Experimentalphysik E1

Arbeit, Skalarprodukt, potentielle und kinetische Energie Energieerhaltungssatz Alle Informationen zur Vorlesung unter :

http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html 4. Nov. 2016

Die Newtonschen Grundgesetze 1. Newtonsche Axiom (Trägheitsprinzip) Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt. 2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip) Ursache für eine Bewegungsänderung ist eine Kraft. Sie ist definiert als

d F = ( mv) = m ⋅ a dt

€

[N=kg·m/s2= 1 Newton] m : „träge Masse“

3. Newtonsche Axiom (Reaktionsprinzip) Bei zwei Körpern, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern wechselwirken, ist die Kraft F12 auf den einen Körper entgegengesetzt gleich der Kraft F21 auf den anderen Körper.

F12 = −F21

(actio=reactio)

Die Arbeit Die Arbeit W (work) wird definiert als das Produkt aus dem Weg den ein Körper zurücklegt und der Kraft, die in Richtung dieses Weges wirkt.

  W = F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos(α ) Die Arbeit ist das Skalarprodukt aus Kraft und Weg

v F

v s

α F cos(α )

Einheit: 1 J(oule)=1 Nm=1 kgm2/s2 Bei veränderlicher Kraft summieren wir über kleine Wegelemente

    W = ∑ F ⋅ Δs = ∫ F ⋅ ds

v Δs

v F

Die Arbeit ist ein Linienintegral     W = ∑ FΔs = ∫ Fds Hängt die Hubarbeit vom Weg ab?

  W = ∫ Fds = ∫ − m ⋅ g ⋅ cos(α )⋅ ds = − ∫ m ⋅ g ⋅ dh = −m ⋅ g ⋅ h Nur die Projektion des Weges auf die Richtung der Kraft zählt!

Konservative Kraftfelder Eine Kraft heißt konservativ, wenn die gesamte Arbeit entlang einem beliebigen, geschlossenen Weg gleich null ist.   1     W = ∫ Fds + ∫ Fds = ∫ Fds =0 2

1

2

Die Arbeit, die eine konservative Kraft an einem Massepunkt verrichtet, ist unabhängig davon, auf welchem Weg sich der Massenpunkt von einem Ort zu einem anderen bewegt.

Kann man Arbeit sparen? Goldene Regel der Mechanik: Bei reibungsfreien (idealen) Maschinen gilt: Die dem Kraftwandler zugeführte Arbeit Wzu ist gleich der von ihm abgegebenen Arbeit Wab. Wzu = Wab

Geleistete “Zugarbeit” :

Wzu = F×s

Erbrachte Hub-Arbeit :

Wab = G×h

Da am Flaschenzug mit einer losen Rolle G= 2×F und h = s/2 gilt, ergibt sich daraus

Wzu = Wab.

Beschleunigungsarbeit und kinetische Energie Herleitung für den Fall gleichförmig beschleunigter Bewegung F

Bei der Beschleunigung verrichtete Arbeit :

Wkin

m 2 = v 2

Der zurückgelegte Weg : 2

a 2 a &v# v2 s = ⋅t = ⋅$ ! = 2 2 %a" 2a v2 m ⋅ v2 W = F ⋅s = m⋅a⋅ = 2a 2

Def. Kinetische Energie

Potentielle Energie - Energie

ist die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten.

Ein Körper, an dem mechanische Arbeit geleistet worden ist, hat die Fähigkeit gewonnen diese Arbeit wieder zurückzugeben. Die von ihm aufgenommene Energie wird potentielle Energie genannt

D 2 = −WD = s 2

Feder:

E pot

Lage:

E pot = −WH = m ⋅ g ⋅ h

Energiesatz der Mechanik Wenn nur konservative Kräfte wirken, also keine Reibung auftritt, dann gilt:

Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie eines abgeschlossenen Systems ist unveränderlich.

E pot + Ekin = E ges = konstant

Umwandlung mechanischer Energieformen Epot, Lage = m ⋅ g ⋅ h

h

Ekin

m 2 = v 2

Epot,Feder

Dx

D 2 = s 2

Konservative Kraftfelder   WI = ∫ F ⋅ dr P2

P1

I

z

v Ft

P2

II

WII =

P1

v dr v r(t)

P1

Wenn WI = WII = WIII =… => Integral wegunabhängig  ⇒ Kraftfeld F(r) konservativ

y x

€

Konservatives Kraftfeld: P2

WI − WII =

  F ∫ ⋅ dr

P2

∫ P1 I

  F ⋅ dr +

P1

∫ P2 II

  F ⋅ dr =

P2

∫

  F ⋅ dr +

P1

∫

P1

P2

II

I

  F ⋅ dr =

  ∫ F ⋅ dr = 0

Die Arbeit hängt nur von Start- und Endpunkt, nicht vom Weg ab.

