INTEGRALES VECTORIALES DE RIEMANN Y MCSHANE Jos´e Rodr´ıguez Ruiz

TESINA DE LICENCIATURA

Departamento de Matem´aticas Universidad de Murcia Septiembre de 2002

2

D. Jos´ e Luis Garc´ıa Hern´ andez, director del Departamento de Matem´ aticas de la Universidad de Murcia, CERTIFICA que la presente memoria con t´ıtulo Integrales vectoriales de Riemann y McShane ha sido realizada por el licenciado en Matem´aticas Jos´ e Rodr´ıguez Ruiz y constituye su tesina. Y para que as´ı conste, en cumplimiento de la legislaci´on vigente, firmo la presente en Murcia, a 6 de septiembre de 2002.

Vo Bo Jos´e Luis Garc´ıa Hern´andez

D. Gabriel Vera Bot´ı CERTIFICA que la presente memoria con t´ıtulo Integrales vectoriales de Riemann y McShane ha sido realizada bajo su direcci´on por el licenciado en Matem´aticas Jos´ e Rodr´ıguez Ruiz y constituye su tesina. Y para que as´ı conste, en cumplimiento de la legislaci´on vigente, firmo la presente en Murcia, a 6 de septiembre de 2002.

Vo Bo Gabriel Vera Bot´ı

Para Gloria, con todo mi amor

Agradecimientos Como suele ser habitual, parte del papel que el sufrido lector tiene entre sus manos est´ a destinado a mostrar la gratitud del autor hacia aquellas personas que, de un modo u otro, han colaborado para que este trabajo vea, al fin, la luz. En primer lugar, quiero mostrar mi m´as sincero agradecimiento a Gabriel Vera, mi director, por proporcionarme la oportunidad de realizar esta tarea y, pese a la aleatoriedad de mis visitas, ser siempre un firme punto de apoyo, bien a la hora de despejar dudas, bien a la hora de ofrecer una perspectiva global de un cierto asunto. Quisiera tambi´en reconocer la ayuda prestada por Bernardo Cascales, as´ı como su constante empuje y motivaci´on, que sin duda me han marcado profundamente. Asimismo, la colaboraci´on de Mat´ıas Raja ha contribuido al enriquecimiento de la Secci´ on 5.2 de esta memoria. Sirvan estas l´ıneas como homenaje a toda mi familia, mis padres, hermanos, t´ıos, abuelos... que siempre est´an ah´ı y me han ayudado permanentemente en la m´ as dif´ıcil de todas las carreras: la vida. Aunque en su ”Espacios M´etricos Booleanos” ha dejado bien claro que no es partidario de semejantes muestras de afecto, no quiero pasar por alto la ocasi´on de manifestar mi gratitud hacia Antonio Avil´es. Las largas conversaciones sobre Matem´ aticas, de las que sin duda he salido beneficiado, y, sobre todo, su gran amistad, justifican plenamente su inclusi´on en la presente ”lista”... ´ ... en la que no puede faltar Mari Angeles, una buena amiga que me ofreci´o su ordenador para teclear, entre otras cosas, esta memoria. Y, sobre todo, doy las gracias a Gloria. Por su amor, por su comprensi´on, por estar a mi lado en los d´ıas grises y soleados, por su apoyo, por su paciencia, por su confianza y, en definitiva, por todo. A esta maravillosa chica va dedicado este modesto trabajo.

´Indice General Introducci´ on

I

vii

Integral de Riemann

1

1 Definici´ on y propiedades elementales

3

2 Condiciones suficientes de integrabilidad 15 2.1 Variaci´ on d´ebilmente acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Integrabilidad Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 La propiedad de Lebesgue 27 3.1 Espacios de Banach con la propiedad de Lebesgue . . . . . . . . 27 3.2 La propiedad d´ebil de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Otros espacios sin la propiedad LP . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Formas d´ ebiles de la integral

39

5 Continuidad d´ ebil e integrabilidad 47 5.1 Caracterizaci´ on de la propiedad de Schur . . . . . . . . . . . . . 48 5.2 Espacios de Banach con la propiedad [H] . . . . . . . . . . . . . . 52 6 Integrabilidad y propiedad de Bourgain

57

7 L´ımites de sumas de Riemann

61

II

67

Integral de McShane

8 Introducci´ on a la integral de McShane 8.1 Propiedades elementales . . . . . . . . 8.2 El lema de Henstock . . . . . . . . . . 8.3 Integrabilidad de funciones simples . . 8.4 Relaci´ on con la integral de Riemann . v

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69 69 73 76 77

vi 9 La integral de funciones escalares 9.1 Integrabilidad absoluta . . . . . . . . . . 9.2 El teorema de la convergencia mon´otona 9.3 Medibilidad de las funciones integrables 9.4 La equivalencia Lebesgue-McShane . . .

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81 81 82 85 88

10 Relaci´ on con otras integrales 91 10.1 Integrabilidad Pettis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 10.2 Paso al l´ımite bajo la integral de McShane . . . . . . . . . . . . . 97 10.3 Relaci´ on con la integral de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

III

Ap´ endices

A Complementos A.1 Medida e integraci´on Lebesgue . . . . . . A.2 Medidas vectoriales . . . . . . . . . . . . . A.3 Series incondicionalmente convergentes . . A.4 Medibilidad, integral de Bochner y Pettis A.4.1 Medibilidad e integraci´on Bochner A.4.2 Integral de Pettis . . . . . . . . . . A.5 La propiedad de Bourgain . . . . . . . . . A.6 Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . A.7 Miscel´ anea . . . . . . . . . . . . . . . . .

117 . . . . . . . . .

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119 119 122 125 127 127 129 136 140 143

Introducci´ on Desde sus or´ıgenes, la Teor´ıa de la Integraci´on ha constituido una de las ramas m´ as destacadas de la Matem´atica y sus aplicaciones en otros campos son m´ ultiples y de enorme importancia. Nuestro trabajo se enmarca dentro de lo que se conoce como Integraci´ on Vectorial, que podemos definir brevemente como el estudio de t´ecnicas de integraci´on de funciones f : Ω −→ X, donde Ω es un espacio de medida y X un espacio vectorial topol´ogico, en general un espacio de Banach. Desde los trabajos iniciales de G. Birkhoff, S. Bochner, N. Dunford y B.J. Pettis en los a˜ nos 30 (v´ease [30]), un gran n´ umero de matem´aticos ha puesto toda su energ´ıa en el desarrollo de t´ecnicas de integraci´on vectorial como medio para estudiar propiedades topol´ ogicas y geom´etricas de los espacios de Banach. Hasta ahora las integrales m´as analizadas y de mayor impacto en la teor´ıa de espacios de Banach han sido las de Bochner (una generalizaci´on natural de la de Lebesgue) y Pettis. Nuestro trabajo versa sobre otros dos tipos de integral vectorial: las integrales de Riemann y McShane de funciones f : [a, b] −→ X, donde X es un espacio de Banach. La Integral de Riemann Vectorial es la extensi´on natural de la conocida integral que se ense˜ na a los estudiantes de primer curso de licenciatura. A ella dedicamos la primera parte de esta memoria, cuyo contenido resumimos a continuaci´ on. En el Cap´ıtulo 1 definimos la integral de Riemann y extendemos al caso general algunas propiedades elementales. Pronto se pone de manifiesto que el caso vectorial presenta ciertas diferencias con el escalar. As´ı, existen funciones f : [a, b] −→ X integrables Riemann cuya norma kf k : [a, b] −→ R no es integrable Riemann y que, adem´ as, no son medibles Bochner. En particular, se observa que la integral de Bochner no es una extensi´on de la de Riemann, al contrario de lo que ocurre para funciones reales con la integral de Lebesgue. En el Cap´ıtulo 2 analizamos dos condiciones suficientes para que una funci´on sea integrable Riemann: que tenga variaci´on d´ebilmente acotada o que sea integrable Darboux. Adaptamos al caso vectorial la conocida caracterizaci´on de Lebesgue sobre integrabilidad Darboux y deducimos que una funci´ on acotada continua en casi todo punto es integrable Riemann. Sin embargo, el rec´ıproco no es cierto en general y el Cap´ıtulo 3 est´a dedicado a estudiar la clase de los espacios de Banach para los que toda funci´on integrable Riemann es continua vii

viii

´ INTRODUCCION

en casi todo punto. Los u ´nicos espacios conocidos con esta propiedad son los de dimensi´ on finita, l1 y el espacio de Tsirelson. Proporcionamos ejemplos que desmienten la conjetura para el resto de espacios de sucesiones cl´asicos, C[0, 1] y los espacios uniformemente convexos, adem´as de analizar el problema para la topolog´ıa d´ebil. En el Cap´ıtulo 4 probamos que la integral de Pettis extiende a la de Riemann y hacemos un breve estudio de ciertas formas d´ebiles de la integral. El Cap´ıtulo 5 est´ a dedicado en su totalidad a caracterizar, mediante integraci´ on Riemann, un par de propiedades de los espacios de Banach relativas a la convergencia en norma de sucesiones convergentes respecto de ciertas topolog´ıas vectoriales m´ as gruesas. Por ejemplo, y como aplicaci´on del principal resultado de la Secci´ on 5.1, obtenemos que: • un espacio de Banach X es de Schur si y s´olo si toda funci´on d´ebilmente continua f : [0, 1] −→ X es integrable Riemann; • un espacio de Banach X es de dimensi´on finita si y s´olo si toda funci´on ω ∗ -continua f : [0, 1] −→ X ∗ es integrable Riemann. En el Cap´ıtulo 6 demostramos que toda funci´on integrable Riemann tiene la llamada propiedad de Bourgain cuando X es real. Como consecuencia de este resultado, que creemos original, obtenemos una mejora de la afirmaci´on la integral de Pettis extiende a la de Riemann y una prueba de la compacidad de Zf = {x∗ f : x∗ ∈ BX ∗ } en k.k1 . Finalizamos el bloque dedicado a la integral de Riemann con un breve resumen (Cap´ıtulo 7) de lo que actualmente se conoce sobre los conjuntos de l´ımites de sumas de Riemann de una funci´on acotada f : [0, 1] −→ X. Repasamos sin demostraciones la historia de los dos principales problemas: la existencia de l´ımites y la convexidad del conjunto de los mismos. La segunda parte de esta memoria est´a dedicada al estudio de la Integral de McShane Vectorial, aunque el caso escalar ocupa un lugar importante en nuestro desarrollo. A finales de los cincuenta, mientras trabajaba en problemas de ecuaciones diferenciales, J. Kurzweil defini´o y utiliz´o ([41]) la integral que luego se llamar´ıa de Henstock (o integral de Riemann generalizada) para funciones f : [a, b] −→ R. La nomenclatura actualmente empleada es consecuencia del estudio detallado que R. Henstock hizo de la construcci´on de Kurzweil en [27] y [28] (probando, por ejemplo, el teorema de la convergencia mon´otona). La integral de Henstock (que coincide con la de Perron-Denjoy) es una extensi´on de la de Lebesgue, pero, en general, para una funci´on f integrable Henstock su valor absoluto |f | no tiene por qu´e serlo (esto asegura la existencia de funciones que no son integrables Lebesgue pero s´ı en el sentido de Henstock). Ampliando la clase de particiones utilizada por Kurzweil, E.J. McShane obtuvo (en [43], dentro de un contexto mucho m´as general que el que nosotros vamos a considerar) una integral que coincide con la de Lebesgue. Aunque el

ix caso escalar est´ a sobradamente estudiado (hay tratados como [44] donde se desarrolla toda una teor´ıa de integraci´on McShane de funciones Rn −→ R –a la postre equivalente a la de Lebesgue–), no es f´acil encontrar una prueba autocontenida de la equivalencia entre las construcciones de McShane y Lebesgue para funciones de [a, b] en K. Por ello hemos optado por incluir todo un cap´ıtulo (concretamente el 9) dedicado a justificar dicha equivalencia, que desempe˜ na un papel fundamental en el resto de la memoria. A continuaci´on resumimos el contenido de los otros dos cap´ıtulos de este bloque. En el Cap´ıtulo 8 introducimos la integral de McShane vectorial, demostramos el lema de Henstock (de especial importancia en la teor´ıa), probamos que toda funci´ on medible simple es integrable McShane y un hecho destacable: al igual que en el caso escalar, la integral de McShane extiende a la de Riemann. Esto muestra la diferencia que existe en el caso vectorial entre las integrales de McShane y Bochner (que, como indicamos anteriormente, es la extensi´on natural de la de Lebesgue). En general, la integral de McShane es una extensi´on de la de Bochner y ambas integrales coinciden si y s´olo si el espacio es de dimensi´ on finita. Estos resultados son parte del contenido del Cap´ıtulo 10, que est´ a dedicado a comentar las relaciones existentes entre las integrales de McShane, Bochner y Pettis. En la Secci´ on 10.1 mostramos que la integrabilidad Pettis extiende a la de McShane. El rec´ıproco es cierto si exigimos medibilidad Bochner a la funci´ on (Secci´ on 10.3). Para demostrarlo nos apoyamos en un dif´ıcil teorema de paso al l´ımite bajo la integral –Secci´ on 10.2–, que nos permite deducir adem´ as los teoremas de Vitali y de la convergencia dominada para la integral de McShane. Cerramos el apartado dedicado a esta integral dando una caracterizaci´ on de los espacios de Banach de dimensi´on finita en t´erminos de una forma fuerte del lema de Henstock. ´ndice que contiene una serie de definiciones y Hemos confeccionado un Ape resultados complementarios utilizados en el resto de la memoria, desglosado en una serie de apartados. La mayor´ıa son sobradamente conocidos y nos limitamos a dar el enunciado y una referencia bibliogr´afica. Sin embargo, se incluye la demostraci´ on de otros menos difundidos o para los que no hemos podido dar una referencia concreta. En lo que respecta a las numerosas referencias empleadas, destacamos [21], [57] y [51] para la parte dedicada a la integral de Riemann, y [44], [22], [20] y [19] en lo que se refiere a la integral de McShane. No obstante, a lo largo de la memoria indicamos con precisi´ on la fuente de cada resultado y proporcionamos al inicio de cada secci´ on o cap´ıtulo las referencias elementales relativas al mismo. El presente trabajo no es una mera recopilaci´on del material de los art´ıculos citados anteriormente o el resto de los que aparecen en la bibliograf´ıa. Hemos ampliado y, en algunos casos, corregido algunas de las demostraciones originales (ejemplos destacados son A.4.15, 3.3.1 y 10.3.3). Ciertos resultados han sido obtenidos de manera independiente (es decir, hemos conseguido una prueba de ellos sin disponer de los art´ıculos donde aparecen

x

´ INTRODUCCION

demostrados), por ejemplo 2.2.14, 3.2, 8.2.2, 8.3.1 iii), 8.4.1, 10.3.1 iii), 10.3.9 y 10.3.10. En otros casos hemos conseguido demostraciones alternativas m´as elementales o transparentes, como pueden ser 3.2.5, 6.0.4, 10.3.1 ´o 10.3.4. Incluimos tambi´en mejoras y generalizaciones de resultados previos, como pueden ser 2.1.4, 4.0.12 iii), 5.1.2 iv), 5.2.5 y 6.0.2. Adem´ as, creemos que 6.0.1 es un resultado original que aparece publicado aqu´ı por primera vez.

Notaciones y convenios Aunque la notaci´ on es est´andar (la de textos como [17]), creemos conveniente hacer una serie de observaciones al respecto. En toda la memoria K denota indistintamente el cuerpo R (de los n´ umeros reales) ´ o C (de los n´ umeros complejos). Para nosotros un espacio de medida es una terna (Ω, Σ, µ), donde Ω es un conjunto, Σ es una σ-´ algebra en Ω y µ : Σ −→ [0, ∞] una medida contablemente aditiva tal que µ(∅) = 0. Denotamos por L1 (µ) al conjunto de las funciones de Ω en K integrables Lebesgue. El subconjunto de las reales se representa mediante L1R (µ). El espacio de Banach cociente obtenido identificando funciones integrables que coinciden en casi todo punto se denota por L1 (µ). Mantenemos la misma notaci´ on para una funci´on integrable y su clase de equivalencia en L1 (µ). Si E ∈ Σ, definimos ΣE = {A ∩ E : A ∈ Σ} y µE = µ ΣE . Si A, B ∈ Σ son medibles, decimos que A est´a contenido esencialmente en B si µ(A \ B) = 0. La medida (resp. exterior) de Lebesgue se representa mediante m (resp. m∗ ) y la σ-´ algebra de Lebesgue de [a, b] mediante Σ. Un subconjunto medible E ⊂ [a, b] es conulo si m([a, b] \ E) = 0. Si E ⊂ Ω, su funci´ on caracter´ıstica viene dada por χE : Ω −→ R, χE (x) = 0 si x 6∈ E y χE (x) = 1 si x ∈ E. Si V es un espacio vectorial y f : Ω −→ V es una aplicaci´ on, definimos χE f como la funci´on que vale 0 fuera de E y coincide con f en E. En toda la memoria X representa un espacio de Banach arbitrario sobre K (es decir, puede ser tanto real como complejo). Las excepciones a esta regla se indican convenientemente. El dual topol´ogico se representa mediante X ∗ , BX es el conjunto de elementos de X de norma menor o igual que 1 y SX el formado por los de norma 1. La topolog´ıa d´ebil de X (resp. d´ebil estrella de X ∗ ) la denotamos por ω ´ o σ(X, X ∗ ) (resp. ω ∗ ´o σ(X ∗ , X)). Si no se dice lo contrario la topolog´ıa del espacio X que consideramos es la inducida por la norma (por ejemplo, si escribimos limn xn = x nos referimos a la topolog´ıa normada). Una inmersi´ on de espacios de Banach es una aplicaci´on lineal T : X −→ Y que es un homeomorfismo entre X y T (X). Obtenemos un renormamiento de un espacio de Banach cuando cambiamos la norma original por otra equivalente (es decir, que induce la misma topolog´ıa). Para cada n ∈ N definimos en = (δi,n )i∈N ∈ {0, 1}N , donde δi,n representa la delta de Dirac: δi,n = 0 si i 6= n, δn,n = 1. Una topolog´ıa vectorial τ en un espacio vectorial V es una topolog´ıa (no necesariamente Hausdorff) que hace continuas a las operaciones de suma y producto por escalares del espacio V . El par (V, τ ) se dice espacio vectorial topol´ ogico. El interior de un subconjunto A de un espacio topol´ogico se denota mediante int(A), su adherencia o clausura mediante A. En toda la memoria [a, b] es un intervalo cerrado y acotado de R. Salvo que se diga lo contrario todos los intervalos son no degenerados (es decir, no unipuntuales).

xi

xii

Parte I

Integral de Riemann

1

Cap´ıtulo 1

Definici´ on y propiedades elementales Se llama partici´ on de Riemann de [a, b] a una colecci´on P = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} donde • {[ai , bi ]}i=1,...,n es un conjunto de subintervalos de [a, b] (los subintervalos de P) que no se solapan (es decir, la intersecci´on de dos distintos es como mucho un punto) cuya uni´ on es [a, b]. El conjunto de extremos de estos intervalos se llama conjunto de puntos de P y lo denotaremos mediante e(P). • si ∈ [ai , bi ] para cada i = 1, . . . , n. Se llamar´an puntos intermedios de la partici´on y su conjunto lo denotaremos por t(P). Normalmente escribiremos t(P) = {s1 , . . . , sn } (aunque haya repeticiones). La norma de la partici´ on se define como |P| = max {bi − ai : i = 1, . . . , n} . Sea P 0 otra partici´ on de Riemann del intervalo [a, b]. Diremos que P 0 es m´ as fina que P si e(P) ⊂ e(P 0 ). Sea ahora f : [a, b] −→ X una funci´on. La suma de Riemann de f asociada a la partici´ on P se define como f (P) =

n X

(bi − ai )f (si ).

i=1

En otras ocasiones escribiremos abreviadamente f (P) = Hi = [ai , bi ] y m(Hi ) = bi − ai . 3

Pn

i=1

m(Hi )f (si ) para

4

´ Y PROPIEDADES ELEMENTALES CAP´ITULO 1. DEFINICION

Denotaremos el conjunto de las particiones de Riemann del intervalo [a, b] mediante Π[a, b]. De aqu´ı en adelante, salvo que se diga lo contrario, cuando hablemos de una partici´ on de Riemann nos estaremos refiriendo a una partici´ on de Riemann del intervalo [a, b]. Definici´ on 1.0.1. Sea f : [a, b] −→ X una funci´ on. Diremos que es integrable Riemann en [a, b] con integral z ∈ X si satisface las siguientes condiciones equivalentes: i) Para cada  > 0 existe δ > 0 tal que, para toda partici´ on de Riemann P de norma menor que δ, kf (P) − zk < . ii) Para cada  > 0 existe una partici´ on de Riemann P tal que, para toda P ∈ Π[a, b] m´ as fina que P , kf (P) − zk < . Demostramos la equivalencia como en [21, Teorema 3]. Proposici´ on 1.0.2. Para una funci´ on f : [a, b] −→ X las dos condiciones anteriores son equivalentes e implican que f es acotada. Demostraci´ on. i) ⇒ ii) Sea  > 0. Existe δ > 0 tal que kf (P)−zk <  para cada P ∈ Π[a, b] de norma menor que δ. Fijamos P0 ∈ Π[a, b] de norma menor que δ. Si P es una partici´ on de Riemann m´as fina que P0 es claro que |P| ≤ |P0 | < δ y as´ı kf (P) − zk < . Antes de probar la otra punta de flecha afirmamos que si f satisface ii), entonces est´ a acotada. En efecto: tomemos una partici´on de Riemann P0 = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} tal que kf (P) − zk < 1 para cada P ∈ Π[a, b] m´as fina que P0 . Para ver que f es acotada basta comprobar que lo est´a en cada uno de los subintervalos de P0 . Fijamos 1 ≤ i ≤ n. Para cada t ∈ [ai , bi ] definimos la partici´on Pt ∈ Π[a, b] como aquella que tiene como subintervalos los de P0 y puntos intermedios sj ∈ [aj , bj ] para cada j 6= i y t ∈ [ai , bi ]. Evidentemente, Pt es m´as fina que P0 y por tanto kf (Pt ) − zk < 1. Adem´as kf (P0 ) − zk < 1 y, entonces, kf (Pt ) − f (P0 )k < 2. Pero f (Pt ) − f (P0 ) = (bi − ai )(f (t) − f (si )), lo que implica kf (t) − f (si )k
0 tal que kf (t)k < M para todo t ∈ [a, b]. Dado  > 0, sea P0 ∈ Π[a, b] tal que kf (P) − zk < 2 para cada P ∈ Π[a, b] m´as fina que P0 . Afirmamos que para cada P ∈ Π[a, b] |P| < δ :=

 4M (n + 1)

⇒

kf (P) − zk < ,

donde n es el n´ umero de subintervalos de P0 . En efecto, sea P ∈ Π[a, b] tal que |P| < δ. Escribimos P0 = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} P = {([ci , di ], ti ) : i = 1, . . . , m} . Definimos el conjunto Y de los pares (i, j) ∈ {1, . . . , n} × {1, . . . , m} tales que [ai , bi ] ∩ [cj , dj ] =: Ii,j no es ni vac´ıo ni un punto. Construimos la siguiente partici´ on auxiliar P1 ∈ Π[a, b] P1 = {(Ii,j , ri,j ) : (i, j) ∈ Y } , donde para cada (i, j) ∈ Y • Si Ii,j = [cj , dj ], entonces ri,j := tj . • En caso contrario tomamos ri,j ∈ Ii,j arbitrario. Observamos que

X

X

m

kf (P) − f (P1 )k = (dj − cj )f (tj ) − m(Ii,j )f (ri,j )

j=1

(i,j)∈Y



m

X X

= m(I ) (f (t ) − f (r )) i,j j i,j

j=1 1≤i≤n

(i,j)∈Y ≤

m X j=1

≤ 2M

≤ 2M

X

m(Ii,j )kf (tj ) − f (ri,j )k

1≤i≤n (i,j)∈Y Ii,j 6=[cj ,dj ] m X

X

j=1

1≤i≤n (i,j)∈Y Ii,j 6=[cj ,dj ]

X

(dj − cj ),

m(Ii,j )

(1.1)

j∈J

donde J es el conjunto de los j ∈ {1, . . . , m} para los que existe un 1 ≤ i ≤ n tal que (i, j) ∈ Y y [cj , dj ] 6= Ii,j (es decir, (cj , dj ) ∩ e(P0 ) 6= ∅). Como e(P0 ) tiene n + 1 elementos, es claro que |J| ≤ n + 1.

6

´ Y PROPIEDADES ELEMENTALES CAP´ITULO 1. DEFINICION De la desigualdad anterior se desprende que kf (P) − f (P1 )k < 2M (n + 1)|P|
0 tal que si P1 , P2 ∈ Π[a, b] tienen norma menor que δ, entonces kf (P1 ) − f (P2 )k < . iii) Para cada  > 0 existe P ∈ Π[a, b] tal que si P1 , P2 ∈ Π[a, b] son m´ as finas que P , entonces kf (P1 ) − f (P2 )k < . iv) Para cada  > 0 existe P ∈ Π[a, b] tal que si P1 , P2 ∈ Π[a, b] satisfacen e(P1 ) = e(P2 ) = e(P ), entonces kf (P1 ) − f (P2 )k < . Demostraci´ on. i) ⇔ ii) y i) ⇔ iii) son consecuencia de la condici´on de Cauchy para redes y la proposici´ on 1.0.3. iii) ⇒ iv) es evidente. iv) ⇒ iii) Sea  > 0 fijo. Por hip´otesis existe P ∈ Π[a, b] tal que para cada par P1 , P2 ∈ Π[a, b] con los mismos puntos que P tenemos kf (P1 )−f (P2 )k < 2 . Escribimos P = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} y definimos la partici´on auxiliar P0 = {([ai , bi ], ai ) : i = 1, . . . , n} . Vamos a demostrar a continuaci´ on que para cada P ∈ Π[a, b] m´as fina que P se cumple kf (P) − f (P0 )k < 2 (con esta afirmaci´on la prueba termina). En efecto, tomamos P = {([cj , dj ], tj ) : i = 1, . . . , m} m´as fina que P . Existe una partici´ on de {1, . . . , m}, digamos J1 , . . . , Jn , tal que para cada 1 ≤ i ≤ n [ [ai , bi ] = [cj , dj ]. j∈Ji

Por lo tanto f (P0 ) − f (P)

=

n X

(bi − ai )f (ai ) −

i=1

=

n X

=

(dj − cj )f (tj )

j=1





(bi − ai )f (ai ) −

i=1

=

m X

n X X i=1 j∈Ji n X X i=1 j∈Ji

X

(dj − cj )f (tj )

j∈Ji

(dj − cj )(f (ai ) − f (tj )) dj − cj (bi − ai )(f (ai ) − f (tj )). bi − ai (1.2)

´ Y PROPIEDADES ELEMENTALES CAP´ITULO 1. DEFINICION

8

Es decir, f (P0 ) − f (P) ∈

Pn

i=1

co(Ri ), siendo

Ri = {(bi − ai )(f (s) − f (t)) : t, s ∈ [ai , bi ]} , Por otra parte afirmamos n X

n X co(Ri ) ⊂ co( Ri ).

i=1

(1.3)

i=1

En efecto: es inmediato (razonando por inducci´on en n) que nos podemos reducir al caso n = 2. P Sean x ∈ co(RP f1 , . . . , fr ,P g1 , . . . , gs ∈ 1 ) e y ∈ co(R2 ). Existen P r s [0, 1] tales que k=1 fk = 1, l=1 gl = 1, x = k fk xk e y = l gl yl para ciertos x1 , . . . , xr ∈ R1 e y1 , . . . , ys ∈ R2 . Es inmediato comprobar que X x+y = (fk gl )(xk + yl ) k,l

P P P y, adem´ as, 1 = ( k fk ) ( l gl ) = k,l fk gl , lo que prueba la afirmaci´on. Pn Volviendo a iv) ⇒ iii), tenemos entonces que f (P0 ) − f (P) ∈ co ( i=1 Ri ). Para concluir vamos a ver que ! n X  x ∈ co Ri ⇒ kxk < 2 i=1 En efecto, por la convexidad de las bolas en X basta probar que si x ∈ entonces kxk < 2 . Evidentemente n X

Pn

i=1

Ri

Ri = {f (P1 ) − f (P2 ) : P1 , P2 ∈ Π[a, b] tales que e(P1 ) = e(P2 ) = e(P )}

i=1

est´ a formado por elementos de norma menor que completa la prueba.

 2

por la elecci´on de P . Esto

A continuaci´ on extendemos al caso vectorial unas sencillas propiedades sobradamente conocidas de la integral de Riemann de funciones reales, tal y como sugiere R.A. Gordon en [21, Teoremas 7-8]. Observaci´ on 1.0.5. Sea x ∈ X fijo. Sea f : [a, b] −→ X la funci´ on constante con imagen {x}. Entonces f (P) = (b − a)x para cada P ∈ Π[a, b] y, por tanto, f Rb Rb Rb es integrable Riemann y a f = (b−a)x. Emplearemos la notaci´ on a x := a f . Proposici´ on 1.0.6. Sean f : [a, b] −→ X integrable Riemann y [c, d] ⊂ [a, b]. Entonces f [c,d] es integrable Riemann en [c, d]. Nota 1.0.7. Denotaremos de igual modo a una funci´ on f y a cualquier restricci´ on suya.

9 Demostraci´ on. Es simple consecuencia del criterio de Cauchy 1.0.4. Si  > 0, tomamos δ > 0 tal que kf (P1 ) − f (P2 )k <  para todo par de particiones de Riemann de [a, b] de norma menor que δ. Dadas ahora P, P 0 ∈ Π[c, d] tales que |P|, |P 0 | < δ, podemos encontrar P1 , P2 ∈ Π[a, b] de norma menor que δ tales que f (P1 ) − f (P2 ) = f (P) − f (P 0 ). La construcci´ on es obvia: sean Pl y Pr particiones de Riemann de norma menor que δ de los subintervalos [a, c] y [d, b] respectivamente (si alguno es degenerado no lo consideramos en el razonamiento). Entonces los subintervalos de P1 (resp. P2 ) ser´ an los de P (resp. P 0 ) m´as los de Pl y Pr ; los puntos intermedios asociados a P1 (resp. P2 ) ser´ an los de P (resp. P 0 ) junto con los de Pr y Pl . Proposici´ on 1.0.8. Sean f : [a, b] −→ X una funci´ on y a < c < b. Entonces f es integrable Riemann en [a, b] si y s´ olo si f [a,c] y f [c,b] son integrables Riemann en [a, c] y [c, b] respectivamente. En tal caso Z b Z c Z b f= f+ f. a

a

c

Demostraci´ on. Una implicaci´ on es consecuencia del resultado precedente. Para ver el rec´ıproco fijamos  > 0 y un par de particiones P1 ∈ Π[a, c], P2 ∈ Π[c, b] tales que si P ∈ Π[a, c] (resp. P ∈ Π[c, b]) es m´as fina que P1 (resp. P2 ), entonces

Z c



f (P) − f

< 2 a

y respectivamente

Z b



f < .

f (P) −

2 c Sea ahora P0 ∈ Π[a, b] definida ensamblando P1 y P2 (es decir, sus subintervalos son los de P1 m´ as los de P2 , y sus puntos intermedios los de P1 m´as los de P2 –asociados a los subintervalos correspondientes–). Si ahora P ∈ Π[a, b] es m´as fina que P0 resulta que e(P1 ) ∪ e(P2 ) ⊂ e(P), c ∈ e(P) y podemos construir a partir de P dos particiones P10 ∈ Π[a, c] y P20 ∈ Π[c, b] del modo siguiente: • P10 tiene como subintervalos los de P contenidos en [a, c], y como puntos intermedios los que tiene P asociados a los anteriores intervalos. • P20 tiene como subintervalos los de P contenidos en [c, b], y como puntos intermedios los que tiene P asociados a aqu´ellos. Es claro que P1  P10 y P2  P20 . Por tanto

Z c  Z c Z b



0 f− f = f (P1 ) − f +

f (P) −

a c a

f (P20 )

Z − c

b

!

f < .

Esto prueba la otra implicaci´ on y la aditividad respecto del intervalo de integraci´ on.

