Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Ecuaciones de CauchyRiemann Departamento de Matem´ aticas

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Ecuaciones de Cauchy-Riemann Departamento de Matem´aticas

MA3002

Matem´ aticas Avanzadas para Ingenier´ıa: Ecuaciones de CauchyRiemann Departamento de Matem´ aticas

La manera como se defini´ o la derivada de una funci´on compleja deja algunas dudas; mientras que las funciones muy sencillas como los polinomios y los cocientes de polinomios se derivan muy f´acilmente, funciones un poco m´as complicadas requieren acercarse por todas las direcciones posibles. Mientras que esto bueno para demostrar que una funci´ on no es derivable en un punto (basta encontrar dos direcciones en las cuales los l´ımites sean diferentes), para ver que s´ı es derivable acercandose por todas las direcciones posibles es imposible de verificar! En esta secci´on se ver´an condiciones muy operativas para ver en qu´e puntos es derivable una funci´ on de variable compleja. Estas condiciones son conocidas como las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

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Ecuaciones de Cauchy-Riemann Supongase que f (z) = u(x, y ) + v (x, y ) i es derivable en el punto zo = xo + yo i. Entonces existen las primeras derivadas parciales de las funciones u(x, y ) y v (x, y ) en el punto (xo , yo ) y estas deben cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann: ∂u ∂v ∂u ∂v = y =− ∂x ∂y ∂y ∂x

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Como f 0 (zo ) existe, entonces existe el l´ımite 0

f (zo ) =

lim

f (zo + ∆z) − f (zo )

∆z→0

∆z

es decir, si tomamos ∆z = ∆x + ∆y i, debe existir el l´ımite 0

f (zo ) =

lim

u(xo + ∆x, yo + ∆y ) + v (xo + ∆x, yo + ∆y ) i − u(xo , yo ) − v (xo , yo ) i

∆z→0

∆x + ∆y i

Puesto que esto es v´alido para cualquier direcci´on, debe valer en particular en la direcci´ on horizontal; es decir, cuando ∆z = ∆x; con esto la f´ ormula anterior queda: 0

f (zo ) =

lim

u(xo + ∆x, yo ) − u(xo , yo )

∆x→0

∆x

+i

lim

v (xo + ∆x, yo ) − v (xo , yo )

∆x→0

∆x

La existencia del l´ımite implica la existencia de los l´ımites: ∂u(xo , yo ) ∂x

=

lim

∆x→0

u(xo + ∆x, yo ) − u(xo , yo ) ∆x

y

∂v (xo , yo ) ∂x

=

lim

∆x→0

v (xo + ∆x, yo ) − v (xo , yo ) ∆x

Es decir, las derivadas parciales de u(x, y ) y de v (x, y ) en (xo , yo ) respecto a x deben existir.

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Resumiendo, la derivabilidad de f (z) en z = zo indica que existen ∂u(xo , yo ) ∂v (xo , yo ) y ∂x ∂x y que ∂u(xo , yo ) ∂v (xo , yo ) f 0 (zo ) = + i ∂x ∂x Por otro lado, el resultado debe ser obtenido por cualquier otra direcci´on; en particular para la direcci´ on vertical. Es decir, cuando ∆z = ∆y i: lo cual nos da: 0

f (zo ) =

lim

∆y →0

u(xo , yo + ∆y ) − u(xo , yo ) ∆y i

+i

lim

∆y →0

v (xo , yo + ∆y ) − v (xo , yo ) ∆y i

es decir, 0

f (zo ) =

lim

∆y →0

v (xo , yo + ∆y ) − v (xo , yo ) ∆y

−i

lim

∆y →0

u(xo , yo + ∆y ) − u(xo , yo ) ∆y

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La existencia del anterior l´ımite implica la existencia de los l´ımites: ∂v (xo , yo ) ∂y

=

lim

∆y →0

v (xo , yo + ∆y ) − v (xo , yo ) ∆y

y

∂u(xo , yo ) ∂y

=

lim

u(xo , yo + ∆y ) − u(xo , yo )

∆y →0

∆y

Es decir, las derivadas parciales de u(x, y ) y de v (x, y ) en (xo , yo ) respecto a y deben existir y que y que f 0 (zo ) = =

