INTEGRALES DEFINIDAS ANALISIS, NUMEROS Y EXPERIMENTOS. VICTOR HUGO MOLL

Contents 1. Introduccion 1.1. El problema central 1.2. Otro tipo de respuestas 1.3. La constante de Euler 1.4. La constante de Catalan 1.5. La tabla de integrales de Gradshteyn y Rhyzik 2. La integral de una funcion racional cuartica 2.1. La formula de Wallis 2.2. Una integral que no aparece en la tabla de Gradshteyn y Rhyzik 2.3. Propiedades aritmeticas de los coeficientes 3. Landen 3.1. Extension del cambio trigonometrico al grado 6 3.2. Una interpretacion geometrica 3.3. Una generalizacion 3.4. El problema de convergencia References

1 2 9 10 13 16 17 17 20 24 30 30 36 38 40 46

1. Introduccion Estos apuntes representan un complemento al cursillo sobre Integrales Definidas en la Semana de la Matematica en Octubre 2006 organizada por el Instituto de Matematicas de la Universidad Catolica en Valparaiso, Chile. Estan escritos con mucha informalidad. He tratado de comunicar lo que hago y poder contar una historia matematicamente interesante. Agradecimientos. Al Departamento de Matematicas de la UCV, especialmente a Roberto Johnson. Luis Medina, estudiante de tesis de Tulane University por ayudar en la redaccion. Este trabajo fue financiado parcialmente por una beca de NSF numero NSF-DMS 0409968. 1

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1.1. El problema central. Durante este trabajo nos preocuparemos fundamentalmente del siguiente problema: Datos: • una funcion f , que depende de ciertos parametros p1 , · · · , pr ; • un intervalo [a, b] con −∞ ≤ a < b ≤ ∞ Problema: determinar el valor de

(1)

I :=

Z

b

f (x) dx. a

en funcion de los parametros P := {a, b; p1 , · · · , pr }. Una de las primeras preguntas es: Que significa determinar? Algunos ejemplos para aclarar la situacion: Ejemplo 1. En Calculo elemental, uno sabe que Z 1 1 x2 dx = . (2) 3 0 Esta es una de las primeras integrales definidas. Fue calculada por Arquimides, mucho antes que Newton, Leibnitz y Riemann. En este ejemplo todo es simple: la funcion f es un polinomio y la respuesta es un numero racional. Ejemplo 2. En la seccion de trigonometria se encuentra el ejemplo Z 1p π 1 − x2 dx = , (3) 4 0

que puede ser evaluada interpretando la integral como un cuarto del area de un circulo de √ radio 1. Se observa que la integral de una funcion elemental, como f (x) = 1 − x2 , produce numeros reales complicados.

Ejercicio 1. Los que no crean que π es un numero complicado, deben calcular el digito 1040 de π. Ejercicio 2. Usar la interpretacion geometrica para evaluar Z 1 π dx √ = . (4) 2 2 1−x 0

Indicacion: integre por partes la integral (3).

INTEGRALES DEFINIDAS

3

Ejercicio 3. Mediante un cambio de variables pruebe que el area de un circulo de radio r es r 2 veces el area de un circulo de radio 1. La longitud de una circunferencia de radio r es r veces la longitud de un circulo de radio 1. Concluya que existen constantes A y B de modo que Area de un circulo de radio r = Ar 2 , Longitud de una circunferencia de radio r = Br. Demuestre que B = 2A. Indicacion. Integre por partes. Ejemplo 3. La evaluacion de   Z 1/5 1 dx √ = Arcsin (5) 2 5 1−x 0 √ se hace asi: la anti-derivada de 1/ 1 − x2 se calcula mediante el cambio de variables x = sin t y se observa (alguien tiene que decir esto al estudiate) que la funcion x satisface  2 dx = 1 − x2 . (6) dt Esto produce

Z dx = dt = t. 1 − x2 El teorema fundamental del Calculo dice que uno debe encontrar t, es decir invertir el cambio de variables, y evaluar la funcion inversa entre 1/5 y 0. (7)

Z

√

Pregunta. Como se decide si el valor   1 r = ArcSin 5

(8)

esta escrito en la forma mas simple? Ejercicio 4. Probar que si (9)

1 s= 2

r

entonces (10)

Z

s 0

√

2−

q

2+

√

2,

dx π = . 2 16 1−x

El numero s es una raiz del polinomio P (t) = 128t8 −256t6 +160t4 −32t2 +1. Encontrar una generalizacion adecuada; por ejemplo encuentre un numero sn de modo que Z sn dx π √ (11) = n. 2 2 1−x 0

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Los ejemplos anteriores sugieren el siguiente principio: Las integrales definidas de funciones elementales producen valores de funciones especiales. Esto es suficientemente vago. Uno debe explorar que tipo de numeros reales aparecen cuando se calculan estas integrales. Ejemplo 4. Uno no necesita complicar mucho la funcion que se integra para producir numeros complicados: Z

(12)

1 −1

ex dx √ = πI0 (1) 1 − x2

donde (13)

∞ X √ 1  z k , I0 (z) = J0 ( −1z) = k!2 2 k=0

es la funcion de Bessel de argumento imaginario. Si este trabajo fuese leido principios del siglo XX, esto no seria sorpresa. Todos sabian de estas funciones. Ejemplo 5. Algunas veces uno tiene suerte: el resultado es elemental. Por ejemplo: Z ∞ −x xe dx √ = 1 − ln 2. (14) e2x − 1 0

Cuando esto ocurre uno se pregunta: como puedo modificar el problema y obtener algo interesante? Un metodo que muchas veces produce resultados interesantes es el siguiente. Uno trata de convertir la funcion que se esta integrando en un caso especial de una familia que depende de un parametro. Por ejemplo, definamos Z ∞ n −x x e dx √ . (15) h(n) := e2x − 1 0 Usando un lenguaje simbolico (como Mathematica o Maple) uno encuentra los valores. h(1) = 1 − ln 2, π2 − 2 ln 2 + (ln 2)2 , h(2) = 2 − 12 π2 1 3 h(3) = 6 − − 6 ln 2 + π 2 ln 2 + 3(ln 2)2 − (ln 2)3 − ζ(3), 4 4 2

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5

donde (16)

ζ(3) =

∞ X 1 k3 k=1

es un numero real llamado la constante de Apery. Ejercicio 5. Probar que h(n) es un polinomio con coeficientes racionales en las variables (17)

C := {ln 2, ζ(j) : j ∈ N},

donde ζ es la funcion zeta de Riemann definida por ∞ X 1 . (18) ζ(s) = ks k=1

Encontrar una cota para el maximo valor del indice j que se debe usar. Afortunadamente Euler demostro que (−1)j+1 (2π)2j B2j 2(2j)! donde B2j son numeros racionales llamados numeros de Bernoulli. Esto significa que solo se necesitan los valores de la funcion zeta de Riemann en los enteros impares. (19)

ζ(2j) =

Comentario aparte. Los numeros de Bernoulli son fascinantes. Se definen mediante la funcion generadora ∞ X xn x B = . (20) n ex − 1 n! n=0 B1 = − 12 .

Es facil de ver que B0 = 1 y Un simple calculo muestra que Bn = 0 si n > 1 es impar. El denominador es facil de calcular. Un teorema elemental de van Clausen dice que un primo p divide al denominador de B2j precisamente cuando p − 1 divide a 2j. Por ejemplo 2 y 3 siempre lo dividen. El numerador es muy dificil de calcular. Lo impresionante es que la divisibilidad de este numerador esta relacionado con el ultimo teorema de Fermat. Quien lo iba a sospechar?

Comentario aparte. Las propiedades aritmeticas de los valores impares de la funcion ζ son dificiles. La comunidad matematica se sorprendio cuando Apery [2] demostro en 1979 que ζ(3) es irracional. Se sabe que uno de los cuatro numeros ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) es irracional. Se sospecha que todos los valores ζ(2j + 1) son irracionales. Continuacion del Exercicio 5. El denominador comun del los coefficientes de h(n) empieza asi: (21)

{1, 12, 4, 80, 48, 1344, 192, 11520, 1280, 11264, · · · }

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Encontrar algo interesante en esta sucesion. Un experimento. Ahora usamos Mathematica para entender las integrales h(n). Uno trata de calcularlas definiendo h[n_]:=Integrate[x^n * Exp[-x]/Sqrt[Exp[2*x]-1], {x, 0, Infinity}]; y se obtienen asi los valores anteriores. Conviene agregar al resultado algunas reglas de simplificacion. Por ejemplo, el valor h(2) aparece como π2 (ln 4)2 − ln 4 + . 12 4 Uno puede ayudar al computador diciendo h1[n_]:= FullSimplify[ h[n] ]; y esto entrega (22)

h(2) = 2 −

π2 − ln 4 + (ln 2)2 . 12 El sistema Mathematica tiene reglas internas de simplificacion. Cuando uno pide que todo se simplifique, el termino

(23)

h1(2) = 2 −

(ln 4)2 4

(24) se cambia por

(ln 2)2

(25)

pero el termino ln 4 no se cambia por 2 ln 2 porque este ultimo, bajo el punto de vista del lenguaje, es mas complicado que ln 4. Tiene mas partes. Uno puede ayudar mas a la simplicacion, si impone la regla h2[n_]:=h[n]/.{ Log[4]-> 2* Log[2]} ; Ahora se obtiene π2 − 2 ln 2 + (ln 2)2 . 12 Uno de los puntos de vista que quiero entregar es el siguiente:

(26)

h2 (2) = 2 −

uno debe pensar en ciertos numeros reales como variables. En este ejemplo, las variables del problema son ( hasta el momento ) π y ln 2, que las voy a llamar p=π

y r = ln 2.

El comando q[n_]:= h2[n]/.{Log[2]->r, Pi->p}

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produce los valores q(1) = 1 − r, 1 q(2) = 2 − p2 − 2r + r 2 , 12 donde las integrales ahora son polinomios en las variables r y p. Si uno calcula el proximo valor, se encuentra con p2 r 3 p2 − 6r + + 3r 2 − r 3 − Zeta[3]. 4 4 2 De este modo uno encuentra otra variable: q(3) = 6 −

(27)

Zeta[3] = ζ(3),

donde ζ(3) es la serie definida en (16). Problema fundamental: dada una integral Z b f (x) dx (28) I= a

determinar un conjunto de variables que la determinen. El problema de simplificacion es realmente dificil. Uno sabe desde los tiempos de Euler, que si los valores ∞ X 1 (29) a := ζ(2) = y b = π2 k2 k=1

son variables en una integral, uno puede reducir la respuesta porque (30)

b = 6a.

