MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Licenciatura en Estad´ıstica

´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

Curso 2011/2012

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Espacios vectoriales Definici´on Sea V un conjunto de elementos sobre el cual est´an definidas las operaciones suma “+” de dos elementos x, y de V y multiplicaci´on “·” de un escalar (n´ umero real) α por un elemento de V . V es un espacio vectorial si 1 ∀x, y ∈ V , el vector suma, w = x + y ∈ V y se cumple que: 1 2 3 4

2

x +y =y +x (x + y ) + z = x + (y + z) Existe un elemento “nulo” de V , tal que x + 0 = 0 + x = x Cualquiera sea el vector x de V , existe el elemento (−x) “opuesto” a x, tal que x + (−x) = (−x) + x = 0.

∀x ∈ V , el vector w = α · x ∈ V y se cumple que: 1 2 3 4

α · (x + y ) = α · x + α · y (α + β) · x = α · x + β · x α · (β · x) = (αβ) · x 1·x =x

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Ejemplos de espacios vectoriales 1

2

3

El conjunto de los vectores de Rn cuando la suma de dos vectores y la multiplicaci´ on por un escalar es la est´andard. El conjunto Rm×n de las matrices m × n cuando la suma de dos matrices y la multiplicaci´ on por un escalar es la est´andard. El conjunto Pn de los polinomios de grado a lo sumo n Pn = {pn (t) = a0 +a1 t+· · ·+an t n ,

a0 , ..., an n´ umeros reales.},

donde definimos p(t) = a0 + a1 t + · · · + an t n ,

q(x) = b0 + b1 t + · · · + bn t n ,

(p + q)(t) ≡ p(t) + q(t) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )t + · · · + (an + bn )t n , (α · p)(t) ≡ α p(t) = (αa0 ) + (αa1 )t + · · · + (αan )t n . 4

Adem´as, pn = 0, si y s´ olo si a0 = a1 = · · · = an = 0. El conjunto C[a,b] de las funciones continuas en [a, b] ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Subespacios vectoriales Definici´on Sea V un espacio vectorial. Diremos que un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si H es a su vez un espacio vectorial respecto a las mismas operaciones suma “+” y multiplicaci´on “·” que V . Ejemplos. 1

Dado un espacio vectorial V , son subespacios vectoriales “triviales” los subespacios H = {0} (conjunto que tiene como u ´nico elemento, el nulo) y H = V (el mismo espacio vectorial).

2

Para V = C[a,b] , H = Pn es un subespacio vectorial, para cualquier n = 0, 1, 2, ... entero.

3

Para V = Pn , H = Pk es un subespacio vectorial para todo k < n. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Subespacios vectoriales Teorema Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si y s´olo si se cumple que Para todos x e y , vectores de H y α, β ∈ R el vector w = αx + βy tambi´en es un vector de H.

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Subespacios vectoriales Teorema Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si y s´olo si se cumple que Para todos x e y , vectores de H y α, β ∈ R el vector w = αx + βy tambi´en es un vector de H. Al vector v = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp , x1 , . . . , xp ∈ R, se le denomina combinaci´ on lineal de los vectores v1 , v2 , ..., vp . Sea span (v1 , v2 , ..., vp ) el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores v1 , v2 , ..., vp ∈ V

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Subespacios vectoriales Teorema Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si y s´olo si se cumple que Para todos x e y , vectores de H y α, β ∈ R el vector w = αx + βy tambi´en es un vector de H. Al vector v = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp , x1 , . . . , xp ∈ R, se le denomina combinaci´ on lineal de los vectores v1 , v2 , ..., vp . Sea span (v1 , v2 , ..., vp ) el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores v1 , v2 , ..., vp ∈ V Teorema span (v1 , v2 , ..., vp ) es un subespacio vectorial de V . Dicho subespacio vectorial com´ unmente se denomina subespacio generado por los vectores v1 , v2 , ..., vp . ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Conjuntos linealmente independientes Definici´on Un conjunto de vectores v1 , v2 , ..., vp de un espacio vectorial V se denomina linealmente independiente si la ecuaci´on vectorial x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0,

x1 , x2 , · · · , xp ∈ R

tiene como u ´nica soluci´ on la trivial x1 = · · · = xp = 0.

