4.1 DEFINICION. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos del plano euclideano R~ tales que que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es en valor absoluto una constante. Así, si F, y F, son dos puntos fijos de R' y a es un real positivo, se tiene = { P =(x,y) l

\

d ( P , F,) - d ( P ,F2) = ~ 2 a }

D

X

Una hipérbola se compone de dos ramas H1 y Hzdefinidas por

Hl

= { P = ( x , y ) 1 d ( P ,F l ) - d ( P ,

H,

={ P =(x,y) 1

4 )= -2a}

d ( ~F,), - d ( P , ~

2 =) 2a}

4.2 NOTACION Y PROPIEDADES 1. Los puntos Fl y F2 se llaman focos de la hipdrbola.

-

2. El punto medio F, = b(Fl + F2) del segmento F,F, se llama centro de la hipi?rbola.

3. La hipérbola M corta la recta X' que pasa por los focos en exactamente dos puntos Vl y V . que se llaman vértices de la hiperbola. Se cumple

d ( V l ,F,) = d(V2,F,

ta )

El segmento V1V2 se llama eje transversal y posee longitud 2 a . 4. Si c = d ( F , , F o ) = d ( F 2 F,) , entonces c > a . Hagamos b 2 = c2 - a 2 y designemos por Y' la recta que pasa por F, y es perpendicular a X'. Sean

B, y B2 los puntos de Y' que distan b de F,. Se tiene d ( B , , F o ) = d ( B , , F o ) = b El segmento BlB2 se llama eje conjugado y tiene longitud 2b.

5. Los números a y b se denominan semieje transversal y conjugado, respectivamente. C

El número e = - se llama excentricidad de la hipérbola. Observemos que e > 1 a 6. Decimos que una hipérbola es equilátera si a = b , es decir si los semiejes transversal y conjugado son iguales.

Empleando la relación c = .\la2+ b2 , es fácil de ver que una hipérbola es equilatera si y solamente si e =

6.

4.3 ECUACION DE LA HIPERBOLA C O N EJE TRANSVERSAL PARALELO A UN EJE DE COORDENADAS CARTESIANAS TEOREMA. 1) La ecuación de una hipérbola cuyo eje transversal es paralelo al eje X es

centro de la hipérbola:

Y donde se tiene que

( h ,k ) vértices de la hipérbola: (h, k) y ( h + a , k)

focos de la hipérbola:

( h- c, k) y ( ht c, k); c =

~/m

2) La ecuación de una hipérbola cuyo eje transversal es paralelo al eje Y es

[centro de la hipérbola:

Y donde se tiene que

( h ,k )

1vértices de la hipérbola: (h, [focosdelahipérbola:

k - a ) y (h,k + a )

( h , k - c ) y ( h , k + c ) ;c = d m

Asíntotas de la Hipérbola 1. Se llaman asíntotas de la hipérbola

( x - h)2 - ( y - k)2 -1 a

a las rectas

2

b2

a b L2: Y = k - - ( x - h ) a

í

que se obtienen igualando a cero el segundo miembro de la ecuación de la hipérbola. Así, los puntos de las asíntotas son aquellos que satisfacen la ecuación

Las asíntotas L, y L2 son dos rectas que pasan por el centro de la hipérbola y forb/a. man con el eje transversal de ésta un ángulo a con tg a = I

Propiedad de las Asíntotas. Si P(x, y) es un punto de la hipérbola, entonces la distancia de P a la asintota m& próxima tiende hacia cero a medida que 1x1 crece indefinidamente (ver problema resuelto NqO). 2. De igual modo se llaman astntotas de la hipérbola

( x - h)l ( y - k12 - -1 2

a

a las rectas

b2

a L,: y = k + - ( x - h ) b a L2: Y =k - - ( x - h ) b

que se obtienen igualando a cero el segundo miembro de la ecuación de la hipérbola.

