Integrales dobles

Integrales triples

Cambios de variable

Integrales dobles

1

Integrales dobles

2

Integrales triples

3

Cambios de variable

Integrales triples

Cambios de variable

Integrales triples

Cambios de variable

Integrales dobles y triples

Integrales dobles

Integrales triples

Cambios de variable

Integrales dobles

´ R: rectangulo R = [a, b] × [c, d] f : R → R: campo escalar e dos variables. Si f es continua en R ⇒ fx : [c, d] → R y fy : [a, b] → R son funciones ´ continuas en su dominio de definicion. ´ ambas son funciones reales de una variable real continuas y, Ademas, por tanto, integrables Riemann.

f (x, y) dxdy

Podemos definir: b

Z F

:

[c, d] → R, F (y) =

Z

d

Z :

R

b

fy (s) ds =

f (s, y ) ds

a

G

[a, b] → R, G (x) =

Z

a d

fx (t) dt = c

f (x, t) dt c

Tanto F como G son, a su vez, funciones continuas y, por lo tanto, pueden volver a integrarse. De esta forma, podemos definir las integrales reiteradas:   Z d Z d Z b Z d Z b IR1 = F (y ) dy = fy (s) ds dy = f (s, y ) ds dy c

Z IR2

c b

a b

Z

d

Z

G (x) dx =

= a

Teorema Si f : R → R es continua en R = [a, b] × [c, d], entonces ´ en este caso su valor comun IR1 = IR2 y, ademas, ´ se representa como Z Z



Z

c b

a d

Z

fx (t) dt dx = a

c

 f (x, t) dt dx

a

c

Si f es un campo escalar continuo de dos variables con f (x, y ) ≥ 0 para todo punto (x, y) perteneciente a un ´ rectangulo R entonces Z Z f (x, y) dxdy R

´ ´ representa el volumen del solido comprendido bajo la grafica ´ R. de z = f (x, y) y sobre la region

Integrales dobles

Integrales triples

Cambios de variable

Integrales dobles

Integrales triples

Cambios de variable

Ejemplo ´ comprendida bajo la grafica ´ Calcula el volumen de la region de ´ f (x, y ) = x 2 + y 3 y sobre el rectangulo R = [0, 1] × [2, 3]

RR Puede calcularse el volumen V = R f (x, y ) dxdy de dos formas: # # Z 3 "Z 1 Z 3 "Z 1   V = f (x, y ) dx dy = x 2 + y 3 dx dy 2

0

2

0

o bien Z

1

"Z

V =

Integrales triples

Cambios de variable

Integrales sobre regiones simples f : A → R donde: n o A = (x, y ) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x) En este caso:

Z Z f (x, y ) dxdy A

´ ´ representa el volumen del solido comprendido bajo la grafica de z = f (x, y ) ´ A y se calcula: y sobre la region # Z Z Z b "Z f2 (x) f (x, y ) dxdy = f (x, y) dy dx A

a

f1 (x)

Integrales dobles

#

Z

1

"Z

f (x, y ) dy dx = 0

Integrales dobles

3

2

0

Integrales triples

3



#

x 2 + y 3 dy dx

2

Cambios de variable

Integrales dobles

Integrales triples

Cambios de variable

Integrales dobles

Integrales triples

Cambios de variable

Integrales dobles

Integrales triples

Cambios de variable

Integrales sobre regiones simples f : A → R donde: n o A = (x, y ) ∈ R2 : g1 (y ) ≤ x ≤ g2 (y) , c ≤ y ≤ d En este caso:

Z Z f (x, y ) dxdy A

´ ´ representa el volumen del solido comprendido bajo la grafica de z = f (x, y ) ´ A y se calcula: y sobre la region # Z Z Z d "Z g2 (y ) f (x, y ) dxdy = f (x, y) dx dy A

c

Integrales dobles

g1 (y )

Integrales triples

Cambios de variable

RR ´ del plano EJEMPLO: Calcula la integral (xy) dxdy siendo A la region A comprendida entre y = x, xy = 1, y = 2

´ ´ Calculo de areas con integrales dobles

´ Tomando f (x, y ) = 1 la expresion Z Z 1dxdy A

´ ´ del plano A. representa el area de la region A=

  1 (x, y) : 1 ≤ y ≤ 2, ≤x ≤y y

´ Ejemplo: Area de un c´ırculo de radio r .

o bien

  1 1 A = (x, y ) : ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 2 ∪ {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 2} 2 x Dos posibilidades para calcular el volumen: Z 2

Z Z V =

(xy ) dxdy = A

1

  Z y  (xy) dx  dy, 1 y

Z 1 "Z 2

Z Z V =

(xy ) dxdy = A

1 2

1 x

#

Z 2 Z 2

(xy ) dy dx+ 1

x

 (xy) dy dx

Integrales dobles

Integrales triples

Cambios de variable

Integrales dobles

Integrales triples

Cambios de variable

´ Calculo de volumenes ´ con integrales triples

1

Todo lo anterior puede extenderse sin dificultad a funciones de tres variables f : [a, b] × [c, d] × [r , s] → R para obtener la integral triple Z Z Z f (x, y , z) dxdydz