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Conjuntos linealmente independientes Definici´on Un conjunto de vectores v1 , v2 , ..., vp de un espacio vectorial V se denomina linealmente independiente si la ecuaci´on vectorial x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0,

x1 , x2 , · · · , xp ∈ R

tiene como u ´nica soluci´ on la trivial x1 = · · · = xp = 0. Definici´on Un conjunto de vectores v1 , v2 , ..., vp se denomina linealmente dependiente si existen x1 , x2 , · · · , xp ∈ R no todos iguales a cero tales que se verifique la ecuaci´ on vectorial x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Importancias de los vectores li: Bases Definici´on Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V . El conjunto de vectores B = {b1 , b2 , ..., bp } de V es una base de H si i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes ii) H = span (b1 , b2 , ..., bp ), o sea, B genera a todo H. En particular si H coincide con V , entonces B es una base de todo el espacio vectorial V .

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Importancias de los vectores li: Bases Definici´on Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V . El conjunto de vectores B = {b1 , b2 , ..., bp } de V es una base de H si i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes ii) H = span (b1 , b2 , ..., bp ), o sea, B genera a todo H. En particular si H coincide con V , entonces B es una base de todo el espacio vectorial V . Ejemplo 1: Las n columnas a1 , ..., an de una matriz invertible n × n, son li y adem´as Rn = span (a1 , ..., an ). Por tanto B = a1 , ..., an es una base de Rn . Si A = In , es la matriz identidad n × n, las columnas e1 , e2 , ..., en de la misma son la base can´onica de Rn .

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Importancias de los vectores li: Bases Definici´on Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V . El conjunto de vectores B = {b1 , b2 , ..., bp } de V es una base de H si i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes ii) H = span (b1 , b2 , ..., bp ), o sea, B genera a todo H. En particular si H coincide con V , entonces B es una base de todo el espacio vectorial V . Ejemplo 1: Las n columnas a1 , ..., an de una matriz invertible n × n, son li y adem´as Rn = span (a1 , ..., an ). Por tanto B = a1 , ..., an es una base de Rn . Si A = In , es la matriz identidad n × n, las columnas e1 , e2 , ..., en de la misma son la base can´onica de Rn . Ejemplo 2: El conjunto de vectores S = {1, t, t 2 , ..., t n } ∈ Pn es li, adem´as span (1, t, t 2 , ..., t n ) = Pn . Luego S es una base de Pn (can´onica). ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Bases y dimensi´on del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con m´as de n vectores de V es linealmente dependiente. Adem´as, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendr´a que tener n vectores de V .

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Bases y dimensi´on del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con m´as de n vectores de V es linealmente dependiente. Adem´as, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendr´a que tener n vectores de V . El menor n´ umero de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intr´ınseca de dicho espacio y se denomina dimensi´ on del espacio vectorial.

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Bases y dimensi´on del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con m´as de n vectores de V es linealmente dependiente. Adem´as, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendr´a que tener n vectores de V . El menor n´ umero de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intr´ınseca de dicho espacio y se denomina dimensi´ on del espacio vectorial. IUn espacio vectorial V es de dimensi´ on finita n si V est´a generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n.

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Bases y dimensi´on del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con m´as de n vectores de V es linealmente dependiente. Adem´as, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendr´a que tener n vectores de V . El menor n´ umero de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intr´ınseca de dicho espacio y se denomina dimensi´ on del espacio vectorial. IUn espacio vectorial V es de dimensi´ on finita n si V est´a generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n. IEl espacio nulo {0} tiene dimensi´ on 0.

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Bases y dimensi´on del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con m´as de n vectores de V es linealmente dependiente. Adem´as, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendr´a que tener n vectores de V . El menor n´ umero de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intr´ınseca de dicho espacio y se denomina dimensi´ on del espacio vectorial. IUn espacio vectorial V es de dimensi´ on finita n si V est´a generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n. IEl espacio nulo {0} tiene dimensi´ on 0. ISi V no puede ser generado por una base finita, entonces V es de dimensi´on infinita: dim V = ∞. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Bases y dimensi´on del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con m´as de n vectores de V es linealmente dependiente. Adem´as, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendr´a que tener n vectores de V . El menor n´ umero de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intr´ınseca de dicho espacio y se denomina dimensi´ on del espacio vectorial. IUn espacio vectorial V es de dimensi´ on finita n si V est´a generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n. IEl espacio nulo {0} tiene dimensi´ on 0. ISi V no puede ser generado por una base finita, entonces V es de dimensi´on infinita: dim V = ∞. Ejemplos: dim Rn = n, dim Pn = n + 1, dim C[a,b] = ∞. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Espacios normados y de Banach Definici´on Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo x ∈ X existe un n´ umero real denominado norma, y que denotaremos por kxk, que cumple con las condiciones 1

∀x ∈ X, kxk ≥ 0 y si kxk = 0 entonces x = 0.

