6. Dar s t el l ungvonGr aphen Vor l es ung: Mo, 11: 00–13: 00, I NF368–432 Do, 11: 00–13: 00, I NF350–OMZ, U014 Übung: Mo, 9: 00–11: 00, I NF350–OMZ, U011 J Pr of . Dr . Hei k eL ei t t e–ht t p: / / www. i wr . uni hei del ber g. de/ gr oups / CoVi s /

I nhal t s ver z ei c hni s

1.E i nf ühr ung 2.Da t ent y pe n, Da t enr epr ä s e nt a t i onundVi s ua l i s i er ungs pi pe l i ne 3.Wa hr ne hmung 4.S k a l a r da t en 5.I nt er a k t i onundDa t enex pl or a t i on 6.Vek t or f el dda t e n 7.Gr aphen

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

2

I nhal t s ver z ei c hni s 7.Dar s t el l ungvonGr aphen 1.Gr a phent he or i e 1. De f i ni t i one nundGr undbegr i f f e 2. Gr undk onz ept edesGr a phz e i c hnens 3. Zei c he ns t r a t egi en 4. T a x onomi edesGr a phz e i c hnens 2.L a y out a l gor i t hmenf ürBä ume 1. Kl a s s i s c hesBa uml a y out 2. Ma t r i x l a y out 3. 3DL a y out( Bot a ni c a l T r ee s ) 3.L a y out a l gor i t hmenf üra l l gemei neGr a phe n 1. Kr a f t ba s i er t eAns ä t z e 2. Hi er a r c hi s c heDa r s t el l ung

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

3

Rel at i onal eDat en

●

Hä uf i gbes i t z e ndi ez uv i s ua l i s i e r e ndenE nt i t ä t ene i ne i nhä r ent eRel a t i on( Bez i ehungoderAbhä ngi gk ei t ) . I ndi es em F a l l e i gne ns i c hGr a phena l sRepr ä s ent a t i on, wobei Knot endi e E nt i t ä t enundKa nt endi eRel a t i onda r s t el l en.

●

E i nei nf a c he sBei s pi el f ürs ol c her e l a t i ona l enDa t e ni s tdi e Ver z ei c hni s hi er a r c hi eei nesComput er s y s t ems , di ema ns i c h a l sBa ums t r uk t urv or s t el l enk a nn. Aufdem Comput ers i nddi e Da t eni nOr dner nges pei c he r t , wel c hes el bs twi eder Unt er or dne rha ben. T y pi s c heF r a ges t el l ungens i nd: –

I nwel c hem Or dner / Wobef i ndei c hmi c h?

–

Woi s tdi ege s uc ht eDa t ei r e l a t i vz um a k t uel l enOr dne r ?

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

4

Or gani gr amm ei nerFi r ma

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

5

Soz i al eNet z wer ke

[DaoMuCun ] Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

6

Sc hal t pl äne

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

7

Met abol i s c heNet z wer ke

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

8

Rel at i onal eDat en

●

T y pi s c heAnwendungens i nd –

Or ga ni gr a mm ei nerF i r ma

–

Pr oj e k t ma na gment( z . B. Pr oj ec tE v a l ua t i ona ndRev i ewT ec hni que-PE RT )

–

S oz i a l eNet z wer k e

–

T a x onomi ebi ol ogi s c herAr t en( bei Abs t a mmung: phy l ogene t i s c heBä ume)

–

Bi oc he mi s c heRea k t i one n, s pe z i el l S t of f we c hs el s y s t e me

–

Abhä ngi gk ei t enbei Ge ne x pr e s s i on

–

Ähnl i c hk ei t env onDok ument en

–

S e ma t i s c heNet z wer k eundWi s s ens r e pr ä s ent a t i ons di a gr a me

–

Webs ei t enundi hr eL i nk s

–

S z enengr a phe nundv i r t uel l eRea l i t ä t

–

Da t e ns t r uk t ur e n, i ns bes onder ebei Compi l er n

–

S t r uk t ur e nobj ek t or i ent i er t eS y s t eme( Kl a s s enhi er a c hi e, Da t enf l us s )

–

Rea l z ei t s y s t em ( Zus t a nds di a gr a mme)

–

S c ha l t k r e i s ent wur f( v er yl a r ges y s t em i nt egr a t i onVL S I )

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

9

I nhal t s ver z ei c hni s 7.Dar s t el l ungvonGr aphen 1.Gr aphent heor i e 1. De f i ni t i one nundGr undbegr i f f e 2. Gr undk onz ept edesGr a phz e i c hnens 3. Zei c he ns t r a t egi en 4. T a x onomi edesGr a phz e i c hnens 2.L a y out a l gor i t hmenf ürBä ume 1. Kl a s s i s c hesBa uml a y out 2. Ma t r i x l a y out 3. 3DL a y out( Bot a ni c a l T r ee s ) 3.L a y out a l gor i t hmenf üra l l gemei neGr a phe n 1. Kr a f t ba s i er t eAns ä t z e 2. Hi er a r c hi s c heDa r s t el l ung

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

10

Gr aphen

●

●

●

di eE l ement ev onEs i nd E i nGr aphi s tei nPa a rG = (V, E) di s j unk t erMengenmi tE ⊆ [V]²; a l s o2el ement i geT ei l mengenv onV. Di eE l ement ev onV nenntma ndi eEc ken( oderKnot en) desGr a phe nG, di eE l ement eE s ei neKant en. Gr a phenk önne nbi l dha f tda r ges t el l twer den. Hi er bei wer dendi eKnot ena l sPunk t e gez e i c hnetundKa nt ena l sVer bi ndungs l i ni enz wi s c he ndenent s pr e c hendenPunk t en. ( Di e Anor dnungderPunk t e, s owi ederVer l a ufderKa nt enk önne nf r ei gewä hl twer denunds i nd l edi gl i c hv onZwec k mä ßi gk ei tundÄs t he t i ka bhä ngi g) .

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

11

Bes t andt ei l evonGr aphen

●

●

●

●

●

E i nGr a phG = (W, F) i s tei nGr a phaufW. Di eKnot enmengeW ei ne sGr a phe nbez e i c hnenwi rmi tV( G) , s ei neKant enmengeFmi t E ( G) . S t a t tv∈V (G ) oder e∈ E (G ) s c hr ei be nwi rgel egent l i c ha uc hv∈G odere ∈G . De rGr a phhe i ßtendl i c hbz w. unendl i c hj ena c hdem, obV(G) endl i c hoderunendl i c hi s t . S t a t t|V(G)| s c hr e i benwi ra uc h|G| undnennen|G| di eOr dnungv onG; s t a t t|E(G)| s c hr ei benwi r||G||. De nl eer enGr aphen(∅, ∅ ) bez e i c hnenwi rk ur zmi t∅ .

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

12

Lagebez i ehungenvonKnot enundKant en

●

E i nKnot env undei neKa nt ee i nz i di er enmi t ei na nderundhei ßeni nz i dent , wenn v ∈ e gilt.

●

Die beiden Knoten einer Kante sind ihre Endknoten, und sie verbindet diese Knoten.

●

Für eine Kante {x,y} schreiben wir kürzer auch xy (oder yx).

●

● ●

Zwei Knoten x, y von G sind (adjazent oder) benachbart in G und heißen Nachbarn voneinander, wenn xy ∈ E(G) ist. Zwei Kanten e ≠ f sind benachbart, falls sie eine gemeinsamen Endknoten haben. Sind je zwei Ecken von G benachbart, so heißt G vollständig. Einen vollständigen Graphen auf n Ecken bezeichnen wir mit Kn; K³ ist ein Dreieck.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

13

Übung 1

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

14

Gr adei nesKnot enundAdj az enz mat r i x

●

●

●

E ss ei G = (V, E) ei n( ni c htl eer e r ) Gr a ph. Di eMengederNac hbar nei ne rE c k ev bez e i c hnen wi rmi tNG(v), oderk ur zN(v). De rGr ad( oderdi eVal enz )dG(v) = d(v) ei nerE c k ev i s tdi eAnz a hl |E(v)| dermi tv i nz i dent enKa nt en; na c huns er e rDe f i ni t i onei nesGr a phe ni s tdi esger a dedi eAnz a hl der Na c hba r nv onv. E i nGr a phG = (V, E) mi tnKnot enk a nndur c hdi en×n Adj az enz mat r i xA bes c hr i ebe n wer den, wobe i Auv = 1, wenn{u , v }∈E undAuv =0s ons t . Di eAdj a z enz ma t r i xei ne s ( unger i c ht et en) Gr a pheni s ti mme rs y mmet r i s c h.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

15

Tei l gr aphenundUnt er gr aphen

●

Wi rs et z en G∪G ' :=V ∪V ' , E ∪E '  und

●

●

●

G∩G ' :=V ∩V ' , E ∩E ' 

I s tG∩G ' =∅ , s ohe i ßenG undG' di s j unkt . Gi l tV ' ⊆V und E ' ⊆E s oi s tG' ei nTei l gr aphv onG, undG ei nOber gr aphv onG', ges c hr i eben G ' ⊆G .I nf or mel l s a genwi rhä uf i g, da s sG denGr a phenG' ent häl t . De rT ei l gr a phG' hei ßti nduz i er toderauf ges pannt( v onV' i nG) , wennera l l eKa nt enxy ∈ E mit x,y ∈ V' enthält. E i nens ol c he ni nduz i er t enT ei l gr a phe nne nne nwi rei ne n Unt er gr aphen. Wi rbez e i c hne nG' da nna uc hmi tG[V'].