10

´ Y PROPIEDADES ELEMENTALES CAP´ITULO 1. DEFINICION

Proposici´ on 1.0.9. El conjunto R([a, b], X) de las funciones de [a, b] en X integrables Riemann es un espacio vectorial y la integral es una forma lineal sobre ´el. Demostraci´ on. Trabajamos con las notaciones de la proposici´on 1.0.3. Si f, g ∈ R([a, b], X) y v, w ∈ K, entonces la funci´on h = vf + wg : [a, b] −→ X satisface para cada P ∈ Π[a, b] Sh1 (P) = vSf1 (P) + wSg1 (P). Por hip´ otesis existen los l´ımites (en norma) b

Z

f=

lim Sf1

a

Z y

b

g = lim Sg1 .

a

La continuidad de la suma y el producto por escalares en X implica que existe Rb Rb el l´ımite de la red Sh1 y vale v a f + w a g. Proposici´ on 1.0.10. Sea f : [a, b] −→ X una funci´ on integrable Riemann. Sea M una cota superior de kf k en [a, b]. Entonces

Z

b

f ≤ M (b − a).

a Si adem´ as kf k : [a, b] −→ R es integrable Riemann,

Z

b Z b

f ≤ kf k.

a a Demostraci´ on. Sea P ∈ Π[a, b] arbitraria. Si P = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} , entonces

n n

X

X

kf (P)k = (bi − ai )f (si ) ≤ (bi − ai )kf k(si ) = kf k(P) ≤ M (b − a).

i=1

i=1

Esta desigualdad (v´ alida para toda partici´on de Riemann del intervalo) y la proposici´ on 1.0.3 finalizan la prueba. Hasta ahora todo lo que hemos visto guarda un claro paralelismo con las propiedades de la integral de Riemann de funciones reales. A continuaci´on mostramos que una de ellas no se preserva en el caso general: la integrabilidad absoluta. El siguiente ejemplo [21, Ejemplo 14] re´ une diversas patolog´ıas de la integral de Riemann vectorial que ser´an analizadas con detalle en los Cap´ıtulos 2 (secci´ on 2.2) y 3.

11 Ejemplo 1.0.11 (B.J. Pettis, 1938). Sea B[a, b] el espacio de Banach de las funciones reales acotadas definidas en [a, b] (con la norma del supremo). Si E ⊂ [a, b] no es medible Lebesgue, consideramos la funci´ on f : [a, b] −→ B[a, b] definida por f (t) = χ{t} si t ∈ E, f (t) = 0 en caso contrario. Entonces f es integrable Riemann, mientras que kf k no es medible Lebesgue (y, por tanto, no puede ser integrable Riemann). Demostraci´ on. Veamos en primer lugar la integrabilidad. Sean P, P 0 ∈ Π[a, b] con los mismos subintervalos {[ai , bi ]}1≤i≤n y puntos intermedios (si )1≤i≤n y (ti )1≤i≤n , respectivamente. Supongamos que bi − ai = d para todo 1 ≤ i ≤ n. Un punto x ∈ [a, b] puede coincidir como mucho con dos de los (si ) y con dos de los (ti ). Por tanto

n

X

0 kf (P) − f (P )k = (bi − ai )(f (si ) − f (ti ))

i=1

n

X

= d (χ{si }∩E − χ{ti }∩E )

i=1

≤ 2d. Esta desigualdad, junto con el criterio iv) de la proposici´on 1.0.4, proporciona la integrabilidad Riemann de f . Por otro lado, la elecci´ on de E garantiza que kf k = χE no es medible Lebesgue. Presentamos a continuaci´ on una versi´on preliminar del teorema fundamental del c´ alculo para la integral de Riemann [21, Teorema 8]. Recu´erdese que una funci´ on f : [a, b] −→ X se dice lipschitziana (con constante de Lipschitz L > 0) cuando kf (t) − f (s)k ≤ L|t − s| para cada t, s ∈ [a, b]. En tal caso f es continua. Proposici´ on 1.0.12. Sea f : [a, b] −→ X integrable Riemann. Definimos su Rt funci´ on integral indefinida mediante F (t) := a f para a < t ≤ b, F (a) = 0. Entonces: • F es lipschitziana en [a, b]. • Si f es continua en un punto t ∈ [a, b], entonces existe F 0 (t) = f (t). Demostraci´ on. Veamos en primer lugar la lipschitzianidad de F . Sea M una cota superior de kf k en [a, b]. Para cualquier par t < s en [a, b] las proposiciones 1.0.8 y 1.0.10 nos muestran que

Z s

kF (s) − F (t)k = f

≤ M (s − t). t

12

´ Y PROPIEDADES ELEMENTALES CAP´ITULO 1. DEFINICION

Vamos a probar la segunda afirmaci´on del enunciado. Supongamos que t ∈ [a, b] es un punto de continuidad de f . Para cada h ∈ R∗ tal que t+h ∈ [a, b] tenemos la siguiente igualdad ! Z t+h Z t Z t+h Z F (t + h) − F (t) 1 1 t+h −f (t) = f− f− f (t) = (f −f (t)), h h h t a a t por la linealidad de la integral y la aditividad con respecto al intervalo de integraci´ on. Fijemos ahora  > 0. La continuidad de f en t nos dice que existe un δ > 0 tal que para cada h ∈ R∗ que verifique |h| < δ y t + h ∈ [a, b] entonces kf (t + h) − f (t)k < . Para un tal h obtenemos que

F (t + h) − F (t)

≤ 1 (|h|) =  − f (t)

|h| h en virtud de la proposici´on 1.0.10. Esto finaliza la prueba. La composici´ on de una funci´on integrable Riemann con un elemento del dual es integrable Riemann [21, Teorema 7]. Esta es la principal consecuencia de la siguiente Proposici´ on 1.0.13. Sea f : [a, b] −→ X una funci´ on integrable Riemann. Sea T : X −→ Y un operador continuo entre espacios de Banach. Entonces la composici´ on T f es integrable Riemann en [a, b] y ! Z Z b

b

Tf = T a

f

.

a

∗ En particular, para cada x∗ ∈ X ∗ la funci´  on x f : [a, b] −→ K es integrable R Rb ∗ b Riemann con integral a x f = x∗ a f .

Demostraci´ on. Si T = 0 el resultado es trivial. Supongamos entonces que kT k > Rb 0 y fijemos  > 0 arbitrario. Sea δ > 0 tal que kf (P) − a f k < kT k para cada P ∈ Π[a, b] de norma menor que δ. Dada una partici´on cualquiera P ∈ Π[a, b] tenemos (T f )(P) = T (f (P)) y, si adem´as tiene norma menor que δ,

Z b ! Z b





f ≤ kT k f (P) − f < .

(T f )(P) − T



a a

Como una peque˜ na aplicaci´on demostramos el siguiente resultado a partir del teorema fundamental del c´alculo para la integral de Riemann de funciones reales, simplificando la prueba de [21, Teorema 16], que se apoya en la integral de Bochner.

13 Proposici´ on 1.0.14 (Graves, 1927). Si f : [a, b] −→ X es derivable en todo punto y f 0 : [a, b] −→ X es integrable Riemann en [a, b], entonces Z t f (t) − f (a) = f0 a

para cada t ∈ [a, b]. Demostraci´ on. Si x∗ ∈ X ∗ , la funci´on x∗ f es derivable en todo [a, b] con derivada (x∗ f )0 (t) = x∗ (f 0 (t)). La integrabilidad Riemann de f 0 implica que la derivada (x∗ f )0 es integrable Riemann (proposici´on 1.0.13) y podemos concluir que para todo t ∈ [a, b] Z t  Z t x∗ (f (t) − f (a)) = x∗ f (t) − x∗ f (a) = x∗ (f 0 ) = x∗ f0 . a

a

Aplicando el teorema de Hahn-Banach tenemos el resultado deseado. Es sencillo adaptar a nuestro contexto la prueba del caso real del teorema de cambio de variable para la integral de Riemann. Proposici´ on 1.0.15 (Cambio de variable). Sea f : [a, b] −→ X integrable Riemann. Sea φ : [c, d] −→ [a, b] estrictamente creciente de clase C 1 tal que φ(c) = a y φ(d) = b. La funci´ on g : [c, d] −→ X definida por g(s) = φ0 (s)f (φ(s)) es integrable Riemann en [c, d] y Z

d

Z g=

c

b

f. a

Demostraci´ on. Sean M y K cotas superiores de kf k y |φ0 | en [a, b]. Si P ∈ Π[c, d] P = {([ci , di ], si ) : i = 1, . . . , n} , entonces la monoton´ıa de φ nos permite construir una partici´on Pφ = {([φ(ci ), φ(di )], φ(si )) : i = 1, . . . , n} ∈ Π[a, b]. El teorema de los valores intermedios de Lagrange implica que |Pφ | ≤ K|P| y f (Pφ )

= =

n X i=1 n X

(φ(di ) − φ(ci ))f (φ(si )) φ0 (ti )(di − ci )f (φ(si ))

i=1

= g(P) −

n X i=1

(di − ci )(φ0 (si ) − φ0 (ti ))f (φ(si ))

14

´ Y PROPIEDADES ELEMENTALES CAP´ITULO 1. DEFINICION

para ciertos ti ∈ [ci , di ]. Por tanto

Z b Z b n



X



f ≤ f (Pφ ) − f + M (di − ci )|φ0 (si ) − φ0 (ti )|.

g(P) −



a a i=1

Es claro que el resultado se sigue de la integrabilidad de f , la desigualdad |Pφ | ≤ K|P| y la continuidad uniforme de φ0 en [c, d]

Cap´ıtulo 2

Condiciones suficientes de integrabilidad En este cap´ıtulo vamos a analizar un par de condiciones que garantizan la integrabilidad Riemann de una funci´on f : [a, b] −→ X. La referencia b´asica que hemos seguido es [21]. Recordemos que una funci´ on f : [a, b] −→ K se dice de variaci´ on acotada si existe una constante K > 0 tal que para cada colecci´on finita de subintervalos de [a, b] que no se solapen, {[ai , bi ]}1≤i≤n , n X

|f (bi ) − f (ai )| ≤ K.

i=1

En el caso X = R los siguientes hechos son sobradamente conocidos: • Las funciones de variaci´ on acotada son integrables Riemann [2, 7.28]. • Una funci´ on es integrable Riemann si y s´olo si es acotada y continua en casi todo punto (teorema de Lebesgue, [48, 5.27]). Al considerar el caso vectorial la primera afirmaci´on sigue siendo v´alida y, de hecho, la hip´ otesis se puede debilitar (v´ease la proposici´on 2.1.3). Extender el segundo resultado no es, en general, posible, aunque sigue siendo cierto el si (corolario 2.2.8). El estudio de la validez, para un espacio de Banach X, del teorema de caracterizaci´ on de Lebesgue ocupar´a una parte sustancial de esta memoria, en concreto todo el Cap´ıtulo 3.

2.1

Variaci´ on d´ ebilmente acotada

Volvamos por un momento al ejemplo 1.0.11. Un vistazo permite apreciar que f tiene una propiedad especial que nos permite obtener, a partir del criterio de Cauchy iv) (1.0.4), su integrabilidad Riemann: la existencia de una constante 15

16 CAP´ITULO 2. CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD K > 0 (que s´ olo depende de f ; en el citado ejemplo tomamos K = 2) tal que para cada familia finita de subintervalos de [a, b] que no se solapen, digamos {[ai , bi ]}1≤i≤n ,

n

X



(f (bi ) − f (ai )) ≤ K.

i=1

Definici´ on 2.1.1. Una funci´ on f : [a, b] −→ X que posea la anterior propiedad se llamar´ a de variaci´ on d´ebilmente acotada (abreviadamente VDA). A continuaci´ on justificamos esta terminolog´ıa. Lema 2.1.2. Para una funci´ on f : [a, b] −→ X son equivalentes: i) f es de VDA. ii) Para cada x∗ ∈ X ∗ la funci´ on x∗ f es de variaci´ on acotada. Demostraci´ on. i) ⇒ ii) Fijemos x∗ ∈ X ∗ y una familia de subintervalos como en la definici´ on precedente. Por A.7.1 existe una constante C > 0 (universal, que podemos tomar π) y un subconjunto S ⊂ {1, . . . , n} tal que n X X ∗ ∗ ∗ ∗ |x f (bi ) − x f (ai )| ≤ C x f (bi ) − x f (ai ) i=1 i∈S ! ∗ X = C x (f (bi ) − f (ai )) i∈S

X

≤ Ckx∗ k (f (bi ) − f (ai ))

i∈S

≤ Ckx∗ kK, siendo K una constante que satisfaga las condiciones de la definici´on de funci´on de VDA. Esto prueba que x∗ f es de variaci´on acotada. ii) P ⇒ i) S´ olo necesitamos comprobar que el conjunto A de las sumas de la forma i (f (di )−f (ci )), donde {[ci , di ]}i es una colecci´on finita de subintervalos de [a, b] que no se solapan, es acotado. Por el principio de la acotaci´ on uniforme A est´ a acotado si y s´olo si x∗ (A) es acotado para cada x∗ ∈ X ∗ . Para verlo fijamos x∗ ∈ X ∗ . Por hip´otesis x∗ f es de variaci´on acotada. Sea K > 0 (dependiente de x∗ ) una constante que satisfaga la condici´on de la definici´on de funci´ on de variaci´ on acotada mencionada anteriormente. Tenemos ! X ∗ X (f (di ) − f (ci )) ≤ |x∗ f (di ) − x∗ f (ci )| ≤ K x i

i

para cada colecci´ on finita de subintervalos que no se solapen. Por lo tanto x∗ (A) es acotado (para cada x∗ ∈ X ∗ ) y f es de VDA. Repitiendo el argumento dado en el ejemplo que origin´o esta discusi´on vamos a probar (siguiendo [21, Teorema 9]) la siguiente

´ DEBILMENTE ´ 2.1. VARIACION ACOTADA

17

Proposici´ on 2.1.3 (Alexiewicz-Orlicz). Sea f : [a, b] −→ X una funci´ on de VDA. Entonces es integrable Riemann en [a, b]. Demostraci´ on. Empleamos el criterio de Cauchy 1.0.4. Sean  > 0 arbitrario y K > 0 una cota superior de la norma de los elementos del conjunto de las sumas P (f (d ) − f (c )), donde {[ci , di ]}i es una colecci´on finita de subintervalos que i i i  no se solapan. Fijamos n ∈ N tal que ∆ := b−a on P0 ∈ Π[a, b] n < K y una partici´ P0 = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} de modo que bi − ai = ∆ para todo 1 ≤ i ≤ n. Entonces, si P1 , P2 ∈ Π[a, b] son de la forma P1 = {([ai , bi ], ri ) : i = 1, . . . , n} ,

P2 = {([ai , bi ], ti ) : i = 1, . . . , n}

resulta que

n

n

X

X



kf (P1 ) − f (P2 )k = (bi − ai )(f (ri ) − f (si )) = ∆ (f (ri ) − f (si )) < 



i=1

i=1

Aplicando 1.0.4 tenemos la integrabilidad Riemann de f . El rec´ıproco no es cierto, como mostramos en el siguiente ejemplo (que generaliza uno de R. Rejouani [21, Ejemplo 11]). Ejemplo 2.1.4. Sean 1 < p < ∞ y Q = [0, 1] ∩ Q = {rn : n ∈ N}. Definimos f : [0, 1] −→ lp como f (rn ) = en para cada n, f (t) = 0 para t 6∈ Q. Entonces R1 existe 0 f = 0 pero f no es de VDA. Demostraci´ on. Sea 1 < q < ∞ tal que

1 p

+ 1q = 1. Fijamos  > 0 arbitrario. Sea

P = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} ∈ Π[0, 1] q

de norma menor que δ = 2 . Sea J el conjunto de ´ındices correspondientes a los puntos intermedios de la partici´on que son racionales, y para cada j ∈ J sea rnj el correspondiente punto intermedio. Existe una partici´on J1 , . . . , JN de J de manera que ni = nj para i, j ∈ Jk y ni 6= nj si i ∈ Jr , j ∈ Js y r 6= s. Observamos que |Jk | ≤ 2 para todo k (un punto intermedio no puede estar asociado a m´ as de dos subintervalos de P) y N ≤ n. Para cada k definimos N (k) = ni si i ∈ Jk . Entonces X j∈J

(bj − aj )enj =

N X



 X

 k=1

j∈Jk

(bj − aj ) eN (k) .

18 CAP´ITULO 2. CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD Como p > 1, tenemos (c + d)p ≤ 2p−1 (cp + dp ) para cada c, d ≥ 0. As´ı,





X

X



kf (P)k = (b − a )f (s ) = (b − a )e i i i j j nj

si ∈Q

j∈J

 

N

X X

  = (b − a ) e j j N (k)

k=1 j∈Jk

  p  p1 N X X  =  (bj − aj )  j∈Jk

k=1

 ≤ 

N X

 p1

 2p−1 

X

(bj − aj )p 

j∈Jk

k=1

 p1 N X X ≤ 2  ( (bj − aj )|P|p−1 ) 

1 q

k=1 j∈Jk

 p1 N X X ≤ (2|P|)  ( (bj − aj )) 

1 q

k=1 j∈Jk

=

1 q

(2|P|) < .

Esto prueba la integrabilidad Riemann de f en [0, 1], con integral 0. Pasamos ahora a ver que no es de VDA. Para ello tomamos n ∈ N arbitrario y consideramos la familia de subintervalos (que no se solapan) {[qk , yk ] : 0 ≤ k ≤ n − 1} ,
b−a donde cada qk , yk ∈ a + k b−a n , a + (k + 1) n , qk = rnk es racional e yk es irracional. Entonces

n

n

X

X 1



eni = n p .

(f (qi ) − f (yi )) =



i=1

i=1

Haciendo crecer n arbitrariamente se observa que f no es de VDA.

2.2

Integrabilidad Darboux

Como anunciamos con anterioridad, vamos a demostrar que una funci´ on f : [a, b] −→ X acotada y continua en casi todo punto es integrable Riemann. Para ello adaptamos al caso vectorial el concepto cl´asico de integrabilidad Darboux, que en el caso de funciones escalares coincide con el de integrabilidad en sentido Riemann. Dicha coincidencia para un espacio de Banach X es, como

2.2. INTEGRABILIDAD DARBOUX

19

veremos m´ as adelante, equivalente a la validez del cl´asico teorema de Lebesgue para funciones integrables Riemann. Antes de nada recordamos una serie de conceptos. Definici´ on 2.2.1. Sean (T, τ ) un espacio topol´ ogico y (X, d) un espacio m´etrico. Consideramos una funci´ on f : T −→ X. i) Si S ⊂ T , llamaremos oscilaci´on de f en S a w(f, S) = sup d(f (s), f (s0 )). s,s0 ∈S

ii) Si t ∈ T , se define la oscilaci´on de F en T como w(f, t) = inf w(f, U ), U ∈(t)

donde (t) denota la familia de entornos de t en (T, τ ). Admitimos que puedan tomar como valor +∞. Resumimos a continuaci´ on una serie de propiedades elementales. Proposici´ on 2.2.2. En las anteriores condiciones i) Si S ⊂ S 0 ⊂ T , entonces w(f, S) ≤ w(f, S 0 ). ii) Si B es una base de entornos de t en (T, τ ), se tiene w(f, t) = inf w(f, U ). U ∈B

iii) Si T = [a, b] con la topolog´ıa ordinaria y t ∈ (a, b), entonces w(f, t) = lim w(f, [t − δ, t + δ]). δ→0+

iv) f es continua en un punto t ∈ T si y s´ olo si w(f, t) = 0. v) Para cada a > 0 el conjunto {t ∈ T : w(f, t) < a} es abierto. vi) Denotamos por Cont(f, τ ) el conjunto de puntos de continuidad de f . Entonces Cont(f, τ ) es un Gδ en T (intersecci´ on numerable de abiertos) y, por tanto, medible Borel. Demostraci´ on. Es inmediata. Como ejemplo hacemos las dos u ´ltimas. iv) Si t ∈ T cumple w(f, t) < a entonces podemos encontrar U ∈ τ entorno de t tal que w(f, U ) < a. Pero para cada s ∈ U ∈ τ , U es un entorno de s y as´ı w(f, s) ≤ w(f, U ) < a, es decir, U ⊂ {t ∈ T : w(f, t) < a}. v) De iii) deducimos que [a, b] \ Cont(f, τ ) = ∪∞ n=1 {t ∈ T : w(f, t) ≥ uni´on numerable de cerrados por iv).

1 }, n

20 CAP´ITULO 2. CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD Definici´ on 2.2.3. Llamaremos partici´on de Darboux del intervalo [a, b] a una colecci´ on finita P de subintervalos que no se solapen y cuya uni´ on sea todo [a, b]. Su norma ser´ a el m´ aximo de las longitudes de los subintervalos que la componen. El conjunto de puntos de la partici´on ser´ a el formado por los extremos de los intervalos, y lo denotaremos mediante e(P). Finalmente, si P 0 es otra partici´ on de Darboux de [a, b], diremos que es m´as fina que P si e(P) ⊂ e(P 0 ). El conjunto de las particiones de Darboux de [a, b] se representa por dΠ[a, b]. Definici´ on 2.2.4. Sea P = {[ai , bi ] : 1 ≤ i ≤ n} ∈ dΠ[a, b]. La suma de Darboux de f asociada a P es

d(f, P) =

n X

w(f, [ai , bi ])(bi − ai ) ∈ [0, ∞].

i=1

Diremos que f es integrable Darboux en [a, b] si cumple alguna (en tal caso ambas) de las siguientes condiciones: i) Para cada  > 0 existe un δ > 0 tal que si P ∈ dΠ[a, b] tiene norma menor que δ, entonces d(f, P) < . ii) Para cada  > 0 existe una P0 ∈ dΠ[a, b] tal que para toda partici´on de Darboux P m´ as fina que P0 se cumple d(f, P) < . Proposici´ on 2.2.5. Las anteriores condiciones son equivalentes. Demostraci´ on. i) ⇒ ii) es consecuencia de que si una partici´on de Darboux es m´ as fina que otra, entonces su norma es menor o igual. ii) ⇒ i) En primer lugar observamos que f es acotada. Esto es claro: dado  = 1Ppodemos encontrar una partici´on P = {[ai , bi ] : 1 ≤ i ≤ n} ∈ dΠ[a, b] tal n 1 que i=1 (bi − ai )w(f, [ai , bi ]) < 1. Por tanto w(f, [ai , bi ]) < bi −a para cada i 1 ≤ i ≤ n, y, en particular, f est´a acotada en [ai , bi ]. Sea M una cota superior de kf k en [a, b]. Fijamos  > 0 y P0 ∈ dΠ[a, b] tal que d(f, P) <  para cada P ∈ dΠ[a, b] m´ as fina que P0 . Escribimos e(P0 ) = {a = t0 < t1 < · · · < tN = b}.  Sea 0 < δ < 8M (N +1) . Dada P ∈ dΠ[a, b] de norma menor que δ vamos a demostrar que d(f, P) < 2. En efecto, si J1 , . . . , Jm son los subintervalos de P definimos A como el conjunto de pares (i, j) ∈ {1, . . . , N } × {1, . . . , m} tales que Ii,j = [ti−1 , ti ] ∩ [cj , dj ] es no vac´ıo ni unipuntual. La partici´on de Darboux

2.2. INTEGRABILIDAD DARBOUX

21

P 0 = {Ii,j }(i,j)∈A es m´ as fina que P0 y, por tanto, d(f, P 0 ) < . Por otro lado d(f, P)

=

m X

w(f, Jj )m(Jj )

j=1

=

X

w(f, Jj )m(Ii,j )

(i,j)∈A

= d(f, P 0 ) +

X

(w(f, Jj ) − w(f, Ii,j ))m(Ii,j )

(i,j)∈A


0 y una partici´on P = {[ai , bi ] : 1 ≤ i ≤ n} ∈ dΠ[a, b] tal que d(f, P ) < . Sean P1 , P2 ∈ Π[a, b] con subintervalos los de P y puntos intermedios si , ti ∈ [ai , bi ] respectivamente. Es claro que kf (P1 ) − f (P2 )k ≤

n X

(bi − ai )kf (si ) − f (ti )k ≤ d(f, P ) < 

i=1

y la integrabilidad Riemann de f se sigue de 1.0.4. Podemos imitar la prueba del caso real para dar la siguiente caracterizaci´on de la integrabilidad Darboux [21, Teorema 18]: Teorema 2.2.7 (Lebesgue). Una funci´ on f : [a, b] −→ X es integrable Darboux si y s´ olo si es acotada y continua en casi todo punto.

22 CAP´ITULO 2. CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD Demostraci´ on. S´ olo si. Ya hemos visto anteriormente que f es acotada si es integrable Darboux. Dado que f es continua en un punto t ∈ [a, b] si y s´olo si w(f, t) = 0, el conjunto de sus puntos de discontinuidad es la uni´on E = ∪∞ i=1 Ei , siendo En = {t ∈ [a, b] : w(f, t) ≥ n1 }. E es medible Lebesgue (uni´on numerable de cerrados, que son medibles) y para ver que tiene medida cero s´olo hay que comprobar que m(En ) = 0 para cada n ∈ N. Fijemos n ∈ N y sea  > 0 arbitrario. Tomemos P = {[ai , bi ] : 1 ≤ i ≤ p} ∈ dΠ[a, b] tal que d(f, P) < n . Sea I = {1 ≤ i ≤ p : En ∩ (ai , bi ) 6= ∅}. Para cada i ∈ I podemos fijar un ti ∈ (ai , bi ) ∩ En ; [ai , bi ] es un entorno de ti en [a, b] y as´ı n1 ≤ w(f, ti ) ≤ w(f, [ai , bi ]). Como En est´a esencialmente contenido en ∪i∈I (ai , bi ) resulta X 1X 1  > d(f, P) ≥ w(f, [ai , bi ])m([ai , bi ]) ≥ m([ai , bi ]) ≥ m(En ) n n n i∈I

i∈I

y as´ı m(En ) <  (para cada  > 0). Por tanto m(En ) = 0. Si. Sea M una cota superior de kf k en [a, b]. Fijamos b − a >  > 0 y n ∈ N tal que n1 < . Por hip´ otesis m(En ) = 0 y existe una sucesi´on de intervalos P∞abiertos disjuntos dos a dos {(ck , dk )}k∈N tales que su uni´on contiene a En y k=1 (dk −ck ) < . Pero En es cerrado en el compacto [a, b] y, por tanto, compacto. As´ı, podemos suponer que la sucesi´ on anterior es finita: {(ci , di )}1≤i≤p . Asumiendo que todos estos intervalos intersecan a En , tenemos para cada i que Ii = [a, b] ∩ [ci , di ] es un intervalo no degenerado y para i 6= j la intersecci´on Ii ∩ Ij es a lo m´as un punto. Sea A = ∪pi=1 Ii ⊂ [a, b]. Claramente [a, b] 6= A por ser m(A) <  < b − a y, as´ı, B = [a, b] \ A es una uni´on disjunta de intervalos abiertos y semiabiertos (estos u ´ltimos aparecen en caso de que a ∈ A ´o b ∈ A). Sea J uno cualquiera de ellos con adherencia [r, s] = J. Es claro que En ∩ [r, s] = ∅ y, por lo tanto, para cada t ∈ [r, s] existe un intervalo cerrado Jt ⊂ [a, b] entorno de t en la topolog´ıa relativa de [a, b] tal que w(f, Jt ) < n1 . La compacidad de [r, s] implica la existencia de t1 , . . . , tn ∈ [r, s] tales que [r, s] ⊂ ∪ni=1 Jti . Sea PJ la partici´on de Darboux de [r, s] con puntos r, s y los extremos de cada Jtk que est´en contenidos en (r, s). Cada subintervalo G de esta partici´on est´ a contenido en alg´ un Jtk = [uk , vk ] y, por lo tanto, satisface w(f, G) < n1 . Resumiendo, tenemos descompuesto B = [a, b] \ A en una uni´on disjunta de intervalos cuyas adherencias admiten particiones de Darboux PJ tales que w(f, G) < n1 para cada G ∈ PJ . Adem´as, A es una uni´on finita de intervalos cuyas longitudes suman menos que . Agrupando estos intervalos con los de las particiones asociadas a B podemos obtener una partici´on de Darboux P0 de [a, b]. Denotaremos por P00 a la colecci´on de subintervalos de P que intersecan a En y por P000 a la colecci´on de los restantes. Acabamos de ver que P00 = {I1 , . . . , Ip } y w(f, G)
0 y una sucesi´ on de subintervalos de [a, b] disjuntos dos a dos {[rn , sn ]}n∈N de manera que kf (sn ) − f (rn )k > α para cada n ∈ N. Demostraci´ on. Por hip´otesis [a, b] \ Cont(f ) = ∪∞ n=1 {t ∈ [a, b] : w(f, t) ≥ tiene medida positiva, luego existe β > 0 tal que

1 n}

K = {t ∈ (a, b) : w(f, t) ≥ β} tiene medida η = m(K) > 0. Fijamos α = β2 . A continuaci´ on construimos por recurrencia una sucesi´on de subintervalos abiertos de [a, b] disjuntos dos a dos, digamos I1 , I2 , . . . , tales que • Ii ∩ K 6= ∅ para cada i ∈ N. Pn • i=1 m(Ii ) < η para todo n ∈ N. Fijamos t1 ∈ K arbitrario. Podemos tomar I1 = (t1 − δ, t1 + δ) siendo 0 < δ < η4 suficientemente peque˜ no de manera que I1 ⊂ [a, b]. Para probar el paso inductivo supongamos dados I1 , . . . , In ⊂ [a, b] intervalos Pn abiertos disjuntos dos a dos tales que Ii ∩ K 6= ∅ para 1 ≤ i ≤ n y i=1 m(Ii ) < η. Esta desigualdad implica que K 6⊂ ∪ni=1 Ii y, por tanto, existe tn+1 ∈ K tal que tn+1 6∈ ∪ni=1 Ii . Basta tomar ahora δ > 0 suficientemente peque˜ no de manera que In+1 = (tn+1 − δ, tn+1 + δ) ⊂ [a, b], no corte a ninguno de los Ii y 2δ < η −

n X i=1

m(Ii ).

2.2. INTEGRABILIDAD DARBOUX

25

Como para cada n ∈ N existe tn ∈ In verificando w(f, tn ) ≥ β > α (e In es abierto), podemos tomar rn < sn contenidos en In tales que kf (sn )−f (rn )k > α. La sucesi´ on {[rn , sn ]}n∈N nos sirve. Proposici´ on 2.2.14. Para un espacio de Banach X son equivalentes: i) X no contiene copias isomorfas de c0 . ii) Toda funci´ on f : [a, b] −→ X de VDA es integrable Darboux. Demostraci´ on. S´ olo nos queda demostrar i) ⇒ ii). Supongamos por reducci´on al absurdo que existe una funci´ on f : [a, b] −→ X de VDA que no es integrable Darboux. Es f´ acil ver, a partir de la definici´on de VDA, que f es acotada. Por el teorema de Lebesgue 2.2.7 la funci´on f no puede ser continua en casi todo punto y el lema anterior garantiza la existencia un α > 0 y una sucesi´on de subintervalos de [a, b] disjuntos dos a dos {[rn , sn ]}n∈N tales que kf (sn ) − f (rn )k > α para cada n ∈ N. En particular la serie ∞ X

(f (sn ) − f (rn ))

n=1

no puede ser convergente en X. Sin embargo, para cada x∗ ∈ X ∗ ∞ X n=1

|x∗ (f (sn ) − f (rn ))| =

∞ X

|x∗ f (sn ) − x∗ f (rn )| < ∞

n=1

porque x∗ f es una funci´ on de variaci´on acotada (lema 2.1.2). Esto contradice el teorema de Bessaga-Pelczynski de caracterizaci´on de los espacios de Banach que no contienen a c0 (teorema A.3.5).

26 CAP´ITULO 2. CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD

Cap´ıtulo 3

La propiedad de Lebesgue El cl´asico teorema de Lebesgue de integraci´on Riemann [48, Teorema 5.27] afirma que una funci´ on f : [a, b] −→ K es integrable Riemann si y s´ olo si es acotada y continua en casi todo punto. Es decir, si y s´ olo si es integrable Darboux (2.2.7). Cuando tratamos el caso general de funciones que toman valores en un espacio de Banach s´ olo una de las implicaciones es v´alida en general (v´ease el corolario 2.2.8 y los ejemplos que lo siguen). Es natural preguntarse: ¿qu´e espacios de Banach X satisfacen que cualquier funci´ on integrable Riemann f : [a, b] −→ X es continua en casi todo punto?. Hasta la fecha s´olo se pueden ofrecer respuestas parciales a esta cuesti´on. Todos los espacios de Banach finitodimensionales tienen esta propiedad, al igual que l1 ([51] y [21]) y el espacio de Tsirelson [21]. Para el resto de espacios de Banach cl´ asicos la respuesta es negativa.

