Formulario Electromagnetismo Elementos de C´ alculo III Coordenadas cartesianas xˆ ∧ yˆ = zˆ yˆ ∧ zˆ = xˆ zˆ ∧ x ˆ ~ A ~r d~r

∇V

= yˆ = Ax x ˆ + Ay yˆ + Az zˆ

~ = ∇∧A

= x xˆ + y yˆ + z zˆ = dx xˆ + dy yˆ + dz zˆ

~ = ∇·A ∇2 V

∂V ∂V ∂V x ˆ+ yˆ + zˆ ∂x ∂y ∂z xˆ yˆ zˆ ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az ∂Ay ∂Az ∂Ax + + ∂x ∂y ∂z 2 2 ∂ V ∂ V ∂2V + + 2 2 ∂x ∂y ∂y 2

=

=

Coordenadas cil´ındricas x y

= ρ cos φ = ρ sin φ

z = z ρˆ = cos φ xˆ + sin φ yˆ φˆ = − sin φ x ˆ + cos φ yˆ ˆ ρˆ ∧ φ = zˆ φˆ ∧ zˆ = ρˆ

zˆ ∧ ρˆ = φˆ ~ = Aρ ρˆ + Aφ φˆ + Az zˆ A ~r d~r

= ρ ρˆ + z zˆ = dρ ρˆ + ρ dφ φˆ + dz zˆ

∇V

=

~ = ∇∧A ~ = ∇·A ∇2 V

=

∂V 1 ∂V ˆ ∂V ρˆ + φ+ zˆ ∂ρ ρ ∂φ ∂z ρˆ ρφˆ zˆ 1 ∂ ∂ ∂ ∂φ ∂z ρ ∂ρ Aρ ρAφ Az 1 ∂Aφ ∂Az 1 ∂ (ρAρ ) + + ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z   1 ∂ ∂V 1 ∂2V ∂2V ρ + 2 + ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂φ2 ∂z 2

Coordenadas esf´ ericas x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ rˆ ∧ θˆ = φˆ θˆ ∧ φˆ = rˆ φˆ ∧ rˆ = θˆ

~ = Ar rˆ + Aθ θˆ + Aφ φˆ A ~r = r rˆ

d~r

rˆ = sin θ cos φ xˆ + sin θ sin φ yˆ + cos θ zˆ θˆ = cos φ cos θ x ˆ + cos θ sin φ yˆ − sin θ zˆ ˆ φ = − sin φ x ˆ + cos φ yˆ 1 ∂V ˆ 1 ∂V ˆ ∂V rˆ + θ+ φ ∇V = ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ rˆ r θˆ r sin θ φˆ 1 ∂ ∂ ∂ ~ = ∇∧A ∂θ ∂φ r2 sin θ ∂r A rA r sin θA r

~ = = dr rˆ + r dθ θˆ + r sin θ dφ φˆ ∇ · A ∇2 V

=

θ

φ


1 ∂ 1 ∂Aφ 1 ∂ (sin θAθ ) + r 2 Ar + 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ     ∂ ∂V 1 ∂V 1 1 ∂ ∂2V 2 r + sin θ + r2 ∂r ∂r r2 sin θ ∂θ ∂θ r2 sin2 θ ∂φ2

Elementos infinitesimales de Superficie, Vol´ umen y Camino c´ırculo dS = ρ dρ dφ d` = ρ dφ Stotal = πa2

cil´ındro dS = ρ dz dφ dV = ρ dρ dφ dz Smanto total = 2πaL Vtotal = 2πa2 L

esf´era dS = r 2 sin θ dθ dφ dV = r 2 dr sin θ dθ dφ Stotal = 4πa2 Vtotal = 4/3πa3

dS

dS

dS

dV

dV

(a) Disco

(b) Cil´ındro

(c) Esf´era

Identidades vectoriales

~·B ~ A ~ ~ A∧B ~ ~  A∧A  ~· B ~ ∧C ~ A   ~∧ B ~ ∧C ~ A Si Si

= = = = =

~ ·A ~ B ~ ~ −B ∧ A

0   ~∧B ~ ·C ~ A     ~·C ~ B ~− A ~·B ~ C ~ A

~ es paralelo a B ~ entonces ~ ∧B ~ =0 A A ~ es perpendicular a B ~ entonces ~·B ~ =0 A A

