L¨ osungen zu den Aufgaben der Vortragsausarbeitung zur Fortbildung fu ¨ r Mathematiklehrer: Theorie und Visualisierung algebraischer Kurven und Fl¨ achen am Mathematischen Forschungszentrum Oberwolfach

erstellt von Martin Renner

November 2008

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L¨ osungen zu Kapitel 1

Aufgabe 1.31 F¨ ur die Visualisierung der L¨osungsmengen der algebraischen Gleichungen wird gem¨aß dem in Bemerkung 1.12 beschriebenen Beispiel verfahren: a.) SINGULAR A Computer Algebra System for Polynomial Computations

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0< by : G . - M . Greuel , G . Pfister , H . Schoenemann \ Nov 2007 FB Mathematik der Universitaet , D -67653 Kaiserslautern \ > ring R =0 ,( x , y ) , dp ; > poly f = y ^2 - x ^4+2* x ^2 -1; > LIB " surf . lib "; // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / surf . lib (1.28 ,200 7/07/13) > plot ( f ); Press q to exit from ’ surf ’ > quit ;

b.) ... > poly f =1/4* x ^2+1/9* y ^2 -1; ...

c.) SINGULAR A Computer Algebra System for Polynomial Computations

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0< by : G . - M . Greuel , G . Pfister , H . Schoenemann \ Nov 2007 FB Mathematik der Universitaet , D -67653 Kaiserslautern \ > ring R =0 ,( x ,y , z ) , dp ; > poly f = x ^3 - y ^2 - z ^2; > LIB " surf . lib "; // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / surf . lib (1.28 ,200 7/07/13) > plot ( f ); Press q to exit from ’ surf ’ > quit ;

Aufgabe 1.32 a.) SINGULAR A Computer Algebra System for Polynomial Computations

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0< by : G . - M . Greuel , G . Pfister , H . Schoenemann \ Nov 2007 FB Mathematik der Universitaet , D -67653 Kaiserslautern \ > ring R =0 ,( x , y ) , dp ; > poly f =( x ^2+ y ^2)^3 -4* x ^2* y ^2; > LIB " surf . lib "; // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / surf . lib (1.28 ,200 7/07/13) > plot (f ," scale_x =0.1; scale_y =0.1;"); Press q to exit from ’ surf ’ > quit ;

1 L¨ osungen zu Kapitel 1

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Abb. 1.31: Visualisierung mit Surf. b.) ... > poly f = x ^4+6* x ^2* y ^3; ...

c.) ... > poly f =516* x ^4* y -340* x ^2* y ^3+57* y ^5 -640* x ^4 -168* x ^2* y ^2+132* y ^4 -384* x ^2* y +292* y ^3+1024* x ^2; ...

Abb. 1.32: Visualisierung mit Surf. Aufgabe 1.33 a.) SINGULAR A Computer Algebra System for Polynomial Computations

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0< by : G . - M . Greuel , G . Pfister , H . Schoenemann \ Nov 2007 FB Mathematik der Universitaet , D -67653 Kaiserslautern \ > ring R =0 ,( x ,y , z ) , dp ; > poly f =(2* x ^2+ y ^2+ z ^2 -1)^3 -1/10* x ^2* z ^2 - y ^2* z ^3; > LIB " surfex . lib "; // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / surfex . lib (1.5 ,20 07/07/12)

4

// ** loaded / usr / share / Singular / LIB / sing . lib (1.30 ,200 6/08/02) // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / random . lib (1.17 ,2 006/07/20) // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / matrix . lib (1.37 ,2 007/04/20) // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / ring . lib (1.31 ,200 6/12/15) // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / general . lib (1.54 , 2007/01/08) // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / poly . lib (1.46 ,200 7/07/25) // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / inout . lib (1.29 ,20 06/07/20) // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / primdec . lib (1.135 ,2007/04/20) // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / absfact . lib (1.6 ,2 007/07/13) // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / triang . lib (1.11 ,2 006/12/06) // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / elim . lib (1.21 ,200 6/08/03) // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / solve . lib (1.36 ,20 07/05/07) > plotRot ( f ); > quit ;

b.) ... > poly f =(1 -3* x -3* y -3* z )*( x * y + y * z + z * x )+5* x * y * z ; ...

c.) ... > poly f =256* x ^3 -128* x ^2* z ^2+144* x * y ^2* z +16* x * z ^4 -27* y ^4 -4* y ^2* z ^3; ...

d.) ... > poly f =( x + y +z -1)*( x -y -z -1)*( y -x -z -1)*( z -x -y -1)*( x + y + z +1)*( x -y - z +1)*( y -x z +1)*( z -x - y +1)+( x ^2+ y ^2+ z ^2 -1)*( x ^2+ y ^2+ z ^2 -1)*( x ^2+ y ^2+ z ^2 -2)*( x ^2+ y ^2+ z ^2 -2); ...