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

16

Pf adeundKr ei s e

●

E i nWegi s tei nni c htl eer e rGr a phP = (V, E) derF or m

V ={x 0 , x1 , , x k }

E ={ x 0 x 1 , x 1 x 2 , , x k−1 x k },

wobe i di exi pa a r wei s ev er s c hi edens i nd. Di eKnot enx0 undxk s i nddi eEndknot env onP; s i es i nddur c hP ver bunden. ●

●

Di eAnz a hl derKa nt enei ne sWegesi s ts ei neLänge; denWegde rL ä ngek bez e i c hnenwi r mi tPk. I s tP = x0...xk-1 ei nWegundk ≥ 3, so ist der Graph C := P + xk-1x0 ein Kreis (oder Zyklus). Die Länge eines Kreises ist wieder die Anzahl seiner Kanten, und den Kreis der Länge k bezeichnen wir mit Ck. Ein Graph ohne Zyklus heißt azyklisch.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

17

BäumeundWäl der

●

E i nni c htl eer e rGr a phhe i ßtz us ammenhängend, wennerf ürj ez wei s ei nerE c k e nx, y ei ne nx y Wegent hä l t . E i nma x i ma l z us a mmenhä ngenderT ei l gr a phv onG i s tei ne ( Zus ammenhangs ) Komponent ev onG.

●

E i nGr a ph, derk ei ne nKr ei sent hä l t , i s tei nWal d.

●

●

E i nz us a mmenhä ngenderWa l di s tei nBaum. ( E i nWa l di s ts omi tei nGr a ph, des s en Kompone nt enBä umes i nd. ) Di eE c k env om Gr a d1ei nesBa umess i nds ei neBl ät t er( a us genommeni s thi er bei der Wur z e l k not en) .

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

18

Ger i c ht et eGr aphen

●

●

●

●

●

●

E i nger i c ht et erGr aphoderDi gr aphG=(V, E) bes t ehta use i ne rendl i c he nMengeV v on Knot enundei nerendl i c henMengeE⊂V ×V ger i c ht et erKa nt en. E i neger i c ht et eKant e( u,v) i s te i naus gehendeKant ef üru undei neei ngehendeKant e f ürv. E i neger i c ht et eKa nt e( u, v) mi tu = v he i ßtSc hl i nge. Knot enohnea us gehe ndeKa nt enhei ßenSenken. Knot enohneei ngehe ndeKa nt en he i ßenQuel l en. De rI ngr adv onv i s tdi eAnz a hl ei nge he nderKa nt en. De rAus gr adv onv i s tdi eAnz a hl a us gehenderKa nt en. E i nger i c ht et erWegi nG i s tei neF ol ge( v1, v2, ..., vh) v onKnot eni nG, s oda s s( vi, vi+1) ei ne ger i c ht et eKa nt ei nG f üri = 1,...,h-1 i s t .

●

E i nger i c ht e t erWeghe i ßtZykl us , f a l l s( vh, v1) ei neger i c ht et eKa nt ei nG i s t .

●

E i nger i c ht et eraz ykl i s c herGr aph( DAG) i s tei nger i c ht et erGr a phohneZy k l us .

●

Zuei nem ger i c ht et enGr a phenG' gi btesi mmere i ne nGr a phG, derdur c h„ Ver ges s ender Or i e nt i er ungderKa nt en“ent s t eht

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

19

Übung 2

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

20

Zei c hnungei nesGr aphen

●

E i neZei c hnungei ne sGr a phenoderDi gr a phe nG i s tei neAbbi l dungG v om Gr a phe ni n di eE bene , di ej edem Knot env ei ne nPunk tG(v) undj ederKa nt e{ u, v} ei neof f ene J or da nk ur v eG(u,v) z uor dne t , di edi ePunk t eG(u) undG(v) a l sE ndpunk t eha t . ( Di eger i c ht et enKa nt endesDi gr a phe nwer deni nderRegel a l sPf ei l egez ei c hnet . )

●

E i neZei c hnungei ne sGr a phenoderDi gr a phe nhe i ßtpl anar , wenns i c hdi eKur v enz wei er v er s c hi edene rKa nt enhöc hs t ensi ndenE ndpunk t ens c hnei den.

●

●

E i nGr aphoderDi gr a phhei ßtpl anar , wennesmi ndes t ensei nepl a na r eZei c hnunggi bt . Ma nbea c ht e, da s sni c hta l l eGr a phe npl a na rs i ndundda s sna c hderE ul er f or mel ei n pl a na r e rGr a phmi tnKnot enhöc hs t ens3n6Ka nt enha benk a nn.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

21

Pl anar eZei c hnungendesgl ei c henGr aphen

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

22

Fac et t enundPl anar eEi nbet t ung

●

●

●

●

●

E i nepl a na r eZei c hnungei ne sGr a phe noderDi gr a phenz e r l egtdi eE benei nt opol ogi s c h v er bundeneRegi one n, di eFac et t engena nntwer den. Di eunbegr e nz t eF a c et t ewi r däußer eFac et t egena nnt . E i nepl a na r eZei c hnungbes t i mmtei nez i r k ul ä r eOr dnungde ri nz i dent enKa nt ena nj edem Knot endur c hUml a ufi m Uhr z ei ger s i nn. Zwei pl a na r eZei c hnungenhei ßenäqui val ent , wenns i edi egl ei c hez i r k ul ä r eOr dnunga na l l enKnot enf es t l egen. E i nepl anar eEi nbet t ungei ne sGr a phenode rDi gr a phenG i s te i neÄqui v a l enz k l a s s ev on pl a na r e nZei c hnungen. S i ewi r ddur c hF es t l egenderz i r k ul ä r enOr dnungenderi nz i dent en Ka nt ena nj edem Knot e nf es t gel egt . ( Aufderv or her i genF ol i el i ef er na , b, cdi egl ei c he, dda gegenei nea nder eE i nbet t ungdes Gr a phen. ) E i nei ngebet t et erGr aphbz w. ei ngebet t et erDi gr a phi s tei nGr a phbz w. Di gr a phmi tei ne r f es t gel egt enpl a na r enE i nbet t ung.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

23

Hyper gr aphen

●

E i nHyper gr aphi s tei nPa a r( V, E) di s j unk t erMengen, bei de mj edem E l ementv onE ei ne ni c htl eer eT ei l menge( bel i ebi gerMä c ht i gk ei t ) v onV i s t , d. h. j edeKa nt ek a nnme hr er e Anf a ngs -undE ndk not enha ben. J ederGr a phi s ta l s oei ns pez i el l erHy per gr a ph.

An example hypergraph, with X = {v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7} and E = {e1,e2,e3,e4} = {{v1,v2,v3}, {v2,v3}, {v3,v5,v6},{v4}}.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

[Guedes: Directed hypergraph planarity]

24

I nhal t s ver z ei c hni s 7.Dar s t el l ungvonGr aphen 1.Gr aphent heor i e 1. De f i ni t i one nundGr undbegr i f f e 2. Gr undkonz ept edesGr aphz ei c hnens 3. Zei c he ns t r a t egi en 4. T a x onomi edesGr a phz e i c hnens 2.L a y out a l gor i t hmenf ürBä ume 1. Kl a s s i s c hesBa uml a y out 2. Ma t r i x l a y out 3. 3DL a y out( Bot a ni c a l T r ee s ) 3.L a y out a l gor i t hmenf üra l l gemei neGr a phe n 1. Kr a f t ba s i er t eAns ä t z e 2. Hi er a r c hi s c heDa r s t el l ung

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

25

Vor über l egungen

●

Bei m Gr a phz ei c hneni s te swi c ht i gs i c hi m Vor f el dGeda nk enz uma c hen, wel c he k ombi na t or i s c henE i gens c ha f t enderGr a phha tz . B. ger i c ht et / unge r i c ht et , Ba um/ z y k l i s c h, pl a na r .

●

Di es esWi s s eni s ta usz wei Gr ündenwi c ht i g: –

E i ni geAl gor i t hmenf unk t i oni er e nnur / bes s erf ürei nebes t i mmt eAr tv onGr a ph.

–

Hä uf i gs ol l endi ek ombi na t or i s c he nE i gens c ha f t ende sGr a pheni nderZei c hnung he r v or gehobenwer den, z . B. da s sk ei neZy k el v or ha ndens i nd.

●

Wi c ht i gi s tebenf a l l sz ubedenk en, da s sesdenopt i ma l enGr a phz ei c he na l gor i t hmusni c ht gi bt( ni c htei nma l f ürei ne nbes t i mmt enGr a phen) , daGe s c hmä c k ers ehrv er s c hi edens i nd undMens c henhä uf i gunt er s c hi edl i c heDa r s t el l ungenbev or z ugen. Auc hda s Anwendungs gebi etha tei ne ngr oßenE i nf l us s .