2

∀x ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk.

3

∀x, y ∈ X, se tiene la des. triang. kx + y k ≤ kxk + ky k.

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Espacios normados y de Banach Definici´on Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo x ∈ X existe un n´ umero real denominado norma, y que denotaremos por kxk, que cumple con las condiciones 1

∀x ∈ X, kxk ≥ 0 y si kxk = 0 entonces x = 0.

2

∀x ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk.

3

∀x, y ∈ X, se tiene la des. triang. kx + y k ≤ kxk + ky k.

Si en un espacio normado X definimos la func. ρ(x, y ) = kx − y k, esta satisface los axiomas de la definici´ on de espacio m´etrico, i.e., todo espacio normado es un espacio m´etrico. La ρ anterior se denomina m´etrica inducida por la norma.

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Espacios normados y de Banach Definici´on Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo x ∈ X existe un n´ umero real denominado norma, y que denotaremos por kxk, que cumple con las condiciones 1

∀x ∈ X, kxk ≥ 0 y si kxk = 0 entonces x = 0.

2

∀x ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk.

3

∀x, y ∈ X, se tiene la des. triang. kx + y k ≤ kxk + ky k.

Si en un espacio normado X definimos la func. ρ(x, y ) = kx − y k, esta satisface los axiomas de la definici´ on de espacio m´etrico, i.e., todo espacio normado es un espacio m´etrico. La ρ anterior se denomina m´etrica inducida por la norma. Definici´on Un espacio normado completo (en la m´etrica inducida por la norma) se denomina espacio de Banach. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Ejemplos Ejemplo X = Rn (Cn ), con la norma kxk = Banach.

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pPn

2 k=1 |xk | ,

es un espacio de

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Ejemplos Ejemplo X = Rn (Cn ), con la norma kxk = Banach.

pPn

2 k=1 |xk | ,

es un espacio de

Ejercicio ¿Qu´e ocurre con X = Rn (Cn ) si usamos las normas P kxk = ( nk=1 |xk |p )1/p , p ≥ 1? ¿Y con la norma kxk = maxk=1,...,n |xk |?

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Ejemplos Ejemplo X = Rn (Cn ), con la norma kxk = Banach.

pPn

2 k=1 |xk | ,

es un espacio de

Ejercicio ¿Qu´e ocurre con X = Rn (Cn ) si usamos las normas P kxk = ( nk=1 |xk |p )1/p , p ≥ 1? ¿Y con la norma kxk = maxk=1,...,n |xk |? Ejemplo R 1/p b Sea X = C[a,b] y definamos la norma kf k = a |f (x)|p , p ≥ 1. Este espacio es un espacio normado pero no de Banach (¿por qu´e?). ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Ejemplos Ejemplo Sea X = C[a,b] . Definamos la norma kf k = maxx∈[a,b] |f (x)|. Este espacio es un espacio de Banach.

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Ejemplos Ejemplo Sea X = C[a,b] . Definamos la norma kf k = maxx∈[a,b] |f (x)|. Este espacio es un espacio de Banach. Ejemplo Sea ahora X el espacio de todas lasPsucesiones p x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) reales t.q. ∞ k=1 |xk | < +∞ con la norma P∞ kxk = ( k=1 |xk |p )1/p , p ≥ 1. Dicho espacio lo denotaremos por lp y es un espacio de Banach.

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Ejemplos Ejemplo Sea X = C[a,b] . Definamos la norma kf k = maxx∈[a,b] |f (x)|. Este espacio es un espacio de Banach. Ejemplo Sea ahora X el espacio de todas lasPsucesiones p x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) reales t.q. ∞ k=1 |xk | < +∞ con la norma P∞ kxk = ( k=1 |xk |p )1/p , p ≥ 1. Dicho espacio lo denotaremos por lp y es un espacio de Banach. Ejercicio Decide si el espacio X de todas las sucesiones reales x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) acotadas con la m´etrica kxk = supk∈N |xk |, es un espacio de Banach. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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¿Todo espacio m´etrico es normado? Sea X el espacio de todas las sucesiones reales x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) con la m´etrica ρ(x, y ) =

∞ X 1 |xj − yj | . 2j 1 + |xj − yj | j=1

Esta m´etrica no puede ser inducida por ninguna norma ya que de ella nunca podremos obtener la propiedad x∀ ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk, de la norma.

