1. Derivadas de funciones de una variable. Recta tangente.

Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

Vamos a ver en este cap´ıtulo la generalizaci´on del concepto de derivada de funciones reales de una variable a funciones vectoriales con varias variables basada en la interpretaci´on geom´etrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de una funci´on en un punto. Para una funci´on f : (a, b) −→ R se define la derivada en un punto t0 ∈ (a, b) como el l´ımite f (t) − f (t0 ) = f 0 (t0 ) lim t→t0 t − t0

(t, f (t))

f (t)

Derivadas de . . . Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

(t0 , f (t0 )) f (t0 ) t0

αt α t

f (t) − f (t0 ) = tan αt son las pendientes de las rectas set − t0 cantes a la gr´afica de f por los puntos (t0 , f (t0 )) y (t, f (t)). La existencia de la derivada se interpreta como la existencia de una posici´on l´ımite de las rectas secantes, cuando t tiende a t0 , que es la recta de pendiente tan α = f 0 (t0 ). Esa recta l´ımite de las secantes es por definici´on la recta tangente a la gr´afica de f en t0 , o mejor dicho, en (t0 , f (t0 )), y su ecuaci´on ser´a Geom´etricamente, los cocientes

Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

Derivadas de . . . Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

y = f (t0 ) + f 0 (t0 )(x − t0 ) Esta definici´on de la recta tangente se generaliza de forma inmediata a funciones vectoriales de una variable: Sea F : (a, b) −→ Rm , y t0 un punto de (a, b). Para otro punto t ∈ (a, b) podemos estudiar la recta secante a la imagen de F que pasa por F (t0 ) y por F (t). Si estas rectas tienden a una posici´on l´ımite cuando t tiende a t0 , ´esa ser´a la recta tangente a la imagen de F en F (t0 ).

t Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

F t0

F (t)

F (t0 )

Derivadas de . . . Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

Un vector director de la recta secante que pasa por F (t0 ) y por F (t) ser´ıa F (t) − F (t0 ), pero este verificar´ıa, si F es una funci´on continua, que el l´ımite cuando t tiende a t0 es cero. F (t) − F (t0 ) Consideramos entonces los vectores , que tienen la misma direcci´on, ya que son t − t0 proporcionales a los anteriores.

Definici´ on (Derivadas de funciones de una variable. Recta tangente.). Sea F : (a, b) −→ Rm y t0 ∈ (a, b). Se define la derivada de F en t0 como F 0 (t0 ) = lim Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

t→t0

F (t) − F (t0 ) ∈ Rm t − t0

si este l´ımite existe. Se llama recta tangente a la imagen de F en F (t0 ) a la recta que pasa por F (t0 ) y tiene vector director F 0 (t0 ). Su ecuaci´on, en forma param´etrica, es x = F (t0 ) + λF 0 (t0 )

λ∈R

(donde x es un vector de Rm ) Derivadas de . . .

Observaciones:

Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

1) Si escribimos las componentes de F , F = (f1 , . . . , fm ), fi : (a, b) −→ R entonces   F (t) − F (t0 ) f1 (t) − f1 (t0 ) fm (t) − fm (t0 ) = ,..., t − t0 t − t0 t − t0 y por tanto, si existe la derivada de F en t0 , ser´a 0 F 0 (t0 ) = (f10 (t0 ), . . . , fm (t0 ))

En particular, por ejemplo para que F sea derivable, cada componente fi debe ser derivable, y por tanto continua, luego F tienen que ser continua en t0

Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

Derivadas de . . .

2) Volvamos a considerar funciones reales f : (a, b) −→ R. La gr´afica de f se puede describir como la imagen de la funci´on F : (a, b) −→ R2 definida por F (t) = (t, f (t)). F

(t, f (t))

f (t) a

t

b a

Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

t

b

Aparentemente tendr´ıamos dos definiciones de la recta tangente a la gr´afica de f en (t0 , f (t0 )): por un lado, y = f (t0 ) + f 0 (t0 )(x − t0 ) y por otro lado (x, y) = F (t0 ) + λF 0 (t0 )

Pero sustituyendo en esta ecuaci´on F (t0 ) y F 0 (t0 ) por su valor, (x, y) = (t0 , f (t0 )) + λ(1, f 0 (t0 )) Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

