Profesor Juan J. Sanmartín

1

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

La velocidad es una magnitud vectorial, ya que para que quede completamente definida hay que dar, además d á d de su valor l numérico é i y su unidad, id d su dirección di ió y su sentido.

El tiempo es una magnitud escalar, ya que queda completamente definida dando su valor numérico y la unidad en la que se mide. mide Profesor Juan J. Sanmartín

2

SISTEMA DE REFERENCIA

Los pasajeros del tranvía están en reposo respecto al conductor, pero los peatones que están en la acera ven a los pasajeros en movimiento. movimiento Un objeto está en reposo o en movimiento según el Sistema de Referencia que se escoja.

Profesor Juan J. Sanmartín

3

MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO Un atleta que de una vuelta completa a la pista, tendrá un desplazamiento nulo. El desplazamiento es la diferencia entre la posición ó final f l (s) ( ) y la l posición ó iniciall (s ( 0) de d un móvil.

La trayectoria es la línea que describe el móvil en su movimiento. La longitud que recorre el móvil medida sobre la t trayectoria t i es ell espacio i recorrido. id

Profesor Juan J. Sanmartín

4

MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO

espacio recorrido vm = tiempo invertido

Velocidad Media:

Velocidad Instantánea:

Velocidad media en un intervalo muy pequeño de tiempo.

La unidad de velocidad en el Sistema Internacional es: m/s Aceleración:

var iación de velocidad a= tiempo invertido

La unidad de aceleración en el Sistema Internacional es: m/s2

Profesor Juan J. Sanmartín

5

Cambio de Unidades al Sistema Internacional

km 1000m. 1h. 90 ⋅ ⋅ = 25 m s h 1Km. 3600s.

60s 45 min⋅ = 2700s 1min

1000m 30km ⋅ = 30000m 1km

EN LOS PROBLEMAS EL RESULTADO TENDRÁ QUE ESTAR SIEMPRE EN UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL Y CON SU UNIDAD CORRESPONDIENTE EJEMPLO 5000m. 5000

Profesor Juan J. Sanmartín

6

TIPOS DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.) Un automóvil que se desplaza en línea recta con velocidad constante lleva un movimiento rectilíneo uniforme.

La posición del móvil en un instante, t, viene dada por:

Gráfica s-t s t de un MRU MRU. La pendiente de la recta coincide con la velocidad.

Profesor Juan J. Sanmartín

s = s0 + v ⋅ t

G áfi v-t de Gráfica d un MRU MRU.

7

Problemas

Movimiento M i i t Rectilíneo Uniforme Profesor Juan J. Sanmartín

8

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE (M.R.U.) Problema nº1.-(TIPO I): Una moto parte de una ciudad A a una velocidad de 150 km/h, km/h al cabo de 50 min. min parte de la misma ciudad un coche, con la misma dirección y sentido que la moto anterior pero a una velocidad de 210 km/h. Calcula que el tiempo que tarda el coche en alcanzar a la moto y a que distancia de la ciudad A la alcanza.

Lo primero que debéis tener en cuenta es el tipo de movimiento (en este caso M R U ) y las M.R.U.) l fó fórmulas l que le l corresponden

s = s0 + v ⋅ t s − s0 v= t E recomendable Es m mientras realizáis los ejercicios m j en clase o casa tener las f fórmulas mu de los movimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas) Profesor Juan J. Sanmartín 9

Planteamos el Problema Ambos vehículos parten del mismo punto y en el momento que el coche alcanza a la moto HAN RECORRIDO EL MISMO ESPACIO, ESPACIO es decir, decir LOS ESPACIOS RECORRIDOS SON IGUALES.

smoto = s0 + v moto ⋅ t circulando ambos a la vez La moto está circulando durante 50 min. antes de que el coche arranque, consideramos que el espacio recorrido por la moto durante ese tiempo es su espacio inicial.

60s  = 3000s  1min  → sinicialmoto = 41,7 × 3000 = 125100m. 1h 1000m km = 150 ⋅ ⋅ = 41,7 m  s  h 3600s 1km

t inicial = 50 min⋅ v moto

Hemos calculado el espacio que recorrió la moto mientras el coche estaba parado.

