TEMA 4

PROBLEMAS PROPUESTOS U.C.V.

1.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

F.I.U.C.V.

Encuentre el área de la región limitada por las curvas indicadas: 1.1.

y = x2 − 4 , y = x + 2.

1.2.

x = y2 , x = −2y2 + 3.

1.3.

y = x + 1 , y = −x + 1 , y = 2x − 4.

1.4.

y = −2x2 + 8x − 7 , y = x − 4.

1.5.

y = 4 − x2 , y = −x + 2 , x = −2 , x = 3.

1.6.

x = 16 − y2 , x2 = 6 y .

1.7.

x = (y + 1)2 − 1 , x = 1 − y + 1 .

1.8.

x2 16 + y2 9 = 1 , x2 + y2 = 1.

1.9.

y = x − 1 + 3 , y = 4(x − 1)2.

1.10. y = x2 , y = 8 − x2 , 4x − y + 12 = 0. 1.11. 2y2 = x + 4 , x = y2. 1.12. y − x = 6 , y = x3 , 2y + x = 0. 1.13. y = 2.

a2 − x2 , y = −x , x − y = a.

Grafique una región del plano, cuya área quede definida por

∫

1

(1 − x )dx . −1

3.

Sin calcular la integral anterior, determine su resultado.

4.

Halle el valor positivo de b para que el área de la región limitada por las curvas

x = −y2 + 3y , y = x + b2 − 1 sea 36. 5.

Halle el valor de b de modo que la recta y = b divida en dos partes de igual área, la región limitada por las curvas y = 9 − x2 , y = 0.

6.

Deduzca la fórmula V = a3 para el volumen del cubo de arista a.

7.

Deduzca la fórmula V =

8.

Demuestre que el volumen de un cilindro circular recto, que tiene una altura de h

4 3

πr3 para una esfera de radio r unidades.

unidades y un radio de la base de r unidades es igual a V = πr2h . 9.

Halle el volumen de la pirámide (tetraedro) de base triangular y aristas a, b, c perpendiculares.

José Luis Quintero

1

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10. Calcule el volumen de una pirámide cuya altura es de h unidades y cuya base es un cuadrado de lado de s unidades. 11. La base de un sólido es la región del plano xy acotada por las curvas y = ex , y = −x en el intervalo 0,1 . Si las secciones transversales perpendiculares al eje x y al sólido son semicirculares, calcule su volumen. 12. Calcule el volumen del sólido cuya base es la región interior a la elipse x2 9 + y2 4 = 1 y sus secciones transversales son: 12.1. Semielipses de altura 2, perpendiculares al eje x 12.2. Cuadrados, perpendiculares al eje x 12.3. Triángulos de altura 1 con base en la región interior a la elipse, perpendiculares al eje y 13. Halle el volumen de un sólido si se sabe que su base es una región elíptica con la curva frontera 9x2 + 4y2 = 36

y las secciones transversales perpendiculares al eje x xon

triángulos rectángulo isósceles con la hipotenusa en la base. 14. Halle el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por: 14.1. y =

x , y = 2 − x , 0 ≤ x ≤ 1 alrededor de y = −1.

14.2. y = x , x = 2y − y2 alrededor del eje y. 15. Calcule el volumen del sólido que genera la región limitada por las curvas y = 2(x − 2)2 ,

y = 2x cuando rota alrededor de x = −1. 16. Una región del plano está limitada por las curvas x2 + 4y2 = 16 , x2 + 4y2 + 4x = 0 con

y ≥ 0. Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región alrededor de la recta y = 3. 17. Calcule el volumen del sólido de revolución generado por la región limitada por las curvas

4x = y2 , 4(8 − x) = y2 al rotarla alrededor del eje y = 4. 18. Para la región limitada por y = 4 − x2 , y = x2 , determine el volumen del sólido que genera la región al rotar alrededor del eje x. 19. Calcule el volumen generado por la rotación de la región delimitada por las curvas y = x2 ,

y = 4 alrededor del eje: 19.1. y.

José Luis Quintero

19.2. x.