Derivadas de . . . Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

es decir x = t0 + λ y = f (t0 ) + λf 0 (t0 ) de donde despejando λ en la primera ecuaci´on y sustituyendo en la segunda se obtiene de nuevo la misma ecuaci´on de la recta tangente que ya ten´ıamos. Ejemplo 1. Trayectorias: Uno de los ejemplos m´as utilizados de este tipo de funciones vectoriales son las trayectorias: cuando un cuerpo se mueve por el plano o por el espacio, podemos representar su trayectoria mediante una funci´on del tiempo, que nos indique en cada instante la posici´on del m´ovil, mediante sus coordenadas, F : (a, b) −→ R2 , F (t) = (x(t), y(t)), o F : (a, b) −→ R3 , F (t) = (x(t), y(t), z(t)). En estos casos, el vector F 0 (t) representa la velocidad del m´ovil en el instante t, y su norma 0 kF (t)k es la magnitud de la velocidad (unidad de longitud entre unidad de tiempo) Si el m´ovil que describe la trayectoria F (t) se libera de la fuerza que lo gu´ıa por ella en un instante t0 , en ese momento continuar´ıa su movimiento por la recta tangente a la curva F (t)

en el punto F (t0 ), y con velocidad constante F 0 (t0 ). La ecuaci´on de esta nueva trayectoria a lo largo de la recta tangente es G(t) = F (t0 ) + F 0 (t0 )(t − t0 ), Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

t > t0

F (t0 ) F
(t0 )

Derivadas de . . . Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

Ejemplo 2. Hallar la velocidad a que se mueve un punto fijo en el borde de un disco de radio R que rueda sobre una recta, sabiendo que la velocidad a que se desplaza el centro del disco es V m/seg. ¿En qu´e puntos la velocidad es cero?

2. Derivadas direccionales. Recta tangente en una direcci´ on.

Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

Derivadas de . . . Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

Consideremos ahora funciones reales de dos variables, f : R2 −→ R El concepto de derivada que hemos definido antes no tiene sentido en este caso, ya que no se puede definir la proporci´on entre la variaci´on de f y el crecimiento de la variable. El cociente f (t) − f (t0 ) t − t0 no tiene sentido, ya que el denominador es un vector. Lo que s´ı podemos hacer es, de forma semejante a las t´ecnicas de c´alculo de l´ımites de funciones de varias variables, escoger una direcci´on en el dominio de f y estudiar el comportamiento de la funci´on al movernos s´olo en esa direcci´on. A partir de un punto x0 ∈ Rn , escogemos un vector v ∈ Rn , v 6= 0, y consideramos la funci´on f sobre la recta que pasa por x0 y tiene direcci´on v, f (x0 + tv) = g(t). Esto define una funci´on g de una variable, con g(0) = f (x0 ), y tiene sentido estudiar si es derivable en t = 0. Se llama derivada direccional de f en x0 en la direcci´on de v a f (x0 + tv) − f (x0 ) = g 0 (0) t→0 t

dv f (x0 ) = lim

f (x0 + tv)

f (x0 ) Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

x0

v

x = x0 + tv

Derivadas de . . . Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

El hecho de que esta derivada exista se traduce geom´etricamente en el hecho de que la gr´afica de f tenga en el punto (x0 , f (x0 ) una recta tangente en la direcci´on del vector v. Para entender el significado geom´etrico de este n´umero, consideremos el plano vertical que contiene a la recta x0 + tv, a la gr´afica de f sobre esta recta, a las secantes y a la recta tangente.

Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

Derivadas de . . . Derivadas . . . Derivadas parciales.

f (x0 + tv)

f (x0 )

x0

f (x0 + tv)

α

αt

f (x0 )

v

x = x0 + tv

x0

v

La pendiente de la recta secante que pasa por (x0 , f (x0 )) y por (x0 + tv, f (x0 + tv)) es el cociente f (x0 + tv) − f (x0 ) tan αt = tkvk y su l´ımite cuando t tiende a cero es la pendiente de la recta tangente

JJ

II

J

I

x0 + tv

tan α = lim tan αt = lim t→0

=

1 dv f (x0 ) kvk

t→0

f (x0 + tv) − f (x0 ) tkvk

Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

Es decir, la derivada direccional dv f (x0 ) es el producto de la norma del vector v por la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de f en x0 en la direcci´on de v. Si kvk = 1, el n´umero dv f (x0 ) es justamente la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de f en x0 en la direcci´on de v (la tangente del ´angulo que forma la recta con el plano horizontal) Por tanto un vector director de la recta tangente ser´a (~v , dv f (x0 )) ∈ Rn+1 . La ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f en (x~0 , f (x0 )) en la direcci´on de ~v queda entonces (~x, xn+1 ) = (x~0 , f (x0 )) + λ(~v , dv f (x0 )), (λ ∈ R) En el caso n = 2, (x, y, z) = (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) + λ(v1 , v2 , dv f (x0 , y0 ))

Derivadas de . . .

