1 Trigonometr´ıa, Semejanza y la Geometr´ıa de las Estrellas ´ Mar´ıa de la Paz Alvarez Scherer Departamento de Matem´aticas Facultad de Ciencias UNAM (M´exico)

Al estudiar las relaciones entre dos tri´angulos tenemos criterios bajo los cu´ales ellos son congruentes (es decir, que si colocamos uno sobre el otro, cada parte del primero cae exactamente sobre la parte correspondiente del segundo) denotados por ALA, LAL y LLL que nos indican, qu´e lados o ´angulos de cada uno de ellos sabemos que son iguales. La otra relaci´on importante importante entre tri´angulos es que sean semejantes; es decir, que tengan sus lados proporcionales, que est´en a escala. Y se demuestra que dos tri´angulos son semejantes s´ı y s´olo s´ı sus ´angulos correspondientes son iguales. Esta demostraci´on se basa en el teorema de Tales que dice que si tres o m´as paralelas cortan a una transversal determinando sobre ella segmentos iguales entre s´ı, entonces ellas determinan sobre cualquier otra transversal segmentos iguales entre s´ı. Es importante resaltar que este teorema no dice que los segmentos determinados en la primera transversal sean iguales a los determinados en la segunda. La siguiente figura ilustra lo que s´ı dice el teorema:

El teorema supone que los segmentos que tienen longitud igual son, por un lado

2

AB = BC = CD = DE = EF y concluye que entonces tambi´en tienen la misma longitud A0 B 0 = B 0 C 0 = C 0 D0 = D0 E 0 = E0F 0 Con esta herramienta tenemos que los tri´angulos 4ABC y 4A0 B 0 C 0 son semejantes, ya que ]A = ]A0 , ]B = ]B 0 y ]C = ]C 0

y, por lo tanto,

AB BC AC = 0 0 = 0 0. 0 0 AB BC AC

AB BC Si nos fijamos en dos de las proporciones anteriores, por ejemplo en 0 0 = 0 0 , lo que estaAB BC mos haciendo es comparar la raz´on entre lados correspondientes de cada uno de los tri´angulos, as´ı escrito, nos habla de la escala en la que est´an estos tri´angulos; pero podemos reescribir AB A0 B 0 esta proporci´on como = 0 0 y, as´ı escrita, nos dice que la raz´ on entre un par de lados BC BC del primer tri´angulo es igual a la raz´ on que existe entre los lados correspondientes del segundo tri´angulo. Y esto vale para cualquier par de lados del primero y sus correspondientes en el segundo: A0 B 0 AB = , AC 0 A0 C 0

BC B0C 0 = . AC 0 A0 C 0

Veamos ahora qu´e pasa con los tri´angulos rect´angulos. Como son rect´angulos, basta que conozcamos uno de los ´angulos no rectos, para saber cu´al es el tercer ´angulo; es decir, si sabemos

3 que tenemos un tri´angulo rect´angulo que tiene un ´angulo x, el tercer ´angulo es 90◦ − x. En el siguiente ejemplo, si ]C = ]C 0 = ]C 00 = γ , entonces ]B = ]B 0 = ]B 00 = 90◦ − γ

Claramente estos tres tri´angulos son semejantes y lo son a todos los otros tri´angulos rect´angulos que tengan como uno de sus ´angulos no rectos a γ. Es decir, en el mundo de los tri´angulos rect´angulos, conociendo γ tenemos una infinidad de tri´angulos semejantes. Y en cada uno de ellos, seg´ un vimos m´as arriba, la raz´on que existe entre los lados correspondientes a AC y BC AB ( es decir, que son el cateto opuesto a γ y la hipotenusa del tri´angulo) es igual y s´ olo BC depende del ´angulo γ. Por eso podemos darle un nombre a esta raz´on. ¿Qu´e tal si se nos“ocurre” llamarla seno de γ? Luego se nos puede ocurrir que ser´ıa muy conveniente hacer una tabla de los valores de seno de γ. Ptolomeo (siglo II) en Tabla de cuerdas inscritas en un c´ırculo de su obra Syntaxis Mathematica (llamada Almagest por los ´arabes y conocida as´ı hasta la fecha) se dio a la tarea de calcular una tabla muy relacionada a esta raz´on para ciertos ´angulos. Una parte importante de la historia de la trigonometr´ıa fue la de cumplir la tarea de calcular estas tablas para cualquier valor de γ. Hay que notar que como la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo siempre es mayor que cualquiera de sus catetos, el seno de un ´angulo siempre es menor que 1, ya que el denominador es estrictamente mayor que el numerador de este n´ umero racional. De la misma manera como “bautizamos” a esta raz´on como seno, podemos nombrar a todas las otras razones que existen entre los lados de un tri´angulo rect´angulo; as´ı y recordando que