Pero nadie sabe si lo mismo ocurre para ∞ X 1 y d = π3. (31) c := ζ(3) = k3 k=1

Problema abierto. Decidir si ζ(3)/π 3 es racional o no. El experimento consiste en usar Mathematica para encontrar algo sobre la estructura de este polinomio. Uno parte con la hipotesis de que h(n) es un polinomio en las variables (32)

p = π, r = ln 2, ζ(3), ζ(5), · · · .

Empezamos con la regla q[n_]:= h2[n]/.{Log[2]->r, Pi->p, Zeta[j_]->z[j]} de modo que la respuesta entrega z[j] en lugar de ζ(j). El guion en la variable indica que cada vez que aparezca ζ(j) se debe reemplazar por z[j]. Uno puede pedir varios valores mediante el comando While:

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(n:=1) && While[n \leq 5, (Print[n, "

", q[n]]; n++) ]

que entrega la lista 1

1−r p2 − 2r + r 2 2− 12 p2 p2 r 3 6− − 6r + + 3r 2 − r 3 − z[3] 4 4 2 4 3p p2 r 2 24 − p2 − − 24r + p2 r + 12r 2 − − 4r 3 + r 4 − 6z[3] + 6rz[3] 80 2 3p4 3p4 r 5p2 r 2 120 − 5p2 − − 120r + 5p2 r + + 60r 2 − − 20r 3 16 16 2 5p2 r 3 5p2 z[3] 45z[5] + + 5r 4 − r 5 − 30z[3] + + 30rz[3] − 15r 2 z[3] − . 6 4 2

2 3 4 5

Una forma de simplificar estos polinomios es eliminando el denominador. Es decir uno encuentra una formula explicita para el denominador y el problema se reduce a un polinomio con coeficientes enteros. Probablemente esto simplifica el problema. Mathematica ayuda aqui tambien. El comando q1[n_]:=Together[ q[n] ] escribe q(n) sobre un denominador comun. Por ejemplo, 1 (33) q1 (2) = (24 − p2 − 24r + 12r 2 ). 12 El comando den[n_]:= Denominator[q1[n]] calcula el denominador de la expresion q1 (n). Es decir den(n) nos da el denominador del polinomio que representa la evaluacion de la integral original. Si hacemos una tabla de valores, usando el comando While, se obtienen los valores {1, 12, 4, 80, 48}. Calculando mas valores encontramos: {1, 12, 4, 80, 48, 1344, 192, 11520, 1280, 11264, · · · } El proceso se detiene cuando uno usa estos datos para predecir una formula para den(n). Como demostrar esta formula es otra historia. En este ejemplo se requiren mas valores. Calculemos los 20 primeros: partiendo con den(11) se encuentra (34)

{3072, 372736, 143360, 7377280, 32, 4, 8, 8, 16, 8 }. Aqui hay algo raro.

INTEGRALES DEFINIDAS

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Los proximos 10 valores de la funcion den son {16, 16, 32, 8, 16, 16, 32, 16, 32, 32}. Uno confia en que el numero de digitos del denominador es una medida de la complejidad de un numero racional. Se espera entones que este valor debe crecer con n. Que esta pasando? Para ver esto en mas detalle. uno puede ver el valor del polinomio q1 (n), definido despues de la formula (32). Hay una sorpresa. Hasta n = 14 Mathematica entrega una expresion en las variables del problema. Pero a partir de n = 15 en adelante, algo nuevo aparece. Para escribir esto, usemos la notacion (35)

[x]n := {x, x, x, · · · , x },

donde hay n equis en el conjunto. La respuesta que Mathematica entrega es   (36) q1 (n) = an HypergeometricPFQ 21 , [1]n+1 , [2]n+1 , donde an es un numero racional y la funcion que aparece aqui es la funcion hipergeometrica definida por la serie de potencias (37)

p Fq (a1 , · · · , ap ; b1 , · · · ; x) :=

∞ X (a1 )k (a2 )k · · · (ap )k xk . (b1 )k (b2 )k · · · (bp )k k! k=0

El problema se reduce a encontrar los numeros an y demostrar la formula. Hasta aqui llego yo. 1.2. Otro tipo de respuestas. Varias de las integrales que uno encuentra producen numeros interesantes. Ejemplo 1. Radicales. Estos aparecen en integrales de funciones racionales como Z ∞ dx 2π (1) = √ . 4 2 2 7 7 0 (x + 5x + 1) Uno sospecha (en forma correcta) que 2π proviene del teorema del residuo, que permite calcular integrales reales usando metodos de C. Ejercicio 1. Calcular la integral Z ∞ (2) gm := 0

(x4

dx + 5x2 + 1)m+1

y confirme que

π gm = √ jm 7 donde jm ∈ Q. Demostrar que esto es cierto encontrando una recurrencia para los numeros jm . Suponiendo que uno sabe que jm son numeros

(3)

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racionales, encontrar un metodo numerico que los encuentre en forma exacta. Por ejemplo 2 171 2007 1 , j3 = . j0 = , j1 = , j2 = 2 7 784 10976 Esto es nuevo: uno quiere un metodo numerico que de una respuesta exacta. Una buena aproximacion no es suficiente. Esta parte es dificil. Se llama el metodo LLL. Leer sobre esto en los libros de J. Borwein, D. Bailey y R. Girgensohn [11] y [12]. Uno tambien debe mirar el diccionario [14]. Ahi una encuentra que 0.11158700 ∼ e1/3 − e1/4 .

(4)

Es decir, si uno hace un calculo numerico y encuentra el valor 0.11158700, lo mas probable es que la respuesta exacta sea e1/3 − e1/4 . Este tipo de ideas partieron con Gauss: mediante un calculo numerico, encontro el numero 1.85407467. Gauss reconocio esto como el valor de una integral eliptica y esto dio auge a la teoria de funciones elipticas desarrollada en el siglo XIX por Gauss, Jacobi, Abel y otros. Esto a su vez dio el impetu para estudiar funciones automorfas, grupos de Klein y otras cosas modernas. Todo partio de un simple calculo numerico. Ejemplo 2. Mas radicales. La integral Z ∞ √  π  √ dx 7 − 7 2 12 = 8 6 4 2 140 0 x + 5x + 2x + 5x + 1

es parte de la familia

tm :=

Z

0

∞

dx . (x8 + 5x6 + 2x4 + 5x2 + 1)m+1

Esto se puede calcular porque el polinomio (5)

P (t) = t4 + 5t3 + 2t2 + 5t + 1

se puede resolver por radicales y el denominador es P (x2 ). El metodo de fracciones parciales produce el resultado. Los calculos son enormes. 1.3. La constante de Euler. La constante de Euler es el numero real que corresponde a lo que ζ(1) debiera ser, si fuese finito. Uno sabe que (1)

ζ(1) =

∞ X 1

=∞

n X 1

− ln n.

k=1

k

y aunque Euler no tiene los problemas modernos de convergencia (trabajaba antes que Cauchy), el define (2)

γ = lim

n→∞

k=1

k

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11

Aun no se sabe si γ ∈ Q. Recientemente J. Sondow [38] ha desarrollado nuevos criterios que se cree podran decidir este problema. Hay muchas integrales que producen esta constante. Por ejemplo Z ∞ e−x ln x dx = −γ, (3) 0

que simplemente dice que (4)

γ = −Γ′ (1),

donde Γ es la funcion gama de Euler, definida por Z ∞ ts−1 e−t dt. (5) Γ(s) = 0

Esta funcion es la extension del factorial a los numeros reales. Satisface Γ(n + 1) = n! para n ∈ N. Cuando los estudiantes preguntan si un profesor usa la curva en la clase, realmente estan usando
√ (6) Γ 12 = π. Todo el mundo calcula integrales, a veces uno no sabe que lo esta haciendo. Ejercicio 1. Revisar esto. Esta extension es unica si uno impone ciertas condicones de convexidad. Detalles aparecen en [8]. La variedad de integrales donde aparece γ es impresionante. Muchas de ellas aparecen en el libro clasico de Whittaker y Watosn [41] y hay colecciones en la red [19] y [20]. Aqui hay un grupo representativo: Z 1 ln(− ln x) dx, γ = − 0  Z ∞ 1 1 = − e−x dx, 1 − e−x x 0  Z ∞ dx 1 − e−x , = 1+x x 0  Z 1 1 dx = x− . 1 − ln x x ln x 0

Hay ejemplos donde uno encuentra un parametro entero: Z ∞
dx 1 n . exp(−x2 ) − e−x (7) γ= −n 1−2 x 0

Esta formula apararece con el numero 3.475.3 en la tabla de integrales de I. S. Gradshteyn y I. M. Ryzhik [21]. Esta es una coleccion de integrales de todo tipo. Hay mucha Matematica escondida en estas evaluaciones y

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daremos mas informacion sobre esta tabla al fin de este capitulo. Tambien hay integrales donde la constante γ aparece mezclada con otros numeros. Por ejemplo Z ∞ 2 1√ π(γ + 2 ln 2). e−x ln x dx = − (8) 4 0 Ejercicio 2. Pensar en la generalizacion Z ∞ n e−x ln x dx. (9) tn = 0

Recientemente J. Sondow (a quien parece gustarle esta constante) encontro una formula sorprendente [39]: Z 1Z 1 x−1 (10) γ= dx dy. 0 0 (1 − xy) ln(xy) Esto se parece mucho a la expresion Z 1Z 1 x−1 4 dx dy. (11) ln = π 0 0 (1 + xy) ln(xy)

Seria muy intersante si esta similaridad nos diera una relacion entre γ y ln(4/π). Este es un buen ejercicio. La constante γ tambien aparece en forma de limite (12)

γ = lim

x→0+

1 − Γ(x) x

y como una serie interesante [37]  ∞  X 1 1 − . ns sn s→1+

(13)

γ = lim

n=1

Una forma de poner la integral (3) dentro de una familia es definir Z ∞ e−x (ln x)n dx. (14) dn := 0

Mathematica da la lista

d1 = −γ,

π2 , 6 γ π2 − 2ζ(3), = −γ 3 − 2 3π 4 = γ 4 + γ 2 π2 + + 8γζ(3). 20

d2 = γ 2 + d3 d4

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Para encontrar la estructura de estas respuestas conviene definir en := (−1)n dn

(15) y nombrar las variables

p = π g = γ ζ(j) = zjj . Observe que ahora ζ(j) viene con la potencia j. Entonces se tiene e1 = g, 1 e2 = g2 + p2 , 6 1 e3 = g3 + gp2 + 2z33 , 2 3 4 e4 = g + g2 p2 + p4 + 8gz33 . 20 Ejercicio 3. Probar que en es un polinomio homogeneo de grado n. Un polinomio se llama homogeneo de grado n, si (16)

P (tx1 , tx2 , · · · , txr ) = tn P (x1 , x2 , · · · , xr ).