∇(ΦΨ) ∇ ∧ (ΦF~ )

=

~ ∧ B) ~ ∇ ∧ (A

=

~ ∧ B) ~ ∇ · (A

=

2

≡

∇ · (ΦF~ )

∇ ∇ ∧ (∇ ∧ F~ )

= =

=

Φ∇Ψ + Ψ∇Φ Φ∇ ∧ F~ + ∇Φ ∧ F~

(∇Φ) · F~ + Φ∇ · F~         ~ ·∇ A ~− A ~·∇ B ~ + ∇·B ~ A ~− ∇·A ~ B ~ B     ~ · ∇∧A ~ −A ~· ∇∧B ~ B ∇·∇

∇(∇ · F~ ) − ∇2 F~

∇ ∧ (∇Φ) ~ ∇ · (∇ ∧ A)

=

0

=

0

Teoremas Diferencial exacta dΦ = ∇Φ · d~r ∆BA Φ ≡ ΦB − ΦA =

RB A

dΦ =

RB A

∇Φ · d~r

dΦ =

dΦ du

(∇u) · d~r

Si Φ = Φ(u) en que u = u(~r) es un campo escalar

∇Φ =

dΦ du

(∇u)

Si Φ = Φ(u) en que u = u(~r) es un campo escalar

Teorema de Stokes: Considera un camino cerrado que delimita una superficie orientada (seg´ un regla de la mano derecha al recorrer el camino). I Z   ~ ~ ·n A · d~r = ∇∧A ˆ dS camino

Teorema de la Divergencia: Considera una superficie cerrada que contiene un volumen

superficie

dS

A

I

superficie

~·n A ˆ dS =

Z

volumen

~ dv ∇·A

dS

superficie

A

A A

dr

dr

(d) Teorema de Stokes

(e) Teorema de la Divergencia

Fuerza El´ ectrica y Campo El´ ectrico Fuerza El´ ectrica r1 −~ r2 ) 1 q2 (~ Ley de Coulomb: Fuerza sobre q1 debida a q2 F~q1 ,q2 = Kq||~ r1 −~ r2 ||3 2 1 9 2 K = 4π0 ≈ 9 × 10 [Nm /C ] Constante de fuerza 1 0 = 4πK = 8,85 × 10−12 [C2 /N/m2 ] permitividad dielectrica del vacio e = 1,6 × 10−19 [C] Quanto de Carga Principio de accion y reaccion F~q2, q1 = −F~q2 ,q1 Fuerza electrica total sobre q0 F~q0 = F~q0 ,q1 + F~q0 ,q2 + . . . + F~q0 ,qN

Campo El´ ectrico ~ r ) = F~q0 (~r)/q0 E(~ ~ r) F~ (~r) = q E(~ PN Kqi (~r−~ri ) ~ r) = E(~ i=1 ||~ r−~ ri ||3

Campo el´ectrico que siente carga de prueba q0 Fuerza electrica que experimenta carga q en posici´ on ~r Campo en ~r por un sistema de cargas puntuales

Distribuciones continuas de carga Densidades de Carga Volum´etrica: Lineal: Superficial:

ρq (~r0 ) = l´ım∆v→0 λ(~r0 ) = l´ım∆l→0 σ(~r0 ) = l´ım∆s→0

∆q ∆v ∆q ∆l ∆q ∆s

. . .