1 L¨ osungen zu Kapitel 1

Abb. 1.33: Visualisierung mit Surfex.

Aufgabe 1.34

Abb. 1.34: Visualisierung der L¨osungsmenge.

Aufgabe 1.35 Aufgabe 1.36 Gem¨aß Definition 1.16 ist I = hf1 , . . . , fk i = {g1 (x) · f1 (x) + . . . + gk (x) · fk (x) | g1 , . . . , gk ∈ K[x]} das von den Polynomen f1 , . . . , fk ∈ K[x] erzeugte Ideal.

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Abb. 1.35: Visualisierung der L¨osungsmenge. Zu zeigen ist Bemerkung 1.17. ⇒: Es ist vorausgesetzt, dass alle Polynome fi , i = 1, . . . , k im Punkt a verschwinden, d. h.P fi (a) = 0∀i = 1, . . . , k. Damit verschwindet aber auch jede Linearkombination ki=1 gi · fi von fi im Punkt a, da jeder Summand gi (a) · fi (a) = 0, P insbesondere verschwindet also jedes Polynom g = ki=1 gi · fi ∈ I im Punkt a, also g(a) = 0.  ⇐: Es ist vorausgesetzt, dass alle Polynome aus dem Ideal I im Punkt a verPk schwinden, d. h. insbesondere g = i=1 gi (a) · fi (a) = 0. Alle Polynome fi , i = 1, . . . , k erzeugen das Ideal I und sind damit auch Elemente von I. Also muss insbesondere f¨ ur gi (x) = 1 gelten, dass alle fi (a) = 0 sind, also a ∈ V (f1 , . . . , fk ).  Aufgabe 1.37 Die rationale Parametrisierung F l¨asst sich gem¨aß Definition 1.13 mit m = 1, n = (t) f2 (t) 2 und t = t darstellen als F (t) = ( fg11 (t) , g2 (t) ) mit den Polynomen f1 (t) = −t4 − 6t3 + 3, f2 (t) = 8t3 , g1 (t) = g2 (t) = 3(1 + t2 )2 ∈ R[t].

Um die Gleichung des Bildes der Parametrisierung F zu berechnen m¨ ussen wir nach Bemerkung 1.20 das Ideal I = hx · g1 − f1 , y · g2 − f2 i ⊆ R[t, x, y] mit dem Polynomring R[x, y] schneiden, wof¨ ur wir das CAS Singular wie in Beispiel 1.21 verwenden: SINGULAR A Computer Algebra System for Polynomial Computations

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0< by : G . - M . Greuel , G . Pfister , H . Schoenemann FB Mathematik der Universitaet , D -67653 Kaiserslautern > ring R =0 ,( t ,x , y ) , dp ; > poly f1 = - t ^4 -6* t ^3+3; > poly f2 =8* t ^3; > poly g1 =3*(1+ t ^2)^2; > poly g2 = g1 ; > ideal I = g1 *x - f1 , g2 *y - f2 ;

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Nov 2007 \

1 L¨ osungen zu Kapitel 1

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> ideal J = eliminate (I , t ); > short =0; > J; J [1]=192* x ^4+576* x ^3* y +672* x ^2* y ^2+360* x * y ^3+75* y ^4 -512* x ^3 -1152* x ^2* y -696 * x * y ^2 -90* y ^3+384* x ^2+576* x * y +312* y ^2 -64 > LIB " surf . lib "; // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / surf . lib (1.28 ,200 7/07/13) > ring S =0 ,( x , y ) , dp ; > ideal J = imap (R , J ); > plot (J ," scale_x =0.2; scale_y =0.2;"); Press q to exit from ’ surf ’ > quit ;

Die Gleichung des Bildes der Parametrisierung ist das Polynom 192x4 + 576x3 y + 672x2 y 2 + 360xy 3 + 75y 4 − 512x3 − 1152x2 y − 696xy 2 − 90y 3 + 384x2 + 576xy + 312y 2 − 64.

Abb. 1.37: Visualisierung des Bildes der Parametrisierung.

