Inhaltsverzeichnis

Teil I

Analysis

1

Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Mengenverknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Natürliche, ganze und rationale Zahlen . 1.3.2 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 3 5 6 7 8

2

Elementare Rechentechniken in der Menge der reellen Zahlen . 2.1 Zusammenfassen, Faktorisieren und Binomische Formeln . . 2.2 Bruchterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Potenzen und n-te Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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13 13 15 16 18 20 21

3

Der Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Eigenschaften reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Schnittpunkte mit Koordinatenachsen . . . . . . . . . . 3.2.2 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Transformation und Verknüpfung von Funktionen . . . . . . . 3.3.1 Transformation von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Summe, Differenz, Produkt, Quotient von Funktionen 3.3.3 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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25 25 28 28 29 31 32 33 33 34 36 37

VII

VIII

Inhaltsverzeichnis

4

Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Abschnittweise definierte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Gebrochen-rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktionen 4.7.2 Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion . . 4.8 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5

Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 5.1 Grenzwert einer Funktion für x ! ˙1 5.2 Grenzwert einer Funktion für x ! x0 . . 5.3 Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . 5.3.1 Lokale Stetigkeit . . . . . . . . . . 5.3.2 Globale Stetigkeit . . . . . . . . . . 5.3.3 Stetigkeitssätze . . . . . . . . . . .

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. 91 . 91 . 95 . 99 . 99 . 99 . 101

6

Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Die Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Differenzen- und Differenzialquotient . . 6.1.2 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Die Ableitungsfunktion . . . . . . . . . . . 6.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Sätze der Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . 6.3.1 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Regeln von L’Hospital . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . 6.4 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Monotonieverhalten . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Krümmungsverhalten . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.5 Ablauf einer Kurvendiskussion . . . . . . 6.4.6 Aufstellen von Funktionstermen . . . . . . 6.5 Anwendungen in Natur, Technik und Wirtschaft 6.5.1 Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . 6.5.2 Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . .

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41 41 46 53 60 62 65 71 71 73 75 85

105 105 105 107 111 112 116 116 117 118 119 119 121 123 126 128 133 136 136 140

Inhaltsverzeichnis

IX

7

Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Der Begriff der Stammfunktion . . . . . . 7.1.2 Integrale elementarer Funktionen . . . . . 7.1.3 Elementare Rechenregeln . . . . . . . . . . 7.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Die Riemannsche Summe . . . . . . . . . . 7.2.2 Integralfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Flächenberechnungen . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . 7.3 Integrationstechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . 7.4 Ergänzende Anwendungen der Integralrechnung 7.4.1 Rotationsvolumina . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Anwendungen in Physik und Technik . .

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145 145 145 147 147 148 148 154 159 166 168 169 171 172 174 174 177

8

Gewöhnliche Differenzialgleichungen 8.1 Einführendes Beispiel . . . . . . . . 8.2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . 8.3 Separierbare DGL 1. Ordnung . . 8.4 Lineare DGL 1. Ordnung . . . . .

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181 181 182 184 188

9

Lineare Gleichungssysteme (LGS) . . . . . . . . . 9.1 Einführung: (2  2)- und (3  3)-Systeme . . 9.2 Der Matrixbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Der Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Überbestimmte und unterbestimmte Systeme 9.5 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Anwendungen linearer Gleichungssysteme . .

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195 195 198 201 205 207 212

10

Vektoren im R2 und R3 . . . . . . . . . . 10.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Elementare Rechenoperationen . . . 10.2.1 Addition und Subtraktion . . 10.2.2 Multiplikation mit Skalar . . 10.3 Lineare Abhängigkeit von Vektoren 10.4 Basis und Dimension . . . . . . . . .

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219 219 222 222 223 225 229

Teil II

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Lineare Algebra und Analytische Geometrie

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X

Inhaltsverzeichnis

10.5 Teilverhältnisse . . . . . . . 10.6 Produkte von Vektoren . . 10.6.1 Das Skalarprodukt 10.6.2 Das Vektorprodukt 11

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231 233 234 239

Geraden und Ebenen im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Geraden im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ebenen im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Untersuchung von Lagebeziehungen . . . . . . . . . 11.3.1 Lagebeziehung zweier Geraden . . . . . . . . 11.3.2 Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene 11.3.3 Lagebeziehung zweier Ebenen . . . . . . . . . 11.3.4 Lagebeziehung dreier Ebenen . . . . . . . . . 11.4 Geraden- und Ebenenscharen . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Abstandsberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Projektion und Spiegelung . . . . . . . . . . . . . . . .

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247 247 249 256 256 258 261 263 265 267 269

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Teil III

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Wahrscheinlichkeitstheorie

12

Zufallsexperimente und Ereignisse 12.1 Zufallsexperimente . . . . . . . 12.2 Ereignisse . . . . . . . . . . . . . 12.3 Verknüpfung von Ereignissen .

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277 277 280 282

13

Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1 Absolute und relative Häufigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . 13.3 Laplace-Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Baumdiagramm und Pfadregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit von Ereignissen 13.6 Bernoulli-Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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285 285 287 293 295 297 304

14

Kombinatorik . . . . . . . . . . . 14.1 Das allgemeine Zählprinzip 14.2 Permutationen . . . . . . . . 14.3 Variationen . . . . . . . . . . 14.4 Kombinationen . . . . . . . .

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313 313 315 317 319

15

Zufallsvariablen und Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 15.1 Der Begriff der Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 15.2 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsvariablen . . . . . . . . . . 327

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Inhaltsverzeichnis

XI

15.3 Merkmale von Zufallsvariablen . 15.3.1 Erwartungswert . . . . . . 15.3.2 Varianz . . . . . . . . . . . 15.4 Die Binomialverteilung . . . . . .

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333 333 335 339

16

Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 16.1 Der Standardisierungsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Lokale Näherungsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Globale Näherungsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4 Die Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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345 345 347 351 360

17

Testen von Hypothesen . . . . . 17.1 Grundlegende Begriffe . . 17.2 Signifikanztest . . . . . . . 17.2.1 Rechtsseitiger Test 17.2.2 Linksseitiger Test . 17.2.3 Zweiseitiger Test . 17.3 Alternativtest . . . . . . . .

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367 367 371 371 374 376 380

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Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

http://www.springer.com/978-3-662-45226-4