Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie Andreas Maletti

9. Januar 2015

¨ Uberblick

Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik ¨ Aquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften Resolution 3

Pr¨adikatenlogik Syntax und Semantik ¨ Aquivalenz und Normalformen Herbrand-Theorie Unifikation und Resolution

4

Ausblick

Vorlesungsziele heutige Vorlesung 1

Erf¨ ullbarkeits¨aquivalenz der Skolemform

2

Herbrand-Strukturen ¨ wenheim und Skolem Satz von Lo

3

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¨ Uberblick

Organisation

Organisation Pr¨ ufung am 17.02.2015 um 13:00 Uhr im HS 3 1 DIN-A4-Blatt mit Notizen als Hilfsmittel zugelassen (beliebig beschrieben oder bedruckt) keine weiteren Hilfsmittel zugelassen Abmeldung noch bis 25. Januar m¨ oglich Tutorium keine Vorlesung am 6. Februar 2015 (letzte VL-Woche) stattdessen Tutorium (6. Februar 2015 um 11 Uhr im Hs. 5) (wir beantworten Ihre Fragen)

Pr¨adikatenlogik

Wiederholung: Skolemform

Pr¨adikatenlogik

Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik ¨ Aquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften Resolution 3

Pr¨adikatenlogik Syntax und Semantik ¨ Aquivalenz und Normalformen Herbrand-Theorie Unifikation und Resolution

4

Ausblick

Pr¨adikatenlogik — Wiederholung

Definition (Wiederholung) Eine Formel F ∈ F ist bereinigt, gdw. keine Variable gleichzeitig frei und gebunden in F vorkommt FV(F ) ∩ GV(F ) = ∅ und alle Quantoren verschiedene Variablen binden

in Pr¨anexform gdw. F = Q1 xi1 Q2 xi2 · · · Qn xin G mit Q1 , . . . , Qn ∈ {∀, ∃} n, i1 , . . . , in ∈ N und G enth¨alt keine Quantoren

in bereinigter Pr¨anexform gdw. sie bereinigt und in Pr¨anexform ist.

Pr¨adikatenlogik — Wiederholung

Skolem-Transformation Sei F eine Formel in bereinigter Pr¨anexform. 1

falls F keinen Existenzquantor enth¨alt, liefere F

2

sei F = ∀xi1 · · · ∀xin ∃xi G f¨ ur G in bereinigter Pr¨anexform und n∈N (n = 0 zul¨assig und G kann Quantoren enthalten)

3 4

/ Symbole(F ) ein neues n-stelliges Funktionssymbol sei fjn ∈ setze F ← ∀xi1 · · · ∀xin G [xi 7→ fjn (xi1 , . . . , xin )] und zu 1 (entferne Existenzquantor und ersetze xi durch f (xi1 , . . . , xin ))

Terminiert und jedes Resultat heißt Skolemform von F .

Pr¨adikatenlogik — Wiederholung

Beispiel Formel in bereinigter Pr¨anexform 

 ∀u∃x∀y ∃z P u, f (x, a), g (z) → P x, u, g (y ) nach 1. Schleifendurchlauf 

 ∀u∀y ∃z P u, f (g 0 (u), a), g (z) → P g 0 (u), u, g (y ) nach 2. Schleifendurchlauf 

 ∀u∀y P u, f (g 0 (u), a), g (f 0 (u, y )) → P g 0 (u), u, g (y )

Pr¨adikatenlogik

Beweis f¨ ur Skolemform

Pr¨adikatenlogik — Skolemform ¨ Uberf¨ uhrungslemma Sei F ∈ F eine Formel, i ∈ N und t ∈ T ein Term mit Var(t) ∩ GV(F ) = ∅. (t enth¨alt keine gebundene Variable von F ) F¨ ur jede Interpretation I = (U, ·I ) gilt: (F [xi 7→ t])I = F I [xi 7→t

I]

Beweis (1/5). Da die Aussage Terme betrifft beweisen wir zun¨achst die I korrespondierende Aussage (u[xi 7→ t])I = u I [xi 7→t ] f¨ ur alle Terme u ∈ T per Induktion. I [xi 7→t I ]

Sei u = xi . Dann ist (u[xi 7→ t])I = t I = xi Sei u = xj mit j ∈ N und j 6= i. Dann ist I [xi 7→t I ]

(u[xi 7→ t])I = xjI = xj

.

