ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN. RESOLUCIÓN REDUCIÉNDOLA A UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN Miguel Angel Nastri, Oscar Sardella [email protected] , [email protected]

RESUMEN En algunos casos de resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables, es posible resolver la misma, reduciendo el problema a la solución de ecuaciones de primer orden. Palabras clave: ecuaciones diferenciales, orden superior, aplicación económica.

DESARROLLO

⎛ d 2 y dy ⎞ ⎜⎜ 2 ; ⎟⎟ = 0 ⎝ dx dx ⎠ dy , en forma semejante a la resolución de ecuaciones Mediante una sustitución de p = dx

Así una ecuación de la forma F

diferenciales en derivadas parciales, se reduce la ecuación a la forma F ⎛⎜ dp ; p ⎞⎟ = 0; que es una ⎝ dx ⎠ ecuación de primer orden, de la cual puede despejarse “p”, resultando p = f (x;c) y el valor “y” puede obtenerse de inmediato dado que p =

dy dx

APLICACIÓN DE LA RESOLUCIÓN Como aplicación de la resolución de ecuaciones de segundo orden reduciéndola a una ecuación de primer orden, plantearemos un problema de dinámica económica, considerando un sistema como dinámico cuando su comportamiento en función del tiempo se halla determinado por ecuaciones funcionales. 37

En el caso de que la variable tiempo tenga un comportamiento continuo, el modelo dinámico continuo se resuelve mediante ecuaciones diferenciales ordinarias. En un modelo de mercado con expectativas de precios, los compradores y/o vendedores basan su conducta no sólo en el precio corriente, sino en la tendencia temporal del precio. Expresando:

y: precio x: tiempo

Será: y = f(x); el precio en función del tiempo La tendencia temporal del precio se establece a través de las derivadas primeras y segundas del precio en función del tiempo y’ =

df dx

;

y”=

d2 f dx 2

Si la cantidad demandada es: Qd = 24 - 8y2 – 2(y’)2 + y.y” Si la cantidad ofertada es: Qs = -24 + 4 y2 La condición de equilibrio es: Qd = Qs 24 - 8y2 – 2(y’)2 + y.y” = -24 + 4 y2 y.y” – 2(y’)2 – 12y2 = -48 Resolución de la ecuación diferencial ordinaria incompleta u homogénea: y.y” – 2(y’)2 – 12y2 = 0 I)

d 2 y dp dp dy dp = = = p ; dx 2 dx dy dx dy dp Reemplazando en I), queda: p.y − 2 p 2 − 12 y 2 = 0 dy dp Haciendo: p = v . y ; despejando ; resulta dy

dy Haciendo: p = dx

dp 2 p 2 + 12 y 2 = dy p⋅ y

38

; v+y

dv 2v 2 y 2 + 12 y 2 2v 2 + 12 = = dy p p ⋅ y2

Operando a fin de despejar dy/y: y

dv 2v 2 + 12 − v 2 dv v 2 + 12 = = ; y dy v dy v

dy v.dv = 2 y v + 12

Obtenemos:

II)

Integrando II), resulta:

1 ln(v 2 + 12) + ln c1 2

ln y =

aplicando propiedades de logaritmos, queda:

v 2 +12

y = c1 siendo: p = v . y

;

v=

III)

2

p ; y

p y2

v2 =

Reemplazando v2 en III) :

p2 + 12 , para despejar p y2

y = c1

⎛ p2 ⎞ + 12 ⎟⎟ ; 2 ⎝y ⎠

y2

y2 = c12 ⎜ ⎜ la expresión de p:

y2

p=y

c1

2

c1

2

p2 + 12 ; p2 = 2 y

=

⎛ y2 ⎞ ⎜ 2 − 12 ⎟ y 2 ⎜c ⎟ ⎝ 1 ⎠

− 12

haciendo: -12 c12 = c22 ; y despejando dx p= determinamos dx:.

y c1

dx =

y 2 + c2

2

;

dy y = dx c1

dy y ± c1

Integrando IV), resulta: x + c2 = ± ln

2

IV)

y + c2 2

y 2 + c2

2

c3 + y 2 + c 2

2

y

Elevando ambos miembros al cuadrado. 39

⎡ c + y2 + c 2 2 (x + c2) = ⎢ln 3 y ⎢ ⎣ 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

2

Considerando la expresión logarítmica del argumento cosecante hiperbólico, siguiente: arg cosech y = ln

1± y2 +1 y

+

si

y>0

- si y