CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
1.
Representación: • A Notación 2.
• B
:
EJERCICIOS PROPUESTOS
AB
RAYO Representación: • O Notación
3.
SUSTRACCIÓN: AP = AB – PB PB = AB – AP m AB – m PB = m AP
LÍNEA RECTA
(1) En una línea recta se ubican puntos consecutivos A, B, C, D tal que AB+ CD =2 . BC, además AC+CD=21. Hallar BC.
• A
:
a) 5 b) 7 c) 6 d) 3 e) 10 (2) En los puntos consecutivos A, B, C, D, E, que se encuentran sobre una línea recta se cumple que AB=BE, CD=BC=DE. Hallar el valor numérico de AB + AE BC BD a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 10 (3) En los puntos colineales A, B, C, D, E, se marca el punto medio M del segmento DE . Hallar CD, si AD=10, BM=6 y AB=BC+DE
OA
SEGMENTO DE RECTA Representación: A Notación
B :
AB
3.1. PUNTO MEDIO (M) A
M
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 (4) En los puntos colineales A, B, C, D se cumple que AB=7, AC=BD+BC. Calcular AD
B
a) 12 b) 14 c) 21 d) 28 e) 24 (5) Una Tortuga camina sobre una línea recta desde el punto “A” hacia el punto “B” si al llegar al punto “M” (“M” es el punto medio de AB), decide retroceder hasta el punto P y se le da cuenta que la distancia desde “P” hacia “M” es la cuarta parte de la distancia de “P” hasta “B. Calcular AB si la tortuga a recorrido 72 metros.
AM = MB = AB / 2 3.2. OPERACIONES CON SEGMENTOS
A
P
B
ADICIÓN: m AB = m AP + m PB AB = AP + PB AP + PB = AB CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
a) 36m
55
b) 45
c) 5
d) 108
e) 109
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” (6) Los puntos A, B, C, D , se encuentran sobre una línea recta de modo que AB = 8, BC = 12,
GEOMETRIA a) 1
luego se toma el punto medio AC .Calcular BF a) 1
b) 2
c) 1,5
d) 0,5
b) 12
c) 15
d) 20
a) 3
b) 5
c) 7,5
e)22
d) 10
c) 5cm
b) 8m c) 10m
a) 6
b) 7
x
e) 18m
a) 5
d) 9
C
c) 15
e) 10
d) 10
e) 9
d) 20
e) 90
c) 21
d) 21
e) 90
a) 4
b) 6
c) 4.5
d) 5
e) 21
CLAVES
c) 8
B
b) 10
b) 18
15 1 5 9 13 17
e) 10
(12) Hallar d(P,Q), si “P” es punto medio de AB, “Q” es punto medio de CD y AC + BD = 40.
A P
d) 9
(18) Se ubican los puntos M, G y L con MG < GL, se ubican los puntos I (punto medio de MG), E (punto medio de GL) y U (punto medio de ML); hallar UE, si MG = 8.
D
C
c) 8
b) 86 c) 12
a) 15
20 B
c) 6
(17) En una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y R, de tal manera que PR + QR = 42cm, calcular el segmento MR; si “M” es punto medio de PQ.
(11) En la figura calcular “x”, si AC = 12
A
b) 6
a) 5
d) 6 cm e) 7cm
d) 16m
e) 3,5
(16) Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos: A, B, y C tal que “M” es punto medio de AC. Hallar “BM”, si: BC= AB + 40.
e) 3,5
(10) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D siendo CD = 4 BC Hallar AC . Si AD + 4 AB = 80 m. a) 4m
b) 4.5
a) 5
(9) En la recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D donde “C” es un punto medio de AD . Hallar BC si BD - AB = 12 a) 2cm b) 3cm
d) 0,5
(15) Se tienen los puntos consecutivos: P, Q, R, S, T; hallar “RS”, siendo “R” y “S” puntos medios de PT y QT respectivamente y PQ = 20, QT = 30
(8) Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, se ubican M y N untos medios de AB y CD respectivamente. Hallar MN, si: AC + BD = 10 a) 2,5
c) 2, 5
(14) Se tienen los puntos consecutivos: A, P, B, C, hallar “PB”, si AB – BC = 18 y “P” es punto medio de AC.
e) 3
(7) Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Se ubican P y Q puntos medios de AB y CD respectivamente. Hallar : PQ, Si : AC + BD = 30 a) 6
b) 1,5
Q
d) 20
D
b d d a c
2 6 10 14 18
d b d d a
3 7 11 15
b c b d
4 8 12 16
b b d d
e) 18
(13) Se tienen los puntos consecutivos: A, B, C, D, hallar “BC”, si AC = BD = 3 y AD = 5. CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
56
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
1.
ELEMENTOS Lados : Vértice :
GEOMETRIA
OA y OB O
α < 90º α
A
O c) Ángulo Recto:
α O B 2.
α
NOTACIÓN Ejemplo:
α = 90º
∠AOB, ∠BOA, A Oˆ B, Oˆ , α, β, γ, θ, Ω, etc. 3.
d) Ángulo Obtuso:
BISECTRIZ A
Z α O
α > 90º y α < 180º
α
β B
Ejemplo:
e) Ángulo Llano:
OZ : Bisectriz del ∠AOB
α
Entonces:
α = 180º
α = β = m∠AOB / 2
4.
f) Ángulo Cóncavo:
CLASIFICACIÓN
α
4.1. Por su medida:
α > 180º y α < 360º
a) Ángulo nulo
b ) CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
Ángulo Agudo: 57
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
α = 0º g) Ángul o de una Vuelt a:
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
58
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA α = 360º
α
l.
