Die Temperaturentwicklung des Universums Temperature development of the universe

Bachelorarbeit von

Alexander Jürgen Bett An der Fakultät für Physik Institut für Experimentelle Kernphysik (EKP)

Gutachter:

Prof. Dr. W. de Boer

Februar 2012

KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum der Helmholtz-Gesellschaft

www.kit.edu

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1.1 Gründe für die Untersuchung der Temperaturentwicklung . . . . . . . . . 1.2 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Grundlagen 2.1 Das kosmologische Prinzip . . . 2.2 Rotverschiebung und Expansion 2.3 Die Friedmanngleichungen . . . 2.4 Kritische Dichte . . . . . . . . . 2.5 Schwarzkörperstrahlung . . . . 3 Temperaturproportionalitäten 3.1 Temperaturabhängigkeiten 3.1.1 Energiedichte . . . 3.1.2 Größe . . . . . . . 3.1.3 Zeit . . . . . . . . 3.2 Temperaturabhängigkeiten 3.2.1 Größe . . . . . . . 3.2.2 Energiedichte . . . 3.2.3 Zeit . . . . . . . . 3.3 Zusammenfassung . . . .

im . . . . . . im . . . . . . . .

5 5 5

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7 . 7 . 7 . 8 . 9 . 10

strahlungsdominierten Universum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . materiedominierten Universum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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19 19 20 21 23 24 25 26 27 28 29 31

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4 Die Phasen des Universums 4.1 Planck-Ära . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 GUT-Ära . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Baryogenese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Quark-Ära . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Hadronen-Ära . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Leptonen-Ära . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Nukleosynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Ende der Strahlungsdominanz . . . . . . . . . 4.10 Rekombination / Entkopplung der Strahlung 4.11 Zukunft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Literatur

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Abbildungsverzeichnis

35

3

1 EINLEITUNG

1 Einleitung Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit der Temperaturentwicklung des Universums. In diesem ersten Kapitel soll zunächst kurz begründet werden, warum es interessant ist, sich mit der Temperaturentwicklung des Universums auseinander zu setzen. Weiterhin soll ein kurzer Überblick über die Geschichte des Universums gegeben werden. In Kapitel 2 werden dann einige Grundlagen der Kosmologie vorgestellt, die für spätere Berechnungen benötigt werden. Anschließend werden in Kapitel 3 Zusammenhänge zwischen der Temperatur und anderen Größen hergeleitet. Auf die einzelnen Entwicklungsphasen des Universums wird schließlich in Kapitel 4 näher eingegangen.

1.1 Gründe für die Untersuchung der Temperaturentwicklung Schon immer haben sich Menschen über die Geschichte des Universums Gedanken gemacht und sich gefragt, wie sich das Universum, in dem wir heute leben, gebildet hat. Die Temperaturentwicklung des Universums spielt bei der Beantwortung dieser Frage eine wichtige Rolle. Dafür gibt es mehrere Gründe. Zunächst einmal ist die Temperatur ein direktes Maß für die Energie. Über die Gleichung E = kB T

(1)

sind die beiden Größen verknüpft. Die Temperaturentwicklung beschreibt also ebenfalls die Energieentwicklung. Ist die Energie bekannt, so lässt sich bestimmen, wann sich Quarks zu Hadronen, Hadronen zu Kernen und Kerne zu Atomen zusammensetzen. Es lassen sich aber auch recht einfach Beziehungen zwischen der Temperatur und weiteren Größen finden. In Kapitel 3 werden so Proportionalitäten zwischen Temperatur und Energiedichte, Größe des Universums und Alter des Universums hergeleitet.

1.2 Überblick Abbildung 1 gibt einen Überblick über die Entwicklung des Universums. Das Universum beginnt mit dem Urknall, einer Singularität, über die man wenig aussagen kann. Nach einer kurzen Phase, in der alle fundamentalen Wechselwirkungen außer der Gravitation vereint sind, setzt die Inflation ein, während der das Universum sehr stark expandiert. Danach kühlt es sich ab und dehnt sich weiter aus. Zu Beginn ist die Energiedichte so hoch, dass freie Quarks und Gluonen existieren können. Bald jedoch reicht die Energie hierfür nicht mehr aus, sodass sich diese Teilchen zu Hadronen zusammensetzen, woraus sich später die ersten Kerne der leichten Elemente bilden. Noch trägt die Strahlung den größten Teil zur Gesamtenergiedichte des Universums bei. Bald aber beginnt die Materie zu dominieren, da die Energiedichte der Strahlung mit zunehmender Expansion schneller abfällt als die Energiedichte der Materie. Schließlich setzten

5

1 EINLEITUNG sich Kerne und Elektronen zu Atomen zusammen. Dadurch wird das Universum für die Strahlung durchsichtig, da die Photonen keine geladenen Stoßpartner mehr vorfinden. Man spricht von der Entkopplung der Strahlung. Dies ist die Entstehung der kosmischen Hintergrundstrahlung, die heute noch beobachtet werden kann. Aus Dichtefluktuationen entstehen dann später Sterne und Galaxien.

Abbildung 1: Die Entwicklung des Universums [5] Diese Graphik fasst die Entwicklung des Universums zusammen. Beginnend mit dem Urknall dehnt sich das Universums aus. Zunächst besteht es aus Strahlung und Elementarteilchen, die miteinander im Gleichgewicht sind. Die Elementarteilchen setzen sich zu Kernen und diese wiederum zu Atomen zusammen. Da die Photonen nun keine Wechselwirkungspartner mehr haben, breiten sie sich ungehindert im Hintergrund aus. Die Materie bildet im Laufe der Zeit Sterne und Galaxien.

6

2 GRUNDLAGEN

2 Grundlagen In diesem Kapitel soll kurz auf einige kosmologische Grundlagen eingegangen werden, die später benötigt werden.

2.1 Das kosmologische Prinzip Eine wichtige Grundlage der Kosmologie ist das sogenannte kosmologische Prinzip. Dieses besagt, dass das Universum homogen und isotrop ist. Homogenität bedeutet hierbei, dass das Universum von jedem Punkt aus gleich aussieht; Isotropie ist gegeben, wenn das Universum in allen Richtungen gleich aussieht. Es gibt also keinen Mittelpunkt des Universums und keine ausgezeichneten Punkte. [2] Das kosmologische Prinzip gilt natürlich nur auf sehr großen Skalen. Sterne häufen sich in Galaxien an, während außerhalb davon kaum Materie vorhanden ist. Ebenso sammeln sich Galaxien in Galaxienhaufen. Damit man Homogenität und Isotropie vorfinden kann, muss man also Gebiete betrachten, die mehrere Galaxienhaufen umfassen. Dies ist erst bei Größenordnungen von mehr als 100M pc der Fall. Das Parsec (pc) ist hierbei eine in der Astronomie gebräuchliche Längeneinheit. 1pc entspricht einer Entfernung von 3, 086 · 1016 m. [2]

2.2 Rotverschiebung und Expansion Eine weitere wichtige Eigenschaft des Universums ist die Tatsache, dass es expandiert. Diese Erkenntnis lässt sich aus Beobachtungen gewinnen. Die Spektren entfernter Objekte sind im Vergleich zu nahen Objekten ins Rote verschoben. Dies lässt sich damit erklären, dass sich die Objekte voneinander entfernen. Bewegt sich ein Körper, der Licht einer bestimmten Wellenlänge aussendet von uns weg, so wird die Wellenlänge auseinander gezogen, das Licht scheint ins Rote verschoben zu sein. Umgekehrt verhält es sich, wenn sich der Körper auf uns zu bewegt. Die Wellenlänge wird hierbei gestaucht und das Licht erscheint uns ins Blaue verschoben. [2] Abbildung 2 zeigt die Spektren der Sonne (oben) und des Galaxienhaufens BAS11 (unten). Bei BAS11 sind die Spektrallinien im Vergleich zur Sonne zu längeren Wellenlängen, also ins Rote, verschoben.

