Capítulo 1

INVESTIGACIONES Y FUNCIONES

1.1.1 – 1.1.4

Esta sección inicial presenta a los alumnos muchas de las grandes ideas del curso Álgebra 2, así como distintas formas de pensar y varias estrategias de resolución de problemas. Los alumnos también comenzarán a trabajar con sus calculadoras gráficas y aprenderán a usar adecuadamente la herramienta de graficación para que no pierdan tiempo usándola cuando un problema puede ser resuelto más eficientemente a mano. Los alumnos no solo trabajarán en problemas desafiantes e interesantes, también revisarán temas de cursos de matemáticas anteriores como la realización de gráficos, las razones trigonométricas y la resolución de ecuaciones, y practicarán manipulaciones algebraicas ingresando valores en máquinas de funciones y calculando los valores de salida correspondientes. Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 1.1.1, 1.1.2, y 1.1.3.

Ejemplo 1 La máquina de funciones de Talula, a la derecha, muestra su funcionamiento interno como una función. Observa que y = 10 – x2 es una forma equivalente. ¿Cuál será el valor de salida si: a.

el valor de entrada fuera 2?

b.

el valor de entrada fuera –2?

c.

el valor de entrada fuera 10 ?

d.

el valor de entrada fuera –3.45?

f (x) = 10 – x2

Solución: el valor de entrada, es decir, el valor por el que sustituimos x, toma el lugar de x en la ecuación de la máquina. Sigue el Orden de las operaciones para simplificar la expresión y hallar el valor de f (x). a.

f (2) = 10 − (2)2 = 10 − 4 =6

b.

f (−2) = 10 − (−2)2 = 10 − 4 =6

c.

f ( 10 ) = 10 − ( 10 )2 = 10 − 10 =0

d.

f (−3.45) = 10 − (−3.45)2 = 10 − 11.9025 = −1.9025

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1

Ejemplo 2 Considera las funciones f (x) =

x 3− x

y g(x) = (x + 5)2.

a.

¿Cuál es f (4)?

b.

¿Cuál es g(4)?

c.

¿Cuál es el dominio de f (x)?

d.

¿Cuál es el dominio de g(x)?

e.

¿Cuál es el rango de f (x)?

f.

¿Cuál es el rango de g(x)?

Solución: substituye x en las funciones dadas por los valores en los puntos (a) y (b): f (4) = =

4 3− 4 2 −1

= −2

g(4) = (4 + 5)2 = (9)2 = 81

El dominio de f (x) es el conjunto de valores “permisibles” de x, y esta función tiene algunas restricciones. Primero, no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo, así que x no puede ser un número menor de cero. Asimismo, el denominador de una fracción no puede ser igual a cero, así que x ≠ 3 . Por lo tanto, el dominio de f (x) es x ≥ 0, x ≠ 3 . Para g(x), podemos sustituir x por cualquier número, sumar cinco y luego elevar el resultado al cuadrado. Esta función no tiene restricciones, así que el dominio de g(x) son todos los números reales. El rango de estas funciones es el conjunto de todos los valores que pueden resultar al sustituir las variables por el dominio, o los valores posibles de x. Debemos decidir si existen valores que las funciones no puedan alcanzar o que sea imposible obtener. Considera primero el rango de g(x). Ya que la función g eleva el valor al cuadrado en el último paso, el valor de salida será siempre un número positivo. Puede ser igual a cero (cuando x = –5), pero nunca será negativo. Por lo tanto, el rango de g(x) es y ≥ 0. El rango de f (x) es más complicado. Intenta hallar algunos posibles resultados primero. ¿Puede esta función ser igual a cero? Sí, cuando x = 0, f (x) = 0. ¿Puede esta función ser igual a un número positivo muy alto? Sí, esto sucederá cuando x < 3, pero se encuentre muy cerca de 3 (por ejemplo, si x = 2.9999, entonces f (x) es igual a aproximadamente 17,320). ¿Puede f (x) ser un número negativo muy alto? Sí, cuando x > 3, pero se encuentra muy cerca de 3 (por ejemplo si x = 3.0001, entonces f (x) es igual a aproximadamente –17,320.) No parece existir ninguna restricción al rango de f (x), por lo que podemos decir que su rango son todos los números reales.