Un libro interesante sobre la constante de Euler fue escrito por J. Havil [22]. Tiene muchos aspectos historicos relacionados con γ. Ahi se explica bien la relacion de esta constante con los numeros primos. Hay ademas otras representaciones de la constante de Euler: ∞ X ζ(i) − 1 = 1 − γ, (17) i i=2

y

(18)

Z

∞ 1

{x} dx = 1 − γ. x2

La funcion {x} es la parte fraccionaria de x, es decir, x menos la parte entera. 1.4. La constante de Catalan. Hay muchos otros numeros reales que tienen propiedades parecidas a la constante de Euler. En esta seccion presentare en forma mas resumida la constante de Catalan definida por ∞ X (−1)k . (1) G= (2k + 1)2 k=0

Euler demostro que

(2)

∞ X 1 π2 . = ζ(2) = k2 6 k=1

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Si uno desea evaluar la suma alternante de los reciprocos de cuadrados, se puede hacer asi: ∞ X (−1)k k=1

k2

= − = −

∞ X k=1

∞ X k=1

∞

X 1 1 + (2k − 1)2 (2k)2 k=1

1 1 + ζ(2), 2 (2k − 1) 4

donde, en la suma original hemos separado los indices pares de los impares. Ahora se tiene que ∞ X k=1

de modo que (3)

∞

∞

k=1

k=1

X 1 X 1 3 1 = − = ζ(2), 2 2 2 (2k − 1) k (2k) 4 ∞ X (−1)k k=1

k2

=−

π2 . 12

Ningun argumento elemental (hasta ahora) permite relacionar la constante de Catalan (1) con otras de las constantes basicas del Analisis. Se cree que esta es una constante fundamental, independiente de π. Hay una gran variedad de representaciones integrales de G. Bajo mi punto de vista, estas son integrales que se pueden evaluar usando G. Partimos con Z 1 ln x dx. (4) G=− 1 + x2 0

Esta se evalua simplemente expandiendo el termino 1/(1+x2 ) como una serie geometrica. Integrando por partes se obtiene, a partir de (4), la evaluacion Z 1 tan−1 x (5) G= dx. x 0

El cambio de variables u = tan−1 x en (5), seguido por v = 2u, nos da Z π/2 v dv (6) = 2G. sin v 0

Dentro de las integrales que dan la constante de Catalan se encuentran funciones hiperbolicas Z ∞ x dx = 2G, (7) 0 cosh x hay combinaciones de logaritmos y funciones trigonometricas Z π/4 ln tan x dx = −G (8) 0

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15

y combinaciones de funciones hiperbolicas y trigonometricas Z π/2 sinh−1 (sin x) dx = G. (9) 0

Hay integrales donde la respuesta es una combinacion de G con otras de las constantes de analisis: Z π/2 2 x dx 7 (10) = 2πG − ζ(3), sin x 2 0 y ademas (11)

Z

0

π/6

√ 4G π x dx = + ln(7 − 4 3). sin x 3 12

Esta ultima evaluacion aparece como un ejercicio en [13]. Una buena coleccion de formulas que involucran la constante de Catalan se encuentra en la entrada 33 de [15]. En esta lista se encuentran integrales dobles Z 1 Z π/2 dθ dx p (12) = 2G, 0 0 1 − x2 sin2 θ y otras mas como Z 1Z 1 1 tan−1 x dx dy = (4πG − 7ζ(3)) . (13) 2 2 8 0 0 1+x y

que se parece a (10). Una generalizacion de (11) podria ser la evaluacion de la integral Z π/n x dx (14) s(n) := . sin x 0

Probablemente uno espera ahora valores especiales de otro tipo de funciones.

Ejercicio 4. Estudiar la funcion poligama  n ′ Γ (z) d . (15) PolyGamma(n, z) := dz Γ(z) Esta funcion ayuda a evaluar integrales. Por ejemplo, usando la notacion (16)

h(x) = PolyGamma(1, x),

uno encuentra que Z π/3 x dx π 1  = − ln 3+ √ h sin x 6 24 3 0

1 6

En forma similar, evaluar Z π/4 1 x dx = √ h sin x 32 2 0




+ 5h

1 8




+h

1 3




− 5h

3 8

−h




2 3

5 8




−h

5 6




−h

7 8




+





.

√  π ln(3 − 2 2) . 8

16

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Uno podria decir que esto no es una respuesta, es solo una serie de numeros. Pero despues de todo, que es lo que uno obtiene si evalua Z 1 cos x dx = sin 1. (17) 0

1.5. La tabla de integrales de Gradshteyn y Rhyzik. A traves del tiempo el tipo y numero de evaluaciones de integrales definidas ha crecido en forma impresionante. Dado que matematicos somos personajes que nos gusta coleccionar cosas (particulas, numeros primos, variedades, grupos finitos y otros miembros del zoologico cientifico) un matematico holandes Bierens de Haan comenzo a escribir tablas de integrales [3, 4]. Estas tablas han crecido en forma exponencial y ahora el tratado de A. P. Prudnikov, Yu A. Brychkov y O. I. Marichev [30] consiste en 5 volumenes de formulas. Este es un trabajo enciclopedico. Oleg I. Marichev es actualmente el jefe de la seccion de Funciones Especiales del lenguaje simbolico Mathematica inventado por S. Wolfram. Estas tablas son revisadas en forma continua por la comunidad cientifica. Por ejemplo, E. W. Sheldon publico en [36] una revision de las tablas de Bierens de Haan. Posteriormente C. F. Lindman [26] hizo una nueva revision. Un reporte mas actual fue entregado por M. Klerer y F. Grossman en [24]. A pesar de la influencia de lenguajes simbolicos como Mathematica, se siguen imprimiendo tablas de integrales. Una de las mas usadas es la de I. S. Gradshteyn y I. M. Rhyzik [21] que mencionamos anteriormente. Poco se sabe sobre estos matematicos. La ultima edicion aparecio en 2000 y una nueva aparecera en 2007. A pesar del gran cuidado que se tiene en la edicion de estas tablas, errores siguen apareciendo. Una lista de los errores actuales se encuentra en http://www.mathtable.com/errata/gr6_errata.pdf Esta es una lista de 64 paginas de errores (la tabla tiene alrededor de mil paginas de formulas). En un aviso comercial, los lenguajes simbolicos decian que podian resolver todas las integrales de esta tabla. No es cierto. Hemos iniciado el proceso de revision y verificacion de las formulas en esta tabla. La idea general es de clasificar las formulas de acuerdo a la matematica que se encuentra detras de ellas. Por ejemplo, en [32] se encuentran los detalles de la formula para Z ∞ lnn−1 x dx , (1) fn (a) = 0 (x − 1)(x + a)

para n ≥ 2 y a > 0. La formula es

n(1 + a)fn (a) = (−1)n n! [1 + (−1)n ] ζ(n) n ⌊ ⌋

+

2   X n j=0

2j

(22j − 2)(−1)j−1 B2j π 2j (ln a)n−2j ,

INTEGRALES DEFINIDAS

17

donde B2j son los numeros de Bernoulli definidos en (20). Esta formula incluye las entradas 4.232.4, 4.261.4, 4.262.3, 4.263.1 y 4.264.3. Un simple cambio de variables permite evaluar la integral Z ∞ tn−1 dt , (2) hn (a) = −t t −∞ (1 − e )(a + e ) que incluye 3.419.2, · · · , 3.419.6. Diez entradas de [21] en una formula. Las demostraciones se pueden encontrar en http://www.math.tulane.edu/~vhm/Table.html La motivacion original de este proyecto vino cuando, mirando la ultima edicion de [21], encontramos la formula 3.248.5: Z ∞ π dx q = √ , (3) p 2 6 0 (1 + x2 )3/2 ϕ(x) + ϕ(x)

donde (4)

ϕ(x) =

4x2 . 3(1 + x2 )2

Por razones que quedaran claras en el proximo capitulo, estabamos interesados en iteraciones de la raiz quadrada. Esto hizo que esta formula nos llamara la atencion. Pero este resultado esta mal. No sabemos, hasta ahora, cual es el resultado correcto. Tampoco lo saben los editores de la tabla [21]. Lo peor de todo, es que esta es una formula nueva, es decir, fue agregada a la lista en la ultima edicion. Plop, como diria Condorito. 2. La integral de una funcion racional cuartica En este capitulo presentaremos problemas matematicos asociados con la evaluacion de la integral Z ∞ dx . N0,4 (a; m) := 4 2 m+1 0 (x + 2ax + 1) 2.1. La formula de Wallis. Empezamos con una de las formulas basicas del Calculo Integral:   Z ∞ dx 2m π (1) J2,m := = 2m+1 . 2 m+1 m 2 0 (x + 1) Esta evaluacion recibe el nombre de formula de Wallis.

La forma elemental de comprobar esta formula es hacer un cambio de variables x = tan θ para obtener Z π/2 cos2m θ dθ. (2) J2,m = 0

18

VICTOR HUGO MOLL

Usando la identidad cos2 θ = 1 − sin2 θ e integrando por partes se obtiene la recurrencia 2m − 1 J2,m−1 . (3) J2,m = 2m Ahora se comprueba que el lado derecho de (1) satisface la misma recurrencia y ambos lados parten en π2 cuando m = 0. Ejercicio 1. Defina (4)

am :=

22m+1 J2,m
. π 2m m

Encuentre una recurrencia para am y demuestre (3). Ahora presentamos una demostracion mas complicada. Usando el angulo doble, se obtiene  Z π/2  1 + cos 2θ m dθ. J2,m = 2 0 El cambio de variables ψ = 2θ, el teorema del binomio y el hecho que las integrales de potencias impares se anulan (por simetria) nos dice que ⌊m/2⌋   X m −m J2,i . (5) J2,m = 2 2i i=0

La demostracion de (1) por induccion es entonces equivalente a      ⌊m/2⌋ X 2i −2i m −m 2m (6) 2 =2 . 2i i m i=0

Los detalles aparecen en [9].

