FISIKA BATX 2 Zizur Nagusia BHI

1.Gaia: Elkarrekintza grabitatorioa

1.2 KEPLER-EN LEGEAK Hiru legeak enuntziatu

5

Lehen biak egiaztatu, L-ren kontserbaziaren bidez

5

Keplerrek, Tycho Brahe astronomo daniarrak lortutako emaitzak erabili zituen planetek Eguzkiaren inguruko higiduran duten portaera arautzen duten erregela edo legeak aurkitzeko, hauek Newtonentzat bere grabitazio unibertsalaren teoria lantzeko oinarri izan zirelarik. Keplerren legeak Eguzki-Sistemari aplikatzen zaizkio, Eguzkia eta planetak puntualak direla kontsideratuz, hau da, euren arteko distantzia askoz handiagoak direla beren tamainak baino, eta Eguzkia finko bezala kontsidera daitekeela, planetek honen gainean duten eragina minimoa baita, Eguzkiaren masa askoz handiagoa baita.

1. LEGEA: "Planeta guztiek orbita eliptikoak deskribatzen dituzte eta Eguzkia hauen foku batean kokatzen da" Jakin behar da planetek oso eszentrizitate txikiko elipseak deskribatzen dituztela (Merkuriok eta Plutonek izan ezik), eta ondorioz planeten higidura zirkularra dela esan daiteke, nahiko hurbiltasunez elipsearen ardatzerdi handiena erradiotzat hartzen dugularik.

     L  r  p  r  mv      dL dr dv  mv  r m dt dt dt       v  m v  r m a  

   L  r  mv L konstantea da demostratu dugun bezala, beraz norabidea ez da aldatzen ega beti zango da r eta v osatzen duten planoarekiko perpendikularra. Beraz orbita laua da.

0



M

ext

 rF    M   dL 0   0  L  Kte dt

Momentu angeluarraren kontserbazioaren printzipioa

1 1.Gaia: Elkarekintza grabitatorioa

2. LEGEA:

“Planetak eta eguzkia lotzen dituen lerro zuzenak azalera berdinak zapaltzen ditu denbora-tarte berdinetan” Lege hau, posizio bektorearen ABIADURA AREOLARRA konstantea dela esanez adierazten da, hau da, denbora unitatean ekortutako azalera konstantea dela. Azalera berdinak izanik, planetak egin behar duen ibilbidea handiagoa da Eguzkitik gertu dagoenean urruti dagoenean baino. Bi kasuetan behar duen denbora berdina denez, planetaren abiadura handiagoa da Eguzkitik geroz eta gertuago egonik.

3. LEGEA: "Eguzkiaren inguruan orbitan dagoen edozein planetarentzat biraketa periodoaren karratua eta Eguzkiaren eta planetaren artean dagoen distantziaren kuboa zuzen proportzionalak dira" Lege hau, Eguzki Sistemaren planeta desberdinei aplikatuz, honela idazten da:

Beraz:

edota

Kontuan hartzekoak Keplerren lehenengo legearen arabera, planeta guztiek elipse itxurako orbita bat deskribatzen dute Eguzkiaren inguruan.



Planeta batek Eguzkiaren inguruko ibilbidean lortzen duen Eguzkitik urrutieneko puntuari AFELIOA deitzen zaio.



Planeta batek Eguzkiaren inguruko ibilbidean lortzen duen Eguzkitik hurbileneko puntuari PERIHELIOA deritzo.

2 1.Gaia: Elkarekintza grabitatorioa

1.3 GRABITAZIO UNIBERTSALAREN LEGEA. ONDORIOAK Grabitazioaren legea enuntziatu, eta haren adierazpen matematikoa eman

3

Adierazpen horren osagai guztiak azaldu

3

3. legea egiaztatu

4

Isaak Newtonek (1642 – 1727), Keplerren legeetan oinarrituz, ondorioztatu zuen Grabitazio Unibertsalaren legea.

Bi gorputzen arteko erakarpen-indarra, beren masa biderkadurarekiko zuzenki proportzionala eta grabitate-zentroen distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala da

Gorputzen masak, Gorpuaqqtdddt kg-tan adierazita

⃗

Bektore unitarioa. Norabidea: bi gorputzak lotzen Gorpuaqqtdddt dituen zuzenarena. Noranzkoa: erakartzen duen gorputzetik aterako balitz bezala.