2

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

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20. Sea la región delimitada por la semielipse y =

3 2

4 − x2 y el eje x. Calcule el volumen del

sólido generado por la rotación de la región alrededor del eje: 20.1. y = −4

20.2. y = 4

21. Halle el volumen generado por la rotación de la región limitada por las curvas y = −x + 2 ,

x = y2 alrededor del eje: 21.1. x = 4

21.2. y = 2

22. Dada la región limitada por las curvas y2 = 8(x + 2), y2 = 32(8 − x), halle el volumen del sólido generado al girar la región alrededor de la recta x = −3. 23. Dada la región comprendida entre la curva y = x3 , con −1 ≤ x ≤ 1 y el eje x. Calcule el volumen del sólido que se genera al girar la región alrededor del eje 23.1. x.

23.2. y.

24. Calcule el volumen generado por la región R acotada entre las curvas x = y2 , y = −x3 , cuando gira alrededor de la recta y = 2. 25. Considere la región limitada por las curvas x = (y + 1)2 − 1 , x = 1 − y + 1 . Halle el volumen al girar la región alrededor de la recta: 25.1. y = 4.

25.2. x = 1.

26. Halle el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las parábolas

y2 = x, y2 = 2(x − 3) alrededor del eje:

26.1. x.

26.2. y. 26.3. x = 6.

27. Calcule el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por las gráficas de las curvas y = x − 2 , y = −x2 + 4x + 2 alrededor del eje y. 28. Sea R la región acotada por las curvas y − x = 6, y = x3 , 2y + x = 0 . 28.1. Grafique R. 28.2. Plantee las integrales que permiten calcular el volumen generado al girar R alrededor de la recta y = −2 por el método de los 28.2.1. discos.

28.2.2. cilindros.

29. Integrando respecto de y, halle la longitud del segmento de la recta 4x − 3y + 16 = 0 desde

y = 0 hasta y = 4. Compruebe el resultado mediante la fórmula de distancia. 30. Halle la longitud de la parábola x = y2 entre x = 0 y x = 1. 31. Calcule la longitud de arco de la curva y =

José Luis Quintero

2 (x + 1)3 2 , con 1 ≤ x ≤ 4. 3

3

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32. Calcule la longitud de arco de la parábola y = x2 − 1 comprendida entre −1 ≤ x ≤ 1. 33. Halle la longitud de arco de la curva x =

1 4

y2 − 21 ln(y) comprendido entre 1 ≤ y ≤ e.

34. Halle la longitud del arco y = arcsen(e− x ) desde x = 0 hasta x = 1. 35. Halle la longitud de la curva C dada en forma paramétrica por x(t) = t , y(t) = t2 ; t ∈ 0,1 . 36. Calcule la longitud del arco descrito por la función y = x1 3 desde el punto (−1, −1) al (1,1). 37. Deduzca la fórmula L = 2πr para la longitud de la circunferencia de radio r, usando sus ecuaciones paramétricas. 38. Halle la longitud de la curva C dada en forma paramétrica por x(t) = t2 , y(t) = t3 , t ∈ [0,1]. 39. Calcule la longitud de un arco de la cicloide x(θ) = r(θ − sen(θ)) , 0 ≤ θ ≤ 2π.   y(θ) = r(1 − cos(θ))

40. Dada la curva (arco de una cardioide) x(t) = 2 cos(t) − cos(2t) , 0 ≤ t ≤ π,   y(t) = 2sen(t) − sen(2t) calcule su longitud.

41. Sea la curva sen(y) = e−x con x = 0 hasta x = 1 . Pruebe que su longitud es ln(e + e2 − 1) .

42. Encuentre el área de la superficie generada por la rotación de las curvas siguientes en torno al eje que se indica:

42.1. y = x3 3 , 1 ≤ x ≤ 7 ; alrededor del eje x. 42.2. y = x2 , 42.3. y =

0 ≤ x ≤ 2 3; alrededor del eje y.

x − 4,

4 ≤ x ≤ 8; alrededor de x = 2.

43. Halle el área de la superficie del paraboloide que genera la curva y =

x, 0 ≤ x ≤ 1,

cuando rota alrededor del eje x.

44. El área lateral de una esfera de radio R viene dada por S = 4πR2. Deduzca esta fórmula.

José Luis Quintero

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45. Calcule el área de la superficie de revolución generada por y = x2 con 0 ≤ x ≤ 2 3, alrededor del eje y. 46. Si la curva (x − a)2 + y2 = r2 gira alrededor del eje y genera un sólido llamado toro de revolución (tripa de caucho). Calcular su superficie lateral. 47. Halle el centroide de la región limitada por las curvas y = 4 − x2 , y = x2. 48. Determine el centroide de la región limitada por las curvas y =

x, x =

y.