Hipérbola con eje transversal paralelo al eje X

4.4 HIPERBOLAS CONJUGADAS Decimos que dos hipérbolas son conjugadas si tienen los ejes transversales y conjugados intercambiados. En forma explícita, las hipérbolas H y H' son conjugadas si se cumple

V,V, = eje transversal de H

= eje

conjugado de H'

Y

B,B2 = eje conjugado de H

= eje transversal

de H'

Por ejemplo,,las hipérbolas

son conjugadas. Dos hipérbolas conjugadas tienen las mismas asíntotas. Hipérbolasconjugadas

4.5 PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son los vértices de la elipse 25x2 + g y 2 = 255 y cuyos vértices son los focos de la elipse.

La Hipérbola

93

SOLUCION. De la ecuación de la elipse

X2 y2 + =

1 25 a2 -25, b 2 = 9 y c2 = 1 6 . vértices de la elipse: (0, - 5), (0,5); focos de la elipse: (o, - 4) , (o, 4) ; 9

obtenemos Por lo tanto,

focos de la hipérbola: (0, - 5), ( 0 , 5 ) ; vértices de la hipérbola: (0, - 4), (0,4); centro de la hipérbola: (0,O). La ecuación tiene la forma

Luego se tiene

donde

A=4,C=5 y B = . / m = . / m = 3

Se sigue entonces que

y2

2 X

-- - =

1 es la ecuación requerida.

2

RESPUESTA.

y2 x -=

1

PROBLEMA 2. El costo de producción de un artículo es $12 menos por unidad en un punto A que en un punto B. Si la distancia de A a B es de 100 Kms., la ruta de entrega está a lo largo de una línea recta y el transporte cuesta $0.20 por unidad por Km; ¿cual es la curva en cualquier punto de la cual cueste lo mismo un artículo transportado desde A o B? SOLUCION. Tracemos un sistema rectangular de coordenadas como se muesra en la figura Designemos los siguientes costos por unidad de artículo

producción en B CA = costo en P de mercancía proveniente de A p

= costo de

CB = costo en P de mercancía proveniente de B Desde que

costo total = costo de producción

+ costo de transporte

se tiene C,

=(

Ahora bien si P

p - 12) + 0.20 d ( A ,P )

= (x,y)

es un punto en el cual

entonces se tendrá que ( p - 12) + 0.20 d ( A ,P )

=

C, = C, p

+ 0.20 d ( B , P )

Luego P se encuentra en la rama derecha de la hipérbola con focos en A B = (50,O)y cuya ecuación es

= (-50,O)

y

RESPUESTA. Rama derecha de la hipérbola 16x2 - g y 2 = 14 400

PROBLEMA 3. Hallar una ecuación del conjunto de todos los puntos P = ( x , y ) tales que la distancia de P a ( 1 , 2 ) es 3 / 2 de la distancia de P a la recta y = -1 . SOLUCION. Sean Fo = ( 1 2 ) y L: y = - l .

2

Si P = ( x ,y ) cumple d ( P ,Fo)= d ( P , L ) entonces se tiene

,/m

= +(y+l)

Y completando cuadrados

obtenemos

RESPUESTA. Una ecuación es

(Y++)2

(X-I)~

--=

324 25

81 5

1

-y), eje transversal paralelo al eje Y

que representa una hipérbola con centro en (1, y semiejes transversal y conjugado $ y

9, respectivamente.

PROBLEMA 4. Sea k +. O . Probar que la ecuación xy = k es la ecuación de una hipérSola equilatera efectuando la rotación de 45" del sistema de coordenadas XY dada por:

SOLUCION. Sustituyendo las expresiones de x, y, dadas por las ecuaciones de cambio de coordenadas en xy = k , obtenemos

que representa una hipérbola equilátera con eje transversal X' o Y' según sea k > O o k 1, F un punto fijo y L una recta que no contiene a F.

1) Probar que los puntos P del plano cuya distancia del punto F es e veces la distancia de la recta L, forman una hipérbola. 2) Si a y b son los semiejes transversal y conjugado de la hipérbola y si

c

=Jn, probar que

c=ea.