⃗

Erakarpen indar Gorpuaaqqtdddt grabitatorioa

Gorputzen arteko distantzia (m-tan). Distantziak gorputzen zentruetatik neurtzen dira. Gorpuaqqtdddt

“Minus” ikurra. Bektore unitarioa definitu dugun bezala ikur honek, Gorpuaaqqtdddt indarra erakarpenekoa dela adierazten du.

Gorpuaqqtdddt

Bektore unitarioa. Erakartzen duen gorputzetik ateratzen da.

Grabitazio Unibertsalaren konstantea. Unibertso osoan balio berbera hartzen du. N.S. sisteman: 𝑁 𝑚 𝐺 6,67 10−11 𝑘𝑔 Konstante hau oso txikia denez indar grabitatorioek masa handia duten gorputzen artean (planetan, izarrak…)besterik ez da nabaria

A gorputzak B gorputza erakartzen dueneko indarra (FAB). Bektore unitarioaren aurkakoa.

B gorputzak A gorputza erakartzen dueneko indarra (FAB). Bektore unitarioaren aurkakoa.

Bektore unitarioa. Erakartzen duen gorputzetik ateratzen da.

Iturria: Web IES Magdalena. Aviles.

3 1.Gaia: Elkarekintza grabitatorioa

Ezaugarriak: 

Indarra magnitute bektoriala da, bere moduloa

da eta indar zentrala denez, bere noranzko eta

norabidea M masarantz doa. 

Ikusten den bezala bi gorputzen arteko distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala da, zenbat eta urrutiago egon bi gorputzak orduan eta txikiagoak dira indarrak.



Ikusten den bezala masen arteko biderkaketarekiko zuzenki proportzionala da, hau da zenbat eta handiagoak izan masak orduan eta gehiago nabarmentzen dira indar hauek.



Distantzietara agertzen diren akzio-ereakzio indarrak dira.



G konstante unibertsala da, eta ez da aldatzen ingurunearekin.



Unitateak: Newton-etan (N) ematen da

Ondorioak (3. Legea egiaztatu): Grabitazio unibertsalaren konstantea jakinda , Kepler-en hirugarren legea lortu daiteke grabitazio Unibertsalaren legetik abiatuz. Demagun, Eguzkiaren inguruan planetek bira egiten dutenean, higidura guztiz zirkularra dela. Higidura zirkularra dagoenez, azelerazio zentripetua edo normala dago, beraz:

M m v2 G  m R2 R M 4 2 R 2 G  R T2

4 2 R 3 T  GM 2

v

eta

2R T

T 2  CR 3

Ikusi daitekeenez azkeneko formula honek Kepler-en 3.legea betetzen du. Formula honetan oinarrituta, T ezagutuz Eguzkiaren masa kalkula dezakegu:

4 2 r 3 M  GT 2 Edozein planeten masa kalkula dezakegu, bere orbitaren periodoa eta errradioa ezagutuz (satelite bat baldin badute) Bestaldetik Eguzkiaren masa ezagutuz, planetaren periodoa (T) ezagutu dezakegu:

T  2

R3 GM

4 1.Gaia: Elkarekintza grabitatorioa

1.4 EREMU KONTZEPTUA. EREMU KONTSERBAKORRA Eremu definizioa

2

Eremu motak (eskalarrak, bektorialak)

2

Indar-eremu kontserbakorraren definizioa

2

Energia eremu eskalarra, aurreko eremu kontserbakorrari lotua

2

Eremuen irudikapen gafikoa

2

Gorputz bat esku batez bultzatzen dugunean ez da zaila eskua eta objektuaren arteko elkarekintza nola gertatzen den ulertzea, bi gorputzek “ukipenean” daudelako. Baina, nola da posible Lurra eta Eguzkiaren arteko elkarrekintza azaltzea, 150 milio kilometro badaude haien artean? Ezberdinak al dira eskua-objektu elkarrekintza eta Lurra-Eguzkiarena? “Ukipen” terminoa sakontasunez aztertuz gero, bi elkarrekintza mota hauen artean ez dagoela ia diferentziarik ikusiko dugu. “Ukipen” hitza erabiltzen dugunean ulertzuen dugu bi gorputzen arteko distantzia nulua dela eta hau berez, ez da posible. Adibidez, mahaia bat bultzatzen dugunean, gure eskuaren gainazaleko kanpoaldeko elektroiak ez daude inoiz kontaktuan egongo mahaiaren kanpoko elektroiekin. Coulomb-en legearen arabera hau gertatzeko egin beharko genukeen indarra infinitoa izango zen. Beraz, gorputzen arteko elkarrekintza guztiak azken finean distantziazko elkarrekintzak dira.