●

E sha bens i c ha l l er di ngsi mL a uf ederZei tei ni geKonv e nt i one nhe r a us k r i s t a l l i s i er t , di eei ne gr obeOr i ent i er ungf ürei ngut esL a y outgeben.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

26

Konvent i onenf ürZei c hnungen E sgi btv er s c hi edeneZei c he nk onv ent i onen, di eent s c he i dendenE i nf l us sa ufdi e Aus l ege a l gor i t hme nv onGr a phe nha ben. Di egebr ä uc hl i c he nKonv ent i onens i nd:

●

●

●

●

Pol yl i ni enz ei c hnung: J edeKa nt ewi r da l s Pol y gonz ugge z e i c hne t . Ger adl i ni geZei c hnung: J edeKa nt ewi r da l s ge r a deL i ni egez e i c hnet . Or t hogonal eZei c hnung: J edeKa nt ewi r da l s Pol y gonz uga c hs enpa r a l l el erL i ni engez e i c hnet . Gi t t er z ei c hnung: Knot en, S c hni t t punk t eund Ka nt enk ni c k eha benga nz z a hl i geKoor di na t e n bz gl . ei nesf es t gel egt enk a r t es i s c he nGi t t er s .

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

27

Konvent i onenf ürZei c hnungen

●

●

Pl anar eZei c hnung: Ka nt ens c hne i dens i c hhöc hs t ensa nKnot e n. Auf wär t s z ei c hnung( bz w. Abwär t s z ei c hnung) : F üra z y k l i s c heger i c ht et eGr a phe n ( DAGs ) wi r dj e deKa nt ea l smonot ona ns t ei gende( a bs t ei gende) Kur v egez e i c hnet .

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

28

Äs t het i kkr i t er i en Äs t he t i s c heKr i t er i enf or mul i er e nWüns c hea ndi eZei c hnungei ne sGr a phen, di edi es e Zei c hnungmögl i c hs tguter f ül l ens ol l . Of ts i ndni c hta l l eKr i t er i en, ma nc hma l k ei ne sz u er r ei c henundeswi r de i ngut erKompr omi s sges uc ht . ●

●

●

●

●

●

Kant ens c hni t t e. Mi ni mi er ungderAnz a hl derS c hni t t punk t ev onKa nt en. Fl äc he. De rGr a phwi r da ufmögl i c hs tk l ei ne rF l ä c hegez e i c hnet . Di eF l ä c hewi r dz . B. dur c h ei neBoundi ngBoxoderdi ek onv ex eHül l egemes s en. Ges amt kant enl änge. Di eGes a mt k a nt enl ä ngewi r dmi ni mi er t . Auc hdi esi s tnurbei s k a l i er ungs una bhä ngi genZei c hnungens i nnv ol l . Maxi mal eKant enl änge. Di eL ä ngederl ä ngs t enKa nt ewi r dmi ni mi er t . Auc hdi esi s tnur bei s k a l i er ungs una bhä ngi genZei c hnungens i nnv ol l . Gl ei c hf ör mi geKant enl änge. Di eVa r i a nzderKa nt enl ä ngenwi r dmi ni mi er t . Ges amt anz ahl Kni c ke. Di eZa hl a l l erKni c k ea l l erKa nt ens ol l mi ni mi er twer den. Di esi s t bes onder sbei or t hogona l em Zei c hnens i nnv ol l .

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

29

Äs t het i kkr i t er i en

●

Maxi mal eKni c kanz ahl . Da sMa x i mum v onKni c k enei ne rKa nt ewi r dmi ni mi e r t .

●

Gl ei c hmäßi geKni c kanz ahl . Di eVa r i a nzderKni c k a nz a hl wi r dmi ni mi er t .

●

Wi nkel auf l ös ung. De rk l ei ns t ea uf t r e t endeWi nk el z wi s c henz wei Ka nt enwi r dma x i mi er t .

●

●

●

Sei t enver häl t ni s . Da sS e i t env er hä l t ni sdesk l ei ns t e nums c hr i ebenenRec ht ec k ss ol l na he1 s ei n. Symmet r i e. Di eS y mmet r i endesGr a phe ns ol l enmögl i c hs tguta bgebi l detwer den. Of twi der s pr ec hens i c hdi eÄs t he t i k k r i t er i en. F er ne rk a nna uc hei nei nz e l ne sKr i t er i um ni c hti mmerer f ül l twer den.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

30

Ei ns c hr änkungen Bei E i ns c hr ä nk ungenwer denT ei l gr a phe noderTe i l z e i c hnungenf es t gel egt , um bes t i mmt e Konv ent i one nei nz uha l t en. Hä uf i geBei s pi el ei nderVi s ua l i s i er ungs i nd: ●

Zent r um. E i ngege benerKnot enwi r di m Zent r um derZei c hnungf i x i e r t .

●

Außen. E i nbes t i mmt e rKnot enwi r dderä ußer e nF a c et t ebena c hba r t .

●

Cl us t er . E i negegebeneMengev onKnot e nwi r dna hbei ei na ndera ngeor dne t .

●

●

Li nks Rec ht s Fol ge. E i nv or gegebenerWegwi r dv onl i nk sna c hr e c ht sgez e i c hne t . ( Auc h v er t i k a l mögl i c h. ) For m. Zei c hneei nengegebenenT ei l gr a phe nmi tv or gege benerF or m.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

31

I nhal t s ver z ei c hni s 7.Dar s t el l ungvonGr aphen 1.Gr aphent heor i e 1. De f i ni t i one nundGr undbegr i f f e 2. Gr undk onz ept edesGr a phz e i c hnens 3. Zei c hens t r at egi en 4. T a x onomi edesGr a phz e i c hnens 2.L a y out a l gor i t hmenf ürBä ume 1. Kl a s s i s c hesBa uml a y out 2. Ma t r i x l a y out 3. 3DL a y out( Bot a ni c a l T r ee s ) 3.L a y out a l gor i t hmenf üra l l gemei neGr a phe n 1. Kr a f t ba s i er t eAns ä t z e 2. Hi er a r c hi s c heDa r s t el l ung

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

32

DerTopol ogi eFor mMet r i kAns at z Di es erAns a t zz i el tv ora l l em a ufor t hogona l eGi t t er z e i c hnungenundba s i er ta ufdr e i Ver f ei ne r ungs e benen:

●

●

●

Topol ogi e. Zwei or t hogona l eZei c hnungenha bendi e gl ei c heT opol ogi e, wenns i edur c hs t et i geDe f or ma t i on ohneVer ä nder ungderKa nt enf ol gederF a c et t en i ne i na nderüber f ühr twer denk önne n. For m. Zwei or t hogona l eZei c hnungenha bendi e gl ei c heF or m, wenns i edi egl ei c heT opol ogi eha ben undei neZei c hnunga usdera nder ennurdur c h L ä ngenä nder ungenbe i denL i ni ens egement en he r v or geht( Wi nk el bl ei bener ha l t en) . Met r i k. Zwei or t hogona l eZei c hnungenha bendi e gl ei c heMe t r i k , wenns i ek ongr uents i nd, a l s odur c h Ver s c hi ebenundDr e heni ne i na nderüber f ühr twer den k önnen

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

33

DerTopol ogi eFor mMet r i kAns at z Di eUms et z unger f ol gtdur c hdr e i ent s pr e c he ndeS c hr i t t e, bei denenna c hei na nderT opol ogi e, F or m undMet r i kopt i mi er twer de n. ●

●

●

Di ePl anar i s i er ungl egtdi eE i nbet t ungde sGr a phe n, a l s os ei neT opol ogi ef es t . Zi el da bei i s tesdi eAnz a hl derKa nt ens c hni t t ez umi ni mi er e n. Of twi r dz unä c hs tei nma x i ma l er pl a na r e rUnt er gr a phges uc htundei ngebet t et . Ans c hl i eßendwer dendi ev er bl ei benden Ka nt enei nz el nei ngef ügt , wobei j ewei l smögl i c hs tweni gÜber s c hne i dungener z eugt wer den. AndenÜber s c hnei dungenwer denHi l f s k not enei nge f ügt , um ei ne npl a na r e n Gr a phenz uer ha l t en. Di eOr t hogonal i s i er ungl e gtdi eF or m desGr a phe nf es t . S i el i ef er tei neor t hogona l e Repr ä s ent a t i ondesGr a phen. Di eKnot ener ha l t enk ei neKoor di na t enunddi eKa nt en l edi gl i c hWi nk el l i s t en, di ei hr eKni c k ef es t l egen. Di eMi ni mi er ungderKni c k ei s ti nderRegel da sHa upt z i el . Di eKompakt i f i z i er ungl egts c hl i eßl i c hdi eendgül t i genKoor di na t enderKa nt enundder Ka nt enk ni c k ef es t . I nderRegel wi r ddi eF l ä c hedesGr a phe nmi ni mi er t . Di eHi l f s k not en wer denent f er nt .

De t a i l sz udenPha s enf i ndens i c hi nderL i t er a t ur . [ J er on, J a r d. 3DL a y outofRea c ha bi l i t yGr a phsofCommuni c a t i ngPr oc es s es . Gr a phDr a wi ng' 94Pr oc eedi ngs , 1995, 2532] , [ J ünger , L ei per t , Mut z el . Pi t f a l l sofus i ngPQt r eesi na ut oma t i cgr a phdr a wi ng. Gr a phdr a wi ng' 97 Pr oc eedi ngs , 1997, 193204] [ Ba t t i s t a , E a des , T a ma s s i a , T ol l i s , Gr a phDr a wi ng, Pr ent i c eHa l l , 1999]

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

34

DerTopol ogi eFor mMet r i kAns at z–Äs t het i kkr i t er i en

●

Di edr e i S c hr i t t edesAl gor i t hmusgebendi eBedeut ungderdr e i Opt i mi er ungs k r i t er i en wi eder , di ev er f ol gtwer den: –

De rer s t eSc hr i t ti s tdi ePl a na r i s i er ung. Hi er bei wi r ddi eAnz a hl derKa nt e ns c hni t t e mi ni mi er t . Auc hdi er el a t i v eL a gederKnot eni m Gr a phe nwi r dbes t i mmt , et waobs i e eheri m Zent r um odera m Ra ndda r ges t el l twer dens ol l en. Wei t er hi nwi r ddur c hdi e r e l a t i v eL a gederKnot enz uei na nderdi eAnz a hl derBi egunge nde rKa nt en beei nf l us s t .