2

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Core Connections en español, Álgebra 2

Capítulo 1

Ejemplo 3 Para cada problema a continuación, decide primero cómo responderás la pregunta: usando una herramienta de graficación, tus habilidades algebraicas, o una combinación de ambas. Usa el método más eficiente. Muestra tu trabajo y justifica el método que elegiste para cada problema. a.

¿Cuál es el punto de corte con el eje y del gráfico de y = 23 x + 19 ?

b.

¿El gráfico de y = x3 + 3x2 – 4 cruza el eje x? Si lo hace, ¿cuántas veces?

c.

¿Dónde se intersectan los gráficos de y = 5x + 20 e y = −

d.

¿Cuáles son el dominio y el rango de y = x2 – 12x + 46?

1 5

x + 46 ?

Soluciones: Punto (a): el punto de corte con el eje y es el punto (0, b). Por lo tanto, el punto de corte con el eje y puede ser hallado substituyendo x por 0. En este caso, el punto de corte con el eje y puede hallarse calculando y = 23 (0) + 19, por lo tanto, el punto de corte con el eje y es (0, 19). y

Punto (b): el método más eficiente es usar una calculadora gráfica para saber si el gráfico cruza o no el eje x. El de la derecha es un gráfico completo, ya que nos permite ver todo lo que es importante sobre él y predecir el resto del gráfico en función de lo que vemos. Podemos ver que el gráfico intersecta el eje x dos veces.

5

x

Punto (c): es mejor usar el álgebra y resolver este sistema de dos ecuaciones con dos variables para hallar dónde se intersectan los gráficos. Podemos hacer esto usando el Método de igualación de sistemas de ecuaciones.

–5

5x + 20 = − 15 x + 46 25x + 100 = −x + 230 26x = 130 x=5 y = 5(5) + 20 = 45

(multiplica todos los términos por 5) (suma x y − 100 a ambos lados) (divide ambos lados por 26) (substituye x por 5 en la primera ecuación)

Por lo tanto, los gráficos se intersectan en el punto (5, 45). Punto (d): debemos hallar los valores de entrada aceptables y los posibles valores de salida. La ecuación no presenta restricciones, como dividir por cero o calcular la raíz cuadrada de un número negativo, así que el dominio son todos los números reales. Ya que el gráfico de esta ecuación es una parábola, existirán restricciones a su rango. Así como la ecuación y = x 2 no puede ser negativa, los rangos de todas las funciones cuadráticas (parábolas) tienen un punto “más bajo” o un punto “más alto”. Si graficamos esta parábola, podemos ver que el punto más bajo, el vértice, se encuentra en (6, 10). El gráfico solo tiene valores de y ≥ 10, por lo tanto, el rango es y ≥ 10. Guía para padres con práctica adicional

y 20 15 10 5

5

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10

x

3

La mayor parte de las tareas que los alumnos deberán completar en un principio les permitirán repasar las habilidades desarrolladas en Álgebra 1 y geometría. Los problemas a continuación incluyen problemas de este tipo.

Problemas Resuelve las siguientes ecuaciones y halla los valores de x y/o y: 1.

5(x + 7) = –2x – 10

2.

3x + y = 12 y = 3x

3.

x2 – 4x = 21

4.

b(x – a) = c

Halla el error y muestra la solución correcta. 5.

5x − 9 = −2(x − 3) 5x − 9 = −2x + 5 7x = 14 x=2

6.

8x 2 + 4x = 12 2x 2 + x = 3 2x(x + 1) = 3 2x = 3 o x + 1 = 3 x=

3 2

o x=2

Dibuja un gráfico completo de cada una de las ecuaciones dadas a continuación. Asegúrate de etiquetar cuidadosamente el gráfico para identificar todos los puntos clave. ¿Cuáles son el dominio y el rango de cada función? 7.

y = 2x2 + 6x – 8

8.

y=

3 x−6

Si f (x) = 3x2 – 6x, halla: 9.