3.1

Espacios de Banach con la propiedad de Lebesgue

Se dice que un espacio de Banach X tiene la propiedad de Lebesgue (abreviadamente LP) si toda funci´ on integrable Riemann f : [a, b] −→ X es continua en casi todo punto. Un espacio de Banach X tiene la propiedad d´ebil de Lebesgue (WLP) si toda funci´ on f : [a, b] −→ X integrable Riemann es d´ebilmente continua en casi todo punto. Evidentemente, un espacio Banach con la propiedad de Lebesgue tiene WLP. Observaci´ on 3.1.1. Sea T : X −→ Y una inmersi´ on de espacios de Banach. Si X no tiene LP entonces Y tambi´en carece de dicha propiedad. En particular LP es una propiedad topol´ ogica (se preserva por renormamientos). Demostraci´ on. Sea f : [a, b] −→ X una funci´on integrable Riemann que no es continua en casi todo punto. La composici´on g = T f : [a, b] −→ Y es integrable Riemann por 1.0.13. Vamos a demostrar que Cont(g) ⊂ Cont(f ) 27

28

CAP´ITULO 3. LA PROPIEDAD DE LEBESGUE

(y como f no es continua en casi todo punto, g tampoco lo puede ser). Para ello observamos que Z = T (X) es un subespacio cerrado del Banach Y topol´ ogicamente isomorfo a X v´ıa T . Tenemos un operador continuo T −1 de Z en X y, as´ı, la composici´on T −1 g = T −1 T f = f es una funci´on continua en cada t ∈ Cont(g). El teorema cl´ asico de Lebesgue de caracterizaci´on de las funciones integrables Riemann nos dice que K tiene la propiedad de Lebesgue. Un argumento sencillo permite extender esta afirmaci´on a cualquier espacio de Banach de dimensi´on finita: Proposici´ on 3.1.2. Todo espacio de Banach finito-dimensional tiene la propiedad de Lebesgue. Demostraci´ on. Sea X un espacio de Banach de dimensi´on finita con una base algebraica {v1 , . . . , vn }. Es f´acil verP(a partir de la equivalencia de todas las n normas en Kn ) que T (a1 , . . . , an ) = i=1 ai vi define un isomorfismo topol´ogico n entre K y X. La observaci´on 3.1.1 nos reduce a demostrar que Kn tiene la propiedad de Lebesgue. Definimos para cada 1 ≤ i ≤ n, pi : Kn −→ K como la proyecci´ on en la i-´esima coordenada (lineal y continua). Sea f : [a, b] −→ Kn integrable Riemann. Para cada i la composici´on pi f : [a, b] −→ K es integrable Riemann (1.0.13) y, por el teorema de Lebesgue, continua en un conjunto medible conulo Ei ⊂ [a, b]. Entonces E = ∩ni=1 Ei es un conjunto medible conulo tal que pi f es continua en cada punto de E para cualquier 1 ≤ i ≤ n y, as´ı, f es continua en cada punto de E. Esto completa la prueba. Un espacio de Banach es de Schur (o tiene la propiedad de Schur) si toda sucesi´ on d´ebilmente convergente es convergente en norma. Todo espacio de dimensi´ on finita tiene dicha propiedad, as´ı como l1 (Γ) para cualquier conjunto infinito Γ [11, Cap´ıtulo VII]. Proposici´ on 3.1.3. Todo espacio de Banach que sea de Schur y tenga WLP posee la propiedad de Lebesgue. Demostraci´ on. Sean f : [a, b] −→ X integrable Riemann y X un espacio de Schur que tiene WLP. Esta u ´ltima condici´on implica que f es d´ebilmente continua en casi todo punto. Sea t ∈ Cont(f, ω) y sea (tn )n∈N cualquier sucesi´on en [a, b] que converja hacia t. Entonces ω − lim f (tn ) = f (t) y as´ı k.k − lim f (tn ) = f (t) gracias a la propiedad de Schur. Por tanto Cont(f ) = Cont(f, ω) es un conjunto medible conulo. A continuaci´ on vamos a demostrar que l1 tiene la propiedad de Lebesgue. Los primeros en descubrirlo fueron Nemirovskii, Ochan y Rejouani [47] (1972). Nosotros seguiremos el m´etodo de [51], basado en una idea de M.I. Kadets, que extrae una propiedad de l1 suficiente para probar que tiene LP. Definici´ on 3.1.4. Un espacio de Banach X tiene la propiedad [K] si existen una constante a > 0 y un conjunto numerable N ⊂ X ∗ de manera que, para cualquier sucesi´ on (xm )m∈N en X con las propiedades siguientes:

3.1. ESPACIOS DE BANACH CON LA PROPIEDAD DE LEBESGUE

29

• converge hacia 0 respecto de σ(X, N ) y • existe  > 0 tal que kxn k ≥  para todo n, se tiene limkx + xm k ≥ kxk + a m

para todo x ∈ X. Proposici´ on 3.1.5. El espacio l1 tiene la propiedad [K]. Demostraci´ on. Para cada n ∈ N definimos x∗n ∈ (l1 )∗ mediante x∗n ((am )m∈N ) = an . Supongamos que la sucesi´ on am = (am n )n , m = 1, 2, . . . , cumple P ∞ i) Existe  > 0 tal que kam k = n=1 |am n | ≥ , m ∈ N. ii) limm x∗n (am ) = limm am n = 0 para todo n. Dado x = (xn )n∈N ∈ l1 arbitrario, vamos a demostrar que  limkx + am k ≥ kxk + . m 2 P∞ Para ello fijamos n0 ∈ N suficientemente grande tal que n=n0 +1 |xn | < 8 . Por  ii) podemos tomar M ∈ N tal que |am n | < 8n0 para cada 1 ≤ n ≤ n0 y cada m ≥ M . Entonces utilizamos la desigualdad triangular al rev´es para obtener kx + am k = ≥

n0 X n=1 n0 X

|xn + am n|+

∞ X

|xn + am n|

n=n0 +1

|xn | −

n=1

n0 X n=1

= kxk − 2

∞ X

|am n|−

∞ X

|xn | +

n=n0 +1

> kxk − 2 = kxk +

8

|xn | + kam k − 2

n0 X

|am n|

n=1

 +  − 2n0

|am n|

n=n0 +1

n=n0 +1



∞ X

 8n0



 2

para cada m ≥ M . Esto prueba la afirmaci´on y demuestra que l1 tiene la propiedad [K] con a = 12 y N = {x∗n }n∈N . Teorema 3.1.6 (Rejouani). Todo espacio de Banach X con la propiedad [K] tiene la propiedad de Lebesgue. Demostraci´ on. Sean a > 0 y N ⊂ X ∗ numerable tales que si (xn )n∈N es una sucesi´ on en X que cumple

CAP´ITULO 3. LA PROPIEDAD DE LEBESGUE

30

• existe un  > 0 de manera que kxn k ≥ , n = 1, 2, . . . , y • σ(X, N ) − limn xn = 0, entonces limkxn + xk ≥ kxk + a n

(3.1)

para cada x ∈ X. Sea f : [a, b] −→ X integrable Riemann. Para cada x∗ ∈ N la funci´on x∗ f es integrable Riemann y, por tanto, m([a, b] \ Cont(x∗ f )) = 0. Consideramos el conjunto medible conulo (N es numerable) G = ∩x∗ ∈N Cont(x∗ f ). Sabemos 1 que [a, b] \ Cont(f ) = ∪∞ n=1 Fn , donde Fn = {t ∈ [a, b] : w(f, t) ≥ n } para n = 1, 2, . . . . El teorema estar´a demostrado si vemos que m(Fn ) = 0 para todo n ∈ N. Fijamos M ∈ N. Como G es conulo, m(FM ) = m(G ∩ FM ). Vamos a demostrar que d := m(G ∩ FM ) = 0 por reducci´on al absurdo. Supongamos que d > 0 y tomemos un δ > 0 tal que para todo par de particiones P, P 0 ∈ Π[a, b] de norma menor que δ ad kf (P) − f (P 0 )k < . 8M Fijamos P0 = {I1 , . . . , In } una partici´on de Darboux de [a, b] de norma menor que δ. Sea J = {i ∈ {1, . . . , n} : int(Ii ) ∩ G ∩ FM 6= ∅} y tomemos tj ∈ int(Ii ) ∩ G ∩ FM para cada j ∈ J (evidentemente J 6= ∅ por ser d > 0). Podemos suponer que J = {1, . . . , k}. Afirmamos que existen t0j ∈ Ij , j = 1, . . . , k tales que

j

! j

X

X a

0 m(Ii ) m(Ii )(f (ti ) − f (ti )) ≥ (3.2)

8M i=1 i=1 para todo j = 1, . . . , k. Vamos a construirlos recurrentemente. • Dado que t1 ∈ FM ∩ int(Ii ), podemos encontrar una sucesi´on (sn )n∈N 1 para todo contenida en I1 convergente a t1 y tal que kf (t1 )−f (sn )k ≥ 4M 1 n (la oscilaci´ on de f en t1 es mayor o igual que M ). Pero tambi´en t1 ∈ G, luego es un punto de continuidad de x∗ f para cada x∗ ∈ N y resulta que σ(X, N ) − limn (f (sn ) − f (t1 )) = 0. Como X tiene la propiedad [K] (3.1), limkf (sn ) − f (t1 )k ≥ n

a . 4M

Podemos tomar t01 = sn (para n suficientemente grande) cumpliendo a km(I1 )(f (t1 ) − f (t01 ))k ≥ m(I1 ) 8M . • Sea 1 < j < k y supongamos que t0i ∈ Ii satisfacen (3.2) para 1 ≤ i ≤ j. En particular

j

! j

X

X a

0 m(Ii )(f (ti ) − f (ti )) ≥ m(Ii ) .

8M i=1

i=1

´ 3.2. LA PROPIEDAD DEBIL DE LEBESGUE

31

Como tj+1 ∈ FM ∩ int(Ij+1 ), podemos razonar como antes y encontrar una sucesi´ on contenida en Ij+1 , digamos (sn )n , convergente hacia tj+1 y 1 tal que kf (sn ) − f (tj+1 )k ≥ 4M para todo n. Adem´as tj+1 ∈ G y as´ı σ(X, N ) − limn (f (tj+1 ) − f (sn )) = 0. La propiedad [K] de X, si definimos Pj x = i=1 m(Ii )(f (ti ) − f (t0i )), implica que limkx + m(Ij+1 )(f (tj+1 ) − f (sn ))k ≥ kxk + m(Ij+1 ) n

a . 4M

Podemos tomar un n suficientemente grande tal que, definiendo t0j+1 = a . Aplicando la sn , kx + m(Ij+1 )(f (tj+1 ) − f (t0j+1 ))k ≥ kxk + m(Ij+1 ) 8M hip´ otesis de inducci´ on concluye la prueba. En particular (t´ omese j = k en (3.2)),

k

X

m(Ii )(f (ti ) − f (t0i )) ≥

i=1

k X

! m(Ii )

i=1

a . 8M

Sea P ∈ Π[a, b] (resp. P 0 ) una partici´on con subintervalos I1 , . . . , In (y, por tanto, con norma menor que δ) y puntos intermedios t(P) = {t1 , . . . , tk , zk+1 , . . . , zn } (resp. t(P 0 ) = {t01 , . . . , t0k , zk+1 , . . . , zn }). Podemos releer la desigualdad anterior en t´erminos de sumas de Riemann:
a kf (P) − f (P 0 )k ≥ m ∪ki=1 Ii . 8M Por la definici´ on de J tenemos que G ∩ FM est´a contenido esencialmente (de hecho, salvo quiz´ as un n´ umero finito de puntos) en ∪ki=1 Ii . Por tanto, d = ad k m(G∩FM ) ≤ m(∪i=1 Ii ) y de aqu´ı kf (P)−f (P 0 )k ≥ 8M , una contradicci´on. Corolario 3.1.7. l1 tiene la propiedad de Lebesgue. Nota 3.1.8. Existe un espacio de Banach separable reflexivo infinito-dimensional con la propiedad de Lebesgue: el espacio de Tsirelson. La prueba se debe a Da Rocha y el lector interesado puede consultar [21].

3.2

La propiedad d´ ebil de Lebesgue

Observaci´ on 3.2.1. Sea T : X −→ Y una inmersi´ on de espacios de Banach. Si Y tiene WLP entonces X tiene dicha propiedad. En particular WLP es una propiedad topol´ ogica (se preserva por renormamientos). Demostraci´ on. Supongamos que X no tiene WLP. Sea f : [a, b] −→ X integrable Riemann que no es d´ebilmente continua en casi todo punto. La composici´on g = T f : [a, b] −→ Y es integrable Riemann (proposici´on 1.0.13). Sabemos que T (X) = Z es un subespacio cerrado de Y topol´ogicamente isomorfo a X a trav´es del operador T . Denotamos por Cont(g, σ(Y, Y ∗ )) al conjunto de

32

CAP´ITULO 3. LA PROPIEDAD DE LEBESGUE

puntos de continuidad (quiz´as vac´ıo) de la funci´on g : [a, b] −→ (Y, ω). Vamos a demostrar que Cont(g, σ(Y, Y ∗ )) ⊂ Cont(f, σ(X, X ∗ )) (y, como f no es d´ebilmente continua en casi todo punto, g tampoco lo puede ser). Fijamos t ∈ Cont(g, σ(Y, Y ∗ )) (si este conjunto no es vac´ıo, naturalmente). Sea x∗ ∈ X ∗ arbitrario y consideremos z ∗ = x∗ T −1 ∈ Z ∗ . El teorema de Hahn-Banach nos permite encontrar una extensi´on y ∗ ∈ Y ∗ de z ∗ . Entonces la funci´ on y ∗ g = z ∗ g = x∗ T −1 g = x∗ T −1 T f = x∗ f es continua en t. Por tanto, t ∈ Cont(f, σ(X, X ∗ )) e Y no tiene WLP. A continuaci´ on damos una condici´on suficiente para que un espacio de Banach tenga la propiedad d´ebil de Lebesgue. Proposici´ on 3.2.2. Sea X un espacio de Banach con dual X ∗ separable. Entonces X tiene WLP. Demostraci´ on. Sea N = {x∗1 , x∗2 , . . . } ⊂ X ∗ denso y numerable. Fijamos una funci´ on integrable Riemann f : [a, b] −→ X. Sea M una cota superior de kf k en [a, b]. Para cada n ∈ N la funci´on x∗n f : [a, b] −→ K es integrable Riemann y, por tanto, continua en casi todo punto. Es decir, En = Cont(x∗n f ) es medible conulo y, as´ı, E = ∩∞ n=1 En es un conjunto medible conulo formado por los puntos de [a, b] donde cada x∗n f es continua (n ∈ N). Afirmamos que f es d´ebilmente continua en cualquier t ∈ E. Fijamos x∗ ∈ X ∗ . Sea (tm )m∈N una sucesi´ on en [a, b] convergente hacia t. Dado  > 0 la densidad de N permite  . Como t ∈ En , existe un m0 ∈ N tal encontrar n ∈ N tal que kx∗ − x∗n k < 4M  ∗ ∗ que |xn f (tm ) − xn f (t)| < 2 para cada m ≥ m0 . Entonces |x∗ f (tm ) − x∗ f (t)| ≤ |x∗ f (tm ) − x∗n f (tm )| + |x∗n f (tm ) − x∗n f (t)| + |x∗n f (t) − x∗ f (t)|  < kx∗ − x∗n kkf (tm )k + + kx∗ − x∗n kkf (t)k <  2 para todo m ≥ m0 . Esto finaliza la demostraci´on. Nota 3.2.3. En realidad hemos demostrado un resultado m´ as fuerte: si X ∗ es ∗ separable y f : [a, b] −→ X es una funci´ on tal que x f es integrable Riemann para cada x∗ ∈ X ∗ (una tal funci´ on se dice RD-integrable –definici´ on 4.0.1– y es acotada por el principio de la acotaci´on uniforme), entonces f es d´ebilmente continua en casi todo punto. Presentamos unos ejemplos de espacios de Banach con dual separable y, por tanto, con la propiedad d´ebil de Lebesgue. • Espacios de dimensi´on finita. • c y c0 (su dual es l1 ).

´ 3.2. LA PROPIEDAD DEBIL DE LEBESGUE

33

• Lp (µ) si (Ω, Σ, µ) es un espacio de medida σ-finita con Σ contablemente generada y 1 < p < ∞ (su dual es Lq (µ) para p1 + 1q = 1, que es separable –v´ease A.1.10–). En particular lp , Lp [a, b] y cualquier espacio de Hilbert separable. El rec´ıproco de la proposici´ on no es cierto: hemos visto que l1 tiene LP (corolario 3.1.7) y, en particular, WLP. Sin embargo su dual (l∞ ) no es separable. A continuaci´ on nos ocupamos de dar ejemplos de espacios de Banach que no tienen WLP. Ejemplo 3.2.4. B[a, b] no tiene WLP. Demostraci´ on. La funci´ on f del ejemplo 1.0.11 es integrable Riemann pero no es medible y, por tanto, no puede ser d´ebilmente continua en casi todo punto (lema 5.0.1). Otro modo de ver que B[a, b] no tiene WLP es utilizar la inmersi´on natural C[a, b] −→ B[a, b] y el siguiente ejemplo, que hemos desarrollado con ideas similares a las de [21, Ejemplo 13]. Ejemplo 3.2.5. El espacio de Banach C[a, b] de las funciones continuas de [a, b] en R (dotado de la norma del supremo) no tiene WLP. Demostraci´ on. C[a, b] es topol´ ogicamente isomorfo a C[0, 1] y basta probar la afirmaci´ on para este u ´ltimo espacio. Definimos una funci´ on f : [0, 1] −→ C[0, 1] del siguiente modo: • si t ∈ [0, 1] es un racional di´adico de la forma t = 2kn (para n ∈ N y 1 ≤ k ≤ 2n − 1), f (t) es la funci´on continua con soporte contenido en k+1 [ k−1 2n , 2n ] que se anula en los extremos de este subintervalo, toma el valor 1 en t y es lineal en el resto del intervalo; • si t no es un racional di´ adico contenido en (0, 1) definimos f (t) = 0. Veamos en primer lugar que f es integrable Riemann en [0, 1]. Sea N ∈ N arbitrario ≥ 2 pero fijo. Sea P0 la partici´on de Darboux de [0, 1] formada por los subintervalos   n 1 n 1 In = N − 2N , N + 2N para 1 ≤ n ≤ 2N − 1 2 2 2 2 y el resto de subintervalos que los anteriores determinan en [0, 1] (las adherencias N de las componentes conexas de [0, 1] \ ∪2n=1−1 In ), digamos J1 , . . . , J2N . Sean P1 , P2 ∈ Π[0, 1] con los mismos subintervalos que P0 y puntos intermedios an ∈ In , a0m ∈ Jm y bn ∈ In , b0m ∈ Jm respectivamente. Como

CAP´ITULO 3. LA PROPIEDAD DE LEBESGUE

34

kf (t)k∞ ≤ 1 para cada t ∈ [0, 1] resulta

N

2X

−1

m(In )(f (an ) − f (bn ))

≤

n=1

N 2X −1

m(In )kf (an ) − f (bn )k

n=1

1

≤

22N −1

(2N − 1) · 2

2N − 1 . 22N −2

=

(3.3)

Si suponemos enumerados J1 , J2 , . . . en orden creciente tenemos • a0m , b0m ∈ Jm ⊂ ( m−1 , 2mN ) para cada m = 2, . . . , 2N − 1, 2N • a01 , b01 ∈ J1 ⊂ [0, 21N ) y N −1

• a02N −1 , b02N −1 ∈ J2N −1 ⊂ ( 2 2N , 1]. Un vistazo a la construcci´on de f nos lleva a concluir que, para cada 1 ≤ m ≤ 2N , a0m (resp. b0m ) cumple una de dos: • f (a0m ) = 0 (resp. f (b0m ) = 0) o bien • es un racional di´adico contenido en ( m−1 , 2mN ) y f (a0m )(x) = 0 (resp. 2N m−1 m 0 f (bm )(x) = 0) para cualquier x 6∈ ( 2N , 2N ). Por lo tanto, para cada m = 1, . . . , 2N la funci´on f (a0m ) − f (b0m ) ∈ C[0, 1] se anula fuera de ( m−1 , 2mN ). 2N Si tomamos cualquier s ∈ [0, 1], existe n ∈ {1, . . . , 2N } tal que s ∈ [ n−1 , n] 2N 2N 0 0 y el comentario anterior nos dice que (f (am ) − f (bm ))(s) = 0 si n 6= m. Es decir, para cada s ∈ [0, 1] hay como mucho un ´ındice k ∈ {1, . . . , 2N } tal que (f (a0k )−f (b0k ))(s) 6= 0 y en consecuencia (recu´erdese que kf (t)k∞ ≤ 1 para todo t ∈ [0, 1]):  N  X 2N X 2 0 0   m(Jk )(f (ak ) − f (bk )) (s) ≤ m(Jk ) |f (a0k ) − f (b0k )| (s) k=1 k=1   ≤ 2 max m(Jk ) k=1,...,2N

≤ Por tanto

1 2N −1

N

X

2

0 0

m(Jn )(f (an ) − f (bn ))

n=1

.

≤

1 2N −1

.

∞

Esta desigualdad y (3.3) conducen a kf (P1 ) − f (P2 )k ≤

2N − 1 1 2N −1 · 3 − 1 + = . 22N −2 2N −1 22N −2

3.3. OTROS ESPACIOS SIN LA PROPIEDAD LP

35

N −1

Como N es arbitrario y limN 2 22N·3−1 = 0, tenemos garantizada la integrabili−2 dad Riemann de f . Para ver que f no es d´ebilmente continua en casi todo punto es suficiente comprobar que f no es d´ebilmente continua en cada s ∈ (0, 1) \ Q. Para ello fijamos un irracional s ∈ (0, 1) y una sucesi´on de racionales di´adicos (tk )k∈N del intervalo (0, 1) convergente a s de manera que, si tk = 2mnkk (con 1 ≤ mk < 2nk ), entonces 1 mk 1 mk − n +1 < s < n + n +1 . 2n k 2 k 2 k 2 k La definici´ on de f nos permite deducir que f (tk )(s) ≥ 12 para todo k. Consideramos δs ∈ C[0, 1]∗ (evaluaci´ on en s) y δs (f (tk )) = f (tk )(s) ≥

1 > δs (f (s)) = f (s)(s) = 0 2

para todo k (s es irracional y su imagen por f es la funci´on nula). Esto implica que δs f : [0, 1] −→ K no es continua en s y as´ı f no es d´ebilmente continua en s. Esto completa la demostraci´ on. Otros espacios de Banach sin WLP son • L∞ [a, b] (tenemos una inmersi´on natural C[a, b] −→ L∞ [a, b]). • l∞ : contiene una copia isomorfa de cualquier espacio de Banach separable [17, Proposici´ on 5.11], por ejemplo C[a, b] (v´ease [17, Proposici´on 1.27]). Problema 3.2.6. Caracterizaci´ on de los espacios de Banach con WLP.

3.3

Otros espacios sin la propiedad LP

En la secci´ on precedente hemos visto que B[a, b], C[a, b], L∞ [a, b] y l∞ no tienen WLP y, por tanto, no satisfacen la propiedad de Lebesgue. La construcci´ on del ejemplo 2.1.4 puede extenderse a una clase m´as amplia de espacios para obtener el siguiente resultado [21, Teorema 23]. Proposici´ on 3.3.1 (Da Rocha). Cualquier espacio de Banach X de dimensi´ on infinita que admita una norma equivalente uniformemente convexa (v´ease A.6) no tiene la propiedad de Lebesgue. Demostraci´ on. Sea k.k una norma uniformemente convexa en X. Por hip´otesis X es de dimensi´ on infinita y existe una sucesi´on b´asica {xn }n∈N formada por vectores unitarios (proposici´ on A.6.2). Sea Y = span{x1 , x2 , . . . }, que es un subespacio cerrado de X y, por tanto, un espacio de Banach uniformemente convexo para la norma k.k con base de Schauder normalizada {xn }n∈N . El teorema de Gurarii-Gurarii (A.6.4) nos garantiza que existen p > 1 y una constantePA > 0 de manera que para cada sucesi´on de escalares {an }n∈N tal que ∞ x = n=1 an xn converja se cumple la siguiente desigualdad: ! p1 ∞ X kxk ≤ A |an |p . (3.4) n=1

36

CAP´ITULO 3. LA PROPIEDAD DE LEBESGUE

Definimos Q = Q ∩ [0, 1] = {r1 , r2 , . . . }. Sea f : [0, 1] −→ Y la funci´on definida como f (rn ) = xn (para todo n ∈ N) y f (t) = 0 para cada t ∈ [0, 1] irracional. Evidentemente f no es continua en ning´ un punto: kf k = χQ no tiene ning´ un punto de continuidad. Veamos que f es integrable Riemann en [0, 1]. Sea  > 0
p y tomemos δ = 21 A p−1 . Si P = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} ∈ Π[0, 1] tiene norma menor que δ definimos J = {1 ≤ i ≤ n : si ∈ Q} y podemos tomar J1 , . . . , JN la partici´on de J asociada a la relaci´on de equivalencia i ∼ j sii si = sj . Es claro que |Jk | ≤ 2 para cada k (cada punto intermedio no puede estar asociado a m´ as de dos subintervalos de P). Para cada k = 1, . . . , N sea rnk ∈ Q tal que si = rnk para todo i ∈ Jk . Con todas estas notaciones podemos usar (3.4) junto con la cl´asica desigualdad (c + d)p ≤ 2p−1 (cp + dp ) (si c, d ≥ 0) para deducir:

n

X

kf (P)k = (bi − ai )f (si )

i=1

N

!

X X

= (bi − ai ) xnk

i∈Jk

k=1

N X X ≤ A ( (bi − ai ))p

! p1

k=1 i∈Jk

≤ A

N X

! p1 2p−1 (

≤ 2

(bi − ai )p )

i∈Jk

k=1 p−1 p

X

! p1 N X X A ( (bi − ai )|P|p−1 ) k=1 i∈Jk

≤ (2|P|)

p−1 p

! p1 N X X A ( (bi − ai )) k=1 i∈Jk

= A(2|P|)

p−1 p

< .

R1 Esto prueba que existe 0 f = 0 y, sin embargo, f no tiene puntos de continuidad. En particular, Y no tiene la propiedad de Lebesgue y X tampoco (3.1.1). Disponemos as´ı de m´as ejemplos concretos de espacios de Banach sin LP: espacios de Hilbert de dimensi´on infinita, lp y Lp [a, b] para 1 < p < ∞ (estos dos u ´ltimos son ejemplos de espacios con WLP que no tienen LP). En general, cualquier Lp (µ) de dimensi´on infinita carece de la propiedad de Lebesgue (A.6.3).

3.3. OTROS ESPACIOS SIN LA PROPIEDAD LP

37

Por tanto, los espacios de Banach que contienen una copia isomorfa de l2 no tienen la propiedad de Lebesgue. Ejemplos de tales espacios los proporcionan los siguientes resultados. Teorema 3.3.2. L1 [a, b] contiene una copia isomorfa de l2 . Demostraci´ on. Puede consultarse en [17, Teorema 6.28]. Teorema 3.3.3 (Pelczynski). Si X es un espacio de Banach separable que contiene una copia isomorfa de l1 , entonces existe una inmersi´ on l2 −→ X ∗ . Demostraci´ on. [49, Teorema 3.4] En la demostraci´ on de 3.3.1 y en el ejemplo 2.2.12 construimos sendas funciones integrables Riemann sin puntos de continuidad. Es natural plantearse la siguiente cuesti´ on: Problema 3.3.4. ¿Para qu´e espacios de Banach X toda funci´ on integrable Riemann f : [a, b] −→ X tiene al menos un punto de continuidad? Corolario 3.3.5. Cualquier espacio de Banach que contenga una copia isomorfa de c0 no tiene la propiedad de Lebesgue. Demostraci´ on. Directa a partir del citado ejemplo 2.2.12. Nota 3.3.6. Esto proporciona una nueva demostraci´ on de que los espacios l∞ , ∞ C[a, b], L [a, b] y B[a, b] no tienen LP. A la lista de espacios sin la propiedad de Lebesgue podemos a˜ nadir c. Finalizamos la secci´ on con otra clase de espacios de sucesiones que no tienen la propiedad de Lebesgue: los espacios de sucesiones de Lorentz . Sea P∞w = {w1 = 1, w2 , . . . } una sucesi´on decreciente de reales positivos tal que n=1 wn = ∞ y limn wn = 0. Si 1 ≤ p < ∞, se define d(w, p) como el espacio de Banach de las sucesiones a = (an )n∈N en K tales que kak = sup σ∈S

∞ X

! p1 |aσ(n) |p wn

< ∞,

(3.5)

n=1

donde S es el conjunto de biyecciones N −→ N. Lema 3.3.7. En estas condiciones, sean a1 , . . . , an ∈ {e1 , e2 , . . . , } de manera que para cada i ∈ N hay como mucho dos ak de manera que ak = ei . Entonces

! p1 n n

X

X

k a ≤2 wk .

k=1

k=1

Demostraci´ on. De la hip´ otesis deducimos que v = d(w, p) satisface

Pn

k=1

ak = (vm )m∈N ∈

CAP´ITULO 3. LA PROPIEDAD DE LEBESGUE

38

• |{m ∈ N : vm 6= 0}| ≤ n. • vm ∈ {0, 1, 2} para cada m ∈ N. P∞ Sea σ ∈ S arbitraria. Observamos que m=1 |vσ(m) |p wm es una suma con a lo m´ as n sumandos no nulos y cada |vσ(m) | ≤ 2. De la monoton´ıa de la sucesi´on (wm )m se deduce que ∞ X m=1

|vσ(m) |p wm ≤

n X

2p wm = 2p

m=1

n X

wm .

m=1

Esta desigualdad es v´alida para cada σ ∈ S y finaliza la demostraci´on. Para probar la siguiente proposici´on seguimos la idea de [21, Teorema 25]. Proposici´ on 3.3.8. En las condiciones anteriores, d(w, p) no tiene LP. Demostraci´ on. Enumeramos [0, 1] ∩ Q = {r1 , r2 , . . . }. Es f´acil comprobar que ken k = 1 para cada n ∈ N. Esto implica que la funci´on f : [0, 1] −→ d(w, p) definida como f (rn ) = en (para cada n ∈ N) y f (t) = 0 si t es irracional, no es continua en ning´ un punto (v´ease la prueba de 3.3.1). Sin embargo, es integrable Riemann en [0, 1] como mostramos a continuaci´on mediante el criterio de Cauchy 1.0.4. Distinguimos dos casos: • p = 1. Fijamos  > 0. Como (wn )n es una sucesi´ on mon´otona decreciente  PN 1 con l´ımite 0, es claro que limN N a N ∈ N tal que i=1 wi = 0 y existir´ P  N  k 1 i=1 wi < 4 . Sea P0 ∈ dΠ[0, 1] con puntos tk = N (k = 0, 1, . . . , N ). N Para cualquier partici´on P ∈ Π[0, 1] con e(P) = {t0 , . . . , tN } y puntos intermedios si ∈ [ti−1 , ti ] podemos aplicar el lema previo y obtener



! N N N

X

1 1 2 X 

X

kf (P)k = f (si ) = f (si ) ≤ wi < .

N

N N 2 i=1 i=1 i=1 Es claro que si P1 , P2 ∈ Π[0, 1] tienen los mismos subintervalos que P0 , entonces kf (P1 ) − f (P2 )k < . • 1 < p < ∞. Dado  > 0, fijamos N ∈ N suficientemente grande de 1 k manera que N 1− p > 4 . Definimos tk = N (k = 0, . . . , N ) y tomamos una partici´ on de [0, 1] de la forma P = {([ti−1 , ti ], si ) : i = 1, . . . , N }. Podemos aplicar otra vez el lema previo (junto con el hecho de que wk ≤ 1 para todo k) y concluir la desigualdad



! p1 N N N

X

X

X 1 1 2 2 1 



kf (P)k = f (si ) = f (si ) ≤ wi ≤ Np <

N

N N N 2 i=1 i=1 i=1 por la elecci´ on de N . Finalmente, dadas P1 , P2 ∈ Π[0, 1] con los mismos puntos {tk }0≤k≤N se tiene kf (P1 ) − f (P2 )k < . Esto prueba la integrabilidad Riemann de f .

