Funciones de variable compleja Integrales impropias.

Mar´ıa Eugenia Torres

Universidad Nacional de Entre R´ıos Facultad de Ingenier´ıa Funciones de Variable Compleja (Bioingenier´ıa, Plan 2008)

Mayo 2009

Integrales impropias

1

Alcance y objetivos En estas notas tratamos de complementar con un an´alisis mas detallado ciertos contenidos desarrollados en los libros de texto utilizados como bibliograf´ıa del curso. Es decir que esto no sustituye en modo alguno su uso y varios temas, teoremas y propiedades no han sido abordados nuevamente aqu´ı. Si encuentra errores de tipeo o de alguna otra ´ındole, le agradeceremos nos lo haga saber para ir mejorando para ediciones posteriores, enviando un e-mail a [email protected]. Desde ya, muchas gracias.

.1.

Integrales impropias

En la definici´on de integral de Riemann para una funci´on f (x) real a valores reales: f (x)dx, se supone que f (x) est´a definida y es continua y acotada en un intervalo real x [a, b], cerrado y acotado en R, en el cual se desea integrar. Es as´ı que las siguientes integrales no poseen significado en ese contexto: Rb

Z1

1/x2 dx

(1)

1/x2 dx

(2)

0 +∞ Z

1 2

Si bien en el primer caso, la funci´on 1/x est´a definida y es continua en el intervalo [0, 1], no es acotada en el extremo inferior: l´ım 1/x2 = +∞. En el segundo caso, el problema es x→0 que la funci´on que estamos intentando integrar est´a definida en el intervalo de integraci´on, es continua y acotada en ´el, pero el intervalo de integraci´on no es acotado. En esta secci´on realizaremos dos extensiones a la definici´on de integral definida. La primera a integrales de funciones sobre intervalos de la forma [a, +∞) y (−∞, b], con a y b n´ umeros reales finitos, y a intervalos de la forma (−∞, +∞). La segunda extensi´on nos permitir´a extender el concepto de integral a funciones con discontinuidades infinitas. Una integral de cualquiera de estos dos tipos se denomina Integral impropia. En algunos casos, tales integrales podr´an definirse considerando el l´ımite de integrales propias de Riemann, sobre intervalos progresivamente m´as grandes. As´ı por ejemplo, si el intervalo de integraci´on no es acotado, como en el caso (2), se considerar´a que la integral impropia es el l´ımite cuando el extremo superior tiende a infinito.

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Definici´ on .1 Sea f (x) definida, continua y acotada en [a, +∞]. Entonces, si existe ∞ Rb R l´ım f (x)dx, se define la integral impropia f (x)dx como:

b→∞ a

a

Z∞

Zb f (x)dx = l´ım

b→∞

a

a

Zb

Zb

f (x)dx.

(3)

f (x)dx.

(4)

De modo an´alogo se define:

f (x)dx = l´ım

a→∞

−∞

−a

En consecuencia, la integral impropia es en ambos casos el l´ımite de integrales propias de Riemann, tomado cuando uno de los extremos de integraci´on tiende a +∞ o a −∞. Ejemplo .1 En el caso 2, tenemos, aplicando la definici´on .1 +∞ Z

1 dx = x2

1

Zb l´ım

b→∞

1 dx, x2

(5)

1

1 l´ım − |x=b x=1 , b→∞  x 1 = l´ım − + 1 , b→∞ b = 1. =

(6) (7) (8)

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Definici´ on .2 Sea f (x) definida en el intervalo semiabierto (a, b] y tal que: l´ım |f (x)| = ∞

x→a+

entonces, si existe el l´ım

Rb

→0 a+

f (x)dx, se define: Zb

Zb f (x)dx = l´ım

f (x)dx.