4

f (1)

10.

f (–3)

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11. f (2.75)

Core Connections en español, Álgebra 2

Capítulo 1

12.

Explica brevemente qué representa el gráfico.

13.

Usa el gráfico para escribir toda la información que puedas sobre el Ponda Concord.

14.

Usa el gráfico para escribir toda la información que puedas sobre el Neo Brism.

15.

¿Tiene sentido extender estas rectas hacia el segundo y el cuarto cuadrante? Explica por qué.

Combustible en el tanque (galones)

Usa el gráfico de la derecha para completar los siguientes problemas:

Ponda Concord y = – x + 16

Neo Brism y = – x + 10

Distancia recorrida (millas)

Respuestas 1.

x= −

2.

x = 2, y = 6

3.

x = 7, –3

4.

x=

5.

Al distribuir, (–2)(–3) = 6. x = 15 7

6.

Debemos hacer que la ecuación sea igual a cero antes de factorizar. x = 1, −

45 7

c+ab b

= bc + a

y

7.

8.

3 2

y

x x

9.

–3

10.

45

11.

6.1875

12.

El gráfico muestra cuánto combustible hay en el tanque de un Ponda Concord o un Neo Brism a medida que se conduce el automóvil.

13.

El tanque de combustible del Ponda Concord puede contener hasta 6 galones de combustible y el automóvil puede recorrer aproximadamente 350 millas con un tanque lleno. Tiene un rendimiento de 22 millas por galón.

14.

El tanque de combustible del Neo Brism puede contener solo 10 galones de combustible y el automóvil puede recorrer aproximadamente 400 millas con un tanque lleno. Tiene un rendimiento de 40 millas por galón.

15.

No, el automóvil no puede recorrer una cantidad negativa de millas y el tanque de combustible no puede contener una cantidad negativa de galones de combustible.

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5

INVESTIGACIÓN DE FUNCIONES

1.2.1 – 1.2.2

Uno de los objetivos de este curso es que los alumnos relacionen ideas matemáticas. Para ello, desarrollamos la idea de “investigación de funciones”. Queremos que los alumnos descubran todo lo que puedan sobre una función o una situación formulando preguntas al respecto y extrayendo conclusiones, para que tengan una imagen completa de la función o situación. En esta sección, consideramos las preguntas que pueden formularse sobre distintas funciones, y los componentes a tener en cuenta para que los alumnos comprendan completamente la función. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 1.2.2 y el recuadro en el problema 1-81.

Ejemplo 1 Investiga la función f (x) =

x+ 4 3x

.

Solución: queremos descubrir todo lo posible sobre esta función y, si bien el gráfico de f (x) nos ayudará a comprender la función, los gráficos pueden ser poco claros o estar incompletos. Para investigar esta función completamente, responde las siguientes preguntas: •

¿Es esta una función lineal? Si no lo es, ¿cómo puedes clasificarla?

•

¿Esta función tiene algún punto de corte con el eje x? ¿Tiene algún punto de corte con el eje y? Si los tiene, ¿cuáles son?

•

¿Cuál es el dominio de la función? ¿Cuál es el rango de la función?

•

¿Esta función tiene asíntotas? Si las tiene, ¿cuáles son y por qué se producen?

•

¿Hay algún punto importante en el gráfico de esta función (puntos altos, puntos bajos, puntos de inflexión, etc.)? ¿Qué hace que estos puntos sean importantes?

•

¿Cuál es la forma del gráfico?