Profesor Juan J. Sanmartín

10

Entonces

smoto = scoche

Y por lo tanto…

v coche ⋅ t circulando ambos a la vez = s0 + v moto ⋅ t circulando ambos a la vez Resolvemos

v coche = 210

1h 1000m km ⋅ ⋅ = 58,3 m s h 3600s 1km

125100 + 41,7 ⋅ t = 58,3 ⋅ t → 58,3t − 41,7t = 125100 125100 16,6t = 125100 ⇒ t = = 7536,1s. 16,6 7536,1 s. es el tiempo que tarda el coche en alcanzar a la moto Profesor Juan J. Sanmartín

11

Si queremos saber el tiempo que circula la moto, tendremos que sumar el tiempo inicial en que la moto circulaba mientras el coche estaba parado y el tiempo en que circulan ambos, ambos es decir, decir

3000s+7536 1s=10536 3000s+7536,1s 10536,1s 1s

Para calcular el espacio que recorren, se puede calcular tanto con el espacio de la moto como con el del coche ya que ambos son iguales.

smoto = 125100 + 41,7 ⋅ t = 125100 + 41,7 ⋅ 7536,1 = 439355,37m ≈ 439,4km. scoche = 58,3 ⋅ t = 58,3 ⋅ 7536,1 = 439354,6m ≈ 439,4km. LAS DIFERENCIAS OBTENIDAS SON DEBIDAS A LAS APROXIMACIONES REALIZADAS

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE (M.R.U.) Problema nº2.-(TIPO II): Dos trenes parten al mismo tiempo de dos ciudades A y B separadas por 270 km. km en la misma dirección y distinto sentido, uno cara B y el otro cara a A respectivamente. El tren A (llámese así por partir de la ciudad A) circula a 140 km/h. y el tren B a 180km/h. Calcula a qué distancia de ambas ciudades se encuentran y qué tiempo tardan en encontrase.

En este E t problema bl a diferencia dif i d l del anterior, ambos salen a la vez pero de diferentes puntos. En principio no tenemos espacio inicial, entonces…

s = v ⋅t E recomendable Es m mientras realizáis los ejercicios m j en clase o casa tener las f fórmulas mu de los movimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas) Profesor Juan J. Sanmartín 13

Partiendo de la idea de que ambos trenes salen de una ciudad para ir a la opuesta llegamos a la conclusión que en el MOMENTO QUE SE CRUZAN los dos trenes HAN RECORRIDO ENTRE LOS DOS EL ESPACIO TOTAL.

s tren_A + s tren_B = stotal

Resolvemos

km 1h 1000m ⋅ ⋅ = 38,9 m s h 3600s 1km km 1h 1000m = 180 ⋅ ⋅ = 50 m s h 3600s 1km

v tren _ A = 140 v tren _ B

stren _ A +s tren _ B = v tren _ A ⋅ t + v tren _ B ⋅ t = stotal = 270 270kkm = 270000m. entonces

38,9t + 50t = 270000m. → 88,9t = 270000 → t =

27000 = 3037,1s 88,9

3037,1 s. es el tiempo que tardan los trenes en cruzarse Profesor Juan J. Sanmartín

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Para calcular la distancia a cada estación, es fácil, calculamos el espacio recorrido en un tren y la diferencia con el total se corresponde con lo que falta a la otra estación.

stren _ a = 38,9 ⋅ 3037,1 = 118143,2m. → 270000 − 118143,2 = 151856,8m. stren _ B = 50 ⋅ 3037,1 = 151855m. → 270000 − 151855 = 118145m. LAS DIFERENCIAS OBTENIDAS SON DEBIDAS A LAS APROXIMACIONES REALIZADAS

Profesor Juan J. Sanmartín

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.) Un M.R.U.A. tiene aceleración constante y su Trayectoria es una línea recta. Un avión, ó cuando despega, va aumentando su velocidad. Tiene aceleración positiva. Cuando aterriza disminuye su velocidad hasta pararse Tiene aceleración negativa. pararse. negativa

v −v0 a= t

Ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

v f = v 0± a ⋅ t

v =v ± 2 ⋅ a ⋅s 2 f

2 0

1 s = s0 + v0 ⋅t + a ⋅t 2 2

Consideraremos + cuando la aceleración sea positiva y – cuando sea negativa (decelere o frene) Profesor Juan J. Sanmartín

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GRÁFICAS DEL M.R.U.A.