Siendo Cα : complemento de α. Ángulos Suplementarios:
4.2. Por sus características
α β
h) Ángulos consecutivos:
α + β = 180º
I.1) Suplemento de un ángulo: Ejemplo:
O
Para 30º → 150º es su suplemento Para α → (180º-α) es su suplemento.
B
α
En general:
β
Dado α : →
Sα = 180º - α
Siendo Sα : Suplemento de α. OB : lado común α ∧ β: ángulos consecutivos
5.
PROPIEDADES 5.1. Del ángulo llano
i) Par lineal:
α2
α3
α1
α + β = 180º
αn
β
α
α1 + α2 + α3 + ....+ αn = 180º 5.2. Del ángulo de una vuelta
j) Ángulos opuestos por el vértice:
α2 β
α1
α=β
α3 αn
α
α1 + α2 + α3 + ....+ αn k. Ángulos complementarios: 5.3
α
α + β = 90º
B
Q
Para 30º → 60º es su complemento Para 72º → 18º es su complemento Para α → (90º-α) es su complemento
β
K.1) Complemento de un ángulo: Ejemplo: CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
Bisectrices del par lineal
59
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
P
α α
GEOMETRIA
β
A
C
∠POQ = 90º
β 6.
En general: Dado α → Cα = 90º - α
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
O
60
POSICIONES RELATIVAS RECTAS EN EL PLANO
DE
DOS
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
Las posiciones relativas de dos rectas en el plano son: paralelas y secantes.
∠2 = ∠8 ∠2 = ∠6 ∠3 = ∠7 ∠1 = ∠5 ∠4 = ∠8 ∠3 + ∠6 = 180º ∠4 + ∠5 = 180º ∠2 + ∠7 = 180º ∠1 + ∠8 = 180º
Correspondientes:
6.1. Rectas paralelas L1 L2
L1 // L2 Conjugados Internos:
6.2. Rectas secantes L1
Conjugados Externos:
L1 // L2
L2
7.1. Propiedades a)
Si L1 // L2:
Las rectas secantes pueden ser oblicuas ó perpendiculares. a) Rectas oblicuas L1
x
β
L2
α ≠ 90º α
L2
L1
α
x = α+β
b) Si L1 // L2: b) Rectas perpendiculares x
L1 L1 ⊥ L2 L2
L1
α β
α+β+θ = x+y
α = 90º
α
Suma ∠der. = Suma ∠izq.
y
7.
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS PARALELAS Y UNA SECANTE Si L1 // L2 y L3 es secante, determinan 8 ángulos.
θ
L2
EJERCICIOS PROPUESTOS
L3 1 4
2
L1
3
(1) La medida del complemento de un ángulo es igual a 1/3 de la medida del suplemento del mismo ángulo. ¿Cuánto mide el ángulo? a) 15º
5 8
Alternos Internos:
6
L2
7
∠4 = ∠6 ∠3 = ∠5
b) 30º
c) 45º
d) 60º
e) 70º
(2) Calcular el complemento de la diferencia que existe entre el suplemento de 110º y el complemento de 85º. a) 35º b) 25º c) 15º d) 5º e) 40º (3) El complemento de “x” más el doble del Alternos Externos: ∠1 = ∠7
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
complemento de “2x” es igual al suplemento de “x-18”. Hallar x. a) 12º 59
b) 18º
c) 24º
d) 36º
e) 40º
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” (4) Si el suplemento del complemento de medida de un ángulo es igual a los 3/2 de diferencia entre el suplemento y complemento de dicho ángulo. Calcular complemento de dicho ángulo. a) 15º
b) 30º
c) 45º
d) 60º
(12) Sobre una recta AE se ubica un punto "O", luego se trazan los rayos OB, OC y OD en un mismo lado, formándose 4 ángulos consecutivos que están en la relación de 1, 2, 4 y 8. Hallar el ángulo que forman las bisectrices del primer y cuarto ángulo.
e) 65º
(5) En los ángulos consecutivos AOB y BOC se trazan OM bisectriz del ángulo AOB y ON bisectriz del angulo AOC. Hallar la medida del ángulo MON, si m BOC = 90º a) 30º
b) 60º
c) 15º
d) 45º
a) 114º
b) 15º
c) 50º
e) 50º
a) 150º
d) 60º e) 45º
b) 150º
b) 140º
b) 15º
d) 180º e) 185º
c) 50º
c) 60º
d) 130º e) 55º
d) 70º
c) 25º
d) 35º
C
b) 24
c) 26º
d) 32º
e) 40º
(15) En la siguiente figura: OM es bisectriz del ∠ BOC. Si 2m ∠ AOB - m ∠ BOC = 3º, hallar m ∠ AOM.
B
M
e) 80º A
C O
a) 75º
e) 45º
b) 112,5º c) 120,5º d) 115º e) 80º
(16) La diferencia entre los ángulos consecutivos AOB y BOC es 30º. Hallar la medida del ángulo que hacen OB y la bisectriz del ángulo AOC.