→0

a

(9)

a+

De manera an´aloga, si f (x) est´a definida en el intervalo [a, b), con l´ım |f (x)| = ∞,

x→b−

en el supuesto que dicho l´ımite exista, y si f es integrable en todos los intervalos de la forma [a, b − ] (para cualquier ), entonces se define: Zb

b− Z

f (x)dx = l´ım

f (x)dx.

→0

a

(10)

a

Por u ´ltimo, si f est´a definida en [a, d) y (d, b], de modo que vale: l´ım |f (x)| = ∞,

x→d−

o l´ım |f (x)| = ∞,

x→d+

o ambos, y f es integrable en todos los intervalos de la forma [a, d − ], con  > 0 y de la forma [d + , b], tambi´en con  > 0, entonces se define Zb

d− Z

f (x)dx = l´ım

f (x)dx + l´ım

→0

a

Zb f (x)dx,

→0

a

d+

en el supuesto que ambas integrales de la derecha existan. En cada caso, cuando el l´ımite apropiado existe, decimos que la integral converge; de otro modo, se dice que la integral diverge. En casos mas complicados, puede requerirse tomar l´ımites en ambos extremos de integraci´on o en puntos interiores, si existiera un n´ umero finito de discontinuidades no finitas.

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Ejemplo .2 Tenemos entonces que, aplicando la definici´on .2 Z1

Z1

2

1/x dx = l´ım →0

0

1/x2 dx,

(11)



= l´ım(−1/x) |1x= ,

(12)

= l´ım (−1 + 1/) .

(13)

→0

→0

Sin embargo, el l´ımite de la derecha no es finito, y por lo tanto, podemos afirmar que no existe la integral impropia aqu´ı planteada. Se dice en este caso que la integral impropia no converge. Ejercicio .1 Considere ahora la funci´on f (x) =

1√ (x+1) x

integrada de 0 a +∞. En el extremo inferior x → 0 y la cota superior de la funci´on tiende a ∞, mientras que en el extremo superior x → ∞ y la funci´on tiende a 0. Deseamos calcular la siguiente integral: +∞ Z 1√ dx (14) (x+1) x 0

Eligiendo b ∈ R, fijo, la descomponemos en dos integrales: +∞ Z

1√ dx (x+1) x

Zb =

0

1√ dx (x+1) x

+∞ Z

+

0

1√ dx, (x+1) x

(15)

b

y las integramos aplicando las definiciones anteriores: +∞ Z

1√ dx (x+1) x

0

Zb = l´ım →0



1√ dx (x+1) x

ZL + l´ım

L→+∞

1√ dx, (x+1) x

(16)

b

(17) ¿ Existe alg´ un valor de b para el cual estas integrales no estar´ıan definidas?. En caso que sea posible calcule la integral propuesta. Ejercicio .2 Dadas las siguientes funciones, determine la convergencia o no de sus integrales en los intervalos indicados son convergentes. En caso afirmativo, calcule su valor. 1. f (x) =

1 , x3

en [3, ∞).

2. f (x) =

√1 x

en [2, ∞).

3. f (x) =

√1 x

en (0, 1]. Funciones de variable compleja - 2009

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4. f (x) =

1 x2

en (0, 1].

5. f (x) =

2 x5

en (−∞, −1].

6. f (x) =

x (1+x2 )2

7. f (x) =

1 , (x−1)2/3

en (−∞, +∞). en [0, 2].

Proposici´ on .1 (Criterio de convergencia dominada) Sean f y g funciones definidas en [a, ∞), integrablesR en [a, b] para todo a < b < ∞, y 0 ≤ Rf (x) ≤ g(x) para todo x en ∞ ∞ [a, ∞). Si la integral a g(x)dx converge, entonces la integral a f (x)dx tambi´en converge y es Z Z ∞

∞

f (x)dx ≤

0≤ a

Si la integral

R∞ a

g(x)dx. a

f (x)dx diverge, entonces

R∞ a

g(x)dx tambi´en diverge.