Resumiendo, tenemos la siguiente definici´on:

Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

Definici´ on (Derivadas direccionales). Sea U un abierto de Rn y f : U −→ R. Sea v ∈ Rn un vector no nulo. Se define la derivada direccional de f en un punto x0 de U en la direcci´on de v como dv f (x0 ) = lim t→0

f (x0 + tv) − f (x0 ) t

si es que este l´ımite existe.

∈R

La definici´on de las derivadas direccionales se puede hacer para el caso general de funciones vectoriales de la misma manera:

Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

Derivadas de . . . Derivadas . . . Derivadas parciales.

Definici´ on (Derivadas direccionales de funciones vectoriales). Sea U un abierto de Rn y F : U −→ Rm . Sea v ∈ Rn un vector no nulo. Se define la derivada direccional de F en un punto x0 de U en la direcci´on de v como F (x0 + tv) − F (x0 ) ∈ Rm t→0 t si es que este l´ımite existe. Por las propiedades de los l´ımites, si F = (f1 , . . . , fm ), entonces dv F (x0 ) = lim

dv F (x0 ) = (dv f1 (x0 ), . . . , dv fm (x0 )) Ejemplo 3. Hallar la derivada direccional en (0, 0), de la funci´on ( 2 x y si (x, y) 6= (0, 0) 2 +y 2 x f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0) en la direcci´on de los vectores v = (1, −1) y w = (2, 1)

JJ

II

J

I

Estudiamos la funci´on f sobre los puntos de la recta que pasa por (0, 0) y tiene vector director v,  g(t) = f ((0, 0) + t(1, −1)) = f (t, −t) =

−t3 2t2

0

si si

−t t 6= 0 = t=0 2

Entonces dv f (0, 0) = g 0 (0) = Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

En la direcci´on de w tenemos g(t) = f ((0, 0) + t(2, 1)) = f (2t, t) = y dw f (0, 0) =

Derivadas de . . . Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

−1 2

4 5

4t 4t3 = 5t2 5

3. Derivadas parciales. Entre las derivadas direccionales de una funci´on, juegan un papel fundamental las derivadas en las direcciones de los ejes de coordenadas: Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

Derivadas de . . . Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

Definici´ on (Derivadas Parciales). Sea U un abierto de Rn , y f : U −→ R. Se llama derivada parcial i-´esima de f en un punto x0 de U a la derivada de f en x0 en la direcci´on del vector ei de la base can´onica de Rn , y se escribe df f (x0 + tei ) − f (x0 ) (x0 ) = dei f (x0 ) = lim t→0 dxi t

∈R

Si F es una funci´on vectorial, F : U −→ Rm , la definici´on es an´aloga, aunque el resultado ser´a un vector de Rm dF F (x0 + tei ) − F (x0 ) (x0 ) = dei F (x0 ) = lim t→0 dxi t Utilizando las componentes de F ,   df1 dF dfm (x0 ) = (x0 ), . . . , (x0 ) dxi dxi dxi

∈ Rm

Los vectores ei tienen norma uno, as´ı que para funciones reales f : U −→ R estas derivadas son las pendientes de las rectas tangentes a la gr´afica de f en x0 en las direcciones de los ejes de coordenadas. Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

f (x0 )

Derivadas de . . .

e2

Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

e1

x0

Si estas derivadas existen, es decir, si existen esas rectas tangentes, sus vectores directores df (~ ei , dx (x0 )) son linealmente independientes. i En el caso de funciones de dos variables, esto significa que determinan un plano, cuya ecuaci´on

ser´ıa (x, y, z) = (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) + λ(1, 0, Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

Derivadas de . . . Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

df df (x0 , y0 )) + µ(0, 1, (x0 , y0 )) dx dy

es decir   x = x0 + λ y = y0 + µ  df df z = f (x0 , y0 ) + λ dx (x0 , y0 ) + µ dy (x0 , y0 ) o simplemente, despejando λ y µ en las dos primeras ecuaciones, y sustituyendo en la tercera, z = f (x0 , y0 ) +

df df (x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 ) dx dy

Partiendo de la idea de la relaci´on entre derivada y recta tangente en el caso de funciones de una variable, se plantea ahora si hay un plano tangente a la gr´afica de f en x0 . Para ello no basta que existan las dos rectas tangentes en las direcciones de los ejes, y por tanto que determinen un plano; har´ıa falta que existieran todas las rectas tangentes en todas las direcciones, y que todas estuvieran contenidas en el mismo plano. Hay que encontrar una condici´on anal´ıtica que exprese esta propiedad.

Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

Derivadas de . . .