Cap´ıtulo 4

Formas d´ ebiles de la integral En este cap´ıtulo introducimos conceptos an´alogos a los de integrabilidad Dunford y Pettis (definici´ on A.4.7) reemplazando la integral de Lebesgue por la de Riemann. Establecemos distintas relaciones entre estos nuevos tipos de integrabilidad y demostramos que la integral de Pettis extiende a la de Riemann. La referencia b´ asica es [21]. Definici´ on 4.0.1. Diremos que f : [a, b] −→ X es integrable i) Riemann-Dunford (abreviadamente RD-integrable) si para cada x∗ ∈ X ∗ la composici´ on x∗ f : [a, b] −→ K es integrable Riemann. ii) Riemann-Pettis (abreviadamente RP-integrable) si es RD-integrable y para cada intervalo cerrado I ⊂ [a, b] existe xI ∈ X tal que para todo x∗ ∈ X ∗ x∗ (xI ) =

Z

b

x∗ f.

a

Nota 4.0.2. El vector xI ∈ X de la definici´ on precedente, si existe, es necesariamente u ´nico como consecuencia del teorema de Hahn-Banach. Proposici´ on 4.0.3. Sea f : [a, b] −→ X medible y RD-integrable. Entonces f es integrable Bochner. Demostraci´ on. Para cada x∗ ∈ X ∗ la funci´on x∗ f es integrable Riemann y, por tanto, acotada en [a, b]. Por el principio de la acotaci´ on uniforme existe M > 0 cota superior de kf k en [a, b]. Adem´as, f es medible Bochner y Z

b

kf k ≤ M (b − a) < ∞. a

La proposici´ on A.4.5 permite deducir que f es integrable Bochner. 39

40

´ CAP´ITULO 4. FORMAS DEBILES DE LA INTEGRAL

Proposici´ on 4.0.4. Sea f : [a, b] −→ X una funci´ on. Entonces i) f integrable Riemann ⇒ f integrable Riemann-Pettis. ii) f integrable Riemann-Pettis ⇒ f es integrable Pettis. Demostraci´ on. i) Supongamos que f es integrable Riemann en [a, b]. Por la proposici´ on 1.0.13 tenemos que para cada x∗ ∈ X ∗ la composici´on x∗ f es integrable Riemann. Es m´as, si I ⊂ [a, b] es un subintervalo cerrado entonces f R es integrable Riemann en I y su integral xI := I f ∈ X satisface para cada x∗ ∈ X ∗ (de nuevo aplicamos 1.0.13, esta vez en el intervalo I) Z ∗ x (xI ) = x∗ f. I

Por tanto, f es RP-integrable. ii) Por hip´ otesis f es RP-integrable y, en particular, integrable Dunford. Si denotamos por ν : Σ −→ X ∗∗ a la integral indefinida de Dunford de f , la RP-integrabilidad de f implica que ν(I) ∈ X para cada subintervalo cerrado I ⊂ [a, b]. Estamos en las condiciones del teorema A.4.15 y basta comprobar que Zf = {x∗ f : x∗ ∈ BX ∗ } es un subconjunto uniformemente absolutamente continuo de L1 [a, b]. La RD-integrabilidad de f implica, seg´ un comentamos en la prueba de la proposici´on anterior, que M = supt∈[a,b] kf (t)k < ∞. Entonces para cada E ∈ [a, b] medible y cada h ∈ Zf Z Z |h| ≤ M = m(E)M, E

E

por lo que Zf es uniformemente absolutamente continuo y f es integrable Pettis. Hemos preferido dar ya una prueba de que toda funci´on f : [a, b] −→ X integrable Riemann es integrable Pettis (que corrige la ausencia de detalles de la fuente original [21, Teorema 15]), aunque m´as adelante obtendremos un par de mejoras. La primera (contenida en 6.0.2 y A.5.6) es v´alida cuando el espacio X es real y es consecuencia de un resultado de J. Bourgain. La segunda mejora la presentaremos al hablar de la integral de McShane, en la segunda parte de esta memoria. En concreto demostraremos que la integral de McShane extiende a la de Riemann (8.4.1) y que la de Pettis extiende a la de McShane (10.1.2). Para probar este u ´ltimo resultado emplearemos tambi´en la caracterizaci´on A.4.15, aunque, a diferencia de 4.0.4 (donde utilizamos iii) ⇒ iv) ⇒ v) ⇒ i) de A.4.15, que no deja de ser un sencillo argumento de teor´ıa de la medida), la prueba descansar´ a en la implicaci´on m´as compleja (ii ⇒ iii) del citado teorema. Ninguno de los rec´ıprocos de 4.0.4 es cierto en general. Para dar un contraejemplo al segundo basta tomar una funci´on f : [a, b] −→ R integrable Lebesgue que no sea integrable Riemann (por ejemplo, la funci´on caracter´ıstica de [a, b] ∩ Q). El contraejemplo al primero es m´as elaborado y lo presentaremos en el Cap´ıtulo 5, dentro de otro contexto.

41

Para funciones escalares la integral de Lebesgue extiende a la de Riemann y la medibilidad de una funci´ on integrable Riemann se obtiene gracias a su continuidad en casi todo punto (teorema de Lebesgue). En el caso general sigue siendo cierto que una funci´ on continua en casi todo punto f : [a, b] −→ X es medible Bochner (de hecho basta exigirle continuidad d´ebil en casi todo punto, v´ease 5.0.1), pero ya hemos mostrado (ejemplo 2.2.11) que la integrabilidad Riemann no asegura continuidad en casi todo punto, ni siquiera medibilidad (en el ejemplo 1.0.11 construimos f integrable Riemann tal que kf k no es medible Lebesgue y, as´ı, f no puede ser medible). Es sencillo mostrar que una funci´on integrable Riemann es integrable Bochner si y s´olo si es medible Bochner [21, Teorema 15]: Corolario 4.0.5. Si f : [a, b] −→ X es integrable Riemann y medible Bochner entonces es integrable Bochner (y las integrales coinciden). Demostraci´ on. f es medible Bochner e integrable Riemann-Dunford por el resultado precedente. La proposici´ on 4.0.3 nos asegura la integrabilidad Bochner de f . Por otro lado, para cada x∗ ∈ X ∗ ∗

x

!

b

Z (B)

f a

Z = (L)

b ∗

Z

x f = (R) a

b ∗

∗

x f =x

Z (R)

a

!

b

f a

por la proposici´ on 1.0.13. Podemos aplicar el teorema de Hahn-Banach y deducir Rb Rb (B) a f = (R) a f . Problema 4.0.6. ¿Para qu´e espacios de Banach X la integrabilidad Riemann de una funci´ on f : [a, b] −→ X implica su medibilidad? Es decir, ¿en qu´e espacios de Banach la integrabilidad Bochner extiende a la de Riemann? Ejemplo 4.0.7. Si H es un espacio de Hilbert con dimensi´ on hilbertiana (i.e. cardinalidad de cualquier base hilbertiana) mayor que c, entonces existe una funci´ on f : [a, b] −→ H integrable Riemann que no es medible Bochner. Demostraci´ on. Podemos reducirnos al caso H = l2 ([a, b]). Sea {et }t∈[a,b] la base hilbertiana est´ andar de H. Definimos la funci´on f : [a, b] −→ H mediante f (t) = et . f no es medible Bochner porque no tiene rango esencialmente separable (teorema A.4.2). En efecto, si A ⊂ [a, b] es medible y m(A) > 0, en particular A no es numerable y f (A) = {e√ t : t ∈ A} es un subconjunto no numerable de vectores tales que ket − es k = 2 para t 6= s (t, s ∈ A). Por tanto f (A) no puede ser separable. f es integrable Riemann en [a, b]. En efecto, dada cualquier partici´on P = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} ∈ Π[a, b],

´ CAP´ITULO 4. FORMAS DEBILES DE LA INTEGRAL

42

podemos tomar I1 , . . . , IN la partici´on de {1, . . . , n} asociada a la relaci´on de equivalencia i ∼ j sii si = sj . Para cada j = 1, . . . , N fijamos ij ∈ Ij . Evidentemente |Ij | ≤ 2 para cada j. Por tanto:

 

N

X X

  kf (P)k = (bi − ai ) esij

j=1 i∈Ij

  2 21  N  X  X (bi − ai )  =  j=1

i∈Ij

   12 N X X  ≤  2(bi − ai )2  j=1

i∈Ij

   12 N X X √  ≤ 2 (bi − ai )|P| j=1

i∈Ij 1

= (2(b − a)|P|) 2 . (Hemos utilizado que (c + d)2 ≤ 2(c2 + d2 ) para c, d ≥ 0). Esta desigualdad Rb prueba que existe a f = 0. Como consecuencia de los comentarios anteriores al corolario 4.0.5 tenemos [21, Corolario 19] el siguiente Corolario 4.0.8. Si f : [a, b] −→ X es integrable Darboux entonces i) f es medible. ii) kf k es integrable Riemann. iii) f es integrable Bochner. Demostraci´ on. El teorema 2.2.7 afirma que f es continua en casi todo punto y el lema 5.0.1 asegura la medibilidad Bochner de f . Por otro lado, kf k es acotada y continua en casi todo punto. Entonces es integrable Riemann y, en particular, integrable Lebesgue. Podemos aplicar ahora A.4.5 y obtener que f es integrable Bochner. Ahora nos ocuparemos de ver bajo qu´e condiciones la RD-integrabilidad de una funci´ on implica RP-integrabilidad [21, Teoremas 29, 31]. Definici´ on 4.0.9. Un subconjunto S ⊂ X es de Schur si toda sucesi´ on contenida en S d´ebilmente convergente a un punto de X es convergente en norma. Definici´ on 4.0.10. Un espacio de Banach X se dice d´ebilmente sucesionalmente completo (abreviadamente WSC) si (X, ω) es sucesionalmente completo

43 (como espacio uniforme): toda sucesi´ on d´ebilmente de Cauchy es d´ebilmente convergente. Un subconjunto S ⊂ X es WSC si toda sucesi´ on de Cauchy respecto de (X, ω) contenida en S es d´ebilmente convergente a un punto de X. Todo espacio de Banach reflexivo es WSC ([9, V.4.4]). Como ejemplos de espacios WSC que, en general, no son reflexivos podemos citar: ca(Σ) (espacio de medidas escalares numerablemente aditivas definidas en una σ-´algebra Σ, con la norma de la variaci´ on total), L1 (µ) para un espacio de medida finita (Ω, Σ, µ) (v´ease [11, VII, Teorema 12]) y L∞ (µ) si µ es σ-finita [9, p´ag. 138]. Lema 4.0.11. Todo espacio de Banach X con la propiedad de Schur es WSC. Demostraci´ on. Sea (xn )n∈N una sucesi´on en X que no es de Cauchy en norma. Existen por tanto a > 0 y una subsucesi´on (xnk )k tales que zk = xnk+1 − xnk verifica kzk k > a para todo k ∈ N. Como X tiene la propiedad de Schur, la sucesi´ on (zk )k no puede ser d´ebilmente convergente a 0 y, as´ı, (xn )n no es de Cauchy en (X, ω). Proposici´ on 4.0.12. Sea f : [a, b] −→ X una funci´ on RD-integrable. Sea W = co(f [a, b]). f es RP-integrable si se cumple alguna de las siguientes condiciones i) f es medible ii) W es d´ebilmente sucesionalmente completo (en particular, si X es WSC). iii) X tiene la PIP-Lebesgue (definici´ on A.4.17). Demostraci´ on. Una funci´ on RD-integrable que lo sea tambi´en en sentido Pettis es obviamente integrable Riemann-Pettis. Si X tiene la PIP-Lebesgue, entonces cualquier funci´ on acotada escalarmente medible es integrable Pettis. En particular, toda funci´ on RD-integrable es integrable Pettis y, por tanto, RiemannPettis. Esto prueba iii). Por otro lado (para ver i)), si f es medible y RDintegrable, entonces es integrable Pettis por las proposiciones 4.0.3 y A.4.10. ii) Es claro que V = (b−a)W es d´ebilmente sucesionalmente completo y que f (P) ∈ V para cada P ∈ Π[a, b]. Fijamos un subintervalo cerrado I ⊂ [a, b]. Sea Pn ∈ Π[I], n ∈ N, una sucesi´ on de particiones tales que limn |Pn | = 0. Para cada x∗ ∈ X ∗ la funci´ on x∗ f esR integrable Riemann en I (por ser f RD-integrable) y existe limn (x∗ f )(Pn ) = I x∗ f ; en particular, la sucesi´on {(x∗ f )(Pn )}n es de Cauchy en K. Es claro que para todo x∗ ∈ X ∗ y cada n se tiene (x∗ f )(Pn ) = x∗ (f (Pn )) y, por tanto, la sucesi´ on (f (Pn ))n es de Cauchy en (X, ω). Como f (Pn ) ∈ V para cada n y V es WSC, existe ω − limn f (Pn ) = xI ∈ X. Entonces Z ∗ ∗ x (xI ) = lim x (f (Pn )) = x∗ f n

∗

I

∗

para todo x ∈ X . Esto prueba que f es integrable Riemann-Pettis. En particular, la clase de los espacios de Banach para los que RD-integrable equivale a RP-integrable contiene a los espacios d´ebilmente compactamente generados (WCG) (v´ease A.4).

´ CAP´ITULO 4. FORMAS DEBILES DE LA INTEGRAL

44

Un vistazo a la prueba de ii) en 4.0.12 permite apreciar que, si fortalecemos la hip´ otesis exigiendo a W que sea tambi´en de Schur, la RD-integrabilidad implica integrabilidad Riemann. En detalle: Proposici´ on 4.0.13. Sea f : [a, b] −→ X una funci´ on RP-integrable. Si W = co(f [a, b]) es de Schur, entonces f es integrable Riemann. Demostraci´ on. Sea ν la integral indefinida de Pettis de f (v´ease 4.0.4) y z = ν([a, b]) ∈ X. Vamos a demostrar que f es integrable Riemann con integral z. Tomamos cualquier sucesi´on de particiones Pn ∈ Π[a, b], n = 1, 2, . . . , tales que limn |Pn | = 0. Para cada x∗ ∈ X ∗ la funci´on x∗ f es integrable Riemann con integral x∗ (z) (por ser f RP-integrable). Por tanto lim x∗ (f (Pn )) = lim(x∗ f )(Pn ) = n

Z

n

b

x∗ f = x∗ (z),

a

es decir, existe ω − limn f (Pn ) = z. Como f (Pn ) ∈ V = (b − a)W y V es de Schur (por serlo W ), existe k.k − limn f (Pn ) = z. Rb Esto prueba que f es integrable Riemann y a f = z. Como consecuencia de 4.0.11, 4.0.12 y 4.0.13 obtenemos la siguiente propiedad de los espacios de Schur (de hecho los caracteriza, como demostraremos en el Cap´ıtulo 5). Corolario 4.0.14. Si X es de Schur, cualquier funci´ on f : [a, b] −→ X integrable Riemann-Dunford es integrable Riemann. Lema 4.0.15. Si A es un subconjunto separable del espacio de Banach X, existen x∗1 , x∗2 , · · · ∈ X ∗ tales que para cada a ∈ A kak = sup |x∗n (a)| n∈N

Demostraci´ on. Dado que span(A) es tambi´en separable, el teorema de HahnBanach reduce la prueba al caso de que X sea separable. Sea D ⊂ X denso numerable y tomemos para cada d ∈ D un x∗d ∈ SX ∗ tal que |x∗d (d)| = kdk. Fijemos x ∈ X arbitrario y  > 0. La densidad de D permite encontrar un d ∈ D tal que kx − dk <  y kxk −  < kdk. Entonces kxk −  < kdk = |x∗d (d)| ≤ |x∗d (x)| + |x∗d (d − x)| ≤ |x∗d (x)| + kx − dk < |x∗d (x)| +  < sup |x∗f (x)| + . f ∈D

Es decir, para cada  > 0 kxk − 2 < sup |x∗f (x)|. f ∈D

El lema queda probado.

45 Con la ayuda de este lema podemos demostrar [21, Teorema 32]: Proposici´ on 4.0.16. Una funci´ on f : [a, b] −→ X RD-integrable de rango relativamente compacto es integrable Darboux. Demostraci´ on. V = f ([a, b]) ⊂ X es relativamente compacto en un espacio m´etrico y, en consecuencia, es separable. Por el lema 4.0.15 existe una sucesi´on (x∗n )n∈N en X ∗ tal que kvk = sup |x∗n (v)| (4.1) n∈N

para todo v ∈ V . Para cada n la funci´on x∗n f : [a, b] −→ K es integrable Riemann y, as´ı, existe un conjunto medible conulo Fn ⊂ [a, b] tal que x∗n f es continua en cada punto de Fn . La intersecci´on F = ∩∞ n=1 Fn ⊂ [a, b] es un conjunto medible conulo. La proposici´on queda autom´aticamente demostrada si vemos que f es continua en cada punto de F , por el teorema de Lebesgue 2.2.7 (la acotaci´ on de f se sigue, por ejemplo, de su RD-integrabilidad). Para ello fijamos t ∈ F y (tm )m una sucesi´on en [a, b] convergente hacia t. Por la definici´ on de F resulta que cada x∗n f es continua en t y, por tanto, lim x∗n (f (tm )) = x∗n (f (t)) m

para cada n ∈ N; es decir, la sucesi´on (f (tn ))n converge hacia f (t) en la topolog´ıa σ(X, N ) generada por la colecci´ on N = {x∗n }n . Esta topolog´ıa es m´as d´ebil que la normada y Hausdorff: dados x 6= y ∈ X existe, por (4.1), un n ∈ N tal que x∗n (x) 6= x∗n (y); como x∗n es σ(X, N )-continua, x e y tienen σ(X, N )-entornos disjuntos. Por tanto, la sucesi´ on (f (tn ))n tiene un u ´nico posible punto de k.kaglomeraci´ on: f (t). Al estar contenida en el relativamente compacto V debe converger en norma a f (t). As´ı, f es continua en t y la prueba ha finalizado.

46

´ CAP´ITULO 4. FORMAS DEBILES DE LA INTEGRAL

Cap´ıtulo 5

Continuidad d´ ebil e integrabilidad Los primeros en observar que la continuidad d´ebil no asegura integrabilidad Riemann fueron Alexiewicz y Orlicz [1]. Su ejemplo [21, Ejemplo 35] ha sido generalizado por V.M. Kadets [36], C. Wang y Z. Yang [57] hasta obtener una caracterizaci´ on completa de los espacios de Banach X para los que toda funci´on d´ebilmente continua f : [a, b] −→ X es integrable Riemann: los espacios de Schur. En la secci´ on 5.1 presentaremos este resultado (teorema 5.1.2) en su versi´ on m´ as general, extendido a topolog´ıas vectoriales m´as gruesas que la normada. En la segunda secci´ on caracterizamos, mediante integraci´on Riemann, otra propiedad relativa a la convergencia en norma de sucesiones d´ebilmente convergentes y que posee, por ejemplo, todo espacio uniformemente convexo. Comenzamos probando que toda funci´on d´ebilmente continua en casi todo punto es medible Bochner y RP-integrable [21, Corolario 30] cuando adem´as es acotada. Lema 5.0.1. Una funci´ on f : [a, b] −→ X d´ebilmente continua en casi todo punto es medible Bochner. Demostraci´ on. Para aplicar el teorema de medibilidad A.4.2 veamos que f tiene rango esencialmente separable. El conjunto medible E = Cont(f, ω) es conulo por hip´ otesis. Vamos a comprobar que f (E) es separable. En efecto, sea D ⊂ E denso numerable (E es un subespacio de un m´etrico separable y, en consecuenk.k

cia, es separable). Fijamos Y = span(f (D)) ⊂ X. Es f´acil ver que Y es separable. Para ver que f (E) es k.k-separable basta comprobar que f (E) ⊂ Y . La convexidad de span(f (D)) implica, por el teorema de Mazur (A.6.6), que ω Y = span(f (D)) . Como f E es d´ebilmente continua y D denso en E, ω

ω

f (E) ⊂ f (D) ⊂ span(f (D)) = Y 47

´ CAP´ITULO 5. CONTINUIDAD DEBIL E INTEGRABILIDAD

48

y esto finaliza la demostraci´on. Corolario 5.0.2. Si f : [a, b] −→ X es acotada y d´ebilmente continua en casi todo punto entonces es RP-integrable. En particular toda funci´ on f : [a, b] −→ X d´ebilmente continua es RP-integrable. Demostraci´ on. Para cada x∗ ∈ X ∗ la funci´on x∗ f es acotada y continua en casi todo punto, luego integrable Riemann. La funci´on f es entonces RD-integrable y adem´ as medible (lema previo). El resultado se sigue de 4.0.12.

5.1

Caracterizaci´ on de la propiedad de Schur

Definici´ on 5.1.1. Sean X un espacio de Banach y τ una topolog´ıa vectorial Hausdorff en X m´ as gruesa que la inducida por la norma. Diremos ([57]) que X es de Schur respecto de τ si toda sucesi´ on en X convergente en la topolog´ıa τ lo es tambi´en en la inducida por la norma. Nuestro objetivo en la secci´on es probar el siguiente teorema. La equivalencia de las tres primeras condiciones se demuestra en [57, Teorema 2], mientras que la cuarta es una generalizaci´on de [3, Proposici´on 7]. La hip´otesis de convexidad local de la topolog´ıa τ que aparece en el primer art´ıculo puede ser omitida. Teorema 5.1.2. Sean X un espacio de Banach y τ una topolog´ıa vectorial Hausdorff en X m´ as gruesa que la de la norma. Son equivalentes: i) X es de Schur respecto de τ . ii) Toda funci´ on τ -continua f : [a, b] −→ X es integrable Darboux. iii) Toda funci´ on τ -continua f : [a, b] −→ X es integrable Riemann. iv) Para cada funci´ on f : [a, b] −→ X τ - continua, su norma kf k es integrable Riemann. Si τ = ω, podemos a˜ nadir a la lista anterior: v) Toda funci´ on f : [a, b] −→ X RD-integrable es integrable Riemann. vi) Cualquier funci´ on f : [a, b] −→ X RD-integrable de rango relativamente ω-compacto es integrable Darboux. En particular, para un espacio X que no sea de Schur siempre podemos encontrar funciones RP-integrables que no son integrables Riemann (la demostraci´ on del teorema dar´a un ejemplo est´ andar ), resolviendo as´ı una cuesti´on pendiente del cap´ıtulo anterior. La siguiente construcci´on tipo Cantor ser´a tambi´en utilizada en la secci´ on siguiente. Para cualquier subintervalo cerrado J ⊂ [0, 1] denotaremos por g(J) a su punto medio. Afirmamos que existen subintervalos cerrados An,k = [an,k , bn,k ] ⊂ Bn,k ⊂ [0, 1] (n ∈ N y 1 ≤ k ≤ 2n−1 ) tales que

´ DE LA PROPIEDAD DE SCHUR 5.1. CARACTERIZACION i) g(An,k ) = g(Bn,k )
1 ii) m(An,k ) = 2n−1 iii) m(Bn,k ) =

1 3n




1 2n−1

49




1−

Pn−1

1 i=1 3i



iv) los intervalos An,k son disjuntos para todo n ∈ N y cada 1 ≤ k ≤ 2n−1 . Esbozamos la construcci´on: para n = 1 definimos B1,1 = [0, 1] y A1,1 = [a1,1 , b1,1 ] ⊂ B1,1 el intervalo cerrado tal que m(A1,1 ) = 13 y g(A1,1 ) = g(B1,1 ). Definimos B2,1 = [0, a1,1 ] y B2,2 = [b1,1 , 1]. Sean A2,1 = [a2,1 , b2,1 ] y A2,2 = [a2,2 , b2,2 ] los intervalos cerrados de medida 12 312 tales que g(A2,1 ) = g(B2,1 ) y g(A2,2 ) = g(B2,2 ). A continuaci´on repetimos el proceso para B3,1 = [0, a2,1 ], B3,2 = [b2,1 , a1,1 ], B3,3 = [b1,1 , a2,2 ], B3,4 = [b2,2 , 1] y vamos obteniendo las sucesiones de intervalos deseadas. Sean n−1

2 G = ∪∞ n=1 ∪k=1 (an,k , bn,k ) y H = [0, 1] \ G.

Lema 5.1.3. Sean (X, τ ) un espacio vectorial topol´ ogico y fn,k : [0, 1] −→ R funciones continuas con soporte contenido en [an,k , bn,k ] (n ∈ N y 1 ≤ k ≤ 2n−1 ) tales que f (an,k ) = f (bn,k ) = 0. Definimos para cada n la funci´ on continua P2n−1 gn = i=1 fn,i . Supongamos que existe M > 0 tal que kfn,k k∞ < M para cada n ∈ N y k = 1, . . . , 2n−1 . Si (xn )n∈N es una sucesi´ on en X convergente hacia 0, la serie ∞ X f (t) = gi (t)xi i=1

converge uniformemente en t ∈ [0, 1] y define una funci´ on continua de [0, 1] en X. Demostraci´ on. S´ olo nos tenemos que preocupar de verificar la convergencia uniforme. Sea W ⊂ X un entorno de 0. Como X es un espacio vectorial topol´ogico, existe un entorno U de 0 equilibrado (es decir, para cada u ∈ U y a ∈ K de m´odulo menor o igual que 1 se cumple au ∈ U ) tal que M ·U ⊂ W . Por hip´otesis existe un N ∈ N tal que xn ∈ U para todo n > N . Observamos que gn (t) = 0

n−1

para todo t 6∈ ∪2i=1 (an,i , bn,i )

(5.1)

y as´ı para cada n 6= m se tiene sop(gn ) ∩ sop(gm ) = ∅ (por P∞la propiedad iv ). Por tanto, para cada t ∈ [0, 1] tenemos que la suma f (t) = n=1 gn (t)xn consta como mucho de un u ´nico sumando no nulo. Afirmamos que, para cada q ≥ N , q X n=1

gn (t)xn − f (t) ∈ W para todo t ∈ [0, 1].

´ CAP´ITULO 5. CONTINUIDAD DEBIL E INTEGRABILIDAD

50

En efecto, en primer lugar observamos que q X

gn (t)xn − f (t) =

n=1

∞ X

gn (t)xn .

n=q+1 n−1

De la ecuaci´ on (5.1) es inmediato que si t ∈ H o t ∈ ∪qn=1 ∪2i=1 (an,i , bn,i ), P∞ 2m−1 entonces n=q+1 gn (t)xn = 0, y si t ∈ ∪i=1 (am,i , bm,i ) para alg´ un m > q ≥ N , entonces ∞ X gn (t)xn = gm (t)xm . n=q+1

P∞

As´ı, n=q+1 gn (t)xn ∈ D(0, M ) · U ⊂ M · U ⊂ W porque U es equilibrado y xk ∈ U para k > N . Esto prueba la convergencia uniforme de la serie y acaba la demostraci´ on del lema. Con estos preliminares podemos pasar a la demostraci´on del teorema 5.1.2 Demostraci´ on. i) ⇒ ii) es consecuencia de que toda funci´on f : [a, b] −→ X τ -continua es continua para la norma, por la propiedad de Schur de X y la metrizabilidad de [a, b]. En particular, f es integrable Darboux por el teorema 2.2.7. ii) ⇒ iii) se obtiene de 2.2.6. iii) ⇒ i) y iv) ⇒ i). Para cada n ∈ N y k = 1, . . . , 2n−1 sea hn,k una funci´on real continua definida en [0, 1] de soporte contenido en An,k = [an,k , bn,k ] tal que hn,k (g(An,k )) = 1, hn,k (an,k ) = hn,k (bn,k ) = 0 y 0 ≤ hn,k ≤ 1. Definimos P2n−1 la funci´ on continua hn = i=1 hn,i para cada n ∈ N. Es claro que 0 ≤ hn ≤ 1 para todo n. Vamos a probar que si X no es de Schur respecto de τ , existe una funci´on τ -continua f : [0, 1] −→ X tal que ni f ni kf k son integrables Riemann. Si X no es de Schur respecto de τ existe una sucesi´on en X que converge a 0 respecto de τ pero no en norma. Pasando a una adecuada subsucesi´on podemos encontrar a > 0 y una sucesi´on x1 , x2 , · · · ∈ X convergente a 0 respecto de τ de modo que kxn k ≥ a para cada n ∈ N. Aplicando el lema 5.1.3 obtenemos una funci´ on τ -continua f : [0, 1] −→ X definida por f (t) =

∞ X

hn (t)xn

n=1

(para cada t ∈ [0, 1] la suma es finita al ser disjuntos los soportes de las hn ’s). Vamos a ver que f y kf k no son integrables Riemann en [0, 1] mostrando que no cumplen el criterio de Cauchy (1.0.4). Afirmamos que para cada δ > 0 existen P1 , P2 ∈ Π[0, 1] de norma menor que δ tales que kf (P1 ) − f (P2 )k ≥

a 2

y

|kf k(P1 ) − kf k(P2 )| ≥

a . 2

´ DE LA PROPIEDAD DE SCHUR 5.1. CARACTERIZACION Para verlo fijamos N ∈ N tal que

51

1 2N −1

< δ. Por on los intervalos  construcci´ PN −1 1  1 BN,1 , . . . , BN,2N −1 son disjuntos de medida 2N −1 1 − i=1 3i < δ (propiedad iii ). Podemos construir dos particiones de Riemann P1 , P2 ∈ Π[0, 1] de norma menor que δ con los mismos subintervalos de modo que • BN,k es un intervalo de P1 y P2 para todo 1 ≤ k ≤ 2N −1 ; • para 1 ≤ k ≤ 2N −1 el punto intermedio de P1 (resp. P2 ) asociado a BN,k es g(BN,k ) = g(AN,k ) (resp. aN,k ); • si J es un subintervalo de P1 y P2 distinto de cualquier BN,k el punto intermedio asociado en una y otra partici´on es el mismo. Por lo tanto, de la definici´ on de las hn se deduce

N −1

2

X

kf (P1 ) − f (P2 )k = m(BN,k )(f (g(AN,k )) − f (aN,k ))

k=1

N −1

2X

= m(BN,1 ) xN

k=1 = m(BN,1 )2N −1 kxN k a , > 2 porque kxn k ≥ a para todo n y  m(B(N, k))

=

= >

1 2N −1 1 2N −1 1 . 2N

1 −

N −1 2X

i=1



 1 3i

 1 1 1 − ( − 2N −1 ) 2 3 ·2

An´alogamente N −1 2X |kf k(P1 ) − kf k(P2 )| = m(BN,k )(kf k(g(AN,k )) − kf k(aN,k )) k=1 N −1 2X = m(BN,1 ) kxN k k=1 = m(BN,1 )2N −1 kxN k a > . 2

´ CAP´ITULO 5. CONTINUIDAD DEBIL E INTEGRABILIDAD

52

Esto concluye la demostraci´on de iii), iv) ⇒ i). i) ⇒ iv) es consecuencia de que si f : [a, b] −→ X es τ -continua, entonces es continua para la topolog´ıa de la norma (v´ease i) ⇒ ii)), kf k : [a, b] −→ R es continua y, por tanto, integrable Riemann. i) ⇒ v) El corolario 4.0.14. v) ⇒ iii) Toda funci´on f : [a, b] −→ X d´ebilmente continua es inmediatamente RD-integrable (para cada x∗ ∈ X ∗ la funci´on x∗ f es continua en [a, b] y, por tanto, integrable Riemann). i) ⇒ vi). Sea f : [a, b] −→ X RD-integrable de rango d´ebilmente relativamente compacto. Por el teorema de Eberlein-Smulian A.6.7 f tiene rango d´ebilmente relativamente sucesionalmente compacto. Pero como toda sucesi´on d´ebilmente convergente es convergente en norma (X es de Schur), tenemos que f ([a, b]) es relativamente compacto en norma. El resultado se sigue ahora de la proposici´ on 4.0.16. vi) ⇒ ii) Toda funci´on f : [a, b] −→ X d´ebilmente continua tiene rango d´ebilmente compacto y es RD-integrable. Obtenemos as´ı una nueva caracterizaci´on de los espacios de Banach de dimensi´ on finita [36, p´ agina 35]: Corolario 5.1.4. Para un espacio de Banach X son equivalentes: i) X es de dimensi´ on finita. ii) Toda funci´ on ω ∗ -continua f : [a, b] −→ X ∗ es integrable Riemann. Demostraci´ on. i) ⇒ ii). Si X es de dimensi´on finita, su dual tambi´en lo es y en ´este coinciden ω ∗ y la topolog´ıa generada por la norma (v´ease [46, 5.9.4]). La integrabilidad se sigue de 2.2.8. ii) ⇒ i). El teorema precedente afirma que X ∗ es de Schur respecto de ω ∗ . Por el teorema de Josefson-Nissenzweig (A.6.8) X debe ser finito dimensional.

5.2

Espacios de Banach con la propiedad [H]

Definici´ on 5.2.1. Sean (X, k.k) un espacio de Banach y τ una topolog´ıa vectorial en X m´ as d´ebil que la inducida por la norma. Diremos que (X, k.k) tiene la propiedad [H] respecto de τ si para cualquier sucesi´ on (xn )n∈N τ -convergente a un punto x ∈ X tal que limn kxn k = kxk, entonces limn kxn − xk. Diremos que tiene la propiedad [H] si la tiene respecto de su topolog´ıa d´ebil. Observaci´ on 5.2.2. En las condiciones de la anterior definici´ on, el espacio de Banach (X, k.k) tiene la propiedad [H] respecto de τ si para toda sucesi´ on (xn )n∈N contenida en SX y d´ebilmente convergente a x ∈ SX se tiene lim kxn − xk = 0. n

5.2. ESPACIOS DE BANACH CON LA PROPIEDAD [H]

53

Demostraci´ on. Sea (yn )n una sucesi´on en X τ -convergente a y ∈ X de modo que limn kyn k = kyk. La convergencia en norma estar´ıa garantizada si y = 0. En caso contrario kyk > 0 y podemos suponer que kyn k > 0 para todo n (porque limn kyn k = kyk). Para cada n definimos xn = ky1n k yn ∈ SX . Como (X, τ ) es 1 un espacio vectorial topol´ ogico existe τ − limn xn = kyk y =: x ∈ SX y, por hip´otesis, el l´ımite se da en la topolog´ıa de la norma. Ahora es f´acil ver que yn − y = kyn kxn − kykx → 0 en norma. Evidentemente, esta propiedad es m´as d´ebil que ser de Schur respecto de τ . Vamos a ver a continuaci´ on que cualquier espacio de Banach con norma localmente uniformemente convexa (definici´on A.6.5) tiene la propiedad [H] [29, Ejercicio 15.17]. En particular, la tienen los los espacios (Lp (µ), k.kp ) para 1 < p < ∞ y, por tanto, cualquier espacio de Hilbert (cons´ ultese A.6). Proposici´ on 5.2.3. Sea (X, k.k) un espacio de Banach localmente uniformemente convexo. Entonces (X, k.k) tiene la propiedad [H]. Demostraci´ on. Sea (xn )n∈N una sucesi´on en SX que converge d´ebilmente a un punto x ∈ SX . Del teorema de Hahn-Banach [9, III.6.7.] se deduce que existe x∗ ∈ SX ∗ tal que x∗ (x) = sup |y ∗ (x)| = kxk = 1. (5.2) ∗ y ∗ ∈BX

Supongamos por reducci´ on al absurdo que (xn )n no converge en norma hacia x. Entonces no puede ocurrir que limn kxn + xk = 2 (porque (X, k.k) es localmente uniformemente convexo) y podemos encontrar 0 < a < 2 y una subsucesi´on (xnk )k∈N tales que 0 ≤ kxnk + xk < a < 2 para cada k ∈ N. Si x∗ ∈ BX ∗ y k ∈ N, tenemos |x∗ (xnk ) + x∗ (x)| < a y tomando l´ımites cuando k → ∞ se deduce |2x∗ (x)| < a (x es el l´ımite d´ebil de (xnk )k ). Esto contradice (5.2). Nuestro objetivo es caracterizar los espacios de Banach que tienen la propiedad [H] respecto de una topolog´ıa vectorial Hausdorff τ (dentro de una cierta clase de topolog´ıas que precisaremos a continuaci´on y que incluye a las topolog´ıas d´ebiles generadas por subespacios normantes de X ∗ ) como aqu´ellos para los que toda funci´ on f : [a, b] −→ X tal que • f es τ -continua • kf k es continua es integrable Riemann.