4 estamos considerando ´angulos estrictamente menores que 90◦ tenemos: AB 1. coseno(γ) = , que es la raz´on entre el cateto adyacente a γ y la hipotenusa y, que BC tambi´en es estrictamente menor que 1 2. tangente(γ) =

AB , que es la raz´on entre el cateto opuesto y el cateto adyacente a γ AC

3. cotangente(γ) =

AC , que es la raz´on entre el cateto adyacente y el cateto opuesto a γ AB

BC 4. secante(γ) = , que es la raz´on entre la hipotenusa y el cateto opuesto a γ y que es AB estrictamente mayor que 1 AC , que es la raz´on entre la hipotenusa y el cateto adyacente a γ y que 5. cosecante(γ) = AB tambi´en es mayor que 1.

Lo importante de tener tablas con estas razones es que basta que conozcamos un lado de un tri´angulo particular de toda la infinidad de tri´angulos rect´angulos que tienen a γ como uno de sus ´angulos no rectos, para que conozcamos todos los lados y ´angulos de este tri´angulo particular. Es decir, tenemos resuelto este tri´angulo rect´angulo. Por ejemplo: Si nos dicen que tenemos un tri´angulo rect´angulo, que tiene un ´angulo de 25◦ , basta con ir a las tablas trigonom´etricas y tenemos que sen(25)◦ ≈ 0.42261826174 (Usamos el s´ımbolo ≈ para enfatizar que es una aproximaci´on, ya que este n´ umero no es un racional).

5 Si ahora nos dan el lado opuesto a este ´angulo, por ejemplo, 7.5cm tenemos la siguiente ecuaci´on: 7.5 x donde x es la hipotenusa del tri´angulo. Basta resolverla para tener, redondeando este n´ umero, que x = 17.75 0.42261826174 =

y si usamos ahora el Teorema de Pit´agoras podemos tener una excelente aproximaci´on al cuadrado del tercer lado del tri´angulo; es la ra´ız cuadrada de b2 = (17.75)2 − (7.5)2 b ≈ 16.088 Y por medio de las tablas trigonom´etricas podemos tambi´en resolver este mismo tri´angulo si lo que nos hubiesen dado fuera, por ejemplo, los catetos a = 7.5 y b = 16.088 . Usando el teorema de Pit´agoras podemos calcular la hipotenusa que resulta c2 = (16.088)2 + (7.5)2 y, redondeando los c´alculos, c = 17.7503 ¿Qu´e problema estaba trabajando Ptolomeo?. ¿Por qu´e era importante calcular estas tablas? ¿C´omo le hizo? ¿Por qu´e decimos que son equivalentes a las tabla de seno de un ´angulo? Ptolomeo era el gran astron´omo de su ´epoca. Uno de sus objetivos era tener una forma de predecir la posici´on de las estrellas para poder viajar y navegar bas´andose en mapas celestes. Antes que ´el, se hab´ıan dedicado a la geometr´ıa de las estrellas el astr´onomo Hiparco (siglo II ANE) Casi no se sabe nada de ´el, su gran obra (12 tomos) se perdi´o antes de la ´epoca de Ptolomeo y es el propio Ptolomeo el que le da cr´edito tanto por su primera tabla de cuerdas como por las observaciones astron´omicas que Hiparco hizo entre los a˜ nos 161 y 127 ANE. El determin´o la hora exacta de la salida y la puesta de los signos zodiacales Este problema no hab´ıa podido ser resuelto por otros randes matem´aticos de la ´epoca, por ejemplo, Euclides. Hiparco, siguiendo la tradici´on babil´onica, dividi´o al ´angulo central de una c´ırculo en 360 partes iguales, a la manera en que lo seguimos haciendo hoy en d´ıa con los grados. Despu´es de Hiparco, fue Menelao (siglo I NE) el que hizo importantes contribuciones a la trigonometr´ıa y a la geometr´ıa esf´erica en problemas relacionados profundamente con su trabajo astron´omico. Su sucesor es Ptolomeo. Como demasiadas veces en la historia, es poco lo que sabemos de su vida, pero est´a establecido que hizo observaciones astron´omicas en Alejandr´ıa: la primera de ellas el 26 de marzo de 127 y la u ´ltima el 2 de febrero de 141. Sir Thomas Heath, dice de Ptolomeo en A History of Greek Mathematics (vol II): ”La Syntaxis es profundamente valiosa ya que da cuenta muy minuciosa de las observaciones e investigaciones