Elemento de carga asociado dq 0 = ρq (~r0 )dv dq 0 = λ(~r0 )dl dq 0 = σ(~r0 )ds

Campo El´ ectrico generado por una distribuci´ on cont´ınua de carga ~ r) = E(~

Z

K dq 0 (~r − ~r0 ) ||~r − ~r0 ||3

Algunos casos particulares Carga puntual q centrada en el origen. Campo en todo el espacio: ~ = Kq rˆ E r2

(esf´ericas)

Carga puntual q centrada en posici´ on ~r0 . Campo en todo el espacio: ~ = Kq (~r − ~r0 ) E ||~r − ~r0 ||3 Cable recto a lo largo del eje z con densidad de carga lineal uniforme λ0 . Campo en todo el espacio: ~ = 2Kλ0 ρˆ E ρ Disco plano de radio a con eje azial coincidente con eje z y con densidad superficial uniforme σ0 . Campo sobre su eje axial:   z z σ ~ E(x = 0, y = 0, z) = −√ zˆ 20 |z| z 2 + a2 Plano infinito con densidad superficial uniforme σ0 contenido en plano XY . Campo en todo el espacio: σ z ~ zˆ E(x, y, z) = 20 |z|

Energia potencial y Potencial el´ ectrico Fuerza el´ectrica es conservativa (es decir satisface ∇ ∧ F~ = 0) luego existe campo scalar U tal que F~ = −∇U . H Por el teorema de Stokes F~ · d~r = 0. La funcion U se denomina energia potencial electrica. El Potencial El´ectrico V se define como

V = l´ım

q→0

U q

en que q0 es la carga de prueba que experimenta la fuerza. Se satisface U ∆U WBA ∆BA V

= qV = q∆V RB = A F~ · d~r = −∆BA U = −q ∆BA V RB RB ~ · d~r = q1 ∆BA U = − 1q WBA = − q1 A F~ · d~r = − A E R ~r ~ V (~r) = V (~r0 ) − ~r0 E · d~r PN i V (~r) = i=1 ||~rKq R K dq0 −~ri || V (~r) = ||~r−~r0 ||

Energ´ıa Potencial Electrost´ atica

por alg´ un camino de ~r0 a ~r distribuci´ on de cargas puntuales distribuci´ on continua de cargas

Algunos casos particulares Carga puntual q centrada en el origen. Potencial en todo el espacio: V =

Kq r

(esf´ericas)

Carga puntual q centrada en posici´ on ~r0 . Potencial en todo el espacio: V =

Kq ||~r − ~r0 ||

Cable recto a lo largo del eje z con densidad de carga lineal uniforme λ0 . Potencial en todo el espacio:   ρ donde V0 = V (ρ0 ) es potencial de referencia V = V0 − 2Kλ0 ln ρ0 Disco plano de radio a con eje azial coincidente con eje z y con densidad superficial uniforme σ0 . Potencial sobre su eje axial: i p σ h V (x = 0, y = 0, z) = − |z| − z 2 + a2 20 Plano infinito con densidad superficial uniforme σ0 contenido en plano XY . Potencial en todo el espacio: σ V (x, y, z) = V0 − |z| 20

Expansi´ on en serie de Taylor f (x) = f (x0 ) +

1 0 1 00 1 000 f (x)|x=x0 (x − x0 ) + f (x)|x=x0 (x − x0 )2 + f (x)|x=x0 (x − x0 )3 + . . . 1! 2! 3!

Algunas expansiones utiles para x  1 (1√+ x)n √1 + x 1/ √ 1+x 1/( 1 + x)3 1/(1 − x) 1/(1 + x)

= 1 + nx + 12 n(n − 1)x2 + . . . = (1 + x)1/2 = 1 + x/2 − x2 /8 + . . . = (1 + x)−1/2 = 1 − x/2 + 3x2 /8 + . . . = (1 + x)−3/2 = 1 − 3x/2 + 15x2 /8 + . . . = (1 − x)−1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . . = (1 + x)−1 = 1 − x + x2 − x3 + x4 + . . .

Dipolo el´ ectrico Dos cargas con signos opuestos separadas por distancia a peque˜ na.

q a −q

V (r, θ) p~ V ~ E ~ E F~ ~τ

= Kqar2cos θ = q ~a p·ˆ r = K~ r2  =

Kqa 2 cos θˆ r+ r3 3(~ p·ˆ r )ˆ r−~ p K r3

= =0 ~ =p ~∧E

 sin θ θˆ

Potencial del dipolo en origen orientado segun kˆ Momento dipolar Campo de dipolo en origen, orientacio arbitraria Campo de dipolo en origen orientado segun kˆ Campo de dipolo en origen, orientacion arbitraria Fuerza sobre el dipolo por campo externo Torque sobre el dipolo por campo externo

