Geraden in der Ebene und Zerlegung von Graphen Proseminar: Beweise aus dem Buch am 17.01.2015 von Ina Seidel

1 Historisches zu Sylvester und Gallai James Joseph Sylvester * 1814, † 1897 war britischer Mathematiker.Unter anderem arbeitete er an der Theorie von Matrizen und Determinanten. Die Bezeichnung Matrix wurde 1850 von Sylvester eingef¨ uhrt, ebenso ist der Tr¨ agheitssatz von Sylvester (den wir aus LinAlg 2 kennen) nach ihm benannt.1893 formulierte er dann den Satz, bzw. das Problem mit welchem sich dieser Vortrag besch¨ aftigt. Tibor Gallai * 1912 ,† 1992 war ein ungarischer Mathematiker, der sich insbesondere mit Graphentheorie besch¨aftigte. Nachdem er den E¨ otv¨ os-Wettbewerb gewonnen hatte, konnte er ab 1930 in Budapest Mathematik studieren, was sonst f¨ ur Juden im damaligen Ungarn eingeschr¨ankt war.1933 bewies er den Satz von Sylvester.

2 Satz von Sylvester und Gallai Satz 1: F¨ ur jede Anordnung von endlich vielen Punkten in der Ebene, die nicht alle auf einer Geraden liegen, gibt es eine Gerade, die genau zwei der Punkte enth¨alt. Beweisskizze: • Anleitung zum Finden/Konstruieren der Geraden l0 , die genau 2 der Punkte enth¨ alt – betrachte alle Paare (P,l), f¨ ur die l eine Gerade durch mindestens 2 Punkte ist und P ein Punkt ist, der nicht in l liegt – w¨ ahle das Paar, bei welchem der Abstand zwischen P und l minimal ist. Diese Gerade l0 , des Paares ist die Gesuchte. • Beweis durch Widerspruch, dass l0 tats¨achlich nur genau 2 Punkte enth¨alt

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– Widerspruchsannahme: l0 enth¨alt mindestens 3 Punkte

satz 1.PNG – l1 hat von P1 einen kleineren Abstand, als l0 von P0

2.1 Satz von Erd¨ os und Bruijn als Folgerung von Satz 1 Satz 2: Sei P eine Menge von n ≥ 3 Punkten in der Ebene, die nicht alle auf einer Geraden liegen. Dann besteht die Menge L der Geraden, die durch mindestens zwei Punkte in P gehen, aus mindestens n Geraden. Beweisskizze: Beweis durch Induktion: • Induktionsanfang: n=3 • Induktionsannahme: Sei Satz 2 f¨ ur n Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen bereits gezeigt. • Induktionsschluss: F¨ ur eine Menge von n+1 Punkten gibt es mit Satz 1 eine Gerade, die genau zwei Punkte P und Q enth¨alt. Entferne Q – Fall 1: die u ¨brigen n Punkte liegen auf einer Geraden

– satz 2.PNG – Fall 2: sie liegen nicht auf einer Geraden, d.h. Induktionsannahme ist anwendbar

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3 Verallgemeinerung von Satz 2 3.1 Formulierung des Satzes Satz 3: Sei X eine endliche Menge von n ≥ 3 Elementen, und seien A1 , . . . , Am echte Teilmengen von X, so dass jedes Paar von Elementen in X in genau einer der Mengen Ai enthalten ist. Dann gilt m ≥ n.

3.2 Inzidenzgeometrien Im Beweis von Satz 1 und somit auch in Satz 2 wurden zum Beispiel Ordnungsaxiome (”P1 liegt zwischen Q und P2 ”) verwendet, oder metrische Axiome (”kleinster Abstand”). Dinge, die durch Anschauung klar sind und vor 1900 auch nicht mathematisch exakt (im heutigen Sinne) definiert waren. Hilbert formulierte dann um 1900 erstmals ein Axiomensystem in der Geometrie. Die von Hilbert verwendeten Begriffe Punkt“, Gerade“, ” ” Ebene“ etc. haben keinen Bezug zur Anschauung mehr, wie es noch Euklid (300 v. ” Chr.) versucht hatte (z. B. Ein Punkt ist, was keine Teile hat.“), sondern sind rein ” axiomatisch definiert. Gruppe 1: Axiome der Inzidenz • Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g. • Irgend zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden bestimmen diese Gerade. • Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte. Gruppe 2: Axiome der Anordnung Die abgebildete Graphik erf¨ ullt geh¨ort zur Gruppe 1. Erf¨ ullt aber nicht die Axiome der Anordnung, daher sind die Voraussetzungen von Satz 1 nicht erf¨ ullt. Satz 3 dagegen verwendet nur die Inzidenzaxiome. Beim Beweis kann daher nicht auf Satz 1 zur¨ uckgegriffen werden.

ebene.PNG

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3.3 Anwendung auf die Graphentheorie Satz 4: Wenn wir den vollst¨ andigen Graphen Kn so in m kleinere Cliquen zerlegen, dass jede Kante in genau einer der Cliquen liegt, dann ist m ≥ n.

4 Weiterer Satz u ¨ber Zerlegung von Graphen Satz 5: Wenn man den vollst¨ andigen Graphen Kn in vollst¨andige bipartite Subgraphen H1 , . . . , Hm zerlegt, dann ist m ≥ n − 1. Und es existiert eine Zerlegung, f¨ ur die Gleichheit gilt. Beweisskizze: 1. Existenz:

zerlegt.PNG 2. Besser geht es nicht: • Bezeichne die Knotenmenge V von Kn mit 1,. . . ,n Ordne jedem Knoten i eine Variable xi zu Bezeichne die unabh¨ angigen Mengen, der bipartiten Graphen Hj , j=1,. . . ,m mit Lj und Rj • dann gilt: X i