.

Pr¨adikatenlogik — Skolemform Beweis (2/5). Da die Aussage Terme betrifft beweisen wir zun¨achst die I korrespondierende Aussage (u[xi 7→ t])I = u I [xi 7→t ] f¨ ur alle Terme u ∈ T per Induktion. Sei u = fjk (t1 , . . . , tk ) mit j, k ∈ N und t1 , . . . , tk ∈ T . Dann ist
I (u[xi 7→ t])I = fjk (t1 [xi 7→ t], . . . , tk [xi 7→ t])
= (fjk )I (t1 [xi 7→ t])I , . . . , (tk [xi 7→ t])I I I [x 7→t I ] I [x 7→t I ]
(IH) , . . . , tk i = (fjk )I [xi 7→t ] t1 i
I [x 7→t I ] = fjk (t1 , . . . , tk ) i = u I [xi 7→t

I]

Pr¨adikatenlogik — Skolemform Beweis (3/5). Jetzt k¨onnen wir die eigentliche Aussage per Induktion beweisen: Sei F = Rjk (t1 , . . . , tk ) mit j, k ∈ N und t1 , . . . , tk ∈ T . Dann gilt (F [xi 7→ t])I = 1
I gdw. Rjk (t1 [xi 7→ t], . . . , tk [xi 7→ t]) = 1
gdw. (t1 [xi 7→ t])I , . . . , (tk [xi 7→ t])I ∈ (Rjk )I I I [x 7→t I ] I [x 7→t I ]
gdw. t1 i , . . . , tk i ∈ (Rjk )I [xi 7→t ]
I [x 7→t I ] gdw. Rjk (t1 , . . . , tk ) i =1 I

gdw. F I [xi 7→t ] = 1

(HA)

Pr¨adikatenlogik — Skolemform Beweis (4/5). Jetzt k¨onnen wir die eigentliche Aussage per Induktion beweisen: Sei F = ¬G mit G ∈ F. Dann gilt
I (F [xi 7→ t])I = 1 gdw. ¬G [xi 7→ t] = 1
I I gdw. G [xi 7→ t] = 0 gdw. G I [xi 7→t ] = 0
I [x 7→t I ] I = 1 gdw. F I [xi 7→t ] = 1 gdw. ¬G i

(IH)

Sei F = F1 ◦ F2 mit F1 , F2 ∈ F und ◦ ∈ {∧, ∨}. Dann gilt (F [xi 7→ t])I = 1
I gdw. F1 [xi 7→ t] ◦ F2 [xi 7→ t] = 1
I
I und gdw. F1 [xi 7→ t] = 1 F2 [xi 7→ t] = 1 oder I und I [x 7→t ] I [x 7→t I ] gdw. F1 i =1 F2 i =1 (IH) oder
I [x 7→t I ] I gdw. F1 ◦ F2 i = 1 gdw. F I [xi 7→t ] = 1

Pr¨adikatenlogik — Skolemform Beweis (5/5). Jetzt k¨onnen wir die eigentliche Aussage per Induktion beweisen: Sei F = ∃xj G mit G ∈ F und j ∈ N mit xj ∈ / Var(t). Sei i = j. Dann gilt I

(F [xi 7→ t])I = (∃xi G )I = (∃xi G )I [xi 7→t ] = F I [xi 7→t

I]