–

I mz wei t enSc hr i t twi r ddi eAnz a hl derKni c k ei ndenKa nt enopt i mi e r t . E sk önne n a uc hKa nt enbe s t i mmtwer de n, di ek ei neKni c k eent ha l t ens ol l en, i ndem di e E ndk not enent s pr ec hendges et z twer den.

–

Di el et z t eunda m weni gs t enwi c ht i geOpt i mi er unggi l tderF l ä c he. I ndi es em S c hr i t t k önnenwei t e r eÄs t he t i k k r i t er i enwi edi eKa nt enl ä ngeber üc k s i c ht i gtwer de n.

Planarisierung Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

Orthogonalisierung

Kompaktifizierung

35

DerTopol ogi eFor mMet r i kAns at z–Ei ns c hr änkungen

●

I nj e derderdr e i Pha s enk önnena uc hE i ns c hr ä nk ungengema c htwer den, s oda s sei ne bes t i mmt eS t r uk t urderZei c hnunger z wungenwi r d. –

Pl anar i s i er ung: F ürdi eKnot enk a nnei nebes t i mmt ePos i t i oni nner ha l bdes Gr a phe ner z wungenwer denoderesk a nnv er bot enwer den, da s ss i c hbes t i mmt e Ka nt ens c hnei den.

–

Or t hogonal i s i er ung: E sk a nnz . B. ge f or der twer den, da s sei nbes t i mmt erPf a dk ei ne Kni c k ea uf wei s t . Al t er na t i vk a nnei nebes t i mmt eS t r uk t urmi tei ne rv or gegebene n Kni c k f ol gei nv er s c hi edeneRi c ht ungenv or gege benwe r den, um z . B. ei ne gewüns c ht eGr obs t r uk t urv or z ugeben.

–

Kompakt i f i z i er ung: I nne r ha l bbes t i mmt erGr e nz endi edur c hdi ev or her i gen S c hr i t t egegebens i nd, k a nnz . B. di eL a gev onKnot enz ue i na nderbes t i mmtwer den ( ei ne rwei t erobe n, a l sdera nde r e ) .

Planarisierung Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

Orthogonalisierung

Kompaktifizierung

36

DerHi er ar c hi s c heAns at z Di es erAns a t zei gne ts i c hbes onder sf ürda sL a y outv onDAGsundv er wendetebenf a l l sdr e i S c hr i t t e. ●

●

●

De rSc hi c ht ungs s c hr i t tv er wa ndel tei ne nDAGi nei ne nges c hi c ht et enDi gr a phen, bei dem j edem Knot enei neE beneLi z ugeor dnetwi r d, s oda s sf üra l l eKa nt en( u,v) gi l t , da s s u∈ Li∧v∈ L j undi < j. Ans c hl i eßendwi r dei nec ht erges c hi c ht et erDi gr a phda r a us , i ndem a ufKa nt en, di eübermehra l sei neE benel a uf en, Hi l f s k not enei ngef ügtwer den, s o da s sj edeKa nt ege na uei neE beneüber s pa nnt . Bei derSc hni t t r edukt i oner ha l t endi eKnot e nei nerj e denS c hi c htei neRei he nf ol ge ( Or dnung) , wel c hedi eT opol ogi edesL a y out sbes t i mmt . Da bei wi r ddi eAnz a hl der Ka nt ens c hni t t emi ni mi er t . Da sFes t l egenderxKoor di nat enor dne tdenKnot enei ne rE benei hr ex Koor di na t enz u. F ürdi eendgül t i geZei c hnunger s et z tma nHi l f s k not e ndur c hKni c k e. Da bei k önne ndi e Kni c k emi ni mi er t( ma nor dnetdi eHi l f s k not ens oa n, da s ss i eei neGer a debi l den) oder S y mmet r i enbet ont( mi t t el shor i z ont a l em Ver s c hi eben) we r den.

Wi es c honi mF a l l edesT opol ogi eF or mMet r i kAns a t z eswi r da uc hhi erdur c hdi eAbf ol geder dr e i S c hr i t t eei neGewi c ht ungderÄs t he t i k k r i t er i enf es t gel egt .

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

37

DerHi er ar c hi s c heAns at z

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

38

DerHi er ar c hi s c heAns at z–Ber ec hnung

●

Hi er a r c hi s c heAns ä t z ek önne na uc hf üral l gemei neger i c ht et eGr aphen( mi tZy k el n) v er wendetwer den, wennma ni nei ne m Vor v er a r bei t ungs s c hr i t tdi eZy k el dur c hWec hs el derKa nt enor i ent i er ungent f er ntunds i ena c hBeendi gungdesL a y out swi ederz ur üc k s et z t .

●

Da sPr obl em derSc hni t t mi ni mi er ungz wi s c henz wei E bene ni s tber e i t sNPha r t , s oda s s Heur i s t i k enges uc htwe r den. E i neex z e l l ent eAr bei tz uger i c ht et enGr a phe ns t a mmtv on S ugi y a ma . [ K. S ugi y a ma , S . T a ga wa , a ndM. T oda , „ Met hodesf orVi s ua l Under s t a ndi ngofHi er a r c hi c a l S y s t emsS t r uc t ur es “ , I E E ET r a ns . S y s t ems , Ma n, a ndCy ber net i c s , v ol . 11, no. 2, pp. 109125, 1989]

●

E i neHeur i s t i k[ W. T ut t e, „ Howt oDr a waGr a ph“ , Pr oc . L ondonMa t h. S oc . , v ol . 3, no. 13, pp. 743768, 1963]l egtei neOr dnungderer s t enundl et z t e nE benef es tundf or der t , da s sj ederKnot en i mS c hwer punk ts ei ne rNa c hba r n( i m Gr a phe n) l i egt . Di esf ühr ta ufei nl i ne a r e s Gl ei c hungs s y s t em. E i ne nVer gl ei c hv onHeur i s t i k engebenL a gunaundMa r t i a n. [ M. L a gunaa ndR. Ma r t i , „ Heur i s t i c sa ndMet a Heur i s t i c sf or2L a y erS t r a i ghtL i neCr os s i ngMi ni mi z a t i on“ , URL : ht t p: / / wwwbus . c ol or a do. edu/ F a c ul t y / L a guna / , 1999] .

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

39

DerHi er ar c hi s c heAns at z–Bes c hr änkungen Zumei s twer denBes c hr ä nk ungenbez ügl i c hderAnor dnungderKnot engema c ht . S owi r dz um Bei s pi el gef or der t : ●

●

Sc hni t t r edukt i on: –

Bes t i mmt eKnot ens ol l eni nderMi t t ena ngeor dnets e i n.

–

Bes t i mmt eKnot ens ol l ena ufe i nerE benena hebei ei na ndera ngeor dne twer den.

Fes t l egenderxKoor di nat e: –

E i nebes t i mmt eF ol gev onKnot ens ol l a ufei ners enk r e c ht enGer a denunt er e i na nder l i egen.

Schichtung Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

Schnittreduktion

Festlegen der x-Koordinaten 40

DerSi c ht bar kei t s ans at z Di es erAns a t zdi entdem Aus l egenbel i ebi gerGr a phenmi t Pol y l i ni en. ●

●

●

Di ePl anar i s i er unggl ei c htdemj e ni geni mT opol ogi eF or mMet r i kAns a t z . Hi ergehteser neutv ora l l em um S c hni t t mi ni mi er ung. I m Si c ht bar kei t s s c hr i t twi r dei neS i c ht ba r k ei t s r epr ä s ent a t i ondesGr a phe nges c ha f f en. J edem Knot enwi r dei n hor i z ont a l esundj ederKa nt e{ u,v}e i nv er t i k a l es L i ni ens egmentz ugeor dne t , wobei da sKa nt ens egment s ei nenAnf a ngunds ei nE ndei nne r ha l bderz ugehör i gen Knot ens egment eha t . F er ne rs c hnei dendi e Ka nt ens egme nt eei na nderni c ht . De rEr s et z ungs s c hr i t ter z e ugtdi eendgül t i geZei c hnung desGr a phe ndur c hE r s et z e nj e deshor i z ont a l enS e gme nt s dur c hei nenPunk tundj edesv e r t i k a l enS egment sdur c h ei ne nKa nt enz ug. Di eKa nt enz üges ol l enda bei mögl i c hs t denS e gment ena usdem S i c ht ba r k ei t s s c hr i t tf ol gen. Hi er k a nnei neVi el z a hl v onS t r a t egi enei nges et z twer den.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

41

DerSi c ht bar kei t s ans at z–Äs t het i kkr i t er i en

●

De rS i c ht ba r k ei t s a ns a t zi s tei nMi t t el wegz wi s c he ndenbei denv or her gehe ndenAns ä t z e n. E rüber ni mmtdi epl a na r eAnor dnunga usdem T opol ogi eF or mMet r i kAns a t zunddi e ebene nba s i e r t eAnor dnunga usdem hi er a r c hi s c he nAns a t z .