7

2 GRUNDLAGEN

Abbildung 2: Rotverschiebung [6] Oben ist das Spektrum der Sonne zu sehen. Die Spektrallinien sind bei einem weit entfernten Galaxienhaufen (BAS11) ins Rote verschoben. Dies ist im unteren Teil der Graphik zu sehen. Man kann daraus schließen, dass sich die Sonne und BAS11 voneinander entfernen. Edwin Hubble untersuchte die Rotverschiebung von zahlreichen Galaxien und stellte fest, dass fast alle eine Rotverschiebung aufweisen. Diese Rotverschiebung ist umso größer, desto weiter die Objekte entfernt sind. Dies bedeutet, dass die Galaxien sich mit umso größerer Geschwindigkeit von uns entfernen, je weiter sie von uns weg sind. Hubble trug die Fluchtgeschwindigkeit v über die Entfernung der Galaxien von uns r auf. Es ergab sich ein linearer Zusammenhang, das sogenannte Hubblesche Gesetz [2]: v = H (t) · r

(2)

Der Proportionalitätsfaktor H (t) wird als Hubbleparameter bezeichnet und meistens in der Einheit kms−1 M pc−1 angegeben. Der heute gültige Hubble-Parameter wird mit H0 bezeichnet. Präzise Messungen dieses Parameters sind sehr schwierig. Deshalb wird er oft in folgender Form angegeben [2]: H0 = 100 · hkms−1 M pc−1

(3)

Der Wert von h beträgt ungefähr 0,7. Unterschiedliche Messverfahren liefern jedoch leicht verschiedene Werte. [7] Da die Größe des Universums nicht bekannt ist, wird sie mit Hilfe eines Skalenfaktors S (t) angegeben. Man definiert S (t0 ) = 1, wobei t0 = 13, 7 Milliarden Jahre das Alter des Universums ist. Mit dem Skalenfaktor wird also die Größe des Universums in Einheiten der momentanen Größe angegeben. Das Hubblesche Gesetz lässt sich dann schreiben als [2] S˙ (t) S˙ (t) = H (t) · S (t) bzw. = H (t) (4) S (t)

2.3 Die Friedmanngleichungen Das Universum lässt sich mit Hilfe der Friedmanngleichungen beschreiben. Mit diesen Gleichungen lässt sich die Entwicklung des Universums berechnen. Man erhält sie aus den

8

2 GRUNDLAGEN Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie unter Voraussetzung der Gültigkeit des Kosmologischen Prinzips, also der Homogenität und Isotropie des Universums. Die beiden Gleichungen lauten 8π S˙ 2 + kc2 = Gρ S2 3

(5)

2S¨ S˙ 2 + kc2 8π = − 2 Gp (6) + 2 S S c Hierbei ist S der Skalenfaktor, ρ die Massendichte und p der Druck. G bezeichnet die universelle Gravitationskonstante und c die Lichtgeschwindigkeit. k ist ein Krümmungsparameter, der eine Krümmung des Raumes berücksichtigt. [8]

2.4 Kritische Dichte Wir beobachten momentan ein expandierendes Universum. Der Expansion wirkt die Gravitation entgegen. Welche dieser beiden Effekte in Zukunft überwiegen wird, hängt von der Dichte des Universums ab. Je nachdem ob die Gesamtdichte des Universums größer oder kleiner als eine gewisse kritische Dichte ist, wird sich das Universum irgendwann wieder zusammenziehen oder immer weiter ausdehnen. Auf die verschiedenen Möglichkeiten wird in Abschnitt 4.11 noch näher eingegangen. Die kritische Dichte lässt sich über die Gesamtenergie des Universums berechnen [9], die sich aus potentieller und kinetischer Energie zusammensetzt. Man betrachtet eine Kugelschale der Masse M mit Radius r und eine Probemasse m, die sich am Rand der Kugelschale befindet. Mit dem Hubbleschen Gesetz v = H0 · r

(7)

lässt sich die kinetische Energie schreiben als 1 1 Ekin = mv 2 = mH02 r2 2 2

(8)

Die Masse M lässt sich als Produkt des Volumens V und der Dichte ρ der Kugelschale schreiben: 4 (9) M = V ρ = πr3 ρ 3 Damit ergibt sich für die potentielle Energie Epot = −

GM m 4 = − πGρmr2 r 3

(10)

Die Gesamtenergie ist also gegeben durch 1 4 Eges = mH02 r2 − πGρmr2 2 3

9

(11)

2 GRUNDLAGEN Multipliziert man diese Gleichung mit 2 und teilt durch mr2 , so ergibt sich 8 Eges H02 − πGρ = 3 mr2

(12)

Dies ist gerade die erste Friedmanngleichung (5) mit dem Krümmungsterm kc2 Eges = − mr2 S2

(13)

Eine negative Gesamtenergie entspricht also einer positiven Krümmung und eine positive Gesamtenergie einer negativen Krümmung. [3] Für die kritische Dichte ρc ist die Gesamtenergie gerade null. Zur Berechnung von ρc setzt man also in (11) Eges = 0. Es ergibt sich ρc =

3H02 8πG

(14)

Man definiert nun den Dichteparameter Ω als Verhältnis der tatsächlichen Dichte zur kritischen Dichte [3]: ρ (15) Ω= ρc

2.5 Schwarzkörperstrahlung Da die kosmische Hintergrundstrahlung ein Schwarzkörperspektrum aufweist, soll an dieser Stelle kurz auf die wichtigsten Eigenschaften eines schwarzen Körpers eingegangen werden. Ein schwarzer Körper absorbiert sämtliche Strahlung. Gleichzeitig emittiert er thermische Strahlung. Am einfachsten stellt man sich einen schwarzen Körper als einen Hohlraum mit einer sehr kleinen Öffnung vor. Tritt nun Wärmestrahlung in den Hohlraum ein, so wird sie von den Wänden absorbiert und wieder emittiert. Es stellt sich ein thermisches Gleichgewicht zwischen der Strahlung und den Wänden ein. Die durch die Öffnung wieder austretende Strahlung weist dann ein charakteristisches Schwarzkörperspektrum auf. [10] Dieses Emissionsspektrum wird durch die Planck-Formel beschrieben. Sie gibt die Verteilung der Energiedichte in Abhängigkeit der Wellenlänge an und lautet [11]: P (λ, T ) =

8πhc 1   · 5 λ −1 exp λkhc BT

(16)

Das Spektrum ist nur von der Temperatur abhängig. Man spricht daher auch von der Temperatur der Strahlung. Die kosmische Hintergrundstrahlung weist ein nahezu perfektes Schwarzkörperspektrum bei einer Temperatur von 2, 725K auf [2]. In Abbildung 3 ist die Planck-Funktion in Abhängigkeit der Wellenlänge für verschiedene Temperaturen dargestellt.

10

2 GRUNDLAGEN

600000 T=5000K T=4500K T=4000K T=3500K T=3000K T=2500K

500000

P [J/m4]

400000

300000

200000

100000

0 0

500

1000

1500

2000

2500

λ [nm]

Abbildung 3: Schwarzkörperspektrum Hier ist das Schwarzkörperspektrum für verschiedene Temperaturen dargestellt. Mit abnehmender Temperatur sinkt die Intensität und das Maximum wird zu größeren Wellenlängen hin verschoben. Das Spektrum weist für eine bestimmte Wellenlänge λmax ein Maximum auf. Mit abnehmender Temperatur verschiebt sich dieses Maximum zu größeren Wellenlängen. Es gilt λmax · T = const = 2, 898 · 10−3 mK (17) Diese Beziehung wird als Wiensches Verschiebungsgesetz bezeichnet. [10]

11

3 TEMPERATURPROPORTIONALITÄTEN

3 Temperaturproportionalitäten In diesem Kapitel sollen Proportionalitäten hergeleitet werden, die zeigen, wie sich die Temperatur des Universums in Abhängigkeit seiner Energiedichte, seiner Größe, also des Skalenfaktors und der Zeit, beziehungsweise seines Alters, entwickelt. Da sich für Strahlung und Materie unterschiedliche Zusammenhänge ergeben, muss zwischen dem strahlungsdominierten und dem materiedominierten Universum unterschieden werden.