Un primer paso puede ser graficar la función con una calculadora u otra herramienta de graficación, pero ten cuidado al interpretar el gráfico. En funciones complicadas como esta, puede que la herramienta de graficación no muestre claramente puntos importantes o tendencias. Debemos estar atentos mientras graficamos. Específicamente, observa que esta función tiene dos restricciones. Primero, no podemos tener un cero en el denominador. Segundo, no podemos tener un número negativo dentro de la raíz cuadrada.

y

x

Con un diagrama rápido y algunas ideas preliminares podemos continuar. Esta función no es lineal sino curva. Algunos alumnos pueden conocerla como hipérbola, pero eso no es esencial en este punto. Este gráfico no muestra claramente que existen puntos de corte con el eje x, pero los hay. Los puntos de corte con el eje x se producen cuando f (x) = 0. Para que una expresión racional (una fracción) sea igual a cero, el numerador (valor superior) debe ser igual a cero. El ejemplo continúa en la página siguiente → 6

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Core Connections en español, Álgebra 2

Capítulo 1

Continuación del ejemplo de la página anterior. Por lo tanto, f (x) = 0 →

x+ 4 3x

= 0→ x+ 4 = 0.

x + 4 = 0 cuando x + 4 = 0 o x = –4. Por lo tanto, el punto de corte con el eje x es (–4, 0).

El punto de corte con el eje y se da cuando sustituimos x = 0 en la ecuación.

f (0) =

0+4 3(0)

= 04 Este resultado es indefinido porque no podemos dividir por cero. Por lo tanto, no hay ningún punto de corte con el eje y.

Lo que acabamos de hacer nos ayudará a determinar el dominio y el rango. En este caso el dominio está restringido, porque x + 4 ≥ 0 y el denominador no pueden ser igual a cero. Por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los números x ≥ –4, x ≠ 0. El rango son todos los número reales (es decir, f (x) puede asumir cualquier valor). Cuando tenemos el gráfico, podemos pensar en el dominio y el rango como la “sombra” que proyecta el gráfico sobre los ejes. Por ejemplo, si ilumináramos el gráfico desde arriba y desde abajo, de forma que proyecte su sombra sobre el eje x, esta sombra sería el dominio. En este caso, la sombra no se proyectaría a la izquierda de x = –4 ni en cero. De igual forma, proyectar una sombra sobre el eje y nos da el rango. En este caso, la sombra cubriría todo el eje y. Las asíntotas se producen cuando el gráfico se aproxima a un valor pero nunca lo alcanza. En este caso, a medida que los valores de x aumentan más y más, los valores de f (x) se aproximan más y más al cero. Esto sucede porque el denominador aumenta más rápido que el denominador, creando fracciones cada vez más y más pequeñas. Por tanto, y = 0 es una asíntota horizontal. De igual forma, la recta x = 0 es una asíntota vertical. Puedes convencerte de que el gráfico se acerca mucho a esta recta si sustituyes x por valores muy cercanos al cero. Cubrimos las dos últimas preguntas en las respuestas anteriores, así que ya cubrimos todos los puntos clave para investigar esta función.

Ejemplo 2 Supón que hay una barra de una yarda apoyada contra una pared de forma tal que crea un triángulo rectángulo con la pared y el piso. Definimos una función donde los valores de entrada, x, son la altura del triángulo (la altura a la que la barra toca la pared), y los valores de salida son el área del triángulo. Observa que la barra es la hipotenusa del triángulo. Investiga esta función y escribe enunciados que sinteticen lo que sabes sobre ella.

pared

barra x

piso

Para investigar una función debemos ser capaces de responder las preguntas incluidas en el Ejemplo 1. Antes de que podamos responder cualquiera de estas preguntas, debemos comprender esta relación geométrica y traducirla a 36 plg términos algebraicos. Para ello, probaremos con algunos ejemplos específicos. Primero, supón que la barra toca la pared a 20 pulgadas de altura. Esto significa que tenemos un valor de entrada de x = 20. b

20 plg

El ejemplo continúa en la página siguiente → Guía para padres con práctica adicional

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7

Continuación del ejemplo de la página anterior.

20 2 + b 2 = 36 2

El valor de salida será el área del triángulo. Para hallar el área, debemos conocer la longitud de la base del triángulo y para eso debemos usar el Teorema de Pitágoras.

