liegen! Aufgabe 10 15 Punkte Auf der Kirmes wird Ihnen folgendes Spiel angeboten: Sie werfen mit 2 W¨ urfeln. F¨ allt eine Doppelsechs, so gewinnen Sie 20 Euro. Ist die Augensumme der beiden W¨ urfel 3, so gewinnen Sie immerhin noch 5 Euro und sind beide Augenzahlen ungerade, so bekommen Sie als Trost noch 50 Cent. Ihr Einsatz pro Spiel betr¨ agt dabei 2 Euro. W¨ urden Sie dieses Spiel spielen, d.h. ist Ihr erwarteter Gewinn gr¨ oßer als der Einsatz?

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