Nota. Llamamos foco al punto F, excentricidad al número e y directriz a la recta L. SOLUCION.

1) Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas XY con origen en el punto F tal que el eje X sea perpendicular a la recta L y orientamos X positivamente en el sentido de la recta L al punto F.

Se tiene así

F=(O,O),

donde

d = d ( F ,L).

L: x = - d ,

Designemos con P = (x,y ) un punto tal que

d ( P ,F ) = ed(P,L).

Se tiene entonces

complendo c a a d o s

y dividiendo entre

(1-

[.7 1 -

1-e

+y

e2d2

2

=

2 1-e

e2d2

7se obtiene 1-e

2

El primer denominador es >O, y el segundo es < O , pues e > 1 implica e > 1 y 2 1 - e

multiplicando miembro a miembro, se obtiene

Luego la ecuación de la hipérbola es de la forma

donde k debe determinarse empleando la condición de que la hipérbola pasa por el punto (5,- f). Haciendo x = 5, y = obtenemos

-q,

2

(Y - q2 - ( x - 1) = 1

RESPUESTA.

25

25 4

PROBLEMA 7. tricidad e =

s.

9

Hallar la ecuación de la hipérbola con focos en (0,O) y (6,O) y excen-

SOLUCION. El centro de la hipérbola es (3,O) y la ecuación de la hipérbola tiene la forma

Se tiene además

e = 32

2 c = distancia entre los focos = d[(0,O), (6, O)] = 6 2

2

2

c =a +b c=ea

3=+a

De (11, (2)y (4):

.> a = 2

y d e (3)y(5) : b 2 = c 2 - a 2 = 32 - 2 2 = 5 2

RESPUESTA.

( x - 3Y Y - - = 1.

4

5

PROBLEMA 8. Probar que el producto de las distancias de un punto cualquiera de una hipérbola a sus asíntotas es constante. SOLUCION. Consideremos la hipérbola x a

b

L,:y = - x

con asíntotas

o

2

y2 = 1 -b2 b

y--x=o

a

a

b

L2:y = - - x

o

b

y+-=O

a a Sea P = ( x , y) un punto cualquiera de la hipérbola. Se tiene b

d,

=

d ( P ,L,) =

Luego

teniendo en cuenta que

=

Así, hemos demostrado que

d,d2

=

1 , pues P es un punto de la hipérbola.

a2b2 - constante. a2 + b2

PROBLEMA 9. Sean A y B dos puntos fijos cuya distancia es d . Probar que el conjunto de los puntos P tales que el dngulo PAB es dos veces el &nguloABP, es una hip6rbola con excentricidad SOLUCION. Supongamos que

't

Sea P =(%,y) un punto tal que áPAB = 2 U P y hagamos a = U P Se tiene

Y = tg 2a = x

2 tg a 1-tg2a

A = ( O , O)

La Hipérbola

99

Sustituyendo tg a en la primera ecuación

Y X

=

2

1- -(d:%)

Y2-3~2+4d+=d2, y completando cuadrados

7d2 2 7d2 ; y calculando la excenque es la ecuación de una hipérbola con a = -, b2=3 9 c2 = a2 + b 2 = -28 d2, tricidad e: 9

PROBLEMA 10. Sea H una hipérbola con centro C. Si P es punto culquiera de H y L es la asíntota más próxima a P, demostrar que la distancia d(P, L) tiende a cero si d ( P , C) crece indefinidamente; es decir que se cumple d(P,L,)+O cuando d ( P , C) + +m SOLUCION. Por simplicidad vamos a suponer que C = (0.0) y que la ecuación de la

hipérbola es b b Las ecuaciones de las asintotas son: L, : y - -x = O, L2: y + -x = 0 . a a Sea P = (x, y) un punto de la hipérbola. De (1)se tiene que

