ExMa-MA0125. Ecuaciones e inecuaciones
W. Poveda 1
Ecuaciones
Objetivos 1. Resolver en R ecuaciones lineales, cuadráticas, de grado mayor o igual que 2, con valor absoluto, con radicales, fraccionarias y polinomiales (grado mayor que 2) que admiten factorización por división sintética o fórmula general. 2. Resolver en R inecuaciones lineales, cuadráticas (de grado mayor o igual que 2), con valor absoluto fraccionarias y polinomiales (grado mayor que 2) que admiten factorización por división sintética o fórmula general. Temas 1. Ecuaciones lineales. 2. Ecuaciones cuadráticas (de grado mayor o igual que 2). 3. Ecuaciones polinomiales (de grado mayor que 2). 4. Ecuaciones fraccionarias 5. Ecuaciones con radicales. 6. Ecuaciones con valor absoluto. 7. Inecuaciones lineales. 8. Inecuaciones cuadráticas (de grado mayor o igual que 2). 9. Inecuaciones polinomiales (de grado mayor que 2). 10. Inecuaciones fraccionarias. 11. Inecuaciones con valor absoluto.
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De…nición 1 Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en una o más variables. En este curso se resuelven únicamente ecuaciones en una incógnita. La(s) solución(es) de una ecuación es el valor(es) real(es) que asume la variable tal que la proposición resultante es verdadera. Ejemplo 1 Hallar el conjunto solución de
1 3
5x + 1 1 = : 6 2
Solución 1 3 1 3
5x + 1 1 = 6 2 1 5x + 1 = 2 2
1 5x + 1 = 6 6 1 = 5x + 1 x= S=
2 5
2 5
Ejemplo 2 Hallar el conjunto solución de
4x(3x + 2)( x + 6) = 0.
Solución Para solucionar ésta ecuación se usa la propiedad a b = 0 () a = 0 _ b = 0 =) 4x(3x + 2)( x + 6) = 0 () 4x = 0 _ 3x + 2 = 0 _ x + 6 = 0 () 2 _x=6 3
x=0_x= S=
0; 6;
2 3
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W. Poveda 3 21x 1 x+1 = 3 2
Ejemplo 3 Hallar el conjunto solución de x Solución x 3x
21x 1 x+1 = 3 2 21x + 1 x+1 = , 3 2
36x + 2 = 3x + 3 39x = 1 x=
1 39
S=
1 39
Ejemplo 4 Hallar el conjunto solución de x2
2=0
Solución x2 2 = 0 () x2 = 2 () x2 = 2 () x = p p S= 2; 2
p
2 () x =
Ejemplo 5 Hallar el conjunto solución de (3n + 1)2 = 25 Solución (3n + 1)2 = 25 9n2 + 6n + 1 = 25 9n2 + 6n 24 = 0 4 S= ; 2 3
p
2_x=
p
2
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Ejemplo 6 Hallar el conjunto solución de 2(5x
2)2 + 5 = 25
Solución 2)2 + 5 = 25
2(5x 2(25x2
20x + 4) + 5 = 25
50x2
40x + 8 + 5
50x2
40x
25 = 0
12 = 0
Por fórmula general tenemos que 1p 2 2 1p S= 10 + ; 10 5 5 5 5
Ejemplo 7 Hallar el conjunto solución de x2 + 3kx Solución x2 + 3kx 10k 2 = (x
2k) (x + 5k) = 0 ) S = f 5k; 2kg
Ejemplo 8 Hallar el conjunto solución de x4
5x2 + 6 = 0
Solución Sea u = x2 =) x4 (u
2)(u
10k 2 = 0
5x2 + 6 = u2 + 5u + 6 = (u 3) = 0 () u = 2 _ u = 3
2 Como p u = xp se p tiene p x2 = 2 _ x2 = 3 S= 3; 3; 2; 2
2)(u
3)
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p Ejemplo 9 Hallar el conjunto solución de x + 5 x + 6 = 0 Solución x
p 5 x+6=x
1 Sea u = x 2 1 x 5x 2 + 6 = u2 (u
2)(u
1 5x 2 + 6
5u + 6 = (u
2)(u
3)
3) = 0 () u = 2 _ u = 3
1 1 1 Como u = x 2 se tiene x 2 = 2 _ x 2 = 3 S = f9; 4g
Ejemplo 10 Resolver en R la ecuación