400 + b 2 = 1296 b 2 = 896 b = 896 ≈ 29.93

A = bh 1 2 1 2

Ahora que conocemos la longitud de la base, podemos hallar el área del triángulo.

≈ (29.93)(20) A ≈ 299.3 pulgadas cuadradas

Esto nos da un valor de entrada y su valor de salida correspondiente. Inténtalo de nuevo con un valor de entrada (altura) de 10 pulgadas. Deberías obtener un valor de salida (área) de aproximadamente 172.9 pulgadas cuadradas. Cada alumno debe trabajar con todos los ejemplos que necesite para comprender el caso general. En el caso general, la altura (valor de entrada) es x, así que debemos hallar b y luego calcular el área del triángulo, todo en términos de x.

b 2 + x 2 = 36 2 b 2 + x 2 = 1296 b 2 = 1296 − x 2 b = 1296 − x 2

A = 12 bh A=

1 2

(

1296 −

x2

) (x)

36 plg x plg b

Ahora tenemos una ecuación que nos ayudará a investigar el problema. Observa que se trata solo de una ayuda. Podemos responder muchas preguntas conociendo el contexto del problema. Para comenzar, se trata de una función, porque cada valor de entrada tiene un solo valor de salida. Luego, podemos determinar el dominio. En esta situación, los valores de entrada aceptables son las alturas de la pared que puede alcanzar la barra. La altura no puede ser menor a cero ni mayor a 36 pulgadas (porque la barra solo podría alcanzar esta altura si se la colocara verticalmente contra la pared, y esto no crearía un triángulo visible). Por lo tanto, el dominio es 0 < x < 36. El rango serán los valores que puede arrojar la ecuación dada esta restricción sobre x. Si observamos el gráfico de la ecuación que representa esta situación, lo que debemos buscar son los valores que puede asumir y en él gráfico. El área del triángulo puede ser cero (o casi cero) y tiene un valor máximo. Si usas los botones de zoom y trazo de tu calculadora podrás ver que el valor máximo es 324 (nota: en este punto, esperamos que los alumnos hallen el valor máximo de esta forma, ya que solo podrán hacerlo en forma algebraica y más adelante). Por lo tanto, el rango es 0 < y < 324. 400 Si partimos de la base de que el triángulo puede tener lados de 0 pulgadas, la función tiene dos puntos de corte con el eje x en (0, 0) y (36, 0), y un punto de corte con el eje y en (0, 0). Esta función es continua (no presenta interrupciones), no tiene asíntotas, y no es lineal. En este punto aún no sabemos de qué tipo de función se trata. 8

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300 200 100 10

20

30

x

Core Connections en español, Álgebra 2

Capítulo 1

Problemas Resuelve las siguientes ecuaciones y halla los valores de x y/o y. 1.

3.1x – 7 = –0.6x + 4

2.

x – 6y = 10 y = 13 x + 2

3.

12x2 – 35x + 8 = 0

4.

x2 – 32 = 0

Si g(x) = –0.3x + 6.3x2, halla: 5.

g(–2)

6.

g(0.4)

7.

g(18)

Diagrama un gráfico completo de cada una de las ecuaciones dadas a continuación. Asegúrate de etiquetar cuidadosamente el gráfico para identificar todos los puntos clave. ¿Cuáles son el dominio y el rango de cada función? 8.

y = –0.1x + 30

10.

Investiga la función y =

11.

Investiga la función y =

9.

y = x2 + 30x – 445

x − 6 + 1. 1 x−6

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.

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9

Respuestas 1.

x ≈ 2.97

2.

x = −22, y = −5.33

3.

x = 41 , 83

4.

x = ±4 2 ≈ 5.64

5.

25.8

6.

0.888

7.

