CAPfTLTLO II

ESCALA DE RAMPA O DE CANAL CONTINUA

Si consicleraanos un trozo de canal d^e tma cierta pendi,ente en el qtre el agua marcha con movimiento uniforme o acelerado, pero permanente, es evidente que hay equilibrio er^.^tre la componente, para^lela a la corriente, del peso del agua y ^las resistencias pasivas y de in^ercia. Si en ^um punto cualqtbiera clel ,trow considérado la velocid^d ^del agua es u con respecto al canal, e iniaginamos qu^e éste se moviese en sentido corvtrari^o con la velocidad w, es claro yue la resultan^te del agua sería zc-w. Fijándonos en el movimiento u,niforme, podríamos llregar a maautener el agua en reposo con sólo mover el canal con una velocidad iguaa y contraria a la del agua con respecto a él. Es^ta idea es la qnae sirve de fundamen^t.o al sistema que vam^os a estudiar. Veamos cómo pulede realizarsé.

La esca.la cansiste en ttn ca,nal de sección rectangular y de pendiente ^ualquiera• (fig. 2.fl), en cuyo fondo existen ram^uras, a, b, ..., f, nor ^las que sale el agua de la coTndd'ucción forzada A B coni la velocidad debida a la altura ^-^- h y sentido con^trario a^la corriente de1 canal. Si ima^.ginamos ranuras sem^ejantes en las paredes, hemdre^-nos realizada la idea . fu^ndamental d^el sistema, pu^esto que la corriente del canal m'archaría er^titee paredes y f^ondo constituídos por las láminas dw agua que salen ,por ]as ranuras, que se mueven en sentido contrario. Sin embargo, las ranur^a•s d^e las paredes creemos que^ no serán necesarias, por cuya causa sólo consideraremos en este estudio las del fondo. Por otra parte, el cálculo fácilmenUe se hace exUensivo a]as de ^las paredes. Tomando dos seccianes transversales del canal, vertical^es e infinitamente próx'rmas, y supaniendo que ^las ranuras son también infinitas e infrnitamente pequeñas, es ^vidernte que si por la sección d'e aguas

,4PLICACI^N DEL FRENADO iIIDRÁULlCO A LAS ESCALAS 5AL4fOVERAS lrj

arriba pasa um caudal (,^, por la de aguas abajo pasará (,^ -^ d Q, siendo las v^elo^cidades respectivas Ii y u-}- d ic. La dife^ren^cia de fuerza viva será, llamando S al peso específico del agua y ^ a la aceleración de la gravedad : ^ 2 ^ [(^+du)s-u=1, :

y esta dif^erencia debe ser iglial a^la suma de todos los trabajos realizados.

Figura a'

Con las notaciones indicadas en las figuras, el trabaja elemental realizado por el agua en su descenso por ^a escala será aproximadame^n,^te : ^

ó Q (dy-dz);

pero por otro lacío, e1 a^gua que con velocidad w, directamente opu^esta a la u, sale por las rariuras in^fini^tamente pequeñas comprendidas por la,s ^ios secciones cansideradas, es d Q; luego ^la diferencia cle fu^e.rza viva será :

a 2g

(w' + us) d Q•

llespreciando el trabajo debido a ^as resistencias por carecer de

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JOSÉ MARÍA GARCÍA NÁJERA

^mportancia y redundar adeanás en nuestro favor, ya que tratamos de obtener el efecto c^e frenado más enérgico posible, podemos escribir: 2^[(u -i- d u)' - u^J _ E Q (d y- d z) - Z g (wa -{- u^) d Q;

,y camo ^la velocidad w es la .debida a la altura y-I- g- z, o sea : ^ = V 2 S (Y -I-

- x),

bendremos, sustituyendo en la expresión anterior, la ecuación diferencial d^el movimiento : 2udu=2g(dy-dz)-128(y-^-C-z)-}-u ° J dQ

Q "

que unida a la Q= a u x^ coss a,

^8]

en la que a es la relación entre la anchura y la profundidad de la secci^ón, n^os resuelven la cuestióny pudie,ndo fijar ur^a fu^rución arbLtraria l;ara u^na de las variables. Esta libertad de poder elegir unra, furución arbitraria, barle que la escala que estudiamos se preste a las más diversas circunstancias, como , ser de seoción constante y velocidad variable o viceversa, y también ambas variables; su ^caudal, eligiendo convenientemente el nivel inicial, , pttede reducirse todo lo que se quiéra. Resulta, por ejemplo, conveniente por el peqtteño consumo de..agua a que conduce, dar a u el ' valor u^ = 2 8^I h-{- u°m

^9!

en la que +^ es un coeficiente menor que la unidad; uo, la velocidad inicial en 1V>;, y h tieme el valor ^ ' . h=y-x.