Baina orduan, nola transmititzen dira elkareintzak? Eta bat-batean transmititzen al dira? Galdera hauek ez zuten erantzunik Faraday-k eremu kontzeptua sortu arte.

Eremuaren Definizioa. Zenbait Adibide (Ordiziako Jakintza ikastolako web orrialdetik hartuta) Definizio fisikoa eman aurretik azter ditzagun zenbait adibide: 1. ADIBIDEA: (a irudia) Barra metaliko bat bere mutur batetik berotzen badugu berehala ohartuko gara barran zehar tenperatura balio ezberdinak izango direla, tenperatura hauek barraren zein puntu eta berotzen pasa dugun denboraren menpekoak izanik. Kasu honetan TENPERATURA EREMU bat izango dugu. 2. ADIBIDEA: (b irudia) Buztinezko ur disoluzio batean KONTZENTRAZIO EREMU bat sortzen da. Denbora pasatzen doan heinean, buztinaren hauspeatzearen ondorioz, disoluzioa prestatu dugun ontzian disoluzio kontzentrazio ezberdinak izango ditugu neurketa egiten dugun altueraren arabera. 3. ADIBIDEA: Itsasoan murgiltzen den urpekari batek, itsas hondorantz urperatzerakoan, bere gainean nabaritzen duen presio hidrostatikoa geroz eta handiagoa izango da. Hemen ere ikusten da presioaren balioa aldatzen dela urpekariak ur barnean duen posizioaren arabera. Esan dezakegu PRESIO EREMUbaten aurrean gaudela. 4. ADIBIDEA: (c irudia) Tutu batetik pasatzen den likido baten geruza ezberdinek, tutuaren paretekin likidoak duen marruskadura eta likido berak duen biskositatearen ondorioz, ez dute abiadura berdina: abiadura handiagoa eramango dute tutuaren erditik mugitzen diren likido geruzek tutuaren paretekin kontaktuan daudenak baino. Kasu honetan ABIADURA EREMU bat izango dugu. 5. ADIBIDEA: (d irudia) Lurraren inguruan kokatzen diren gorputzek Lurrarekiko erakarpen indar bat nabaritzen dute, erakarpen indar horren balioa Lurrarekiko gorputzaren 5 1.Gaia: Elkarekintza grabitatorioa

distantziarekiko alderantziz proportzionala izanik. Kasu honetan INDAR EREMU bat izango dugu. Adibide guzti hauetan oinarriturik, eman dezakegu eremuaren definizio fisikoa:

Espazioko eskualde konkretu bateko puntu bakoitzean eta denbora une konkretu bakoitzeko magnitude fisiko batek balio ezberdinak hartzen baditu, bertan EREMU bat existitzen dela esaten da.

EREMUEN PROPIETATEAK Adibide hauen bitartez (adibide gehiago ere aipa genitzake: presio atmosferikoa, erliebearen altuera,…) ikusi dugu, neurtu nahi dugun magnitude fisikoaren arabera, espazioko eskualde ezberdinetan edozein motatako eremua defini dezakegula. Baina denetan deskribatu ditzakegu zenbait propietate garrantzitsu:

Honen arabera ikusi dezakegu 1., 2., eta 3. adibideak EREMU LINEALAK direla magnitudearen balioak norabide bakar batean aldatzen baitira; 4. adibidea EREMU LAUA da (bi dimentsiotan hedatzen baita); eta 5. adibidea EREMU ESPAZIALA da. 

Eremu batzuetan neurtzen den magnitudearen balioa ez da denborarekin aldatzen: eremu hauei EREMU EGONKORRAK (“estacionario”) deritze. Honen adibidea Lurrak bere inguruan sortzen duen eremu grabitatorioarena da.



Eremua definitzen duen magnitudearen arabera, EREMUA ESKALARRA (1., 2., eta 3. adibideak) edoEREMU BEKTORIALA (4. eta 5. adibideak) izan daiteke.

Eremua erabat zehaztuta egon dadin, beharrezkoa da bertan ageri den magnitudearen balioa, norabidea eta norantza, bektorea bada, edo soilik balioa eskalarra bada, zeharo definituta egotea. 