Sonst gilt
I (F [xi 7→ t])I = 1 gdw. ∃xj G [xi 7→ t] = 1
I [x 7→u] gdw. u ∈ U existiert mit G [xi 7→ t] j =1 I

gdw. u ∈ U existiert mit G I [xj 7→u] [xi 7→t ] = 1 I [xi 7→t I ] [xj 7→u]

gdw. u ∈ U existiert mit G =1
I [xi 7→t I ] I gdw. ∃xj G = 1 gdw. F I [xi 7→t ] = 1 F = ∀xj G mit G ∈ F und j ∈ N mit xj ∈ / Var(t) analog

(IH)

Pr¨adikatenlogik — Skolemform

Theorem Sei F ∈ F eine Formel in bereinigter Pr¨anexform und F 0 eine zugeh¨orige Skolemform. Dann sind F und F 0 erf¨ ullbarkeits¨aquivalent. Beweis (1/4). Wir beweisen diese Aussage f¨ ur jeden Iterationsschritt der Skolem-Transformation. Sei F = ∀xi1 · · · ∀xin ∃xi G in Schritt und F 0 = ∀xi1 · · · ∀xin G [xi 7→ fjn (xi1 , . . . , xin )] die neue Formel in Schritt

4

2

. Wir zeigen Erf¨ ullbarkeits¨aquivalenz.

Pr¨adikatenlogik — Skolemform Beweis (2/4). Sei F 0 erf¨ ullbar. Dann existiert eine Interpretation I = (U, ·I ) mit 0 I |= F . Folglich gilt
I [x 7→u ]···[xin 7→un ] G [xi 7→ fjn (xi1 , . . . , xin )] i1 1 =1 ¨ f¨ ur alle u1 , . . . , un ∈ U. Mit Hilfe des Uberf¨ uhrungslemmas erhalten wir G I [xi1 7→u1 ]···[xin 7→un ] [xi 7→u] = 1
I [x 7→u ]···[xin 7→un ] = (fjn )I (u1 , . . . , un ) f¨ ur mit u = fjn (xi1 , . . . , xin ) i1 1 alle u1 , . . . , un ∈ U. Also existiert f¨ ur alle u1 , . . . , un ∈ U ein u ∈ U, so dass G I [xi1 7→u1 ]···[xin 7→un ] [xi 7→u] = 1 und damit
I ∀xi1 · · · ∀xin ∃xi G = F I = 1 womit I |= F und F erf¨ ullbar ist.

Pr¨adikatenlogik — Skolemform Beweis (3/4). Sei F erf¨ ullbar. Dann existiert Interpretation I = (U, ·I ) mit I |= F . F¨ ur alle u1 , . . . , un ∈ U existiert u = vu1 ,...,un ∈ U, so dass G I [xi1 7→u1 ]···[xin 7→un ] [xi 7→u] = 1 Sei h : U n → U, so dass h(u1 , . . . , un ) = vu1 ,...,un . Wir definieren die Interpretation J = (U, ·J ) mit (fjn )J = h

(¨andern nur dieses Funktionssymbol)

(f`m )J = (f`m )I f¨ ur alle `, m ∈ N mit (`, m) 6= (j, n) und x`J = x`I und (R`m )J = (R`m )I f¨ ur alle `, m ∈ N.

Pr¨adikatenlogik — Skolemform Beweis (4/4). Es gilt (denn fjn kommt nicht in G vor) f¨ ur alle u1 , . . . , un ∈ U G J[xi1 7→u1 ]···[xin 7→un ] [xi 7→h(u1 ,...,un )] = 1 und damit auch G J[xi1 7→u1 ]···[xin 7→un ] [xi 7→(fj

n (x ,...,x ))J[xi1 7→u1 ]···[xin 7→un ] ] i1 in

=1

¨ Mit Hilfe des Uberf¨ uhrungslemmas gilt also
J[x 7→u ]···[xin 7→un ] =1 G [xi 7→ fjn (xi1 , . . . , xin )] i1 1 f¨ ur alle u1 , . . . , un ∈ U und damit
J ∀xi1 · · · ∀xin G [xi 7→ fjn (xi1 , . . . , xin )] = (F 0 )J = 1 womit J |= F 0 und F 0 erf¨ ullbar ist.