(11) Dos ángulos A y B suman 120º. Si al ángulo A se le disminuye la mitad del complemento de B y al ángulo B se le aumenta la cuarta parte del suplemento de A, el anterior
a) 15º
6º al último obtenido. resultado excede en 4º
Hallar los ángulos A y B. CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
O D
a) 16º
(10) Calcular el mayor de tres ángulos que están en la relación de 3, 5 y 7, sabiendo que el complemento de la suma de dichos ángulos es 15º. a) 5º
c) 175º
A
que queda del primero. Hallar su diferencia. b) 30º
b) 160º
c) 145º d) 162º e) 135º
(9) Si a uno de dos ángulos suplementarios se le disminuye 35º para agregárselo al otro, da como resultado que el segundo es 8 veces lo
a) 15º
e) 115º
B
(8) Si a uno de dos ángulos suplementarios se le disminuye 20º para agregárselo al otro, éste resulta ser 8 veces lo que queda del primero. Hallar el suplemento del menor. a) 40º
c) 125º d) 126º
(14) En la figura mostrada: m ∠ BOC = 116º, hallar m ∠ AOD.
(7) La diferencia entre el suplemento y la mitad del complemento de un ángulo es 99º. Hallar el suplemento del complemento de tal ángulo. a) 15º
b) 120º
(13) En un plano se toma el punto "O" y se trazan alrededor las semirectas OA, OB, OC y OD de manera que los ángulos AOB, BOC, COD y DOA son proporcionales a 1, 2, 3 y 4. Se traza la bisectriz OX del ángulo AOD. Calcular el ángulo COX.
(6) Si el complemento de x, más el suplemento de 2x es igual al suplemento del complemento de 3x, hallar x. a) 30º
GEOMETRIA e) 90º y 40º
d) 100º y 20º
la la el el
b) 30
a) 90º y 30º 60
c) 45º
d) 60º
e) 50º
b) 88º y 32º c) 85º y 35º CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
(17) Cuatro rayos forman en torno a un punto y en un mismo plano, cuatro ángulos cuyas
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
61
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
medidas son proporcionales a los números 1; 2; 3 y 4. El ángulo formado por las bisectrices de los dos menores ángulos mide: a) 27º
b) 32º
c) 48º
d) 54º
e) 58º
(18) La diferencia entre el suplemento de un ángulo y el cuádruplo de su complemento es el doble de su complemento. Hallar el ángulo. a) 72º
b) 52º
c) 42º
d) 32º
e) 62º
(19) Hallar la medida de un ángulo, sabiendo que el complemento del ángulo y el complemento del suplemento del triple de dicho ángulo, son complementarios. a) 60º
b) 45º
c) 30º
d) 15º
e) 50º
(20) Hallar el menor de dos ángulos conociendo que uno de ellos excede en 10º al complemento del segundo y además el segundo ángulo es igual a la mitad del suplemento del primer ángulo. a) 10º
b) 15º
c) 20º
d) 30º
e) 40º
CLAVES 1 2 3 4 5
c b b c d
6 7 8 9 10
a d b d d
11 12 13 14 15
b d d c c
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
16 17 18 19 20
a d a b c
62
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
1.
GEOMETRIA
DEFINICION Es un polígono compuesto por 3 lados.
x
•B θ
α x=α+θ
A• 2.
•C
3.3. De los ángulos externos
ELEMENTOS
x
B
x
z
c a
y
α
A
x + y + z = 360º
C
b
3.4. Desigualdad de lados Vértice Lados Ángulo interno Ángulo externo Perímetro
: : : : :
A, B y C AB , AB BC y AC α x m BC + m AC + m AB
c
a
b
2p = 3.
a + b + c
a–c < b < a+
PROPIEDADES FUNDAMENTALES
3.5. Relación ángulo–lado
3.1. De sus ángulos internos
c
β α
θ
C
Si
a α α>θ
θ
a>c
α + β + θ = 180º
4. 3.2. De un ángulo externo
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
63
CLASIFICACIÓN CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” 4.1. De acuerdo a sus lados
6 EQUILÁTERO
4.2.
ISÓSCELES
ESCALENO
De acuerdo a sus ángulos
GEOMETRIA cuales concurren en un punto llamado CIRCUNCENTRO. 5.4.Bisectriz interior. Es la bisectriz del ángulo interno. En todo triángulo, se pueden trazar 3 bisectrices interiores las cuales concurren en un punto denominado INCENTRO. 5.5.Bisectriz exterior. Es la bisectriz del ángulo externo. En todo triángulo, al trazar 2 bisectrices exteriores y la bisectriz interior del tercer ángulo, estas son concurrentes en un punto llamado EXCENTRO. B
a)
Triángulo rectángulo P
b : cateto c : cateto a : hipotenusa β + θ = 90º
β
Y
a
α
c
α
A
b)
b
θ
C b
Siendo:
Triángulo oblicuángulo
β α
θ
ACUTÁNGULO α , β , θ < 90º
5.
θ •M
H
θ b
Z•
α
OBTUSÁNGULO α > 90º
LÍNEAS NOTABLES 5.1. Mediana. Segmento de recta, que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene 3 medianas, los cuales son concurrentes en un punto llamado BARICENTRO. 5.2. Altura. Segmento de recta, comprendido entre un vértice y el pie de la perpendicular trazada del vértice al lado opuesto. En todo triángulo, se pueden trazar 3 alturas, las cuales son concurrentes en un punto denominado ORTOCENTRO. 5.3. Mediatriz. Es la recta perpendicular en el punto medio del lado del triángulo. En todo triángulo, se pueden trazar 3 mediatrices, las
BM
:
mediana
BH
:
altura
MP
:
mediatriz
AZ
:
bisectriz interior
CY
:
bisectriz exterior
6.