Hemos entrado al mundo de las demostraciones mecanicas. Esta es una teoria desarrollada por H. Wilf y D. Zeilberger en [42] y con buenos ejemplos dados en [33]. La suma (6) es el ejemplo usado en [35] (pagina 113) para ilustrar este tipo de metodos. Es evidente que Wallis no escribe la evaluacion (1) en la forma presentada aqui. La forma original dada por Wallis es en base al producto infinito (7)

π=2

∞ Y

k=1

2k 2k · . 2k − 1 2k + 1

La expresion (8)

2 π

v s r s r u r u 1 1 1 1 t1 1 1 1 = + + + ··· , 2 2 2 2 2 2 2 2

INTEGRALES DEFINIDAS

19

que fue dada por Vieta [40] es una de las primeras representaciones analiticas de π. Osler [34] demostro recientemente que el producto v v u s u u r p u u Y 1 1 1 1t1 1 1 2 t = + + + ··· + n radicales π 2 2 2 2 2 2 2 ×

n=1 ∞ p+1 Y 2 k k=1

− 1 2p+1 k + 1 · 2p+1 k 2p+1 k

entrega la formula de Wallis (7) para p = 0 y la expresion de Vieta’s cuando p → ∞.

Cuando uno se encuentra frente a una integral definida, una de las opciones de evaluacion es preguntarle al computador. Para ser honesto esto es solo una version mecanizada de lo antiguo: preguntarle al profesor, ayudante u otro alumno. Mucho se puede aprender por este metodo. El comando Integrate [ 1/(x^{2} + 1)^{m+1}, {x, 0, Infinity} ] nos entrega ! √ 1 Z ∞ π Γ(m + ) 2 (9) (1 + x2 )−m−1 dx . , If Re[m] > − 21 , 2Γ(1 + m) 0 La interpretacion de Mathematica es la siguiente: la respuesta es √ π Γ(m + 21 ) (10) 2Γ(1 + m)

y esta es valida solo para Re[m] > − 12 . La integral no se evalua fuera de este rango. Restricciones en los parametros se pueden dar con el comando Assumptions. Preguntando nuevamente mediante Integrate [ 1/(x^{2} + 1)^{m+1}, {x,0, Infinity }, Assumptions \rightarrow { Re[m] > -1/2 } ] nos entrega √ π Gamma[ 12 + m] (11) . 2 Gamma[1 + m] A partir de esto uno puede motivar la formula de duplicacion de la funcion gama: √
π (12) Γ(2x) = 2x−1 Γ x + 21 Γ(x). 2 Encontrar la formula es a veces la mitad de la demostracion. Detalles sobre esto aparecen en el Capitulo 10 de [8]. Esta identidad es una generalizacion de (13)

sin(2x) = 2 sin x sin(x + π2 ).

20

VICTOR HUGO MOLL

2.2. Una integral que no aparece en la tabla de Gradshteyn y Rhyzik. Al principio de nuestra investigacion de integrales definidas, sabiamos que uno puede evaluar Z ∞ Γ(5/4) Γ(m + 3/4) dx = , (1) 4 m+1 Γ(m + 1) 0 (x + 1) usando el cambio de variable t = x4 y la representacion integral de la funcion beta: Z ∞ x−1 t dt . (2) B(x, y) = x+y 0 (1 + t)

La identidad (3)

B(x, y) =

Γ(x) Γ(y) Γ(x + y)

da el resultado (1). Lo que nos sorprendio es que la evaluacion de Z ∞ dx , (4) N0,4 (a; m) := 4 + 2ax2 + 1)m+1 (x 0 no aparece el la tabla de integrals [21] ni tampoco se puede hacer usando un lenguaje simbolico. Preguntando a otros matematicos, siempre recibiamos la misma respuesta: esto es facil si uno sabe funciones hipergeometricas. Como nosotros no sabiamos sobre esto, buscamos otras formas de evaluar esta integral. El resto del capitulo cuenta acerca de lo que hicimos. Usando una variacion de la demostracion mas complicada de la formula de Wallis presentado en la seccion anterior, demostramos el siguiente teorema: Teorema 1. La integral N0,4 (a; m) esta dada por π (5) N0,4 (a; m) = m+3/2 Pm (a), 2 (a + 1)m+1/2 donde Pm (a) es un polinomio con coeficientes racionales. La primera expresion que encontramos para este polinomio fue  m−j m  X X m − j  2m + 1 j Pm (a) = (a + 1) 2j k j=0 k=0   2(m − k) −3(m−k) × 2 (a − 1)m−k−j . m−k

Este fue uno de los primeros resultados que encontre con mi estudiante y colaborador George Boros. En el articulo [31] he escrito sobre el y como me inicio en el calculo de las integrales.

INTEGRALES DEFINIDAS

21

Los coeficients de Pm (a) seran denotados por dl (m), es decir, (6)

Pm (a) =

m X

dl (m)al .

l=0

La primera expresion anterior para el polinomio Pm nos da    l m−l m X X X 2m + 1 (−1)k−l−s 2k (7) dl (m) = 23k k 2(s + j) j=0 s=0 k=s+l     m−s−j s+j k−s−j × . m−k j l−j

Es dificil probar propiedades sobre los numeros dl (m) a partir de una expresion tan fea como esta. Se require algo mejor. A partir de un listado simbolico, se ve que dl (m) > 0. Nos tomo un buen tiempo encontrar una demostracion adecuada. En [7] presentamos una relacion entre estos polinomios y la funcion q √ (8) f (a, c) = a + 1 + c.

Teorema 2. La expansion en series de Taylor de la funcion f (a, c) alrededor de c = 0 esta dada por q ∞ √ √ 1 X (−1)k−1 a+ 1+c= a+1+ √ N0,4 (a; k − 1) ck . (9) k π 2 k=1

Esto dice que las integrales quarticas N0,4 (a; m) definidas en (4) son esencialmente los coeficientes de Taylor de la funcion f (a, c). Muy raro. La demostracion usa teoremas de Ramanujan y esta dada en detalle en [8], capitulo 7. Una de las consecuencias de esta expresion es una formula explicita para los coeficientes dl (m). Corolario. Los coeficientes dl (m) estan dados por     m X m+k k −2m k 2m − 2k (10) dl (m) = 2 2 . m−k m l k=l

Antes de escribir mas sobre los coeficientes dl (m) presentaremos una conjetura. Conjetura. Se refiere a la serie de Taylor de la raiz cuadrada triple r q √ (11) a + b + 1 + c. ha,b (c) :=

22

VICTOR HUGO MOLL

La formula propuesta en (17) fue descubierta por manipulaciones simbolicas. En ella aparece la idea de homogenizacion de un polinomio: dado (12)

T (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an ,

es usualmente util construir el polinomio en dos variables (13)

T ∗ (x, y) = a0 xn + a1 xn−1 y + · · · + an y n ,

donde cada monomio tiene la forma xn−k y k . Este polinomio satisface P ∗ (tx, ty) = tn P ∗ (x, y),

(14)

de modo que si (x, y) es un cero de P ∗ y t ∈ R, entonces (tx, ty) tambien es un cero. Esto a veces se expresa en la forma los ceros de un polinomio homogeneo tienen sentido proyectivo. Estas ideas se encuentran en [18]. La conjectura consiste en probar que los coeficientes de la serie de Taylor (15)

ha,b (c) =

∞ X

βn (a, b)cn

n=0

estan dados por la expresion

q √ a + 1 + b, β0 (a, b) =

(16) y (17)

 n−1  (−1)n−1 X 2n − 2 − k −k−1/2 ∗ √ q Pk (a, 1 + b), βn (a, b) = n 22n+1 n−1 k=0 √ donde q := (1 + b)(a + 1 + b) y Pk∗ (a, z) = z k Pk (a/z) es la homogenizacion de Pk . Esto tiene aroma a Geometria Algebraica, de modo que un primer paso debe ser demostrar la serie de Taylor (9) en forma geometrica. No tengo ninguna indicacion de como partir. Cuando uno tiene una expresion del estilo (10) se sospecha una coneccion hipergeometrica. Es decir, es probable que la integral de donde provienen los polinomios Pm (a) pueda ser evaluada en base a la funcion hipergeometrica. Esto produjo [5] donde encontramos que los polinomios Pm (a) son parte de la familia de Jacobi:     m X m+k+α+β a+1 k m−k m + β (α,β) (−1) Pm (a) := m−k k 2 k=0

con parametros α = m + (18)

1 2

y β = −(m + 12 ). Es decir

(m+1/2,−m−1/2) Pm (a) = Pm (a).

INTEGRALES DEFINIDAS

23

Los polinomios de Jacobi satisfacen la relacion de recurrencia (19)

(α,β)

2(m + 1)(m + α + β + 1)(2m + α + β)Pm+1 (a) =  (α,β) (2m + α + β + 1) (2m + α + β)a + α2 − β 2 Pm (a) (α,β)

−2(m + α)(m + β)(2m + α + β + 2)Pm−1 (a) Ahora encontramos una relacion de recurrencia para los polinomios Pm (a). El argumento presentado aqui esta basado en un metodo de Hermite para integracion indefinida de funciones racionales. Bronstein [16] describe esto en detalle. Se parte con (20)

V (x) = x4 + 2ax2 + 1

y se observa que V y la derivada V ′ no tienen factores comunes. Usando el algoritmo de Euclides se encuentran polinomios B y C tales que (21)

−

1 m

= CV + BV ′ .

Un calculo simple nos entrega
1 1 1 2 3 B(x) = − (1 − 2a )x − ax and C(x) = − 4m a2 − 1 m



 a 2 x . 1+ 2 a −1

Dividiendo (21) por V m+1 e integrando de 0 a ∞ se encuentra que   (4m − 3)a 1 − 2a2 N1,4 (a; m − 1), N0,4 (a; m − 1) + N0,4 (a; m) = 1+ 2 4m(a − 1) 4m(a2 − 1) donde (22)

N1,4 (a; m) =

Z

0

∞

x2 dx . (x4 + 2ax2 + 1)m+1

Esta recurrencia se puede escribir de la forma   1 − 2a2 N0,4 (a; m) = 1+ (23) N0,4 (a; m − 1) 4m(a2 − 1) d (4m − 3)a N0,4 (a; m − 2). − 2 8m(m − 1)(a − 1) da Reemplazando la relacion entre N0,4 (a; m) y Pm (a) obtenemos el resultado siguiente.