●

E ser gi bts i c hf ol gendeBede ut ungv er s c hi e dene rÄs t he t i k k r i t er i en: –

Di eS c hni t t mi ni mi er ungi s twi ederda swi c ht i gs t eZi el desAl gor i t hmus ( Pl anar i s i er ungs s c hr i t t ) .

–

I m Si c ht bar kei t s s c hr i t twi r dv er s uc htdi ebenöt i gt eF l ä c hez umi ni mi er e n.

–

Derl et z t eS c hr i t t( Er s et z ung) l ä s s tRa um f ürdi eS pez i f i k a t i onenei ne rVi el z a hl v on Opt i mi er ungs k r i t er i en. S ok a nnz . B. a ufei nemi ni ma l eAnz a hl v onKni c k en, s t a r k e S y mmet r i eoderei negl ei c hmä ßi geVer t ei l ungderKnot eni m Ra um gea c ht et wer den.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

42

DerSi c ht bar kei t s ans at z–Bes c hr änkungen Bes c hr ä nk ungenk önnenf üra l l edr ei S c hr i t t ev or gegebenwer den. ●

●

Topol ogi s c heEi ns c hr änkungenk önne nent s pr e c he nddene ndesT opol ogi eF or mMet r i kAns a t z esgef or der twer den. Si c ht bar kei t s -undEr s et z ungs s c hr i t t –

Ver t i k a l eAus r i c ht ungv onKnot enei ne sbes t i mmt enPf a des .

–

Rel a t i v ePos i t i onz wei erKnot enz uei na nderi nderHor i z ont a l enund/ oderder Ver t i k a l en.

–

Vor ga bef ürdi eF or mv onKa nt en.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

43

DerEr wei t er ungs ans at z Auc hdi es erAns a t zz i e l ta ufPol y l i ni enz ei c hnungenundbes t ehta usdr e i S c hr i t t en. ●

●

●

Di ePl anar i s i er unggl ei c htdem T opol ogi eF or mMet r i kAns a t z . Hi e rge hte ser neutv or a l l em um S c hni t t v er mei dung. Di eVer f ei ner ungf ügtei negeei gne t eAnz a hl v onKa nt en( ev t l . a uc hKnot en) i ndi e E i nbe t t ungei n, um ei ne nma x i ma l enpl a na r enGr a phe nz uer z e ugen, d. h. a l l eF a c et t en ha benda nndr e i Ka nt enundwi rer ha l t enei neT r i a ngul i er ung. Dadi eQua l i t ä tdes Zei c hnensma x i ma l erGr a phe ni nderRegel v om Knot engr a da bhä ngt , wi r dbei mE i nf ügen v onneuenKa nt enmei s t ensv er s uc ht , denma x i ma l enKnot engr a dz umi ni mi er e n. Di eTr i angul i er ungs z ei c hnunger z e ugtdi eZei c hnungdur c hAus l egena l l erDr e i ec k eund a ns c hl i eßendesE nt f er nenderHi l f s k a nt enundHi l f s k not en. Al l eAl gor i t hmennut z e n s pez i el l eE i gens c ha f t enderT r i a ngul i er ung. ( Bei mE nt f er nenderHi l f s k not enent s t eheni n dur c hl a uf endenKa nt enKni c k e. )

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

44

DerEr wei t er ungs ans at z

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

45

DerEr wei t er ungs ans at z–Äs t het i kkr i t er i en

●

●

Pl anar i s i er ung: Daa uc hbei di es erS t r a t egi ewi edermi tei nerPl a na r i s i er ungbegonne nwi r d, gi l tdi egr ößt e Bedeut ungderMi ni mi er ungv onKa nt ens c hni t t en. Ver f ei ner ungundZei c hnenderTr i angul i er ung I ndenbei dena nder e nPha s enk önnenv er s c hi edeneÄs t het i k k r i t er i enopt i mi er twer den, di edur c hdi eE i gens c ha f t enderDr e i ec k ebes c hr i ebenwer den, wi ez . B. k l ei ne Ge s a mt f l ä c he , gut eWi nk el ei gens c ha f t en( a l s ok ei nes ehrs pi t z enWi nk el ) oder gl ei c hmä ßi geVer t ei l ungderVer t i c es .

Panarisierung

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

Verfeinerung

Zeichnen der Triangulierung 46

DerKr af t bas i er t eAns at z

●

●

Kr a f t ba s i e r t eAns ä t z es i ndi nt ui t i v eMet hodenf ürger a dl i ni geZei c hnungen( unger i c ht et er ) Gr a phen. Wegeni hr e rl ei c ht enVer s t ä ndl i c hk ei tundei nf a c henI mpl ement i er ungs i nds i e s ehrpopul ä r . E i ns ol c herAl gor i t hmuss i mul i er tei nS y s t em v onKr ä f t ena ufdem E i nga begr a phenundgi btei neZei c hnungmi ni ma l erE ner gi ea us . Da z ubenöt i gtma nz wei Zut a t en: –

Da sKr äf t emodel l . Of twi r dj edem Pa a rv onKnot enei neF e der„ na t ür l i c he rL ä nge“ z ugeor dne t , et wadi eAnz a hl derKa nt endesk ür z es t enWeges . Di eF eder n gehor c hendem F eder ges et zunder gebenei neKr a f tpr opor t i ona l z urDi f f er e nzv on na t ür l i c he rL ä ngeundL ä ngei nde ra k t uel l enZei c hnung.

–

E i neTec hni kz urEner gi emi ni mi er ung. I nde rRegel wer denhi e rnumer i s c he T ec hni k enei nge s et z t , et waei nf a c hei t er a t i v eAns ä t z ez urL ös unggewöhnl i c he r Di f f er e nt i a l gl ei c hungen.

Di eser gi btof tqua l i t a t i vgut e, hoc hs y mmet r i s c heZei c hnungenmi tgl ei c hmä ßi ger Knot env er t ei l ung. E i ns c hr ä nk ungenk önnenbea c ht etwer den. [ A. F r i c k , A. L udwi g, a ndH. Mehl da u, „ AF a s tAda pt i v eL a y outAl gor i t hm f orUndi r ec t edGr a phs “ , Pr oc . S y mp. Gr a phDr a wi ngGD' 93, pp. 389403, 1994]

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

47

DerKr af t bas i er t eAns at z–Äs t het i kundBes c hr änkungen

●

●

Äs t het i k: Kr a f t ba s i e r t eAns ä t z el i ef er ni ma l l gemei ne ns ehrs c höneDa r s t el l ungen. Di es ewei s enof t ei nehoheS y mmet r i ea ufundv er t ei l endi eKnot engl ei c hmä ßi gi m Ra um. Bes c hr änkungen: Kr a f t ba s i e r t eAns ä t z ek önne ndur c hv i el f ä l t i gePa r a met erbeei nf l ußtwer den. S ok önnen z . B. di eKa nt enl ä ngenunt er s c hi edl i c hgr oßgewä hl twer denunds oer z wungenwer den, da s sbes t i mmt eKnot enna hebei ei na nderl i egenunda nder ewei t erent f er nts ei nk önne n. Außer dem k a nnl ei c htei ner ä uml i c heBes c hr ä nk ungv or gegebenwer deni nner ha l bder e r derGr a phgez ei c hne twer dens ol l .

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

48

DerDi vi deandConquerAns at z

●

Di es esbel i ebt eI nf or ma t i k pr i nz i pwi r da uc hbei Zei c hnungenv onGr a phenger nebenut z t .

●

E rbes t ehta usdr e i S c hr i t t en:

●

–

Di vi de: Zuer s twi r dderGr a phi nT ei l gr a phenz e r l egt .

–

Conquer : Di es enwer denr ek ur s i vgez e i c hnet .

–

Zus ammenf ügen: I ml e t z t enS c hr i t twer dendi eTe i l gr a phe nz uei ne rZei c hnung z us a mmengef ügt .

F ürdi es enAns a t zei gnens i c hnurGr a phe n, di el ei c hti nT ei l gr a phenz er l egtwer den k önnen. Bes onder sgeei gne ti s tderDi v i de&Conquer Ans a t zf ürBä ume.

Anwendung: Treemap

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

49

I nhal t s ver z ei c hni s 7.Dar s t el l ungvonGr aphen 1.Gr aphent heor i e 1. De f i ni t i one nundGr undbegr i f f e 2. Gr undk onz ept edesGr a phz e i c hnens 3. Zei c he ns t r a t egi en 4. Taxonomi edesGr aphz ei c hnens 2.L a y out a l gor i t hmenf ürBä ume 1. Kl a s s i s c hesBa uml a y out 2. Ba ummos a i k( T r e ema p) 3. 3DL a y out( Bot a ni c a l T r ee s ) 3.L a y out a l gor i t hmenf üra l l gemei neGr a phe n 1. Kr a f t ba s i er t eAns ä t z e 2. Hi er a r c hi s c heDa r s t el l ung

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

50

Gr unds t r ukt urvonZei c henal gor i t hmenf ürGr aphen

●

I mv or her gehe ndenAbs c hni t tha benwi runsv er s c hi ede neGr undi deenf ür Zei c he na l gor i t hmena nges ehe n. Di es ewer denhä uf i ga uc hi nKombi na t i onv er wende t . I m F ol gende nbet r a c ht enwi rnoc hei nea l l ge mei neT a x onomi e( Kl a s s i f i k a t i ons s c he ma )z ur Bes c hr ei bungv onZei c he na l gor i t hmenf ürGr a phen.