Ley de Gauss o de la Divergencia del campo el´ ectrico Flujo ΦE del campo electrico sobre una superficie cerrada y orientada exteriormente es igual a es la carga encerrada por el volumen definido por dicha superficie). R ~ · dS ~ ΦE ≡ R E R R R Q ≡ dq = ρ(~r)dv = λ(~r)dl = σ(~r)dS R ~ · dS ~ = Q E 0 ~ r ) = ρ(~r) ∇ · E(~ 0 ~ ρ(~r) = 0 ∇ · E

Q 0

(donde Q

definici´ on de flujo carga encerrada Ley de Gauss en forma integral Ley de Gauss en forma diferencial ~ puedo calcular densidad de carga Si conozco E

Ecuaci´ on de Poisson y Laplace ~ = −∇V se obtiene la Ecuaci´ De la Ley de Gauss en forma diferencial y substituyendo E on de Poisson para el potencial ρ ∇2 V = − 0 (notar que si conozco el potencial puedo calcular la densidad de carga en cada punto ~r. Es decir ρ(~r) = 0 ∇2 V (~r)). En las regiones de densidad de carga nula se satisface la Ecuaci´ on de Laplace: ∇2 V = 0 que tiene soluci´ on u ´nica si se especif´ıca el valor del potencial en el contorno o borde de la regi´ on donde ´esta ecuaci´ on tiene validez.

Materiales Conductores En general metales. Cargas se mueven libremente. Fuerzas superficiales impiden que cargas escapen.

V = cte. Esuperf. = 0 n

E =0 conductor

r

F~ ~ E

=0 = −∇V = 0

~ sup E σ

~ || n E ˆ σ ˆ = 0 n ~ sup · n = 0 E ˆ

σ( r )

V = cte.

~ = 0 en conductor en conductor (equilibrio), luego E en conductor, luego V = cte en conductor Conductores son cuerpos equipotenciales ~ es ⊥ a superficie conductora justo en exterior de la superficie E justo afuera de superficie conductora densidad en superficie conductora

TIERRA: material conductor a potencial cero.

Condensadores Sistema de dos conductores cargados con carga igual y contraria. Capacidad se define como Q C ≡ ∆V Condensador de placas planas. Area A separaci´ on d entre placas: A

C=

A0 d

d

Condensador cil´ındrico. Radios interior a y exterior b y largo `:

C= b

2π0 ` | ln(b/a)|

a

l

Condensador esf´ erico de capas concentricas.

Radios interior a y b:

C=

a b

4π0 ba |b − a|

M´ etodo de Im´ agenes Se resuelve ∇2 V = 0 via introducir cargas ficticias fuera de la region donde vale ∇2 V = 0, con tal que las cargas ficticias reproduzcan el valor del potencial en la region donde se quiere conocer V .

Im´ agenes para casos particulares Carga q a distancia d de plano conductor conectada a tierra: q

d + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + +

d

−q

carga imagen

Carga q frente a esf´era conductora de radio a conectada a tierra: q0 d0

a d d’

q’

q

Cable conductor delgado frente a tierra: λ

d

plano conductor d

−λ

cable imagen

= − ad q 2 = ad

Corriente El´ ectrica Densidades de corriente Si las cargas se mueven con velocidad ~v : densidad volum´etrica de corriente J~ = ρq ~v . ~ = σ~v . densidad superficial de corriente K densidad lineal de corriente I~ = λ~v . Relaci´ on entre corriente total I y densidad de corriente: R densidad volum´etrica de corriente I = J~ · n ˆ dS. R ~ ·n densidad superficial de corriente I = K ˆ d`. en ambos casos n ˆ se refiere a un vector unitario perpendicular a la superficie dS o al segmento de longitud d`.

Ley de Ohm ~ En que σ es la conductividad del medio. Establece que las corrientes se mueven en Esta dada por: J~ = σ E. la direcci´ on del campo.

