Energia kinetyczna i praca. Energia potencjalna Wykład 4
Wrocław University of Technology
1
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca
Kto wykonał większą pracę?
Hossein Rezazadeh Olimpiada w Atenach 2004 WR Podrzut 263 kg
Paul Anderson Rekord Guinnessa 1957 Ciężar 27900N (2850kg)
2
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Energia
Termin energia pochodzi od greckiego słowa „energeia” używanego już przez Arystotelesa i w różnych tłumaczeniach oznacza działanie, przyczynę ruchu, moc. A jak należy rozumieć słowo energia w języku fizyki? Słownik wyrazów obcych PWN: „… wielkość fizyczna określająca zdolność ciała lub układu ciał do wykonywania pracy przy przejściu z jednego stanu do drugiego” Energia – wielkość skalarna opisująca stan w jakim się w danym momencie znajduje jedno lub wiele ciał. 3
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Energia kinetyczna
Energię kinetyczną Ek ciała o masie m, poruszającego się z prędkością o wartości v, znacznie mniejszej od prędkości światła, definiujemy jako:
1 2 Ek mv 2 Jednostką energii kinetycznej (i każdego innego rodzaju energii) w układzie SI jest dżul (J). Nazwa ta pochodzi od nazwiska XIX-wiecznego uczonego angielskiego, Jamesa Prescotta Joule'a.
m2 1J kg 2 s
James Prescott Joule 4
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Energia kinetyczna
W 1896 roku w Waco, w Teksasie William Crush na oczach 30000 widzów ustawił dwie lokomotywy naprzeciwko siebie, na końcach toru o długości 6.4km. Zablokował dźwignie w położeniu pełnego gazu i pozwolił rozpędzonym lokomotywom zderzyć się ze sobą czołowo. Wyznacz łączną energię kinetyczną lokomotyw tuż przed zderzeniem zakładając, że każda z nich miała ciężar równy 1.2.106 N, a przyspieszenia obydwu lokomotyw wzdłuż toru były stałe i wynosiły 0.26 m/s2.
przed
po
5
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Energia kinetyczna
Przyspieszenie każdej z lokomotyw było stałe, więc do obliczenia jej prędkości v tuż przed zderzeniem możemy zastosować wzór:
v 2 v02 2ax x0 v 40.8m / s
1 2 Ek 2 mv 1.22 105 kg 40.8m / s 2 108 J 2 Energia wybuchu trotylu:
EWT 3.9 106 J / kg
Ezderzenia lokomotyw ≈ 51kg trotylu 6
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca
Praca W jest to energia przekazana ciału lub od niego odebrana na drodze działania na ciało siłą. Gdy energia jest przekazana ciału, praca jest dodatnia, a gdy energia jest ciału odebrana, praca jest ujemna.
F
r
W F r F r cos
7
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca
Jeśli siła jest funkcją położenia, tzn. F = F(r) to całkowite przemieszczenie ciała rozkładamy na n odcinków, tak aby w każdym z nich siłę można uważać za stałą. Wówczas praca całkowita wykonana przez siłę F(r) przy przesunięciu ciała z punktu 1 do punktu 2, których położenia są dane przez promienie wodzące r1 i r2 , wynosi:
W (1 2) F ri ri n
i 1
r2 lim F ri ri F r dr n
ri 0
i 1
r1
W F r dr r2
r1
8
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca
F
F
r
r W F r n
dr
W Fdr
r
9
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca
Jeśli cos( F , dr ) 0 , tzn. kąt między kierunkiem F i dr jest mniejszy od 90o, to wówczas W>0, czyli praca wykonana przez siłę F jest dodatnia. Przykładem takiej sytuacji jest praca wykonana przez siły grawitacji podczas swobodnego spadku ciała. Jeśli natomiast cos( F , dr ) 0 , tzn. kąt między F i dr jest większy od 90o, to praca siły F jest ujemna. Przykładem takich sił są siły oporu ruchu.