Integrales dobles

A

2

Integrales triples

´ general, el campo escalar f no estara´ definida en En el caso mas ´ del plano A dada por: [a, b] × [c, d] × [r , s], sino en una region o n A = (x, y , z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x) , h1 (x, y ) ≤ z ≤ h2 (x, y )

3

Cambios de variable

en este caso, Z Z Z

b

Z

"Z

g2 (x)

"Z

h2 (x,y )

f (x, y , z) dxdydz = A

#

#

f (x, y , z) dz dy dx a

g1 (x)

h1 (x,y)

´ A es suficiente tomar f (x, y , z) = 1 Para calcular el volumen de la region

Integrales dobles

Integrales triples

Cambios de variable

Integrales dobles

Ejemplo ´ encerrada por la superficie Calcula el volumen V de la region 2 2 z = 4 − x − y y los planos z = 0, x + y = 2, x = 0, y = 0

Z

2

"Z

2−x

"Z

V =

4−x 2 −y 2

#

#

dz dy dx 0

0

0

1

Integrales dobles

2

Integrales triples

3

Cambios de variable

Integrales triples

Cambios de variable

Integrales dobles

Integrales triples

Cambios de variable

´ de cambio de coordenadas Definicion

Integrales dobles

Integrales triples

Coordenadas polares ´ en coordenadas polares es util ´ A es una La transformacion ´ cuando la region ´ de c´ırculo o circunferencia y viene dada por circunferencia, c´ırculo o porcion ´ la siguiente relacion:

´ g : R → Rn se llama cambio de Sea R un conjunto Rn . Una funcion coordenadas en A si verifica: 1

g tiene derivadas parciales continuas en el interior de R

x

=

r cos θ

2

g es inyectiva en R

y

=

r sin θ

3

g(R) = A

r

≥

0, 0 ≤ θ ≤ 2π

4

Cambios de variable

∂(x,y) ∂(u,v )

det(Jg (x)) 6= 0 para todo x del interior de R.

Fijemos un cambio de variable (en 2 variables) g(u, v ) = (x(u, v ), y(u, v )): ´ Notacion:  ∂x ∂x  ∂ (x, y ) ∂v = det(Jg (u, v )) = det ∂u ∂y ∂y ∂ (u, v ) ∂u ∂v

representa el determinante de la matriz Jacobiana,  ∂x ∂x    ∂ (x, y ) cos θ −r sin θ ∂v = det ∂u = det =r ∂y ∂y sin θ r cos θ ∂ (u, v ) ∂u ∂v

Cambio de coordenadas: Z Z Z Z ∂ (x, y ) dudv f (x, y ) dxdy = (f ◦ g) (u, v ) ∂ (u, v ) A R Integrales dobles

Integrales triples

Cambios de variable

Coordenadas el´ıpticas

x

= ar cos θ

∂x ∂u ∂y ∂u

y

= br sin θ

r

≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π

∂x ∂v ∂y ∂v

Cambios de variable



 = det

a cos θ −ra sin θ b sin θ rb cos θ

´ en coordenadas cil´ındricas viene dada por La transformacion Φ (r , θ, z) = (r cos θ, r sin θ, z):

en este caso

∂(x,y,z) ∂(r ,θ,z)

x

=

r cos θ

y

=

r sin θ

z

=

z

representa el determinante de la matriz Jacobiana,  ∂x ∂x ∂x    cos θ r sin θ 0 ∂r ∂θ ∂z ∂ (x, y , z) ∂y ∂y  = det  ∂y = det  sin θ r cos θ 0  = r ∂r ∂θ ∂z ∂ (r , θ, z) ∂z ∂z ∂z 0 0 1 ∂r ∂θ ∂z

En este caso, 

Integrales triples

Coordenadas cil´ındricas

´ en coordenadas polares es util La transformacion ´ cuando la ´ A es una elipse o porcion ´ de elipse, con ecuacion ´ en region y2 x2 ´ forma canonica + b2 = 1, y viene dada por la siguiente a2 ´ relacion:

∂ (x, y ) = det ∂ (u, v )

Integrales dobles

 = rab

Integrales dobles

Integrales triples

Cambios de variable

´ Coordenadas esfericas ´ en coordenadas esfericas ´ La transformacion viene dada por Φ (r , ϕ, θ) = (r sin ϕ cos θ, r sin ϕ sin θ, r cos ϕ):

en este ∂ (x, y , z)

∂(x,y ,z) caso ∂(r ,ϕ,θ) 

 = det   ∂ (r , ϕ, θ)

∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂r

x

=

r sin ϕ cos θ

y

=

r sin ϕ sin θ

z

=

r cos ϕ

representa el determinante de la matriz Jacobiana, ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z ∂ϕ

∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂z ∂θ



 sin ϕ cos θ   = det  sin ϕ sin θ  cos ϕ

r cos ϕ cos θ r cos ϕ sin θ −r sin ϕ

 −r sin ϕ sin θ r sin ϕ cos θ  = r 2 sin ϕ 0