Y

=

&A,/=

(2)

a

Supongamos que P = (x, y) se encuentra en la parte superior de la rama derecha de la hipérbola, es decir que se cumple x 2 a , y 2 0 . Demostraremos que d ( ~L,) , tiende a O cuando

d(P,O)

=

Jm i o' = x

1+-

tiende a m,

esto es cuando x -,+OO. Calculamos d ( P ,L, ) sustituyendo ( 2 )en

y racionalizando

Luego, si x -+ +m',entonces el denominador-+ +m, el segundo miembro -P O , y por lo tanto, d ( P ,L,) + O . De modo similar se prueban los casos en que P se encuentra en la parte inferior de la rama derecha o en las partes superior o inferior de la rama izquierda de la hipérbola.

PROBLEMA 1 1. Si h2 + BX + cY2+ DX+ E y + F = O es la ecuación de una hipérbola, las asíntotas y = mx + b se obtienen resolviendo las ecuaciones

Encontrar las asíntotas y el centro de la hipérbola l0x~+l~~-6~~-82~-9~+262=0 SOLUCION. Utilizando las ecuaciones (*) 10+llm-6m2 = O llb-12bm-82-9m=O

Las raices de la ecuación (1) son

l l +&

m =

12

que sustituidas en (2) dan

b Las asíntotas son

=

{

-1y2 4

L1: y = # x - + L2: y = - + x + 4

El centro de la hipérbola es el punto de intersección de las asíntotas. Resolviendo las ecuaciones (3) y (4) obtenemos x=3 y=2.

4.6 PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 1. Hallar los focos, vértices, excentricidad y asíntotas de la hipérbola 25x2 - gY2= 225 PROBLEMA2. Hallar la ecuación de una hipérbola cuyas 5 y + 12x - 39 = 0 , 5y - 12x + 9 = O, y que pasa por el punto (-8,3).

asíntotas

son

Sugerencia. Usar la propiedad de que si P es un punto de la hipérbola y d(P, L,) y d ( P ,L2)son las distancias de P a las asíntotas, entonces

d ( P ,L, ) x d ( P ,L2)= constante = k PROBLEMA 3.

(Ver problema resuelto N%).

Hallar la ecuación de una hipérbola con eje transversal paralelo al eje

X, excentricidad 513 ,y que pasa por los puntos (4, O), (-2,2) y (- 1i/4,5) PROBLEMA 4. Hallar la ecuación de una hipérbola equilátera cuyo centro es el origen y que tiene sus focos sobre la recta y = *x a una distancia 5 del origen. PROBLEMA 5.

Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en

(-1O), sus focos en el

eje X y que pasa por los puntos (4, O) y ( 5 f i - $12) PROBELMA 6. Si 4x2 + 5xy + + 3x + 2y - 7 = 0 es la ecuación de una hipbrbola, hallar las asíntotas y el centro de la hipérbola. PROBLEMA 7. Probar que no existe ninguna recta y = mx que corta a la hipérbola 2 2 x - y = 1 en exactamente un punto. PROBLEMA 8. Las asíntotas de una hipérbola forman un ángulo de 60' con el eje transversal. Hallar la excentricidad de la hipérbola. PROBLEMA 9. Se llama lado recto o cuerda foca1 de una hipérbola a la cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje transversal. Probar que la longitud del lado 2b2 recto es - , donde a y b son los ejes transversal y conjugado, respectivamente. a PROBLEMA 10. La hipérbola H tiene las asíntotas 2x - 3y + 12 = O y 2x + 3y = O . Si un vértice de H es (0,2), hallar la ecuación de H.

PROBLEMA 11. Sea la hipérbola 4x2 - 3y2 = 36. Hallar la ecuación de la cuerda cuyo punto medio es ($,3). RESPUESTAS.

1. focos:

vertices: (-3, O), (3, O); (-a, O), (a, O);

excentricidad: e = & / 3 ;

asíntotas: y = *$x.

6. Asíntotas: 3x + 3y = -1, 12x + 3y = -5 ; Centro: (--$,+).