Aufgabe 1.38 SINGULAR A Computer Algebra System for Polynomial Computations

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0< by : G . - M . Greuel , G . Pfister , H . Schoenemann \ Nov 2007 FB Mathematik der Universitaet , D -67653 Kaiserslautern \ > ring R =0 ,( t ,x , y ) , dp ; > poly f1 = t ^3+1; > poly f2 = t ^4+ t ; > poly g1 = t ^4+1; > poly g2 = g1 ; > ideal I = g1 *x - f1 , g2 *y - f2 ; > ideal J = eliminate (I , t ); > short =0; > J; J [1]= x ^4+ y ^4 - x ^3 - y ^3 > LIB " surf . lib "; // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / surf . lib (1.28 ,200 7/07/13) > ring S =0 ,( x , y ) , dp ; > ideal J = imap (R , J ); > plot (J ," scale_x =0.2; scale_y =0.2;"); Press q to exit from ’ surf ’ > quit ;

8 Die Gleichung des Bildes der Parametrisierung ist das Polynom x4 + y 4 − x3 − y 3 .

Abb. 1.38: Visualisierung des Bildes der Parametrisierung. Aufgabe 1.39 SINGULAR A Computer Algebra System for Polynomial Computations

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0< by : G . - M . Greuel , G . Pfister , H . Schoenemann \ Nov 2007 FB Mathematik der Universitaet , D -67653 Kaiserslautern \ > ring R =0 ,( s ,x , y ) , dp ; > poly f1 = -24* s ^3+12* s ^2 -2* s +1; > poly f2 =24* s ^3+12* s ^2+2* s +1; > poly g1 =16* s ^4+24* s ^2+1; > poly g2 = g1 ; > ideal I = g1 *x - f1 , g2 *y - f2 ; > ideal J = eliminate (I , s ); > short =0; > J; J [1]= x ^4+ y ^4 - x ^3 - y ^3 > LIB " surf . lib "; // ** loaded / usr / share / Singular / LIB / surf . lib (1.28 ,200 7/07/13) > ring S =0 ,( x , y ) , dp ; > ideal J = imap (R , J ); > plot ( J ); Press q to exit from ’ surf ’ > quit ;

Die Gleichung des Bildes der Parametrisierung ist das Polynom x4 + y 4 − x3 − y 3 . Aufgabe 1.40 SINGULAR A Computer Algebra System for Polynomial Computations

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0< by : G . - M . Greuel , G . Pfister , H . Schoenemann FB Mathematik der Universitaet , D -67653 Kaiserslautern > ring R =0 ,( s ,t ,x ,y , z ) , dp ; > poly f1 = s ^2; > poly f2 = s * t ; > poly f3 = t ^2; > ideal I =x - f1 ,y - f2 ,z - f3 ; > ideal J = eliminate (I , st );

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1 L¨ osungen zu Kapitel 1

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> short =0; > J; J [1]= y ^2 - x * z > LIB " surfex . lib "; ... > ring S =0 ,( x ,y , z ) , dp ; > ideal J = imap (R , J ); > plotRot ( J ); > quit ;

Die Gleichung des Bildes der Parametrisierung ist das Polynom y 2 − xz.

Abb. 1.40: Visualisierung des Bildes der Parametrisierung. Aufgabe 1.41 SINGULAR A Computer Algebra System for Polynomial Computations

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0< by : G . - M . Greuel , G . Pfister , H . Schoenemann FB Mathematik der Universitaet , D -67653 Kaiserslautern > ring R =0 ,( s ,t ,x ,y , z ) , dp ; > poly f1 = t ^2 - s * t ; > poly f2 = s ^2 - s * t ; > poly f3 = t ^2 - s ^2; > ideal I =x - f1 ,y - f2 ,z - f3 ; > ideal J = eliminate (I , st ); > short =0; > J; J [1]= x -y - z > LIB " surfex . lib "; ... > ring S =0 ,( x ,y , z ) , dp ; > ideal J = imap (R , J ); > plotRot ( J ); > quit ;

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Die Gleichung des Bildes der Parametrisierung ist das Polynom x − y − z.

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Abb. 1.41: Visualisierung des Bildes der Parametrisierung. Aufgabe 1.42

Abb. 1.42: Familie von Kurven f¨ ur t = 0, t = 1 und t = 2.