PROPIEDADES ADICIONALES 6.1. De la altura y la bisectriz B BH : altura BZ : bisectriz x A
H
Z ˆ −Cˆ A HBˆ Z = 2
C
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
GEOMETRIA 63
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
6.2. Del cuadrilátero cóncavo
PROBLEMAS PROPUESTOS
x=α+β+θ β α
(1) Hallar “x”.
θ
x
x
x
6.3. Del incentro x
x x
I : Incentro
β
x x
•I
a) 8º
b)13º
c) 26º
d) 36º
e) 38º
x x = 90º +
(2) De la figura calcular el valor de “x”, si:AD=BD=DC
β 2
B
3x
D
6.4. Del excentro (1ra.)
E : Excentro β
2x
A
a) 19º
b) 18º
c). 17º
C
d) 16º e) 20º
(3) De la figura, calcular el valor de “x”, si AB = BC. Q B
x x = 90º −
β
E•
2
x
80º 20º 70º A
a) 20º
β 2
β
b) 30º
c) 35º
E
6.5. Del excentro (2da.) x=
C
x
d) 47º 40º e) 50º
(4) Si los lados de un triángulo miden: 12; (x+4 ); ( x + 5 ), calcular el menor valor entero de x, para que dicho triángulo exista. a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
(5) En un triángulo ABC: AB = 8; BC = 7. Hallar el mayor valor entero de “AC”. E : Excentro
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15 e) 16
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
GEOMETRIA 64
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” (6) Hallar “x”
GEOMETRIA (11) En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se trazan la altura BH y la bisectriz interior AE que se cortan en P. Calcular: PH, si BH = 7 cm y BE = 4 cm.
x 54º
2θ
2w
a) 18º
b) 24º
a) 3cm
θ
w
c) 27º
b) 5cm
d) 4cm e) 7cm
∆ABC, La suma de los ángulos
(12) En un
d) 32º e) 34º
c) 6cm
∧
∧
exteriores A y C es 270. Hallar uno de los (7) En el ∆ ABC se cumple que: 2m ∠ C=140º m ∠ B. Hallar “x”.
ángulos del triangulo. a) 135
B
αα
b) 90
c) 60 d) 45
e) 50
(13) Se tiene un cuadrado ABCD y se construye exteriormente un triángulo equilátero AEB. Calcular m∠AED.
H
a) 30º
b) 15º
c) 20º d) 28º
e) 25º
x
P
A
a) 15º
b) 20º
Q
c) 32º
(14) En un triángulo ABC se cumple que: m∠A + m∠B + 2m∠C = 260º. Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices interiores de los ángulos A y B.
C
d) 56º e) 60º
(8) Hallar “x”, si: α + 2θ = 150º
a) 130º
b) 120º
c) 110º
d).115º e) F.D
2x
(15) En la figura hallar el ángulo Bˆ θ
2α
α
C
2θ
β
β
x 110°
a) 40º
b) 60º
c) 50º
d) 26º e) 30º
∝
A
(9) Hallar “x”. θ
θ α
30º
x
α
a) 50 b) 18º
c) 20º
b) 41
B
c) 42
d) 43 e) 45º
(16) Se tiene un triángulo ABC; luego se trazan perpendiculares desde el vértice B a las bisectrices interiores de ∠A y ∠C. Calcular el ángulo que forman estas perpendiculares, si: m∠B = 70º.
x
a) 10º
∝
a) 40
83°
ºb) 45º
c) 35º
d) 55º
e) 60º
d) 22º e) 23º
(10) Dos lados de un triángulo miden 1 y 6 metros. Si el tercer lado mide un número entero de metros. Calcular el perímetro del triángulo. a) 13m
b) 11m
c) 9m
d) 7m e) 8m
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
65
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” (17) Determinar el valor de “x”
GEOMETRIA CLAVES
x
θ
α
2x 2α
2θ
a) 30º b) 45º c) 60º (18) Del gráfico hallar: “x”
1
d
6
a
11
a
16
d
2
b
7
b
12
b
17
b
3
d
8
c
13
b
18
b
4
b
9
a
14
a
19
c
5
c
10
a
15
c
20
*
d) 75º e) 80º CONGRUENCIA DE TRIANGULOS 1.
20º
DEFINICIÓN: B
E
≅
50º
50º x
10º
A a) 30º
b) 35º
c) 40º
C
D
F
∆ABC ≅ ∆DEF
d) 45º e) 50º
(19) En la figura: AB = BD, DC = DE, Calcular x.
2.
CASOS DE CONGRUENCIA:
B
B
2x x A
≅
C
D
A
3x
C
E
a) 10º
E
A.L.A.
b) 14º
c) 18º
B
d) 22º
e) 20º
D
F
L.A.L.
E
≅
(20) Sí AB=BC=CD=DE, hallar “x” D
A 119º - 3x
B
C
x
a) 11º
b) 14º
D
L.L.L.