2035.8

8.

y

9.

y x

x

Es una recta con una pendiente de –0.1. Punto de corte con el eje x: (300, 0) Punto de corte con el eje y: (0, 30)

Es una parábola que se abre hacia arriba. Puntos de corte con el eje x: ≈ (–40.88, 0) y (10.88, 0) Punto de corte con el eje y: (0, –445) Vértice: (–15, –670) Línea de simetría: x = –15

10.

El gráfico de esta función es curvo. No tiene ningún punto de corte con los ejes x o y, es una función, su dominio es x ≥ 6, su rango es y ≥ 1. El “punto de partida” es (6, 1).

11.

Este gráfico es una curva y tiene dos partes no conectadas. No tiene ningún punto de corte con el eje x y tiene un punto de corte con el eje y en (0, – 16 ). El dominio son todos los valores reales de x excepto 6, y el rango son todos los valores reales de y excepto 0. La recta y = 0 es una asíntota horizontal, y x = 6 es una asíntota vertical. Es una función.

10

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Capítulo 1

PRÁCTICA PARA LOS EXÁMENES SAT Los problemas incluidos en esta sección son muy similares a las preguntas formuladas en los exámenes SAT. Usa una calculadora de ser necesario. En las preguntas de opción múltiple, elige la mejor respuesta dada. Cuando una imagen incluye un diagrama, asume que se ha dibujado con precisión a menos que el problema indique lo contrario. Estas preguntas incluyen más temas que los que has visto en clase hasta ahora. 1.

Si x + 9 es un número entero par, ¿cuál de los siguientes podría ser el valor de x? a.

2.

5.

c.

0

d.

–1

e.

–2

1

b.

4

c.

8

d.

11

e.

17

20

b.

21

c.

22

d.

23

e.

24

Un grupo de tres números recibe el nombre de “terna j” respecto de un número j, cuando 3 j, j, 5 j . ¿Cuál de los siguientes grupos es una terna j? 4 4

(

)

( 5 43 , 6, 6 14 )

a. (0, 4, 5)

b.

d. (750, 1000, 1250)

e. (575, 600, 625)

c. (9, 12, 15)

Un balón es arrojado verticalmente hacia arriba. La altura del balón puede ser modelada con la ecuación h = 38t – 16t2, donde h es la altura en pies y t es la cantidad de segundos transcurridos desde que se arrojó el balón. ¿A qué altura se encuentra el balón dos segundos después de que se lo arrojó? a.

6.

2

Las fracciones d3 , d4 , y d5 se encuentran en su forma más simplificada. ¿Cuál de los siguientes podría ser el valor de d? a.

4.

b.

Si (m + 5)(11 – 7) = 24, entonces m = ? a.

3.

4

12

b.

16

c.

22

En la figura de la derecha, AC es un segmento de 4 unidades de largo. ¿Cuál es el valor de k?

Guía para padres con práctica adicional

d.

•

A

32

5k

e.

•B

40

3k

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•C

11

7.

Supongamos que la operación § puede definirse como “a § b es la suma de todos los número enteros entre a y b”. Por ejemplo, 4 § 10 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35. ¿Cuál es el valor de (130 § 170) – (131 § 169)?

8.

Un triángulo isósceles tiene una base de 15 unidades de largo. Los otros dos lados miden lo mismo y su longitud es un número entero. ¿Cuál es la longitud más corta que pueden tener esos otros dos lados?

9.

Supón que necesitamos 14 de galón de esencia de arándanos y 1 43 de galón de jugo de manzana para preparar jugo de arándano y manzana para cuatro personas. ¿Cuántos cuartos de galón de esencia de arándanos necesitaremos para preparar jugo con las mismas proporciones para 15 personas?

10.

Los naipes en una baraja de cinco naipes han sido etiquetados con todos los números enteros del 0 al 4. Si seleccionamos dos naipes al azar sin volver a colocar cada uno en la baraja, ¿cuáles son las probabilidades de que la suma de los dos valores obtenidos sea igual a 2?

Respuestas 1. D 6.

12

1 2

2. A

3. D

4. D

7. 300

8. 8

9.

15 16

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5. A 10.

1 10

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