2 L¨ osungen zu Kapitel 2

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L¨ osungen zu Kapitel 2

Aufgabe 2.30 Nach Definition 2.3 und Bemerkung 2.4 sind die projektiven Koordinaten (x : y : z) eines Punktes der projektiven Ebene nur bis auf ein skalares Vielfaches eindeutig bestimmt, d. h. (x : y : z) = (λx : λy : λz) f¨ ur ein λ ∈ K. Also ist P1 = P 5 = P6 . Aufgabe 2.31 Nach Definition 2.7 heißt ein Polynom f vom Grad d genau dann homogen, wenn jedes Monom von f den Grad d hat. Nach Bemerkung 2.13 ist f h = z deg(f ) · f ( xz , yz ) ∈ K[x, y, z] die Homogenisierung eines Polynoms f ∈ K[x, y]. Sei f ∈ K[x, y] vom Grad d. Dann m¨ ussen f¨ ur die Homogenisierung f h alle i j d Monome xi y j von f ersetzt werden mit z d · ( xz )i · ( yz )j = xzyi+jz = xi y j z d−i−j .  Aufgabe 2.32 Nach Definition 2.11 heißt die Gerade V (z) unendlich ferne Gerade, also ist im Polynom f (x, y, z) = x3 z +2xyz 2 −3xz 3 +x4 −x3 y die Koordinate z = 0 zu setzen. Damit ist f (x, y, 0) = x4 − x3 y = x3 (x − y) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = y. Also lauten die Schnittpunkte der projektiven Kurve mit der unendlich fernen Geraden (0 : 1 : 0) und (1 : 1 : 0).

Abb. 2.32: Visualisierung mit Surfex. ¨ Die beiden Schnittpunkte liegen auf der Aquatorlinie der Einheitskugel (z = 0), wo sie sich diese mit der Projektion des Polynoms f auf die Einheitskugel treffen.

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12 Aufgabe 2.33

Abb. 2.33: Visualisierung mit Surfex. Aufgabe 2.34 [. . .] Aufgabe 2.35 [. . .] Aufgabe 2.36

Abb. 2.36: Visualisierung mit Surfex. Aufgabe 2.37 Nach Bemerkung 2.13 ist die Homogenisierung F eines Polynoms f ∈ K[x, y] gegeben durch F = f h = z deg(f ) · f ( xz , yz ) ∈ K[x, y, z]. a.) f (x, y) = x2 − y 3 ⇒ F (x, y, z) = x2 z − y 3 b.) f (x, y) = xy − 1 ⇒ F (x, y, z) = xy − z 2

2 L¨ osungen zu Kapitel 2 c.) f (x, y) = x2 − y 4 ⇒ F (x, y, z) = x2 z 2 − y 4 d.) f (x, y) = y 2 − x(x − 1)(x − 2) = y 2 − x3 + 3x2 − 2x ⇒ F (x, y, z) = y 2 z − x3 + 3x2 z − 2xz 2

Abb. 2.37: Visualisierung mit Surfex. Aufgabe 2.38 Nach Bemerkung 2.13 ist die Dehomogenisierung f eines homogenen Polynoms F ∈ K[x, y, z] gegeben durch f = F dh = F (x, y, 1) ∈ K[x, y]. a.) F (x, y, z) = x2 z − 3xyz + y 3 ⇒ f (x, y) = F (x, y, 1) = x2 − 3xy + y 3 b.) F (x, y, z) = xz + yz + z 2 ⇒ f (x, y) = F (x, y, 1) = x + y + 1 Aufgabe 2.39 Der Einheitskreis ist gegeben durch V (k) mit dem Polynom k(x, y) = x2 + y 2 − 1. Die Homogenisierung ergibt K(x, y, z) = k h (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 . Der Vektor x = (x, y, z)T wird unter der projektiven Koordinatentransformation A abgebildet auf A · x = (x + z, y + z, x + y + z)T . Damit ergibt sich das homogene Polynom KA(x, y, z) = K(x + z, y + z, x + y + z) = (x + z)2 + (y + z)2 − (x + y + z)2 =

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Abb. 2.38: Visualisierung mit Surfex.