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¿Todo espacio m´etrico es normado? Sea X el espacio de todas las sucesiones reales x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) con la m´etrica ρ(x, y ) =

∞ X 1 |xj − yj | . 2j 1 + |xj − yj | j=1

Esta m´etrica no puede ser inducida por ninguna norma ya que de ella nunca podremos obtener la propiedad x∀ ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk, de la norma. Lema Sea X un espacio normado. Entonces, la m´etrica ρ inducida por la norma satisface las condiciones 1

ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y ),

2

ρ(λx, λy ) = |λ|ρ(x, y ). ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Espacios normados vs Espacios m´etricos En los espacios normados podemos definir la conv. de sucesiones, suc. de Cauchy, etc. Basta considerarlos como espacios m´etricos con la m´etrica ρ inducida por la norma: ρ(x, y ) = kx − y k. Algunas definiciones son algo m´as sutiles:

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Espacios normados vs Espacios m´etricos En los espacios normados podemos definir la conv. de sucesiones, suc. de Cauchy, etc. Basta considerarlos como espacios m´etricos con la m´etrica ρ inducida por la norma: ρ(x, y ) = kx − y k. Algunas definiciones son algo m´as sutiles: Definici´on Sea X un espacio normado y sea M un subespacio vectorial de X. Si M es un espacio normado con la norma de X restringida a M se dice que M es un subespacio de X. Si M es cerrado en X entonces se dice que es un subespacio cerrado.

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Espacios normados vs Espacios m´etricos En los espacios normados podemos definir la conv. de sucesiones, suc. de Cauchy, etc. Basta considerarlos como espacios m´etricos con la m´etrica ρ inducida por la norma: ρ(x, y ) = kx − y k. Algunas definiciones son algo m´as sutiles: Definici´on Sea X un espacio normado y sea M un subespacio vectorial de X. Si M es un espacio normado con la norma de X restringida a M se dice que M es un subespacio de X. Si M es cerrado en X entonces se dice que es un subespacio cerrado. Definici´on (En los espacios normados podemos definir las series:) Sea una suc. (xn )n de un espacio normado X definiremos la n X sucesi´on (sn )n de sumas parciales por sn = xk , ∀n ∈ N. Si k=1

sn → s ∈ X (en norma), diremos que la serie es P converge en X y s es su suma. La serie converge absolutamente si nk=1 kxk k < +∞. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Series en espacios normados Teorema Sea X un espacio de Banach (normado y completo). Entonces toda serie absolutamente convergente es convergente.

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Series en espacios normados Teorema Sea X un espacio de Banach (normado y completo). Entonces toda serie absolutamente convergente es convergente. El teorema anterior no es cierto si X no es completo. Ejercicio Prueba que si X es un espacio normado, entonces toda serie absolutamente convergente es convergente si y s´ olo si X es completo.

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Series en espacios normados Teorema Sea X un espacio de Banach (normado y completo). Entonces toda serie absolutamente convergente es convergente. El teorema anterior no es cierto si X no es completo. Ejercicio Prueba que si X es un espacio normado, entonces toda serie absolutamente convergente es convergente si y s´ olo si X es completo. Teorema (¡Todo espacio normado se puede completar!) Sea (X, k.k) un espacio normado. Entonces existe un espacio de b y una isometr´ıa A de X en W ⊂ X, b tal que W es denso Banach X b Adem´as, X b es u en X. ´nico excepto isometr´ıas. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Base de Schauder

Definici´on Sea X un espacio normado y sea M un subespacio vectorial de X. Si M es un espacio normado con la norma de X restringida a M se dice que M es un subespacio de X. Si M es cerrado en X entonces se dice que es un subespacio cerrado. Definici´on Sea X un espacio normado. Sea (en )n una sucesi´ on de elementos de X tal que, para todo x ∈ X, existe una u ´nica sucesi´on de n→∞ escalares (αn )n tales que kx − (α1 e1 + · · · + αn en k −→ 0. Dicha sucesi´on se denomina base de Schauder.