Gráfica v-t de un MRUA. Con velocidad inicial V0,, y sin velocidad inicial.

Gráfica e-t de un MRUA. Se obtiene una Parábola.

Gráfica a-t a t de un MRUA. MRUA

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NINGÚN Ú MOVIMIENTO PUEDE PARTIR DEL REPOSO SIN ACELERACIÓN

Profesor Juan J. Sanmartín

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Problemas

Movimiento M i i t Rectilíneo Uniforme Profesor Juan J. Sanmartín

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.) Problema nº3.- Calcula la aceleración de una moto que pasa de 0 a 100 km/h. en 7 s. ¿Qué espacio ha recorrido mientras aceleraba?

Lo primero que debéis tener en cuenta es el tipo de movimiento (en este caso M.R.U.A.) y las fórmulas que le corresponden

1 s = s0 + v0 ⋅t ± a ⋅t 2 2

vf =v 0 ± a ⋅t

v f2 = v 02 ± 2 ⋅ a ⋅ s

E recomendable Es m mientras realizáis los ejercicios m j en clase o casa tener las f fórmulas mu de los movimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas) Profesor Juan J. Sanmartín 20

Solución: Datos que tenemos:

vo = 0 m

s

× 1000 m = 27,777 = 27,8 m v final = 100 km × 1h h 3600s 1km s t = 7s. Aplicamos las fórmulas

v − v 0 27,8 − 0 = = 3,97 = 4 m 2 s 7 t 1 1 s = s 0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t 2 = 0 + 0 ⋅ 7 + ⋅ 4 ⋅ 7 2 = 98m. 2 2

vf =v 0 + a ⋅t ⇒ a =

O también

v 2 − v o2 27,8 2 − 0 2 = = 97 ≈ 98m. v =v + 2 ⋅ a ⋅s ⇒ s = 2⋅a 2⋅4 2 f

2 o

Profesor Juan J. Sanmartín

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Problema nº 4.- Un automóvil que circula a una velocidad de 80 km/h. Encuentra un obstáculo situado a 50 m. de distancia. ¿Cuál ha de ser la aceleración mínima y constante, necesaria para detener el coche antes de llegar g al obstáculo?.

vf =v 0 ± a ⋅t

v f2 = v o2 ± 2 ⋅ a ⋅ s

1 s = s0 + v0 ⋅t ± a ⋅t 2 2

De las fórmulas que tenemos, solamente podremos utilizar aquella en la que tengamos una única incógnita Solución: Datos que tenemos:

v final = 0 m

s v 0 = 80 km × 1h × 1000 m = 22,2222 = 22 m h s 3600s 1km s = 50m. Profesor Juan J. Sanmartín

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No tenemos ni la aceleración ni el tiempo, por lo que vamos a utilizar la siguiente fórmula

v f2 = v o2 ± 2 ⋅ a ⋅ s ⇒ 0 2 = 222 − 2 ⋅ a ⋅ 50 ¡OJO!, EL SIGNO NEGATIVO SIGNIFICA QUE EL COCHE DECELERA O FRENA

0 2 = 222 − 2 ⋅ a ⋅ 50 → 2 ⋅ a ⋅ 50 = 222 − 0 2 222 − 0 2 a= = 4,84 m 2 s 2 ⋅ 50 Ahora podemos utilizar otra fórmula, ya que tenemos la aceleración que acabamos de calcular. calcular

v 0 − v 22,2 − 0 vf =v 0 − a ⋅t ⇒ t = = = 4,586 = 4,6s. a 4,84 Profesor Juan J. Sanmartín