Eremua definitzen duen magnitudearen balioa espazioko puntu guztietan berdina bada (X=X(x,y,z,t)=kte) EREMUA UNIFORMEA dela esaten da; hala ere kasu gehienetan magnitudearen balioa posizioaren arabera aldatu egiten da. Azken hauen artean badaude zenbait eremu puntu finko batetik hasita magnitudearen balioa era erradial batean aldatzen direnak. Eremu hauei EREMU ZENTRALAK deitzen zaie (5. adibidea).

EREMU KONTSERBAKORRAK Grabitatearen bezalako indarrek gorputz bati energia kentzen diotenean, ez dute bero moduan eraldatzen (berreskuraezina) baizik eta energia potentzial bihurtzen dute, azken hau berriro energia zinetiko bihurtu ahal daitekeelarik. Indar hauek indar kontserbakorrak dira. Indar-eremua kontserbakorra da bertako indarrek A puntutik B.ra desplazatzen den partikula baten gainean B

A     egiten duen lana, A.tik B.ra joateko jarraitu den bidearen menpekoa ez denean.  F  dr    F  dr A

B

Edo, beste era batera esanda, eremuaren indarrek partikula baten gainean berau ibilbide itxi batean zehar eramateko gauzatu duen lana nulua denean.





 F  dr  O Eremu kontserbakorrak, gainazal ekipotentzialen bidez ere adieraz daiteke. Kasu hauetan, gainazal ekipotentzialak eremu-lerroen perpendikularrak dira puntu bakoitzean

6 1.Gaia: Elkarekintza grabitatorioa

1.5 PARTIKULA BATEK EDO GEHIAGOK SORTURIKO EREMU GRABITATORIOA. INDAR-LERROAK. Eremu grabitatorioaren definizioa, haren adierazpen matematikoa

3

Adierazpen horren osagai guztiak azaldu

2

Eremuen gainezarmena

2

Eremu grabitatorioaren irudikapena. Marrazkiak egin

3

Gorputz batek, masa duelako, bere inguruan sortzen den perturbazioa da eremu grabitatorioa. Edozein masak (M), eremu grabitatorioa ( ⃗) sortzen du bere inguruan. Hau nabaritzeko, honen puntuetako batean beste masa bat jartzen da eta honen gainean indar bat agertzen da. Indar honen ondorioak neurtu daitezke.

EREMU GRABITATORIOAREN INTENTSITATEA Eremu grabitatorioaren intentsitatea (g) espazioko puntu batean, puntu horretan kokatutako masa unitatearen gainean agertzen den indarra da.

Eremu grabitatorioaren intentsitatearen ezaugarriak hauek dira: 

MODULUA:

. Ikusten denez bat dator 1 kg-ko masak R distantziara nabaritzen duen

indarraren balioarekin. Zenbat eta urrutiago kokatu puntua, orduan eta g txikiagoa. Zenbat eta M 

handiagoa izan, orduan eta g handiagoa. NORABIDEA: masaren zentroa eta kontsideratutako puntua lotzen duen zuzenarena.



NORANTZA: indar grabitatorioarenaren berdina, hau da, puntutik masara zuzendua.

EREMU GRABITATORIOAREN PROPIETATEAK 1. EREMU ZENTRALA da. Erradiala da eta distantziaren karratuaren arabera txikiagotzen da. 2. Indar grabitatorioak beti ERAKARLEAK dira. Eta ⃗⃗-ren noranzkoa beti eremua sortzen den masarantz doa.

EREMU GRABITATORIOAREN GAINEZARMEN PRINTZIPIOA Demagun grabitazio eremua M1, M2, M3, …, Mn masadun gorputzek osatzen dutela (esaterako, gure Eguzki-sisteman gertatzen den bezala). Puntu jakin batean gorputz horiek guztiek sortzen duten grabitazio eremuaren intentsitatea kalkulatzeko GAINEZARMEN PRINTZIPIOA erabili dezakegu: izan ere, gorputz bakoitzak intentsitatea eragingo du puntu horretan eta intentsitate horien batuketa bektoriala eginez lortuko dugu grabitazio eremuaren intentsitate osoa. Beraz:

M1 eta M2 masadun bi objektuen kasuan (masak puntualak direla jota) sortutako grabitazio eremuaren intentsitatea honakoa da:

7 1.Gaia: Elkarekintza grabitatorioa

EREMU GRABITATORIOAREN IRUDIKAPEN GRAFIKOA Eremu grabitatorioa bezalako indar eremu bat bere INDAR LERROEN bitartez adierazi daiteke. Indar lerro hauek, masa unitate batek eremuaren eraginez desplazatzerakoan, jarraituko lukeen bidea adierazten dute. Indar lerroak irudikatzeko zera izan behar dugu kontutan: puntu bakoitzean eremu grabitatorioaren intentsitatea lerro hauekiko ukitzailea izan behar da eta bere norantza lerro hauen berdina izan behar da. Lerro hauek, eremuak sortzen duen gorputzaren masan dute jatorria eta beste masa batean edo infinituan bukatzen dira, beraz, ez dira lerro itxiak. Bestalde, eremu lerroen dentsitatea (lerroekiko perpendikularki kokatutako azalera unitate bakoitza zeharkatzen duen lerro kopurua) eremu grabitatorioaren intentsitatearen moduluarekiko proportzionala izan behar da. Honen arabera eremu grabitatorioak intentsitate handiagoa du eremu lerroak ondo-ondoan aurkitzen diren eskualdeetan.

Kontutan hartzekoak Grabitazioa Einsteinen Arabera: Albert Einstein fisikari alemaniarrak, masa batek, berau inguratzen duen espazioa nola perturbatzen duen azaltzeko, ondorengo eredua proposatu zuen. Oihal elastiko baten erdian bola astun bat kokatzen badugu, bere pisuaren ondorioz oihala deformatzen du erdiko puntuan. Ondoren, beste bola arinago bat lehenengoarekiko gertu kokatzen badugu, ohartuko gara bolatxoaren ibilbidea pixkanaka desbideratzen dela bola astunerantz inguratuz. Eguzkiak bere inguruan sortzen duen eremu grabitatorioaren ondorioz, Lurraren mugimendua Eguzkiaren inguruan era beretsuan gertatzen dela suposa dezakegu. (Ordiziako Jakintza ikastolako web orrialdetik hartuta)

8 1.Gaia: Elkarekintza grabitatorioa

1.6 ENERGIA POTENTZIAL GRABITATORIOA. POTENTZIAL GRABITATORIOA Indar-eremutik abiatuta, energia potentzial grabitatorioa ondorioztatu

5

Energia potentzialaren jatorriaren hautaketa

1

Potentzial grabitatorioa definitu. Eremuaren lanarekin duen erlazioa ondorioztatu

4

Orain arte Dinamikako adibide guztietan Energia potentziala kalkulatzeko, Lurraren gainazala hartu dugu erreferentzi puntu bezala: Ep(gainazalean) = 0. Baina ikusi dugun bezala g distantziarekin aldatzen denez, r =  erreferentzi puntua hartuko dugu, eta puntu horretan, energi potentziala zero izango da. r=∞ denean gorputzak ez du Lurrera erortzeko joerarik, Lurraren erakarpen indarrak ez baitio eragiten. Ep(∞)=0 Ikusi dugun bezala, eremu grabitatorioa indar eremua da, eta gainera kontserbakorra: partikula bat bi punturen artean desplazatzen denean egindako lanak ez du zerikusirik ibilbidearekin, bi puntuen posizioarekin bakarrik. WAB  E p Definizioa: m masak espazioko puntu batean duen energia potentzial grabitatorioa masa hori puntu horretatik infinituraino eramatean eremu grabitatorioak egiten duen lana da. Indar grabitatorioa, ondokoa da:

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

“r” puntuan dagoen Ep kalkulatzeko, orduan kalkulatuko dugu egin behar den lana dagoen puntutik infinitura eramateko, non esan dugun bezala Ep(∞)=0. .

∫ ⃗

⃗

1 | |

∫ 0

ENERGIA POTENTZIALAREN ESANAHI FISIKOA M masa duen gorputz baten erakarpenean dagoen inguruneko puntu batean m masa ezartzerakoan, azken masa honek Ep bat lortzen du. Ep hau magnitude eskalarra da eta SI sisteman Jouletan ematen da. Ep(∞) = 0 da eta masaren hurbilera joaten garen heinean balio negatiboak hartzen ditu, beraz lurrera hurbildu ahala, bere balioa txikiagotu egiten da. Lan positiboa (W >0) 

M masa eremu grabitatorioko indarren

Lan negatiboa (W VB Lan positiboa (W >0) Gorputzak bere kabuz higitzen dira.

VA < VB Lan negatiboa (W0 edo