Abb. 2.39: Visualisierung mit Surfex. z 2 − 2xy. Das Bild des projektiven Abschlusses des Einheitskreises in der affinen Ebene unter dieser Koordinatentransformation ist die Dehomogenisierung dieses Polynoms, also die Hyperbel kA(x, y) = KAdh (x, y, z) = KA(x, y, 1) = 1 − 2xy. Aufgabe 2.40 Nach Bemerkung 2.26 kann die durch das homogene Polynom F (x, y, z) = 5x2 + 4xy + 4xz + 2y 2 − 8yz + 2z 2 definierte projektive Quadrik V (F ) mithilfe von Matrixmultiplikation geschrieben werden als F (x, y, z) = xT · Q · x mit der symmetrischen Matrix   5 2 2 Q = 2 2 −4 ∈ R3×3 . 2 −4 2

Gem¨aß Satz 2.27 (Hauptachsentransformation) existiert eine invertierbare Matrix A mit A−1 = AT (d. h. die Matrix ist orthogonal), sodass sich die zur Quadrik geh¨orende Matrix Q auf die gew¨ unschte Normalform A−1 · Q · A bringen l¨asst. Durch die Hauptachsentransformation (HAT) werden durch Drehung des Koordinatensystems zun¨achst die gemischten Terme xy, xz bzw. yz entfernt. Wesentliches Hilfsmittel zur Beseitigung der gemischten Terme ist die Berechnung der

2 L¨ osungen zu Kapitel 2 Eigenwerte und zugeh¨origen Eigenvektoren der zur Gleichung geh¨origen Matrix Q. Eine reelle Zahl λ heißt Eigenwert zu Q, falls ein Vektor x ∈ R3 existiert mit Q·x = λ · x. Die Eigenwerte von Q berechnen sich als Nullstellen des charakteristischen Polynoms pQ(λ) = det(Q−λ·13), die Eigenvektoren zu λ erh¨alt man durch L¨osen des homogenen LGS (Q − λ · 13)x = 0. Als charakteristisches Polynom erh¨alt man 5 − λ 2 2 2 − λ −4 = −λ3 + 9λ2 − 108 = −(λ + 3)(λ − 6)2 . pQ(λ) = 2 2 −4 2 − λ Die Nullstellen sind also λ1 = −3 und λ2/3 = 6.

F¨ ur diese Eigenwerte m¨ ussen jeweils LGS gel¨ost werden, n¨amlich f¨ ur λ1     1 0 1/2 8 2 2 2 5 −4 ; 0 1 −1  0 0 0 2 −4 5 und f¨ ur λ2/3     1 −2 −2 8 −1 2 2 −4 −4 ; 0 0 0 . 0 0 0 2 −4 −4

Die Berechnung liefert zu λ1 die Eigenvektoren x = t · (−1, 2, 2)T und zu λ2/3 die Eigenvektoren x = s · (2, 1, 0)T + t · (2, 0, 1)T .

Abb. 2.40: Quadrik (gelb) mit Eigenraum (blau) und Normalform (gr¨ un). F¨ ur die Koordinatentransformation ben¨otigen wir drei paarweise orthogonale Eigenvektoren. Wir w¨ahlen x1 = (−1, 2, 2)T (t = 1), x2 = (2, 1, 0)T (s = 1, t = 0) und berechnen x3 = x1 × x2 = (2, −4, 5)T , welcher ein Eigenvektor zu λ2/3 = 6 ist (s = −4, t = 5).

Wir ben¨otigen nach Bemerkung 2.27 f¨ ur die Drehung des Koordinatensystems eine Orthonormalbasis (ONB). Dazu fassen wir die normierten Eigenvektoren

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16 (Hauptachsen) so zu einer orthogonalen Matrix A zusammen, dass det(A) = 1 gilt, d. h. A ist eine Drehmatrix:   √ 5 6 2 √ A = 3√1 5 −2√5 3 −4. −2 5 0 5

Die Koordinatentransformation A−1 · Q · A f¨ uhrt also auf eine Diagonalmatrix, in deren Hauptdiagonale gerade die Eigenwerte stehen:   −3 0 0 A−1 · Q · A =  0 6 0. 0 0 6 Wir f¨ uhren durch x = Ay neue Koordinaten ein. Diese Transformation u uhrt ¨berf¨ die gegebene Gleichung in die Gleichung yT ·A−1 ·Q·A·y = 0 ⇔ −3x2 +6y 2 +6z 2 = 0. An der Normalform der gegebenen Quadrik V (F ) ist leicht abzulesen, daß es sich um einen Doppelkegel (mit der x-Achse als Kegelachse) handelt.

