Fachhochschule Bochum Fachhochschule Mu¨nster Fachhochschule Su¨dwestfalen Verbundstudiengang Wirtschaftsingenieurwesen Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Pr¨ ufung: Mathematik Termin: 7. September 2013 Bearbeitungszeit: 180 Minuten Name, Vorname Aufgabe Soll

1

Matrikelnummer 2

3

4

5

6

P

Note

a b c d a b c d a b c d e a b c d a b c 4 4 4 8 4 5 3 7 3 2 4 2 4 6 6 6 8 8 8 8 2 106

Ist Hilfsmittel: beliebige Taschenrechner und alle schriftlichen Unterlagen; Hinweise: Vergewissern Sie sich zun¨achst, dass die Aufgabenstellung vollst¨andig ist, Sie umfasst das Deckblatt und 6 Aufgabenbl¨atter. Versehen Sie das Deckblatt mit Ihrem Namen und der Matrikelnummer. F¨ ur die L¨osung ist auf den Aufgabenbl¨attern Platz vorgesehen, die R¨ uckseiten k¨onnen daf¨ ur ebenfalls verwendet werden. Sollte der Platz dann immer noch nicht ausreichen, verweisen Sie am Seitenende auf ein konkretes (Seitennummer) der von der Pr¨ ufungsaufsicht zur Verf¨ ugung gestellten Zusatzbl¨atter, die Sie bitte nummerieren und ebenfalls mit Ihrem Namen kennzeichnen. Eigenes Papier darf f¨ ur die L¨osungen nicht verwendet werden. Kennzeichnen Sie auf den Zusatzbl¨attern am Seitenanfang bitte immer eindeutig, zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die folgende L¨osung/L¨osungsfortsetzung geh¨ort und beginnen Sie die L¨osung/L¨osungsfortsetzung einer weiteren Aufgabe bitte immer auf einer neuen Seite. Aus Ihren L¨osungen sollten die L¨osungswege erkennbar sein. Falls Sie den Taschenrechner f¨ ur komplexere L¨osungsschritte verwenden, vermerken Sie dies bitte, z.B. “Nullstelle / Gleichung ... mit dem Taschenrechner bestimmt / gel¨ost”;

1

1. Herr A. hat einen Kredit u ur den die Zinsen f¨ ur die ersten ¨ber 100 000 e aufgenommen, f¨ 10 Jahre auf nominell 4.2% p.a. festgeschrieben wurden, es wird jedoch monatlich der entsprechende Relativzins in H¨ohe von 0.35% berechnet. Es wurde eine monatliche, nachsch¨ ussige Tilgung von 0.3% zuz¨ uglich ersparter Zinsen vereinbart. (a) Wie hoch ist die monatlich zu zahlende Annuit¨at und wie ist die Tilgungsdauer, wenn auch nach den 10 Jahren von einem Zinssatz von nominell 4.2% p.a. ausgegangen wird? (b) Wie hoch w¨are die verminderte Abschlussannuit¨at im letzten Tilgungsmonat, wenn wieder von einem konstanten Zinssatz auch u ¨ber die vereinbarten 10 Jahre hinaus ausgegangen wird? (c) Auf wie viel Prozent der Kreditsumme kommt Herr A. mit der Tilgung im ersten Jahr insgesamt und wie hoch ist der Effektivzins des Kredits? (d) Wie w¨are die Tilgungsdauer, wenn Herr A. von der M¨oglichkeit Gebrauch macht, am Ende jedes Tilgungsjahres eine Sondertilgung von 3 000 e zu leisten? Falls die Sondertilgung im letzten Jahr kleiner ist, geben Sie deren H¨ohe an. Es ist wieder davon auszugehen, dass der Zinssatz konstant bei nominell 4.2% bleibt.