54

´ CAP´ITULO 5. CONTINUIDAD DEBIL E INTEGRABILIDAD

Definici´ on 5.2.4. Se dice que una topolog´ıa vectorial Hausdorff τ en el espacio de Banach X tiene la propiedad W respecto de k.k (lo denotaremos por τ ∈ W (X, k.k)) si es m´ as gruesa que la topolog´ıa normada y para cada red (xα ) contenida en SX y τ -convergente a un vector x ∈ SX lim inf kaxα + (1 − a)xk = 1. α a∈[0,1]

Diremos que τ tiene la propiedad W-secuencial respecto de k.k (abreviadamente τ ∈ Ws (X, k.k)) si es m´ as gruesa que la normada y satisface la anterior condici´ on para sucesiones. Evidentemente una topolog´ıa vectorial Hausdorff τ en X con la propiedad W tiene la propiedad W-secuencial. Si Z es un subespacio (algebraico) de X ∗ que es total (es decir, si x ∈ X, x 6= 0, existe z ∗ ∈ Z tal que z ∗ (x) 6= 0), entonces la topolog´ıa d´ebil σ(X, Z) en X generada por Z (la topolog´ıa vectorial m´as gruesa que hace continuo a cada elemento de Z) es Hausdorff y m´as gruesa que la normada. El corolario A.6.14 nos dice que, en estas condiciones, son equivalentes: i) La topolog´ıa σ(X, Z) tiene la propiedad W respecto de k.k. ii) El subespacio Z es normante, es decir, para cada x ∈ X kxk = sup{|z ∗ (x)| : z ∗ ∈ Z ∩ BX ∗ }. La idea para la demostraci´on de i) ⇒ ii) se debe a M. Raja. Presentamos ahora el principal resultado de la secci´on. En la prueba utilizaremos las construcciones desarrolladas en el apartado precedente con la misma notaci´ on. Adaptamos la idea de [57, Teorema 6] para abarcar todas las topolog´ıas de la clase Ws (X, k.k). Teorema 5.2.5. Sean (X, k.k) un espacio de Banach y τ una topolog´ıa vectorial Hausdorff en X tal que τ ∈ Ws (X, k.k). Son equivalentes: i) (X, k.k) tiene la propiedad [H] respecto de τ . ii) Toda funci´ on τ -continua f : [a, b] −→ X con norma kf k continua es integrable Darboux en [a, b]. iii) Toda funci´ on τ -continua f : [a, b] −→ X con norma kf k continua es integrable Riemann en [a, b]. Demostraci´ on. i) ⇒ ii) es clara: toda funci´on f : [a, b] −→ X τ -continua con kf k continua es continua (y, por tanto, integrable Darboux por el teorema de Lebesgue 2.2.7) ya que [a, b] es m´etrico y (X, k.k) tiene la propiedad [H] respecto de τ . ii) ⇒ iii) es directa de 2.2.6.

5.2. ESPACIOS DE BANACH CON LA PROPIEDAD [H]

55

iii) ⇒ i) Sean hn , n = 1, 2, . . . , como en la prueba de 5.1.2. Supongamos que (X, k.k) no tiene la propiedad [H] respecto de τ . Existen por tanto (observaci´on 5.2.2) a > 0 y una sucesi´ on (yn )n∈N en SX convergente hacia y ∈ SX en la topolog´ıa τ de modo que kyn − yk > a para todo n ∈ N. Definimos xn = yn − y para n = 1, 2, . . . . Entonces τ − limn xn = 0 y kxn k > a > 0 para todo n. En la demostraci´ on de 5.1.2 ve´ıamos que la funci´on f : [0, 1] −→ X definida mediante f (t) =

∞ X

hn (t)xn

n=1

es τ -continua pero no es integrable Riemann en [0, 1]. Por lo tanto la funci´on g : [0, 1] −→ X dada por g(t) = y + f (t) es τ -continua y no integrable Riemann (v´ease 1.0.9). Para acabar la demostraci´on vamos a ver que kgk es continua en cada t0 ∈ [0, 1]. Distinguimos una serie de casos: n−1

2 N −1 tales que • t0 ∈ G = ∪∞ n=1 ∪i=1 (an,i , bn,i ). Sean N ∈ N y 1 ≤ k ≤ 2 t0 ∈ (aN,k , bN,k ). Recordemos que para cada t ∈ (aN,k , bN,k )

g(t) = y + f (t) = y + hN (t)xN . De la continuidad de hN : [0, 1] −→ R se deduce inmediatamente la de g (aN,k ,bN,k ) . En particular, g y kgk son continuas en t0 . • t0 ∈ H pero t0 6= an,k , bn,k para todo n y cada 1 ≤ k ≤ 2n−1 . Como f (t) = 0 para todo t ∈ H = [0, 1] \ G, tenemos kg(t0 )k = kyk = 1. Por hip´ otesis τ ∈ Ws (X, k.k), luego lim inf kaxn + yk = 1. n a∈[0,1]

Fijado  > 0 existe N ∈ N tal que para todo n > N y todo t ∈ [0, 1] khn (t)xn + yk ≥ 1 − 

(5.3)

(recordemos que 0 ≤ hn ≤ 1 para todo n). Como t0 6∈ G y es distinto de todos los extremos de los subintervalos (an,i , bn,i ), podemos tomar δ > 0 suficientemente peque˜ no de modo que si |t − t0 | < δ, entonces n−1

2 t 6∈ ∪N n=1 ∪i=1 [an,i , bn,i ].

Afirmamos que cualquier t ∈ [0, 1] que cumpla |t − t0 | < δ verifica 1 = kg(t0 )k ≥ kg(t)k ≥ 1 − . En efecto, si t ∈ H tenemos kg(t)k = kyk = 1. En otro caso existen n ∈ N y 1 ≤ k ≤ n tales que t ∈ (an,k , bn,k ). La elecci´on de δ implica que n > N y de la desigualdad (5.3) se desprende 1 ≥ khn (t)(yn − y) + yk ≥ 1 − . Pero t ∈ (an,k , bn,k ) y, por tanto, hn (t)(yn − y) + y = g(t). Esto prueba la continuidad de kgk en t0 .

56

´ CAP´ITULO 5. CONTINUIDAD DEBIL E INTEGRABILIDAD • t0 = an,k para ciertos n ∈ N y 1 ≤ k ≤ 2n−1 . Para cada t ∈ [an,k , bn,k ) tenemos que g(t) = hn (t)xn +y, luego g y kgk son continuas en [an,k , bn,k ). En particular, kgk es continua en t0 por la derecha. Para ver la continuidad por el otro lado fijamos  > 0. Podemos encontrar un N ∈ N tal que khm (t)xm + yk ≥ 1 −  para todo m > N y cada t ∈ [0, 1]. Supongamos que N ≥ n. Tomamos δ > 0 de manera que si |t − t0 | < δ, entonces   2i−1 t 6∈ ∪N ∪ [a , b ] \ [an,k , bn,k ] h,i h,i h=1 i=1 (todos los intervalos [ah,i , bh,i ] son disjuntos dos a dos). Afirmamos que si t ∈ [0, 1] cumple 0 ≤ t0 − t < δ, entonces 1 = kg(t0 )k ≥ kg(t)k ≥ 1 − . Si t ∈ H, tenemos kg(t)k = 1. Si t ∈ 6 H, entonces existen h ∈ N y 1 ≤ i ≤ 2h−1 tales que t ∈ (ah,i , bh,i ). La elecci´on de δ y t < t0 = an,k conducen a que h > N . Por tanto 1 ≥ kg(t)k = khh (t)xh + yk ≥ 1 − . Esto prueba que kgk es continua en t0 . • Si t0 = bn,k para ciertos n, k se razona de manera an´aloga.

Queda demostrada la continuidad de kgk. Corolario 5.2.6 (Wang, Yang). Un espacio de Banach (X, k.k) tiene la propiedad [H] si y s´ olo si toda funci´ on d´ebilmente continua f : [a, b] −→ X con norma kf k continua es integrable Riemann (Darboux).

Cap´ıtulo 6

Integrabilidad y propiedad de Bourgain En esta secci´ on demostraremos (6.0.1) que toda funci´on integrable Riemann f : [a, b] −→ X tiene la propiedad de Bourgain (definiciones A.5.1 y A.5.2) cuando el espacio X es real. Este resultado no aparece en ninguna de las fuentes consultadas para la elaboraci´on de esta memoria y nos permite • dar (en 6.0.2) una nueva prueba (de hecho una mejora) de la implicaci´on f integrable Riemann ⇒ f integrable Pettis que ya vimos con anterioridad (4.0.4); • deducir que si f : [a, b] −→ X es integrable Riemann, entonces Zf = {x∗ f : x∗ ∈ BX ∗ } es k.kp -compacto como subconjunto de Lp [a, b] para cada 1 ≤ p < ∞ (v´ease 6.0.4). Para p = 1 el u ´ltimo resultado es un simple corolario de [55, Proposici´on 4-1-5, Teorema 4-1-6], donde en particular se demuestra que para toda funci´on f : [a, b] −→ X integrable Dunford Zf uniformemente absolutamente continuo ⇒ Zf compacto en k.k1 . La demostraci´ on hace uso del profundo teorema de la subsucesi´ on de Fremlin [55, Teorema 8.1] y hemos preferido presentar 6.0.4 como aplicaci´on de las t´ecnicas de J. Bourgain (teorema A.5.3), m´as accesibles. Proposici´ on 6.0.1. Sea X un espacio de Banach real. Si f : [a, b] −→ X es una funci´ on integrable Riemann, entonces Zf tiene la propiedad de Bourgain. 57

58

CAP´ITULO 6. INTEGRABILIDAD Y PROPIEDAD DE BOURGAIN

Demostraci´ on. Fijamos α > 0 y un conjunto A ⊂ [a, b] medible con m(A) > 0. Sea η = α m(A) y tomemos (gracias a la integrabilidad Riemann de f ) un N ∈ N 2 suficientemente grande de modo que kf (P) − f (P 0 )k < η para cualquier par de particiones de Riemann P, P 0 de norma menor o igual que δ = b−a N . Definiendo ti = a + iδ (0 ≤ i ≤ N ), tenemos para cada x∗ ∈ BX ∗ y ai , bi ∈ [ti−1 , ti ] N N X X ∗ ∗ ∗ ∗ (x f (ai ) − x f (bi ))(ti − ti−1 ) = δ (x f (ai ) − x f (bi )) < η. (6.1) i=1

i=1

Definimos Bi = A ∩ [ti−1 , ti ] ⊂ A para cada 1 ≤ i ≤ N . Sea S el conjunto de los Bi ’s con medida positiva. Fijamos x∗ ∈ BX ∗ . Sea J = {i ∈ {1, . . . , N } : sup(x∗ f )([ti−1 , ti ]) − inf(x∗ f )([ti−1 , ti ]) > α} . Para cada j ∈ J fijamos aj , bj ∈ [tj−1 , tj ] tales que x∗ f (aj ) − x∗ f (bj ) > α. Tomando ai = bi ∈ [ti−1 , ti ] para cada i 6∈ J podemos concluir (a partir de (6.1)) X η>δ (x∗ f (aj ) − x∗ f (bj )) > δα|J|, j∈J

de donde δ|J| < m(A) 2 . Afirmamos que existe i 6∈ J tal que m(Bi ) > 0. En efecto, como los conjuntos finitos tienen medida nula resulta que
m(A) = m ∪N i=1 (A ∩ (ti−1 , ti )) X X = m(Bi ) + m(Bi ) i6∈J

i∈J

≤ |J|δ +

X

m(Bi )

i6∈J


0 existe un δ > 0 tal que si P0 ∈ dΠ[0, 1] tiene norma menor que δ y z ∈ I(f ), entonces existe una partici´ on P ∈ Π[0, 1] con los mismos subintervalos que P0 de manera que kf (P) − zk < . ii) Si X es de dimensi´on finita, para cada  > 0 existe δ > 0 tal que para toda P ∈ Π[0, 1] de norma menor que δ existe un z ∈ I(f ) verificando kf (P) − zk < . Ellis demostr´ o en [16] que el rec´ıproco de (ii) es cierto. En dicho art´ıculo se muestra que I(f ) 6= ∅ siempre que X sea separable. M´as adelante Amemiya y Nakamura [45] y Hartman [26] demuestran de manera independiente el mismo resultado cuando X es uniformemente convexo (Hartman maneja, como siempre, normas uniformemente diferenciables Frechet). Para un espacio reflexivo el teorema de Eberlein-Smulian (A.6.7) implica que W I(f ) 6= ∅ para toda funci´on acotada f : [0, 1] −→ X. Por tanto, todos los espacios reflexivos con la propiedad de coincidencia (en particular los reflexivos d´ebilmente B-convexos [35]) satisfacen I(f ) 6= ∅ . En resumen: I(f ) 6= ∅ siempre que X sea separable o reflexivo d´ebilmente B-convexo. Sumas de Riemann-Lebesgue Recientemente, V.M. Kadets y L.M. Tseytlin [37] han introducido un nuevo concepto m´ as el´ astico que generaliza el de suma de Riemann y que comentamos brevemente para finalizar la secci´on. Definici´ on 7.0.5. Una partici´on de Riemann-Lebesgue de [0, 1] (abreviadamente una RL-partici´ on) es una colecci´ on contable P = {(∆n , tn )}n donde • {∆n }n es una partici´ on de [0, 1] formada por conjuntos medibles Lebesgue. • tn ∈ ∆n para cada n. Dadas dos RL-particiones P = {(∆n , tn )}n y P 0 = {(∆0n , t0n )}n , diremos que P es m´ as fina que P (y se denota P  P 0 ) si existe una partici´on I1 , I2 , . . . del conjunto de ´ındices de P 0 tal que ∆n = ∪i∈In ∆0i para cada n. Si P = {(∆n , tn )}n es una RL-partici´on de [0, 1] y tomamos una funci´on f : [0, 1] −→ X, se llama suma de Riemann-Lebesgue de f asociada a P a la P serie formal f (P) = n m(∆n )f (tn ). 0

Definici´ on 7.0.6. Sea f : [0, 1] −→ X una funci´ on acotada. Un x ∈ X se dice punto l´ımite de sumas Riemann-Lebesgue de f si para cada  > 0 y cada P RL-partici´ on existe una RL-partici´ on P 0 m´ as fina que P tal que f (P 0 ) es absolutamente convergente y kf (P 0 ) − xk < . Denotaremos el conjunto de puntos l´ımites mediante IRL (f ). Un x ∈ X es un punto l´ımite d´ebil de sumas Riemann-Lebesgue de f si para cada entorno U de x en la topolog´ıa d´ebil de

65 X y cada RL-partici´ on P existe una RL-partici´ on P 0 m´ as fina que P tal que 0 0 f (P ) es absolutamente convergente y f (P ) ∈ U . El conjunto de tales puntos se denotar´ a mediante W IRL (f ). A continuaci´ on repasamos algunas de las propiedades de los conjuntos IRL (f ). i) IRL (f ) es convexo para cualquier funci´on f : [0, 1] −→ X [37]. ii) IRL (f ) = W IRL (f ) para cada funci´on f : [0, 1] −→ X [37]. iii) Si X es WCG y f : [0, 1] −→ X tiene un mayorante integrable (i.e. existe g ∈ L1 [0, 1] tal que kf k ≤ g), entonces IRL (f ) 6= ∅ [38]. iv) Para cualquier S ⊂ X cerrado y convexo de cardinalidad menor o igual que la del continuo existe una funci´on f : [0, 1] −→ X tal que IRL (f ) = S [37].

66

CAP´ITULO 7. L´IMITES DE SUMAS DE RIEMANN

Parte II

Integral de McShane

67

Cap´ıtulo 8

Introducci´ on a la integral de McShane 8.1

Propiedades elementales

Un calibre del intervalo [a, b] es una funci´on δ : [a, b] −→ R+ . Llamaremos partici´ on de McShane del intervalo [a, b] a una colecci´on P = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} donde • {[ai , bi ]}i=1,...,n es un conjunto de subintervalos (los subintervalos de P) que no se solapan y cuya uni´on es todo [a, b]. • si ∈ [a, b] para cada 1 ≤ i ≤ n. Se llamar´an puntos asociados de la partici´on. Cada si no est´ a necesariamente en el subintervalo asociado [ai , bi ]. La partici´ on de McShane P se dice subordinada a un calibre δ cuando [ai , bi ] ⊂ [si − δ(si ), si + δ(si )] para todo i = 1, . . . , n. En tal caso escribiremos abreviadamente P sub δ. Si adem´ as f : [a, b] −→ X es una funci´on, la suma de McShane de f asociada a P se define como n X f (P) = (bi − ai )f (si ). i=1

Denotaremos el conjunto de particiones de McShane de [a, b] como mΠ[a, b], y el subconjunto de las que est´an subordinadas a un calibre δ mediante mΠδ [a, b]. La existencia de suficientes particiones de McShane est´a garantizada por el siguiente lema. 69

70

´ A LA INTEGRAL DE MCSHANE CAP´ITULO 8. INTRODUCCION

Lema 8.1.1. Dado un calibre δ : [a, b] −→ R+ siempre existe una partici´ on de McShane de [a, b] subordinada a δ. Demostraci´ on. Consideramos el recubrimiento abierto {(s−δ(s), s+δ(s))}s∈[a,b] del compacto [a, b]. Podemos extraer un subcubrimiento finito {(si − δ(si ), si + δ(si ))}1≤i≤n . Sea T = {a = t0 < t1 < · · · < tN = b} el conjunto formado por a, b y los puntos si − δ(si ) ´ o si + δ(si ) contenidos en [a, b]. Afirmamos que para cada j = 1, . . . , N existe un cierto ´ındice ij ∈ {1, . . . , n} tal que [tj−1 , tj ] ⊂ [sij − δ(sij ), sij + δ(sij )]. En efecto: fijado 1 ≤ j ≤ N existe un 1 ≤ ij ≤ n de manera que tj−1 ∈ (sij − δ(sij ), sij + δ(sij )) y, por tanto, tj ≤ sij + δ(sij ), de donde [tj−1 , tj ] ⊂ [sij − δ(sij ), sij + δ(sij )]. Es claro que P = {([tj−1 , tj ], sij ) : j = 1, . . . , N } es una partici´on de McShane de [a, b] subordinada al calibre δ. Definici´ on 8.1.2. Una funci´ on f : [a, b] −→ X se dice integrable McShane en [a, b] si existe z ∈ X tal que para cada  > 0 existe un calibre δ de modo que, para toda P ∈ mΠ[a, b] sub δ, kf (P) − zk < . Como ocurre en el caso de la integral de Riemann, podemos interpretar la integrabilidad McShane de una funci´on en t´erminos de redes. Para ello definimos el conjunto D = {(P, δ) : δ es un calibre y P ∈ mΠδ [a, b]} , preordenado por la relaci´on (reflexiva y transitiva) (P, δ)  (P 0 , δ 0 ) sii δ 0 ≤ δ. (D, ) es un conjunto dirigido. En efecto: dados (P, δ), (P 0 , δ 0 ) ∈ D, podemos tomar el calibre δ 00 = min{δ, δ 0 } y una partici´on de McShane P 00 sub δ 00 (por el lema 8.1.1). Evidentemente (P, δ)  (P 00 , δ 00 ) ∈ D y (P 0 , δ 0 )  (P 00 , δ 00 ). Dada una funci´ on f : [a, b] −→ X podemos asociarle una red M Sf : D −→ X del siguiente modo M Sf ((P, δ)) = f (P). Si (P, δ)  (P 0 , δ 0 ) ∈ D entonces P 0 ∈ mΠδ [a, b] y, por tanto, son equivalentes: i) f es integrable McShane en [a, b]. ii) La red M Sf es convergente. En tal caso el vector z ∈ X que aparece en la definici´on de la integral coincide con el l´ımite de la red M Sf (y, por tanto, es u ´nico). Se llama integral de Rb Rb McShane de f en [a, b] y se denota mediante a f o (M S) a f .

8.1. PROPIEDADES ELEMENTALES

71

En un espacio m´etrico completo una red es convergente si y s´olo si cumple la condici´ on de Cauchy. Aplicando esto a la red anterior tenemos el siguiente criterio de Cauchy [22, Teorema 3]. Proposici´ on 8.1.3. Sea f : [a, b] −→ X una funci´ on. Son equivalentes: i) f es integrable McShane en [a, b]. ii) Para cada  > 0 existe un calibre δ : [a, b] −→ R+ de manera que si P, P 0 ∈ mΠδ [a, b], entonces kf (P) − f (P 0 )k < . En los siguientes tres resultados damos una demostraci´on detallada de [22, Teorema 4] Proposici´ on 8.1.4. Si f : [a, b] −→ X es integrable McShane en [a, b] y J ⊂ [a, b] es un subintervalo cerrado, R entonces fRJ es integrable McShane en J. La integral se denotar´ a mediante J f o (M S) J f . Demostraci´ on. Vamos a aplicar el anterior criterio de Cauchy. Sea  > 0 fijo y tomemos un calibre δ : [a, b] −→ R+ tal que kf (P) − f (P 0 )k <  para todo par P, P 0 ∈ mΠδ [a, b]. Consideramos el calibre δJ = δ J y tomamos cualquier par P1 , P2 ∈ mΠδJ (J). Es claro que [a, b] \ J es uni´on de uno (si un extremo de J es a ´ o b) o dos subintervalos disjuntos cerrados I, H de tal modo que I, J, H no se solapan y su uni´ on es todo [a, b]. En I y H podemos encontrar (en virtud de 8.1.1) particiones de McShane PI y PH subordinadas a δ I y δ H respectivamente. Ahora podemos construir dos particiones de McShane de [a, b] subordinadas a δ: • P formada por los subintervalos de PI , PH y P1 , con sus correspondientes puntos asociados; • P 0 formada por los subintervalos de PI , PH y P2 , con los correspondientes puntos asociados. Es evidente que f (P) − f (P 0 ) = f (P1 ) − f (P2 ), luego kf (P1 ) − f (P2 )k = kf (P) − f (P 0 )k < . Esto completa la prueba. Proposici´ on 8.1.5. Sea f : [a, b] −→ X integrable McShane en [a, b]. Si a < c < b, entonces Z b Z c Z b f= f+ f a

a

c

72

´ A LA INTEGRAL DE MCSHANE CAP´ITULO 8. INTRODUCCION

Demostraci´ on. Fijado  > 0, tomamos un calibre δ : [a, b] −→ R+ tal que si P ∈ mΠδ [a, b] entonces

Z b



f < .

f (P) −

a La integrabilidad de f [a,c] y f [c,b] nos permite encontrar un par de particiones de McShane P1 y P2 de [a, c] y [c, b], subordinadas a δ, tales que

Z c Z b





f <  y f (P2 ) − f < .

f (P1 ) −



a c La partici´ on de McShane P de [a, b] formada tomando los subintervalos de P1 y P2 con sus correspondientes puntos asociados verifica que • est´ a subordinada a δ y • f (P1 ) + f (P2 ) = f (P). Por tanto,

Z

Z

Z c Z b

b

Z b

c



f− f− f ≤ f − f (P) + f − f (P1 )

a

a

a c a

Z

b

+ f − f (P2 ) < 3

c

por la elecci´on del calibre δ. La validez de esta desigualdad para cualquier  > 0 nos da la identidad buscada. Proposici´ on 8.1.6. El conjunto M S([a, b], X) de las funciones f : [a, b] −→ X integrables McShane es un espacio vectorial y la integral es una forma lineal sobre ´el. Demostraci´ on. Sean f, g ∈ M S([a, b], X) y r, s ∈ K. Las redes asociadas cumplen M Srf +sg = rM Sf + sM Sg . Por ser X un espacio vectorial topol´ogico tenemos garantizada la existencia de Z b Z b lim M Srf +sg = r lim M Sf + s lim M Sg = r f +s g a

a

que es lo que se quer´ıa demostrar. Nota 8.1.7. Si P = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} es una partici´ on de McShane tal que si ∈ [ai , bi ] para cada i = 1, . . . , n, diremos que es una partici´on de Henstock. Podemos definir la integrabilidad Henstock como en 8.1.2 considerando solamente particiones de Henstock. La integral as´ı obtenida es una extensi´ on propia de la de McShane. Es conocido que una funci´ on f : [a, b] −→ R es integrable McShane (Lebesgue, v´ease 9.4.2) si y s´ olo si f y |f | son integrables Henstock

8.2. EL LEMA DE HENSTOCK

73

[42]. Para m´ as informaci´ on acerca de la integral de Henstock de funciones escalares, el lector interesado puede consultar [31] y las distintas referencias que en dicho art´ıculo se proporcionan. En el caso general de un espacio de Banach X, D.H. Fremlin ha demostrado (en [18, Teorema 8, Corolario 9]) que para una funci´ on f : [a, b] −→ X son equivalentes: i) f es integrable McShane. ii) f es integrable Henstock y Pettis. iii) La funci´ on χE f es integrable Henstock para cada E ⊂ [a, b] medible. La prueba descansa en ciertas aplicaciones del profundo teorema de la subsucesi´on de Fremlin [55, Cap´ıtulo 8] y hemos optado por omitirla.

8.2

El lema de Henstock

El siguiente resultado constituye una herramienta fundamental en el resto de la memoria y es una adaptaci´ on de un resultado original de R. Henstock [28], que lo emple´ o para probar un teorema de la convergencia mon´ otona adaptado a la integral que hoy lleva su nombre (v´ease 8.1.7). Antes necesitamos introducir un nuevo concepto. Definici´ on 8.2.1. Dado un calibre δ : [a, b] −→ R+ , una partici´on parcial de McShane subordinada a δ es una colecci´ on finita P = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} donde • si ∈ [a, b] para i = 1, . . . , n; • {[ai , bi ]}1≤i≤n son subintervalos de [a, b] que no se solapan; • [ai , bi ] ⊂ [si − δ(si ), si + δ(si )] para cada i = 1, . . . , n. Si f : [a, b] −→ XPes una funci´ on cualquiera, la suma de McShane de f respecto n de P es f (P) = i=1 (bi − ai )f (si ). Proposici´ on 8.2.2 (Lema de Henstock). Sea f : [a, b] −→ X una funci´ on integrable McShane. Dado  > 0, sea δ : [a, b] −→ R+ un calibre tal que Rb kf (P) − a f k <  para cada P ∈ mΠδ [a, b]. Si P = {([ci , di ], si ) : i = 1, . . . , n} es una partici´ on parcial de McShane subordinada a δ, entonces

n Z

X di

f − (di − ci )f (si ) ≤ .

ci i=1

Si adem´ as X = K, n Z di X f − (di − ci )f (si ) ≤ π. ci i=1

74

´ A LA INTEGRAL DE MCSHANE CAP´ITULO 8. INTRODUCCION

Demostraci´ on. Fijamos J1 , . . . , Jp subintervalos cerrados de [a, b] que no se solapan entre s´ı, que no se solapan con los de P y tales que (∪pi=1 Ji ) ∪ (∪ni=1 [ci , di ]) = [a, b]. La integrabilidad de f en subintervalos (proposici´on 8.1.4) nos permite encontrar para cada i = 1, . . . , p una sucesi´on {Pi,k }k∈N ∈ mΠδ (Ji ) tal que Z lim f (Pi,k ) = f. k

Ji

Para cada k ∈ N consideramos la partici´on de McShane Pk ∈ mΠ[a, b] formada por los subintervalos de P m´as los de Pi,k (1 ≤ i ≤ p), con sus correspondientes puntos asociados. Evidentemente, Pk sub δ y as´ı (usando 8.1.5)



Z b p p Z n n Z di

X X X X



f = (di − ci )f (si ) + f (Pj,k ) − f− f

f (Pk ) −

a

i=1 j=1 i=1 ci j=1 Jj

!

X

Z di ! X Z p

n

= (di − ci )f (si ) − f + f (Pj,k ) − f

< . ci Jj

i=1

j=1 Tomando l´ımites cuando k → ∞ obtenemos la primera desigualdad del enunciado. Para ver la otra empleamos la proposici´on A.7.1, que garantiza la existencia de S ⊂ {1, . . . , n} tal que ! n Z di X Z di X f − (di − ci )f (si ) ≤ π f − (di − ci )f (si ) . ci ci i=1

i∈S

La demostraci´ on termina aplicando a la partici´on parcial {([ci , di ], si ) : i ∈ S} la primera conclusi´ on del enunciado. Corolario 8.2.3. Sean f : [a, b] −→ X una funci´ on integrable McShane,  > 0 Rb y δ : [a, b] −→ R+ un calibre de manera que kf (P) − a f k <  para cada P ∈ mΠδ [a, b]. Si P = {([ci , di ], si )}1≤i≤n y P 0 = {([ci , di ], s0i )}1≤i≤n son particiones parciales de McShane subordinadas a δ entonces

n

X

0

(di − ci )(f (si ) − f (si )) ≤ 2.

i=1

Si adem´ as X = K: n X

(di − ci ) |f (si ) − f (s0i )| ≤ 2π.

i=1

Como una primera aplicaci´on ofrecemos una prueba de la continuidad de la funci´ on integral indefinida. Adaptamos al caso vectorial la demostraci´on de [40, Proposici´ on 6].

8.2. EL LEMA DE HENSTOCK

75

Definici´ on 8.2.4. Dada una funci´ on f : [a, b] −→ X integrable McShane, definimos (en virtud de 8.1.4) su integral indefinida como la funci´ on F : [a, b] −→ X dada por F (a) = 0 y, para t ∈ (a, b], Z t F (t) = (M S) f. a

Lema 8.2.5. Dada una funci´ on f : [a, b] −→ X integrable McShane, su integral indefinida F es una funci´ on continua. Demostraci´ on. Fijado x ∈ [a, b), vamos a ver que F es continua en x por la derecha. Para ello, dado  > 0, tomamos un calibre δ : [a, b] −→ R+ tal que

Z b



f
0, existe un calibre δ de manera que para cada partici´on parcial de McShane {([ci , di ], si ) : i = 1, . . . , n} subordinada a δ

Z di n

X

f < .

(di − ci )f (si ) −

ci i=1

iii) Una funci´ on f : [a, b] −→ X es integrable McShane si y s´olo si es integrable Bochner.

´ A LA INTEGRAL DE MCSHANE CAP´ITULO 8. INTRODUCCION

76

8.3

Integrabilidad de funciones simples

El siguiente resultado es una mejora de [22, Teorema 14] y nos proporciona los primeros ejemplos de funciones integrables en el sentido de McShane. Proposici´ on 8.3.1. Si f : [a, b] −→ X es una funci´ on medible simple, entonces: i) f es integrable McShane. Pp ii) Si f = i=1 χEi · xi (con Ai ⊂ [a, b] medible Lebesgue y xi ∈ X para i = 1, . . . , p) entonces Z

b

f= a

p X

Z

b

m(Ei )xi = (B)

i=1

f. a

iii) Para cada  > 0 existe un calibre δ : [a, b] −→ R+ tal que

n Z bi

X

f − (bi − ai )f (si ) ≤ 

ai

i=1

para cualquier partici´ on parcial de McShane {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} subordinada a δ. Demostraci´ on. Vamos a demostrar las tres afirmaciones simult´aneamente. La desigualdad triangular y 8.1.6 reducen la prueba al caso f = χE ·x, con E ⊂ [a, b] medible y x ∈ X. Fijamos  > 0. La regularidad de la medida de Lebesgue ([7, Cap´ıtulo I]) nos permite encontrar H ⊂ E ⊂ G, G abierto, H compacto (en particular cerrado) tales que m(G) < m(E) +  y m(H) > m(E) − . Construimos a partir de estos conjuntos el siguiente calibre δ : [a, b] −→ R+ 1. Si t ∈ H ⊂ G definimos δ(t) de modo que [t − δ(t), t + δ(t)] ⊂ G. 2. Si t ∈ G \ H (que es abierto), tomamos δ(t) de forma que [t − δ(t), t + δ(t)] ⊂ G \ H. 3. En otro caso (t ∈ [a, b] \ G ⊂ R \ H abierto) definimos δ(t) de manera que [t − δ(t), t + δ(t)] ∩ H = ∅. Evidentemente, basta probar iii) para particiones de todo el intervalo [a, b] (porque el lema 8.1.1 garantiza que toda partici´on parcial subordinada a δ se puede completar a una partici´on de todo [a, b] subordinada a δ). Dada P = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} ∈ mΠδ [a, b], definimos W = ∪si ∈E [ai , bi ]. Afirmamos que H ⊂ W ⊂ G. En efecto:

´ CON LA INTEGRAL DE RIEMANN 8.4. RELACION

77

• H ⊂ W . Para verlo tomamos t ∈ H. Existe un i tal que t ∈ [ai , bi ] ∩ H ⊂ [si − δ(si ), si + δ(si )] ∩ H y la definici´on de δ no permite otra posibilidad que si ∈ H ⊂ E. Por tanto t ∈ [ai , bi ] ⊂ W . • W ⊂ G. Dado t ∈ W , tomamos un ´ındice i tal que si ∈ E y t ∈ [ai , bi ]. Como si ∈ G, la elecci´ on de δ conduce a que [si − δ(si ), si + δ(si )] ⊂ G y as´ı t ∈ [ai , bi ] ⊂ [si − δ(si ), si + δ(si )] ⊂ G. Por tanto, m(W \ E) ≤ m(G \ E) < 

y m(E \ W ) ≤ m(E \ H) < .

