INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ATITALAQUIA
CÁLCULO INTEGRAL
M.C. MARCOS CAMPOS NAVA
LA INTEGRAL DEFINIDA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA Anteriormente se ha dicho que la integral definida equivale a encontrar el valor del área comprendida entre la gráfica de una función y el eje “x”, la cual puede ser calculada por medio del método conocido como “Sumas de Riemann” que consiste en calcular el área de “n” rectángulos con la misma medida de base, inscritos en dicha área. Posteriormente al calcular el límite de la suma de las áreas de todos los rectángulos cuando el número de rectángulos tiende al infinito, (equivalente a decir que la base de los rectángulos tiende a cero), con lo cual se considera que el error es infinitamente pequeño, se obtiene el área exacta. Lo anterior se representa de la siguiente manera: 𝑛
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑛
𝑎
∞
𝑓(𝑥𝑖 )Δ𝑥 𝑖=1
En donde: Δ𝑥 =
𝑏−𝑎 ; 𝑛
𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖Δ𝑥
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El anterior algoritmo da como resultado la integral definida de una función. Ahora trataremos de establecer el concepto de la integral indefinida de una función. Es algo natural pensar que si uno de los límites de integración (“a” o “b”) cambia, el valor del área o de la integral también cambiará, en la siguiente figura se trata de ejemplificar este hecho:
Como se puede observar, en la segunda imagen el valor de “b” cambió, se desplazó un poco a la derecha con respecto a la posición que tiene en la primer figura, esto ocasiona que evidentemente el área entre la gráfica de la función y el eje “x” también cambie, es decir, cambiaría el valor de la integral definida; en otras palabras, es natural pensar que puede existir una función que describa cómo varía el área bajo la curva; esta otra función, es la llamada integral indefinida. Nos planteamos ahora determinar la integral indefinida para una función muy sencilla, por ejemplo para una función constante, por ejemplo para 𝑓 𝑥 = 𝑘; 𝑘 ∈ ℝ; cuya gráfica evidentemente es una recta paralela al eje “x” que pasa por “y=k”; los límites de integración, es decir el intervalo en el que se desea calcular el área es [a,b], asignemos a=0 como un valor fijo y b=x como un valor variable:
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Apliquemos el criterio de las sumas de Riemann: Δ𝑥 =
𝑏−𝑎 𝑥−0 𝑥 = = 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
𝑥
𝐴=
𝑘𝑑𝑥 = lim ∞
𝑜
𝑘 𝑖=1
𝑥𝑖 = 0 + 𝑖
𝑥 𝑥 = lim ∞ 𝑛 𝑛
𝑥 𝑖𝑥 = 𝑛 𝑛
𝑛
𝑘 = 𝑖=1
𝑥 𝑛𝑘 = 𝑘𝑥 𝑛
De donde se concluye que la integral definida de una función constante, en este caso representada por 𝑓 𝑥 = 𝑘 es una función de tipo lineal de la forma 𝑘𝑥.
Planteemos lo mismo para la función lineal 𝑓 𝑥 = 𝑥, busquemos el área bajo su curva desde cero hasta cualquier valor “x” de su dominio, es decir la integral en el intervalo *0,x+, que gráficamente se puede representar así:
De nueva cuenta si procedemos por Sumas de Riemann:
Δ𝑥 = 𝑛
𝑥
𝐴=
𝑥𝑑𝑥 = lim 𝑜
∞
𝑖=1
𝑖𝑥 𝑛
𝑏−𝑎 𝑥−0 𝑥 = = 𝑛 𝑛 𝑛 𝑥 𝑥2 = lim 2 ∞ 𝑛 𝑛
𝑥𝑖 = 0 + 𝑖
𝑛
𝑖 = lim 𝑖=1
∞
𝑥 𝑖𝑥 = 𝑛 𝑛
𝑥 2 𝑛2 + 𝑛 𝑥2 𝑥2 𝑥2 = lim + = ∞ 2 𝑛2 2 2𝑛 2
Recordando que al plantear la suma, “x” se comporta como constante, la variable es “i” El resultado anterior indica que el área bajo la curva f(x)=x se comporta como una función cuadrática.
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Análogamente para la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 su integral desde el origen hasta cualquier valor de “x” se puede representar gráficamente de la siguiente manera:
El cálculo del área se puede plantear nuevamente por sumas de Riemann de la siguiente forma: Δ𝑥 = 𝑥
𝐴=
𝑏−𝑎 𝑥−0 𝑥 = = 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 2
𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑜
∞
𝑖 =1
𝑥𝑖 = 0 + 𝑖
𝑖 2 𝑥2 𝑛2
𝑥 𝑖𝑥 = 𝑛 𝑛
𝑥 𝑥3 = lim 3 ∞ 𝑛 𝑛
𝑛
𝑖2 𝑖=1
Que al sustituir el valor de la suma de los cuadrados de los números naturales, arroja como resultado que el área buscada es
𝑥3 3
.
A manera de resumen podemos decir: 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥;
𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2 2
;
𝑥 2 𝑑𝑥 =
𝑥3 3
Es decir, el área bajo la curva de una función constante varía como una función lineal; el área bajo la curva de una función lineal varía como una función cuadrática y el área bajo la curva de una función cuadrática varía como una función cúbica. Es fácil notar además: 𝑑 𝑘𝑥 = 𝑘; 𝑑𝑥
𝑑 𝑥2 = 𝑥; 𝑑𝑥 2
𝑑 𝑥3 = 𝑥2 𝑑𝑥 3
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Es decir, si se deriva el resultado de la integral se regresa a la función original, en otras palabras hay una relación estrecha entre el proceso llamado integración y el de la derivada de una función: se comportan como operaciones “inversas” y este hecho lo podemos representar así: 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 ;
𝑑 𝑓 𝑥 = 𝐹(𝑥) 𝑑𝑥
Es decir, si la integral de la función 𝐹 𝑥 es otra función 𝑓 𝑥 , se debe cumplir que la derivada de la función 𝑓 𝑥 debe ser 𝐹 𝑥 . A la función 𝑓 𝑥 que cumple esta condición, se le llama la integral indefinida de la función 𝐹 𝑥
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