3 L¨ osungen zu Kapitel 3

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L¨ osungen zu Kapitel 3

Aufgabe 3.24 [. . .] Aufgabe 3.25 [. . .] Aufgabe 3.26 [. . .] Aufgabe 3.27 In Beispiel 3.3 waren die Quadriken Ct und C ′ gegeben mit den homogenen Polynomen Ct (x, y, z) = x2 + ty 2 − z 2 und C ′ (x, y, z) = 4xy − z 2 und einem Parameter t ∈ [1; 4]. Die Schnittpunkte ergaben die vier projektiven L¨osungen p √ √ P1 = (2 − 4 − t : 1 : 2 2 − 4 − t), p √ √ P2 = (2 + 4 − t : 1 : 2 2 + 4 − t), p √ √ P3 = (2 − 4 − t : 1 : −2 2 − 4 − t), p √ √ P4 = (2 + 4 − t : 1 : −2 2 + 4 − t).

Diese Punkte sind f¨ ur t < 4 tats¨achlich verschieden und fallen f¨ ur t = 4 in zwei Punkte P1/2 und P3/4 zusammen.

Abb. 3.27: Visualisierung f¨ ur t = 1 und t = 4. Wir wollen die Randwerte des Parameterintervalls n¨aher untersuchen. Um die Schnittvielfachheit zu ermitteln verwenden wir die in Definition 3.7 eingef¨ uhrte Resulante der zwei Polynome Ct und C ′ . Daf¨ ur m¨ ussen die Polynome

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18 dehomogenisiert werden, also ct (x, y) = Ctdh (x, y, z) = Ct (x, y, 1) = x2 + ty 2 − 1 bzw. c′ (x, y) = C ′dh (x, y, z) = C ′ (x, y, 1) = 4xy − 1. Das Schaubild des dehomogenisierten Polynoms ct ist eine Ellipsenschar, das von c′ eine Hyperbel. Wir betrachten zun¨ √achst den √ Fall√t = 1 und ermitteln die Schnittvielfachheit im Punkt P1 = (2 − 3 : 1 : 6 − 2). Zur Ermittlung des Schnittpunkts in der affinen Ebene z√= 1, √ wird mit √ der√z-Koordinate normalisiert, es ergibt sich der 1 1 Punkt P1 = ( 4 ( 6 − 2), 4 ( 6 + 2)).

Um Satz 3.5 (Satz von B´ezout) anwenden zu d¨ urfen, muss der Schnittpunkt im Ursprung liegen, d. h. der Schnittpunkt der beiden Kurven im Affinen muss in den Ursprung verschoben werden mittels folgender Koordinatentransformation: √ √ √ √ c1 (x − xP1 , y − yP1 ) = y 2 − 12 ( 6 − 2)y + x2 − 12 ( 6 − 2)x, √ √ √ √ c′ (x − xP1 , y − yP1 ) = (4x − 6 + 2)y − ( 6 + 2)x.

Der Grad von c1 ist m = 2, der von c′ ist n = 1. Die Resulante Resc1 ,c′ ist die Determinante der (3 × 3)-Matrix A mit √ Eintr¨ √ agen der Koeffizienten √ √ in x des 1 1 2 Polynoms in y. Diese sind a0 = x − 2 ( 6 − 2)x, a1 = − 2 ( 6 − 2), a2 = 1 √ √ √ √ und b0 = −( 6 + 2)x, b1 = 4x − 6 + 2 und damit √ √ √   2 1 √   1 x −√ ( 6− 1 a0 a1 a2 2 √ 2)x − 2 ( √6 − √2)  A =  b0 b1 0  =  −( 6 + 2)x 4x √ − 6√ + 2 √0 √ . 0 b0 b1 0 −( 6 + 2)x 4x − 6 + 2 Die Determinante davon ist

√ √ √ √ √ Resc1 ,c′ = det(A) = 16x4 − 16( 6 − 2)x3 − 8(3 3 − 4)x2 − 4( 6 − 3 2)x.

Die Ordnung dieses Polynoms in x ist 1 (der niedrigste auftretende Grad ist linear), also schneiden sich die beiden affinen Kurven im Punkt P1 f¨ ur t = 1 nur einfach. Der Fall t = √ 4 ergibt sich ¨aquivalent. Es ist die Schnittvielfachheit im Punkt P1 = (2 : 1 :√2 √2) zu ermitteln. Dieser reduziert sich in der affinen Ebene z = 1 auf P1 = ( 22 , 42 ). Das Verschieben des Schnittpunkts der beiden Kurven im Affinen in den Ursprung ergibt die beiden transformierten Polynome √ √ c4 (x, y) = 4y 2 − 2y 2 + x2 − x 2 und √ √ c′ (x, y) = (4x − 2 2)y − x 2. √ √ Die√Koeffizienten √ sind also a0 = x2 − x 2, a1 = −2 2, a2 = 4 und b0 = −x 2, b1 = 4x − 2 2 und damit √ √     2 x 2 −2 √ 2 4 x −√ a0 a1 a2 A =  b0 b1 0  =  −x 2 4x −√ 2 2 0 √ . 0 b0 b1 0 −x 2 4x − 2 2

3 L¨ osungen zu Kapitel 3 Die Determinante davon ist

√ Resc4 ,c′ = det(A) = 16x4 − 32x3 2 + 32x2 .