Pr¨adikatenlogik — Skolemform

Notizen jedes Modell der Skolemform ist auch Modell der Ausgangsformel die Umkehrung gilt nicht F = ∃xP(x)

und

F 0 = P(a)

F 0 ist Skolemform von F , aber aI ∈ / P I ist in Modellen I von F m¨ oglich Skolemform und Ausgangsformel sind nur erf¨ ullbarkeits¨aquivalent

Pr¨adikatenlogik

Konjunktive Normalform

Pr¨adikatenlogik — Konjunktive Normalform Definition Eine Formel F ∈ F ist ein Disjunktionsglied gdw. F = L1 ∨ · · · ∨ Ln f¨ ur Literale L1 , . . . , Ln . Definition Eine Aussage F ∈ F ist in konjunktiver Normalform gdw. F = ∀xi1 · · · ∀xin G wobei G = D1 ∧ · · · ∧ Dk f¨ ur Disjunktionsglieder D1 , . . . , Dk . (G ist in “klassischer” konjunktiver Normalform mit pr¨adikatenlogischen Atomen; keine Quantoren in G )

Pr¨adikatenlogik — Konjunktive Normalform Beispiele in konjunktiver Normalform: 

 ∀u∀y ¬P u, f (g 0 (u), a), g (f 0 (u, y )) ∨ P g 0 (u), u, g (y ) 
 ∀x∀y P(x, y ) ∧ R y , f (b, g (x))   ∀x P(x) ∨ R(a, x) nicht in konjunktiver Normalform:   ∀u∀y P(a, x) → ∃zR(x, y , z) 
 ∀x∀y Q(x) ∨ P(x, y ) ∧ R(y , g (x))   ∀x¬ P(x) ↔ R(a, x)

Pr¨adikatenlogik — Konjunktive Normalform

Theorem Sei F ∈ F eine Formel mit freier Variable x ∈ FV(F ). Dann sind F und ∃xF erf¨ ullbarkeits¨aquivalent. Beweis. (←) Sei ∃xF erf¨ ullbar. Dann existiert ein Modell I = (U, ·I ) von ∃xF . Also existiert u ∈ U, so dass F I [x7→u] = 1. Damit ist I [x 7→ u] ein Modell f¨ ur F und F erf¨ ullbar. (→) Sei nun F erf¨ ullbar vermittels des Modells I = (U, ·I ). I Offenbar gilt I = I [x 7→ x I ] und damit F I = F I [x7→x ] = 1. Also existiert u = x I ∈ U, so dass F I [x7→u] = 1 und daraus folgt (∃xF )I = 1. Also ist ∃xF erf¨ ullbar.

Pr¨adikatenlogik — Konjunktive Normalform

Transformation in konjunktive Normalform Sei F ∈ F eine beliebige Formel. 1

Transformiere F in Negationsnormalform und bereinige das Ergebnis

liefert F1

2

Seien FV(F1 ) = {xi1 , . . . , xin } die freien Variablen von F1 . Setze F2 = ∃xi1 · · · ∃xin F1

3

Transformiere F2 in Pr¨anexform und danach in Skolemform

4

liefert F3

Sei F3 = ∀xj1 · · · ∀xjk G , so dass G keine Quantoren mehr enth¨alt. Transformiere G in konjunktive Normalform G 0 (wie bisher) und setze F4 = ∀xj1 · · · ∀xjk G 0 .

Pr¨adikatenlogik — Konjunktive Normalform

Negationsnormalform

Erh¨alt ¨ 1 Aquivalenz (NNF) ¨ 2 Aquivalenz (Bereinigen)

Bereinigen 3 4

Binden freier Var.