Jednostka pracy: dżul. 2
m 1J 1kg 1 2 1N 1m s 10
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca
Gdy na ciało działa wektor siły
F Fxiˆ Fy ˆj Fz kˆ
w wyniku której cząstka doznaje niewielkiego przesunięcia
dr dxiˆ dyˆj dzkˆ praca wynosi
W F dr Fx dx Fy dy Fz dz
Całkowita praca z punktu pocz do punktu kon
W F dr rkon
rpocz
rkon
rkon
rkon
F dx F dy F dz x
rpocz
y
rpocz
z
rpocz 11
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca a energia kinetyczna
v0
y
F
v
x
d
v 2 v02 2ax d 1 2 1 2 mv mv0 max d 2 2
EKkon EK pocz Fx d
12
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca a energia kinetyczna
Ponieważ dr v dt więc
t2 W F r dr F r v dt r2
r1
t1
Jeśli założymy, że masa ciała jest stała, to wtedy
dv F ma m dt
v2
v W m v dv m 2 v1
2
v2
v22 v12 m m 2 2 v1
Gdzie v1 i v2 są prędkościami ciała odpowiednio w punkcie 1 i 2. 13
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Praca a energia kinetyczna
Zmiana energii kinetycznej ciała jest równa pracy wykonanej nad tym ciałem:
EK EKkon EK pocz W ZMIANA ENERGII KINETYCZNEJ CZĄSTKI
=
CAŁKOWITA PRACA WYKONANA NAD CZĄSTKĄ
Związek ten można zapisać inaczej
EK kon EK pocz W ENERGIA KINETYCZNEJ PO WYKONANIU PRACY
=
ENERGIA KINETYCZNEJ PRZED WYKONANIEM PRACY
+
CAŁKOWITA PRACA WYKONANA NAD CZĄSTKĄ 14
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Moc
Jeżeli w przedziale czasu Δt została wykonana praca ΔW, to średnia moc P jest określana
W P t Mocą chwilową nazywamy granicę do jakiej zmierza moc średnia gdy Δt = 0
W dW P lim t 0 t dt Moc chwilowa jest więc pochodną pracy względem czasu. 15
ENERGIA KINETYCZNA I PRACA
5.XI.2011
Moc
dW F dr P F v dt dt W zapisie wektorowym
P F v Moc danej siły F jest proporcjonalna do prędkości v.
Jednostką mocy w układzie SI jest wat [W]. Moc jest równa jednemu watowi, jeżeli stała siła wykonuje pracę jednego dżula w czasie jednej sekundy.
1J 1W 1s
16
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Energia potencjalna
Definicja energii potencjalnej Ep: jest to energia związana z konfiguracją (czyli ustawieniem) układu ciał, działających na siebie siłami. Gdy zmienia się konfiguracja tych ciał, może się również zmieniać energia potencjalna układu. Zmianę grawitacyjnej energii potencjalnej ΔEp definiujemy — zarówno dla wznoszenia, jak i dla spadku ciała — jako pracę wykonaną nad ciałem przez siłę ciężkości, wziętą z przeciwnym znakiem. Oznaczając pracę — jak zwykle — symbolem W, zapisujemy to stwierdzenie w postaci:
E p W 17
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Siły zachowawcze i niezachowawcze
W sytuacji, gdy zawsze spełniony jest związek W1 = — W2, energia kinetyczna zamieniana jest na energię potencjalną, a siłę nazywamy siłą zachowawczą. Siła ciężkości i siła sprężystości są siłami zachowawczymi (gdyby tak nie było. nie moglibyśmy mówić o grawitacyjnej energii potencjalnej i energii potencjalnej sprężystości). Siłę, która nie jest zachowawcza, nazywamy siłą niezachowawczą. Siła tarcia kinetycznego i siła oporu są niezachowawcze.
18
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Siły zachowawcze i niezachowawcze Ile wynosi praca przesunięcia masy m pod działaniem siły F(x,y) z punktu 1 do 2 po drodze A oraz B?
B
2
1 A
Jeśli praca przemieszczenia masy m między punktami A i B nie zależy od drogi po której nastąpiło przemieszczenie to mówimy, że siła jest zachowawcza, albo potencjalna.
Praca przemieszczenia masy m z punktu A po drodze 1 do punktu B i potem z punktu B po drodze 2 do punktu A wynosi zero.