∂v (xo ,yo ) ∂y ∂u(xo ,yo ) ∂x

− +

∂u(xo ,yo ) ∂y ∂v (xo ,yo ) ∂x

i i

Por tanto, igualando partes real e imaginaria, tenemos que tambi´en se debe cumplir: ∂u(xo , yo ) ∂v (xo , yo ) ∂u(xo , yo ) ∂v (xo , yo ) = y =− ∂x ∂y ∂y ∂x

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Lo que se demostr´ o fue que si p:f 0 (zo ) existe entonces q:u(x, y ) y v (x, y ) tienen derivadas parciales parciales en el punto (xo , yo ) y que cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann. La contrapositiva de esta afirmaci´on, que es equivalente a ella, dice que si q no se cumple, ya sea porque las parciales no se cumplan o porque no cumplan las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f (z) no existe en z = zo . Es decir, que el cumplimiento de las ecuaciones de Cauchy-Riemann son un requisito para que f 0 (zo ) exista. Sin embargo, se demuestra matem´aticamente, que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplan no es suficiente para que f 0 (zo ) exista. Como un resultado adicional se muestra que si las derivadas parciales de u(x, y ) y v (x, y ) son continuas en (xo , yo ) entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann son una condici´on necesaria y suficiente para que f 0 (zo ) exista.

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Vea si la siguiente funci´ on satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann: f (z) = f (x + y i) = (x + y + 4 x y ) + (−2 x 2 + y + 2 y 2 ) i Aqu´ı: u(x, y ) = x + y + 4 x y y v (x, y ) = −2 x 2 + y + 2 y 2 Y por tanto ∂u ∂x ∂x ∂x

= 1 + 4y = −4 x

∂u ∂y ∂v ∂y

= 1 + 4x = 1 + 4y

As´ı las ecuaciones de Cauchy–Riemann quedan: ∂u ∂x ∂u ∂y

− +

∂v ∂y ∂v ∂x

= (1 + 4 y ) − (1 + 4 y ) = 0 = (1 + 4 x) + (−4 x) = 1 6= 0

Por tanto, la primera de las ecuaciones se satisface siempre y la segunda no se satisface pera ning´ un valor porsible de x y de y . La funci´on no es derivable en ning´ un punto.

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Para hacer este problema en la TI primeramente limpiaremos las variables con las que trabajaremos; y definiremos la parte real y la imaginaria de la funci´ on f (z):

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Determine d´onde la funci´ on satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann: f (z) = f (x +y i) = (3 y −2 x y +2 y 2 )+(−3 x +x 2 −4 x y −y 2 ) i As´ı las ecuaciones de Cauchy–Riemann quedan: ∂u ∂x ∂u ∂y

− +

∂v ∂y ∂v ∂x

= (−2 y ) − (−2 y − 4 x) = 4 x = (4 y − 2 x + 3) + (4 y − 2 x + 3) = 0

Por tanto, para ambas ecuaciones se cumplan se requiere s´olo que 4 x = 0 es decir que x = 0: la funci´ on s´olo es derivable en el eje imaginario.

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Para hacer este problema en la TI teniendo limpias las variables con las que trabajaremos s´ olo resta definir la parte real y la imaginaria de la funci´ on f (z) y revisar las ecuaciones:

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Determine d´onde la funci´ on satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann: f (z) = f (x + y i) = (x 3 + y 2 ) + (1 + 2 x 2 + 3 y − 2 x 3 ) i As´ı las ecuaciones de Cauchy–Riemann quedan: ∂u ∂x ∂u ∂y

− +

∂v ∂y ∂v ∂x

= (3 x 2 ) − (3) = (2 y ) + (4 x − 6 x 2 )

Por tanto, para que ambas expresiones den cero se requiere resolver el sistema correspondiente. Su soluci´on consiste de s´olo dos puntos (x = −1, y = 5) y (x = 1, y = 1). Resumiendo, la funci´ on anterior s´ olo es derivable en los puntos z1 = −1 + 5 i y en z2 = 1 + i.

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Para hacer este problema en la TI teniendo limpias las variables con las que trabajaremos s´ olo resta definir la parte real y la imaginaria de la funci´ on f (z); y resolver las ecuaciones que condicionan el cumplimiento de las ecuaciones de Cauchy–Riemann.