3.1 Temperaturabhängigkeiten im strahlungsdominierten Universum Zunächst soll ein strahlungsdominiertes Universum betrachtet werden, in dem also die Strahlung den größten Teil zur Gesamtenergiedichte beiträgt. 3.1.1 Energiedichte Da die kosmische Hintergrundstrahlung ein Schwarzkörperspektrum aufweist, kann man das Universum als einen schwarzen Körper betrachten. Die Energiedichte in Abhängigkeit der Wellenlänge ist gegeben durch die Planck-Formel (16). Um die Gesamtenergiedichte  zu berechnen, muss diese Gleichung über alle möglichen Wellenlängen integriert werden [11]: ˆ ∞

=

P (λ, T ) dλ

(18)

0

Es ergibt sich also

ˆ

∞

 = 8πhc · 0

1 1   · dλ λ5 exp hc − 1 kB T λ

(19)

4 8π 5 kB · T4 15 (hc)3

(20)

Das Ausführen dieser Integration liefert =

Die Energiedichte ist also proportional zur vierten Potenz der Temperatur. Dieser Zusammenhang ist unter dem Namen Stefan-Boltzmann-Gesetz bekannt. [1] 3.1.2 Größe Um einen Zusammenhang zwischen der Größe des Universums und seiner Temperatur zu finden, kann man von der Energiedichte ausgehen. Die Energiedichte ist die Energie, die in einem bestimmten Volumen enthalten ist. Für Strahlungsquanten ist die Energie gegeben durch h·c (21) E =h·ν = λ

12

3 TEMPERATURPROPORTIONALITÄTEN Durch die Expansion des Universums wird die Wellenlänge rotverschoben. Sie wird mit zunehmender Größe des Universums länger und ist proportional zum Skalenfaktor [2]. Das Volumen ist proportional zu S 3 . Damit gilt für die Energiedichte der Photonen [8] =

E h·c 1 = ∝ 4 V V ·λ S

(22)

Weiterhin ist die Energiedichte nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz (20) proportional zu T 4 . Daher gilt 1 (23) S∝ T Mit Hilfe dieses Zusammenhangs lässt sich beispielsweise berechnen, wie groß das Universum zum Zeitpunkt der Entkopplung der Strahlung, also der Entstehung der kosmischen Hintergrundstrahlung, war. Die Temperatur der Strahlung betrug zu diesem Zeitpunkt etwa 3000K [12]. Heute haben die Photonen der Hintergrundstrahlung eine Temperatur von knapp 3K. Mit (23) gilt also, dass das Produkt aus S und T konstant ist, das heißt man erhält den Zusammenhang SEntkopplung · TEntkopplung = Sheute · Theute

(24)

Per Definition gilt Sheute = 1. Damit ergibt sich SEntkopplung =

Theute TEntkopplung

= 10−3

(25)

Da das Volumen proportional zu S 3 ist, ist das Universum heute ungefähr 109 mal so groß, wie zum Zeitpunkt der Entkopplung der Strahlung. 3.1.3 Zeit Um einen Zusammenhang zwischen Temperatur und Alter des Universums herzuleiten, kann man von der ersten Friedmann-Gleichung (5) ausgehen [8]. Ersetzt man die Massendichte gemäß  = ρc2 (26) durch die Energiedichte, so lautet diese Gleichung S˙ 2 + kc2 8π = 2 G 2 S 3c

(27)

2

Der Krümmungsterm kc kann aus zwei Gründen vernachlässigt werden. Zum einen ist S2 das Universum nur während der ersten 10000 Jahre nach dem Urknall strahlungsdominiert [3]. In dieser Zeit ist es deutlich kleiner als heute. Da der Skalenfaktor heute per Definition S0 = 1 ist, gilt im frühen Universum also S  1. Da die Energiedichte für Strahlungsdominanz proportional zu S −4 ist, gilt damit: 8π 1 kc2 G ∝  3c2 S4 S2

13

(28)

3 TEMPERATURPROPORTIONALITÄTEN Weiterhin liegt die Dichte des Universums heute sehr nahe an der kritischen Dichte; das Universum ist also flach. [3] Dies ist gleichbedeutend mit k ≈ 0. Unter Vernachlässigung des Krümmungsterms kann die Friedmanngleichung geschrieben werden als   1 dS 2 8π S˙ 2 = = 2 G (29) S2 S dt 3c oder auch als 1 dS = S dt



8π G 3c2

1

2

(30)

Nun müssen die Energiedichte , der Skalenfaktor S sowie dS in Abhängigkeit der Temperatur ausgedrückt werden. Mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz (20) gilt 4 8π 5 kB 15 (hc)3

 = a · T 4 mit a =

(31)

Weiterhin ist der Skalenfaktor gemäß (23) antiproportional zur Temperatur. Es gibt also eine Konstante b, sodass gilt 1 S =b· (32) T Leitet man diesen Ausdruck nach der Temperatur ab, so ergibt sich dS = −

b · dT T2

(33)

Setzt man nun die Ausdrücke (31), (32) und (33) in Gleichung (30) ein, so erhält man nach Vereinfachung  1 2 dT 8π − = Ga · T 4 (34) 2 T · dt 3c Diese Differentialgleichung kann durch Separation der Variablen gelöst werden: dT − 3 = T



1 = 2T 2



8π Ga 3c2

1

2

· dt

(35)

·t

(36)

Integration liefert 8π Ga 3c2

1 2

Nach der Temperatur aufgelöst ergibt Gleichung (36) schließlich

T =

1 √ 3 5 ! 3 5 · h2 c2 2 1 2

2 16π 3 G kB

14

1 ·√ t

(37)

3 TEMPERATURPROPORTIONALITÄTEN Hierbei wurde der Parameter a wieder gemäß (31) ersetzt. Man erhält also, dass die Temperatur proportional zum Kehrwert der Wurzel aus der Zeit ist [12]. Da die Temperatur über E = kB T direkt mit der Energie verknüpft ist, gilt diese Proportionalität auch für die Strahlungsenergie. Setzt man Zahlenwerte ein so ergibt sich 1 1 E [M eV ] = kB T = 1, 3M eV s /2 · p t [s]

(38)

Hiermit kann man beispielsweise berechnen, zu welchem Zeitpunkt tp,n Protonen und Neutronen entstanden sind. Deren Energie liegt in der Größenordnung von 1GeV . Es ergibt sich !2 1, 3M eV s1/2 tp,n = ≈ 10−6 s 1GeV

3.2 Temperaturabhängigkeiten im materiedominierten Universum Im folgenden sollen nun die Proportionalitäten für ein materiedominiertes Universum hergeleitet werden. 3.2.1 Größe Betrachtet man das Universum auf großen Skalen, auf denen es homogen ist, so kann man die Materie näherungsweise als ideales Gas annehmen, das adiabatisch expandiert [8]. Diese Näherung soll im folgenden verwendet werden, um einen Zusammenhang zwischen der Temperatur und dem Skalenfaktor in einem materiedominierten Universum herzuleiten. Es gelten dann die Gesetze der Thermodynamik für ein ideales Gas. Aus dessen Zustandsgleichung pV = N kB T (39) und dem Ausdruck für die innere Energie 3 U = N kB T 2

(40)

folgt für den Druck 2U 3V Man verwendet nun den ersten Hauptsatz der Thermodynamik p=

dU = δW + δQ

(41)

(42)

Bei einer adiabatischen Expansion wird keine Wärme ausgetauscht, es gilt also δQ = 0. Daher erhält man unter Verwendung von (41) dU = δW = −pdV = −

15

2U dV 3V

(43)

3 TEMPERATURPROPORTIONALITÄTEN Setzt man (40) in (43) ein, so ergibt sich 3 N kB T kB (T dN + N dT ) = − dV 2 V

(44)

Unter der Annahme, dass die Teilchenzahl konstant ist, gilt dN = 0. Der Ausdruck (44) lässt sich vereinfachen und in die folgende Differentialgleichung umformen: 3 dT dV =− 2 T V

(45)

Integration von T0 bis T und von V0 bis V liefert T ln T0 

3 2

V0 = ln V 



(46)

Hieraus ergibt sich mit V ∝ S 3 2

T ∝ V − 3 ∝ S −2

(47)

3.2.2 Energiedichte Für die Energiedichte von Materie gilt [8] =

E mc2 1 = ∝ 3 V V S

(48)

Damit folgt mit der Proportionalität (47) sofort ein Zusammenhang zwischen Energiedichte und Temperatur im materiedominierten Universum: 3

∝T2

(49)

3.2.3 Zeit Um die zeitliche Temperaturabhängigkeit im materiedominierten Universum herzuleiten, kann man analog zur Herleitung im strahlungsdominierten Universum vorgehen. Man geht wieder von der ersten Friedmanngleichung (5) aus. Da das Universum flach ist [3], gilt k ≈ 0. Zumindest für den Beginn der materiedominierten Ära gilt weiterhin S  1. Mit der Beziehung  ∝ S −3 für Materie folgt dann 8π 1 kc2 G ∝  3c2 S3 S2