5 6

Pränexform

Skolemform

konj. Normalform

Erf¨ ullbarkeit (Binden) ¨ Aquivalenz (Pr¨anexform) Erf¨ ullbarkeit (Skolemform) ¨ Aquivalenz (KNF per Distr.) Erf¨ ullbarkeit (KNF per Tseitin)

Notiz selbst im Idealfall ist die konj. Normalform nur erf¨ ullbarkeits¨aquivalent zur Ausgangsformel

Pr¨adikatenlogik — Konjunktive Normalform Beispiele Welche der folgenden Formeln sind bereinigt, in Pr¨anexform, in Skolemform, in konjunktiver Normalform?
∀x Q(x) → P(x) in Skolemform (bereinigter Pr¨anexform)
∃x∀y ∃z P(x, y ) ∧ R(x, f (a, y , z)) in bereinigter Pr¨anexform
∀x∀y P(x, y ) ∧ P(y , x) in konjunktiver Normalform
∀x∀y (P(x, a) ∨ R(x, y )) ∧ R(y , z) in Skolemform (bereinigter Pr¨anexform)
∀x (P(x, a) ∨ ∀yR(x, y )) ∧ R(a, x) bereinigt, aber nicht in Pr¨anexform
P(a, b) ∧ P(a, c) ∧ R(a, b, c) in konjunktiver Normalform

Pr¨adikatenlogik

Herbrand-Theorie

¨ Uberblick

Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik ¨ Aquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften Resolution 3

Pr¨adikatenlogik Syntax und Semantik ¨ Aquivalenz und Normalformen Herbrand-Theorie Unifikation und Resolution

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Ausblick

Pr¨adikatenlogik — Herbrand-Theorie

Motivation typische Schwierigkeit bei Modellkonstruktion zu viele Freiheitsgrade Universum Interpretation der Variablen Interpretation der Funktionssymbole Interpretation der Relationssymbole

falsche Wahl einer Komponente kann Modelle unm¨ oglich machen (Formeln die nur Modelle mit unendlichem Universum haben) → “Standard”-Modelle

Pr¨adikatenlogik — Herbrand-Theorie Definition Sei F ∈ F eine Aussage in Skolemform und sei  [  H = {f00 } ∪ Symbole(F ) ∩ Sk k∈N

(Menge der in F vorkommenden Funktionssymbole und f00 ) Das Herbrand-Universum H(F ) von F ist H(F ) = {t ∈ T | Funk(t) ⊆ H, Var(t) = ∅} (Menge aller variablenfreien Terme mit Funktionssymbolen aus H) Jacques Herbrand (∗ 1908; † 1931) franz. Mathematiker und Logiker bester “Abituriant” in 1925 verungl¨ uckte t¨odlich beim Bergsteigen

Pr¨adikatenlogik — Herbrand-Theorie Beispiele
Aussage F1 = ∀x∀y P(x, y ) → P(y , x) H(F1 ) = {f00 } Aussage F2 = ∀xP(x, f (x)) H(F2 ) = {f00 , f (f00 ), f (f (f00 )), . . . }
Aussage F3 = ∀x∀y P(x, a) → P(f (x), g (y )) H(F3 ) = {f00 , f (f00 ), f (f (f00 )), . . . , a, f (a), f (f (a)), . . . } ∪ {g (f00 ), g (g (f00 )), . . . , g (a), g (g (a)), . . . } {g (f (f00 )), f (g (f00 )), . . . , g (f (a)), f (g (a)), . . . }

Pr¨adikatenlogik — Herbrand-Theorie Definition Sei I = (U, ·I ) eine Interpretation und F ∈ F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt I Herbrand-Struktur f¨ ur F gdw. U = H(F ) (xi