Resultados similares son v´alidos para integrales sobre intervalos de la forma (−∞, b] y [−∞, ∞). Ejercicio .3 Dadas las siguientes funciones, determine si sus integrales en los intervalos indicados son convergentes o no. En caso que sea posible, calcule su valor. En caso que sea convergente, pero no pueda determinar su valor exacto, encuentre una cota a su valor. 1. f (x) =

1 1+x2

2. f (x) =

√1 , x

en [0, ∞). (Ver 1 ) en [2, ∞).

Proposici´ on .2 Sean h(x) ≤ f (x) ≤ g(x) [a, ∞) y f , g y h son integrables en R ∞para todo xR ∈ ∞ [a, b] para aR < b < ∞. Si las integrales a h(x)dx y a g(x)dx ambas convergen, entonces ∞ la integral a f (x)dx tambi´en converge y se tiene que Z ∞ Z ∞ Z ∞ g(x)dx h(x)dx ≤ f (x)dx ≤ a

a

Ejercicio .4 Usando el hecho de que en el intervalo [1, ∞).

R∞ 1

1 x2

a

= 1, determine si la funci´on

Proposici´ on .3 si f est´a definida en [a, ∞) y la integral R∞ f (x) dx tambi´en converge. a

R∞ a

sin(x) x2

es convergente

|f (x)|dx converge, entonces la

Resultados similares valen en intervalos de la forma (−∞, b] y (−∞, ∞). 1

Ayuda: Observe que

R∞ 1

1 x2 dx

= 1. Se demuestra que

R∞ 0

1 1+x2 dx

=

π 2.

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Integrales impropias

.1.1.

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Problemas

1. Calcule las siguientes integrales ∞ R a) x13 dx

d)

1

b)

∞ R 10

c)

∞ R 0

1 dx 4 x5

e)

2 dx (3x+2)2

f)

−∞

∞ R

√ 1 dx x+1

0 ∞ R

sin(x) dx

0

(c)

−∞

R0

2 dx x5

2

2. Calcule las siguientes integrales −2 R 2 (a) dx x2 (b)

∞ R

+∞ R −∞

√ 2 dx 1−2x

(d)

+∞ R −∞

x (9+x2 )4

dx

√ 5x dx x2 +1

3. Determine, sin calcularlas, si las siguientes integrales son convergentes o no +∞ ∞ R sin3 (s) R 1 (c) ds (a) 2+z3 dz s2 1

1

∞ R

(b)

−∞

√ 2 dz 1+z 4

(d)

+∞ R −∞

√ 1 ds s2 +4

4. Demuestre que: a)

+∞ R 1

b)

+∞ R 1

c)

R1 0

d)

R1 0

1 ds sq

converge para q > 1. Encuentre su valor.

1 ds sq

diverge para q < 1.

1 ds sq

converge para q < 1. Encuentre su valor.

1 ds sq

diverge para q > 1.

5. Sea

1 1 1 + + ··· + , 2 3 n | , las sumas parciales de la serie arm´ para n ∈ N onica. sn = 1 +

a) Demuestre que Z sn ≤ 1 + 1

n

1 dx, x

| . ∀n ∈ N

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b) Demuestre que

∞

Z 1

1 dx x

diverge. 6. Si f es integrable en [−b, b] para todo b > 0, y si existe el l´ımite: Zb l´ım

f (x)dx,

b→∞ −b

entonces se denomina valor principal de Cauchy o integral de Cauchy a: Zb I(f ) = l´ım

f (x)dx,

b→∞ −b

y se lo indica

Z∞ (V P )

f (x)dx, −∞

a) Demuestre que si

∞ R

f (x)dx converge, entonces

−∞

Z∞ (V P )

Z∞ f (x)dx =

−∞

f (x)dx. −∞

b) Encuentre I(f ) e I(g) para f (x) = x y g(x) = sin(x). c) Demuestre que la integral de Cauchy de f puede existir aunque la integral

∞ R

f (x)dx

−∞

diverja.

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