F E
≅
B
A
C
E
c) 17º d) 21º
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
A
C
F
D
∆ABC ≅ ∆DEF
e) 23 66
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” 3. APLICACIONES:
GEOMETRIA 4.1. Corolario
3.1. Propiedad de la bisectriz B
B Si: MN // AC
Z
P
M
α
N
⇒ MN = AC / 2
α O
A Si: P ∈ OZ ⇒ PA = PB
A
5.
MEDIANA RELATIVA A LA HIPOTENUSA
3.2. Propiedad de la mediatriz x
C
B
Si: P ∈ xy
P
BM = AC / 2
⇒ PA = PB
A
B
y
A
M
C
Observación:
3.3. Del triángulo isósceles
B α α
A
Al trazar la mediana a la hipotenusa, se forman 2 triángulos isósceles.
Si: BP es bisectriz Mediana ⇒BP: Altura Mediatriz
B α
C
α
P 4.
A
M
C
TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS (T.P.M.)
B
M
Si: BM = MA P
MX // AC
X
Propiedad: A
C
BP = PC MP = AC / 2
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
67
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
1. DEFINICIÓN Es la figura determinada por 3 ó más puntos no colineales unidos mediante segmentos de recta. 2. ELEMENTOS
B
Equilátero
Equiángulo
y
β
x A
C
Irregular
Regular α E 3.
Vértices Lados Ángulos Internos Ángulos Externos Diagonales
3.2.
D : : : : :
Por su número de lados Nº Lados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20
A, B AB α, β. x, y AC, AD.
CLASIFICACIÓN 3.1. Por sus elementos:
a) Equilátero: sus lados son de igual medida. Ejemplo: el rombo. b) Equiángulo: sus ángulos son de igual medida. Ejemplo: el rectángulo. c) Regular: sus lados y ángulos tienen igual medida. Ejemplo: el cuadrado. d) Irregular: polígono, que no es regular. Ejemplo: el trapecio.
4.
Denominación Triángulo Cuadrilátero Pentágono Exágono Heptágono Octógono Nonágono Decágono Endecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono
PROPIEDADES GENERALES En todo polígono de “n” lados, se cumplen las siguientes propiedades: 4.1.Total de diagonales: Dn = n(n-3) / 2
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
68
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I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” 4.2.Suma de los ángulos internos:
a) 60º
4.3.Suma de los ángulos exteriores:
a) Cuadrado c) Octógono
S∠ e = 360º
a) 540º
e
i
a) 115º
b) 900º c) 720º d) 1080º e) 1090º
b) 120º c) 125º
d) 135º e)140
(8) La suma de los ángulos de cierto polígono regular excede a la suma de los ángulos externos en 900º. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
5.1.Medida de un ángulo interior: ∠i = 180º(n-2) / n
a) 9
5.2.Ángulo exterior: ∠e = 360º / n
b) 7
c) 5
d) 11
e) 12
(9) Hallar el número de lados de un polígono regular de lado igual a 4cm, si el número de diagonales es cuatro veces su perímetro, expresado en centímetros.
5.3.Ángulo central: α = 360º / n
a) 30
PROBLEMAS PROPUESTOS
c) Endecágono d) Heptágono
(2) En que polígono el numero de lados es menor que el numero de diagonales en 3.
a) I
c) 40
d) 25
e) 50
b) II
c) III
d) I y II
e) III y I
(11) Calcular la suma de ángulos interiores de aquel polígono en el cual su número de lados mas su número de diagonales es igual a 45.
c) Hexágono d) Heptágono
(3) ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior mide 150º?
a)1440º b) 1260º c) 1080º d) 900º e)1000º
b) Octógono d) Dodecágono
(12) Calcular la suma de los ángulos internos de aquel polígono para el cual al duplicar el número de lados, el número de diagonales aumenta en 18.
(4) En un Pentágono convexo tres de sus ángulos miden 120º cada uno, y los otros dos son congruentes .Hallar uno de estos últimos. CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
b) 35
(10) Dada las siguientes proposiciones : I ) Cada ángulo interior de un hexágono mide 120º II) En el decágono se pueden trazar 36 diagonales III) El polígono regular cuyos ángulos exteriores miden 36º, es un decágono. Son verdaderas:
(1) En que polígono se cumple que la suma de los ángulos interiores y exteriores es 1260º.
a) Hexágono c) Icoságono
b) Hexágono d) Decágono
(7) En un polígono regular el doble del número de diagonales es el quíntuplo del número de lados. Luego la medida de su ángulo interior es: es :
α
a) Cuadrilátero b) Pentágono
GEOMETRIA d) 120º e) 100º
(6) Calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono cuyo número de diagonales excede en 7 al número de vértices.
PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS REGULARES
a) Hexágono b) Pentadecágono
c) 90º
(5) En que polígono regular el ángulo interior es el triple de la medida del ángulo exterior.
S∠ i = 180º (n-2)
5.
b) 30º
a) 1080º b) 900º c) 360º d) 540º e) 800 69
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” (13) Si la suma de los ángulos interiores se de un
GEOMETRIA (22) En un polígono convexo de 14 lados 12 de sus ángulos interiores suman 2000º. Hallar el ángulo que forma la bisectriz de los otros 2 lados.
polígono es igual a 2 veces la suma de los ángulos los exteriores. Hallar el número de lados. a) 10
b) 8
c) 6
d) 4
a) 160º b) 120º c) 140º d) 100º e)110
e)8
(23) Un polígono convexo de “n” lados tiene “d” diagonales y otro polígono de 2”n” lados posee “5d” diagonales. Hallar “n”.