Resistencia Electrica Es una consecuencia de la ley de Ohm. Establece que a lo largo de un camino la caida de potencial es proporcional a la corriente que circula: ∆V = R I. La resistencia R es la constante de proporcionalidad. R ~ · d~r E − ∆V R= = R I ~ J~ · dS Algunos ejemplos particulares 1. Resistencia de un cable recto de longitud ` y a ´rea A. Vale: R = unidad de largo.

ρ` A,

en que ρ =

1 σ

es la resistividad por

2. Resistencia de un cable coaxial de radio interior a, y radio exterior b, y largo total `, en que la superficie exterior (conductora de radio b) est´ a a potencial V1 y la superficie interior (conductora de radio a) ρ est´ a a potencial V2 . Est´ a dada por: R = 2π` ln ab

Magnetost´ atica Fuerza magn´ etica sobre una carga puntual q que se mueve con velocidad ~v ~ F~ = q~v ∧ B

~ = B0 zˆ uniforme Movimiento de una carga puntual en un campo B Frecuencia de Larmor: w = Radio de giro: R =

v w

=

qB0 m

mv qB0

R ~ Fuerza magn´ etica sobre distribuci´ on de corriente: F~ = dJ~ ∧ B Densidad lineal de corriente: dJ~ = dq ~v = λ~v d` = I~ d`, luego: F~ =

~ d`, con I~ = λ~v . I~ ∧ B R ~ Muchas veces conviene usar la combinacion: I~ d` = Id~r. Luego: F~ = I d~r ∧ B. R ~ dS, luego: F~ = K ~ ∧B ~ dS, con K ~ = σ~v . Densidad superficial de corriente: dJ~ = dq ~v = σ~v dS = K R ~ dV , con J~ = ρq ~v . Densidad volumetrica de corriente: dJ~ = dq ~v = ρq ~v dV = J~ dV , luego: F~ = J~ ∧ B R

Torque magn´ etico sobre una distribuci´ on de corriente: ~τ = ~ d` luego: ~τ = Densidad lineal de corriente. Se tiene: dF~ = I~ ∧ B

R

~r ∧ dF~

~ d`. ~r ∧ (I~ ∧ B) R ~ Muchas veces conviene usar la combinacion: I~ d` = Id~r. Luego: ~τ = I ~r ∧ (d~r ∧ B). R ~ ∧B ~ dS luego: ~τ = ~r ∧ (K ~ ∧ B) ~ dS. Densidad superficial de corriente. Se tiene: dF~ = K R ~ dV luego: ~τ = ~r ∧ (J~ ∧ B) ~ dV . Densidad volum´etrica de corriente. Se tiene: dF~ = J~ ∧ B R

Momento magn´ etico dipolar m ~ Espira cerrada de forma cualquiera: m ~ = I 12

H

~r ∧ d~r

~ = An Espira plana de a ´rea orientada A ˆ . Se tiene: m ~ = I An ˆ.

~0 Fuerza y Torque sobre espira cerrada en campo uniforme B Fuerza magn´etica: F~ = 0 ~0 Torque magn´etico: ~τ = m ~ ∧B

~r ) est´ Campo de inducci´ on magn´ etica B(~ atico Permeabilidad magn´etica del vac´ıo: µ0 = 4π × 10−7 [S.I.] R 0 r 0) ~ = µ0 dJ~ ∧(~r−~ Ley de Biot-Savart: B 4π ||~ r−~ r 0 ||3 ~ = Distribuci´ on lineal de corriente dJ~ 0 = I~ d` 0 . Se tiene: B