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2. In einem Unternehmen wurden in einer zweistufigen Fertigung bisher aus drei Rohteilen R1 , R2 und R3 zun¨achst die drei Zwischenprodukte Z1 , Z2 und Z3 und aus diesen die vier Endprodukte E1 , E2 , E3 und E4 hergestellt. Die St¨ ucklisten f¨ ur die in den beiden Fertigungsstufen hergestellten Zwischen- und Endprodukte sind in den folgenden beiden Tabellen zusammengestellt. E1 E2 E3 E4

Z1 Z2 Z3

Z1

3

2

0

7

R1

3

1

2

Z2

0

6

2

2

R2

2

3

4

Z3

1

1

0

3

R3

5

2

1

(a) Die Fertigung soll auf eine einstufige Fertigungsstruktur umgestellt werden. Stellen Sie die St¨ ucklisten f¨ ur die Endprodukte auf Basis der Rohteile auf! (b) Wie viele der Rohteile R1 , R2 und R3 m¨ ussen f¨ ur die Produktion bereitgestellt > werden, wenn die im Produktionsvektor e = (100, 300, 100, 200) angegebenen Mengen der Teile E1,...,E4 gefertigt werden sollen, wobei zu ber¨ ucksichtigen ist, dass aus dem Lager von den drei Zwischenprodukten Z1, ..., Z3 die Mengen z > = (300, 400, 500) genutzt werden sollen? ur die Zwischen- und Endprodukte (jeweils in (c) Wie hoch sind die Materialkosten f¨ e /St¨ uck), wenn die Rohteile zu Preisen von 2 e (R1 ), 4 e (R2 ) und 5 e (R3 ) je St¨ uck eingekauft werden? (d) K¨onnte ein Lagerbestand von z = (500, 300, 210)> Zwischenprodukten noch vollst¨andig zu Endprodukten verarbeitet werden? Geben Sie die Menge aller m¨oglichen Produktionsvektoren an.

3

3. Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem (Produktionsplanungsproblem, Variable xj sind Prod.-mengen in ME) mit den Restriktionen R1 bis R4: z = 72x1 + 52x2 + 40x3 −→ max x1 3x1 x1 4x1

+ + + +

x2 2x2 2x2 x2

+ + + +

2x3 2x3 x3 x3

≤ ≤ ≤ ≤

140 340 290 410

x1 , x 2 , x 3

≥

0

(R1) (R2) (R3) (R4)

Dabei steht die Zielfunktion f¨ ur den Erl¨os, ihre Koeffizienten cj sind die Verkaufspreise der Produkte Pj in e, z.B. steht c2 x3 x5 x4 1 f¨ ur einen Preis von 20 e bei Produkt P2 . Die Restriktionen stehen f¨ ur beschr¨ankt x7 5 −3 5 90 verf¨ ugbare Rohstoffe [in ME]. x6 −5 1 −4 70 Bei der L¨osung des obigen LOP hat x2 4 −1 3 80 sich nach einem oder mehreren Schritten mit der Simplex-Methode das nebenstex1 −2 1 −2 60 hende Simplextableau ergeben. Dabei sind z 24 20 12 8480 x4 , . . . , x7 die Schlupfvariablen der Restriktionen R1, . . . , R4. (a) Geben Sie davon ausgehend alle optimalen L¨osungen (einschließlich der Schlupfvariablen) und den optimalen Zielfunktionswert an! ¨ (b) Welche Anderungen des Verkaufspreises f¨ ur Produkt P3 (Zielfunktionskoeffizient von x3 ) h¨atten keinen Einfluss auf die optimale L¨osung? urfte sich der Verkaufspreis f¨ ur Produkt P2 (Zielfunktions(c) In welchem Bereich d¨ koeffizient von x2 ) a¨ndern, ohne dass sich die optimale L¨osung a¨ndert? Bliebe in diesem Bereich auch der Zielfunktionswert konstant, falls nicht, wie w¨ urde er sich ¨andern? (d) Ist die Restriktion R4 aktiv oder inaktiv und was bedeutet dies f¨ ur den Rohstoff R4? (e) Von jedem der Rohstoffe k¨onnte zu Preisen von 16 e je ME mehr zur Verf¨ ugung gestellt werden. Bei welchen der Rohstoffe w¨are dies lohnend, wie viel sollte mindestens zus¨atzlich bereitgestellt werden?