Finalmente,

Z b



f − f (P)

(B)

a

! Z bi n

X

= (B) f − (bi − ai )f (si )

ai i=1

Z bi n

X

f − (bi − ai )f (si )

(B)

ai

≤

i=1

=

n X

km(E ∩ [ai , bi ])x − (bi − ai )χE (si )xk

i=1

=

kxk

n X

|m(E ∩ [ai , bi ]) − (bi − ai )χE (si )|

i=1

! kxk

=

X si ∈E

=

m([ai , bi ] \ E) +

X

m(E ∩ [ai , bi ])

si 6∈E


kxk m(W \ E) + m(E \ W )


0. Sea δ > 0 tal que para cada partici´on de Riemann P ∈ Π[a, b] de norma menor que δ kf (P) − Ik < .

78

´ A LA INTEGRAL DE MCSHANE CAP´ITULO 8. INTRODUCCION

Fijamos a = t0 < t1 < · · · < tn = b tales que ti − ti−1 < δ para i = 1, . . . , n. Tomamos [ai , bi ] ⊂ (ti−1 , ti ) de modo que m((ti−1 , ti ) \ [ai , bi ]) < n . Sea    ∆ : [a, b] −→ 0, 2(n + 1) un calibre que satisfaga las siguientes propiedades: • Si t ∈ [ai , bi ] para un cierto 1 ≤ i ≤ n, entonces [t − ∆(t), t + ∆(t)] ⊂ (ti−1 , ti ). • Si t ∈ (ti−1 , ti ) \ [ai , bi ], entonces [t − ∆(t), t + ∆(t)] ⊂ (ti−1 , ti ) \ [ai , bi ]. • [t − ∆(t), t + ∆(t)] no corta a ∪ni=1 [ai , bi ] para t ∈ {t0 , . . . , tn }. Vamos a demostrar que kf (P) − Ik ≤ (2M + 1) para cada P ∈ mΠ∆ [a, b]. Por el teorema de Hahn-Banach s´olo tenemos que comprobar |(x∗ f )(P) − x∗ (I)| ≤ (2M + 1) para todo x∗ ∈ BX ∗ y cada P ∈ mΠ∆ [a, b]. Fijamos x∗ ∈ BX ∗ . Para cada i = 1, . . . , n definimos Mi = supt∈[ti−1 ,ti ] x∗ f (t) y mi = inf t∈[ti−1 ,ti ] x∗ f (t). Sean g, h : [a, b] −→ R definidas mediante g=

n X i=1

mi χ(ti−1 ,ti )

y h=

n X

Mi χ(ti−1 ,ti ) .

(8.1)

i=1

Fijamos una P ∈ mΠ∆ [a, b]. Para cada i = 1, . . . , n definimos Pi como la partici´ on parcial de McShane formada por aquellos subintervalos de P cuyos puntos asociados est´ an contenidos en (ti−1 , ti ), junto con los correspondientes puntos asociados. Sea Pi la uni´on de dichos subintervalos. Afirmamos en primer lugar que  para cada 1 ≤ i ≤ n. (8.2) |m(Pi ) − (ti − ti−1 )| < n En efecto: si 1 ≤ i ≤ n, • [ai , bi ] ⊂ Pi . Fijamos t ∈ [ai , bi ]. Sea J un intervalo de P tal que t ∈ J ∩ [ai , bi ] ⊂ [s − ∆(s), s + ∆(s)] ∩ [ai , bi ], siendo s el punto asociado a J en P. En particular, [s − ∆(s), s + ∆(s)] ∩ [ai , bi ] 6= ∅ y entonces [s − ∆(s), s + ∆(s)] est´a contenido en alg´ un (tj−1 , tj ) (por la definici´ on del calibre ∆) y, como contiene a t ∈ [ai , bi ] ⊂ (ti−1 , ti ), resulta que [s − ∆(s), s + ∆(s)] ⊂ (ti−1 , ti ). En particular s ∈ (ti−1 , ti ) y J ⊂ Pi , luego t ∈ Pi .

´ CON LA INTEGRAL DE RIEMANN 8.4. RELACION

79

• Pi ⊂ (ti−1 , ti ). Dado J un intervalo de P con punto asociado s ∈ (ti−1 , ti ), entonces J ⊂ [s − ∆(s), s + ∆(s)] ⊂ (ti−1 , ti ) por la definici´on de ∆. De estas dos observaciones deducimos (recordando la elecci´on de [ai , bi ]) −

 < m([ai , bi ]) − m((ti−1 , ti )) ≤ m(Pi ) − m((ti−1 , ti )) ≤ 0 n

para todo i. (8.2) Pn queda demostrada. Pn Sean L = i=1 mi (ti − ti−1 ) y U = i=1 Mi (ti − ti−1 ). Afirmamos que |g(P) − L| < M  y |h(P) − U | < M .

(8.3)

En efecto: basta echar un vistazo a (8.1) para deducir n n X X |g(P) − L| = g(Pi ) − mi (ti − ti−1 ) i=1

≤ =

n X i=1 n X

i=1

|g(Pi ) − mi (ti − ti−1 )| |mi (m(Pi ) − (ti − ti−1 ))|

i=1

≤ M

n X

|m(Pi ) − (ti − ti−1 )|


0, sea δ un Rb calibre en [a, b] tal que |f (P) − a f | <  para cada P ∈ mΠδ [a, b]. Sean P y P 0 particiones de McShane de [a, b] subordinadas a δ. Se afirma que ||f |(P) − |f |(P 0 )| ≤ 2π. Si P = {([ai , bi ], si )}1≤i≤n y P 0 = {([cj , dj ], s0j )}1≤j≤m , definimos A = {(i, j) : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, Ii,j = [ai , bi ] ∩ [cj , dj ] 6= ∅ no degenerado}. 81

82

CAP´ITULO 9. LA INTEGRAL DE FUNCIONES ESCALARES

Consideramos las siguientes particiones de McShane subordinadas a δ P1 = {(Ii,j , si ) : (i, j) ∈ A} P2 = {(Ii,j , s0j ) : (i, j) ∈ A}. Podemos aplicar el lema de Henstock 8.2.3 a dichas particiones obteniendo X |f (si ) − f (s0j )|m(Ii,j ) ≤ 2π. (9.1) (i,j)∈A

Ahora la desigualdad triangular nos lleva a X ||f |(P) − |f |(P 0 )| = (|f |(si ) − |f |(s0j ))m(Ii,j ) ≤ (i,j)∈A X |f |(si ) − |f |(s0j ) m(Ii,j ) ≤ (i,j)∈A

X f (si ) − f (s0j ) m(Ii,j ) ≤ 2π, (i,j)∈A

por (9.1). Es decir, |f | cumple el criterio de Cauchy de integrabilidad McShane. Dada una funci´ on f : [a, b] −→ R, definimos su parte positiva y parte negativa como f + = 21 (f + |f |) y f − = 12 (|f | − f ). El resultado anterior y 8.1.6 nos permiten afirmar: Corolario 9.1.2. Si f : [a, b] −→ R es integrable McShane, entonces f + y f − tambi´en lo son.

9.2

El teorema de la convergencia mon´ otona

Adaptamos a continuaci´on el cl´asico teorema de la convergencia mon´ otona de la integral de Lebesgue [53, Cap´ıtulo 1] a la integral de McShane [44, II.4.2]. Lema 9.2.1. Sean f, g : [a, b] −→ R integrables McShane tales que f ≤ g. Rb Rb Entonces a f ≤ a g. Demostraci´ on. Inmediata. Teorema 9.2.2. Sea fn : [a, b] −→ [0, ∞) una sucesi´ on de funciones integrables McShane tal que fn (t) ≤ fn+1 (t) para todo n ∈ N y cada t ∈ [a, b] con l´ımite puntual finito f : [a, b] −→ [0, ∞). Entonces f es integrable McShane si y s´ olo Rb si la sucesi´ on a fn es acotada superiormente. En tal caso: Z lim n

b

Z fn =

a

b

f. a

´ 9.2. EL TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONOTONA

83

Rb Demostraci´ on. Definimos Jn := a fn . Por el lema previo (Jn )n∈N es una suceRb si´on mon´ otona creciente y, si f fuese integrable McShane, a f ser´ıa una cota superior para dicha sucesi´ on. Rec´ıprocamente, supongamos que limn Jn = J ∈ [0, ∞). Fijamos  > 0 y 2J+ α = 2J+2 ∈ (0, 1). Podemos encontrar • N ∈ N de manera que Jn > J −

 2

para todo n ≥ N.

(9.2)

• Para cada t ∈ [a, b] un N ≤ n(t) ∈ N tal que, para cada n ≥ n(t), fn (t) ≥ αf (t).

(9.3)

• Para cada n ∈ N un calibre δn : [a, b] −→ R+ tal que para toda partici´on de McShane P subordinada a δn |fn (P) − Jn |
J − . En efecto, claramente [ai , bi ] ⊆ [si − δ(si ), si + δ(si )] ⊆ [si − δN (si ), si + δN (si )] por la monoton´ıa de los calibres (n(si ) ≥ N ). Por tanto, P est´a subordinada a δN y (9.4) implica f (P) ≥ fN (P) ≥ JN −

 > J − . 2N +3

Por otro lado, definimos M = max{n(s1 ), . . . , n(sk )} y para cada h ∈ N Ih := {i ∈ {1, . . . , k} : n(si ) = h}. Sea H = {h ∈ N : Ih 6= ∅}. Para cada h ∈ H consideramos la partici´on parcial de McShane Ph = {([ai , bi ], si ) : i ∈ Ih }, que est´a subordinada a δh . Fijamos Pi∗ ∈ mΠδM [ai , bi ] para todo i = 1, . . . , k. Podemos construir para cada h ∈ H una partici´ on parcial de McShane P ∗ [h] = ∪i∈Ih Pi∗ . Como δM ≤ δn(si ) para cada i = 1, . . . , k, es claro que P ∗ [h] est´a subordinada a δh .

CAP´ITULO 9. LA INTEGRAL DE FUNCIONES ESCALARES

84

Aplicando el lema de Henstock 8.2.2 a fh y la partici´on parcial Ph obtenemos (por (9.4)) X Z bi  fh − fh (Ph ) ≤ h+3 . (9.5) 2 ai i∈Ih

Podemos usar de nuevo 8.2.2 (aplic´andolo a fh y P ∗ [h] = ∪i∈Ih Pi∗ ), junto con la proposici´ on 8.1.5 en cada [ai , bi ], para concluir ! X Z bi X Z bi  fh − fh (Pi∗ ) = fh − fh (P ∗ [h]) ≤ h+3 . 2 ai ai i∈Ih

i∈Ih

De estas dos desigualdades obtenemos que fh (Ph ) ≤ fh (P ∗ [h]) +

 2h+2

para cada h ∈ H. Por definici´ on M = maxi=1,...,k n(si ) y, as´ı, fh ≤ fM para cada h ∈ H. Podemos combinar la u ´ltima desigualdad con (9.3) (en cada punto asociado de la partici´ on Ph ) para deducir αf (Ph ) < fh (Ph ) < fh (P ∗ [h]) +

 2h+2

≤ fM (P ∗ [h]) +

 2h+2

para cualquier h ∈ H. Definimos P ∗ ∈ mΠ[a, b] mediante P ∗ = ∪h∈H P ∗ [h] = ∪h∈H ∪i∈Ih Pi∗ (la uni´ on de los subintervalos de cada P ∗ [h] coincide con ∪n(si )=h [ai , bi ], por lo que los subintervalos de P ∗ no se solapan y su uni´on es todo [a, b]). Es claro que P ∗ est´ a subordinada a δM (por estarlo las Pi∗ ). Como P = ∪h∈H Ph , de la desigualdad precedente concluimos X αf (P) = α f (Ph ) h∈H


0 existe una funci´ on mon´ otona creciente g : [a, b] −→ R tal que

CAP´ITULO 9. LA INTEGRAL DE FUNCIONES ESCALARES

86

i) 0 = g(a) ≤ g(b) ≤ . +

ii) D (F (x) − g(x)) ≤ f (x) para cada x ∈ [a, b). −

iii) D (F (x) − g(x)) ≤ f (x) para cada x ∈ (a, b]. Demostraci´ on. Sea δ un calibre en [a, b] tal que para cada P ∈ mΠδ [a, b] Z b  f < . (9.6) f (P) − π a Definimos para cada a ≤ c < d ≤ b ( Z bi ) X G[c, d] := sup f , f (ti )(bi − ai ) − ai donde el supremo se toma sobre todas las particiones de McShane del intervalo [c, d] subordinadas a δ. El lema de Henstock 8.2.2 implica que G (como funci´on de intervalos) toma valores en [0, ]. Definimos g(a) := 0 y para cada x ∈ (a, b] g(x) := G[a, x]. Evidentemente g satisface i). Afirmamos que g es mon´ otona creciente. Para ello observamos (pegando particiones) que para cada a ≤ c < d < e ≤ b G[c, e] ≥ G[c, d] + G[d, e],

(9.7)

y tomando c = a en la anterior desigualdad obtenemos la monoton´ıa de g. En segundo lugar se afirma que para cada x ∈ [a, b) +

D (F (x) − g(x)) ≤ f (x). En efecto, sea x < t < b tal que |t − x| < δ(x). Como la partici´on parcial {([x, t], x)} est´ a subordinada a δ: Z t f (x)(t − x) − f ≤ G[x, t]. x

Esta desigualdad y (9.7) nos llevan a Z

t

F (t) − g(t) − (F (x) − g(x)) =

f + (G[a, x] − G[a, t]) x Z t

≤

f − G[x, t] x

≤ f (x)(t − x).

9.3. MEDIBILIDAD DE LAS FUNCIONES INTEGRABLES

87

Es decir, (F (t) − g(t)) − (F (x) − g(x)) ≤ f (x) t−x para todo x < t < min{b, x + δ(x)} y tomando l´ımites superiores se obtiene la desigualdad buscada. Razonando de modo an´ alogo podemos concluir que para cada x ∈ (a, b] −

D (F (x) − g(x)) ≤ f (x).

Teorema 9.3.3. Sea f : [a, b] −→ R una funci´ on integrable McShane. Entonces su integral indefinida F verifica: +

D F (t) ≤ f (t) −

D F (t) ≤ f (t) en casi todo punto t ∈ [a, b]. +

Demostraci´ on. Sea E = {x ∈ (a, b) : D F (x) − f (x) > 0}. Supongamos por reducci´ on al absurdo que m∗ (E) > 0. Definimos para cada n ∈ N   1 + En = x ∈ (a, b) : D F (x) − f (x) > . n ∗ Es trivial que E = ∪∞ n=1 En y por la subaditividad de m existe n tal que ∗ m (En ) = v > 0. Fijado  ∈ (0, nv ), sea g la funci´on mon´otona creciente proporcionada por el lema 9.3.2 para este . Es conocido (v´ease [58, Teorema 7.21]) que g es derivable Rb en casi todo punto, su derivada g 0 es integrable Lebesgue y g(b) − g(a) ≥ a g 0 . En primer lugar, veamos que el conjunto medible B = {t ∈ [a, b] : g 0 (t) > n1 } satisface m(B) < v. (9.8)

En efecto, como g 0 ≥ 0 (g es mon´otona creciente): 1 m(B) ≤ (L) n

Z

0

Z

g ≤ (L) B

b

g 0 ≤ g(b) − g(a) ≤ 
0} = 0 y el teorema queda demostrado. Un razonamiento similar nos permite demostrar el siguiente Teorema 9.3.4. Sea f : [a, b] −→ R una funci´ on integrable McShane. Su integral indefinida F satisface D+ F (t) ≥ f (t) D− F (t) ≥ f (t) en casi todo punto t ∈ [a, b]. A partir de 9.3.3 y 9.3.4 se deduce inmediatamente el resultado clave de la secci´ on [40, Proposici´on 6]: Corolario 9.3.5 (Teorema fundamental del c´ alculo). Si f : [a, b] −→ R es una funci´ on integrable McShane, su integral indefinida F es derivable en casi todo punto t ∈ [a, b] y F 0 (t) = f (t). Finalizamos la secci´on con la prueba del teorema 9.3.1. Demostraci´ on. Si f : [a, b] −→ K es integrable McShane y f = u + iv es su descomposici´ on en partes real e imaginaria, es sencillo ver que u, v : [a, b] −→ R son integrables McShane. Para ver la medibilidad de f basta comprobar que u y v son medibles Lebesgue y, as´ı, podemos suponer sin p´erdida de generalidad que f : [a, b] −→ R. Sea F su integral indefinida, que es una funci´on continua (proposici´ on 8.2.5) tal que F 0 (t) = f (t) en casi todo t ∈ [a, b] por el resultado precedente. El lema A.1.1 nos proporciona la medibilidad de f .

9.4

La equivalencia Lebesgue-McShane

Sea f : [a, b] −→ [0, ∞) una funci´on medible Lebesgue. Sabemos que existe una sucesi´ on de funciones medibles simples {sn }n∈N de manera que

9.4. LA EQUIVALENCIA LEBESGUE-MCSHANE

89

• sn ≥ 0 para cada n ∈ N. • sn ≤ sn+1 para todo n ∈ N. • limn sn (t) = f (t) para cada t ∈ [a, b]. Rb Rb Es conocido que sn es integrable McShane y an = (M S) a sn = (L) a sn para cada n ∈ N (proposici´ on 8.3.1). El teorema 9.2.2 garantiza que f es integrable McShane si y s´ olo si la sucesi´ on {an }n∈N est´a acotada superiormente, en cuyo caso Z b

lim an = (M S)

f.

n

a

Por otro lado, podemos aplicar el teorema de la convergencia mon´ otona de Lebesgue para obtener Z b lim an = (L) f. n

a

Rb Por tanto, f es integrable McShane si y s´olo si (L) a f < ∞, es decir, si y s´olo Rb Rb si f es integrable Lebesgue. En tal caso (L) a f = (M S) a f . Como la integrabilidad McShane de cualquier funci´on f : [a, b] −→ [0, ∞) implica medibilidad Lebesgue (9.3.1), tenemos probado el siguiente Teorema 9.4.1. Para una funci´ on f : [a, b] −→ [0, ∞) son equivalentes: i) f es integrable McShane. ii) f es integrable Lebesgue. En tal caso las integrales coinciden. Completamos la prometida equivalencia: Corolario 9.4.2. Sea f : [a, b] −→ K una funci´ on. Son equivalentes: i) f es integrable McShane. ii) f es integrable Lebesgue. En tal caso las integrales coinciden. Demostraci´ on. Sea f = u + iv su descomposici´on en parte real e imaginaria. Es conocido que f es integrable Lebesgue (resp. McShane) sii u y v lo son, en cuyo Rb Rb Rb Rb Rb Rb caso (L) a f = (L) a u+i(L) a v (resp. (M S) a f = (M S) a u+i(M S) a v). Por tanto, la prueba se reduce al caso f : [a, b] −→ R. Sabemos que f = f + −f − , siendo f + y f − funciones no negativas. Es conocido que f es integrable Lebesgue sii lo son f + y f − , y lo mismo ocurre para la integrabilidad McShane (en Rb Rb Rb virtud de 8.1.6 y 9.1.2). En tal caso, (L) a f = (L) a f + − (L) a f − (resp. Rb Rb Rb (M S) a f = (M S) a f + − (M S) a f − ). Esto reduce la demostraci´on al caso f : [a, b] −→ [0, ∞), que ha sido probado anteriormente.

90

CAP´ITULO 9. LA INTEGRAL DE FUNCIONES ESCALARES

Cap´ıtulo 10

Relaci´ on con otras integrales En este cap´ıtulo determinamos cu´al es la relaci´on existente entre la integrabilidad Bochner, Pettis y McShane de una funci´on f : [a, b] −→ X, presentando los resultados al respecto de D.H. Fremlin y J. Mendoza [20], R.A. Gordon [22], V.A. Skvortsov y A.P. Solodov [54]. En concreto: • Una funci´ on integrable Riemann es integrable Pettis (4.0.4) e integrable McShane (8.4.1), pero en general no es medible y, por tanto, integrable Bochner (1.0.11). La medibilidad de la funci´on garantiza su integrabilidad Bochner (4.0.5). • Una funci´ on integrable Bochner es integrable McShane (10.3.1). Como acabamos de comentar en el punto anterior, el rec´ıproco no es cierto en general. Los u ´nicos espacios de Banach X para los que coinciden integrabilidad Bochner y McShane son los de dimensi´on finita (10.3.10). • Una funci´ on integrable McShane es integrable Pettis (10.1.2). La afirmaci´ on contraria no es v´ alida en general, pero s´ı cuando la funci´on es adem´as medible (10.3.5). En particular integrabilidad Pettis y McShane coinciden si X es separable. Para demostrar 10.3.5 empleamos un potente teorema de convergencia para la integral de McShane (debido a D.H. Fremlin) que, adem´as, nos permite deducir un teorema de tipo Vitali y el de la convergencia dominada para esta integral (Secci´ on 10.2), tanto para la topolog´ıa d´ebil como para la inducida por la norma.

10.1

Integrabilidad Pettis

Proposici´ on 10.1.1. Si f : [a, b] −→ X es integrable McShane y T : X −→ Y es una aplicaci´ on lineal continua entre espacios de Banach, entonces la compo91

92

´ CON OTRAS INTEGRALES CAP´ITULO 10. RELACION

sici´ on T f : [a, b] −→ Y es integrable McShane y Z b Z b ! Tf = T f . a

a

∗ ∗ En particular, on x∗ f es integrable McShane y  cada x ∈ X la funci´ R para Rb ∗ b x f = x∗ a f . a

Demostraci´ on. (Con las notaciones introducidas despu´es de la definici´on 8.1.2). Para cada (P, δ) ∈ D tenemos M ST f ((P, δ)) = T (M Sf ((P, δ))) por la linealidad de T . El resultado se sigue de la continuidad de T . Sea f : [a, b] −→ X una funci´on integrable McShane. El resultado precedente y el corolario 9.4.2 nos dicen que f es integrable Dunford. Si denotamos su integral indefinida como ν : Σ −→ X ∗∗ , es f´acil ver que ν([c, d]) ∈ X para cada subintervalo cerrado [c, d] ⊂ [a, b]: f es integrable McShane en [c, d] por 8.1.4 y Rd  Rd ∗ ∗ el resultado anterior implica que x f = c x f para cada x∗ ∈ X ∗ ; por c Rd tanto ν([c, d]) = c f ∈ X. Estamos entonces en las condiciones del teorema A.4.15 (utilizado anteriormente para probar que la integrabilidad Pettis extiende a la de Riemann, v´ease 4.0.4), que ser´ a la herramienta b´asica utilizada para demostrar la siguiente mejora [20, Teorema 2C]: Teorema 10.1.2. Toda funci´ on f : [a, b] −→ X integrable McShane es integrable Pettis. Demostraci´ on. Fijado  > 0, tomamos un calibre δ : [a, b] −→ R+ tal que

Z

b

f − f (P) <  (10.1)

a

para toda P ∈ mΠδ [a, b]. Fijamos P = {(Ii , ti ) : i = 1, . . . , n} ∈ mΠδ [a, b] y definimos M = max1≤i≤n kf (ti )k. Para demostrar el teorema basta probar la siguiente afirmaci´on kν(E)k ≤ M m(E) + 2

(10.2)

para cada uni´ on finita E de subintervalos cerrados que no se solapen. En efecto: si suponemos probada esta desigualdad y tomamos una sucesi´on {[an , bn ]}n∈N de subintervalos cerrados de [a, b] que no se solapen, dados N ≤ n ∈ N,

n

n X

X

≤M

ν([a , b ]) m([aj , bj ]) + 2. j j

j=N

j=N

10.1. INTEGRABILIDAD PETTIS

93

Por tanto, para cada N ∈ N

n

∞ X

X

sup ν([aj , bj ]) ≤ M m([aj , bj ]) + 2

n≥N

j=N j=N y as´ı

X

n

lim sup ν([a , b ]) j j ≤ 2

N n≥N

j=N (la medida de Lebesgue es contablemente aditiva). Esta u ´ltima desigualdad

es

Pn

v´alida para cada  > 0 y, por tanto, existe limN supn≥N j=N ν([aj , bj ]) = 0. P∞ Es decir, i=1 ν([ai , bi ]) es una serie convergente en el Banach X. Aplicando A.4.15 ya est´ a probado el teorema. Para demostrar (10.2) escribimos E = ∪pj=1 Ej con los Ej subintervalos cei Ji,h rrados que no se solapan. Es claro que si Ii \ E 6= ∅ entonces Ii \ E = ∪hh=1 para ciertos Ji,h subintervalos cerrados que no se solapan. Definimos I = {i ∈ {1, . . . , n} : Ii \ E 6= ∅} y, para cada i ∈ I, la siguiente partici´on parcial subordinada a δ: Pi = {(Ji,h , ti ) : h = 1, . . . , hi }. Es f´ acil ver (definiendo Ji,h = ∅ y



X

f (Pi ) =

f (P) −

i∈I

hi = 1 si i 6∈ I) que

n

! hi

X

X

m(Ii ) − m(Ji,h ) f (ti )

i=1 h=1

n

X

= (m(Ii ) − m(Ii \ int(E)))f (ti )

i=1

n

X

= m(Ii ∩ int(E))f (ti )

i=1 n X

≤ M

m(Ii ∩ int(E))

i=1

= M m(E).

(10.3)

Se observa que P0 = ∪i∈I Pi es una partici´on parcial subordinada a δ y la uni´on de sus subintervalos es ∪i∈I Ii \ E = ∪i∈I (Ii \ E) = ∪ni=1 (Ii \ E) = [a, b] \ E. Dado η > 0 arbitrario podemos encontrar Pj∗ ∈ mΠδ (Ej ) tal que

Z



f − f (Pj∗ ) < η

Ej

(10.4)

94

´ CON OTRAS INTEGRALES CAP´ITULO 10. RELACION

para cualquier 1 ≤ j ≤ p.
Sea P 0 = P0 ∪ ∪pj=1 Pj∗ ∈ mΠδ [a, b] (la uni´on de todos los subintervalos de las Pj∗ es ∪pj=1 Ej = E). Como P tambi´en est´a subordinada a δ, podemos aplicar (10.1) y obtener



p X X

∗ f (P) − f (P ) − f (P ) kf (P) − f (P 0 )k = i j < 2.

j=1 i∈I Esta desigualdad, (10.3) y (10.4) permiten concluir



X

X

X

p p X

p

∗ ∗

ν(Ej ) ≤ kν(Ej ) − f (Pj )k + f (Pj ) + f (Pi ) − f (P)

j=1

j=1

j=1

i∈I

X

+ f (Pi ) − f (P) < pη + 2 + M m(E).

i∈I

La arbitrariedad de η finaliza la demostraci´on. A continuaci´ on mostramos dos aplicaciones de este teorema, donde utilizamos la integrabilidad Pettis para manejar f´acilmente conjuntos medibles mientras trabajamos con la integral de McShane. La proposici´on 10.1.3 [20, Teorema 2E] generaliza 8.1.4, mientras que 10.1.6 [20, Lema 2H] es una mejora del lema de Henstock 8.2.2. Proposici´ on 10.1.3. Sean f : [a, b] −→ X integrable McShane y E ⊂ [a, b] un conjunto medible Lebesgue. Entonces la funci´ on g = χE f : [a, b] −→ X es integrable McShane con integral ν(E) (donde ν es la integral indefinida de Pettis de f ). Demostraci´ on. Ya sabemos que f es integrable Pettis y, por tanto, su integral indefinida ν : Σ −→ X verifica ν  m (v´ease A.4.15). Fijado  > 0, vamos a encontrar un calibre δ : [a, b] −→ R+ tal que kν(E) − g(P)k < 3 para toda P ∈ mΠδ [a, b]. Para ello tomamos un calibre ∆ : [a, b] −→ R+ de manera que

Z

b

f − f (P) <  (10.5)

a

para cada P ∈ mΠδ [a, b]. Como ν  m, podemos encontrar η > 0 tal que si F ∈ Σ tiene medida menor que η, entonces kν(F )k < .

(10.6)

La regularidad de la medida de Lebesgue nos permite encontrar cerrados F1 ⊂ E y F2 ⊂ [a, b]\E tales que m(F1 ) > m(E)−η y m(F2 ) > m([a, b]\E)−η. Fijamos un calibre δ : [a, b] −→ R+ de manera que • δ ≤ ∆ (puntualmente) y

10.1. INTEGRABILIDAD PETTIS

95

• [t − δ(t), t + δ(t)] ∩ Fi = ∅ para cada t ∈ [a, b] \ Fi e i = 1, 2. Veamos que este calibre satisface lo deseado. Para ello fijamos P ∈ mΠδ [a, b] ⊂ mΠ∆ [a, b], que escribimos P = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n}. Sea I = {i = 1, . . . , n : si ∈ E} y definimos H = ∪i∈I [ai , bi ]. El lema de Henstock 8.2.2 implica

!

X Z bi



X



f − (bi − ai )f (si ) = ν(H) − (bi − ai )f (si ) ≤ .



ai i∈I

Pero

P

i∈I (bi

i∈I

− ai )f (si ) = g(P), luego kν(H) − g(P)k ≤ .

(10.7)

Observamos que • F1 ⊂ H. En efecto, si t ∈ F1 ⊂ [a, b] existe 1 ≤ j ≤ n tal que t pertenece a [aj , bj ] ∩ F1 ⊂ [sj − δ(sj ), sj + δ(sj )] ∩ F1 ; as´ı, esta u ´ltima intersecci´on es no vac´ıa y la definici´ on del calibre δ nos lleva a que sj ∈ F1 ⊂ E y, por tanto, [aj , bj ] ⊂ H. • H ⊂ [a, b] \ F2 . En efecto, si i ∈ I entonces si ∈ E ⊂ [a, b] \ F2 y, por tanto, ∅ = [si − δ(si ), si + δ(si )] ∩ F2 ⊃ [ai , bi ] ∩ F2 . Estas dos observaciones nos permiten concluir que m(E \ H) ≤ m(E \ F1 ) < η y m(H \ E) ≤ m (([a, b] \ F2 ) \ E) < η por la elecci´on de F1 y F2 . Deducimos kν(E \ H)k <  y kν(H \ E)k <  en virtud de (10.6). As´ı, kν(H) − ν(E)k = kν(H ∩ E) + ν(H \ E) − ν(E ∩ H) − ν(E \ H)k < 2. Combinando esta desigualdad con (10.7) tenemos kν(E) − g(P)k < 3 como se quer´ıa demostrar. Nota 10.1.4. Sea f : [a, b] −→ X integrable McShane con integral indefinida de RPettis ν. En los comentarios previos al teorema 10.1.2 hemos visto que ν(J) = f J para cada subintervalo cerrado J ⊂ [a, b]. La proposici´ on precedente nos J R Rb dice que J f J = a χJ f . De aqu´ı en adelante utilizaremos la notaci´ on Z

Z

E

b

χE f = ν(E) ∈ X

f := a

para cada subconjunto medible E ⊂ [a, b], que es coherente con la mantenida hasta ahora para subintervalos cerrados.

´ CON OTRAS INTEGRALES CAP´ITULO 10. RELACION

96

Definici´ on 10.1.5. Dado un calibre δ : [a, b] −→ R+ , una partici´on parcial de McShane generalizada subordinada a δ es una colecci´ on finita P = {(Ei , si ) : i = 1, . . . , n} donde • si ∈ [a, b] para i = 1, . . . , n; • {Ei }1≤i≤n son subconjuntos medibles disjuntos de [a, b]; • Ei ⊂ [si − δ(si ), si + δ(si )] para cada i = 1, . . . , n. Si f : [a, b] −→ XPes una funci´ on cualquiera, la suma de McShane de f respecto n de P es f (P) = i=1 m(Ei )f (si ). Proposici´ on 10.1.6 (Lema de Henstock generalizado). Sea f : [a, b] −→ X una funci´ on integrable McShane. Dado  > 0, existe un calibre δ : [a, b] −→ R+ tal que para cada partici´ on parcial de McShane generalizada subordinada a δ, digamos P = {(Ei , si ) : i = 1, . . . , n}, se cumple

 n Z

X

f − m(Ei )f (si ) ≤ .

Ei i=1

Demostraci´ on. Sea δ un calibre tal que

Z

b

0 f − f (P ) < 

a

para cada P 0 ∈ mΠδ [a, b]. Fijamos una partici´on parcial de McShane generalizada P = {(Ei , si ) : i = 1, . . . , n} subordinada a δ 0 = 2δ . Se afirma que para cada η > 0

Z



f − f (P) ≤  + 3η.