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Problemas

Movimientos Combinados Profesor Juan J. Sanmartín

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Problema nº 5.- Un tren de Metro arranca con una aceleración de 80 cm/s2. Al cabo de 50 segundos el conductor corta la corriente y el tren continúa moviéndose con velocidad constante. •¿Cuál es esta velocidad? •¿Qué espacio recorrió el tren en esos 50 segundos? Q tiempo p transcurrió hasta q que el tren llega g a otra estación distante de la primera p 2500m? •¿Qué

PRIMERO, Y LO MÁS IMPORTANTE, es distinguir los tipos de movimiento en cada momento. Un tren de Metro arranca… NOS DICE QUE PARTE DEL REPOSO Y POR LO TANTO NO PUEDE SER MÁS QUE UN M.R.U.A. POR DEFINICIÓN. …y el tren continúa moviéndose con velocidad constante. NOS INDICA CLARAMENTE QUE ES UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

TENEMOS DEFINIDO EL PROBLEMA, el tren parte del reposo con M.R.U.A. hasta alcanzar una velocidad que hemos de calcular. A continuación mantiene dicha velocidad constante en M.R.U. hasta llegar a la siguiente estación. Profesor Juan J. Sanmartín

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Calculamos los distintos movimientos por separado, primero el M.R.U.A. Solución: (M.R.U.A.) Datos que tenemos:

t acelerado = 50s.

¡¡¡¡IMPORTANTE!!!! UNIDADES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL

a = 80 cm

= 0,8

v0 = 0 m

s

v final = ?

s

s0 = 0m. Comenzamos

1m 2 ⋅

100cm.

m s2

v f = v 0+a ⋅ t ⇒ v f = 0 + 0,8 ⋅ 50 = 40 m

s

1 1 2 s = s 0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t = 0 + 0 ⋅ 50 + ⋅ 0,8 ⋅ 50 2 = 1000m. 2 2 Hemos calculado la velocidad final en el M.R.U.A. y el espacio que recorrió mientras aceleraba. l b Por P lo l tanto, t t no le l quedan d los l 2500 m. hasta h t la l estación t ió sino i la l diferencia. dif i Profesor Juan J. Sanmartín

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Solución: (M.R.U.) Datos que tenemos:

v = 40 m

s tvelocidad _ cte. = ?

Consideramos que el espacio inicial es el que ha recorrido mientras ACELERABA.

s0 = 1000 m. sfinal = 2500 m. Entonces

s final = s0 + v ⋅ t ⇒ 2500 = 1000 + 40t s final − s0 2500 − 1000 t= = = 37,5s. v 40

tTOTAL = t acelerado + tvelocidad _ cte. = 50 + 37,5 = 87,5s. Profesor Juan J. Sanmartín

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Problema nº 6.- Un conductor ve un objeto en la carretera y debe detener el coche (circulando a 130 km/h.) para no impactar contra el. Calcula la distancia mínima a la que debe estar dicho objeto para que no se produzca el impacto sabiendo que el conductor tarda 0,4 s. en reaccionar desde que ve el objeto hasta que acciona el freno y la deceleración del coche es de 3,7. 37

CONSIDERACIONES PREVIAS, desde que el conductor ve el objeto hasta que acciona el freno,, el vehículo circula a velocidad constante. M.R.U.,, es decir,, tenemos dos movimientos, uno M.R.U. y otro M.R.U.A. (decelerado). M.R.U.