(14) Al disminuir 3 lados en un polígono, su número de diagonales disminuye en 21.Hallar el número de los lados. a) 7
b) 5
c) 6
a) 8
d) 7 e) 9
(15) En un polígono regular la relación entre ángulo interior y sus ángulos exterior es como 3 es a 2. Hallar su número de lados. a) 4
b) 5
c) 6
b) 15
c) 20
a) 7
d) 7 e)10
b) 12
c) 18
d) 8 e) 3
a) 8
d) 15 e) 20
b) 18º
c) 36º
b) 6
c) 4
d) 10
b) 9
c) 10
d) 12 e) 14
(27) En un octágono equiángulo ABCDEFGH
AB = 5 2 y BC = 7 Hallar AC
diagonales aumentado en el número de vértices es igual a 153. Hallar el ángulo
a) 20º
e) 18
(26) En un polígono convexo de “n” lados se sabe que desde “n-4” vértices consecutivos se pueden trazar 4n+3 diagonales. Hallar “n”.
(18) En un polígono regular el número de
central.
d) 16
(25) Hallar el número de lados de un polígono regular tal que si tuviera 6 lados menos, la medida de su ángulo externo aumentaría en 80º. 4 d) 10 e) 12 a) 7 b) 6 c) 9
(17) En un polígono el número de diagonales es igual a 6 veces el número de lados. Hallar dicho número de lados. a) 14
c) 7
donde AB =8, BC =6 y DE =6. Hallar EF
(16) Hallar el número de diagonales de un polígono regular si su interior mide el triple de su ángulo exterior. a) 2
b) 9
(24) Se tiene hexágono equiángulo ABCDEF
a) 11
16 d) 45º e) 50
b) 12 c) 13 e) 15
d) 14
(19) En un polígono el número de lados aumenta en 3 y el número de diagonales aumenta en15. Hallar el número de lados del polígono. a) 5
b) 7
c) 6
d) 8 e) 9
(20) Hallar el número de lados de 2 polígonos regulares cuya suma de los ángulos internos difieren en 360º y los ángulos centrales difieren en 30º. a) 5 y 6 b) 6 y7 c) 4 y 6 d) 5y7 e) 8y6 (21) Si en un polígono se aumenta en 5 su número de lados, resulta que su ángulo exterior disminuye en 6º. Hallar su número de lados. CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
70
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” a) 12
b) 13
c) 14
GEOMETRIA
d) 15 e) 18
CLAVES 1 5 9 13 17 21 25
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
71
d c b c d e e
2 6 10 14 18 22 26
c b c d a d *
3 7 11 15 19 23 27
d d a b a b b
4 8 12 16 20 24
c a c c c a
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
1. 2.
GEOMETRIA
DEFINICIÓN Son polígonos que tienen 4 lados.
3.2.3. Las diagonales se bisecan.
CLASIFICACIÓN De acuerdo al paralelismo de sus lados, los cuadriláteros pueden ser: a. Paralelogramos. 3.3. Clasificación
b. Trapecios. c. Trapezoides. 3.
PARALELOGRAMOS
3.3.1. ROMBOIDE.- Sus lados y ángulos consecutivos son diferentes.
3.1. Definición Sus lados opuestos son paralelos.
3.3.2. RECTÁNGULO.ángulos son rectos.
B
C
b
D
3.3.4.
CUADRADO.- Sus lados y sus ángulos son iguales.
E θ
3.2. Propiedades
α
3.2.1. Los lados y ángulos opuestos son iguales.
3.3.1 α
3.3.2
α
θ
α α
θ
45º 3.2.2. Los ángulos adyacentes a
45º α α
suplementarios.
45º 45º
α + θ = 180º CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
4
3.3.3. ROMBO.- Sus 4 lados son iguales.
h A
Sus
3.3.3 72
3.3.4 CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” 4.
GEOMETRIA
TRAPECIOS
b
4.1. Definición.- Cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos llamados bases. b B
C
B
C
A
D n
M
b a
N
Fig. 4.4.1
h E
A
n
D
a
h α
BC // AD
β Fig. 4.4.2
4.2.
Elementos Bases Altura Mediana
4.4.
Fig. 4.4.3
: Mayor = a; Menor = b : CE = h : MN; MN // bases
5.
TRAPEZOIDES
Cuadrilátero que no tiene lados paralelos.
Clasificación:
P C
4.4.1.
Trapecio isósceles.- Sus lados no paralelos son iguales.
4.4.2.
Trapecio escaleno.- Sus lados no paralelos son desiguales.
Q
Trapecio Rectángulo.- Uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases.
ABCD : trapezoide
4.4.3.
B D A
BC // AD ∧ AB // CD ∠A = ∠D AC = BD n = (a-b)/2
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
73
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA (7) Se da un trapezoide ABCD. Se prolonga CD y desde A se traza una perpendicular a esta prolongación, la cual cae en E. Hallar el
EJERCICIOS PROPUESTOS (1) El ángulo A de un paralelogramo ABCD mide 64°. Hallar la medida del ángulo B.