6 tanto de Hiparco como de los que le antecedieron, por ejemplo del eclipse de luna de 721 ANE. Ptolomeo se bas´o principalmente en el trabajo de Hiparco sobre todo en la preparaci´on de su tabla de cuerdas (equivalente a la senos), [...] su contribuci´on m´as valiosa es la teor´ıa sobre el movimiento de los cinco planetas; al respecto Hiparco s´olo hab´ıa coleccionado material de las observaciones astron´omicas hechas por s´ı mismo y por sus antecesores...”. Y,m´as adelante:”es evidente que ninguna parte de la trigonometr´ıa es nueva para Ptolomeo...su gran m´erito es haber sabido abstraer resultados de tratados previos y condensarlos en el m´ınimo espacio necesario para poder establecer los m´etodos y f´ormulas que necesita” El m´etodo seguido por Ptolomeo fue el de encontrar, a partir de un c´ırculo, una forma de establecer la relaci´on entre la longitud de una cuerda y el ´angulo central que la subtiende. En la figura, la relaci´on que se busca es entre AB y θ. N´otese que si unimos M, punto medio de AB, con O , bisecamos al ´angulo θ y adem´as, trazamos un ´angulo recto; es decir, ]AM O = 90◦ , Pero si conocemos la relaci´on entre la longitud de AB y θ, y nos fijamos en el tri´angulo rect´angulo 4AOM, la longitud 21 AB = AM es PRECISAMENTE el seno de θ/2

En el siguiente n´ umero de la revista continuaremos con el trabajo de Ptolomeo. Quisiera acabar esta nota con una comparaci´on entre la Tabla de Cuerdas de Ptolomeo y una tabla de senos de una calculadora (tomada de la referencia 2 de las p´aginas web). La marcada desviaci´on en la diferencia del ´angulo 110◦ 300 se cree que es debido a un error tipogr´afico en la versi´on del Almagesto que se conserva. N´otese la gran precisi´on de los c´alculos de este ge´ometra de las estrellas:

7 θ

crd θ 120

16◦ 300 49◦ 64◦ 83◦ 300 110◦ 300 126◦ 155◦ 176◦ 300

0.12324930556 0.41469644444 0.5299189815 0.6658819444 0.8216018519 0.8910069444 0.9762962963 0.9995347222

.

µ ¶ θ sen 2 .

diferencia

0.1434926220 0.4146932427 0.5299192642 0.665881660 0.8216469379 0.8910065242 0.9762960071 0.9995335908

0.0000004336 0.0000012017 0.0000002827 0.0000002784 0.0000450860 0.0000004202 0.0000002892 0.0000011314

Bibliograf´ıa. 1. Heath, Sir Thomas, A History of Greek Mathematics Volume II, 1981, Dover Publications, Inc., New York. 2. North, John, Historia Fontana de la Astronom´ıa y la Cosmolog´ıa, 2001, Fondo de Cultura Econ´omica, M´exico. 3. P´aginas web con excelente informaci´on, historia de las tablas y las propias tablas: (a) http://hypertextbook.com/eworld/chords.shtml c “Ptolemy’s Table of Chords Trigonometry in the Second Century”. E-World ° 1992-2005 by Glenn Elert. All Rights Reserved – Fair Use Encouraged. 28 June 1994 (b) http://www.math.rutgers.edu/courses/436/436-s00/Papers2000/hunt.html “The Beginnings of Trigonometry”. Joseph Hunt History of Mathematics. Rutgers, Spring 2000 (c) http://cerebro.xu.edu/math/math147/02f/ptolemy/ptolemyintro.html