1000m 1h. ⋅ = 36,1 m v = 130 km ⋅ h 1km 3600s. s t acelerado = 0,4s. 0 4s s0 = 0m. smientras_no_frena = s0 + v ⋅ t ⇒ s = 0 + 36,1 ⋅ 0,4 = 14,44m. Mientras el conductor no acciona el freno ha recorrido 14,44 m. en M.R.U. Profesor Juan J. Sanmartín

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M.R.U.A.

v 0 = 36,1 m

s

v final = 0 m t acelerado

s =?

m s2 s0 = 14,4m. a = 3,7

s = s0 + v0 ⋅t +

v 0 − v f 36,1 − 0 v f = v 0 −a ⋅ t ⇒ t = = = 9,8s. 98 a 3,7 E t Entonces ell espacio i mínimo í i será… á

1 1 a ⋅ t 2 = 14,4 + 36,1 ⋅ 9,8 − 3,7 ⋅ 9,8 2 = 109,5m. 2 2

Profesor Juan J. Sanmartín

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MOVIMIENTO VERTICAL o CAÍDA LIBRE El movimiento i i t vertical ti l es un caso particular ti l de d M M.R.U.A. RUA La aceleración a la que están sometidos los cuerpos con este movimiento es la de la g gravedad,, cuyo y valor es aproximadamente p g = 9,81 , m/s2 Las ecuaciones del movimiento son las siguientes:

vf =v 0 ± g ⋅t

1 h = h0 + v 0 ⋅ t ± g ⋅ t 2 2

v0 y h0 son, respectivamente, la velocidad y la altura iniciales. Si el cuerpo sube, la aceleración se opone al movimiento y se toma su valor con signo negativo. negativo Si el cuerpo baja, la aceleración tiene el sentido del movimiento y se g positivo. p toma su valor con signo Profesor Juan J. Sanmartín

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Problemas

Caída Libre

Profesor Juan J. Sanmartín

31

Problema nº7.- ¿Cuál es la velocidad con la que llega al suelo un cuerpo que se ha dejado caer libremente desde una altura de 100 m.? ¿Qué tiempo empleó en la caída?.

v0 = 0 m

v f2 = v 02 + 2 ⋅ g ⋅ h ⇒ v f = 0 2 + 2 ⋅ 9,81 ⋅100 = 44,3 m

s

v final = ?.

vf = v0 + g ⋅ t → t =

t acelerado = ? g = 9,81 m h = 100m. 100

s2

s

v f − v 0 44,3 − 0 = = 4,5s. 45 9,81 g

O también se puede hacer así… así

1 h = h0 + v 0 ⋅ t ± g ⋅ t 2 2 1 100 ⋅ 2 100 = 0 + 0 ⋅ t + 9,81 9 81 ⋅ t 2 → t = = 4,5s. 4 5s 9,81 2 v final = v 0 + g ⋅ t = 0 + 9,81⋅ 4,5 = 44,1m

Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior y tenemos la h anterior, final porque sabemos lo que va a recorrer

s

Profesor Juan J. Sanmartín

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Problema nº8.-¿Qué velocidad inicial hay que comunicar a una piedra para que, lanzándola verticalmente hacia arriba, alcance una altura máxima de 20 m.? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar dicha altura?

v final = 0 m

v f2 = v 02 − 2 ⋅ g ⋅ h ⇒ v 02 = v f2 + 2 ⋅ g ⋅ h

s

v 0 = ?. t desacelerado = ? g = 9,81 9 81 m

s

v 0 = 0 2 + 2 ⋅ 9,81 ⋅ 20 = 19,8 m

s

2

h = 20m.

vf = v0 − g ⋅ t → t =

v 0 − v f 19,8 − 0 = = 2s. 2s g 9,81

Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, anterior y tenemos la h final porque sabemos lo que va a recorrer

Profesor Juan J. Sanmartín

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Problema nº 9.- Desde lo alto de un rascacielos de 300 m de altura se lanza verticalmente hacia abajo una piedra con una velocidad inicial de 10 m/s. ¿Con qué velocidad llega al suelo? ¿Cuánto tiempo tarda en caer?.

v final = 0 m v 0 = 10 m

s

s

t =? g = 9,81 m

v f2 = v 02 + 2 ⋅ g ⋅ h ⇒ v f = 10 2 + 2 ⋅ 9,81 9 81 ⋅ 300 = 77,4 77 4 m vf = v0 − g ⋅ t → t =

s2

s

v f − v 0 77,4 − 10 = = 6,9s. g 9 81 9,81

h = 300m. Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la h final porque sabemos lo que va a recorrer