4

4. Gegeben ist die Funktion   y = f (x) =



x2

12x · e(1− 4 ) , x ≤ 2 2x3 − 18x2 + 60x − 40 x > 2

(a) Geben Sie an (mit Begr¨ undung!), ob diese Funktion im gesamten Definitionsbereich Df = R stetig ist, und ob bzw. wie oft sie in Df = R differenzierbar ist (ebenfalls mit Begr¨ undung!). (b) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion und die zugeh¨origen Minimums-/Maximumspunkte und begru ur jeden dieser Punkte, ob es ¨ nden Sie f¨ sich um einen Minimums- oder Maximumspunkt handelt! (c) Begr¨ unden Sie anhand der Vorzeichen der Ableitungsfunktionen, in welchem Teil des Definitionsbereiches die Funktion y = f (x) progressiv wachsend ist? (d) Bestimmen Sie den linearen Integralmittelwert 1 y lin = m1 = b−a

Z

b

f (x) dx a

dieser Funktion f¨ ur das Intervall [0,5]. Beschreiben Sie dabei die f¨ ur die Integration notwendige Substitution ausf¨ uhrlich.

5

5. F¨ ur die Abbiegung von Stahlprofilen durch eine Querkraft ist das Fl¨achentr¨agheitsmoment I dieser Profile maßgebend. F¨ ur das nebenstehend abgebildete Rechteckprofil gilt B · H 3 − b · h3 I= , 12 wobei b = B − 2s und h = H − 2s die Maße des inneren Rechtecks sind. Mit B = 50mm und H = 100mm ergibt sich bei einer Wandst¨arke S = 10mm ein Fl¨achentr¨agheitsmoment von I = 2.88667 · 106 mm4 Bestimmen Sie mit Hilfe des vollst¨ andigen Differentials, um wie viel das Fl¨achentr¨agheitsmoment I n¨aherungsweise abnimmt, wenn bei gleichen Außenmaßen des Profilstahls die Wandst¨arke um 1 mm verringert wird, d.h. b und h nehmen um jeweils 2 mm zu.

6

6. F¨ ur ein 2-Produkt-Unternehmen gelten (je Monat) die Preis-Absatz-Funktionen p1 (x1 , x2 ) = 7200 − 8x1 − 6x2 p2 (x1 , x2 ) = 4400 − 2x1 − 3x2 wobei die Preise pi in e/ME und die Mengen xi in ME angegeben werden (a) Zu welchen Preisen muss das Unternehmen seine beiden Produkte verkaufen, um einen maximalen Erl¨os zu erzielen? Wie groß ist dieser maximale Erl¨os und in welchen Mengen k¨onnen die beiden Produkte dann verkauft werden? (Nachweis, dass es sich um ein Maximum handelt) (b) Bei der Produktion der beiden Produkte wird ein beschr¨ankt verf¨ ugbarer Rohstoff ben¨otigt, f¨ ur das Produkt 1 sind das 36 kg/ME und f¨ ur Produkt 2 je 12 kg/ME. Aufgrund langfristiger Liefervertr¨age stehen von dem Rohstoff (je Monat) nur 10 000 kg zur Verf¨ ugung. In welchen Mengen k¨onnen die beiden Produkte unter dieser Bedingung produziert werden und zu welchen Preisen muss das Unternehmen die beiden Produkte dann auf den Markt bringen, um einen maximalen Erl¨os zu erzielen? Wie groß ist dieser maximale Erl¨os? (Nachweis, dass es sich um ein Maximum handelt) (c) Bis zu welchem Preis (e/kg) sollte das Unternehmen versuchen, von dem ben¨otigten Rohstoff mehr einzukaufen und f¨ ur die Produktion zur Verf¨ ugung zu stellen?