(50)

Der Krümmungsterm wird also im Folgenden ebenfalls vernachlässigt. Damit ergibt sich wieder die vereinfachte Friedmanngleichung (30): 1 dS = S dt



8π G 3c2

16

1

2

(51)

3 TEMPERATURPROPORTIONALITÄTEN Wie im strahlungsdominierten Fall müssen nun auch hier , S und dS in Abhängigkeit der Temperatur ausgedrückt werden. 3

Die Energiedichte ist bei Materiedominaz nach (49) proportional zu T 2 , der Skalenfaktor 1 ist gemäß (47) proportional zu T − 2 . Es gibt also zwei Konstanten α und β, sodass gilt: 3

=α·T2

(52) 1

S = β · T−2

(53)

Die Ableitung von (53) nach der Temperatur liefert einen Ausdruck für dS: 3 1 dS = − βT − 2 dT 2

(54)

Durch Einsetzen von (52), (53) und (54) in (51) ergibt sich nach Vereinfachung 1 dT − = 2 T dt



8π Gα 3c2

1 2

3

·T4

(55)

Diese Differentialgleichung lässt sich wiederum durch Separation der Variablen lösen: 7

−T − 4 dT = 2



8π Gα 3c2

1 2

dt

(56)

·t

(57)

Integration liefert: 3 4 8π · T−4 = 2 Gα 3 3c2



1

2

Damit ist die Proportionalität zwischen Temperatur und Zeit im materiedominierten Universum gegeben durch 4 (58) T ∝ t− 3

3.3 Zusammenfassung Tabelle 1 enthält eine Zusammenfassung aller hergeleiteten Proportionalitäten. Strahlungsdominiertes Universum 1

Materiedominiertes Universum 3

2

Energiedichte

 ∝ T4 ⇔ T ∝ 4

 ∝ T 2 ⇔ T ∝ 3

Skalenfaktor

S ∝ T −1 ⇔ T ∝ S −1

S ∝ T − 2 ⇔ T ∝ S −2

Zeit

t ∝ T −2 ⇔ T ∝ t− 2

1

1

3

Tabelle 1: Zusammenhänge zwischen Temperatur und anderen Größen

17

4

t ∝ T − 4 ⇔ T ∝ t− 3

3 TEMPERATURPROPORTIONALITÄTEN Insbesondere können hieraus auch nochmals die Zusammenhänge zwischen Energiedichte und Skalenfaktor entnommen werden, aus denen ersichtlich wird, dass die Energiedichte der Strahlung im expandierenden Universum schneller abnimmt als die der Materie. Es gilt: 1 (59) Strahlung ∝ 4 S 1 M aterie ∝ 3 (60) S

18

4 DIE PHASEN DES UNIVERSUMS

4 Die Phasen des Universums In diesem Abschnitt soll beginnend unmittelbar nach dem Urknall auf die wichtigsten Abschnitte, die das Universum bis heute durchlaufen hat, eingegangen werden. Zum Schluss wird ein kurzer Ausblick in die Zukunft gegeben.

4.1 Planck-Ära Es ist sehr schwierig über den eigentlichen Beginn des Universums, genauer über die ersten 10−43 s nach dem Urknall, physikalisch sinnvolle Aussagen zu machen. Man spricht häufig von einer “Anfangssingularität” [2]. Temperatur und Energiedichte werden immer größer und gehen gegen unendlich, je näher man dem Urknall kommt. Solche Singularitäten werden durch die heute bekannten physikalischen Theorien nicht beschrieben. Man geht davon aus, dass in dieser Zeit alle vier Grundkräfte, Gravitation, elektromagnetische, starke und schwache Wechselwirkung, in einer einzigen Urkraft vereint waren. Um dies jedoch mathematisch zu erfassen, benötigt man eine Theorie, die sowohl die Gravitation als auch die Quantenmechanik beinhaltet, die Quantengravitation. Diese Theorie existiert bislang jedoch nicht. [3] Eine Grenze, bis zu der die bekannten physikalischen Gesetze gelten, ist durch die sogenannten Planckgrößen gegeben. Diese Größen lassen sich recht einfach herleiten [3]: Eine Masse M erzeugt ein Gravitationspotential. Um diesem Potential zu entkommen, muss eine Probemasse m im Abstand R von der Masse M sich mindestens mit einer bestimmten Geschwindigkeit bewegen. Diese Geschwindigkeit wird als Entweichgeschwindigkeit bezeichnet. Man erhält sie, indem man die potentielle Energie mit der kinetischen Energie der Probemasse gleichsetzt: GM m mv 2 = R 2

(61)

Damit ergibt sich s

v=

2GM R

(62)

Ist M so groß, dass die Entweichgeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit wäre, so ist die Masse M ein schwarzes Loch, aus dem nicht einmal mehr das Licht entweichen kann. Im Grenzfall, für v = c erhält man aus (62) den sogenannten Schwarzschildradius RSL . Dieser gibt an, welchen Radius ein Objekt der Masse M mindestens haben muss, um nicht zu einem schwarzen Loch zu kollabieren und ist gegeben durch RSL =

2GM c2

(63)

Man kann nun ein hypothetisches Elementarteilchen größtmöglicher Masse betrachten, das gerade noch nicht zu einem schwarzen Loch kollabiert. Die Ausdehnung eines solchen

19

4 DIE PHASEN DES UNIVERSUMS Teilchens ist durch seine Comptonwellenlänge λC =

h Mc

(64)

gegeben. Setzt man die Comptonwellenlänge dem Schwarzschildradius gleich, so erhält man eine Obergrenze für die Masse MP l eines Elementarteilchens, auf das sowohl die Quantenmechanik als auch die Gravitation angewandt werden kann. Diese Masse wird als Planckmasse bezeichnet. Man erhält s

MP l =

hc ≈ 4 · 10−8 kg 2G

(65)

Die Ausdehnung eines Elementarteilchens der Planckmasse ist dann die Plancklänge lP l . Mit (64) erhält man h lP l = ≈ 6 · 10−35 m (66) MP l c Auf Strecken, die kürzer als die Placklänge sind, sind unsere physikalischen Gesetze nicht mehr gültig. Das Gleiche gilt für Zeitspannen, die kürzer als die Planckzeit sind. Die Planckzeit ist die Zeit, die das Licht benötigt um eine Strecke der Länge lP l zurückzulegen [13]. Es ist also lP l tP l = ≈ 2 · 10−43 s (67) c Über die ersten 10−43 s des Universums kann also nichts ausgesagt werden. Es ist sogar möglich, dass es auf derart kleinen Skalen gar keinen Sinn mehr macht, von Zeitspannen und Längen zu sprechen. Nach Ablauf dieser Zeit war jedoch die Dichte extrem hoch. Teilt man die Planckmasse durch das Planckvolumen (lP3 l ), so ergibt sich eine Größenordnung von 1097 kgm−3 .

4.2 GUT-Ära 10−43 s nach dem Urknall beträgt die Temperatur etwa 1032 K [4], was sich gemäß E = kB T

(68)

in eine Energie von ungefähr 1016 T eV umrechnen lässt. In keinem Teilchenbeschleuniger lassen sich derartige Energien erreichen. Am LHC am CERN werden bei Teilchenstößen Energien von gerade einmal 14T eV erreicht [14]. Es beginnt nun die GUT-Ära, das Zeitalter der Großen Vereinheitlichten Theorien. (GUT steht für Grand Unified Theories.) Diese Theorien vereinen die elektromagnetische, die starke und die schwache Kraft zu einer einzigen GUT-Kraft. [15] Die Stärke der fundamentalen Wechselwirkungen sind nicht konstant, sondern abhängig von der Energie. Mit zunehmender Energie wird die elektromagnetische Kraft stärker, die beiden Kernkräfte dagegen schwächer. Bei genügend hoher Energie können diese drei Kräfte nicht