Esta funci´on no tiene plano tangente en (0, 0, 0)

Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

En el caso de funciones de una variable, podemos volver a expresar la relaci´on entre la derivada y la recta tangente de la siguiente forma: f : (a, b) −→ R derivable en x0 , equivale a que lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 ) x − x0

lo que a su vez equivale a que lim

x→x0

Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ) f (x) − y(x) = lim =0 x→x0 x − x0 x − x0

donde y(x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) es la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f en x0 . En el caso de funciones de dos variables, para que el plano generado por las rectas tangentes en las direcciones de los ejes sea de verdad un plano tangente a la gr´afica de f en x0 se necesita que f (x, y) − f (x0 , y0 ) −

lim (x,y)→(x0 ,y0 ) Derivadas de . . . Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

df (x0 , y0 )(x dx

− x0 ) −

k(x, y) − (x0 , y0 )k

df (x0 , y0 )(y dy

− y0 )

=0

Esta f´ormula se puede generalizar para funciones vectoriales de n variables, buscando la ecuaci´on de un subespacio af´ın de dimensi´on n en Rm , que pase por F (x~0 ) que sea“tangente” a F. La ecuaci´on del subespacio es de la forma ~x = F (x~0 ) + L(~x − x~0 ), donde L : Rn −→ Rm es una aplicaci´on lineal, y la condici´on de que sea tangente es que lim

~ x→x~0

F (~x) − F (x~0 ) − L(~x − x~0 ) =0 k~x − x~0 k

Esta condici´on dar´a lugar a la definici´on de las funciones diferenciables, que veremos en el siguiente cap´ıtulo.

Ejemplo 4. Calcular las derivadas parciales en el origen de la funci´on  x3 si (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 2 f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0) Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

Derivadas de . . . Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

En la direcci´on del eje x,

Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

df f ((0, 0) + t(1, 0)) − f (0, 0) f (t, 0) − f (0, 0) (0, 0) = lim = lim = t→0 t→0 dx t t t3 −0 t3 t2 +0 = lim = lim 3 = 1 t→0 t→0 t t En la direcci´on del eje y f (0, t) − f (0, 0) 0−0 df (0, 0) = lim = lim =0 t→0 t→0 dy t t Ejemplo 5. Calcular las derivadas parciales de f en (0, 0), y en un punto cualquiera (x, y)

Derivadas de . . .

f (x, y) = (x2 + y 2 ) sen(x) cos(y)

Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

Para calcular las derivadas parciales de f en (0, 0) podemos utilizar cualquiera de los m´etodos de c´alculo que hemos visto en el cap´ıtulo anterior: Podemos calcular df f ((0, 0) + t(1, 0) − f (0, 0) f (t, 0) − f (0, 0) (0, 0) = lim = lim = t→0 t→0 dx t t 0−0 = lim =0 t→0 t

O podemos definir la funci´on g(t) = f ((0, 0) + t(1, 0)) = f (t, 0) y calcular df (0, 0) = g 0 (0) dx Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

Derivadas de . . . Derivadas . . . Derivadas parciales.

JJ

II

J

I

En este caso g(t) = t2 sen(t) y g 0 (t) = 2t sen(t) + t2 cos(t) de donde se deduce g(0) = 0. An´alogamente f (0, t) − f (0, 0) 0−0 df (0, 0) = lim = lim =0 t→0 t→0 dy t t Para calcular las derivadas parciales en un punto (x, y) cualquiera, es m´as c´omodo utilizar el siguiente m´etodo: Para calcular la derivada de f respecto de x en (x, y) hay que estudiar el comportamiento de f sobre la recta horizontal que pasa por (x, y), es decir, consideramos la funci´on h(x) = f (x, y)

con y constante. Entonces esta derivada

df (x, y) dx

= h0 (x): para comprobarlo basta escribir la definici´on de

h(x + t) − h(x) = t f (x + t, y) − f (x, y) = lim = t→0 t f ((x, y) + t(1, 0)) − f (x, y) df = lim = (x, y) t→0 t dx

h0 (x) = lim Derivadas direccionales, derivadas parciales. Interpretaci´ on geom´ etrica

t→0

En nuestro caso, h(x) = (x2 + y 2 ) sen(x) cos(y), es una funci´on derivable en R, y su derivada se puede calcular mediante las reglas de derivaci´on de la suma y el producto de funciones, de modo que

Derivadas de . . .

h0 (x) = 2x sen(x) cos(y) + (x2 + y 2 ) cos(x) cos(y) =

Derivadas . . . Derivadas parciales.

df (x, y) dx

An´alogamente, para calcular la derivada respecto de y, basta considerar x constante y derivar f s´olo respecto de y JJ

II

J

I

df (x, y) = 2y sen(x) cos(y) − (x2 + y 2 ) sen(x) sen(y) dy N