∪ni=1 Ei

(Esto finalizar´ a la demostraci´on).

R

η Definimos M = max1≤i≤n kf (si )k y tomamos η 0 < nM tal que H f < η si H ⊂ [a, b] es medible de medida menor que nη 0 . Para cada i = 1, . . . , n tenemos Ei ⊂ (si − δ(si ), si + δ(si )) y podemos 0 encontrar un abierto Gi tal que Ei ⊂ Gi ⊂ (si −δ(si ), si +δ(si )) y m(Gi \Ei ) < η2 (regularidad de la medida de Lebesgue). Usando que cada Gi es uni´on contable de intervalos abiertos disjuntos (sus componentes conexas) podemos encontrar para cada i = 1, . . . , n intervalos abiertos disjuntos Gi,1 , . . . , Gi,Ji ⊂ Gi de PJi 0 manera que m(Gi ) − j=1 m(Gi,j ) < η2 . Escribimos [ai,j , bi,j ] = Gi,j . Es claro que {[ai,j , bi,j ] : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ Ji } es una familia de subintervalos cerrados que no se solapan y P0 = {([ai,j , bi,j ], ti ) : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ Ji }

10.2. PASO AL L´IMITE BAJO LA INTEGRAL DE MCSHANE

97

es una partici´ on parcial de McShane subordinada a δ. Definimos i Fi = ∪Jj=1 [ai,j , bi,j ]

para 1 ≤ i ≤ n, F = ∪ni=1 Fi y E = ∪ni=1 Ei . Aplicando el lema de Henstock 8.2.2 a P0 se obtiene

!

X

Z bi,j Ji n X



n X



= ν(F ) −

m(F )f (t ) f − (b − a )f (t ) ≤ . i,j i,j i i i

ai,j

i=1 j=1 i=1 (10.8) Adem´ as, m(Ei ∆Fi ) ≤ η 0 para todo 1 ≤ i ≤ n. (10.9) En efecto: m(Ei ∆Fi ) = m(Ei \ Fi ) + m(Fi \ Ei ) ≤ m(Gi \ Fi ) + m(Gi \ Ei ) < η 0 porque Ei ⊂ Gi , Fi est´ a contenido esencialmente en Gi , m(Gi ) − m(Fi ) < η0 m(Gi ) − m(Ei ) < 2 . Entonces

n

n

X

X



m(Fi )f (ti ) − f (P) = (m(Fi ) − m(Ei ))f (ti )



i=1

i=1 n X

≤ M ≤ M

i=1 n X

η0 2

y

|m(Fi ) − m(Ei )| m(Fi ∆Ei )


0 existe un calibre δ : [a, b] −→ R+ tal que kgk(P) <  para cada P ∈ mΠδ [a, b]. La prueba finaliza observando que kg(P)k ≤ kgk(P) para cada P ∈ mΠ[a, b] por la desigualdad triangular. El siguiente resultado es una versi´on adaptada a nuestro contexto de un teorema de D.H. Fremlin [19, Teorema 4A] y constituye la clave de la presente secci´ on. Teorema 10.2.2 (Fremlin). Sea fn : [a, b] −→ X, n = 1, 2, . . . , una sucesi´ on de funciones integrables McShane tal que i) converge d´ebilmente a f : [a, b] −→ X en casi todo punto, ii) para cada E ⊂ [a, b] medible Lebesgue existe el l´ımite Z σ(X ∗∗ , X ∗ ) − lim fn = ν(E) ∈ X ∗∗ , n

E

iii) ν : Σ −→ X ∗∗ es contablemente aditiva. Entonces, f es integrable McShane en [a, b], su integral indefinida de Pettis es ν (que toma, por tanto, todos sus valores en X) y Z

b

f = ν([a, b]). a

Demostraci´ on. La proposici´on 10.2.1 nos permite suponer sin p´erdida de generalidad que ω − limn fn = f en todo punto (redefiniendo todas las funciones como 0 en el subconjunto de [a, b] donde no hay convergencia). Fijamos  > 0 e introducimos:

10.2. PASO AL L´IMITE BAJO LA INTEGRAL DE MCSHANE

99

a) el conjunto numerable Γ definido como ( (r, v1 , . . . , vn ) : r, n ∈ N, v1 , . . . , vn ∈ Q ∩ [0, 1],

n X

) vi = 1 ;

i=1

a’) para cada γ = (r, v1 , . . . , vn ) ∈ Γ definimos rγ = r

y fγ =

n X

vi fi

i=1

(fγ es integrable McShane, 8.1.6); a”) si γ ∈ Γ, fijamos Aγ =

  t ∈ [a, b] : sup kfi (t)k ≤ rγ , kf (t) − fγ (t)k ≤  ; i∈N

b) si γ ∈ Γ, tomamos Aγ ⊂ Vγ ⊂ [a, b] medible tal que m(Vγ ) = m∗ (Aγ ); c) para cada t ∈ [a, b] se tiene ω − limn fn (t) = f (t) y, por el teorema de Mazur A.6.6, existe una sucesi´on de combinaciones convexas de elementos de {fn (t)}n∈N que converge en norma hacia f (t); como adem´as la sucesi´on {fn (t)}n∈N es acotada, existe γ ∈ Γ tal que t ∈ Aγ ; por tanto [a, b] = ∪γ∈Γ Aγ ; utilizando la numerabilidad de Γ podemos obtener para cada γ ∈ Γ un subconjunto A0γ ⊂ Aγ de manera que {A0γ }γ∈Γ sea un recubrimiento de [a, b] formado por conjuntos disjuntos dos a dos; d) como Γ es numerable, podemos encontrar una familia de reales positivos {dγ }γ∈Γ tal que X (rγ + 1)dγ ≤ ; γ∈Γ

e) por hip´ otesis ν es una medida vectorial contablemente aditiva y claramente ν(E) = 0 si m(E) = 0; A.2.4 asegura la existencia de una familia de reales positivos (ηγ )γ∈Γ tal que para cualquier H ⊂ [a, b] medible m(H) ≤ ηγ

⇒

kν(H)k ≤ dγ ;

f) para cada γ ∈ Γ tomamos un abierto relativo Gγ ⊂ [a, b] tal que m(Gγ \ Vγ ) < min{dγ , ηγ }.

´ CON OTRAS INTEGRALES CAP´ITULO 10. RELACION

100

En primer lugar, veamos que para cada γ ∈ Γ y E ⊂ Vγ medible

Z

ν(E) − fγ

≤ m(E).

(10.11)

E

Como ν(E) = σ(X ∗∗ , X ∗ ) − limn ∗

∗

Z

E

fn , para cada x∗ ∈ X ∗



ν(E)(x ) = lim x n

R

fn

Z

∗

= lim x

χE fn

n

E

!

b

a

Z = lim n

x∗ fn .

E

Observamos que Aγ ∩ E ⊂ E y m∗ (Aγ ∩ E) = m(E) (por A.1.3). La sucesi´on de funciones medibles {x∗ fn }n∈N est´a uniformemente acotada en Aγ y, en particular, en Aγ ∩ E. Podemos aplicar el teorema de la convergencia dominada A.1.5 y deducir Z Z ∗ lim x fn = x∗ f n

E

E

(por hip´ otesis ω − limn fn = f en casi todo punto de [a, b]). As´ı, Z ∗ ν(E)(x ) = x∗ f

(10.12)

E

para cada x∗ ∈ BX ∗ . Por tanto Z  ν(E)(x∗ ) − x∗ f γ E

Z Z x∗ fγ = x∗ f − E ZE ∗ ∗ ≤ |x f − x fγ | E

≤ m(E), porque |x∗ f − x∗ fγ | ≤ kf − fγ k ≤  en Aγ ∩ E (v´ease A.1.4). Esto es v´alido para cada x∗ ∈ BX ∗ y prueba la estimaci´on (10.11). Tomamos para cada γ ∈ Γ un calibre δγ : [a, b] −→ R+ de manera que

Z



fγ − fγ (P) ≤ dγ (10.13)

∪ni=1 Ei

para cada P = {(Ei , si ) : i = 1, . . . , n} partici´on parcial de McShane generalizada subordinada a δγ (10.1.6). Fijamos un calibre δ : [a, b] −→ R+ tal que • δ(t) ≤ δγ (t) para cada t ∈ A0γ y γ ∈ Γ;

10.2. PASO AL L´IMITE BAJO LA INTEGRAL DE MCSHANE

101

• [a, b] ∩ [t − δ(t), t + δ(t)] ⊂ Gγ para cualquier t ∈ A0γ (por construcci´on Gγ es un abierto relativo en [a, b] que contiene a Aγ ⊃ A0γ ). Vamos a demostrar que kν([a, b]) − f (P)k ≤ (3 + 2(b − a)) para cada P ∈ mΠδ [a, b]. Para ello fijamos una tal partici´on P = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n}. Definimos Iγ = {1 ≤ i ≤ n : si ∈ A0γ } para cada γ ∈ Γ y K = {γ ∈ Γ : Iγ 6= ∅}. Como {A0γ }γ∈Γ es un recubrimiento de [a, b] formado por conjuntos disjuntos, {Iγ }γ∈K es una partici´ on finita de {1, . . . , n}. Para cada γ ∈ K e i ∈ Iγ definimos Ei,γ = [ai , bi ] ∩ Vγ . Afirmamos que



X X

f (P) − m(Ei,γ )f (si ) (10.14)

≤ .

γ∈K i∈Iγ En efecto: si γ ∈ K e i ∈ Iγ entonces si ∈ A0γ y, por la definici´on del calibre δ, [ai , bi ] ⊂ [a, b] ∩ [si − δ(si ), si + δ(si )] ⊂ Gγ y, as´ı, para cualquier γ ∈ K X m([ai , bi ] \ Ei,γ ) = i∈Iγ

X

(10.15)

m([ai , bi ] \ Vγ )

i∈Iγ

= m ∪i∈Iγ [ai , bi ] \ Vγ ≤ m(Gγ \ Vγ ) < dγ




por la elecci´ on de Gγ . Adem´ as, kf (t)k ≤ rγ para t ∈ Aγ (porque f (t) = ω − limn fn (t) y kfn (t)k ≤ rγ para cada n ∈ N –v´ease A.7.3–). Por tanto kf (si )k ≤ rγ para todo i ∈ Iγ y, as´ı, X m([ai , bi ] \ Ei,γ )kf (si )k < rγ dγ (10.16) i∈Iγ

para cualquier γ ∈ K. Por tanto, d) nos da la estimaci´on





X X

X X



f (P) −

m(E )f (s ) = m([a , b ] \ E )f (s ) i,γ i i i i,γ i



γ∈K i∈Iγ

γ∈K i∈Iγ X X ≤ m([ai , bi ] \ Ei,γ )kf (si )k γ∈K i∈Iγ


0 fijo. Por hip´ otesis F es uniformemente absolutamente continuo y, as´ı, existe η > 0 de manera que

Z



f (10.21) m(H) ≤ η ⇒ n ≤ 

H R para cada n ∈ N. Para comprobarlo fijamos η > 0 tal que H |x∗ fn | ≤  para cada H medible de medida menor o igual que η, cada x∗ ∈ BX ∗ y n ∈ N. Podemos aplicar el lema 10.2.4 a cualquier χH fn y obtener

Z

Z b

b

χH fn ≤ sup χ |x∗ fn | ≤ 

a

x∗ ∈BX ∗ a H para cada H ⊂ [a, b] medible con m(H) < η y n ∈ N. Esto prueba (10.21). Definimos para cada n ∈ N An = {t ∈ [a, b] : kfi (t) − fj (t)k ≤  para todo i, j ≥ n}.

(10.22)

Como limn fn = f en casi todo punto, resulta que A = ∪∞ n=1 An contiene un conjunto medible conulo y entonces m∗ (A) = b−a. Los An forman una sucesi´on creciente y el lema A.1.2 nos dice que limn m∗ (An ) = b − a. Sea N ∈ N tal que m∗ (AN ) > (b − a) − η. Fijamos G ⊃ AN medible tal que m∗ (AN ) = m(G). Es claro que, para i, j ≥ N ,

Z

Z Z



≤ f − f sup |x∗ (fi − fj )| i j

x∗ ∈BX ∗ E∩G E∩G E∩G Z ≤ sup |x∗ (fi − fj )| x∗ ∈BX ∗

≤ m(G) ≤ (b − a)

G

(10.23)

´ CON LA INTEGRAL DE BOCHNER 10.3. RELACION

107

por el lema 10.2.4, la definici´ on de AN y G, y el lema A.1.4. Por otro lado, m(E \ G) ≤ m([a, b] \ G) = (b − a) − m(G) = (b − a) − m∗ (AN ) < η y (10.21) implica

Z



fi ≤ 

E\G para cada i ∈ N. Combinando esta desigualdad con (10.23) resulta

Z

Z

Z Z





fi − fj (fi − fj ) + (fi − fj )

=

E E E∩G E\G ≤ ((b − a) + 2) R para i, j ≥ N . Esto prueba que la sucesi´on E fn n es de Cauchy en norma y completa la demostraci´ on. Corolario 10.2.7 (Teorema de la convergencia dominada). Sea fn : [a, b] −→ X, n ∈ N, una sucesi´ on de funciones integrables McShane que converge (resp. converge d´ebilmente) en casi todo punto hacia una funci´ on f : [a, b] −→ X. Si existe g ∈ L1 [a, b] tal que kfn k ≤ g para cada n ∈ N en casi todo punto, entonces f es integrable McShane en [a, b] con integral Z b Z b Z b
f = lim fn resp. ω − lim fn . n

a

a

n

a

Demostraci´ on. La familia F = {x∗ fn : n ∈ N, x∗ ∈ BX ∗ } es claramente un subconjunto uniformemente absolutamente continuo de L1 [a, b] (apl´ıquese por R ejemplo el teorema A.2.4, en su versi´on escalar [53, Cap´ıtulo 6], a la medida − g : Σ −→ R).

10.3

Relaci´ on con la integral de Bochner

Esta secci´ on est´ a dedicada a completar la serie de relaciones anunciadas al comienzo del cap´ıtulo. En primer lugar vamos a ver que la integral de McShane extiende a la de Bochner. Esto fue comentado por primera vez en [43, Secci´on 14], dentro de un marco mucho m´ as general que el que nos ocupa. En [22, Teorema 16] aparece la primera prueba de este hecho en nuestro contexto, a partir del corolario 10.3.4 (que R.A. Gordon demuestra de una manera m´as elemental que nosotros). Sin embargo, la siguiente demostraci´on es m´as sencilla y permite obtener una conclusi´ on adicional. Sugerida por Di Piazza y Musial en [10], se basa en las ideas de [19, Teorema 1K].

´ CON OTRAS INTEGRALES CAP´ITULO 10. RELACION

108

Teorema 10.3.1. Sea f : [a, b] −→ X una funci´ on integrable Bochner. Entonces: Rb Rb i) f es integrable McShane y (M S) a f = (B) a f . ii) Para cada  > 0 existe un calibre δ : [a, b] −→ R+ tal que

n Z bi

X

f − (bi − ai )f (si ) ≤ 

ai

i=1

para cualquier partici´ on parcial de McShane {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} subordinada a δ. Demostraci´ on. Dado  > 0, existe una funci´on medible simple g : [a, b] −→ X tal que Z b (L) kf − gk < . (10.24) a

La proposici´ on 8.3.1 y el corolario 9.4.2 garantizan la existencia de un calibre δ : [a, b] −→ R+ tal que para cualquier partici´on de McShane P = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} subordinada a δ:

n Z bi

X

g − (bi − ai )g(si ) < 

ai i=1 n X

y

(bi − ai )kf (si ) − g(si )k < .

i=1

As´ı, para cualquier P = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} ∈ mΠδ [a, b] tenemos

Z b Z bi n

X



f ≤ f

f (P) − (B)

(bi − ai )f (si ) − (B)



a ai i=1

Z bi n n X X

≤ (bi − ai )kf (si ) − g(si )k + g

(bi − ai )g(si ) −

a i i=1 i=1

Z n

bi X

+ (g − f )

(B)

ai i=1 n Z bi X < 2 + kf − gk i=1 b

ai

Z =

kf − gk

2 +


0 y la hip´ otesis de inducci´on. Sea T ∈ A tal que T − δ(T ) ≤ t − δ(t) para cada t ∈ A. Si t ∈ A y t ≤ T , tenemos T − δ(T ) ≤ t − δ(t) < t ≤ T y entonces (t − δ(t), t + δ(t)) ⊂ (T − δ(T ), T + δ(T )). Si definimos A0 = {t ∈ A : t > T } y K0 = K ∩ [T + δ(T ), ∞), resulta que K0 es un compacto contenido en [a, b] ∩ (∪t∈A0 (t − δ(t), t + δ(t))) y podemos encontrar una partici´ on parcial de McShane subordinada a δ P0 = {([a0i , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} tal que si ∈ A0 para cada 1 ≤ i ≤ n y K0 ⊂ ∪ni=1 [a0i , bi ]. Definimos ai = max{a0i , T } para cada i = 1, . . . , n y an+1 = max{a, T − δ(T )}, bn+1 = min{T + δ(T ), b, a1 , . . . , an } y sn+1 = T. Es f´ acil ver que P = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n + 1} es la partici´on buscada:

112

´ CON OTRAS INTEGRALES CAP´ITULO 10. RELACION

• ai < bi para i = 1, . . . , n. Para verlo suponemos sin p´erdida de generalidad que [a0i , bi ] ∩ K0 6= ∅ para cada i. Fijado 1 ≤ i ≤ n, tomamos a0i ≤ t ≤ bi tal que t ∈ K0 . Por tanto t ≥ T + δ(T ) y, as´ı, bi > T , luego bi > ai . • Como ai ≥ T para cada i = 1, . . . , n, resulta que bn+1 ≥ T y as´ı bn+1 > an+1 = max{a, T − δ(T )}. • Observamos que [ai , bi ] ⊂ [a0i , bi ] para 1 ≤ i ≤ n. Adem´as, bn+1 ≤ ai para todo i = 1, . . . , n. Por tanto, los subintervalos {[aj , bj ]}1≤j≤n+1 no se solapan. Es claro tambi´en que [ai , bi ] ⊂ [si − δ(si ), si + δ(si )] para i = 1, . . . , n + 1 porque P0 est´a subordinada a δ. • K ⊂ ∪n+1 otesis existe t ∈ A tal que i=1 [ai , bi ]. En efecto: si w ∈ K, por hip´ w ∈ (t − δ(t), t + δ(t)). En particular, T − δ(T ) ≤ t − δ(t) < w. 1. Si w ∈ K0 , entonces existe 1 ≤ i ≤ n tal que w ∈ [a0i , bi ]. Pero w ≥ T + δ(T ) > T y as´ı w ≥ ai . Es decir, w ∈ [ai , bi ]. 2. Si w 6∈ K0 , entonces T − δ(T ) < w < T + δ(T ) y an+1 < w. Si w ≤ bn+1 ya hemos terminado. En caso contrario, bn+1 < w < min{b, T + δ(T )} y bn+1 = ai para cierto 1 ≤ i ≤ n. Entonces w ≤ bi (si no, bi < w < T + δ(T ) contradiciendo que K0 ∩ [a0i , bi ] 6= ∅). Por tanto w ∈ [ai , bi ]. Esto completa la prueba. Proposici´ on 10.3.9. Sea f : [a, b] −→ X una funci´ on integrable McShane tal que para cada  > 0 existe un calibre δ de manera que

n Z bi

X

f − (bi − ai )f (si ) ≤  (10.25)

ai

i=1

para cada partici´ on parcial de McShane {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} subordinada a δ. Entonces f es integrable Bochner (y las respectivas integrales coinciden). Demostraci´ on. Comenzamos observando que si g : [a, b] −→ X es integrable McShane y verifica (10.25), entonces kgk tambi´en es integrable McShane. En efecto, basta cambiar los valores absolutos por la norma en la prueba de 9.1.1 y aplicar (10.25) en lugar de la forma fuerte del lema de Henstock escalar (proposici´ on 8.2.2). Para ver que f es integrable Bochner s´olo tenemos que comprobar (por A.4.5) Rb que f es medible Bochner y (L) a kf k < ∞. Medibilidad Bochner de f . Por el teorema A.4.2 la prueba se reduce a comprobar que x∗ f es medible para cada x∗ ∈ X ∗ (ya lo vimos en 10.1.2) y que f tiene rango esencialmente separable, es decir, existe E ⊂ [a, b] medible conulo tal que f (E) es separable. Sea ν : Σ −→ X la integral indefinida de Pettis de f (toda funci´on integrable McShane lo es tambi´en en el sentido de Pettis, v´ease 10.1.2). Podemos aplicar A.4.16 y deducir que H = span{ν(Σ)}

´ CON LA INTEGRAL DE BOCHNER 10.3. RELACION

113

es un subespacio cerrado separable de X. Vamos a demostrar que f (t) ∈ H para casi todo t ∈ [a, b]. Para ello fijamos D ⊂ H denso numerable y definimos Fr = {t ∈ [a, b] : kf (t) − xk ≥ r

para cada x ∈ D}

para todo r > 0. Observamos en primer lugar que cada Fr es medible Lebesgue. En efecto: para cada x ∈ D la funci´ on t 7→ f (t) − x es integrable McShane y satisface la propiedad (10.25) (por 8.1.6 y 8.3.1). Seg´ un comentamos al principio de la prueba, t 7→ kf (t) − xk es tambi´en integrable McShane, luego medible Lebesgue (v´ease 9.3.1). Por tanto, Fr es medible (D es numerable). Se afirma que m(Fr ) = 0 para cada r > 0. La regularidad de la medida de Lebesgue reduce la prueba a comprobar que m(K) = 0 para cualquier compacto K ⊂ Fr . Sea K un tal compacto y fijemos  > 0 arbitrario. Por hip´otesis existe un calibre δ : [a, b] −→ R+ tal que

n Z bi

X

f − (bi − ai )f (si ) ≤ 

ai

i=1

para cada partici´ on parcial de McShane {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} subordinada a δ. Como K ⊂ Fr , tenemos que K ⊂ [a, b] ∩ (∪t∈Fr (t − δ(t), t + δ(t))) y el lema 10.3.8 garantiza la existencia de una partici´on parcial {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} subordinada a δ tal que si ∈ Fr para cada i = 1, . . . , n y K ⊂ ∪ni=1 [ai , bi ]. Como D es denso en H y si ∈ Fr , es claro que kf (si ) − xk ≥ r para cada 1 ≤ i ≤ n y x ∈ H. Por tanto, ! n X rm(K) ≤ r (bi − ai ) i=1



1 Z bi

(bi − ai ) f − f (si ) ≤

bi − ai ai i=1

Z

n

b X

i

= f − (bi − ai )f (si ) ≤ 

ai

n X

i=1

R bi

1 f ∈ H = span{ν(Σ)}). Es decir, m(K) ≤ (hemos usado que bi −a ai i cada  > 0, luego m(K) = 0 y la afirmaci´on queda demostrada. Sea ∞ [ F = F n1 ∈ Σ.

 r

para

n=1

Acabamos de ver que m(F ) = 0. Si t ∈ [a, b] \ F , entonces t 6∈ F n1 para cada n ∈ N y existe xn ∈ D tal que kf (t)−xn k < n1 . Por tanto f (t) ∈ H (es cerrado).

´ CON OTRAS INTEGRALES CAP´ITULO 10. RELACION

114

Esto demuestra que f ([a, b] \ F ) ⊂ H y finaliza la prueba de la medibilidad de f (H es separable). Rb Observamos adem´as que (L) a kf k < ∞. En efecto: kf k es integrable McShane (como vimos al comienzo de la demostraci´on) y, por tanto, integrable Lebesgue (corolario 9.4.2). Esto demuestra que f es integrable Bochner. La coincidencia de las integrales es consecuencia del teorema de Hahn-Banach y la identidad ! ! Z Z Z Z b

x∗

(M S)

b

f a

b

x∗ f = (L)

= (M S) a

b

x∗ f = x∗

a

(B)

f a

para cada x∗ ∈ X ∗ (aplicamos 10.1.1 y 9.4.2). Aqu´ı est´ a la prometida caracterizaci´on de los espacios de dimensi´on finita en t´erminos de la forma fuerte del lema de Henstock. Teorema 10.3.10. Para un espacio de Banach X son equivalentes: i) X es de dimensi´ on finita. ii) Dada f : [a, b] −→ X integrable McShane y fijado  > 0, existe un calibre δ : [a, b] −→ R+ de manera que para cada partici´ on parcial de McShane {([ci , di ], si ) : i = 1, . . . , n} subordinada a δ

n Z di

X

f − (di − ci )f (si ) ≤ .

ci i=1

iii) Una funci´ on f : [a, b] −→ X es integrable McShane si y s´ olo si es integrable Bochner. Demostraci´ on. i) ⇒ ii) Sea C > 0 la constante (que s´olo depende del espacio X) proporcionada por la proposici´on A.7.2. Dado  > 0, el lema de Henstock 8.2.2 garantiza la existencia de un calibre δ : [a, b] −→ R+ tal que

n Z bi

X

f − (bi − ai )f (si ) ≤ C

ai i=1

para cualquier partici´ on parcial de McShane P = {([ai , bi ], si ) : i = 1, . . . , n} subordinada a δ. Dada una tal partici´on, podemos aplicar la proposici´on A.7.2 para obtener S ⊂ {1, . . . , n} tal que



Z bi n Z bi

X 1

X

f − (bi − ai )f (si ) ≤  f − (bi − ai )f (si ) ≤

ai

C

ai i=1

i∈S

porque {([ai , bi ], si ) : i ∈ S} es una partici´on parcial subordinada a δ. ii) ⇒ iii) Es consecuencia de 10.3.1 y 10.3.9.

´ CON LA INTEGRAL DE BOCHNER 10.3. RELACION

115

iii) ⇒ i) Sea X un espacio de Banach de dimensi´on infinita. El teorema de P Dvoretzki-Rogers A.3.3 asegura la existencia de una serie n xn en X incondicionalmente convergente pero no absolutamente convergente. Fijamos (En )n∈N una sucesi´ on de subconjuntos medibles disjuntos de [a, b] con medida positiva, por ejemplo,   En = a + 1 −

1  2n−1

  1 (b − a), a + 1 − n (b − a) . 2

1 Definimos yn = m(E xn ∈ X para cada n ∈ N y consideramos f : [a, b] −→ X n) la siguiente funci´ on σ-simple:

f (t) =

∞ X

χEn (t)yn .

n=1

P P La serie n m(En )yn = n xn es incondicionalmente convergente y, por el corolario 10.3.4, f es integrable McShane. Sin embargo, f no es integrable Rb Bochner. Para verlo basta verificar (proposici´on A.4.5) que a kf k = ∞. Esto se deduce inmediatamente del teorema de la convergencia mon´otona para la integral de Lebesgue: ! Z b Z b X ∞ ∞ X kf k = χEn kyn k = m(En )kyn k = ∞, a

dado que

P∞

n=1

a

n=1

n=1

kxn k = ∞. Esto completa la demostraci´on.

116

´ CON OTRAS INTEGRALES CAP´ITULO 10. RELACION

Parte III

Ap´ endices

117

Ap´ endice A

Complementos A.1

Medida e integraci´ on Lebesgue ´n Medibilidad de la Derivada de una Funcio

Lema A.1.1. Sean F : [a, b] −→ R una funci´ on continua y f : [a, b] −→ R una funci´ on. Si existe F 0 (t) = f (t) en casi todo punto t ∈ [a, b], entonces f es medible Lebesgue. Demostraci´ on. Sea N ∈ N tal que N1 < b − a. Para cada n ≥ N definimos fn : [a, b] −→ R la siguiente funci´ on medible (por hip´otesis F es continua)     1 − F (t) χ[a,b− n1 ] . fn (t) := n F t + n La hip´ otesis implica que existe limn fn (t) = f (t) en casi todo t ∈ [a, b]. Es decir, f es l´ımite en casi todo punto de una sucesi´on de funciones medibles y, por tanto, es medible Lebesgue. Medida Exterior de Lebesgue Lema A.1.2. Sea A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ [a, b] una sucesi´ on de conjuntos tal que m∗ (∪∞ A ) = b − a. Entonces n n=1 lim m∗ (An ) = b − a. n

Demostraci´ on. Tomamos para cada n ∈ N un conjunto medible An ⊂ Gn ⊂ [a, b] tal que m(Gn ) = m∗ (An ). En primer lugar observamos que m(Gn \ Gm ) = 0 para todo n ≤ m. En efecto: An ⊂ Am ⊂ Gm , luego An ⊂ Gn ∩ Gm ⊂ Gn y tomando medidas exteriores m∗ (An ) ≤ m(Gn ∩ Gm ) ≤ m(Gn ). Entonces m(Gn ) = m(Gn ∩ Gm ) para todo n ≤ m y, as´ı, m(Gn \ Gm ) = m(Gn \ Gm ∩ Gn ) = m(Gn ) − m(Gm ∩ Gn ) = 0. 119

´ APENDICE A. COMPLEMENTOS

120

Definimos Hn = ∪ni=1 Gi ∈ Σ para n = 1, 2, . . . . Es claro que ∪∞ n=1 Hn = ∞ ∗ ∞ ∞ ∪∞ G ⊃ ∪ A . Por tanto, b − a = m (∪ A ) ≤ m (∪ H ) ≤ b − a y as´ı i i i n n=1 i=1 i=1 i=1 m (∪∞ H ) = b − a, luego lim m(H ) = b − a. n n n n=1 Para acabar la prueba demostramos que m∗ (An ) = m(Gn ) = m(Hn ) para cada n ∈ N. En efecto: m(Hn ) − m(Gn ) = m(Hn \ Gn ) = m (∪ni=1 (Gi \ Gn )) ≤

n X

m(Gi \ Gn ) = 0

i=1

por la primera afirmaci´on. Lema A.1.3. Sean A ⊂ G ⊂ R con G medible tal que m∗ (A) = m(G). Si B ⊂ G es medible, entonces m∗ (A ∩ B) = m(B). Demostraci´ on. La medibilidad de B implica m∗ (A ∩ B) + m∗ (A \ B) = m∗ (A) = m(G) = m(B) + m(G \ B). Como A ⊂ G, m(B) = m(B ∩ G) ≥ m∗ (B ∩ A) y m(G \ B) ≥ m∗ (A \ B). Por tanto m(B) = m∗ (A ∩ B) y m(G \ B) = m∗ (A \ B).

Lema A.1.4. Sean A ⊂ G ⊂ R y f : G −→ [0, ∞) una funci´ on tales que • G es medible y m∗ (A) = m(G); • f es medible y f (t) ≤ M para todo t ∈ A. R Entonces G f ≤ m(G)M . Demostraci´ on. El teorema de la convergencia mon´otona y la posibilidad de aproximar la funci´ on medible f por una sucesi´on creciente de funciones medibles P simples reduce la prueba al caso f simple. Si escribimos f = χ b , entonces B i i i R P f = b m(G ∩ B ). Si m(G ∩ B ) > 0, entonces B ∩ A = 6 ∅ (v´ e ase A.1.3) i i i i i G y bi ≤ M . Esto completa la prueba. Lema A.1.5. Sean A ⊂ G ⊂ R, con G medible y m∗ (A) = m(G). Supongamos que fn : G −→ K, n = 1, 2, . . . , es una sucesi´ on de funciones medibles tal que i) converge hacia f : G −→ K en casi todo punto de G y ii) existe g ∈ L1 (G) tal que |fn | ≤ g en todo punto de A para cada n ∈ N. R Entonces f ∈ L1 (G) y limn G |fn − f | = 0.

´ LEBESGUE A.1. MEDIDA E INTEGRACION

121

Demostraci´ on. Por el teorema de la convergencia dominada s´olo hay que garantizar la existencia de un conjunto medible E ⊂ G tal que m(G \ E) = 0 y |fn | ≤ g en cada punto de E para cada n ∈ N. Definimos   1 , Bk,n = t ∈ G : |fn (t)| − g(t) ≥ k que es medible Lebesgue para cada k, n ∈ N. Aplicamos A.1.3: m(Bk,n ) = m∗ (A ∩ Bk,n ) = m∗ (∅) = 0 por ii), para cada k, n ∈ N. Por tanto, [ B= Bk,n k,n∈N

es un conjunto medible de medida nula tal que |fn | ≤ g(t) para cada t ∈ G \ B y n ∈ N. Esto completa la prueba. Conjuntos Uniformemente Integrables Definici´ on A.1.6. Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de medida. Se dice que un subconjunto F ⊂ L1 (µ) es uniformemente absolutamente continuo si para cada R > 0 existe un δ > 0 tal que todo E ∈ Σ de medida menor que δ satisface |f | <  para cualquier f ∈ F . Si adem´ as F es k.k1 -acotado, lo llamaremos E uniformemente integrable. Podemos adaptar [11, Teorema VII.14] al caso de la medida de Lebesgue en [a, b] y obtener la siguiente versi´ on del criterio de Dieudonn´e-Grothendieck. Teorema A.1.7. Un subconjunto K ⊂ L1 [a, b] es uniformemente absolutamente continuo si y s´ olo si para cada sucesi´ on de abiertos disjuntos (Gn )n∈N de [a, b] Z lim sup |f | = 0. n f ∈K

Gn

El siguiente resultado es cl´ asico [29, 13.38]. Teorema A.1.8 (Vitali). Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de medida finita. Sea f1 , f2 , . . . una sucesi´ on en L1 (µ) tal que • converge en casi todo punto a una funci´ on medible f : Ω −→ K y • {fn }n∈N es uniformemente absolutamente continuo. Entonces f ∈ L1 (µ) y limn kfn − f k1 = 0. Separabilidad de los Espacios Lp . Definici´ on A.1.9. Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de medida finita. Su seudom´etrica asociada es la aplicaci´ on d : Σ × Σ −→ R dada por d(A, B) = µ(A∆B). En estas condiciones (Σ, d) es un espacio seudom´etrico. Lo llamaremos espacio seudom´etrico asociado al espacio de medida (Ω, Σ, µ).