Die Ordnung dieses Polynoms in x ist 2 (der niedrigste auftretende Grad ist quadratisch), also schneiden sich die beiden affinen Kurven im Punkt P1 f¨ ur t = 4 doppelt. Aufgabe 3.28 [. . .] Aufgabe 3.29 [. . .] Aufgabe 3.30 [. . .] Aufgabe 3.31 [. . .] Aufgabe 3.32 [. . .] Aufgabe 3.33 [. . .]

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L¨ osungen zu Kapitel 4

Aufgabe 1.5.1 [. . .] Aufgabe 1.5.2 [. . .] Aufgabe 1.5.3 [. . .] Aufgabe 1.5.4 [. . .] Aufgabe 2.7.1 [. . .] Aufgabe 2.7.2 [. . .] Aufgabe 2.7.3 [. . .] Aufgabe 2.7.4 [. . .] Aufgabe 2.7.5 [. . .] Aufgabe 2.7.6 [. . .] Aufgabe 3.4.1 [. . .]

4 L¨ osungen zu Kapitel 4 Aufgabe 3.4.2 [. . .] Aufgabe 3.4.3 [. . .] Aufgabe 3.4.4 Nach der Definition in Aufgabe 3.4.3 ist ein Monoid eine irreduzible Hyperfl¨ache vom Grad d im Pn (K) mit einem Punkt von Ordnung d − 1, d. h. im Polynom kommen nur Monome vom Grad d und d − 1 vor.

F¨ ur das Polynom f (x, y) = (x2 − y 2 )2 − x5 = −x5 + x4 − 2x2 y 2 + y 4 ist d = 5, die niedrigsten Monome sind vom Grad d − 1 = 4.

Nach dem Satz von B´ezout errechnet sich die Anzahl der Schnittpunkte zweier Polynome f, g als Produkt der beiden Grade, also in unserem Fall #SP (f, g) = deg(f ) · deg(g) = 5 · 1 = 5, d. h. es gibt genau einen weiteren Schnittpunkt, die Kurve ist also parametrisierbar, da die Gerade durch zwei Punkte der Kurve in einem Punkt (Singularit¨at) fest bleibt und sich im anderen Punkt (Kurvenpunkt) bewegt.

Die Parametrisierung erfolgt mit dem Ansatz g : y = tx, also f (x, tx) = (x2 − t2 x2 )2 −x5 = −x5 +(1−t2 )2 x4 . Die Nullstellen dieses Polynoms in x sind x1−4 = 0 und x5 = (1 − t2 )2 . Eine Nullstelle liegt im Ursprung, womit die Voraussetzung f¨ ur die Anwendung des Satzes von B´ezout erf¨ ullt ist. Die Parametrisierung lautet 2 2 2 2 also f (t) = ((1 − t ) , t(1 − t ) ).

Abb. 4.4: Visualisierung der Parametrisierung f¨ ur t ∈ [− 32 ; 32 ]. F¨ ur ein beliebiges Monoid sei o. B. d. A. die Singularit¨at S=(0,0) im Ursprung (ansonsten muss diese mittels einer Koordinatentransformation in den Ursprung verschoben werden), damit die Voraussetzung f¨ ur die Anwendung des Satzes von B´ezout erf¨ ullt ist.

21

22 Dann gilt f¨ ur die ebene algebraische Kurve X X aij xi y j + aij xi y j f= i+j=d−1

i+j=d

und f¨ ur die Parametrisierung y = tx. Damit ergibt sich f =

X

aij xi (tx)j +

X

d−1 j

i+j=d−1

=

aij xi (tx)j

X

aij xd tj

i+j=d

aij x

t +

i+j=d−1

= xd−1 (

X

i+j=d

X

aij tj + x

i+j=d−1

X

aij tj ).

i+j=d

Die Nullstellen dieses Polynoms sind die d − 1-fache Nullstelle x = 0 sowie die P j i+j=d−1 aij t P . einfache Nullstelle x = − j aij t i+j=d

Damit lautet die Parametrisierung im Affinen f : C → C2 , t 7→ (x(t), y(t)) mit x(t) = −