●

Di eei nf a c heS t r uk t urr ec ht f er t i gts i c hdur c hz wei wes ent l i c hBeoba c ht ungen: –

I s tei nAl gor i t hmusa ufei nens pez i el l enGr a phe nG' a nwendba r , s oi s te ra uc ha uf des s ena l l gemei ne r eVa r i a nt eGa nwendba r .

–

Gr a phena l gor i t hmenent s pr e c he nei ne rVer a r bei t ungs k e t t e , di ea usmehr e r e n una bhä ngi genBa us t ei ne nbes t eht . Da bei wer denna c hundna c hz us ä t z l i c hDe t a i l si n di eDa r s t e l l ungdesGr a phenei ngef ügt . Di eE i nga beei ne sj edenS c hr i t t e si s tei n Gr a ph, ebens owi ede s s enAus ga be. De swei t er e nk önnenne ueAl gor i t hmen ent wi c k el twe r deni ndem S c hr i t t ea use x i s t i er e nde nAl gor i t hmenneuv er k nüpf t wer den.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

51

Taxonomi e

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

52

Taxonomi e

Topologie-Form-Metrik Hierarchisch Sichtbarkeit Erweiterung

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

53

I nhal t s ver z ei c hni s 7.Dar s t el l ungvonGr aphen 1.Gr a phent he or i e 1. De f i ni t i one nundGr undbegr i f f e 2. Gr undk onz ept edesGr a phz e i c hnens 3. Zei c he ns t r a t egi en 4. T a x onomi edesGr a phz e i c hnens 2.Layout al gor i t hmenf ürBäume 1. Kl as s i s c hesBauml ayout 2. Ba ummos a i k( T r e ema p) 3. 3DL a y out( Bot a ni c a l T r ee s ) 3.L a y out a l gor i t hmenf üra l l gemei neGr a phe n 1. Kr a f t ba s i er t eAns ä t z e 2. Hi er a r c hi s c heDa r s t el l ung

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

54

Tr aver s i er envonBäumen

●

T r a v er s i er e nei ne sBa umesbez e i c hnetda sDur c hl a uf e ns ei nerKnot en. Hi er bei gi btes v er s c hi edeneS t r a t egi een: –

pr eor deroderHa upt r e i he nf ol ge( W–L–R) : E swi r dz uer s tdi eWur z e l bet r a c ht e t , da nnl i nk eT ei l ba um dur c hl a uf enunda bs c hl i eßendde rr ec ht e.

–

i nor deroders y mmet r i s c heRei henf ol ge( L–W–R) : E swi r dz uer s tderl i nk eT ei l ba um dur c hl a uf en, a ns c hl i eßendwi r ddi eWur z el bet r a c ht e tundz ul et z tderr e c ht e T ei l ba um dur c hl a uf en.

–

pos t or deroderNebenr ei henf ol ge( L–R–W) : E swi r dz uer s tderl i nk e, da nnder r ec ht eT ei l ba um dur c hl a uf enunda bs c hl i eßenddi eWur z e l bet r a c ht et .

–

l ev el or deroderBr ei t ens uc he: Be gi nne ndbe i derWur z e l , wer dendi eE bene nv on l i nk sna c hr ec ht sdur c hl a uf en. 1

4

2 3

5 4

6

7

2 7

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

1

6 3

5

3 7

1

6 2

4

5 55

Tr aver s i er envonBäumen

A

preorder(node) if node == null then return visit(node) preorder(node.left) preorder(node.right)

B D F

inorder(node) if node == null then return inorder(node.left) visit(node) inorder(node.right)

C E G

H

→ Übung

postorder(node) if node == null then return postorder(node.left) postorder(node.right) visit(node)

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

56

Zei c hnenvonBäumen

●

De rAl gor i t hmusvonRei ngol dundTi l f or d[ E . M. Rei ngol da ndJ . S . T i l f or d, „ T i di erDr a wi ngof T r ees “ , I E E ET r a ns . S of t wa r eE ng. , v ol 7, no2, pp. 223228, 1981]e r z e ugtei nek l a s s i s c heBa ums t r uk t ur f ürBä umemi ta us gez e i c hnet erWur z el mi tei ne mt y pi s c henDi v i dea ndConquerAns a t z .

●

Da bei s ol l di eZei c hnungei nesUnt er ba umsni c htv onKnot ena ußer ha l bdi es es Unt er ba umsbeei nf l us s twer den.

●

Di ev i erwes ent l i c he nÄs t het i kkr i t er i ens i nd: 1.Knot enei nerE benedesBa umesl i egena ufei ne rGe r a denunddi eGer a den, di eei ne E benebes c hr e i bens i ndpa r a l l el . ( I mpl i z i ti s tgemei nt , da s ss i c hKa nt enni c ht s c hne i den. ) 2.E i n„ l i nk er “Ki ndk not ens ol l l i nk sdesE l t er nk not enpos i t i oni er twer den, ei n„ r ec ht er “ r ec ht sda v on. 3.E i nE l t er nk not ens ol l mi t t i gz us ei ne nKi nder nl i egen. 4.E i nBa um unds ei neges pi egel t eVer s i one ns ol l enZei c hnungener gebe ndi edi es en Zus a mmenha ngwi der s pi egel n; Unt er bä umes ol l engl ei c hgez e i c hne twer den, ega l a nwel c he rPos i t i oni m Ba um s i ea uf t r e t en.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

57

Zei c hnenvonBäumen–Bei s pi el

Ursprünglicher Algorithmus, der die ersten drei Kriterien beachtet.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

Baumzeichnung mit dem Reingold Tilford Algorithmus

58

Wet her el l ShannonAl gor i t hmus De rAl gor i t hmusv onRei ngol dundT i l f or dv er bes s er tdenBa umz e i c hena l gor i t hmusv on Wet her el l undShannon( er s t endr e i Äs t het i k k r i t er i en) , derwi ef ol gtf unk t i oni er t : ●

S pei c he r ei nj edem Knot ens ei neE benei m Ba um, di esgi btdi ey Koor di na t edesKnot en.

●

Dur c hl a uf edenBa um i nPos t Or der( L RW) undwei s eda bei j edem Knot enei nex Koor di na t ez u. Hi er z ugi btesf ol gendeRegel n: –

I s tderKnot enei nBl a t ts owei s ei hm di enä c hs t ef r e i ePos i t i ona ufs ei ne rE benez u ( l et z t ePos i t i onmi tKnot en+2) .

–

I s tderKnot enei ni nner e rKnot enunt er s c hei de:

–

●

ha ternurei nl i nk esKi nd, wei s ei hm di ex Koor di na t es ei ne sKi ndes+1z u.

●

ha ternurei nr e c ht esKi nd, wei s ei hm di ex Koor di na t es ei ne sKi ndes-1z u.

●

ha terz wei Ki nder , wei s ei hm da sMi t t el der e nbei de rx Koor di na t enz u.

I s tderKnot enei ni nner e rKnot enundha tni c htmi ndes t ensdenAbs t a nd2z um Vor der ma nni ns ei nerE bene n, s ov er s c hi ebedenges a mt enUnt er ba um ent s pr e c hend.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

59

Rei ngol dTi l f or dAl gor i t hmus

●

De rRei ngol dTi l f or dAl gor i t hmusi s tei nhe ur i s t i s c he rAns a t z . Da bei wer dendi ebei de n Unt er bä umeei ne sKnot ensz unä c hs tuna bhä ngi ggez ei c hne tunda ns c hl i eßends ona hwi e mögl i c ha ne i na nder ges c hoben.

●

Di eHeur i s t i kwi r dwi ederi nei ne m Pos t or derDur c hl a ufa ngewendet :

●

–

Ma ns t el l es i c hv or , da s sa nj edem Knot enTdi ebei denUnt er bä umeber e i t s gez e i c hnetwur denunda usPa pi erent l a ngi hr e rKont ura us ges c hni t t enwur den.

–

Di eWur z e l nderbei denUnt er bä umewer dennunüber l a ger t . Ma ndur c hl ä uf tdi e E bene n, di ev ondenbei denUnt er bä umenüber dec k twer denunds c hi ebts i es owei t a us ei na nder , da s ss i eei na nderni c htmehrüber l a ger n.

–

Di ebei denUnt er bä umewer dena bs c hl i eßendr el a t i vz ui hr em Va t era ngor dnet .

I nei ne ma bs c hl i eßendenPr eor derDur c hl a ufwer dendi er el a t i v enVer s c hi ebungena ndi e Ki nderwei t er gegebe nunddi eent gül t i genPos i t i onenbe r e c hne t .

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

60

Rei ngol dTi l f or dAl gor i t hmus-Ps eudoc ode

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

61

Hf ör mi gesLayout

●

Ma nk a nnBä umea uc hHf ör mi ga us l egen [ P. E a des , „ Dr a wi ngF r eeT r ees “ , Bul l et i noft heI ns t . F ort heCombi na t or i c sa ndI t sAppl i c a t i ons , pp. 1036, 1992] .