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L¨ osungen 1. (a) Am = 650 e, n = 221.298 Monate bzw. 222 Monate oder 18 J. u. 6 M. (b) R222 = 193.79 e (c) t = 3.67011%, ieff = 4.2818% (d) n = 11.8273 a d.h. 12 Jahre mtl. 650 e und 11-mal j¨ahrlich 3 000 e, am Ende des 12. Jahres nur noch 1140.74 Sondertilgung. 2. (a) ARZ · AZE = ARE : E1 E2 E3 E4 R1

11 14

2

29

R2

10 26

6

32

R3

16 23

4

42

 9 000 (b) r =  12 000  14 500 

(c) pz = (39, 24, 25)> pe = (142, 247, 48, 396)> 

  80  130     (d) e =   −240  + t ·  0

 −1 −2   , t ∈ {48, 49, 50, . . . , 65} 5  1

3. x5

x4

1



5 −3

5

90

1 −4

70

    x=    

x3 x7 (a)

x6 −5 x2

4 −1

x1 −2 z

24

3

80

1 −2

60

20

12 8480

60 80 0 0 0 70 90

     ,    

zmax = 8480 ¨ solange der Verkaufspreis ce3 ≤ 40 + 24 = 64; (b) 43 = 24 =⇒ keine Anderungen,

8

(c) ce2 = c2 + t =  52 + t    24 4 g  20  + t ·  −1  ≥ 0 ∀ t ∈ [−4, 20] =⇒ 4 N = 12 3 =⇒ ∀ t ∈ [−4, 20] (bzw. ce2 ∈ [48, 72]) gilt zmax = 8480 + 80t ∈ [8160, 10 080] (d) Restriktion R4 inaktiv (90 ME des Rohstoffs ungenutzt) (e) nur bei R2 (45 = 20 > 16) lohnt es sich, zu dem angegebenen Preis mehr zur Verf¨ ugung zu stellen. e b2 = b2 + t =340 +t   90 −3    70    + t ·  1  ≥ 0 ∀ t ∈ [−60 , 30] =⇒ xf B =   −1  80  60 1 Es sollten also mindestens 30 ME zus¨atzlich bereitgestellt werden. 4. (a)

x2

f1 (x) = 12x · e(1− 4 ) x2

f10 (x) = −6(x2 − 2) · e(1− 4 ) x2

f100 (x) = 3x(x2 − 6) · e(1− 4 ) f2 (x) = 2x3 − 18x2 + 60x − 40 f20 (x) = 6x2 − 36x + 60 f200 (x) = 12x − 36 beide Funktionen in R stetig und differenzierbar. y = f (x) in x0 = 2 (und damit u ¨berall) stetig, weil f1 (2) = f2 (2) = 24 , nicht differenzierbar, weil f10 (2) = −12 6= 12 = f20 (2) √ √ (b) lokale Minimumspunkte: (x1 , y1 ) = (− 2, −12 2e) ≈ (−1.41421, −27.9797) und (x2 , y2 ) = (2, 24) √ √ lokaler Maximumspunkt: (x1 , y1 ) = ( 2, 12 2e) ≈ (1.41421, 27.9797) √ (c) f progressiv wachsend ∀x ∈ [− 2, 0] ∪ [3, ∞) ³R ´ 2 R5 3 2 1 (1− x4 ) 2 (d) y = 5 0 12x · e dx + 2 (2x − 18x + 60x − 40)dx =

1 5

· (24 · (e − 1) +

225 ) 2

≈ 30.7478 9

5. ∂I(b, h) ∂I(b, h) · db + · dh ∂b ∂h 1 = − (h3 db + 3bh2 dh) 12

dI(b, h) =

b = 30,

h = 80,

db = dh = +2 [mm]

dI(b, h) = −181 333 [mm4 ] 6. (a) E(x1 , x2 ) = 7200x1 + 4400x2 − 8x21 − 8x1 x2 − 3x22 → max x1 = 250, x2 = 400 p1 = 2800, p2 = 2700 E = 1 780 000 (b) E(x1 , x2 ) = 7200x1 + 4400x2 − 8x21 − 8x1 x2 − 3x22 → max |36x1 + 12x2 ≤ 10 000 L(x1 , x2 , λ) = E(x1 , x2 ) + λ(10 000 − 36x1 − 12x2 ) x1 = 106.061, x2 = 515.152 p1 = 3260.61, p2 = 2642.42 E = 1 707 707.71 (c) λ = 38.38, d.h. bis zu 38.38 e/ME k¨onnten ausgegeben werden.

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