24

VICTOR HUGO MOLL

Teorema 3. Los polinomios Pm (a) satisfacen (24) (4m − 3)a(a + 1) d (2m − 3)(4m − 3)a Pm−2 (a) − Pm−2 (a) 4m(m − 1)(a − 1) 2m(m − 1)(a − 1) da 4m(a2 − 1) + 1 − 2a2 Pm−1 (a). + 2m(a − 1) Ejercicio 2. Encontrar los valores   m(m + 1) −2m 4m + 1 ′ (25) Pm (1) = 2 Pm (1) y Pm (1) = 2m + 3 2m Pm (a) =

y usarlos para confirmar que el lado derecho de (24) es, a pesar de su apariencia, un polinomio en a.

Ejercicio 3. Confirmar que los polinomios Pm (a) no satisfacen la recurrencia (19) cuando uno usa α = m + 21 y β = −(m + 12 ). Explicar que esta ocurriendo. 2.3. Propiedades aritmeticas de los coeficientes. La expresion     m X m+k k k 2m − 2k −2m 2 (1) dl (m) = 2 m−k m l k=l

muestra que dl (m) > 0 y dl (m) ∈ Q. Ademas es claro que el denominador es una potencia de 2. Dado un numero racional positivo x y un numero primo p, se puede escribir a (2) x = pm , m ∈ Z, b con a, b ∈ Z sin ser divisibles por p. El numero m se llama la valuacion p-adica de x y se escribe m = νp (x). Pregunta: que se puede decir acerca de νp (dl (m)). Si consideramos la suma     m X m+k k k 2m − 2k 2 (3) el (m) = m−k m l k=l

entonces se tiene que (4)

ν2 (dl (m)) = −2m + ν2 (el (m)),

y como el (m) ∈ N se sabe que νp (el (m)) ≥ 0. Esto nos da

(5)

νp (dl (m)) = νp (el (m)) ≥ 0,

y en el caso que p = 2, se tiene (6)

si p 6= 2,

ν2 (dl (m)) = −2m + ν2 (el (m)) ≥ −2m.

INTEGRALES DEFINIDAS

25

Examinando el caso p = 2 con mas detalle se ve que, para l > 0, en la suma (3) cada termino tiene un factor (a lo menos) 2l . Esto nos dice que (7)

ν2 (el (m)) ≥ l.

En el caso l = 0, todos los terminos en la suma (3) son pares. La unica excepcion podria ser el primero. Este numero es el coeficiente binomial central   2m (8) Cm := . m Este es siempre par, ya que         2m 2m − 1 2m − 1 2m − 1 (9) = + =2 . m m m−1 m Ejercicio 4. Demuestre que ν2 (Cm ) = 1 precisamente cuando m es una potencia de 2. Se concluye que al menos ν2 (dl (m)) ≥ −2m + 1. Que mas se puede decir? Despues de mucho experiementar, nos dimos cuenta que es conveniente definir la funcion Al,m := l! m! 2m+l dl (m).

(10)

Tratare de convercerlos que las funciones ν2 (Al,m ) son intersantes. Partimos con un dibujo de ν2 (A1 (m)): 6 5 4 3

10

20

30

40

50

60

Figure 1. La valuacion 2-adica de A1 (m) para 1 ≤ m ≤ 61.

Se observa que la figura tiene una estructura de bloque: es decir los valores satisfacen (11)

ν2 (Al,2m−1 ) = ν2 (Al,2m ).

Si ahora graficamos la funcion ν2 (Al,2m ) (para evitar repeticiones) obtenemos la figura 2:

26

VICTOR HUGO MOLL 6 5 4 3

5

10

15

20

25

30

Figure 2. La valuacion 2-adica de A1 (2m) para 1 ≤ m ≤ 31 Mediante esta figura uno reconoce que la funcion ν2 (A1,2m ) esta relacionada con ν2 (m). El proximo teorema aparecio en [10]. Teorema 4. La valuacion 2-adica del termino A1,2m esta dada por (12)

ν2 (A1,2m ) = 2 + ν2 (m).

Ademas se tiene (13)

ν2 (Al,2m−1 ) = ν2 (Al,2m ).

Ejercicio 5. Demuestre que para un numero primo p, la valuacion p-adica del factorial esta dada por m − sp (m) (14) νp (m!) = , p−1 donde sp (m) es la suma de los digitos de m escrito en base p. En particular (15)

ν2 (m!) = m − s2 (m).

Esta es una formula de Legendre [25], que debiera ser mas conocida. Usando este resultado y volviendo a los coeficientes originales tenemos que   m+1 (16) ν2 (d1 (m)) = 1 − 2m + ν2 + s2 (m). 2 Problema. Encontrar formulas similares para ν2 (dl (m)) cuando l ≥ 2. Los proximos dibujos dan una idea general de las valuaciones 2-adicas de Al,m . La figura 3 muestra ν2 (A2,m ). Nuevamente se observa una estructura de bloque, ahora con periodo 4. La figura 4 muestra la valuacion 2-adica de A2 (4m). Hemos agrandado el rango para verlo mejor. A partir de esto uno conjectura que (17)

ν2 (A2 (4m)) = ν2 (m) + 5.

INTEGRALES DEFINIDAS

27

8 7.5 7 6.5 6 5.5 10

20

30

40

50

60

Figure 3. La valuacion 2-adica de A2 (m) para 1 ≤ m ≤ 60 9 8 7 6

5

10

15

20

25

30

Figure 4. La valuacion 2-adica de A2 (4m) para 1 ≤ m ≤ 30 Estos dos ejemplos indican la posibilidad de obtener una formula explicita para ν2 (Al,m ). La situacion es un poco mas complicada de lo que uno espera. Por ejemplo, la figura 5 muestra el caso l = 59. Uno se da cuenta que hay estructura de bloque de longitud 2 y la figura 6 nos muestra las valuaciones 2-adicas de A59,2m . 178 177 176 175 174 173 20

40

60

80

100

120

140

Figure 5. La valuacion 2-adica de A59 (m) para 59 ≤ m ≤ 196 Dado la complejidad de estas figuras fue grato cuando demostramos el proximo resultado [1].

28

VICTOR HUGO MOLL 178 177 176 175 174 173 10

20

30

40

50

60

70

Figure 6. La valuacion 2-adica de A2 (2m) para 30 ≤ m ≤ 98 Teorema 5. La valuacion ν2 (Al,m ) es una funcion periodica de periodo 21+ν2 (m) . Ademas satiface (18)

ν2 (Al,m ) = ν2 ((m + 1 − l)2l ) + l

donde (a)j = a(a + 1)(a + 2) · · · (a + j − 1) es el simbolo de Pochhammer.

El analisis de las valuaciones de Al,m para primos impares parece ser mucho mas dificil. La figura 7 muestra la valuacion 3-adica de A2,m donde se ve un crecimiento lineal. La figura 8 muestra el error de este comportamiento lineal. 100 80 60 40 20 50

100

150

200

Figure 7. La valuacion 3-adica de A2 (m) para 2 ≤ m ≤ 200 Las figuras 9 y 10 muestran datos similares para el primo 5. Los experimentos nos dicen que m (19) νp (Al,m ) ∼ p−1 m y ademas que el error νp (Al,m ) − p−1 tiene una cierta estructura que no es completamente aleatoria. Hay un comporatamiento periodico en una cierta escala. Todo esto deber ser estudiado en mas detalle. Una de las cosas importantes que uno debe aprender es que hacer cuando no se le ocurre nada. La mayor parte del tiempo uno se la pasa sin ideas

INTEGRALES DEFINIDAS

29

4 2

100

200

300

400

-2

Figure 8. La desviacion del compartamiento lineal para p = 3.

50 40 30 20 10 50

100

150

200

Figure 9. La valuacion 5-adica de A2 (m) para 2 ≤ m ≤ 200 3 2 1 100

200

300

400

-1 -2

Figure 10. La desviacion del compartamiento lineal para p = 5.

buenas. Como en mi trabajo aparecen muchos polinomios, yo me entretengo calculando ceros. La representacion de los coeficients dl (m) en (10) es eficiente cuando l esta cerca de m (hay pocos terminos en la suma). Buscando una expresion que fuese eficiente cuando l es chico en comparacion a m, encontramos m m Y Y (20) Al,m = αl (m) (4k − 1) − βl (m) (4k + 1), k=1

k=1

30

VICTOR HUGO MOLL

donde αl y βl son polinomios de grados l y l − 1 respectivamente en la variable m. Calculando los ceros encontramos algo sorprendente: todos ellos 1 . Demostrar esto require una idea estan en la linea vertical Re m = − m buena: a mi se me ocurrio preguntarle a John Little. Esto produjo [27]. Teorema 6. John Little, 2005. Todos los ceros de la familia de polinomios αl satisfacen Re m = − 12 . Lo mismo ocurre para βl (m).

Funciones con todos sus ceros en rectas verticales atraen la atencion de la comunidad. Seria intersante ver que ocurre con estas familias si uno pasa al limite cuando l → ∞. 3. Landen En este ultimo capitulo discutiremos la extension de las ideas presentadas en los dos primeros capitulos a la integral racional Z ∞ cx4 + dx2 + e dx. U6 = U6 (a, b; c, d, e) = 6 4 2 0 x + ax + bx + 1 3.1. Extension del cambio trigonometrico al grado 6. Empezamos con el cambio de variables usual: x = tan θ. Se obtiene una integral de la forma Z π/2 cS 4 + dS 2 C 2 + eC 4 dθ, (1) U6 = S 6 + aS 4 C 2 + bS 2 C 4 + C 6 0 donde usamos la notacion (2)

S = sen θ

y C = cos θ.

Usando las identidades sen2 θ =

(3)

1 − cos(2θ) 2

y cos2 θ =

1 + cos(2θ) , 2

se obtiene (4)

U6 = 2

Z

π 0

(c − d + e)B 2 + 2(e − c)B + (c + d + e) dt (a − b)B 3 + (6 − a − b)B 2 + (b − a)B + (a + b + 2)

donde B = cos t. Hemos partido de una integral que queremos entender y nos encontramos con una integral trigonometrica que parecer ser mas dificil que la original. Esto es correcto, pero inutil. Algo intersante ocurre si uno modifica el denominador (5)

Q6 (x) = x6 + ax4 + bx2 + 1

multiplicandolo por (6)

x6 Q6 (1/x) = x6 + bx4 + ax2 + 1.

Se obtiene x6 Q6 (1/x)Q6 (x) = (x12 +1)+(a+b)(x10 +x2 )+(a+b+ab)(x4 +x8 )+(2+a2 +b2 )x6 .