ángulo 90º y
a) 70°
CAˆ E
Dˆ
a) 30º
Bˆ
=
= 135º.
b) 26°
c) 30°
d) 34°
b) 15
c) 25
d) 45
b) 180º
c) 60º d) 45º e) 90º
(8) En un trapecio ABCD, las bisectrices de los ángulos adyacentes a la base menor se intersecan en un mismo punto de la base mayor; si ésta mide 50cm, halle la suma de las medidas de los lados no paralelos.
e) 36°
(3) En un rectángulo ABCD se toman los puntos medios E de AD y F de CE . Se une A con F y se prolonga hasta cortar a CD en G. Hallar FG, sabiendo que AF = 45m. a) 30
= 60º ,
b) 85° c) 116° d) 122° e) 125°
(2) Las medidas de los ángulos interiores de un trapezoide son entre sí como 1,2,3 y 4. Hallar la medida del menor ángulo del trapezoide. a) 20°
Aˆ
sí: AB = AD,
a) 30
b) 35
c) 50
d) 45
e) 25
(9) En un cuadrado ABCD se toman los puntos E sobre BC y F sobre DC , tales que AEF es un triángulo equilátero. ¿Cuánto mide el
e) 22,5
ángulo B
Aˆ E?
(4) En el paralelogramos ABCD se trazan las
ˆ y Cˆ las cuales se cortan en bisectrices de B P. Si la distancia de P a AD es 2 y la separación entre los lados opuestos BC y AD es 5, hallar la distancia entre los lados AB y CD . a) 3
b) 5
c) 6
d) D. 4
a) 30º b) 60º
b) 45º c).180º d) 135º
ˆ N. ángulo M D
e) 2
a) 90º
e) 60º
a) 6 cm b) 7cm
ˆ y Bˆ las cuales se cortan en bisectrices de A E. Hallar la distancia de E al punto medio de CD si el perímetro de ABCD es 28 y AB = 5. b) 6.5
c) 13
d) 5.5
b) 75º c) 45º
c). 8cm d) 9cm e) 10cm
(12) En un trapecio ABCD la base menor AB es ∧
ˆ =135° y B =127°. Hallar igual al lado BC, A el perímetro de este trapecio teniendo presente que AB = 10 cm.
e) 11
a) 55,3 cm d) 43,7cm CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
d) 120º e) 60º
(11) En el trapecio ABCD rectos en A, y B los lados BC, CD y DA mide 12 cm, 16cm y 20cm. Hallar la distancia del punto de intersección de las bisectrices de los ángulos C y D al lado recto.
(6) En un paralelogramo ABCD se trazan las
a) 5
d) 15º e) 22º30’
(10) En un paralelogramo ABCD, sobre los lados AB y BC se construyen exteriormente los triángulos equiláteros ABM y BCN. Hallar el
(5) Se tiene un paralelogramo ABCD, en el que AD = 2 AB. Se toma E, punto medio de BC . Hallar el ángulo AEˆ D . a) 90º
c) 45º
73
b) 48,7cm
c) 58,6cm e) 62,5cm
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” (13) En el paralelo gramo de la figura, hallar AB, ∧
a) 115°
∧
d) 140°
si PQ = 8cm. Si B A P = 2P A F B
Q
B S
F
a) 7 cm d) 4cm
b) 6cm
a) 156° d) 125°
c) 5cm e) 3cm
b) 145°
x A
Hallar AB + CD
B
c) 12
d) 15
53º A (19) En un trapecio isósceles ABCD (BC //
e) 16
AD ) , y m∠A = 50 . Hallar la m∠C
(17) Los ángulos A y B de un trapezoide ABCD miden 70° y 100°. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos C y D. b) 85°
c) 80°
d) 75
e) 70°
1
c
6
b
11
c
16
e
2
e b
7
c c
12
a d
17
b e
d e
14
e c
19
(18) En un trapecio ABCD (AB // CD ) , AB = 6,
3
BC = 12, CD = 14, y AD = 8. Las bisectrices de los ángulos A y D se cortan en P, y las bisectrices de los ángulos B y C se cortan en Q. Hallar PQ.
5
a) 1
b) 1,5
C
c) 8 e)12
(16) En un romboide ABCD: M y N son puntos medios de BC y CD respectivamente. AM ∩ BD en P y AN ∩ BD en Q. Si PQ = 4, Calcular BD.
a) 90°
c) 45°
AC y BD mide 3.
puntos medios de las diagonales.
b) 3
b) 30°
e) N.A. (21) El segmento que une los puntos medios de
c) 135° e) 162°
b) 7
D
a) 15° d) 60°
(15) La base mayor de un trapecio mide 24. calcular la base menor, sabiendo que es congruente con el segmento que une los
a) 6 d) 9
C 105°
(14) Calcular el mayor ángulo formando por las bisectrices de dos ángulos opuestos de un trapezoide, si las otros dos ángulos miden 108° y 72°
a) 8
e) N.A.
(20) En la figura, BC // AD , AB = CD, y AC = AD. Calcular x.
P A
GEOMETRIA c) 130°
b) 120°
c) 2
d) 2,5
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
4
c a
8 9 10
13 15
18 20
c c
21
e
e) 0 74
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” a) 10 d) 15
b) 12
GEOMETRIA c) 14 e) 18
CLAVES
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
75
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
DEFINICIÓN
B
Es una línea curva cerrada, cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro. A esta equidistancia se le denomina radio de la circunferencia. 2.