19
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Energia potencjalna Jeżeli praca przemieszczenia masy m po drodze (krzywej) zamkniętej wynosi zero to mówimy, że siła jest zachowawcza, albo potencjalna. Możemy zapisać pracę siły F(x,y) na drodze elementarnego przemieszczenia dr jako:
dW = F o dr Ponieważ praca siły F(x,y) nie zależy od drogi, a tylko od punktu startu i końca przemieszczenia to można określić funkcję skalarną, zależną tylko od współrzędnych (x,y). Nazywamy ją energią potencjalną i określamy jej nieskończenie mały przyrost:
dU = - F o dr Minus został wybrany ze względu na to, że ubytek energii potencjalnej jest równy wykonanej elementarnej pracy. 20
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Gradient energii potencjalnej Przyrost funkcji U(x,y) można wyrazić jako sumę przyrostów funkcji względem obydwu zmiennych niezależnych x i y jako:
U U dU dx dy x y Pochodne U względem x i y nazywają się pochodnymi cząstkowymi i liczymy je tak, jakby druga zmienna była stałą przy liczeniu pochodnej cząstkowej po pierwszej zmiennej.
U U Z drugiej strony: dU F d r Fx dx Fy dy dx dy x y Grupując wyrazy z odpowiednimi przyrostami dx i dy otrzymamy:
U U dy 0 Fx dx Fy x y 21
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Gradient energii potencjalnej W przestrzeni trójwymiarowej równanie to obowiązuje dla dowolnych przyrostów dx, dy i dz stąd muszą znikać tożsamościowo wyrażenia w nawiasach:
U Fx x
U Fy y
U Fz z
Siła równa jest ujemnemu gradientowi energii potencjalnej:
E p E p E p E p E p E p F -E p ; ; i j y z x y z x Stąd:
k
E p Fdr rkon
rpocz
Grawitacyjna energia potencjalna
E p (y) mgy
Energia potencjalna sprężystości 1 E p (x) kx 2 2
22
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Zasada zachowania energii mechanicznej Energia mechaniczna Emech układu jest sumą jego energii potencjalnej Ep oraz energii kinetycznej Ek wszystkich jego składników:
E mech E p E k Gdy siła zachowawcza wykonuje pracę W w układzie izolowanym nad jednym z ciał układu, zachodzi zamiana energii kinetycznej Ek ciała w energię potencjalną Ep układu. Zmiana energii kinetycznej ΔEk jest równa:
ΔE k W Z drugiej strony wiadomo, że zmiana energii potencjalnej wynosi:
ΔE p W Stąd otrzymujemy, że
ΔE k ΔE p 23
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Zasada zachowania energii mechanicznej
ΔE k ΔE p E k2 E k1 E p1 E p2 przy czym wskaźniki 1 i 2 odnoszą się do dwóch różnych chwil, a zatem dwóch różnych konfiguracji składników układu. Przekształcając otrzymujemy zasadę zachowania energii mechanicznej:
E k1 E p1 E k2 E p2 SUMA Ek i Ep DLA DOWOLNEGO STANU UKŁADU
=
SUMA Ek i Ep DLA KAŻDEGO INNEGO STANU UKŁADU
W układzie izolowanym, w którym zamiana energii pochodzi jedynie od sił zachowawczych energia kinetyczna i energia potencjalna mogą się zmieniać, lecz ich suma czyli energia mechaniczna Emech nie może ulegać zmianie. 24
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Zasada zachowania energii mechanicznej
25
ENERGIA POTENCJALNA
5.XI.2011
Zasada zachowania energii
• Zmiana całkowitej energii E układu jest równa energii dostarczonej do układu lub od niego odebranej.
W ΔE ΔE mech ΔE term ΔE wewn przy czyni ΔEmech jest dowolną zmianą energii mechanicznej układu. ΔEterm — dowolną zmianą jego energii termicznej, a ΔEwewn — dowolną zmianą innych postaci jego energii wewnętrznej. Zmiana energii mechanicznej ΔEmech zawiera w sobie zmianę energii kinetycznej ΔEk oraz zmianę energii potencjalnej ΔEp układu (sprężystości, grawitacyjnej lub jakiejkolwiek innej). • Całkowita energia E układu izolowanego nie może się zmieniać.
ΔE mech ΔE term ΔE wewn 0 26