µ0 4π

R

I~ 0 ∧(~ r−~ r 0 ) d` 0 ||~ r −~ r 0 ||3

~ 0 dS 0 . Se tiene: B ~ = Distribuci´ on superficial de corriente dJ~ 0 = K

µ0 4π

~ = Distribuci´ on volum´etrica de corriente dJ~ 0 = J~ 0 dV 0 . Se tiene: B

R

µ0 4π

~ 0 ∧(~ K r−~ r 0 ) dS 0 ||~ r−~ r 0 ||3

R

J~ 0 ∧(~ r−~ r 0 ) dV ||~ r−~ r 0 ||3

0

Algunos casos particulares 1. Campo en todo el espacio de un cable recto infinito con corriente I~ = I zˆ. ~ = µ0 I φˆ (cil´ındricas). Est´ a dado por: B 2πρ ˆ 2. Campo sobre su eje axial, de un cable circular de radio a con corriente I~ = I φ. 2 µ Ia 0 ~ Est´ a dado por: B eje = 2(z2 +a2 )2/3 (cil´ındricas). ~ 3. Campo en torno a una distribuci´ on superficial plana de corriente K. ~ ∧n ~ = µ0 K ˆ . Est´ a dado por: B 2 El vector n ˆ corresponde a la normal exterior a la superficie en cada cara de la distribuci´ on de corriente. ˆ Est´ ~ = K φ. 4. Campo de un solenoide orientado segun z y que lleva corriente superficial K a dado por:  µ0 K zˆ en el interior del solenoide ~ = B 0 afuera del solenoide

Ecuaciones de maxwell para los campos est´ aticos ~ ∇·E ~ ∇·B ~ ∇∧E ~ ∇∧B

=

ρq 0

= 0 = 0 = µ0 J~

Consecuencias: Potencial El´ ectrico y Magn´ etico ~ = 0 sigue que existe V tal que E ~ = −∇V . De ∇ ∧ E ~ = 0 sigue que existe A ~ tal que B ~ = ∇ ∧ A. ~ De ∇ · B V (~r)

=

~ r) A(~

=

Z dq 0 1 4π0 ||~r − ~r 0 || Z µ0 dJ~ 0 4π ||~r − ~r 0 ||

~ Ecuaci´ on de Poisson para potencial magnetico vector A ~ = −µ0 J~ ∇2 A ~ asociado a una espira peque˜ Vector potencial magnetico A y campo B na, de momento magn´ etico m ~ y que est´ a ubicada en el origen del sistema de coordenadas . ~ ∧ rˆ ~ = µ0 m A 4π r3   m ~ ~ · ~r) ~ = µ0 (3m ~ r − B 4π r5 r3

1.

Medios materiales diel´ ectricos y magn´ eticos

1.1.

Medios diel´ ectricos

1.1.1.

Dipolo (dos cargas q y −q separadas en desplazamiento ∆~r)

1. Momento dipolar el´ectrico: p~ = q ∆~r 2. Potencial el´ectrico de dipolo en origen con orientaci´ on arbitraria: Vdipolo = 1.1.2. 1.

K~ p·~ r r3

Polarizaci´ on P~

P~ ≡

d~ p dv

(Polarizacion o momento dipolar el´ectrico por unidad de volumen).

2. ρpol. = −∇ · P~ (Densidad volum´etrica de carga de polarizaci´ on). 3. σpol. = P~ · n ˆ (Densidad superficial de carga de polarizaci´ on). 1.1.3. 1.

~ Vector desplazamiento D

~ = 0 E ~ − P~ D

~ = ρlibre (equivale a Ley de Gauss: 2. ∇ · D 1.1.4. 1.

R

~ · dS ~ = Qencerrada D ). libre

Medio lineal, is´ otropo y homog´ eneo

~ (χE es la susceptibilidad diel´ectrica del material) P~ = χE 0 E

2.  = k = 1 + χE (constante diel´ectrica del material) 3.

~ = E ~ =  r 0 E ~ (la constante  se conoce como la permitividad dielectrical del material, r ≡ /0 la D constante relativa. A veces se anota k = ).

4. Condiciones de borde o frontera entre dos diel´ectricos de distinta constante: ~2 ·n D ˆ = ~ 2 · tˆ = E

~1 ·n D ˆ + σlibre ~ 1 · tˆ E

(componentes normales discontinuas) (componentes tangenciales continuas)

1.2.

Medios magn´ eticos

1.3.

~ = H ~r ∧ d~r y corriente I) Dipolo magn´ etico (loop de corriente con “´ area” A

~ 1. Momento dipolar magn´etico: m ~ =IA

~ dipolo = 2. Vector potencial de dipolo m´ agnetico en origen con orientaci´ on arbitraria: A

1.4.

~ (~r) Magnetizaci´ on M

1.

