UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIER´ IA - FIM

´ MT 227 Control Moderno y Optimo

EXAMEN PARCIAL - 2014I Problema 1: Un tanque vacio con masa mo es posicionado sobre g y0 un resorte lineal con rigidez k. El tanque es estable en yo = 0 y solo se puede mover verticalmente. La fuerza del resorte es definida tal que Fk (yo ) = 0. y(t) La densidad del agua bombeada al tanque es ρ, con flujo volum´etrico variable V˙ i (t) = V˙ max − Cy(t). La V˙ in electr´onica de la bomba puede cambiar apropiadamente el flujo volum´etrico que ingresa al tanque dependiendo de la posici´on y(t) medida por el sensor. P ump V˙ out La masa de las tuberias unidas al tanque adem´ as de la propia masa del tanque est´an consideradas en k mo . Sensor Una v´alvula a la salida del tanque puede ser ajustada y es considerada como la entrada u(t) = V˙ out (t) Fig.(1) Tanque llenandose de agua. del sistema. 1. (2 ptos) Calcular las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento vertical del tanque. Usar z1 = y(t), z2 = y(t) ˙ y z3 = mtanque (t) como estados. La entrada al sistema es u(t) = V˙ out (t) y la salida (se˜ nal medida) es w(t) = y(t). Escribir las ecuaciones en la forma espacio de estados, incluyendo ecuaci´ on de salida. Ayuda: Recordar la ley de conservaci´ on de masa: m(t) ˙ =m ˙ in (t) − m ˙ out (t), y que m(t) = ρV (t). 2. (1 pto) El tanque tiene que mantenerse en equilibrio a la distancia ye , tal que la masa total permanezca en me . ¿Qu´e valor de se˜ nal de entrada u es requerida para este prop´ osito. 3. (2 ptos) Linealizar las ecuciones diferenciales con respecto al punto de equilibrio anterior. Representar las ecuaciones en la forma espacio de estados est´andar con matrices del sistema {A, B, C, D}. Problema 2: Considerar un sistema de potencia el´ectrica con componentes v´alvula-turbina-generador, la entrada de control es el ingreso de combustible u(t) y salida controlada es la velocidad angular del generador ωG (t). El proceso f´ısico es definido por un modelo normalizado en tiempo continuo como sigue: J ω˙ G + DωG = PT − PL , τu P˙T = −PT + Kt u donde J, D, τu son el momento de inercia del generador, coeficiente de amortiguamiento del generador, y constante de tiempo de la turbina. Las variables de estado son ωG y PT , y corresponden a la frecuencia del generador y potencia de la turbina. PL representa la potencia consumida por la carga y Kt es el coeficiente de la posici´on de la v´alvula. Sean J = 1, D = 0.05, τu = 0.1 y Kt = 0.5.   ωG (t) ref 1. (2 ptos) Calcular las ganancias K y kr de la ley de control u(t) = −K (t) que + k r ωG PT (t) permite regular la frecuencia del generador en un valor constante. Asumir que todos los estados son medidos. Ubicar los polos del sistema controlado en s = {−3, −4}. 2. (2 ptos) Siendo que la ley de control anterior es muy dependiente del modelo usado, calcular la din´ amica del controlador considerando efecto integral y presentar el diagrama de bloques de la implementaci´ on. Asumir realimentaci´ on de estados. Ubicar el polo adicional en s = {−5}.

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3. (1 pto) Presentar la implementación en Matllab/Simulink k del sistema de control inncluyendo effecto integral.

Problem ma 3 Sea el sisstema de pénndulo-carro o como se m muestra en laa Fig. 2 La dinám mica del subsistema "péndulo"" está dad da por lass ecuacionees diferenciiales. x1  x2 x2   2 sin x1  u 2 ccos x1 ,   0 Se deseaa diseñar un u compen nsador que permita controlar c ell ángulo x1 del péndullo, para lo cual se debbe seguir los siguientess pasos:

Fig 2 péndulo-carrro

1. (1pto)) Linealice alrededor a dee {x1,x2}={00,0}(punto de equilibriio) y encuenntre la form ma de Espaciio Estado: x  Ax  Bu y  Cx T Con x= [x1,x2] . Se S mide el ángulo á x1 y u es una fueerza externaa. 2. (1pto)) ¿Es establee el subsisteema en Lazoo abierto? 3. (2ptoss) Demuestrre que es po osible posiciionar el sisttema de lazo o cerrado coon valores propios p dobless en -1. Deteermine la gaanancia de R Retroalimen ntación K. 4. (2ptoss) Demuestrre que es po osible posiciionar los vaalores propio os en -1 de la matriz deel error de estimaación A-LC. Calcule laa ganancia L L. 5. (1pto)) ¿El princippio de separración en esste caso da resultados r satisfactorioos en el diseño al determ minar el com mpensador? Justifique uusando los valores v prop pios de la m matriz del co ompensadorr con enntrada y y saalida u. 6. (1pto) Determinee la gananciia de alimenntación direecta kr o Nbar para seguuir una refeerencia constaante. 7. (2ptoss) Solo paraa esta pregun nta considerrar =2, implemente la ecuación n del Sistem ma en lazo ceerrado deteerminando en e la Fig. 3 la ecuaciión del com mpensador Guy(s) en la retroallimentaciónn y Gur(s) en n la alimenttación directaa. Consideree una entrad da constantee r(t) . Fig 3 Modelo del SSistema de Con ntrol del Péndu ulo

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Problemaa 1

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Problem ma 2

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Problema 3 a)

0 A 2 

1  0  B=  C= 1 0  2 0   

b) Loos polos del sistema en laazo abierto ees: s=± es inestable, prresenta un poolo en el sem mi plano deerecho. c) Poolinomio desseado;  des (s )  s 2  2 s  1

 0 C Co   2  

 2   Ranngo(Co) =2 1 

ompletamentte Controlablle, si es posib ble el diseñoo co

deel retro-alimeentador de esstados complleto

1    2   2  1 0  2   1  2 2   K  [0 1]Coo 1  des ( A)  [0 1]  2      2 2 2 1     1    2 0   2    1 0 d) ob    completam mente observ vable, si es poosible el diseeño del  Rango(ob) =2 0 1  obbservador dee estados com mpletos



1



T

L  K  [0 1]Ob  des ( A )  [0 T

T

 2  L 2    1 e)Maatriz del Com mpensador Ac=A-BK-LC A C

1 0  2  1 2 2  T 2 1]    2  1  2   1 0 1   2





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0 Ac   2 

1  0   1   2   0   2    2

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

1 2  2  2   1 0         2 2  2   2  1   (  1)  1  2

Poolinomio carracterístico:

s 2  4 s   2 ( 2  1)  5  0   0

s  4s    0 Coomo   0 , siempre va a ser asintóticcamente 2

esstable, por loo que el diseñ ño del compeensador seerá satisfactoorio.

s1, 2  2  4   f) Kr=-1/2 g))

Guy 

1 s  94 5s  414 2 G  y ur s 2  4s  10 s 2  4s  10