INTEGRALES DEFINIDAS

31

Multiplicando el numerador por el mismo factor nos da Z ∞ 10 cx + (bc + d)x8 + (ac + bd + e)x6 + (c + ad + be)x4 + (d + ae)x2 + e dx. U6 = 12 10 2 4 8 2 2 6 0 (x + 1) + (a + b)(x + x ) + (a + b + ab)(x + x ) + (2 + a + b )x Parece ser que cada vez complicamos mas el problema. Paciencia!! Haciendo el cambio de variables x = tan θ y multiplicando por cos12 θ ahora nos da Z π/2 Numerador dθ, (7) U6 = Denominador 0 donde Numerador = cS 10 + (bc + d)S 8 C 2 + (ac + bd + e)S 6 C 4 + (c + ad + be)S 4 C 6 + (d + ae)S 2 C 8 + eC 10 , y Denominator = (S 12 + C 12 ) + (a + b)(S 10 C 2 + S 2 C 10 ) + (a + b + ab)(S 8 C 4 + S 4 C 8 ) + (2 + a2 + b2 )S 6 C 6 , con S = sin θ y C = cos θ. Ahora reemplazamos las identidades (3) escritas en la forma S2 =

(8)

1−u 2

y C2 =

1+u , 2

con u = cos(2θ) y se obtiene (9)

U6 =

Z

π/2 0

Au5 + Bu4 + Cu3 + Du2 + Eu + F dθ. Hu6 + Iu4 + Ju2 + K

Los parametros estan dados por A = B = C = D = E = F

=

1 (−ac + bc + ad − bc − ae + be), 32 1 (6c + ac − 3bc − 6d + ad + bd + 6e − 3ae + be), 32 1 (−6c + ac + bc − ad + bd + 6e − ae − be), 16 1 (4c − ac + bc + 2d − ad − bd + 4e + ae − be), 16 1 (−4c − ac − 3bc + ad − bd + 4e + 3ae + be), 32 1 (2c + ac + bc + 2d + ad + bd + 2e + ae + be), 32

32

VICTOR HUGO MOLL

para el numerador y H = − I = J

=

K =

1 (a − b)2 , 64

1 (36 − 12a + 3a2 − 12b − 2ab + 3b2 ), 64 1 (24 + 8a − 3a2 + 8b − 2ab − 3b2 ), 64 1 (4 + 4a + a2 + 4b + 2ab + b2 ), 64

para los parametros del denominador. Este es el primer punto clave de este calculo: el polinomio en el denominador es par. Esto proviene de convertir el denominador original a uno simetrico. El cambio de variables t = 2θ nos da Z 1 π Av 5 + Bv 4 + Cv 3 + Dv 2 + Ev + F dt, (10) U6 = 2 0 Hv 6 + Iv 4 + Jv 2 + K with v = cos t. El segundo punto clave de esta evaluacion y que falla cuando la integral original nos es una funcion racional par es el siguiente: si j es un entero impar y P es un polinomio par, se tiene que Z π (cos t)j dt = 0. (11) P (cos t) 0 Esto se verifica mediante el cambio de variables t → π − t. Se concluye que (12)

U6 =

1 2

Z

0

π

Bv 4 + Dv 2 + F dt, Hv 6 + Iv 4 + Jv 2 + K

with v = cos t. Ahora expresamos todo en base al angulo doble, mediante la relacion cos2 t =

(13)

1 + cos(2t) . 2

Remplazando en (12) y haciendo el cambio de variables s = 2t, se obtiene (14)

1 U6 = 4

Z

0

2π

A2 w2 + B2 w + C2 ds, D2 w3 + E2 w2 + F2 w + G2

INTEGRALES DEFINIDAS

33

with w = cos s. Los parametros estan dados por A2 = B2 = C2 =

1 (6c + ac − 3bc − 6d + ad + bd + 6e − 3ae + be), 16 1 (14c − ac − bc − 2d − ad − bd + 14e − ae − be), 8 1 (30c + ac + 5bc + 10d + ad + bd + 30e + 5ae + be), 16

para los parametros del numerador, y D2 = − E2 = F2 = G2 =

1 (a − b)2 , 64

1 (72 − 24a + 3a2 − 24b + 2ab + 3b2 ), 64 1 (240 − 16a − 3a2 − 16b − 10ab − 3b2 ), 64 1 (200 + 40a + a2 + 40b + 6ab + b2 ), 64

para los parametros de denominador. Ahora observe que Z

(15)

2π

··· =

0

Z

π

−π

··· = 2

Z

π 0

···

primero por periodicidad y despues por simetria del coseno. Concluimos que Z 1 π A2 w2 + B2 w + C2 (16) U6 = ds, 2 0 D2 w3 + E2 w2 + F2 w + G2 with w = cos s. Usando el cambio de variables usual s , (17) r = tan 2 y recordando que (18)

cos s =

1 − r2 , 1 + r2

y ademas ds =

2 dr . 1 + r2

se obtiene (19)

U6 =

Z

∞ 0

A3 r 4 + B3 r 2 + C3 dr, D3 r 6 + E3 r 4 + F3 r 2 + G3

donde los parametros estan dados por A3 = 2(2c + ac + bc + 2d + ad + bd + 2e + ae + be), B3 = 2(12c + 4bc + 8d + 12e + 4ae), C3 = 32c + 32e,

34

VICTOR HUGO MOLL

para el numerador y D3 E3 F3 G3

= = = =

4 + 4a + a2 + 4b + 2ab + b2 , 36 + 20a + 20b + 4ab, 96 + 16a + 16b, 64,

para el denominador. Hemos vuelto a la forma original de la integral U6 . Solo nos falta normalizar los coeficientes del denominador. Dividiendo todo por G3 y haciendo el cambio de variables  1/6 G3 z (20) r= D3 produce el resultado siguiente. Los detalles dados aqui aparecieron en [6]. Teorema 1. La integral (21)

U6 (a, b; c, d, e) :=

Z

∞ 0

cx4 + dx2 + e dx x6 + ax4 + bx2 + 1

es invariante bajo el cambio de parametros ab + 5a + 5b + 9 (22) , a1 = (a + b + 2)4/3 a+b+6 b1 = , (a + b + 2)2/3 para el denominador y (23)

c1 = d1 = e1 =

c+d+e , (a + b + 2)2/3 (b + 3)c + 2d + (a + 3)e , a+b+2 c+e , (a + b + 2)1/3

para el numerador. Esta transformacion de los parametros sera llamada la transformacion racional de Landen. Estos cambios de parametros define una transformacion (24)

Φ6 : Λ6 ⊂ R5 → R5 .

La region Λ6 esta definida como (25)

Λ6 = {(a, b) ∈ R2 : U6 (a, b; c, d, e) es finita }.

No es dificil de ver que en esta region del plano a − b, la expresion a + b + 2, que aparece en los radicales, es siempre positiva.

INTEGRALES DEFINIDAS

35

Cuando encontramos las transformaciones (22) y (23) nos dimos cuenta que teniamos una version racional de la transformacion de Landen a+b (26) , a1 = √2 ab. b1 = Esta transformacion preserva el valor de la integral eliptica Z π/2 dθ p . (27) G(a, b) = 2 2 0 a cos θ + b2 sin2 θ

Iterando (26) produce una sucesion doble (an , bn ) y es facil probar que (28)

lim an = lim bn .

n→∞

n→∞

Este limite comun se llama el promedio aritmetico-geometrico y es denotado por AGM(a, b). Pasando al limite en la identidad (29)

G(an , bn ) = G(a, b),

produce (30)

G(a, b) =

π . 2 AGM(a, b)

Esto nos proporciona un metodo numerico para evaluar la integral eliptica G(a, b). La convergencia es cuadratica. Lo mismo ocurre en (22) y (23). Teorema 2. Supongamos que los valores iniciales de las sucesiones generadas por (22) y (23) son tales que la integral U (a, b; c, d, e) es finita. Es decir, supongamos que (a, b) ∈ Λ6 . Entonces, a) lim an = lim bn = 3, y ademas n→∞

n→∞

b) Existe un numero real L = L(a, b, c, d, e) tal que (31)

lim cn = lim en = L,

n→∞

n→∞

y (32)

lim dn = 2L.

n→∞

Pasando al limite en la identidad Z ∞ Z ∞ cx4 + dx2 + e cn x4 + dn x2 + en dx = dx, (33) 6 4 2 6 4 2 0 x + ax + bx + 1 0 x + an x + bn x + 1 nos da Z ∞ πL cx4 + dx2 + e dx = . (34) 6 4 2 2 0 x + ax + bx + 1 La convergencia es cuadratica, es decir, (35)

||cn+1 − L|| ≤ C||cn − Lk2 .

Al igual que en el caso eliptico, esto nos da un metodo numerico para evaluar la integral racional.

36

VICTOR HUGO MOLL

Iteracion de Φ6 fuera de la region de convergencia. Las transformaciones (22) describen un sistema dinamico en el plano, que uno pude estudiar en forma independiente de las integrales. La trayectoria de un punto inicial (a, b) tal que la integral U6 (a, b; c, d, e) es finita se describe en detalle en la proxima seccion. Cuando esta integral diverge (porque el polinomio en el denominador tiene raices reales positivas), la situacion es mucho mas compleja. La figura 11 muestra los primeros 5000 valores de la trayectoria de un punto inicial fuera de la region de convergencia de la integral. Esto necesita ideas nuevas.

20

10

-50

-40

-30

-20

-10 -10

Figure 11. Iteracion de Φ6 partiendo bajo el resolvente

3.2. Una interpretacion geometrica. Ahora presentamos una interpretacion geometrica de la transformacion racional de Landen (22, 23). La serie de cambios de variables que fueron descritos para encontrar esta transformacion, se pueden hacer en un solo paso: uno debe relacionar tan 2θ y tan θ. Por razones historicas (esto es lo que hicimos primero) presentamos los detalles con cotangente en lugar de tangente. Partiendo con la integral racional par Z Z ∞ 1 ∞ R(x) dx. R(x) dx = (1) I= 2 −∞ 0 introducimos la variable

x2 − 1 , 2x motivados por la identidad cot 2θ = R2 (cot θ). La funcion R2 : R → R es 2 : 1. Las ramas de la inversa son p (3) x = σ± (y) = y ± y 2 + 1. (2)

y = R2 (x) =

INTEGRALES DEFINIDAS

37

Dividiendo la integral en (4)

I=

Z

0

R(x) dx +

Z

∞

R(x) dx

0

−∞

e introducinedo x = σ+ (y) en la primera y x = σ− (y) en la segunda integral, nos da Z ∞ (R+ (y) + R− (y)) dy (5) I= −∞

donde R+ (y) = R(σ+ (y)) + R(σ− (y)) y R− (y) = p

y y2

+1

(R(σ+ (y)) − R(σ− (y)) .