20

4 DIE PHASEN DES UNIVERSUMS mehr unterschieden werden. Lediglich die Gravitation konnte bis heute nicht in die Vereinheitlichung integriert werden. [4] Zwischen Teilchen, die der starken Wechselwirkung unterliegen, wie beispielsweise Quarks, und Teilchen, die der schwachen Wechselwirkung unterliegen, zum Beispiel Neutrinos, gibt es also während der GUT-Ära keinen Unterschied. Sie verhalten sich gleich. [3] Die Austauschteilchen der GUT-Kraft können Quarks in Leptonen umwandeln und umgekehrt. Sie werden daher als Leptoquarks bezeichnet und häufig mit X und Y abgekürzt. [15] Diese X- und Y-Bosonen sind sehr schwer und haben sowohl eine elektrische, als auch eine Farbladung. [4] Bei den hohen Energien während der GUT-Ära werden ständig Teilchen-Antiteilchenpaare erzeugt und wieder vernichtet. Es herrscht ein thermisches Gleichgewicht zwischen Teilchen und Strahlung. Die GUT-Ära endet mit einer spontanen Symmetriebrechung: Die GUT-Kraft spaltet auf in die starke und die elektroschwache Kraft. [4] Es gibt nun also drei Grundkräfte. Die Temperatur beträgt zu diesem Zeitpunkt, ca. 10−37 s nach dem Urknall, noch etwa 1028 K. [16]

4.3 Inflation Die Inflation setzt ungefähr 10−37 s nach dem Urknall ein und dauert ca. 10−35 s. In dieser kurzen Zeit dehnt sich das Universum um einen Faktor von mindestens 1027 aus. [16] Diese extrem schnelle Expansion erfolgt mit einer Geschwindigkeit, die viel größer als die Lichtgeschwindigkeit ist. Dies ist dennoch kein Widerspruch zur Relativitätstheorie. Die Relativitätstheorie verbietet nämlich nur, dass sich Informationen innerhalb der Raumzeit mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen. Im Fall der Inflation ist es jedoch die Raumzeit selbst, die sich ausdehnt. [17] Die Inflation gehörte ursprünglich nicht zur Urknalltheorie. Sie wurde jedoch hinzugefügt, da sie eine Erklärung für mehrere Probleme der ursprünglichen Urknalltheorie liefert. [17] Ein erstes Problem der ursprünglichen Urknalltheorie ist das sogenannte Horizontproblem. Die kosmische Hintergrundstrahlung, auf die in Abschnitt 4.10 noch näher eingegangen wird, ist extrem homogen und weist in allen Richtungen das gleiche Spektrum auf. Das bedeutet, dass alle Photonen, auch wenn sie aus unterschiedlichen Richtungen kommen, die gleiche Temperatur haben. Betrachtet man zwei Photonen, die seit dem Urknall unterwegs sind und aus entgegengesetzten Richtungen kommen, so können sie nach der Urknalltheorie ohne Inflation noch nie in kausalem Kontakt gewesen sein. Dennoch weisen sie exakt die gleichen Eigenschaften auf. Dies wäre ein sehr merkwürdiger und extrem unwahrscheinlicher Zufall. Die Inflation löst dieses Problem. Durch die Ausdehnung mit Überlichtgeschwindigkeit werden Gebiete, die zu Beginn in kausalem Kontakt waren, so schnell auseinander gezogen, dass sie hinterher so weit voneinander entfernt sind, dass keine Austauschmöglichkeit mehr zwischen ihnen besteht. Die Photonen der Hintergrundstrahlung, die uns heute aus unterschiedlichen Richtungen erreichen, waren daher einmal in Kontakt und es ist somit kein Zufall, dass die sie alle die gleichen Eigenschaften besitzen. [2]

21

4 DIE PHASEN DES UNIVERSUMS Wie stark die Inflation sein muss, lässt sich leicht berechnen. Für die Strahlung ist der Skalenfaktor gemäß (23) proportional zum Kehrwert der Temperatur. Es gilt also SGU T T0 = S0 TGU T

(69)

Der Index 0 bezieht sich hierbei auf die heutigen Größen. Die Temperatur der kosmischen Hintergrundstrahlung beträgt heute ungefähr 2, 7K. Die Größe des sichtbaren Universums ist heute, in einem Alter des Universums von t0 = 13, 7 · 109 Jahre, S0 = ct0 ≈ 1026 m

(70)

Mit einer Temperatur am Ende der GUT-Ära von TGU T = 1028 K ergibt sich somit, dass das heute sichtbare Universum am Ende der GUT-Ära, also zum Zeitpunkt tGU T = 10−37 s T0 SGU T = · S0 ≈ 2, 7cm (71) TGU T groß war. Die Strecke r, die ein Teilchen zu dieser Zeit seit dem Urknall zurückgelegt haben kann, ist jedoch nur r = ctGU T = 10−27 cm (72) Ein Bereich, in dem verschiedene Photonen in kausalem Kontakt sein können ist also am Ende der GUT-Ära, vor der Inflation, nur 10−27 cm groß, obwohl der heute sichtbare Bereich des Universum nach der ursprünglichen Urknalltheorie bereits knapp 3cm groß ist. Die Inflation muss also eine Ausdehnung um mindestens einen Faktor 1027 bewirkt haben. [16] Ein weiteres Problem der ursprünglichen Urknalltheorie ist das Flachheitsproblem. Das Universum, das wir heute sehen, ist flach. Auch dies könnte natürlich ein Zufall sein, was jedoch wiederum sehr unwahrscheinlich ist. Die Inflation liefert eine bessere Erklärung. Durch die extreme Ausdehnung wird die Raumzeit geglättet. Es kann also zu Beginn durchaus Krümmungen gegeben haben. Wird der Radius des Universums jedoch um einen Faktor 1030 größer, so werden auch die Krümmungen auseinander gezogen und abgeflacht. Lokal, also in Größenordnungen unseres sichtbaren Universums, ergibt sich somit ein flacher Raum. Die Inflation gibt damit eine Erklärung, wie aus unterschiedlichen Anfangsbedingungen, die nicht genau bekannt sein müssen, ein flaches Universum entstehen kann. [3] Die Inflation löst ebenfalls das Problem der Abwesenheit magnetischer Monopole. Elektrische Ladungen können isoliert werden, magnetische Pole jedoch nicht. Die Inflation könnte die magnetischen Monopole so stark ausgedünnt haben, dass wir heute keine mehr davon beobachten können. [16] Es stellt sich nun die Frage, warum die Inflation überhaupt einsetzt. Eine mögliche Erklärung hierfür ist die spontane Symmetriebrechung am Ende der GUT-Ära, bei der die GUT-Kraft in starke und elektroschwache Wechselwirkung aufspaltet. [3] Das Inflationspotential ist in der folgenden Abbildung schematisch dargestellt:

22

4 DIE PHASEN DES UNIVERSUMS

Abbildung 4: Inflationspotential [18] Das Inflationspotential kann man sich wie abgebildet vorstellen. Während der Inflation geht das Universum von einem instabilen Zustand in den stabilen Zustand im Potentialminimum über. Wie eine Kugel, die eine parabelförmige Bahn herunterrollt, führt auch das Universum Schwingungen um den Gleichgewichtszustand aus, wodurch energiereiche Teilchen erzeugt werden. Zu Beginn befindet sich das Universum in einem metastabilen Zustand (links oben). Durch die Symmetriebrechung geht es in den stabilen Zustand im Potentialminimum über. Bei diesem Übergang findet die Inflation statt. Das Universum kühlt sich dabei stark ab. Es wird aber kurz darauf wieder aufgeheizt, da durch Oszillationen um den stabilen Zustand energiereiche Teilchen entstehen. [16]

4.4 Baryogenese Ungefähr zeitgleich zur Inflation findet die Baryogenese statt. Die Energie reicht nun nicht mehr aus, um Leptoquark-Antileptoquarkpaare zu erzeugen und die GUT-Kraft, deren Überträgerteilchen die Leptoquarks sind, existiert nicht mehr. Die X- und Y-Bosonen zerfallen also in Quarks und Leptonen. [3] Dabei gibt es unterschiedliche Zerfallsmöglichkeiten für Leptoquarks. Ein X beispielsweise kann folgendermaßen zerfallen [19]: X −→ d + e+

(73)

X −→ u + u

(74)

Das Anti-X zerfällt entsprechend nach folgenden Reaktionen: X −→ d + e−

(75)

X −→ u + u

(76)

Wir leben heute in einem Universum, das aus Materie und nicht aus Antimaterie besteht. Dafür gibt es zwei mögliche Erklärungen. Es könnte Bereiche im Universum geben, die

