LOS TRES PROBLEMAS CLASICOS DE LA MATEMATICA GRIEGA AUTORES: Francisco Florentino Miguel Angel Méndez Edgar Cristian Díaz David Alejo Iniestra José Luis Dominguez Valverde

En el V a .C. la matemática aún no se había sistematizado. No obstante, la labor de los pitagóricos había dejado dos saldos importantes, uno de carácter general: la exigencia de la demostración, y otro de carácter circunstancial: la consagración casi exclusiva de los matemáticos a las investigaciones geométricas. De ahí que los matemáticos del siglo v se dedicaron a la búsqueda de nuevas propiedades de las figuras, ya de carácter general: nuestros teoremas , ya de carácter particular: nuestras construcciones, que deben considerarse como “teoremas de existencia” pues para los antiguos construir una figura, partiendo de los elementos dados y con propiedades prefijadas, era demostrar que tal figura existe o, lo que es lo mismo, deducir su existencia de propiedades conocidas. Como las primeras figuras de las que partieron los griegos fueron la recta y la circunferencia, todas las proposiciones geométricas, fueran teoremas o construcciones , debían fundarse sobre esas dos figuras y sus relaciones o conexiones mutuas. Por su parte, y esta es otra de las características de las matemáticas del siglo, muchas de esas nuevas propiedades fueron logradas mediante la búsqueda y la persecución de algunos problemas particulares que, a manera de polos atrajeron la atención de los matemáticos. Esos problemas, hoy llamados los “problemas clásicos de la geometría”, fueron tres: la trisección del ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo. La división de un ángulo cualquiera en tres partes iguales mediante construcciones con rectas y circunferencias o, como suele también decirse, con regla y compás, es un problema que ha de ver nacido naturalmente y si llamo la atención fue seguramente por la desconcertante discrepancia entre la sencillez de sus términos y la imposibilidad de resolverlos con regla y compás; imposibilidad tanto más llamativa cuanto con esos medios podía dividirse un ángulo cualquiera en 2,4,6,8,... partes, mientras que podían trisectarse ángulos especiales como el recto y sus múltiplos. Es posible, además, que la construcción de polígonos

regulares contribuyera a aumentar el interés por el problema, pues así como la bisección de un ángulo permitía construir un polígono de doble número de lados de otro dado, la trisección hubiera permitido la de un polígono de triple número de lados. Sin embargo, todos los intentos de los matemáticos griegos para resolver el problema, en general, resultaron infructuosos cuando se pretendía utilizar las propiedades de una geometría fundada exclusivamente en las rectas y circunferencias y sus intersecciones, mientras que la cosa resultaba factible cuando esa geometría se agregaban nuevas líneas o se admitían nuevas posibilidades entre las líneas conocidas. El problema de la duplicación del cubo: determinar geométricamente el lado de un cubo de volumen doble del de un cubo de lado dado, ofrece otro cariz . Por lo pronto, varias leyendas le atribuyen un origen extramatemático. Una de ellas refiere que consultando el oráculo de Delfos a fin de aplacar una peste , habría aconsejado duplicar el ara de Apolo que era cúbica, de ahí el nombre de “problema de Delfos” con que a veces se le designa. Pero es posible que también en este caso su origen fuera geométrico, como natural generalización del problema de la duplicación del cuadrado, de fácil solución, sin más que tomar la diagonal como lado del cuadrado doble. Pero al trasladar el problema del plano al espacio, todos los intentos de resolver el problema con los medios ordinarios de la geometría resultaron vanos. En cuanto al problema de la cuadratura del círculo, surgió sin duda de la exigencia práctica de determinar el área conociendo su radio o su diámetro, y traduciéndose geométricamente en un problema de equivalencia: dado un segmento como radio de un círculo, determinar otro segmento como lado del cuadrado equivalente. Los pitagóricos habían resuelto el problema de la cuadratura de los polígonos, pero al pasar de los polígonos al círculo, el proceso resultaba inaplicable y, al igual que en los otros dos problemas clásicos, los intentos de “cuadrar el círculo”, sin acudir a recursos especiales, resultaron infructuosos. Son interesantes los intentos que en este sentido realizaron los sofistas Antifón y Brisón. El primero parte de la propiedad: es siempre posible, dado un polígono inscrito en un círculo, construir otro de doble número de lados, agregando que si el número de lados aumenta, el polígono se aproxima cada vez más al círculo; llegando a la conclusión de que, al ser todos los polígonos cuadrables, lo será en definitiva también el círculo, conclusión final falsa, pues, como ya observó

Aristóteles, por grande que sea el número de lados, el polígono jamás llenará el círculo. Brisón, por su parte, agregó a estas consideraciones las análogas referentes a los polígonos circunscritos, mostrando cómo las dos series de polígonos estrechan cada vez más al círculo, cuya área estará siempre comprendida entre la de dos polígonos: uno inscrito y otro circunscrito. Si Brisón llegó hasta aquí, aún sin resolver el problema, habría señalado la senda por la cual más tarde Arquímedes logrará notables resultados, pero sí, como se dice, agregó que el área del círculo es media proporcional entre la de los cuadrados inscrito y circunscrito, habría entonces cometido un error bastante grosero, aproximadamente del 10%. Con los problemas de Delos y de la cuadratura del círculo se vincula la figura de Hipócrates de Quíos, el primer matemático “profesional”, quien habiendo llegado a Atenas en la primera mitad del siglo por razones nada científicas, se interesó por la matemática y, siguiendo una probable tradición de mercader, enseñó esa ciencia por dinero de manera de los sofistas. Las contribuciones de Hipócrates son importantes; en el problema de la duplicación del cubo redujo la cuestión a un problema de geometría plana que, generalizado, tomó el nombre de “problema de mesolabio”, mientras que, sin lograr cuadrar el círculo, logró cuadrar recintos limitados por arcos de círculos, aparentemente más complicados que el círculo, que por su forma de luna creciente se los llamó “lúnulas de Hipócrates”.