1 x+1
2 3 = x+2 2x + 2
4 2x + 4
Solución Obtener las restricciones (valores en los cuales el denominador se hace cero) x + 1 6= 0 ^ x + 2 6= 0; por lo que x 6=
1 ^ x 6=
2
¿Por qué no se hace lo mismo con 2x + 2 y 2x + 4? 1 2 3 4 = se efectúan las operaciones x+1 x+2 2x + 2 2x + 4 ,
2(x + 2) 2 2(x + 1) 3(x + 2) 4(x + 1) = 2(x + 1)(x + 2) 2(x + 1)(x + 2)
a c aplicando la propiedad = , a = c; b 6= 0 b b ) 2x + 4 4x 4 = 3x + 6 4x 4 ,
2x + x = 2
,x= Como
2 posible solución 2 es una de las restricciones, se tiene S = fg
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Ejemplo 11 Determinar el conjunto solución de Solución p p x+3+ x
p
x+3+
p
x
2=5
2=5
p
p x+3=5 x 2 se despeja un radical p p 2 2 x+3 = 5 x 2 se eleva a potencia 2 , p , x + 3 = x 10 x 2 + 23 se realizan operaciones p , 10 x 2 = 20 se despeja el radical p , x 2=2 ,
,x
2 = 4 se eleva al cuadrado
, x = 6 posible solución, compruebe que 6 es solución. S = f6g Ecuaciones con valor absoluto Tipos de ecuaciones con valor absoluto: jp(x)j = a; jp(x)j = jq(x)j ; jp(x)j + jq(x)j = a con a 2 R+ [ f0g; p(x); q(x) expresiones algebraicas en x: Ejemplo 12 Determinar el conjunto solución de 2 Solución j5
xj =
Caso 1: Si x 2 ] j5
2 ,2
si 5 si 5
5 x x 5
x 0 , x 2]1; 5] x < 0 , x 2]5; 1[
1; 5]:
xj = 3x + 4 (5
x) = 3x + 4 7 2] 2
,x=
1; 5] por lo tanto S1 =
Caso 2. x 2]5; +1[ 2
j5
xj = 3x + 4
,2
(x
,x=
3 2]5; = +1[ ) S2 = ? 4
5) = 3x + 4
7 2
j5
xj = 3x + 4
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S = S1 [ S2 =
W. Poveda 7 7 2
Ejemplo 13 Determinar el conjunto solución de jx + 2j
3 jx
3j =
4
Solución Se de…ne cada valor absoluto x+2 si x 2 (x + 2) si x < 2 x 3 si x 3 3j = (x 3) si x < 3
jx + 2j = jx
y
Una tabla que resume ambos valores absolutos deja ver con más claridad los intervalos a considerar 1 2 3 1 jx + 2j x 2 x+2 x+2 jx 3j 3 x 3 x x 3 Caso 1. Si x 2 ] 1; 2[ : x ,
2
3(3
x
,x=
2
x) =
4
9 + 3x =
4
7 2 = ] 1; 2[ ) S1 = ? 2
Caso 2. Si x 2 [ 2; 3[ x + 2 3(3 x) = 4 ,x+2 ,x=
9 + 3x =
4
3 2 [ 2; 3[) S2 = 4
3 4
Caso 3. Si x 2 ]3; +1[ x+2
3(x
,x+2 ,x=
3) =
3x + 9 =
4 4
15 2]3; +1[) S3 = 2
15 2
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S=
3 15 ; 4 2
Ejemplo 14 Hallar el conjunto solución de Solución p 4 (2x + 1)4 = 10 , j2x + 1j = 10 9 2x + 1 = 10 ) x = 2 2x
1 = 10 ) x =
11 2
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p 4
(2x + 1)4 = 10
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Inecuaciones
De…nición 2 Una inecuación es la comparación de dos expresiones algebraicas en una o más variables mediante uno de los símbolos >, 0 y se efectúan operaciones y se factoriza:
x+1 3(x 1) 2= >0 2 x 2 x El cero del numerador es x = 1 y el del denominador es x = 2 (restricción) 1
x 1 2 x 3(x 1) 2 x La expresión
1 +
2 + +
+1 +
+
3(x 1) es positiva en el intervalo ]1; 2[ 2 x S =]1; 2[
Inecuación con valor absoluto Ejemplo 17 Determinar el conjunto solución de 3 jx + 2j
2 j5
xj < 20
Solución
jx + 2j =
x+2 (x + 2)
si x si x
4 ) S1 =] 4; 1[\]
1; 2[=]
4; 2[
Caso 2. Si x 2 [ 2; 5] 3 jx + 2j 2 j5 xj < 20 , 3(x + 2) , 3x + 6
2(5
x) < 20
2(x
5) < 20
10 + 2x < 20
, 5x < 24 ,x