)I

=

f00

(Universum = Herbrand-Universum) f¨ ur alle i ∈ N

f¨ ur alle i, k ∈ N und u1 , . . . , uk ∈ U ( f k (u1 , . . . , uk ) (fi k )I (u1 , . . . , uk ) = i 0 f0

falls fi k ∈ Symbole(F ) sonst

Notizen Interpretation eines Terms des Herbrand-Universums liefert Term selbst u I = u f¨ ur alle u ∈ U Herbrand-Struktur f¨ ur F ist Herbrand-Modell f¨ ur F gdw. sie Modell f¨ ur F ist

Pr¨adikatenlogik — Herbrand-Theorie Theorem (Fundamentalsatz der Pr¨adikatenlogik) Sei F ∈ F eine Aussage in Skolemform. F ist erf¨ ullbar gdw. F ein Herbrand-Modell besitzt. Beweis (1/3). Wir beweisen wie u ¨blich beide Richtungen. (←) Wenn F ein Herbrand-Modell hat, dann hat F ein Modell und ist daher erf¨ ullbar. (→) Sei F erf¨ ullbar und I = (U, ·I ) ein Modell f¨ ur F . Wir definieren nun eine Herbrand-Struktur J = (H(F ), ·J ), wobei die Interpretation der Variablen und Funktionen bereits gekl¨art sind. Es fehlt die Interpretation der Relationssymbole. Seien i, k ∈ N. Wir setzen (Rik )J = {(u1 , . . . , uk ) ∈ H(F )k | (u1I , . . . , ukI ) ∈ (Rik )I }

Pr¨adikatenlogik — Herbrand-Theorie Beweis (2/3). zu zeigen: J ist ein Modell f¨ ur F . Wir beweisen per Induktion u ¨ber die Anzahl der Quantoren in G , dass ‘J |= G falls I |= G ’ f¨ ur alle Aussagen G in Skolemform mit Symbole(G ) ⊆ Symbole(F ) ∪ {f00 }. Induktionsanfang: Falls G keine Quantoren enth¨alt, dann zeigen wir G I = G J per Induktion u ¨ber G : ur i, k ∈ N und Induktionsanfang: Sei G = Rik (t1 , . . . , tk ) f¨ t1 , . . . , tk ∈ T . Da G eine Aussage ist und keine Quantoren enth¨alt, gilt FV(G ) ∪ GV(G ) = ∅ (d.h. G enth¨alt keine Variablen). Es gilt daher G I = 1 gdw. (t1I , . . . , tkI ) ∈ (Rik )I gdw.

(t1 , . . . , tk ) ∈ (Rik )J

gdw.

(t1J , . . . , tkJ ) ∈ (Rik )J

gdw. G J = 1

Induktionsschritt: Sei G = ¬G1 f¨ ur G1 ∈ F. Dann gilt IH

G I = 1 − G1I = 1 − G1J = G J Analog f¨ ur G = G1 ◦ G2 mit ◦ ∈ {∧, ∨} und G1 , G2 ∈ F

Pr¨adikatenlogik — Herbrand-Theorie Beweis (3/3). zu zeigen: J ist ein Modell f¨ ur F . Wir beweisen per Induktion u ¨ber die Anzahl der Quantoren in G , dass ‘J |= G falls I |= G ’ f¨ ur alle Aussagen G in Skolemform mit Symbole(G ) ⊆ Symbole(F ) ∪ {f00 }. Induktionsschritt: Sei G = ∀xi G1 mit i ∈ N und G1 ∈ F. I [x 7→u] Gem¨aß Annahme ist G I = 1 und damit G1 i = 1 f¨ ur alle I [x 7→t I ]