23

4 DIE PHASEN DES UNIVERSUMS aus Antimaterie bestehen. Dann müsste an den Grenzen zwischen Materie- und Antimateriebereichen Annihilationsstrahlung entstehen. Eine derartige Strahlung wurde jedoch bis heute nicht gemessen. Die zweite Möglichkeit ist, dass schon im frühen Universum mehr Materie, als Antimaterie entstanden ist. Die Antimaterie wurde in diesem Fall durch Stöße mit Materieteilchen komplett vernichtet, während ein kleiner Überschuss an Materie übrig blieb, aus dem sich später sämtliche Galaxien und Sterne bildeten. Diese Asymmetrie könnte während der Baryogenese entstanden sein. [20] Damit eine Materie-Antimaterie-Asymmetrie entstehen kann, müssen drei Bedingungen, die Sacharow-Bedingungen, erfüllt sein. [2] Die erste Bedingung ist eine Verletzung der Baryonenzahlerhaltung. Die Baryonenzahl ist + 31 für Quarks, − 13 für Antiquarks und 0 für Leptonen. In den heute bekannten und beobachteten Teilchenreaktionen ist die Baryonenzahl erhalten. In den großen vereinheitlichten Theorien ist dies jedoch nicht unbedingt der Fall, da die X- und Y-Bosonen Quarks und Leptonen ineinander umwandeln können. [20] Die zweite Bedingung ist die CP-Verletzung. Die C-Parität vertauscht Teilchen und Antiteilchen, der Paritätsoperator P führt ein Teilchen in sein Spiegelbild über (~r → −~r; p~ → −~ p) [21]. Eine Verletzung der CP-Erhaltung wurde bereits experimentell beim KaonZerfall nachgewiesen. [2] Es ist also durchaus möglich, dass sie auch beim Zerfall der Leptoquarks verletzt ist. Die Folge ist, dass die Zerfälle (73) und (74), bzw. (75) und (76) nicht genau gleich wahrscheinlich sind. [19] Schließlich muss als dritte Bedingung noch das thermische Gleichgewicht verletzt sein. Auch dies ist hier der Fall. Sobald die Temperatur unter einen bestimmten kritischen Wert gesunken ist, genügt die Energie nicht mehr, X- und Y-Bosonen zu erzeugen, sodass diese Teilchen nur noch zerfallen, jedoch nicht mehr erzeugt werden und daher nicht mehr im thermischen Gleichgewicht mit den anderen Teilchen sind. [2] Für den Zerfall der Leptoquarks sind also die Sacharow-Bedingungen erfüllt, was die Erzeugung eines Materie-Antimaterie-Gleichgewichts während der Baryogenese ermöglicht.

4.5 Quark-Ära Nachdem die Leptoquarks zerfallen sind, besteht das Universum nun aus Elektronen, Neutrinos, freien Quarks und deren Antiteilchen. Weiterhin sind Austauschteilchen der starken Wechselwirkung, Gluonen, vorhanden. Seit dem Urknall sind gerade einmal 10−23 s vergangen. Die Temperatur beträgt ungefähr 1022 K, was einer Energie von 109 GeV entspricht. Bei derartigen Energien sind all die genannten Teilchen, auch die Neutrinos, im thermischen Gleichgewicht. Ständig werden Quark-Antiquark-Paare erzeugt und wieder vernichtet. [23] Man kann sich nun fragen, warum es heute keine freien Quarks mehr gibt. Dies liegt daran, dass die starke Kernkraft mit wachsendem Abstand zunimmt. Ähnlich wie bei der elektromagnetischen Wechselwirkung zwischen Punktladungen, kann man sich auch bei

24

4 DIE PHASEN DES UNIVERSUMS der starken Wechselwirkung vorstellen, dass sich ein Feld zwischen den Quarks ausbildet. Während das elektrische Feld jedoch mit wachsendem Abstand der Punktladungen schwächer wird, so wird das Feld der starken Wechselwirkung immer stärker, wenn man die Quarks voneinander entfernt. [22] Während der Quark-Ära ist das Universum noch so dicht, dass das Feld verhältnismäßig schwach ist. Mit zunehmender Expansion des Alls wird jedoch auch der mittlere Abstand zwischen den Teilchen größer, wodurch die Feldstärke zunimmt. Schließlich ist die Feldenergie so groß, dass ein Quark-Antiquark-Paar entstehen kann. Anstatt vier freier Quarks hat man dann zwei gebundene, farbneutrale Mesonen. [1] Bei einer Temperatur von etwa 1015 K, die nach einer Zeit von 10−12 s erreicht wird, spaltet die elektroschwache Kraft auf in die elektromagnetische und die schwache Wechselwirkung. Ab diesem Zeitpunkt sind also alle vier Grundkräfte, wie sie uns heute bekannt sind, vorhanden. [24]

4.6 Hadronen-Ära Ungefähr 10−6 s nach dem Urknall, bei einer Temperatur von 1013 K können keine freien Quarks mehr existieren. Aufgrund der starken Wechselwirkung setzen sie sich zu Hadronen zusammen. Ab jetzt gibt es nur noch farbneutrale Teilchen. Zwischen den Hadronen und der Strahlung besteht zunächst ein thermisches Gleichgewicht. Mit abnehmender Energie zerfallen die schweren Hadronen in leichtere Hadronen. Schließlich bleiben hauptsächlich Protonen und Neutronen übrig. [25] Der Zerfall des Neutrons, das als freies Teilchen eine Lebensdauer von 881, 5s [26] besitzt, kann kann auf Zeitskalen im Bereich von unter einer Sekunde vernachlässigt werden. Protonen, Antiprotonen, Neutronen und Antineutronen werden ständig aus der energiereichen Strahlung erzeugt und vernichten sich durch Stöße wieder. Sinkt die Energie jedoch unter die Ruheenergie der Nukleonen, die knapp 1GeV beträgt, so können sie nicht mehr erzeugt werden. Fast alle Protonen und Neutronen werden durch Stöße mit ihren Antiteilchen vernichtet. Es bleibt nur ein winziger Materieüberschuss von ungefähr einem Teilchen auf etwas mehr als 109 Photonen [2], der seinen Ursprung bereits in der Baryogenese hatte. Dieses Verhältnis ändert sich nicht mehr. Protonen und Neutronen können sich zwar noch ineinander umwandeln, die Gesamtzahl der Nukleonen bleibt aber erhalten. Dieses Verhältnis lässt sich aus den Teilchendichten der Photonen und Nukleonen berechnen [2]. Die Energiedichte der Photonen γ der kosmischen Hintergrundstrahlung beträgt nach (20): 4 T4 8π 5 kB γ = (77) 3 15h c3 Die Teilchendichte der Photonen nγ ist dann gegeben durch die Energiedichte dividiert durch die Energie eines Photons, die im Bereich kB T liegt: nγ =

3 T3 8π 5 kB 15h3 c3

25

(78)

4 DIE PHASEN DES UNIVERSUMS Die Energiedichte der Baryonen B lässt sich mit Hilfe der kritischen Dichte und dem baryonischen Dichteparameter ΩB ausdrücken. Er ist gegeben durch [27] ΩB =

ρB = 0, 044 ρc

(79)

Damit ergibt sich B = ρB c2 = ΩB ρc c2 = ΩB

3H02 2 c 8πG

(80)

Dies teilt man nun durch die Energie eines Nukleons, die durch mp c2 gegeben ist. Da hier nur eine Größenordnung und kein exakter Wert berechnet werden soll, kann man annehmen, dass die Masse für Proton und Neutron gleich ist. Es ergibt sich eine Teilchendichte nB von 3ΩB H02 nB = (81) 8πmp G Mit einer Temperatur der kosmischen Hintergrundstrahlung von 2, 725K und einem Hubbleparameter von H0 = 70kms−1 M pc−1 gilt dann für das Verhältnis der Anzahl der Photonen Nγ zur Anzahl der Baryonen NB 3 T 3 Gm Nγ nγ 64π 6 kB p = = ≈ 109 NB nB 45ΩB H02 h3 c3

(82)