Sustituyendo ert [.7], ,se tiene 1a ecuación 2g(^-^)dh s dQ . Q^ '2 á [C ^-- (1-I- ^) hl -f- u°o

APLICACIÓN

DEL FRENADO HIDRÁULICO A LAS ESC9LA5 S1L^ONERAS 1T

de 1a que, integrada, resulta : 2 g11-r^)dh _ lognepQ- f j zg[C+(1+n1h1+u-o __ t - ,^

1+^ log nep ^2 8 I! ^-11 -f- r,) h -^- u=o[ ]-[- k.

y terviendo en cuenta las condiciones iniciaie.a : h=0r

Q=Qa

nos da la expnesión del caudal en una sección cualquiera:

Q=Qo

^-n 2KÍ1-I-^I)h ^_t l ^+r ^ 2 b' C-I- u`o J

[ 10]

r• con los valores dados por las [8] v[9] : x=

z0 2g^jh. + 2 'la ^

u-o

2g[l+rlh - 1 l2(1^-'il 2gC-}-u'o ^ J

[11J

^ ^

Designando por H la altura total y por u„ la máxi^Ina velocidad admi ^ ible, se deduce de la [9] : , utH - u-o

[12[

2gH ^

con ^la que se obti^emen los valores de los expdnentes de las [ 10] y[ 11 ]. Fina.lmente, la v^elocidad de salida por las ranuras vale : w^V2g(^-}-n)

[t31

que unida a las [9], [ 10], [ 11 ] y[ 12] nos permite calcular todas^ los eleatlen^tos de la es^ca la. Veamos ahora cuáles son los valores más convenientes para +t, uq y uF1 d,esde el punto de vista del mí^nimo aaudal dkrivado. Si hacea-no$

'

1 ^^ -

1-Í- r^ - x'

2^h

2 g^-{- u^o

=E,

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JOSÉ MARÍA GARCÍA NÁJERA

tendremos, sustíttryendo en [ 10] :

Q=Qo^1-}-x ^l^x' de la que derivando con respecto a.r se obtiene : ^ Q = Qo (1 + x -f- 1 ^x (log nep' I

-i-x + 1)

(1 -}-x) i E -i-1 -f- x) ] '

^^ designando por B la funcicín A^logne

2E

2Ex

P( 1-I- x+ l^- í 1-f - x) (2 E-f - 1-i- x) ^

114]

podremos escribir :

áQ =Qo^l+x+ilxe.

j 15)

De la [ 14] se deduce fáci^lmernte :

de __ _ _4^(1 -i-E-F-x-I-Ex) dx (1 -I- x) l2 E -f- 1-}- x)s 0,

y para x = 1:

e,-logneP(E-I-1)-

E , 2 lE -}-1)

que tiene que ser positiva para cualquier valor de ^, porque

dA, = 1 1- 1 l >Or E+1 2(E+1)J dE que, evidlemtemente, es si^empre positiva; luego Bl es crecien^te con ^, v tomo parte de cero, forzosamente ha de ser siempre positiva, confor^ne habíamos dicho. Ahora bien : sie^ndo Ba ry^ Bl positivos, y según ya hemos visto, B tma fu^nción manótona, res^ulta probado que B se mantiene positiva en el' in^tervalo 0< x< 1, y, por lo tánto, también la

APT.IC.4CIÓ:ti DEL FREtiADO HIDR^^C'LICO A LAS ESCALAS SALMONF,RAS 1 ^

[15]. EI caudal Q es, entonces, creciente con x, o]o que es lo mismo, decreciente con ^, sin que en el intervalo 0^^