ELEMENTOS
A
O
r
D
Fig. 3.4
Fig. 3.3
r
B
P Lt
Arco Cuerda Radio Diámetro Flecha Secante Tangente
: : : : : : :
AB AB OA = r = OB = OC BC = 2 r MP Ls Lt
4.
B Fig. 3.5 APLICACIONES DE LA TANGENTE 4.1. Teorema de Poncelet.- En todo triángulo rectángulo, la suma de los catetos, es igual a la hipotenusa más el doble del radio de la circunferencia inscrita.
AB + BC = AC + 2r
B
PROPIEDADES 1.1. Todo radio perpendicular a una cuerda, biseca a la cuerda y al arco subtendido. 1.2. Dos cuerdas paralelas, comprenden arcos iguales. 1.3. Cuerdas iguales, subtienden arcos iguales. 1.4. Todo radio es perpendicular a la tangente, en el punto de tangencia. 1.5. Las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son iguales.
r A
C
4.2. Teorema de Pitot.- En todo cuadrilátero circunscrito, la suma de los lados opuestos es constante. b
a
A
O
r
A
Ls
3.
A
M
C r
r O
P r
C
P M B
d Fig. 3.1 CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
Fig. 3.2
a+c=b+d 76
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” 5.
GEOMETRIA
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 1) Central
A
A
α
O
(1) Calcular x:
α
B
C
C α = AC
α = AC / 2
3) Semi-inscrito
4) Interior
A
B
EJERCICIOS PROPUESTOS
2) Inscrito
A
α
B’ α
a) 2
α
b) 3
c).2,5
d) 3,5
E) 1,5
(2) Calcular x:
B
A’
C
α = (AB + A’B’) / 2
α = BC / 2
5) Exterior
β
θ
α
θ α
β
a)
d)
β θ
α = (β-θ) / 2
α
3 −1 3 +1 2
b) 3 +1
c)
3 −1 2
e) 2 3
(3) Calcular x:
CUADRILATERO INSCRITO
α β CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
α + β = 180º 77
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
a) 2 e) 5
b) 3
c)4
GEOMETRIA
d) 6
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
78
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” (4) Calcular b + 2a
GEOMETRIA (8) Los lados de un triángulo rectángulo tienen medidas que forman una progresión aritmética de razón igual a 6. Calcular la medida del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. a) 5
b) 6
c) 5,5
d) 6,5
e) 8
(9) Calcular AD – CD a) 10
b) 12
c)11
d) 14 E) 16
(5) BC // AD , calcular BP + CQ
a) 3,5
b) 2,5
c) 1,5 d) 3
e) 2
(10) Calcular x: a) 16
b) 17
c)18
d)19
c) 2,5
d) 1,25
e)20
(6) Calcular x:
a) 2
b) 1,5
a) 1
e) 1,75
b) 1,5
c).3
d) 1,5
e) 2,5
(11) “O”, centro, calcular “x”:
(7) Calcular x:
a) 1,25
b) 2
c)1 d) 0,75
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
e) 0,5
a) 30 79
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA (16) Calcular “ α ”:
(12) Hallar el perímetro del triangulo ABC si AP = 6, BQ = y RC = 3 B
P A
a) 28
Q C
R
b) 26
c) 24
d) 30
a) 30
e) 22
b) 80
c)75
d) 90
a) 40
e) 95
a) 40 b) 110
c) 115
d) 53 e)75
b) 45
c) 50
d) 55
e) 60
(18) Calcular m AB:
(14) mABC = 120, Calcular x:
a) 100
c) 60
(17) Calcular x:
(13) mAB + mCD = 200. Calcular x:
a) 85
b) 45
b) 80
c) 90
d) 50
e) 70
d) 70
e) 75
d) 105 e) 95 (19) Calcular x:
(15) mAB = 2mCD. Calcular CD:
a) 75
b) 60
c) 45
d) 53
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
e) 37
a) 55
80
b) 60
c) 65
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI” (20) “O”, centro, calcular “x”:
a) 20
b) 25
c) 30
GEOMETRIA (24) mAC = mBD, si mACE = 100, Calcular x:
d) 35
a) 40
e) 40
a) 30 b) 14
c) 60
d) 70
e) 80
(25) Calcular x:
(21) Calcular x:
a) 15
b) 50
c) 12
d) 10
b) 45
c) 60
d) 75
e) 80
(26) Hallar el ángulo de ABT si “B” es punto de
e) 20
ˆ + B ˆ = 124º tangencia y A
(22) Calcular x:
A C
B a) 50
b) 55
c) 60
d) 65
e) 80 a) 90
(23) Calcular “ α + β ”:
a) 90
b) 120
c) 180
d) 130
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
1 5 9 13 17 21 25
e) 60
81
b) 120
a d e b b d c
2 6 10 14 18 22 26
c) 180
CLAVES c 3 a 7 c 11 a 15 e 19 b 23 e
d) 130
e c b b d c
4 8 12 16 20 24
e) 60
b b c c a b
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 5.1. TEOREMA(Relaciones entre cuerdas)
A
D Q
C
B
AQ. QB = CQ. QD 5.2. TEOREMA(Relación entre secantes)
5.3. TEOREMA(Propiedad de la tangente)
T Q B
A
TQ2 = QA. QB
5.4. TEOREMA(Producto de lados)
B c A
a
h
a.c = h.2r
b
C
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
82
CENTRO INFORMÁTICO