4.7 Leptonen-Ära Nach der Vernichtung der Hadronen und deren Antiteilchen sind die häufigsten Teilchen im Universum Elektronen, Positronen, Neutrinos und Antineutrinos. Diese stoßen ständig miteinander und wechselwirken mit den Photonen. So werden beispielsweise permanent Elektron-Positron-Paare aus der Strahlung erzeugt und durch Annihilation wieder vernichtet. Die Dichte des Universums ist gerade noch hoch genug, dass die Neutrinos mit den Elektronen, Positronen und Photonen im thermischen Gleichgewicht sind. [1] Dies ist jedoch bald nicht mehr der Fall. Neutrinos wechselwirken nur sehr schwach. Um sie heute nachweisen zu können, werden riesige Detektoren benötigt. Bei Temperaturen im Bereich von 1010 K ist die Dichte des Universums soweit abgesunken, dass die Neutrinos nicht mehr im thermischen Gleichgewicht mit den anderen Teilchen sind. Sie entkoppeln und bilden ab jetzt einen Neutrinohintergund, der nicht mehr an den Wechselwirkungen teilnimmt. [1] Ungefähr eine Sekunde nach dem Urknall beträgt die Energie 1M eV . Dies ist die Energie, die benötigt wird, um Elektron-Positron-Paare zu erzeugen, da deren Ruhemasse jeweils ungefähr 0, 5M eV /c2 beträgt. Mit weiterem Absinken der Temperatur, können also auch keine Leptonen mehr erzeugt werden. Elektronen und Positronen beginnen, sich zu vernichten. Schließlich bleibt auch hier aufgrund des in der Baryogenes entstandenen Materieüberschusses nur ein winziger Überschuss an Elektronen übrig. [25]

26

4 DIE PHASEN DES UNIVERSUMS Zusätzlich zu den Leptonen und Photonen gibt es während der Leptonen-Ära auch noch wenige Protonen und Neutronen, die am Ende der Hadronen-Ära aufgrund der MaterieAntimaterie-Asymmetrie nicht vernichtet wurden. Diese Teilchen können sich aufgrund der hohen Energie noch nicht zu Kernen zusammenfügen. Ein Kern würde sofort wieder zerfallen. Protonen und Neutronen wandeln sich nach folgenden Reaktionen ständig ineinander um [1]: ν + p −→ e+ + n (83) ν + n −→ e− + p

(84)

Zu Beginn der Leptonen-Ära sind die beiden Reaktionen ungefähr gleich häufig. Proton und Neutron sind jedoch nicht exakt gleich schwer. Das Neutron ist etwas schwerer als das Proton. Sobald die Energie auf die Größenordnung der Massendifferenz der beiden Kernteilchen abgesunken ist, wenn also gilt E ≈ (mn − mp ) c2 ≈ 1, 3M eV

(85)

beginnt (84) gegenüber (83) zu dominieren. Es wandeln sich mehr Neutronen in Protonen um als umgekehrt. Die Energie von 1, 3M eV entspricht einer Temperatur von etwas mehr als 1010 K und wird etwa eine Sekunde nach dem Urknall erreicht. Mit weiter abnehmender Energie erfolgen die Umwandlungen jedoch immer langsamer. Schließlich ergibt sich ein Verhältnis von Neutronen zu Protonen von 1 : 7, 3, was 88% Protonen und 12% Neutronen entspricht. [2]

4.8 Nukleosynthese Einige Sekunden nach dem Urknall beginnen sich dann Protonen und Neutronen zu Kernen zusammenzufügen. Zunächst kann folgende Reaktion ablaufen [1]: p + n ←→ D + γ

(86)

Ein Proton und ein Neutron bilden einen Deuteriumkern. Hierbei wird ein Photon frei. Da die Temperatur immer noch ungefähr 109 K beträgt, liegt die Energie der Photonen im Bereich von 100M eV . Dies reicht aus, um Deuteriumkerne wieder zu spalten. Stößt also ein Photon auf einen Deuteriumkern, so läuft die Reaktion (86) rückwärts ab. Für eine gewisse Zeit herrscht so ein Gleichgewicht zwischen Protonen, Neutronen und Deuteriumkernen. Mit abnehmender Energie wird die Rückwärtsreaktion jedoch immer mehr unterdrückt, sodass Deuterium stabil wird. Sobald dies der Fall ist, können weitere Reaktionen ablaufen. Deuterium kann sich mit einem weiteren Proton oder Neutron verbinden [1]: D + p −→ 3 He (87) D + n −→ 3 H

27

(88)

4 DIE PHASEN DES UNIVERSUMS So entstehen leichtes Helium (3 He) und Tritium (3 H), die durch Reaktion mit einem weiteren Neutron, bzw. Proton gewöhnliches Helium (4 He) bilden können [1]: 3

He + n −→ 4 He

(89)

3

(90)

H + p −→ 4 He

4 He

ist ein sehr stabiler Kern, der nicht mehr zerfällt. Da es keine stabilen Kerne mit fünf Nukleonen gibt, verbindet sich das Helium auch nicht mehr mit weiteren Protonen oder Neutronen. Vereinzelt wird noch Lithium gebildet. [3] Schwerere Kerne entstehen erst viel später im Innern von Sternen. [4] Am Ende der Nukleosynthese etwa eine halbe Stunde nach dem Urknall und bei einer Temperatur von 108 K [1] sind somit (fast) alle Neutronen in 4 He gebunden. Die überschüssigen Protonen existieren weiter. Das Universum enthält also neben winzigen Spuren von Lithium, leichtem Helium und Deuterium im Wesentlichen Wasserstoff- und Heliumkerne. Da 88% der Kernteilchen als Protonen vorlagen und 12% als Neutronen, sind etwa 24% aller Nukleonen in Helium gebunden. Da Protonen und Neutronen ungefähr gleich schwer sind, macht die Masse des Heliums also ca. 24% aus, die des Wasserstoffs die restlichen 76%. [2]

4.9 Ende der Strahlungsdominanz Das Universum kühlt sich nun weiter ab. Dabei dehnt es sich aus. Mit zunehmender Größe wird die Energiedichte geringer. Allerdings nimmt sie für Strahlung und Materie nicht in gleichem Maße ab. Wie in Abschnitt 3.3 bereits erwähnt, gilt für die Strahlung Strahlung ∝ und für die Materie

1 S4

(91)

1 (92) S3 Die Energiedichte der Strahlung nimmt also mit größer werdendem Skalenfaktor schneller ab, als die Energiedichte der Materie. Es muss also einen Zeitpunkt geben, an dem die Energiedichten gleich hoch sind. Dies ist ungefähr 10000 Jahre nach dem Urknall der Fall [3]. Davor war die Dichte der Strahlung größer als die der Materie. Man spricht daher vom strahlungsdominierten Universum. Ab diesem Zeitpunkt beginnt die materiedominierte Ära, in der die Energiedichte der Materie überwiegt. Der qualitative Verlauf der Energiedichten ist in Abbildung 5 dargestellt. M aterie ∝

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4 DIE PHASEN DES UNIVERSUMS

Abbildung 5: Energiedichten in Abhängigkeit des Skalenfaktors In dieser Abbildung ist schematisch der Verlauf der Energiedichten von Strahlung und Materie in Abhängigkeit des Skalenfaktors zu sehen. Die Energiedichte der Strahlung nimmt schneller (Strahlung ∝ S −4 ) ab als die Energiedichte der Materie (M aterie ∝ S −3 ), daher schneiden sich die beiden Kurven. Am Schnittpunkt endet die strahlungsdomonierte Ära und es beginnt die materiedominierte Ära.