Profesor Juan J. Sanmartín

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Problema nº 10.- Se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto que a los 7 s. tiene una rapidez de 50 m/s. Calcular la velocidad de lanzamiento y el tiempo que tarda en subir y bajar.

v 7s. = 50 m v final = 0 m

s

s

v0 = ? g = 9,81 m

s2

Con la velocidad a los 7 segundos calculamos la velocidad inicial que desconocemos

v 7s = v 0 − g ⋅ t → v 0 =v 7s+g ⋅ t = 50 + 9,81⋅ 7 = 118,7 m

s

Una vez que tenemos la velocidad inicial, inicial calculamos el tiempo que tarda en detenerse que será el tiempo en llegar al punto máximo.

v 0 − v f 118,7 − 0 vf = v0 − g ⋅ t → t = = = 12,1s. , s g 9,81 EN CAIDA LIBRE, UN OBJETO QUE ES LANZADO CARA ARRIBA TARDA LO MISMO EN ALCANZAR EL PUNTO DE ALTURA MÁXIMA COMO EN CAER DE ESTE AL PUNTO DE ORIGEN, POR LO TANTO…

t total = 2 ⋅ t h_máxima h máxima = 2 ⋅12,1 = 24,2s. Profesor Juan J. Sanmartín

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Problema nº 11.- Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba, y asciende con una aceleración de 2 m/s2 durante 1,2 min. En ese instante se agota el combustible y sigue subiendo como partícula p transcurrido desde que q despegó p g hasta caer al suelo. libre. Calcular cual es el tiempo

Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que tenemos 3 movimientos distintos y todos ellos M.R.U.A. El PRIMER MOVIMIENTO es un movimiento acelerado, con aceleración positiva de 2 m/s2 Datos:

v0 = 0 m

s

v final = ?. ? t acelerado = 1,2min = 72s. m s2 h0 = 0m.

a=2

Profesor Juan J. Sanmartín

36

Calculamos la altura a la que llegó y la velocidad en el instante que se agota el combustible.

1 1 2 h = h0 + v 0 ⋅ t ± a ⋅ t ⇒ h = 0 + 0 ⋅ 72 + 2 ⋅ 722 = 5184m. 2 2 v final = v 0 + a ⋅ t = 0 + 2 ⋅ 72 = 144 m s El SEGUNDO MOVIMIENTO es decelerado, ya que el cohete se mueve como partícula libre y sigue ascendiendo después de que se agote el combustible hasta que la gravedad g=9,81 9 81 m/s / 2 lo l acaba b frenando. f d

v 0 = 144 m

s

v final = v 0 − g ⋅ t → t =

v final = 0 m . s t decelerado = ?

1 h = h0 + v 0 ⋅ t ± g ⋅ t 2 2

g gravedad = 9,81m h0 = 5184 m.

s2

v 0 − v final 144 − 0 = = 14,7s. g 9,81 9 81

1 h = 5184 + 144 ⋅14,7 − 9,81 ⋅ 14,72 = 6240,9m. 2 Profesor Juan J. Sanmartín

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El TERCER MOVIMIENTO es M.R.U.A. con aceleración positiva, es lógico, el cohete una vez que se le ha terminado el combustible asciende por la velocidad que tiene en ese momento. Pero esta se ve reducida por el efecto de la gravedad que acaba anulando. Tenemos el cohete en el punto más alto y parado (un instante). TODO CUERPO QUE SUBE TIENE QUE BAJAR, y como tal el cohete cae desde esa altura por efecto de la gravedad.

v0 = 0 m

s

v final = ?. t aceleracion_gravedad = ? g gravedad = 9,81 m h = 6240,9m. 6240 9m h0 = 0m.

1 g ⋅t 2 2 1 6240,9 ⋅ 2 6240,9 = 0 + 0 ⋅ t + 9,81 ⋅ t 2 → t = = 35,7s. 2 9,81 h = h0 + v 0 ⋅ t ±

s2

NOTA: LA ALTURA INICIAL ES CERO PORQUE CARA ABAJO EL COHETE NO SE HA DESPLAZADO NADA Y LA ALTURA FINAL QUE CAE, COMO ES LÓGICO, Ó ES LA MISMA A LA QUE SE HA ELEVADO.