Un calculo directo muestra que R+ and R− son funciones racionales de grado a lo mas el grado de R. El cambio de variables y = R2 (x) convierte el diferential meromorfo ϕ = R(x) dx en dσ− dσ+ + R(σ− (y)) R(σ+ (y)) dy dy

=

y(R(σ+ ) − R(σ− )) p (R(σ+ ) + R(σ− )) + y2 + 1

= (R+ (y) + R− (y)) dy.

La situacion general es la siguiente: se parte con un recubrimiento ramificado finito π : X → Y de superficies de Riemann y un diferencial meromorfo ϕ en X. Sea U ⊂ Y un dominio simplemente conexo que no contiene ningun punto critico de π, y sean σ1 , . . . , σk : U → X las secciones de π, en terminos simples σj se pueden pensar como las inversas de π. Se define (6)

k X σj∗ ϕ. π∗ ϕ = U

j=1

En [23] demostramos que esta construccion preserva las 1-formas diferenciales analiticas, es decir, si ϕ es una forma analitica en X entonces π∗ ϕ es una forma analitica en Y . Ademas, para cada curva rectificable γ en Y , se tiene Z Z ϕ. π∗ ϕ = (7) γ

π −1 γ

En el caso especial del espacio proyectivo, se obtiene lo siguiente: Lema 1. Si π : P1 → P1 es analitico, y ϕ = R(z) dz con R una funcion racional, entonces π∗ ϕ se puede escribir en la forma R1 (z) dz con R1 una funcion racional de grado a lo mas el grado de R. Esta es la generalizacion del hecho que las integrales (1) y (5) son iguales.

!

dy

38

VICTOR HUGO MOLL

3.3. Una generalizacion. El procedimeinto descrito en la Seccion 3.1 se puede extender a la transformacion racional Rm definida por la identidad (1)

cot mθ = Rm (cot θ).

El numero m ∈ N satisface m ≥ 2, es arbitrario. Ahora presentamos propiedades elementales de Rm . Proposicion. La funcion racional Rm satisface: 1) Para m ∈ N se define     ⌊m/2⌋ ⌊(m−1)/2⌋ X X m m−2j m Pm (x) = (−1)j x y Qm (x) = (−1)j xm−(2j+1) . 2j 2j + 1 j=0

j=0

Entonces Rm = Pm /Qm . 2) La funcion Rm es conjugada a fm (x) = xm via M (x) = Rm = M −1 ◦ fm ◦ M .

x+i x−i ;

es decir,

3) Los polinomios Pm y Qm tienen ceros reales dados por     (2k + 1)π kπ pk = cot para 0 ≤ k ≤ m−1, and qk = cot para 1 ≤ k ≤ m−1. 2m m Ahora describiremos un algoritmo que produce una transformacion racional de Landen para una funcion racional arbitraria R(x) = B(x)/A(x). La unica restriccion es que la integral de R en la recta real debe ser finita. El algoritmo produce una nueva lista de coeficientes, con los cuales uno produce una nueva funcion racional R(1) (x) = J(x)/H(x) que satisface Z ∞ Z ∞ J(x) B(x) dx = dx. (2) −∞ H(x) −∞ A(x) La iteracion de este procedimiento produce una sucesion xn , que tiene un limite x∞ con convergencia de orden m, es decir, (3)

kxn+1 − x∞ k ≤ Ckxn − x∞ km .

Los detalles aparecen en [28]. Ahora aplicamos el lema 1 a la funcion π(x) = Rm (x), visto como un recubrimiento ramificado de P1 , garantiza la existencia de otra funcion racional R(1) . El problema del calculo eficiente de los coeficientes de R1 se presenta mas adelante. En particular, se muestra que todo se puede calcular en forma simbolica. Paso 1. La funcion racional inicial es R(x) = B(x)/A(x). Se supone que A y B son polinomios con coeficientes reales y que A no tiene ceros reales.

INTEGRALES DEFINIDAS

39

Escribiremos (4)

A(x) =

p X

p−k

ak x

y B(x) =

k=0

p−2 X

bk xp−2−k .

k=0

Paso 2. Uno escoje un numero entero positivo m. Paso 3. Se define el polinomio resolvente (5)

H(x) = Resz (A(z), Pm (z) − xQm (z))

y se escribe en la forma (6)

H(x) =

p X

el xp−l .

l=0

El polinomio H esta definido como el determinante de la matriz de Sylvester formada con los coeficientes de estos polinomios. Como tal, los coeficientes el de H(x) son a su vez, polinomios en las variables ai con coeficientes enteros. Explicitamente (7)

el =

(−1)l am 0

p Y

j=1

(p)

Qm (xj ) × σl (Rm (x1 , Rm (x2 ), . . . , Rm (xp )),

donde {x1 , x2 , · · · , xp } son los ceros de A, contados de acuerdo a la multi(p) plicidad. Las funciones σl son las funciones simetricas elementales en las p variables definidas por (8)

p Y l=1

(y − yl ) =

p X (p) (−1)l σl (y1 , · · · , yp )y p−l . l=0

Los coeficientes el se pueden calcular simbolicamente a partir de los coeficientes de A, sin calcular los ceros de A. Definamos (9)

E(x) = H(Rm (x)) × Qm (x)p .

Paso 4. El polinomio A divide a E y denotamos Z el cuociente. Los coeficientes de Z son polynomios en los ai , con coeficientes enteros. Paso 5. Se define el polinomio C(x) = B(x)Z(x). Paso 6. Existe un polinomio J(x), cuyos coeficientes tienen una formula explicita en terminos de los coeficientes cj de C(x), tal que Z ∞ Z ∞ J(x) B(x) dx = dx. (10) −∞ H(x) −∞ A(x)

40

VICTOR HUGO MOLL

Esta es la nueva funcion racional cuya existencia fue garantizada por el lema 1. Todo ahora es explicito. Las formulas aparecen en [28]. Esta es la transformacion racional de Landen de orden m. Ejemplo. El algoritmo con m = 3 y la funcion racional (11)

R(x) =

ax2

1 , + bx + c

nos da el siguiente resultado. Los detalles aparecen en [29]. Teorema 3. La integral (12)

I=

Z

∞

−∞

ax2

dx + bx + c

es invariante bajo la transformacion
a (a + 3c)2 − 3b2 , (13) a 7→ ∆
b b 7→ 3(a − c)2 − b2 , ∆
c (3a + c)2 − 3b2 , c 7→ ∆

donde ∆ = (3a + c)(a + 3c) − b2 . La condicion b2 − 4ac < 0, impuesta para asegurar la convergencia de la integral, es preservada por la iteracion. La convergencia de la transformacion racional de Landen se presenta en la proxima seccion. 3.4. El problema de convergencia. La convergencia de la sucesion doble (an , bn ) que aparece en la transformacion eliptica de Landen (26), es facil de demostrar. Supongamos que 0 < b0 ≤ a0√ , la desigualdad entre el medio aritmetico (a + b)/2 y el medio geometrico ab de un par de numeros, nos da bn ≤ bn+1 ≤ an+1 ≤ an . Ademas (1)

0 ≤ an+1 − bn+1 =

1 (an − bn )2 √ . √ 2 ( an + bn )2

Esto demuestra que an y bn tienen un limite comun: M = AGM(a, b), el medio aritmetico-geometrico de a y b. La convergencia es cuadratica, es decir: (2)

|an+1 − M | ≤ C|an − M |2 ,

para una constante C > 0 independiente de m. La transfomaciones racionales de Landen producen funciones en el espacio de los coeficientes de la integral. En esta seccion presentamos lo que sabemos acerca de la convergencia para el caso racional. Es conveniente dividir la discusion en dos partes:

INTEGRALES DEFINIDAS

41

Caso 1: la semi-recta [0, ∞). Sea R(x) una funcion racional par, escrita en la forma R(x) = P (x)/Q(x), con (3)

P (x) =

p−1 X

bk x2(p−1−k) , Q(x) =

p X

ak x2(p−k) ,

k=0

k=0

y normalizada por a0 = ap = 1. El espacio de parametros es p−1 P+ × Rp . 2p = {(a1 , · · · , ap−1 ; b0 , · · · , bp−1 ) ∈ R

(4) Escribiremos (5)

a := (a1 , · · · , ap−1 ) yb := (b0 , · · · , bp ).

Definamos (6)

Λ2p = {(a1 , · · · , ap−1 ) ∈ R

p−1

:

Z

∞ 0

R(x) dx es finita }.

Se observa que la convergencia de la integral solo depende de los parametros en el denominador. La transformacion de Landen produce una funcion + Φ2p : P+ 2p → P2p

(7)

que preserva la integral. Usaremos la notacion (8)

(n)

(n)

(n)

an = (a1 , · · · , ap−1 ) y bn = (b0 , · · · , bp(n) ),

donde (9)

(an , bn ) = Φ2p (an−1 , bn−1 )

son las iteraciones de Φ2p . El resultado que uno espera es el siguiente: Teorema 4. La region Λ2p es invariante bajo la funcion Φ2p . Ademas       p p p (10) an → , ,··· , , 1 2 p−1 y existe un numero L, que depende de las condicones iniciales, tal que        p−1 p−1 p−1 (11) bn → L, L, · · · , L . 0 1 p−1

Esto es equivalente a decir que la sucesion de funciones racionales formadas por la transformacion de Landen, converge a L/(x2 + 1). Esto fue establecido en[23] usando la interpretacion geometrica de las transformaciones de Landen.

42

VICTOR HUGO MOLL

Teorema 5. Sea ϕ una forma diferencial analitica en una vecindad de R ⊂ P1 . Entonces Z ∞  dz 1 n , ϕ (12) lim (π∗ ) ϕ = n→∞ π 1 + z2 −∞

donde la convergencia es uniforme en subcojuntos compactos de U , la vecindad en la definicion de π∗ . La demostracion en [23] esta dada para el caso de π(z) = pero se extiende sin dificultad para la generalizacion Rm (z).

z 2 −1 2z

= R2 (z),

Este teorema se puede reescribir de la forma siguiente: Teorema 6. Las iteraciones de las transformaciones de Landen partiendo en (a0 , b0 ) ∈ P+ 2p convergen (al limite dado en el teorema 4) si y solo si la integral formada por los valores iniciales es finita. Seria interesante establecer este resultado usando solamente tecnicas de sistemas dinamicos. Esto ha sido hecho solo para el caso p = 3. En este caso la transformacion para Z ∞ cx4 + dx2 + e dx (13) U6 = 6 4 2 0 x + ax + bx + 1 es ab + 5a + 5b + 9 a1 = (14) , (a + b + 2)4/3 a+b+6 b1 = , (a + b + 2)2/3 junto a c+d+e , c1 = (a + b + 2)2/3 (b + 3)c + 2d + (a + 3)e , d1 = a+b+2 c+e e1 = . (a + b + 2)1/3 La region (15)

Λ6 = {(a, b) ∈ R2 : U6 < ∞}

esta descrita por la curva discriminante R, que corresponde al conjunto de ceros del polinomio (16)

R(a, b) = 4a3 + 4b3 − 18ab − a2 b2 + 27.