49. Calcule el centro de masa del semicírculo de radio r. 50. Dada la región acotada por las curvas y = −x2 + 2x , 16x = y2 , calcule su centroide. 51. Siendo la densidad constante, calcule el centro de masa de la región limitada por las curvas y = −x , x2 + y2 = 1. 52. Calcule el centro de masa de la región delimitada por las curvas x = 4 − y2 , y = x + 2. Considere la densidad constante. 53. Halle el centro de masa del arco de la cicloide de ecuaciones dadas por x = R(t − sen(t)),

y = R(1 − cos(t)) con 0 ≤ t ≤ 2π. Considere la densidad igual a uno. 54. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por

y = x3 , x = y3 cuando rota alrededor del eje x + y = 2. 55. Halle el volumen de una esfera de radio a, utilizando el teorema de Pappus. 56. Calcule el volumen del sólido que genera la región limitada por las curvas y = −x2 + 2x,

y = −4 x, cuando gira alrededor de la recta: 53.1. x = 4

53.2. y = 2

53.3. y = x + 2

57. Considere la región limitada por las curvas y = −x2 , y2 = x. Calcule el volumen generado por la rotación de la región de la recta y = −2x + 3. 58. Halle el área del sólido generado al rotar el arco de la parábola y = 4x − x2 , 0 ≤ x ≤ 4, alrededor de x = −1. 59. Calcule el área de la superficie de rotación generada por un arco de la cicloide alrededor de la recta y = 2R.

José Luis Quintero

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

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60. Si la mitad superior de la elipse x2 a2 + y2 b2 = 1 rota alrededor del eje x, genera un sólido de revolución cuyo volumen es

4 3

πab2 . Calcule las coordenadas del centroide de la

región limitada por la elipse y el eje x.

José Luis Quintero

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PROBLEMAS PROPUESTOS U.C.V.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

F.I.U.C.V.

RESPUESTAS

1.

1.7. 7 3

3

1.8. 11π

a2 4

1.13. 4.

1.2. 4

1.1. 125 6

1 6

12. 12.1. 3π2 15. 63π

1.10. 64

10. V =

abc

2π 3

π

1 3

11. V =

s2h

12.3. 3π

(27π − 28)

20. 20.1. 24π(1 + π) 2 7

1.9. 13 3

12.2. 64

16.

23. 23.1.

1.4. 125 24

17.

1024 3

π

20.2. 24π(π − 1)

23.2.

4 5

π

24.

85 42

∫ ∫

π

(y + 2)(3 y + 2y)dy + 2π 0

31. 2 3(2 2 − 1)

34. ln(e + e2 − 1)

38.

5 − 1)

2 , 3π

56. 56.1.

2 ) 3π 64 15

π

José Luis Quintero

13 13 − 8 27

4 3

π

1.12. 22

52. (− 12 , 0) 56.2.

2368 15

π

∫

∫

π

19. 19.1. 8π

π

45 2

21.2. 26.3.

π 3

14.2.

144 5

256 5

19.2.

π

π

22. 1408π

6π

27.

176 3

π

2

[(6 + x + 2)2 − (x3 + 2)2 ]dx 0

(y + 2)(3 y − (y − 6))dy 2

32.

39. 8r

1088 5 2

5+

1  5 + 2 ln   4  5 − 2 

42. 42.1. 47. (0, 2)

53. (πR, 34 R) 56.3.

32 3

7 2

8

46. 4π2ar

45. 114π

π

26. 26.1. 9π

2

30. 5 − 12 ln( 5 + 2)

51. (

3+

+ 11)

14. 14.1.

21. 21.1.

[(6 + x + 2)2 − (−x / 2 + 2)2 ]dx + π

28.2.2. 2π

π (3e2 48

64 2 3

18.

−4

1 (5 3

14 3

1.6.

1.11. 32 3

13. 24

0

28. 28.2.1. π

43.

1.5. 49 6

( 32π − 1) V=

9.

1.3. 25 3

π

2π 9

33.

(23 2 − 1)

9 9 48. ( 20 , 20 )

1 (e2 4

+ 1)

42.2. 57π

42.3.

4π 3

49. (0, 34rπ )

54. 19 2π 57.

17 10 5

π

58. 3π[4 17 + ln(4 + 17)]

7