EL TIEMPO TOTAL DEL MOVIMIENTO SERÁ LA SUMA DE LOS 3 MOVIMIENTOS

t total = t1er movimiento + t2ºmovimiento + t3 er movimiento = 72 + 14,7 + 35,7 = 122,4s. Profesor Juan J. Sanmartín

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Problema nº 12.- Se deja caer una pelota desde la cornisa de un edificio y tarda 0,3 segundos en pasar por delante de una ventana de 2,5 metros de alto. ¿A qué distancia de la cornisa se encuentra

?

ell marco superior i de d lla ventana? ?

Este problema, aunque en principio parece fácil, tenemos que suponer varias cosas que complican su resolución Solución: Ant s de Antes d nada n d vamos m s a ver los l s datos d t s que tenemos t n m s

vo = ?

2,5 m.

v final = ? t ventana = 0,3s. hventana = 2,5m. a = g = 9,81m

LA CLAVE DEL PROBLEMA E MODIFICAR EL PUNTO DE REFERENCIA.

s2

Para empezar SITUAMOS EL PUNTO DE REFERENCIA EN LA VENTANA, donde sabemos el espacio que recorre y el tiempo que le lleva. Como es caída libre utilizaremos g. Profesor Juan J. Sanmartín

39

CONSIDERACIONES PREVIAS.- Antes de llegar al marco superior recorrió una distancia, le llamaremos h inicial que no sabemos. Tampoco sabemos la h final que recorrerá, pero si sabemos…

h −h 0 = 2,5m.

Es decir, si al espacio final (hasta el marco inferior de la ventana), le quitamos el espacio que va desde la cornisa al marco superior (espacio inicial) me queda la altura de la ventana. t E t Entonces…

1 1 2 h = h0 + v 0 ⋅ t ± g ⋅ t ⇒ h − h0 = v 0 ⋅ t + g ⋅ t 2 2 2 1 2,5 − 0,44 2,5 = v 0 ⋅ 0,3 + 9,81⋅ 0,32 → 2,5 = 0,3v 0 + 0,44 → v 0 = = 6,87 m s 2 0,3 Hemos calculado la velocidad con la que llega la pelota al marco superior de la venta a la que hemos llamado velocidad inicial puesto que solamente nos centramos en el paso por delante de la ventana. Profesor Juan J. Sanmartín

40

CAMBIAMOS SISTEMA DE REFERENCIA: Ahora nos centramos en el espacio que hay desde la cornisa hasta el marco superior de la ventana. C Consideramos id que parte de d 0 en la l cornisa i (velocidad ( l id d inicial) i i i l) y que la l velocidad l id d con la l que llega al marco superior de la ventana es la velocidad con la que inicio el movimiento anterior como es lógico, pero ahora pasa a ser la VELOCIDAD FINAL. Sabemos la velocidad en el marco superior de la ventana, como el espacio anterior también fue en caída libre, consideramos ahora esta velocidad inicial como la velocidad final del movimiento anterior que parte desde la cornisa con velocidad 0 hasta el marco superior de la ventana, a donde llega con la velocidad que hemos calculado. 2 6 , 87 v f2 = v 02 + 2 ⋅ g ⋅ h → 6,87 2 = 0 2 + 2 ⋅ 9,81 ⋅ h → h = = 2,4m. 9,81 ⋅ 2

Profesor Juan J. Sanmartín

41

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Cada una de las agujas del reloj describe ángulos iguales en tiempos iguales. Llevan un Movimiento Circular Uniforme (MCU).

U M.C.U. Un M C U tiene ti velocidad l id d constante t t y su Trayectoria T t i es una circunferencia. i f i En el S.I. se define el radián como el ángulo g cuyo arco es igual al radio. 360º = 2 π rad La relación entre el arco y el ángulo descritos en una circunferencia es: s = ϕ . R Profesor Juan J. Sanmartín

42

MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO Velocidad angular: Es el ángulo descrito por el móvil en la unidad de tiempo. En el S.I. se mide en rad/s.