●

Auc hdi esi s tei nDi v i dea ndConque rAns a t z .

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

62

Radi al esLayout

●

E i newei t er eDi v i dea ndConquerVa r i a nt el egtei ne nBa um mi tWur z e l r a di a l a us . Di e Wur z e l k ommti nsZent r um. Al l eKnot enei nerE benel i e gena ufk onz e nt r i s c he nKr ei s en. F er ne rv er me i detderAl gor i t hmusÜber s c hnei dungendur c hF es t l egenderS e k t or e nf ürdi e T ei l bä ume. Ma nk a nndi el et z t eBedi ngunga uc ha bs c hwä c he n, um i m Mi t t el gut e E r gebni s s ez uer ha l t en [ I . Her ma n, G. Mel a nc on, M. M. DeRui t er , a ndM. Del es t , „ L a t our AT r eeVi s ua l i z a t i onS y s t em“ , Pr oc . S y mp. Gr a phDr a wi ngGD' 99, pp. 392399, 1999. Amor edet a i l edv er s i oni n: Repor t soft heCent r ef orMa t h. And Comput erS c i ens , Repor tnumberI NS R9904, a v a i l a bl ea t : ht t p: / / www. c wi . nl / I nf oVi s u/ pa per s / L a t our Ov er v i ew. pdf , 1999]

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

63

Ei gens c haf t enderAl gor i t hmen

●

Al l ebes pr oc he nenBa uma us l egea l gor i t hmens i nddet er mi ni s t i s c h, d. h. bei gl ei c he mI nput l i ef er ns i edengl ei c he nOut putundi s omor pheT ei l bä umewer dengl ei c hbeha ndel t .

●

Di es ei nderVi s ua l i s i er ungs ehrs i nnv ol l eE i gens c ha f twe i s enk r a f t ba s i er t eAns ä t z ei nder Regel ni c htmehra uf , daesmei s t ensmehr er el ok a l eMi ni magi bt .

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

64

I nhal t s ver z ei c hni s 7.Dar s t el l ungvonGr aphen 1.Gr a phent he or i e 1. De f i ni t i one nundGr undbegr i f f e 2. Gr undk onz ept edesGr a phz e i c hnens 3. Zei c he ns t r a t egi en 4. T a x onomi edesGr a phz e i c hnens 2.Layout al gor i t hmenf ürBäume 1. Kl a s s i s c hesBa uml a y out 2. Baummos ai k( Tr eeMap) 3. 3DL a y out( Bot a ni c a l T r ee s ) 3.L a y out a l gor i t hmenf üra l l gemei neGr a phe n 1. Kr a f t ba s i er t eAns ä t z e 2. Hi er a r c hi s c heDa r s t el l ung

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

65

Baummos ai k( Tr eeMap)–Ans ät z e

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

66

Baummos ai k–Bei s pi el

ht t p: / / www. ny t i mes . c om/ i ma gepa ge s / 2007/ 02/ 25/ bus i ne s s / 20070225_CHRYS L E R_GRAPHI C. ht ml

67

Baummos ai k–Googl eBi l der s uc he

68

Baummos ai k( Tr eeMap)–Al gor i t hmus

●

Wä hl eei nbegr enz endesRec ht ec kf ürdi eBa ummos a i k da r s t e l l ung

[M. Bruls 1999]

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

69

Baummos ai k( Tr eeMap)–Al gor i t hmus

●

Wä hl eei nbegr enz endesRec ht ec kf ürdi eBa ummos a i k da r s t e l l ung

●

F ürj e desRec ht ec ki ndi es em L ev el da sKi ndk not enha t : –

Unt er t ei l eda sRec ht ec ki ns ov i el eS t r e i f en, wi ederz ugehör i geKnot enKi nderha t .

–

Di eF l ä c henv er hä l t ni s s ederne uenRe c ht e c k es ol l ende rr e l a t i v enGr ößeder Ki ndk not enent s pr e c hen.

–

I s tL ev el ei neger a deZa hl unt er t ei l ev er t i k a l , s ons thor i z ont a l .

[M. Bruls 1999]

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

70

Baummos ai k( Tr eeMap)–Al gor i t hmus

●

Wä hl eei nbegr enz endesRec ht ec kf ürdi eBa ummos a i k da r s t e l l ung

●

F ürj e desRec ht ec ki ndi es em L ev el da sKi ndk not enha t :

●

–

Unt er t ei l eda sRec ht ec ki ns ov i el eS t r e i f en, wi ederz ugehör i geKnot enKi nderha t .

–

Di eF l ä c henv er hä l t ni s s ederne uenRe c ht e c k es ol l ende rr e l a t i v enGr ößeder Ki ndk not enent s pr e c hen.

–

I s tL ev el ei neger a deZa hl unt er t ei l ev er t i k a l , s ons thor i z ont a l .

Wi eder hol edenv or her i genS c hr i t tbi sa l l eL ev el e r r e i c hts i nd.

[M. Bruls 1999]

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

71

Baummos ai k( Tr eeMap)–Al gor i t hmus

●

Wä hl eei nbegr enz endesRec ht ec kf ürdi eBa ummos a i k da r s t e l l ung

●

F ürj e desRec ht ec ki ndi es em L ev el da sKi ndk not enha t :

●

–

Unt er t ei l eda sRec ht ec ki ns ov i el eS t r e i f en, wi ederz ugehör i geKnot enKi nderha t .

–

Di eF l ä c henv er hä l t ni s s ederne uenRe c ht e c k es ol l ende rr e l a t i v enGr ößeder Ki ndk not enent s pr e c hen.

–

I s tL ev el ei neger a deZa hl unt er t ei l ev er t i k a l , s ons thor i z ont a l .

Wi eder hol edenv or her i genS c hr i t tbi sa l l eL ev el e r r e i c hts i nd.

[M. Bruls 1999]

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

72

Baummos ai k( Tr eeMap)–Di c eandSl i c eAl gor i t hmus

●

Wä hl eei nbegr enz endesRec ht ec kf ürdi eBa ummos a i k da r s t e l l ung

●

F ürj e desRec ht ec ki ndi es em L ev el da sKi ndk not enha t :

●

–

Unt er t ei l eda sRec ht ec ki ns ov i el eS t r e i f en, wi ederz ugehör i geKnot enKi nderha t .

–

Di eF l ä c henv er hä l t ni s s ederne uenRe c ht e c k es ol l ende rr e l a t i v enGr ößeder Ki ndk not enent s pr e c hen.

–

I s tL ev el ei neger a deZa hl unt er t ei l ev er t i k a l , s ons thor i z ont a l .

Wi eder hol edenv or her i genS c hr i t tbi sa l l eL ev el e r r e i c hts i nd.

[M. Bruls 1999]

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

73

Baummos ai k( Tr eeMap)–Di c eandSl i c eAl gor i t hmus

●

Pr obl eme: –

Kl ei neDa t ei enf ühr enz us t a r kv er z e r r t enRe c ht e c k e n.

–

Wenna l l eDa t ei engl ei c hgr oßs i nds i ehtda sE r gebni sa uswi eKä s t c he npa pi er .

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

74

Baummos ai k( Tr eeMap)–Squar i f i edAl gor i t hmus

●

S qua r i f i edAl gor i t hmus[ Br ul s1999] –I dee: Ve r s uc heUnt er t ei l ungens oz uer z e ugen, da s s di eei nz e l nenRec ht ec k eei nS e i t env er hä l t ni sna he1ha ben.

Quadratisiertes Baummosaik Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

Quadratisiertes Kissenmosaik 75

Baummos ai k( Tr eeMap)–Squar i f i edAl gor i t hmus

●

S qua r i f i edAl gor i t hmus[ Br ul s1999] –I dee: Ve r s uc heUnt er t ei l ungenz uer z e ugen, s oda s s di eei nz e l nenRec ht ec k eei nS e i t env er hä l t ni sna he1ha ben.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

76

Baummos ai k( Tr eeMap)–Squar i f i edAl gor i t hmus

●

S qua r i f i edAl gor i t hmus[ Br ul s1999] –I dee: Ve r s uc heUnt er t ei l ungenz uer z e ugen, s oda s s di eei nz e l nenRec ht ec k eei nS e i t env er hä l t ni sna he1ha ben.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

77

Baummos ai k( Tr eeMap)–Squar i f i edAl gor i t hmus

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

78

Bot ani c al Tr ees

E r ns tKl ei ber g, Huubv a ndeWet er i ng, a ndJ a r k eJ . Va nWi j k . 2001. Bot a ni c a l Vi s ua l i z a t i onof HugeHi er a r c hi es . I nPr oc eedi ngs of t heI E E ES y mpos i um onI nf or ma t i onVi s ua l i z a t i on2001 ( I NF OVI S ' 01) ( I NF OVI S' 01) .