P j i+j=d−1 aij t P j , y(t) a t ij i+j=d

= −t

P j i+j=d−1 aij t P j , a t ij i+j=d

im Projektiven f : PC → PC2 , (s : t) 7→ (− P d−j j t ). i+j=d aij s

P

i+j=d−1

aij sd−j tj : −t

P

i+j=d−1

aij sd−j−1 tj :

Aufgabe 3.4.5 F¨ ur das Polynom f (x, y, z) = (x2 + y 2 − z 2 )2 − x5 = −x5 + x4 − 2x2 y 2 − 2x2 z 2 + y 4 − 2y 2 z 2 + z 4 ist d = 5, die niedrigsten Monome sind vom Grad d − 1 = 4.

Abb. 4.5: Visualisierung der algebraischen Fl¨ache.

4 L¨ osungen zu Kapitel 4

23

Nach dem Satz von B´ezout errechnet sich die Anzahl der Schnittpunkte zweier Polynome f, g zu #SP (f, g) = 5, d. h. es gibt genau einen weiteren Schnittpunkt, die Fl¨ache ist also parametrisierbar, da sie mittels zweier Geraden durch je zwei Punkte in einem festen Punkt (Singularit¨at) und einem anderen beweglichen Punkt (Fl¨achenpunkt) darstellbar ist. Die Parametrisierung erfolgt mit dem Ansatz g : y = sx, h : z = tx, also f (x, sx, tx) = (x2 + s2 x2 − t2 x2 )2 − x5 = −x5 + (1 + s2 − t2 )2 x4 . Die Nullstellen dieses Polynoms in x sind x1−4 = 0 und x5 = (1 + s2 − t2 )2 . Eine Nullstelle liegt im Ursprung, womit die Voraussetzung f¨ ur die Anwendung des Satzes von B´ezout erf¨ ullt ist. Die Parametrisierung lautet also f (s, t) = ((1 + s2 − t2 )2 , s(1 + s2 − t2 )2 , t(1 + s2 − t2 )2 ).

Abb. 4.5: Visualisierung der Parametrisierung f¨ ur s, t ∈ [−1; 1] bzw. s, t ∈ [−2; 2]. F¨ ur ein beliebiges Monoid sei o. B. d. A. die Singularit¨at S=(0,0,0) im Ursprung (ansonsten muss diese mittels einer Koordinatentransformation in den Ursprung verschoben werden), damit die Voraussetzung f¨ ur die Anwendung des Satzes von B´ezout erf¨ ullt ist. Dann gilt f¨ ur die algebraische Fl¨ache X X f= aijk xi y j z k + aijk xi y j z k i+j+k=d−1

i+j+k=d

und f¨ ur die Parametrisierung y = sx, z = tx. Damit ergibt sich X

f =

i+j+k=d−1

=

X

= x

(

aijk xi (sx)j (tx)k

i+j+k=d

aijk xd−1 sj tk +

i+j+k=d−1 d−1

X

aijk xi (sx)j (tx)k +

X

i+j+k=d−1

X

aij xd sj tk

i+j=d j k

aijk s t + x

X

i+j+k=d

aijk sj tk ).

24 Die Nullstellen dieses Polynoms sind die d − 1-fache Nullstelle x = 0 sowie die P j k i+j+k=d−1 aijk s t . einfache Nullstelle x = − P aijk sj tk i+j+k=d

Damit lautet die Parametrisierung im Affinen f : C2 → C3 , (s, t) 7→ (x(s, t), y(s, t), z(s, t)) mit x(s, t) = −

P j k i+j+k=d−1 aijk s t P j tk , y(s, t) a s i+j+k=d ijk

= −s

P j k i+j+k=d−1 aijk s t P j tk , z(s, t) a s i+j+k=d ijk

= −t

P j k i+j+k=d−1 aijk s t P j tk , a s i+j+k=d ijk

im Projektiven P P f : PC2 → PC3 , (r : s : t) 7→ (− i+j+k=d−1 aijk rd−j−k sj tk : −s i+j+k=d−1 aijk rd−j−k−1 sj tk : P P −t i+j+k=d−1 aijk rd−j−k−1 sj tk : i+j+k=d aijk rd−j−k sj tk ).

5 L¨ osungen zu Kapitel 5

5

L¨ osungen zu Kapitel 5

Aufgabe 5.5 [. . .] Aufgabe 5.6 [. . .] Aufgabe 5.7 [. . .] Aufgabe 5.8 [. . .]

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