ω=

ϕ t

Periodo: El periodo (T) es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa Se mide en segundos completa. segundos.

2π T= ω Frecuencia: La frecuencia (ν) es el número de vueltas que efectúa el móvil en la unidad de tiempo. Se mide en hercios (Hz) o s-1

υ=

1 T

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•La velocidad angular de una rueda es de 600 r.p.m. ¿Cuántas vueltas dará en 5 minutos? Si la rueda tiene 10 cm de diámetro, ¿cuánto vale

Relación M.C.U. y M.R.U.

s s[m. m ] → ϕ [rad. rad ] ⇒ s = ϕ ⋅ r(radio) → ϕ = r v rad. m v →ω ⇒ v = ω⋅r → ω = s s r s = s0 + v ⋅ t → ϕ = ϕ0 + ω ⋅ t

[ ]

[

]

Relación M.C.U.A. y M.R.U.A

a     rad. m a →α 2 ⇒ a = α ⋅r →α =  s 2   s  r 1 1 s = s0 + v 0 ⋅ t ± a ⋅ t 2 → ϕ = ϕ0 + ω0 ⋅ t ± α ⋅ t 2 2 2 v f = v 0 ± a ⋅ t → ωf = ω 0 ± α ⋅ t v f2 = v 02 ± 2 ⋅ a ⋅ s → ωf2 = ω02 ± 2 ⋅ α ⋅ ϕ Profesor Juan J. Sanmartín

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Problemas

Movimiento Ci l Circular Uniforme Profesor Juan J. Sanmartín

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Problema nº8 .- La velocidad angular de una rueda de 10 cm. de radio es de 600 r.p.m. Calcula la velocidad y el espacio angular al cabo de 5 min. Y el espacio y la velocidad lineal en un punto de la periferia en ese mismo tiempo. (1 revolución=1vuelta)

rev. 2πrd. rev rd 1min. 1min d ⋅ ⋅ = 20π rad ω = 600r.p.m. = 600 s min. 1rev. 60s. t = 5min. = 300s. ϕ = ϕ0 + ω ⋅ t = 0 + 20π ⋅ 300 = 6000 πrad. m s = ϕ ⋅ r = 6000 πrad ⋅ 0,1 0 1 = 1885m. 1885m  rad. r = 10cm. = 0,1m = 6,28 m . v = ω ⋅ r = 20π rad s ⋅ 0,1m rad. rad s

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Problema nº9 .- Una rebarbadora gira a 2500 revoluciones por minuto. Sabiendo que su disco tiene 12 cm. de diámetro. Calcula la velocidad angular y lineal del disco y el espacio lineal y angular recorrido por un punto de la periferia a los 2 min. (1 revolución=1vuelta)

d 1min. 1 i rev. 2πrd. ⋅ ⋅ = 83,3π rad ω = 2500r.p.m. = 2500 s min. 1rev. 60s. t = 2min. min = 120s. s ϕ = ϕ0 + ω ⋅ t = 0 + 83,3π ⋅ 120 = 9996 πrad. 12cm. cm = 0,06m → 2 m s = ϕ ⋅ r = 9996 πrad = 1884m. d ⋅ 0 0, 06  rad.  = 15,7 m . v = ω ⋅ r = 83,3π rad s ⋅ 0,06 m rad. rad s

d = 12cm. → r =

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ACELERACIÓN CENTRÍPETA En el M.C.U. la velocidad cambia de dirección en cada instante, luego existe aceleración, la aceleración centrípeta.

v2 ac = R Cuando viajamos en un vehículo y toma una curva, la tendencia es a salirnos de la curva. La aceleración centrípeta lo impide al tirar de nosotros hacia dentro de la curva. curva

Para una misma velocidad, cuanto mayor sea el radio de la curva, menor será la aceleración centrípeta.

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