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Base de Schauder y separabilidad Ejemplo Sea X el espacio l p de las sucesiones y sea (en )n la sucesi´on ek = δi,k , i.e., la sucesi´ on de vectores de l p con 1 en la posici´on k y 0 en el resto. Probemos que dicha sucesi´ on es una base de p tenemos Schauder. En efecto, para todo x ∈ lP x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . ). Sea sn = nk=1 xk ek . Como x ∈ l p , entonces !1/p ∞ X n→∞ p −→ 0. lim ksn − sk = lim |xk | n→∞

n→∞

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k=n+1

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Base de Schauder y separabilidad Ejemplo Sea X el espacio l p de las sucesiones y sea (en )n la sucesi´on ek = δi,k , i.e., la sucesi´ on de vectores de l p con 1 en la posici´on k y 0 en el resto. Probemos que dicha sucesi´ on es una base de p tenemos Schauder. En efecto, para todo x ∈ lP x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . ). Sea sn = nk=1 xk ek . Como x ∈ l p , entonces !1/p ∞ X n→∞ p −→ 0. lim ksn − sk = lim |xk | n→∞

n→∞

k=n+1

Ejercicio Prueba que si un espacio normado X tiene una base de Schauder, entonces es separable. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Espacios normados de dimensi´on finita Lema (Lema t´ecnico) Sean n vectores cualesquiera x1 , . . . , xn linealmente independientes de un espacio normado X. Entonces, existe un n´ umero real c > 0 tal que cuales quiera sean los escalares α1 , . . . , αn , kα1 x1 + · · · + αn xn k ≥ c(|α1 | + · · · + |αn |). Demostraci´ on: Sea s = |α1 | + · · · + |αn |. Si s = 0 el lema es trivial as´ı que asumiremos s > 0. Dividiendo por s 2 se sigue que 2 es equivalente a probar que si x1 , . . . , xn son linealmente independientes, entonces existe un n´ umero real c > P 0 tal que cuales quiera sean los los escalares β1 , . . . , βn , con nk=1 |βk | = 1 kβ1 x1 + · · · + βn xn k ≥ c. La prueba ser´a por reducci´ on al absurdo. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Prueba del Lema t´ecnico Entonces ha de existir (¿por qu´e?) una sucesi´ on (ym )m ⊂ X tal que (m)

(m)

ym = β1 x1 + · · · + βn xn ,

n X

m→∞

(m)

|βk | = 1, y kym k −→ 0.

k=1

P (m) De la condici´on nk=1 |βk | = 1 se sigue que las n sucesiones (m) num´ericas (βk )m , k = 1, . . . , n, son acotadas. (m)

Sea la sucesi´on (β1 )m acotada, entonces por el T de B-W de ella (mj ) j→∞

se puede extraer una subsucesi´ on convergente β1

−→ β1 . (m)

Escojamos de cada una de las sucesiones restantes (βk )m , k = 2, . . . , n, las subsucesiones definidas por los ´ındices mj . (mj )

Entonces (β2

)j es acotada y por B-W y podemos extraer una (j ) l→∞

subsucesi´on convergente β2 l −→ β2 . Adem´as, si escogemos los (j )

l→∞

´ındices jl definidos, la subsucesi´ on (β1 l )j −→ β1 (¿por qu´e?). ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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Prueba del Lema t´ecnico Continuando este proceso n veces V ∃ una subsucesi´on de ´ındices (l ) i→∞ li t.q. βk i −→ βk , ∀k = 1, 2, . . . , n. Adem´as, dicha sucesi´on de ´ındices define una subsucesi´ on (yli )i de (ym )m t.q. yli =

n X

(l )

βk i xk ,

(l ) i→∞

βk i −→ βk

V lim yli = i→∞

k=1

n X

βk xk := y ,

k=1

n X

|βk | = 1.

k=1

De lo anterior se sigue que no todos los βk = 0 al mismo tiempo. Como los vectores x1 , . . . , xn son li Vy 6= 0 (¿por qu´e?). La norma es una aplicaci´on continua V lim yli = y

i→∞

V

lim kyli k = ky k,

i→∞

m→∞

pero como kym k −→ 0, entonces limi→∞ kyli k = 0, luego ky k = 0 de donde se sigue que y = 0 lo cual es una contradicci´on. ´ R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla

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