u ∈ U. Da {t I | t ∈ H(F )} ⊆ U gilt auch G1 i = 1 f¨ ur ¨ uhrungslemma gilt also alle t ∈ H(F ). Nach dem Uberf¨ (G1 [xi 7→ t])I = 1. F¨ ur jedes t ∈ H(F ) ist G 0 = G1 [xi 7→ t] eine Aussage in Skolemform mit echt weniger Quantoren als G und Symbole(G 0 ) ⊆ Symbole(F ) ∪ {f00 }. Da I ein Modell f¨ ur G 0 ist, ist auch J ein Modell f¨ ur G 0 f¨ ur jedes t ∈ H(F ) nach Induktionshypothese (d.h. (G1 [xi 7→ t])J = 1). J[x 7→t J ] J[x 7→t] ¨ = 1 f¨ ur Das Uberf¨ uhrungslemma liefert G1 i = G1 i alle t ∈ H(F ). Also gilt auch G J = 1. Also gilt die Hilfsaussage. Da F I = 1, gilt auch F J = 1.

Pr¨adikatenlogik — Herbrand-Theorie

Notizen Beweis funktioniert nur f¨ ur Aussagen (siehe Induktionsanfang, da sonst freie Variablen existieren k¨ onnen) Beweis funktioniert nur f¨ ur Skolemform (sonst g¨abe es im Induktionsschritt noch Existenzquantoren) um die Erf¨ ullbarkeit zu zeigen, reicht also die Untersuchung von Herbrand-Strukturen in Herbrand-Strukturen ist nur die Wahl der Interpretation von Relationssymbolen frei jede Formel kann in eine erf¨ ullbarkeits¨aquivalente Aussage in Skolemform umgewandelt werden

Pr¨adikatenlogik — Herbrand-Theorie

Definition Eine Menge M ist abz¨ahlbar gdw. eine Injektion h : M → N existiert

Theorem F¨ ur jede Aussage F ∈ F in Skolemform ist H(F ) abz¨ahlbar Beweis. ¨ In der Ubung

Pr¨adikatenlogik — Herbrand-Theorie ¨ wenheim und Skolem) Theorem (Satz von Lo Jede erf¨ ullbare Formel F ∈ F hat ein Modell I = (U, ·I ), so dass U abz¨ahlbar ist Beweis. Wir transformieren F zun¨achst in eine erf¨ ullbarkeits¨aquivalente Aussage G in Skolemform (siehe Transformation in konjunktive Normalform). Also ist auch G erf¨ ullbar und damit existiert ein Herbrand-Modell J = (H(G ), ·J ) f¨ ur G . Gem¨aß Anmerkung ist jedes Modell der Skolemform auch Modell der Ausgangsformel. Ebenso sind F 0 und ∃xi F 0 erf¨ ullbarkeits¨aquivalent und jedes Modell der einen Formel liefert ein Model u ¨ber dem gleichen Universum f¨ ur die andere Formel. Also hat F ein Modell mit Universum H(G ) und damit ein Modell mit abz¨ahlbarem Universum.

Pr¨adikatenlogik — Herbrand-Theorie

¨ wenheim (∗ 1878; † 1957) Leopold Lo dtsch. Mathematiker und Logiker Hitler erzwang seinen R¨ ucktritt ( 43 -Arier) Hauptresultat zun¨achst Paradoxon

Pr¨adikatenlogik — Herbrand-Theorie

Beispiel
Formel F = ∀x∀y P(x, y ) → P(y , z)
Aussage ∃z∀x∀y P(x, y ) → P(y , z)
Aussage in Skolemform G = ∀x∀y P(x, y ) → P(y , f00 ) H(G ) = {f00 } es gibt es also nur 2 relevante Herbrand-Strukturen (entweder gilt P I = ∅ oder P I = {(f00 , f00 )}) (formal gibt es unendlich viele Herbrand-Strukturen f¨ ur G ) beide sind Modelle von G ; also ist F erf¨ ullbar

Zusammenfassung

Erf¨ ullbarkeits¨aquivalenz der Skolemform Herbrand-Strukturen ¨ wenheim und Skolem Satz von Lo

¨ Sechste Ubungsserie ist bereits verf¨ ugbar.