Este conjunto tiene dos componentes conexas: la primera R+ contiene el punto cuspide (3, 3) y la segunda R− , con ecuacion R− (a, b) = 0, no intersecta al primer cuadrante. La rama R− es la frontera del conjunto Λ6 .

INTEGRALES DEFINIDAS

43

La identidad (17)

R(a1 , b1 ) =

(a − b)2 R(a, b) , (a + b + 2)4

muestra que ∂R es invariante bajo Φ6 . Examinando el efecto de esta transformacion en las lineas de pendiente −1, se obtiene una parametrizacion directa del flujo en la curva discriminante. Esta curva esta parametrizada por (18)

a(s) =

s3 + 4 s3 + 16 y b(s) = . s2 4s

Entonces (19)

ϕ(s) =



4(s2 + 4)2 s(s + 2)2

1/3

da la imagen de la transformacion de Landen Φ6 ; es decir, (20)

Φ6 (a(s), b(s)) = (a(ϕ(s)), b(ϕ(s)).

La funcion Φ6 tiene tres puntos fijos: (3, 3), que es super-atractivo, un punto de silla P2 en la rama inferior R− de la curva discriminante, y un tercer punto inestable ubicado bajo esta rama. En [17] demostramos usando solo tecnicas dinamicas: Teorema 7. La rama inferior de la curva discriminante es Λ6 . Esta curva es ademas la variedad inestable global del punto de silla P2 . Se concluye que las iteraciones de Φ6 partiendo en (a, b) convergen si y solo si la integral U6 , formada con los parametros (a, b) es finita. Ademas (an , bn ) → (3, 3) cuadraticamente y existe un numero L tal que (cn , dn , en ) → (1, 2, 1)L. Este resultado es la correspondencia perfecta de AGM para el caso racional. Caso 2: La recta real: primero se elije un numero entero positivo m. Sea R(x) una funcion racional, escrita como R(x) = B(x)/A(x). Suponemnos que los coeficientes de A y B son reales, que A no tiene ceros reales y que deg(B) ≤ deg(A) − 2. Estas condiciones se imponen para garantizar la existencia de la integral Z ∞ R(x) dx. (21) I= −∞

En particular, A debe ser de grado par, y escribimos (22)

A(x) =

p X k=0

ak x

p−k

and B(x) =

p−2 X

bk xp−2−k .

k=0

Tambien se impone la condicion deg(dcm(A, B)) = 0.

44

VICTOR HUGO MOLL

La clase de funciones racionales con estas condiciones se llamara Rp . El algoritmo presentado la Seccion 3.3 nos entrega una transformacion de los parametros (23)

Pp := {a0 , a1 , · · · , ap ; b0 , b1 , · · · , bp−2 } = Rp+1 × Rp−1

de R ∈ Rp que preserva la integral I. De hecho, hemos construido una familia de transformaciones, indexada por m ∈ N, Lm,p : Rp → Rp ,

tal que (24)

Z

∞

R(x) dx =

−∞

Z

∞

Lm,p (R(x)) dx. −∞

Estas transformaciones Lm,p inducen una transformacion racional de Landen en el espacio de parametros: (25)

Φm,p : Pp → Pp

simplemente listando los coeficientes de la funcion Lm,p (R(x)). La integral original se escribe en la forma Z p−3 + b−1 b xp−4 + · · · + b−1 b b0 ∞ xp−2 + b−1 0 b1 x 0 2 0 p−2 dx. I = −1 −1 p p−1 p−2 a0 −∞ x + a0 a1 x + a0 a2 x + · · · + a−1 0 ap

La transformacion de Landen genera una sucesion de coeficientes (26)

(n)

(n)

(n)

(n)

(n)

Pp,n := {a0 , a1 , · · · , a(n) p ; b0 , b1 , · · · , bp−2 } ,

con Pp,0 = Pp como en (23). Uno espera que, cuando n → ∞, (n) ! (n) (n) (n) (n) (n) bp−2 a1 a2 ap b1 b2 (27) xn := , (n) , · · · , (n) , (n) , (n) , · · · , (n) (n) a0 a0 a0 b0 b0 b0 converge a (28)              q q q q−1 q−1 q−1 x∞ := 0, , 0, ,··· , ; 0, , 0, ,··· , , 1 2 q 1 2 q−1 donde q = p/2. Ademas se debe tener que

(29)

kxn+1 − x∞ k ≤ Ckxn − x∞ km .

La invariancia de la integral demuestra que (n)

(30)

b0

(n) a0

→

1 I. π

Esto produce un metodo iterativo para calcular la integral de una fucnion racional. El order de convergencia es m: elejido por el usuario. La convergencia de estas iteraciones, y en especial la cota (29), puede establecerse por el argumento presentado en la seccion 3.2.

INTEGRALES DEFINIDAS

45

Problema. Extender este algoritmo para una funcion arbitraria. Uno puede partir con aproximacioens de Pade. La convergencia de una sucesion de vectores convergiendo a 0 se mide en la norma de L2 , !1/2 2p−2 X 1 2 kvk2 = √ (31) , kvk k 2p − 2 k=1

y tambien en la norma de L∞ , (32)

kvk∞ = Max {kvk k : 1 ≤ k ≤ 2p − 2 } .

Las funciones racionales que aparecen como integrandos tienen coeficientes racionales. Como medida de su complejidad hemos tomado el maximo numero de digitos de estos coeficientes. Esto aparece en la columna marcada Porte. Las tables siguientes ilustran las iteraciones de transformaciones racionales de Landen de orden 2, 3 y 4, aplicadas al ejemplo Z ∞ 7π 3x + 5 dx = − . I = 4 3 2 12 −∞ x + 14x + 74x + 184x + 208 La primera columna da el valor de la norma L2 de un − u∞ , la segunda entrega su norma L∞ , la tercera columna da el error relativo en (30), y en la ultima columna damos el porte del intergrando. Como chequeo del algoritmo, verificamos en cada paso que la integral de la funcion racional es −7π/12. Metodo de orden 2 n norma L2 norma L∞ Error Porte 1 58.7171 69.1000 1.02060 5 2 7.444927 9.64324 1.04473 10 3 4.04691 5.36256 0.945481 18 4 1.81592 2.41858 1.15092 41 5 0.360422 0.411437 0.262511 82 6 0.0298892 0.0249128 0.0189903 164 7 0.000256824 0.000299728 0.0000362352 327 −8 −8 −8 8 1.92454 × 10 2.24568 × 10 1.47053 × 10 659 9 1.0823 × 10−16 1.2609 × 10−16 8.2207 × 10−17 1318 Como se espera, en el metodo de orden 2, se observa convergencia cuadratica. Tambien observamos convergencia cuadratica en las normas L2 y L∞ . El porte de los coeficientes se duplicada en cada iteracion. Metodo de orden 3

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n norma L2 norma L∞ Error Porte 1 15.2207 20.2945 1.03511 8 2 1.97988 1.83067 0.859941 23 3 0.41100 0.338358 0.197044 69 4 0.00842346 0.00815475 0.00597363 208 5 5.05016 × 10−8 5.75969 × 10−8 1.64059 × 10−9 626 6 1.09651 × 10−23 1.02510 × 10−23 3.86286 × 10−24 1878 7 1.12238 × 10−70 1.22843 × 10−70 8.59237 × 10−71 5634 Metodo de orden 4 n norma L2 norma L∞ Error Porte 1 7.44927 9.64324 1.04473 10 2 1.81592 2.41858 1.15092 41 3 0.0298892 0.0249128 0.0189903 164 4 1.92454 × 10−8 2.249128 × 10−8 1.47053 × 10−8 659 5 3.40769 × 10−33 3.96407 × 10−33 2.56817 × 10−33 2637 Terminamos con un problema completamente abierto: Problema: estudiar transformaciones de Landen en [0, ∞) para funciones racionales que contiene un termino impar. References [1] T. Amdeberhan, D. Manna, and V. Moll. The 2-adic valuation of a sequence arising from a rational integral. INTEGERS, 2007. [2] R. Apery. Irrationalite de ζ(2) et ζ(3). Astersique, 61:11–13, 1979. [3] D. Bierens de Haan. Tables d’integrales definies. C. G. Van der Post, Amsterdam, 1st edition, 1858. [4] D. Bierens de Haan. Expose de la theorie, des proprietes, des formules de transformation, et des methodes d’evaluation des integrales definies. C. G. Van der Post, Amsterdam, 1st edition, 1862. [5] G. Boros and V. Moll. An integral hidden in Gradshteyn and Ryzhik. Jour. Comp. Applied Math., 106:361–368, 1999. [6] G. Boros and V. Moll. A rational Landen transformation. The case of degree 6. In Knopp G. Mendoza E.T. Quinto E. L. Grinberg S. Berhanu M, editor, Contemporay Mathematics. Analysis, Geometry, Number Theory: The Mathematics of Leon Ehrenpreis, volume 251, pages 83–89. American Mathematical Society, 2000. [7] G. Boros and V. Moll. The double square root, Jacobi polynomials and Ramanujan’s master theorem. Jour. Comp. Applied Math., 130:337–344, 2001. [8] G. Boros and V. Moll. Irresistible Integrals. Cambridge University Press, New York, 1st edition, 2004. [9] G. Boros, V. Moll, and S. Riley. An elementary evaluation of a quartic integral. Scientia, 11:1–12, 2005. [10] G. Boros, V. Moll, and J. Shallit. The 2-adic valuation of the coefficients of a polynomial. Scientia, 7:37–50, 2001. [11] J. M. Borwein and D. H. Bailey. Mathematics by Experiment: Plausible reasoning in the 21-st century. A. K. Peters, 1st edition, 2003. [12] J. M. Borwein, D. H. Bailey, and R. Girgensohn. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. A. K. Peters, 1st edition, 2004.

INTEGRALES DEFINIDAS

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