LAS LUNULAS DE HIPOCRATES El matemático Hipócrates vivió en Atenas durante la segunda mitad del siglo V a.c.. A él se le atribuye la LAS LUNULAS DE HIPÓCRATES introducción del método indirecto de demostraciones en matemáticas . Su texto de geometría llamado los elementos se perdió. Hipócrates no hizo por supuesto la solución del problema de la cuadratura del circulo sino que él resolvió uno relacionado a esto: Calcular un area curvilínea que fuera igual a un area acotada por lineas rectas.

Area del semicírculo ABC / Area del semicírculo AEB = AC 2/AB2 = 2/1 Por lo tanto Area(s.c.)ABC = 2(Area(s.c.)AEB) AreaOADB = Area AEB Por otro lado Area AEB = Area(lunulaI) +Area(lunulaII) Area OADB = AreaTriang(OAB)+ Area(lunulaII) Ya que Area AEB = AreaOADB Entonces Area(lunulaI) + Area(lunulaII) = AreaTriang(OAB) + Area (lunulaII) Por lo tanto Area(lunulaI) = AreaTriang(OAB)

LA CUADRATURA DEL CIRCULO Es uno de los problemas matemáticos más antiguos. Entre los Babilonios y los Egipcios consistía en hallar una razón - expresable, obviamente, Por su logística entre el área de un circulo y la de un cuadrado inscrito o circunscrito. Las aproximaciones que habían obtenido con ese planteamiento les bastaba para sus necesidades. Según la tradición, uno de los primeros Griegos en dedicarse a este problema fue Anaxágoras, cuando estaba encarcelado. Después de el, Antifón el sofista intento realizar la cuadratura mediante inscripción de polígonos regulares en el circulo, con duplicación indefinida del numero de sus lados. Brisón dio un paso más al considerar a la vez los polígonos inscritos y los circunscritos. Se han perdido sus trabajos. Aristóteles, que es nuestra fuente de información los critica y halla en ellos paralogismos. Se le puede creer nos encontramos ante esos autores en una situación parecida a la que recordábamos hace un momento en el caso de Demócrito y el volumen de la pirámide razonamiento plausible, pero todavía mal, Fundamentados. Eudoxio rectifica los argumentos de Antifón y de Brisón igual Que había rectificado del de Demócrito, dándole fuerza demostrativa y prueba lo que desde hacia más de mil años admitían Babilonios y Egipcios a saber que los Círculos tienen entre ellos la misma razón que los cuadrados de sus diámetros . Hipócrates de Quios había descubierto en el siglo V tres lúnulas cuadrables por los procedimientos de aplicación de las áreas, o sea, mediante regla y compás no se sabe si el problema de la cuadratura del circulo asumió el sentido preciso según el cual más tarde se recuerda irresoluble ya antes de Hipócrates de Quios después de el y siguiendo su ejemplo. En todo caso el problema sigue siendo célebre en esa forma restringida construir un cuadrado equivalente a un circulo dado mediante un número finito de trazados de rectas y de círculos. El problema seguía siendo imposible como presentían los matemáticos, pero sin poderlo demostrar hasta finales del siglo XIX. Bajo este respecto resultara posible el problema, una vez identificado con el de la rectificación de la circunferencia. Arquímedes demuestra esa rectificación la cual sin duda se admitía mucho antes que él. El problema así entendido es tratado por Arquímedes pero acaso lo fuera ya por Dinostrato en el siglo IV: pero los testimonios son tardíos. Según ellos Dinostrato ha utilizado la curva llamada la cuadratiz a causa de eso uso curvas que parece inventada por el sofista Hippias para la división del ángulo.

CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPAS Desde los tiempos de Euclides existe un juego geométrico que llama la atención a quienes lo practican, por varias razones: una, el reto intrínseco que implica; otra la simplicidad de los instrumentos con que se practica y, finalmente, una tercera no menos importante: quien lo juega es su propio adversario. En este juego, se trata de construir figuras geométricas únicamente con regla y compás. La palabra construir, requiere una aclaración: en este caso no se refiere a la construcción física, sino a tratar de mostrar, razonando, la posibilidad o imposibilidad de que tal o cual figura pueda construirse con regla y compás. A continuación, se dan algunos ejemplos. Ejemplo 1 Dado un segmento AB, si con un compás se trazan dos circunferencias, una con centro A, la otra con centro B y ambas con radio segmento AB, se intersecan. Ahora, con una regla se puede trazar la recta que pasa por estos puntos en que se cortan las circunferencias. Esta recta resulta perpendicular al segmento y, además, Pasa por el punto medio del mismo (Fig 1).

Este argumento muestra que con regla y compás puede hallarse el punto medio de un segmento, y también traza la mediatriz del mismo. Otro aspecto que evidencia este argumento, y que es un ingrediente del juego, Consiste en que la regla se usa para trazar rectas o segmentos que pase o unan Puntos dados, en ningún momento se utilizan ésta para medir.

Ejemplo2 Dado un ángulo ABC, con centro en el vértice B y cualquier radio, se traza un arco que corte los lados del ángulo; si M y N son los puntos en que el arco corta los lados de