! 0 $  # & Fr = # 0 & # Fz & " %

Bsp.: homogenes Kraftfeld z

P2

z2

P2

WI =

∫ F ⋅ dr

z2

= 0+

P1

II

∫ F ⋅ dz z

z1

22

z1

WII = P1

I x1

z

z1

x2

Bsp.: zentrales Kraftfeld

x

  ⇒ ∫ F ⋅ dr = 0 ⇒ Konservatives Kraftfeld

 F = f (r)

P2

P2

∫

  F ⋅ dr =

P1

II

=

    F e + F e e dr + e ∫ ( r r ϕ ϕ )( r ϕ Rdϕ ) r1

∫ F ⋅ dr r

r1

I

⇒

P2

P1 r2

P1

∫ F ⋅ dz + 0

∫

= − ∫ Fr ⋅ dr r2

  F ⋅ dr = 0 ⇒ konservativ

Kinematik des Massenpunktes Koordinatensysteme: Kartesische Koordinaten Z MP

 r

! x $ &  # r =# y & # z & " % y

Kugel (Polar) Koordinaten MP

θ r

Bsp: Geradlinige Bewegung|| Y-Achse: Kreis um z-Achse: Schraube:

€

! ρ $ # & MP  r =# ϕ & ## && z z " %

! r $ &  # r =# θ & # ϕ & " %

ϕ

€

Zylinder Koordinaten

ρ

ϕ

x

"  $ r =$ $$ # "  $ r =$ $$ #

% ' y + vy ⋅ t ' '' z0 & ρ ⋅ sin(ω ⋅ t) ρ ⋅ cos(ω ⋅ t) z0

! ? $ &  # r =# ? & # ? & " %

x0

" ρ ⋅ sin(ω ⋅ t)  $ r = $ ρ ⋅ cos(ω ⋅ t) $$ # z0 + v z ⋅ t

% ' ' '' &

% ' ' '' &

" r 0  $ r = $ θ0 $$ # ω ⋅t

! ? $ &  # r =# ? & # ? & " %

% ' ' '' &

! ? $ &  # r =# ? & # ? & " % " ρ % 0 '  $ r =$ ω ⋅t ' $$ z '' # 0 & " ρ0  $ r =$ ω ⋅t $$ z + v ⋅ t # 0 z

% ' ' '' &

Gravitationskraftfeld Der Potentialverlauf

Äquipotentiallinien

Konservative Kraft und potentielle Energie

F =−

dE pot dx

Im dreidimensionalen Raum gilt :  ' dV dV dV $  "" = − grad V (r ) F = −%% , , & dx dy dz #

Das Pendel

Lösung des Pendelproblems mit Hilfe des Energiesatzes Epot+Ekin=const Es gibt zwei ausgezeichnete Punkte: 1. J=Jmax mit Ekin=0 und

E ges = E pot (ϑmax ) = mgh 2. J=0

mit Epot=0 und

2 max

mv Ekin (0) = 2

1.)+2.)

v max = 2 gh

Das asymmetrische Pendel links und rechts gilt E ges = E pot (ϑmax ) = mgh Die Winkel lassen sich ableiten aus :

h = l − l ⋅ cos ϑ 2

≈ l − l ⋅ (1 − ϑ + ...) ≈ lϑ

2

Der allgemeine Energieerhaltungssatz - In einem abgeschlossenen System ist Gesamtenergie konstant. - Energie kann man weder vernichten noch erzeugen. - Die Energieformen können nur ineinander umgewandelt werden. - Dies schließt alle Formen von Energie ein. (Elektrische, mechanische, chemische Energie, Wärmeenergie, etc.)

Perpetuum mobile

Die von nicht-konservativen Kräften verrichtete Arbeit,Wdissipative entspricht der Änderung der mechanischen Gesamtenergie

ΔE ges = ΔE pot + ΔEkin = Wdissipativ