´ APENDICE A. COMPLEMENTOS

122

El siguiente resultado puede encontrarse en [7, Proposici´on 3.4.5.]. Proposici´ on A.1.10. Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de medida σ-finita y 1 ≤ p < ∞. Si Σ es contablemente generada (i.e. existe un subconjunto contable suyo S de modo que Σ es la menor σ-´ algebra en Ω que contiene a S), entonces (Lp (µ), k.kp ) es separable. Si (Ω, Σ, µ) es cualquier espacio de medida finita y (Σ, d) su seudom´etrico asociado, podemos definir i : (Σ, d) −→ L1 (µ) mediante i(E) = χE . Es inmediato que i preserva distancias. Si adem´as Σ es contablemente generada, el resultado previo nos dice que L1 (µ) es k.k1 -separable y, por tanto, i(Σ) es k.k1 -separable. Como i conserva distancias, es claro que (Σ, d) es separable. Corolario A.1.11. Sean Σ y m la σ-´ algebra y medida de Lebesgue en un intervalo [a, b] ⊂ R. El espacio seudom´etrico asociado a ([a, b], Σ, m) es separable. Demostraci´ on. La σ-´algebra de Borel B([a, b]) es contablemente generada (por ejemplo, por la colecci´on de los intervalos contenidos en [a, b] de extremos racionales) y, por tanto, el espacio seudom´etrico asociado a ([a, b], B([a, b]), m) es separable. Sea S un subconjunto denso numerable de dicho espacio seudom´etrico. Si E ∈ Σ, existe B ∈ B([a, b]) tal que B ⊂ E y m(E) = m(B) (v´ease [7, Cap´ıtulo 1]). Podemos encontrar una sucesi´on (Bn )n∈N de elementos de S tal que lim m(Bn ∆B) = 0. n

Basta observar ahora que m(Bn ∆E) = m(Bn \ E) + m(Bn ∩ E) ≤ m(Bn \ B) + m(Bn ∩ B) + m(Bn ∩ (E \ B)) = m(Bn ∆B) para cada n ∈ N. Esto prueba que S tambi´en es denso en el seudom´etrico asociado a ([a, b], Σ, m).

A.2

Medidas vectoriales

Un ´ algebra en un conjunto Ω es una familia no vac´ıa de subconjuntos de Ω cerrada para complementarios y uniones finitas. Si es cerrada para uniones numerables se dice σ-´algebra. Definici´ on A.2.1. Sea F un ´ algebra en el conjunto Ω y G : F −→ X una aplicaci´ on. Se dice que G es una medida vectorial si para cada par de elementos disjuntos A y B de F se cumple G(A ∪ B) = G(A) + G(B). Dicha medida vectorial se llama contablemente aditiva si para cada sucesi´ on de elementos disjuntos E1 , E2 , · · · ∈ F tales que ∪∞ E ∈ F, entonces n n=1 G(∪∞ n=1 En ) =

∞ X n=1

G(En ).

A.2. MEDIDAS VECTORIALES

123

En lo que sigue todas las ´ algebras estar´an definidas sobre un conjunto Ω. Definici´ on A.2.2. Sea G una medida vectorial definida en un ´ algebra F con valores en X. Dado E ∈ F i) Se llama variaci´ on de G en E a n X |G|(E) = sup{ kG(Ei )k : E = ∪ni=1 Ei , Ei ∈ F disjuntos dos a dos}. i=1

ii) Se llama semivariaci´ on de G en E a kGk(E) = sup{|x∗ G|(E) : x∗ ∈ BX ∗ } (cada x∗ G es una medida vectorial con valores en K). A continuaci´ on exponemos una serie de resultados que empleamos en la memoria. El lector interesado puede consultar las demostraciones en el primer cap´ıtulo de [13]. Proposici´ on A.2.3. Para una medida vectorial G : F −→ X son equivalentes: i) Para on (En )n∈N de elementos disjuntos del ´ algebra F la serie P∞ cada sucesi´ G(E ) es convergente en norma. n n=1 ii) Para cada sucesi´ on (En )n∈N de elementos disjuntos del ´ algebra F ∞ X lim sup x∗ G(Em ) = 0. n x∗ ∈B ∗ X m=n iii) Si (En )n∈N son elementos disjuntos de F, entonces limn kG(En )k = 0. iv) Si (En )n∈N son elementos disjuntos de F, entonces limn kGk(En ) = 0. v) Para cada sucesi´ on (En )n∈N de elementos disjuntos del ´ algebra F ! ∞ X lim sup |x∗ G|(Em ) = 0. n x∗ ∈B ∗ X

m=n

Una medida G que cumpla estas condiciones se dice fuertemente aditiva. De aqu´ı en adelante F denotar´a una σ-´algebra en un conjunto Ω. Teorema A.2.4. Sea (Ω, F, µ) un espacio de medida finita. Para una medida vectorial contablemente aditiva G : F −→ X son equivalentes: i) G(E) = 0 para cada E ∈ F tal que µ(E) = 0.

´ APENDICE A. COMPLEMENTOS

124

ii) Dado  > 0, existe un δ > 0 de manera que si E ∈ F satisface µ(E) < δ, entonces kG(E)k < . En tal caso, G se dice µ-continua (o absolutamente continua respecto de µ), y lo denotamos mediante G  µ. Proposici´ on A.2.5. Sean (Ω, F, µ) un espacio de medida finita, X un espacio de Banach y G : F −→ X una medida vectorial que satisface la condici´ on ii) del teorema A.2.4. Entonces, G es contablemente aditiva. Demostraci´ P∞ on. Si {En }n∈N es una sucesi´on de conjuntos medibles disjuntos, la serie n=1 µ(En ) es convergente (hacia µ (∪∞ n=1 En )) y lim µ (∪n≥N En ) = 0. N

Por la hip´ otesis, limN G (∪n≥N En ) = 0 en X y, as´ı,

N −1

X

∞ lim G (∪n=1 En ) − G(Ek ) = lim kG (∪n≥N En )k = 0 N N

k=1

gracias a la aditividad finita de G. Sucesiones de Medidas Vectoriales Teorema A.2.6 (Vitali-Hahn-Saks). Sea Gn : F −→ K, n = 1, 2, . . . una sucesi´ on de medidas escalares contablemente aditivas tales que para cada E ∈ F existe el l´ımite lim Gn (E) = G(E) ∈ K. n

Entonces, G : F −→ K es una medida escalar contablemente aditiva. Para una elegante demostraci´on de este teorema, basada en el teorema de la categor´ıa de Baire, cons´ ultese [14, III.7.4]. Proposici´ on A.2.7. Sea Gn : F −→ X, n = 1, 2, . . . una sucesi´ on de medidas vectoriales contablemente aditivas de manera que para cada E ∈ F existe el l´ımite ω − lim Gn (E) = G(E). n

Entonces, G : Σ −→ X es una medida contablemente aditiva. Demostraci´ on. Si x∗ ∈ X ∗ , la sucesi´on de medidas escalares contablemente adi∗ tivas {x Gn }n∈N satisface la hip´otesis del teorema de Vitali-Hahn-Saks (A.2.6) y, por tanto, x∗ G : Σ −→ K es contablemente aditiva. Entonces para cada sucesi´ on de elementos disjuntos de F, digamos (En )n∈N , se cumple ∗

x

(G (∪∞ i=1 Ei ))

=

∞ X i=1

x∗ G(Ei )

A.3. SERIES INCONDICIONALMENTE CONVERGENTES

125

para todo x∗ ∈ X ∗ . Es decir, G (∪∞ i=1 Ei ) = ω −

∞ X

G(Ei ).

i=1

Esto prueba que, dada cualquier sucesi´on (En )n∈N de elementos disjuntos de F P∞ y cualquier subsucesi´ on n1 < n2 < · · · ∈ N, la serie k=1 G(EnkP ) es d´ebilmente ∞ convergente. Por el teorema de Orlicz-Pettis A.3.4, la serie n=1 G(En ) es incondicionalmente convergente, en particular convergente hacia su l´ımite d´ebil G (∪∞ on. i=1 Ei ). Esto completa la demostraci´

A.3

Series incondicionalmente convergentes

P Una serie n xn en un espacio de Banach X se dice incondicionalmente convergente si satisface las siguientes condiciones equivalentes [17, Cap´ıtulo 1]: P∞ i) Si π : N −→ N es cualquier biyecci´on, la serie k=1 xπ(k) es convergente. P∞ ii) Para cada sucesi´ on n1 < n2 < · · · ∈ N la serie k=1 xnk es convergente. iii) Existe x ∈ X tal que para cada  > 0 podemos encontrar un F0 ⊂ N finito de manera que

X

xi − x < 

i∈F

para cualquier F0 ⊂ F ⊂ N finito. En tal caso, x es la suma de cualquier serie de las que aparecen en i). Lemas Elementales P Lema A.3.1. Sea n xn una serie incondicionalmente convergente en el espacio de Banach X. Dado  > 0, existe N ∈ N tal que ∞ X

|x∗ (xn )| < 

n=N

para todo x∗ ∈ BX ∗ . Demostraci´ on. Supongamos por reducci´on al absurdo que existe a > 0 tal que para cada n ∈ N existe x∗n ∈ BX ∗ de manera que X |x∗n (xk )| ≥ a. k≥n

Es posible encontrar entonces una sucesi´on creciente n1 < n2 < . . . tal que P nk+1 −1 |x∗nk (xi )| ≥ a2 para cada k ∈ N. La proposici´on A.7.1 nos permite i=nk

´ APENDICE A. COMPLEMENTOS

126

extraer subconjuntos Sk ⊂ {nk , nk + 1, . . . , nk+1 − 1} tales que X ∗ π xnk (xi ) i∈Sk

= π x∗nk

X i∈Sk

! xi

nk+1 −1

X

≥

|x∗nk (xi )|

≥

i=nk

a . 2

De aqu´ı

X a

xi ≥

2π i∈Sk

para cada k ∈ N. Esto contradice la convergencia incondicional de

P

n

xn .

P Lema A.3.2. Dada una serie n xn incondicionalmente convergente P en el espacio de Banach X y dados a1 , a2 , · · · ∈ K de m´ odulo ≤ 1, la serie n an xn es incondicionalmente convergente. Demostraci´ o n. Sea π : N −→ N una biyecci´on cualquiera. Vamos a demostrar P ∞ que la serie n=1 aπ(n) xπ(n) es convergente en X aplicando el criterio de Cauchy. Fijado  > 0, el lema A.3.1 nos proporciona N ∈ N tal que X

|x∗ (xk )| < 

(A.1)

k≥N

para cada x∗ ∈ BX ∗ . Tomamos K ∈ N tal que π(k) ≥ N para cada k ≥ K. Dados K ≤ n ≤ m en N, existe (por el teorema de Hahn-Banach) x∗n,m ∈ BX ∗ tal que

! m m X

X ∗

aπ(k) xπ(k) = aπ(k) xπ(k) . xn,m

k=n

k=n

De (A.1) se deduce

m

m

X

X

aπ(k) xπ(k) ≤ |x∗n,m (xπ(k) )| < 

k=n

k=n

para cada K ≤ n ≤ m. Esto completa la prueba.

A.4. MEDIBILIDAD, INTEGRAL DE BOCHNER Y PETTIS

127

´sicos Teoremas Ba Teorema A.3.3 (Dvoretzki-Rogers). P Un espacio de Banach X es de dimensi´ on finita si y s´ olo si toda serie Pn xn incondicionalmente convergente es absolutamente convergente (es decir, n kxn k < ∞). Demostraci´ on. Puede encontrarse en [11, Cap´ıtulo VI]. Los dos siguientes resultados se obtienen en [13, Corolarios 4-5] como aplicaci´ on de la teor´ıa de medidas vectoriales: P Teorema A.3.4 (Orlicz-Pettis). Sea n xn una serie en el espacio de Banach X de tal manera que para cualquier sucesi´ on n1 < n2 < · · · ∈ N la serie ∞ X

xnk

k=1

es d´ebilmente convergente. Entonces, la serie convergente.

P

n

xn es incondicionalmente

Teorema A.3.5 (Bessaga-Pelczynski). Para un espacio de Banach X son equivalentes: i) X no contiene subespacios isomorfos a c0 . P ii) Cualquier serie n xn en X que cumpla ∞ X

|x∗ (xn )| < ∞

para todo x∗ ∈ X ∗

n=1

es incondicionalmente convergente.

A.4

Medibilidad, integral de Bochner y Pettis

El lector puede encontrar una introducci´on b´asica a estos temas en [13, Cap´ıtulo II]. En lo que sigue (Ω, Σ, µ) es un espacio de medida finita y X un espacio de Banach.

A.4.1

Medibilidad e integraci´ on Bochner

Una funci´ on f : Ω −→ X Pnse dice simple si existen x1 , . . . , xn ∈ X y A1 , . . . , An ∈ Σ tales que f = i=1 χAi xi . Diremos que f es σ-simple si existe una sucesi´ on x1 , x2 , · · · ∈ X y otra on A1 , A2 , . . . de conjuntos medibles Psucesi´ ∞ disjuntos dos a dos tales que f = i=1 χAi xi . Definici´ on A.4.1. Se dice que f es fuertemente medible, medible Bochner o µ-medible si existe una sucesi´ on de funciones simples (fn )n∈N tal que lim fn (w) = f (w) en casi todo w ∈ Ω. n

´ APENDICE A. COMPLEMENTOS

128

El siguiente resultado [13, Teorema 1, Corolario 2] juega un papel fundamental. Teorema A.4.2 (De medibilidad de Pettis). Las siguientes condiciones son equivalentes: i) f es medible Bochner. ii) x∗ f : Ω −→ K es µ-medible para cada x∗ ∈ X ∗ y existe E ∈ Σ conulo (es decir µ(Ω \ E) = 0) tal que f (E) es separable. iii) Existe una sucesi´ on de funciones σ-simples (gn )n∈N que converge uniformemente hacia f en un conjunto medible conulo. El conjunto de las funciones medibles Bochner de Ω en X es un espacio vectorial (con las operaciones obvias) que contiene a las funciones simples y σsimples y es cerrado para l´ımites de sucesiones convergentes en casi todo punto. Si f : Ω −→ X es medible Bochner, entonces kf k es µ-medible. Nota A.4.3. Dada una funci´ on f : Ω −→ K, diremos que es medible si f −1 (A) ∈ Σ para cada abierto A ⊂ K. En general la medibilidad Bochner es m´ as d´ebil: f es µ-medible si y s´ olo si coincide en casi todo punto con una funci´ on medible. Ambos conceptos coinciden cuando el espacio de medida es completo (en el sentido de [7, Cap´ıtulo 1]), en particular si Ω = [a, b], Σ es la σ-´ algebra de Lebesgue y µ = m es la medida de Lebesgue. Integral de Bochner Si f : Ω −→ [0, ∞) es medible Bochner, entonces coincide en casi todo punto con una funci´ on medible no negativa g. Podemos definir la integral de f como Z Z (B) f dµ = (L) g dµ, Ω

Ω

donde (L) denota Pn la integral cl´asica de Lebesgue [53, Cap´ıtulo 1]. Sea f = i=1 χAi xi una funci´on simple. Se define la integral de Bochner de f como Z n X µ(Ai )xi . f dµ = Ω

i=1

Definici´ on A.4.4. Una funci´ on f : Ω −→ X medible Bochner se dice integrable Bochner si existe una sucesi´ on de funciones simples (fn )n∈N tal que Z lim(B) kf − fn k dµ = 0. n

Ω

R

En tal caso, existe el l´ımite limn Ω fn dµ (la Rintegral de Bochner deR f ) y no R depende de la sucesi´ on (fn ). Se denotar´ a por Ω f dµ, (B) Ω f dµ ´ o f si no hay posibilidad de confusi´ on.

A.4. MEDIBILIDAD, INTEGRAL DE BOCHNER Y PETTIS

129

El conjunto L1 (µ, X) de las funciones de Ω en X integrables Bochner es un espacio vectorial (con las operaciones naturales) y la integral es una forma lineal sobre ´el. Si f es integrable Bochner, entonces para cada x∗ ∈ X ∗ la composici´on x∗ f es integrable Bochner con integral   Z Z ∗ ∗ (B) x f dµ = x (B) f dµ . Ω

Ω

Si f es integrable Bochner y E ∈ Σ, entonces g = χE f es integrable Bochner en Ω y f E es integrable Bochner con respecto a (E, ΣE , µE ) (ambas integrales coinciden). La siguiente caracterizaci´ on es bastante u ´til [13, Teorema II.2.2]. Proposici´ on A.4.5. Para una funci´ on medible Bochner f : Ω −→ X son equivalentes i) Es integrable Bochner. R ii) (B) Ω kf k dµ < ∞.

R R En tal caso, (B) Ω f dµ ≤ (B) Ω kf k dµ. La aplicaci´ on k.k1 : L1 (µ, X) −→ R definida por Z kf k1 = (B) kf k Ω

es una seminorma. El espacio normado cociente, que denotaremos por L1 (µ, X), es un espacio de Banach. Nota A.4.6. Una funci´ on f : [a, b] −→ K es integrable en sentido Bochner si y s´ olo si es integrable Lebesgue.

A.4.2

Integral de Pettis

Definici´ on A.4.7. Se dice que f : Ω −→ X es i) escalarmente medible si la composici´ on x∗ f es medible para cada x∗ ∈ X ∗ ; ii) integrable Dunford si para cada x∗ ∈ X ∗ la composici´ on x∗ f : Ω −→ K es integrable Bochner; iii) integrable Pettis si es integrable Dunford y para cada E ∈ Σ existe un ν(E) ∈ X tal que Z ∗ x (ν(E)) = x∗ f E ∗

∗

para todo x ∈ X .

´ APENDICE A. COMPLEMENTOS

130

El siguiente resultado es b´asico [13, Lema II.3.1]. Proposici´ on A.4.8. Sea f : Ω −→ X integrable Dunford. Se verifica: i) Existe K > 0 tal que Z

|x∗ f | dµ ≤ K

Ω

para cada x∗ ∈ BX ∗ . ii) Si E ∈ Σ y definimos ν(E) : X ∗ −→ K mediante Z ν(E)(x∗ ) = x∗ f, E ∗∗

entonces ν(E) ∈ X . La aplicaci´ on ν : Σ −→ X ∗∗ se llama integral indefinida de f (de Dunford o Pettis). Es claro que f es integrable Pettis si y s´olo si ν toma valores en X. ˜ es integrable Lema A.4.9. Sea f : Ω −→ X una funci´ on tal que f : Ω −→ X ˜ denota el espacio de Banach real asociado de manera natural Pettis, donde X a X. Entonces f : Ω −→ X es integrable Pettis. ˜ Si Demostraci´ on. Sea ν : Σ −→ X la integral indefinida de f : Ω −→ X. ∗ ∗ ∗ ∗ ˜ x ∈ X , entonces u = 0 existen subconjuntos medibles Bi ⊂ A (i = 1, . . . , n) de medida positiva tales que para cualquier f ∈ F existe 1 ≤ i ≤ n de manera que sup f (Bi ) − inf f (Bi ) < a. Definici´ on A.5.2. Sea f una funci´ on de Ω en un espacio de Banach real X. Diremos que f tiene la propiedad de Bourgain si Zf la tiene (definici´ on A.4.13). Un resultado esencial sobre familias con la propiedad de Bourgain es el siguiente [52, Teorema 11]. Teorema A.5.3 (Bourgain). Si F ⊂ RΩ es una familia de funciones con la τ propiedad de Bourgain y g ∈ F , entonces • g es µ-medible. • g es l´ımite en casi todo punto de una sucesi´on contenida en F . Demostraci´ on. Antes de comenzar introducimos la siguiente notaci´on. Si B ∈ Σ y a > 0, definimos F (B, a) = {f ∈ F : sup f (B) − inf f (B) < a}. τ

τ

Como g ∈ F , existe un ultrafiltro U en F tal que g ∈ U (es decir, g es un punto de aglomeraci´ on del ultrafiltro o, lo que es lo mismo, cualquier entorno de g en la topolog´ıa τ corta a cada elemento de U). Afirmaci´ on: para cada A ∈ Σ de medida positiva y cada a > 0 existe B ⊂ A medible tal que µ(B) > 0 y F (B, a) ∈ U. En efecto, la propiedad de Bourgain F garantiza la existencia de B1 , . . . , Bn ⊂ A medibles con medida positiva tales que F = ∪ni=1 F (Bi , a). Por ser U un ultrafiltro en F , dado cualquier G ⊂ F o bien G o bien F \ G est´a en U. Utilizando que U es cerrado para intersecciones finitas y no contiene a ∅ obtenemos que existe 1 ≤ i ≤ n tal que F (Bi , a) ∈ U. Para cada a > 0 existe una familia maximal Pa de conjuntos medibles (de medida positiva) disjuntos dos a dos tal que F (B, a) ∈ U para todo B ∈ Pa . En efecto: sea S el conjunto (ordenado por inclusi´on) de todas las familias P de subconjuntos medibles (de medida positiva) disjuntos dos a dos tales que F (B, a) ∈ U para cada B ∈ P. La afirmaci´on anterior garantiza que S 6= ∅. Sea ahora S0 ⊂ S un subconjunto totalmente ordenado. Sea P0 = ∪P∈S0 P, que es claramente una familia de conjuntos medibles (de medida positiva) tal que cada B ∈ P0 satisface F (B, a) ∈ U. Que S0 est´e totalmente ordenado por inclusi´on nos permite deducir que dos elementos distintos de P0 son disjuntos (al estar contenidos en una misma familia P ∈ S0 ). Por tanto, P ∈ S y es obviamente

A.5. LA PROPIEDAD DE BOURGAIN

137

una cota superior de S0 . Hemos probado que S es inductivo y el resultado se sigue de aplicar el lema de Zorn. Observamos que 1. Pa es numerable para cada a > 0: por construcci´on Pa est´a formado por 1 elementos de medida positiva y, as´ı, Pa = ∪∞ n=1 {B ∈ Pa : µ(B) > n }. 1 Adem´ as, cada {B ∈ Pa : µ(B) > n } es finito. Para verlo tomamos un subconjunto finito suyo T y comprobamos que |T | ≤ nµ(Ω). En efecto, Pa (y, por tanto, T ) est´ a compuesto por conjuntos medibles disjuntos dos a dos, luego ∞ > µ(Ω) ≥ µ(∪B∈T B) =

X

µ(B) ≥ |T |

B∈T

1 n

y, por tanto, |T | ≤ nµ(Ω). Esto prueba la numerabilidad de Pa . La uni´on de sus elementos es un miembro de Σ. 2. µ(Ω \ ∪B∈Pa B) = 0 para todo a > 0. En efecto: en caso contrario la primera afirmaci´ on de la prueba permitir´ıa encontrar un conjunto medible de medida positiva B ⊂ Ω \ ∪C∈Pa C tal que F (B, a) ∈ U. Por tanto Pa ( Pa ∪ {B} ∈ S, contradiciendo la maximalidad de Pa . 3. Si A ⊂ R+ es finito y tomamos para cada a ∈ A un subconjunto finito Pa0 ⊂ Pa , entonces τ g ∈ ∩a∈A ∪B∈Pa0 F (B, a) . En efecto, F (B, a) ∈ U para cualquier a ∈ A y cada B ∈ Pa0 ⊂ Pa . Por tanto, ∩a∈A ∪B∈Pa0 F (B, a) ∈ U y, as´ı, g est´a en su adherencia (es un punto de aglomeraci´ on de U). La primera observaci´ on nos permite escribir para cada m ∈ N P m1 = {Am,1 , Am,2 , . . . }.

(A.5)

∞ Definimos B = ∩∞ m=1 ∪n=1 Am,n ∈ Σ. Para cada n, m ∈ N elegimos un punto wm,n ∈ Am,n (Am,n tiene medida positiva y no es vac´ıo). Podemos definir la siguiente funci´ on medible fm : Ω −→ R

fm =

∞ X

g(wm,n )χAm,n

n=1

para cada m (P m1 consta de conjuntos medibles disjuntos). Vamos a demostrar que lim fm = g uniformemente en B. m

(A.6)

∞ Sean M ∈ N fijo y x ∈ B = ∩∞ m=1 ∪n=1 Am,n . Afirmamos que si m > M entonces 3 |fm (x) − g(x)| < . M

´ APENDICE A. COMPLEMENTOS

138

Dado m > M , existe n = n(m, x) ∈ N tal que x ∈ Am,n . La observaci´on 3 nos 1 1 dice que g ∈ F (Am,n , m ), por lo que existe h ∈ F (Am,n , m ) tal que |h(x) − g(x)|
0 existe δ > 0 tal que para cada x, y ∈ SX , si kx+yk > 2−δ, entonces kx − yk < .

n −→ 1, iii) Si {xn }n∈N e {yn }n∈N son sucesiones en SX tales que xn +y 2 entonces kxn − yn k −→ 0. La prueba de los dos siguientes teoremas puede encontrarse en [17, Teorema 9.3] y [12, Teorema 1, p´agina 74] respectivamente. Teorema A.6.3. Sean (Ω, Σ, µ) un espacio de medida y 1 < p < ∞. Entonces (Lp (µ), k.kp ) es uniformemente convexo. Teorema A.6.4 (N.I. Gurarii y V.I Gurarii). Sea (X, k.k) un espacio de Banach uniformemente convexo con base de Schauder normalizada {xn }n∈N . Existen p > 1 y una constante AP > 0 de manera que para cada sucesi´ on de ∞ escalares {an }n ∈ N tal que x = a x converja se cumple la siguiente n=1 n n desigualdad: ! p1 ∞ X p kxk ≤ A |an | . n=1

A.6. ESPACIOS DE BANACH

141

Definici´ on A.6.5. Un espacio de Banach (X, k.k) es localmente uniformemente convexo si para toda sucesi´ on (xn )n∈N contenida en SX y x ∈ SX

xn + x

= 1 implica lim kxn − xk = 0. lim n n 2 Un espacio de Banach con esta propiedad se suele llamar tambi´en localmente uniformemente rotundo (o se dice que su norma es localmente uniformemente rotunda, LUR). Evidentemente, todo espacio uniformemente convexo tiene norma LUR. ´sicos Otros Teoremas Cla Teorema A.6.6 (Mazur). Si C ⊂ X es convexo, entonces C

k.k

ω

=C .

Teorema A.6.7 (Eberlein-Smulian). Un subconjunto A ⊂ X es d´ebilmente (relativamente) compacto si y s´ olo si es d´ebilmente (relativamente) sucesionalmente compacto. Teorema A.6.8 (Josefson-Nissenzweig). Dado un espacio de Banach X de dimensi´ on infinita existe una sucesi´ on (x∗n )n∈N en SX ∗ que converge hacia 0 en ∗ la topolog´ıa ω . El lector interesado puede encontrar las demostraciones en [17, Teorema 3.19] y [11, Cap´ıtulos III y XII] respectivamente. Subespacios Normantes El objetivo de esta secci´ on es caracterizar, como indic´abamos en 5.2, las topolog´ıas d´ebiles generadas por subespacios totales que tienen la propiedad W como aqu´ellas que est´ an generadas por subespacios normantes. En lo que sigue (X, k.k) es un espacio de Banach y Z un subespacio (algebraico) total de X ∗ . Recordemos que esto quiere decir que para cada x ∈ X, x 6= 0, existe z ∗ ∈ Z tal que z ∗ (x) 6= 0. Diremos que Z es normante si adem´as para cada x ∈ X kxk = sup{|z ∗ (x)| : z ∗ ∈ Z ∩ BX ∗ }. Lema A.6.9. Si Z es normante, entonces σ(X, Z) ∈ W (X, k.k). Demostraci´ on. Supongamos por reducci´on al absurdo que existen 0 < d < 1 y una red (xα )α∈A contenida en SX que es σ(X, Z)-convergente a un vector x ∈ SX y verifica inf a∈[0,1] kaxα + (1 − a)xk < d para cada α ∈ A. Tomemos aα ∈ [0, 1] cumpliendo kaα xα + (1 − aα )xk < d < 1

para todo α ∈ A.

(A.8)

Evidentemente, aα xα +(1−aα )x = x+aα (xα −x) → x en la topolog´ıa σ(X, Z) (la red (aα )α∈A es acotada y σ(X, Z) − limα xα = x). As´ı, para cada x∗ ∈ Z ∩ BX ∗ se tiene que limα x∗ (aα xα + (1 − aα )x) = x∗ (x) y de (A.8) deducimos |x∗ (x)| = lim |x∗ (aα xα + (1 − aα )x)| ≤ d. α

142

´ APENDICE A. COMPLEMENTOS

Esta desigualdad es v´alida para todo x∗ ∈ Z ∩ BX ∗ y, como Z es normante, kxk ≤ d < 1, contradicci´on. Es preciso recordar en este momento un par de resultados elementales de la teor´ıa de espacios localmente convexos. Podemos encontrar la demostraci´on en [17, Teorema 4.25] y [17, Proposici´on 4.28]. Teorema A.6.10. Sea (E, τ ) un espacio localmente convexo Hausdorff con dual topol´ ogico E 0 . Si C ⊂ E es cerrado y convexo, entonces para cualquier x ∈ E \C existe f ∈ E 0 tal que Re(f (x)) > sup{Re(f (y)) : y ∈ C}. Lema A.6.11. Sea E un espacio vectorial sobre K y F un subconjunto del dual algebraico de E. Entonces el dual topol´ ogico del espacio localmente convexo (E, σ(E, F )) es precisamente span(F ). El siguiente resultado es parte del Ejercicio 4.16 de [17]. Proposici´ on A.6.12. Si BX es σ(X, Z)-cerrada, entonces Z es normante. Demostraci´ on. Para cada x ∈ X definimos kxkZ = sup{|z ∗ (x)| : z ∗ ∈ Z ∩ BX ∗ }. Se trata de ver que kxkZ = kxk para cualquier x ∈ X. Si x = 0 no hay nada que demostrar. En caso contrario, como Z es total, resulta que kxkZ > 0 y 1 · x verifica kx0 kZ = 1. Para acabar la prueba basta ver que kx0 k = 1. x0 = kxk Z Es claro que kx0 k ≥ kx0 kZ = 1. Supongamos por reducci´on al absurdo que 0 kx k > 1. Entonces x0 6∈ BX , que es σ(X, Z)-cerrada y convexa. El anterior teorema de separaci´ on A.6.10 asegura la existencia de f ∈ (X, σ(X, Z))0 tal 0 que Re(f (x )) > sup{Re(f (y)) : y ∈ BX }. El lema previo garantiza que f ∈ Z ⊂ X ∗ . Obs´ervese que para cualquier y ∈ BX con f (y) 6= 0 se tiene que (y)| y 0 = |ff (y) · y ∈ BX y Re(f (y 0 )) = |f (y)|, por lo que |f (x0 )| > sup{|f (y)| : y ∈ BX } = kf k. Evidentemente esta desigualdad garantiza que kf k > 0 y as´ı f 0 = kf1 k ·f satisface |f 0 (x0 )| > 1. Pero f 0 ∈ Z ∩ BX ∗ , luego kx0 kZ ≥ |f 0 (x0 )| > 1, contradicci´on. Proposici´ on A.6.13 (Raja). Si τ es una topolog´ıa vectorial Hausdorff en X que tiene la propiedad W respecto de k.k, entonces BX es τ -cerrada. Demostraci´ on. Supongamos que BX no es τ -cerrada. Entonces existe una red (xα )α∈A contenida en BX y τ -convergente a un punto x 6∈ BX . Observamos que para cada α ∈ A existe tα > 1 de manera que yα = tα (xα − x) + x

´ A.7. MISCELANEA

143

cumple kyα k = kxk. En efecto, para cada α ∈ A la funci´on t 7→ kt(xα −x)+xk es continua, toma un valor menor que kxk en t = 1 y limt→∞ kt(xα −x)+xk = +∞ porque kt(xα − x) + xk ≥ |t| · kxα − xk − kxk para todo t ∈ R. Adem´ as, para cada α ∈ A se cumple ktα (xα − x)k ≤ kyα k + kxk = 2kxk, luego 2kxk 2kxk |tα | ≤ ≤ . kx − xα k kxk − 1 Por tanto, la red (tα )α∈A est´ a acotada y resulta que τ − limα yα = x. Definimos 1 1 yα0 = kxk · yα ∈ SX para cada α ∈ A y x0 = kxk · x ∈ SX . Claramente τ − lim yα0 = x0 . α

Sin embargo, para cualquier α ∈ A tenemos 0