~ ≡ M

2.

~ (Densidad volum´etrica de corriente de magnetizaci´ J~mag. = ∇ ∧ M on).

3.

~ mag. = M ~ ∧n K ˆ (Densidad superficial de corriente de magnetizaci´ on).

dm ~ dv

(Magnetizaci´ on o momento dipolar magn´etico por unidad de volumen).

µ0 m∧~ ~ r 4π r 3

1.5. 1.

~ Vector campo magn´ etico H ~ = H

1 ~ µ0 B

~ −M

~ = J~libre (equivale a Ley circuital de Ampere: 2. ∇ ∧ H

1.6.

R

~ · d~r = I cruza ). H libre

Medio lineal, is´ otropo y homog´ eneo

1.

~ = χM 1 B ~ (χM es la susceptibilidad magn´etica del material) M µ0

2.

1 µr

3.

~ = 1B ~ = H µ relativa.)

= 1 − χM 1 ~ µr µ0 B

(la constante µ es la permeabilidad magn´etica del material, µr ≡ µ/µ0 la constante

4. Condiciones de borde o frontera entre dos medios magn´eticos de distinta constante: ~2 · n B ˆ = ~ H2 · tˆ =

2. 2.1.

~1 · n B ˆ ~ E1 · tˆ + Klibre

(componentes normales continuas) (componentes tangenciales discontinuas)

Campos variables en el tiempo Ley de Faraday-Lenz

Si hay flujo variable en el tiempo en una cierta superficie, se induce a lo largo del camino que delimita dicha superficie una f.e.m. o caida de potencial  = −∆V que se relaciona con las variaciones del flujo magn´etico sobre la superficie que delimita dicho circuito (o camino). Se tiene: =−

dΦB dt

R H ~ · dS ~ y≡ E ~ · d~r. Las variaciones pueden ocurrir porque la superficie var´ıa, el campo donde ΦB (t) ≡ B var´ıa o la orientaci´ on de la superficie var´ıa o cualquier emzcla de estas. la forma diferencial de esta ley es: ~ ~ = − ∂B ∇∧E ∂t Circuito que se traslada. Una manera alternativa de calcular cuando el cable o circuito se traslada con velocidad ~v en cada punto, es: I Z ~ dΦB ∂B ~ ~ =− = (~v ∧ B) · d~r − · dS dt ∂t

2.2.

Corriente de desplazamiento ~

Para respetar la conservaci´ on de carga en las ecuaciones de Maxwell se introduce un t´ermino ∂∂tD (llamado corriente de desplazamiento) en la expresi´ on de la ley de Maxwell que corresponde a la ley circuital de Ampere: ~ = µ0 (J~libre + ∂D ) ∇∧B ∂t ~ ~ ∂D ∂E ~ En medios no diel´ectricos se tiene JD ≡ = 0 . ∂t

∂t

2.3.

Resumen Ecuaciones de Maxwell en el vacio.

1 ρq 0 ~ ∂B = − ∂t = 0

~ ∇·E

=

~ ∇∧E ~ ∇·B ~ ∇∧B

= µ0 (J~ + 0

~ ∂E ) ∂t

mas la ecuaci´ on de continuidad o conservaci´ on de carga: ∇ ∧ J~ = −

3.

∂ρq ∂t

Resumen Ecuaciones de Maxwell en medios materiales (lineales, is´ otropos y homog´ eneos). Forma diferencial

en que:

~ ∇·D ~ ∇∧E ~ ∇·B ~ ∇∧H

Forma integral

= = = =

ρ ~ − ∂∂tB 0 J~ + libre

~ · dS ~ D H ~ · d~r E R ~ ~ S1 B · d S H ~ · d~r H R

libre

~ ∂D ∂t

= Q R ~ · dS ~ = − dtd B R ~ · dS ~ = S2 B = I encerrada libre

cruza

libre

~ = 0 E ~ + P~ = E ~ D y

~ = 1B ~ ~ −M ~ = 1B H µ0 µ m´as la ecuaci´on de continuidad o conservaci´on de carga: ∇ · J~

libre

=−

∂ρ ∂t

libre