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

79

I nhal t s ver z ei c hni s 7.Dar s t el l ungvonGr aphen 1.Gr a phent he or i e 1. De f i ni t i one nundGr undbegr i f f e 2. Gr undk onz ept edesGr a phz e i c hnens 3. Zei c he ns t r a t egi en 4. T a x onomi edesGr a phz e i c hnens 2.L a y out a l gor i t hmenf ürBä ume 1. Kl a s s i s c hesBa uml a y out 2. Ma t r i x l a y out 3. 3DL a y out( Bot a ni c a l T r ee s ) 3.Layout al gor i t hmenf üral l gemei neGr aphen 1. Kr a f t ba s i er t eAns ä t z e 2. Hi er a r c hi s c heDa r s t el l ung

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

80

Kr af t bas i er t eAns ät z e

●

Kr a f t ba s i e r t eMet hodenor i ent i er e ns i c ha nei ne m phy s i k a l i s c he nMode l l mi tKr ä f t enbz w. pot e nt i el l erE ne r gi e, di emi ni mi er twer den. Das i ei nt ui t i vz uv er s t ehen, r el a t i vei nf a c hz u i mpl ement i er e ns i ndundz ugl ei c hof tgut eE r gebni s s el i ef er n, s i nds i es ehrbel i ebt . E i n ei nf a c heI l l us t r a t i onf i ndets i c hi m Bi l d.

ht t p: / / v i meo. c om/ 4356593

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

81

Feder Kr af t Model l

●

De rei nf a c hs t eAns a t znut z tel ek t r i s c heKr ä f t eundF eder n, wobei j ederKnot env a l spos i t i v gel a dene sT ei l c he nundj edeKa nt ee = {u, v} a l sF edermi tv or gegebenerRuhe l ä ngeluv model l i er twi r d. Di eKr a f ta ufei ne nKnot env i s t

F v = ∑ f uv  {u , v}

∑

g uv

u , v ∈V ×V

wobe i fuv di eKr a f ta ufv dur c hdi eF ederz wi s c he nu undv i s tundguv ei neel ek t r i s c he Abs t oßungv onv dur c hu model l i er t . ●

Gena uergi l t

2 p − p k pu − pv 1 u v uv F v = ∑ k uv d  pu , pv −l uv   ∑ 2 d  p , p  {u , v } u , v ∈V ×V d  p u , p v  d  p u , p v  u v

mi tdenZei c hnungs pos i t i one npu, pv unddem euk l i di s c henAbs t a ndd (pu, pv) s owi eden F eder k ons t a nt enkuv(1)undderl a dungs ba s i er t enAbs t oßungs s t ä r k ekuv(2).

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

82

Ber ec hnungdesKr af t mi ni mums

●

Zum F i ndendesKr a f t mi ni mumsk a nnei neVi e l z a hl numer i s c herVer f a hr env er wendet wer den. E i nhä uf i ggenut z t eri nt ui t i v erAns a t zi s t : 1)Pl a z i er edi eKnot enz uf ä l l i gi nderE bene 2)Ber e c hnedi eKr a f tF(v) f üra l l eKnot env. 3)Bewegej edenKnot envei nk l ei nesS t üc ki nRi c ht ungF(v). 4)Wenndi eKr ä f t eni c hta nnä he r ndNul l s i ndundda sMa x i mum a nI t er a t i onenni c ht er r e i c hti s t , gehez u2) .

●

Al t er na t i v e, s c hne l l er eAns ä t z el i ef er tbei s pi el s wei s edi eNumer i kgewöhnl i c her Di f f er ent i a l gl ei c hungen.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

83

Kr af t bas i er t eAns ät z e–Anwendungen

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

84

Ei ns c hr änkungenf ürkr af t bas i er t eAns ät z e Di ek r a f t ba s i e r t enMe t hodenl a s s ens i c hgutmi tE i ns c hr ä nk ungenwi e ●

f es t gel egt ePos i t i one nei ni gerKnot en,

●

f i x i er t eT ei l gr a phe n

●

v or gegebene rRa hmenf ürdenGr a phen

●

dur c hE ner gi ea us dr üc k ba r eBes c hr ä nk ungen( z . B. unt er s c hi edl i c heAbs t ä ndez wi s c he n Knot en)

v er bi nden.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

85

Fi ndenei nesgut enMi ni mums

●

●

Kr a f t ba s i e r t eMet hodenbenöt i genof tv i el Rec hena uf wa nd. Da hers i ndef f i z i ent e Mi ni mi er ungs met hodennöt i g. E nt wederwi r dderZuf a l l bemüht( S i mul a t edAnnea l i ng, Beha ndl ungs t ei f erDi f f er ent i a l gl ei c hungen, Kombi na t or i s c heVor beha ndel ung) oderes wer dengeei gne t eHeur i s t i k env er we ndet . We i t er eDe t a i l ser gebens i c ha usdem Buc hv on[ Ba t t i s t a , Ea des , Ta ma s s i a , Tol l i s . Gr a ph Dr a wi ng. Pr ent i c eHa l l , UpperSa ddl eRi v er , NJ , USA, 1999]derdor tz i t i er t enL i t er a t urund denPr oc eedi ngsderGr a phDr a wi ngConf er e nc eS e r i es .

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

86

I nhal t s ver z ei c hni s 9.Dar s t el l ungvonGr aphen 5.Zei c he na l gor i t hmenf ürBä ume 1. Tr a v er s i er env onBä umen 2. Wet her e l l S ha nnonAl gor i t hmus 3. Re i ngol dT i l f or dAl gor i t hmus 4. Hf ör mi gesL a y out 5. Ra di a l esL a y out 6.Kr a f t ba s i er t eAns ä t z ef üra l l gemei neGr a phen 7.Mani pul at i onvonDar s t el l ungen 1. Cl us t er i ng 2. Hi er a r c hi s c he sCl us t er i ng 3. Re l ev a nz ba s i er t eAns ä t z e

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

87

Cl us t er i ng

●

●

I ns bes onder ewennderGr a phz ugr oßf ürdi eDa r s t el l ungi s t , k a nnma ni hna uc h v er e i nf a c he n. Di ese r f ol gti nderRegel dur c hei nCl us t er i ngderKnot en. Ma nunt er s c hei det da bei z wei Gr undpr i nz i pi en: –

St r uc t ur al c l us t er i ng, be i dem nura uf gr undderS t r uk t urdesGr a phen z us a mmengef a s s twi r d.

–

Cont ent bas edc l us t er i ng, bei de m di eS e ma nt i k , i ns bes onder ederKnot e n, mi t be r üc k s i c ht i gtwi r d.

F a s ta l l eVer f a hr e nba s i er ena ufs t r uc t ur a l c l us t er i ng, daesei nf a c he rumz us et z eni s tund derAns a t za ufj edenGr a phenuna bhä ngi gv onderAnwendungs domä nea ngewendet wer denk a nn.

Visualization of a 160-vertex relaxed caveman graph [228] with m = 1415 edges computed by starting with random initial positions for each vertex and using a spring-force algorithm to iteratively move them to the final locations [203]. The graph was generated with a model that introduced a clear eight-cluster structure, but no information on the clustering was given to the spring-force algorithm. However, the natural grouping by balancing the “springs” of the edges matches the inherent cluster structure. [Schaeffer, Graph Clustering, Computer Science Review, 2007]

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

88

Hi er ar c hi s c hesCl us t er i ng

●

Cl us t er i ngk a nna uc hv er wendetv er s c hi edeneAbs t r a k t i ons ebene ndesGr a phenz u er z e ugen.

●

Aufderf ei ns t enE benes i nda l l eKnot enundKa nt ens i c ht ba r .

●

Aufhöhe r e nE bene nwer denj ewei l smehr er eKnot enoderCl us t erz uei nem Cl us t erde r nä c hs t enE benez us a mmengef a s s t . Zwi s c henCl us t er nwi r dei neKa nt eei ngez e i c hnet , wennei neKa nt ez wi s c he nE l ement enderCl us t erex i s t i er t .

●

Dur c hi nt er a k t i v esAnc l i c k enl a s s ens i c hKnot e nex pa ndi er e n.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

89

●

Of tbes t ehtei nGr a pha usv er s c hi ede nwi c ht i genE i nhei t en. S omi tk a nndi eDa r s t el l ungdes Gr a phenv er ei nf a c htwer den, i ndem z . B. weni gerwi c ht i geS t r uk t ur e nunt er dr üc k twer den.

●

Hi er z umus sdenKnot enundKa nt enei nRel ev a nz wer tz ugeor dnetwer den, deri m Regel f a l l v om Nut z e rbes t i mmtwi r d. Hä uf i gwer denv or def i ni er t eKr i t er i en, wi edi eAnz a hl derNa c hba r k not en, odera s s oz i i er t eS k a l a r wer t edi es i c ha usderj e wei l i genAnwendung er gebenv er wendet .

●

F ürdi eRepr ä s ent a t i ongi btesdr e i v er s c hi edeneAns ä t z e : –

Ghos t i ng, a l s ounwi c ht i geKa nt enundKnot eni ndenHi nt er gr undt r e t enl a s s en.

–

Hi di ng, a l s ounwi c ht i geE l ement ewegl a s s en.

–

Gr oupi ng, a l s ounwi c ht i geE l ement ez us a mme nf a s s en.

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

90

Ref er enz en Di eE r k l ä r ungenf ol gendenBes c hr ei bungeni n: ●

R. Di es t el . Gr a phent he or i e, S pr i nger , 3. Auf l a ge, 2006

●

G. Di Ba t t i s t a , P. E a des , T . T a ma s s i a , I . G. T ol l i s . Gr a phDr a wi ng: Al gor i t hmsf ort he Vi s ua l i z a t i onofGr a phs , Pr ent i c eHa l l , 1999

Gr undl a genS c i Vi s–7. Gr a phen

91