5. INTEGRALES 5.1 Integral indefinida Al igual que la derivada, el concepto de integral surge como una herramienta de la mecánica clásica desarrollada fundamentalmente por Newton y Leibnitz. La aplicación y el uso de cálculo dentro de las propias matemáticas no solo se ha concretado en pocas aplicaciones sino que han dado formalidad a un sin número de áreas, tales como la sociología, la antropología, la física, la psicología y las ciencias biológicas en las que las aplicaciones ha versado entre el crecimiento de poblaciones hasta ser elementos clave en la interpretación de fenómenos. Una de las nociones fundamentales de la integral representa el área bajo la curva. La forma más sencilla de hacerlo es una aproximación del área con rectángulos f(x)

A

x

Dividiendo el área en rectángulos por arriba o por debajo de la curva, se puede lograr una buena aproximación, y esta será cada vez más próxima entre más pequeña sea la longitud del los rectángulos. El área de cualquier rectángulo es base por altura. Para cualquiera de los casos anteriores, podemos considerar el área del primer rectángulo como ∆x1f(x1): A1 = ∆x1f(x1)

A1 = ∆x1f(x1)

Para el segundo rectángulo se tendría: A2 = ∆x1f(x2) Si sumamos todas las áreas de la curva tendríamos: n

n

AT = ∑Ai = ∑∆xif(xi) i =1

i =1

Esta área es una aproximación del área bajo la curva que puede aproximarse mejor si hacemos crecer el número de rectángulos que cubren el área bajo la curva, lo que significa que los incrementos son cada vez más pequeños. La forma más eficiente de llegar un valor más próximo es llevar el límite de la longitud de los rectángulos a cero: ∞

lim

∆x→0

∞

∑∆xif(xi) = ∑dxif(xi) ∆x→ 0

I

i =1

Esta es la definición de integral a partir del cálculo de área bajo la curva. Con el paso del tiempo, la notación evolucionó y actualmente el símbolo de suma iterada (∑) no se escribe, en su lugar se utiliza una especie de s alargada como símbolo de integral (∫):

∞

∑dxif(xi) = ∫f(x)dx

i =1

Como puede verse, el resultado, es decir, la integral, es otra función. A esta integral se le denomina integral indefinida, pues aún no se le han colocado los límites en los cuales debe integrarse. El cálculo de las integrales indefinidas está fundamentado en esta definición. Actualmente se puede obtener una gran variedad de resultados de integrales de todas las funciones que hemos estudiado anteriormente: algebraicas, polinomiales, trigonométricas, etc., y a partir de estos, construir tablas de integrales indefinidas para poder hacer la aplicación directa en problemas particulares.

y

En todos los caso se observa un valor constante C llamado constante de integración. Gráficamente, la integral indefinida es una serie gráficas paralelas que se obtienen dando diferentes valores a la constante C. Las curvas son paralelas porque para cualquier valor de x en el dominio de las funciones la derivada es la misma y por tanto las curvas tienen la misma pendiente. Ejemplo: Graficar la integral de la función f(x) = x para las constantes C = -4, C = 0 y C = 4

de acuerdo a la fórmula 2:

aplicando la fórmula: ∫xdx = (x1+1 )/(1+1) + C = x2/2 + C 55 C=0 C = -4 C=4

45

35

25

15

5

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 -5

-15

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Propiedades de la integral indefinida: La integral indefinida tiene las siguientes propiedades: 1. Distribuye en la suma algebraica:

2. La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la integral de la función.

Integración por partes A pesar de existir una gran variedad de fórmulas resuelta de integrales, en algunos casos no es posible aplicar ni una de ellas, por lo que se recurre a un método denominado integración por partes y consiste en dividir la función que se quiere integrar en un producto de funciones, con una de ellas derivable y aplicar la siguiente fórmula:

Ejemplo: Integrar por partes la siguiente función: f(x) = xcosx

5. 2. Integral definida La integral definida es aquella en donde los límites de integración están determinados. Por ejemplo, regresando al caso del área bajo la curva, el valor de A está determinado por:

f(x) 5

A = ∫f(x)dx 1

A

x

El resultado de una integral definida es un valor y no una función, como en el caso de la integral indefinida. La forma general de la integral definida es entonces: b

∫f(x)dx a

donde a es el límite inferior y b el límite superior de la integral. Estos límites deben ser evaluados en el valor resultante por lo que se tiene que : b

b

∫f(x)dx = F(x) =F(b) - F(a) a

Ejemplo

a

Calcular la integral de f(x) = x4

en el intervalo [2, 5]

ya habíamos calculado que

:

aplicando la fórmula y definiendo los límites se tiene: 5

5

∫ x4dx = x5/5 = (55/5)+C -(25/5) -C 2

2

= (3125/5)-(32/5) = 618.6 Como puede observarse, la constante de integración de la integral indefinida se anula al hacer la evaluación, esto sucede en todos los casos, por lo que en este tipo de integrales no suele escribirse la C. 5.3 Métodos de investigación

1.1. Métodos de investigación 1.2. Aplicación de la integral en las ciencias socioeconómico administrativas