4.10 Rekombination / Entkopplung der Strahlung 300000 Jahre nach dem Urknall beträgt die Temperatur noch ungefähr 3000 Kelvin. Die Energie liegt somit im Elektronenvoltbereich, etwas geringer als die Ionisierungsenergie von Atomen. Die bisher freien Elektronen und Kerne schließen sich nun zu neutralen Atomen zusammen. [3] Dies wird als Rekombination bezeichnet, was etwas irreführend ist, da es bis zu diesem Zeitpunkt noch keine Bindung zwischen Kernen und Elektronen gab. [2] Vor der Rekombination sind Elektronen, Kernteilchen und Photonen im thermischen Gleichgewicht. Photonen sind die Trägerteilchen der elektromagnetischen Wechselwirkung und wechselwirken sehr stark mit geladenen Teilchen, jedoch viel schwächer mit neutralen Atomen. So ist das Gleichgewicht nach der Rekombination gestört. [3] Strahlung und Materie entwickeln sich unabhängig voneinander weiter. Man spricht von der Entkopplung der Strahlung. Da es kaum noch zu Stößen zwischen den Photonen und Atomen kommt, wird das Universum durchsichtig. [1] Dies ist der Ursprung der noch heute beobachtbaren kosmischen Hintergrundstrahlung. Die Strahlung kann sich jetzt nämlich ungestört ausbreiten. Mit zunehmender Expansion des Universums wird die Wellenlänge der Photonen größer. Sie weist ein nahezu perfektes Schwarzkörperspektrum auf, das bei der Ausdehnung erhalten bleibt und dessen Temperatur heute 2,725 Kelvin beträgt. Die zugehörige Wellenlänge liegt gemäß kB T =

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hc λ

(93)

4 DIE PHASEN DES UNIVERSUMS im Mikrowellenbereich. [2] Die kosmische Hintergrundstrahlung wurde 1964 zufällig entdeckt. Die Radioastronomen Arno Penzias und Robert Wilson untersuchten Strahlung im Radiowellenbereich, die aus unserer Galaxie, der Milchstraße, stammt. Hierzu benutzten sie eine Hornantenne, die von einem amerikanischen Telefonunternehmen zur Kommunikation mit Satelliten gebaut worden war. Bei ihren Untersuchungen stießen die beiden Forscher auf ein Rauschen im Mikrowellenbereich, das, egal in welche Richtung sie die Antenne ausrichteten, immer die gleiche Intensität hatte. Trotz ausführlicher Fehlersuche ließ sich dieser Mikrowellenhintergrund nicht eliminieren. Penzias und Wilson hatten also die von Theoretikern bereits vorhergesagte kosmische Hintergrundstrahlung entdeckt. [1] Die kosmische Hintergrundstrahlung gibt uns heute einen Einblick in die Vergangenheit. Ein Schwarzkörperspektrum ändert seine Form nicht bei Expansion. Es verschiebt sich lediglich aufgrund der Abkühlung hin zu größeren Wellenlängen (vgl. Abbildung 3). Somit kann man durch Beobachtungen der Hintergrundstrahlung Rückschlüsse auf das Universum zur Zeit der Rekombination ziehen. Abbildung 6 zeigt die kosmische Hintergrundstrahlung, aufgenommen von der WMPASonde.

Abbildung 6: Kosmische Hintergrundstrahlung [28] Die hier abgebildete, von der WMPA-Sonde stammende Aufnahme der kosmischen Hintergrundstrahlung zeigt, dass diese extrem homogen ist und nur leichte Fluktuationen aufweist. Wie in Abbildung 6 zu sehen ist, ist die kosmische Hintergrundstrahlung extrem homogen. Zwischen den roten und blauen Bereichen liegen gerade einmal 400µK. Man kann daraus schließen, dass auch das Universum 300000 Jahre nach dem Urknall sehr homogen gewesen ist. [3]

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4 DIE PHASEN DES UNIVERSUMS Aus den winzigen Temperaturfluktuationen, mit denen Dichtefluktuationen einhergehen, müssen also später sämtliche Strukturen entstanden sein. Nachdem die Strahlung die Materie nicht mehr beeinflusst, können solche Dichtefluktuationen anwachsen. Durch die Gravitation wird aus den Gebieten höherer Dichte Materie aus den Regionen geringerer Dichte angezogen. Es entstehen Sterne und Galaxien. [3]

4.11 Zukunft Wie sich das Universum weiterentwickelt, hängt im Wesentlichen von seiner Dichte ab. [3] Je nachdem, ob die Gesamtdichte des Universums größer oder kleiner als die in Abschnitt 2.4 berechnete kritische Dichte ist, dehnt sich das Universum immer weiter aus oder zieht sich irgendwann wieder zusammen. Allgemein müssen also bei der Entwicklung des Universums in der Zukunft drei Fälle unterschieden werden. Ist die Dichte des Universums größer als die kritische Dichte, also Ω > 1, so ist die potentielle Energie größer als die kinetische Energie. [3] Die Gesamtenergie ist damit gemäß (11) negativ, was nach (13) eine positive Krümmung zur Folge hat. Man spricht von einem geschlossenen Universum [4]. In diesem Fall würde das Universum noch für eine gewisse Zeit weiter expandieren und abkühlen. Die Expansion würde jedoch immer langsamer werden und schließlich zum Erliegen kommen. Anschließend würde sich das Universum wieder zusammenziehen und erwärmen. Die in den vorangegangenen Abschnitten beschriebenen Etappen der Entwicklung des Universums würden rückwärts ablaufen. Das heißt, die Photonen der Hintergrundstrahlung hätten irgendwann wieder genug Energie, um die Atome zu ionisieren und etwas später würde die Energiedichte der Strahlung wieder die Energiedichte der Materie dominieren. Kerne könnten wieder in Atome zerfallen, die wiederum in freie Quarks und Gluonen aufspalten würden. Die vier Grundkräfte würden sich nach und nach vereinen. Am Ende der Geschichte des Universums stünde wieder ein singulärer Zustand, der sogenannte Endknall. [4] Ist die Dichte des Universums kleiner als die kritische Dichte, also Ω < 1, so ist die kinetische Energie größer als die potentielle Energie. [3] Dies ergibt dann nach (11) eine positive Gesamtenergie. Die Krümmung ist dadurch gemäß (13) negativ. Man spricht hier von einem offenen Universum [4]. Die Expansion würde in diesem Fall bis in Ewigkeit weitergehen. Die Hintergrundstrahlung würde sich weiter abkühlen und gegen den absoluten Nullpunkt konvergieren, diesen jedoch nie erreichen. Die Sterne würden nach und nach erlöschen. Das Universum würde immer kälter und leerer werden. Nach ungefähr 1032 Jahren wären die Protonen zerfallen. Es blieben Leptonen, Strahlung und schwarze Löcher. Nach 10100 Jahren oder noch später wären dann auch sämtliche schwarze Löcher verdampft. [4] Man sagt, das Universum endet im “big freeze” [29]. Als drittes bleibt noch der Fall, dass die Dichte des Universums genau der kritischen Dichte entspricht, also Ω = 1. In diesem Fall ist die Gesamtenergie null [3], kinetische und potentielle Energie sind damit genau gleich groß. Der Krümmungsterm in (13) verschwindet. Man spricht von einem flachen Universum [4]. Auch hier würde die Temperatur

31

4 DIE PHASEN DES UNIVERSUMS gegen null gehen. Die Expansion würde immer langsamer werden und das Universum gegen eine bestimmte Größe konvergieren [4]. Auch in diesem Fall würde zum “big freeze” [29] kommen. In Abbildung 7 sind die verschiedenen Möglichkeiten dargestellt. Die gelbe Kurve entspricht einem geschlossenen Universum (Ω > 1), die blaue Kurve beschreibt ein offenes Universum (Ω < 1) und die grüne Kurve stellt ein flaches Universum (Ω = 1) dar. Aktuelle Messungen ergeben eine Dichte, die ziemlich genau der kritischen Dichte entspricht. Es gilt also Ω ≈ 1, was bedeutet, dass das Universum flach ist. [3] Weiterhin beobachtet man aber auch eine beschleunigte Expansion und kein Abbremsen, wie man es für ein flaches Universum nach den oben genannten Punkten erwarten würde. Als Grund hierfür wird dunkle Energie angenommen, die eine abstoßende Gravitation besitzt. [29] Der Fall eines flachen Universums mit beschleunigter Expansion ist in Abbildung 7 durch die rote Kurve dargestellt.

Abbildung 7: Zukunft des Universums [29] Die Graphik zeigt die Größe des Universums in Einheiten der heutigen Größe in Abhängigkeit seines Alters für verschiedene Modelle. Im Fall eines geschlossenen Universums wird es sich wieder zu einer Singularität zussammenziehen (gelbe Kurve). Ein offenes Universum expandiert ewig weiter (blaue Kurve). Das gleiche gilt für ein kritisches Universum, wobei die Expansion hier gegen einen bestimmten Wert konvergiert (grüne Kurve). Berücksichtigt man die dunkle Energie, so beschleunigt sich die Expansion (rote Kurve).

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Literatur

Literatur [1] Weinberg, Steven: Die ersten drei Minuten. R.Piper & Co. Verlag, München, 1977 [2] Liddle, Andrew: Einführung in die moderne Kosmologie. Übersetzung der zweiten englischen Auflage - überarbeitet und erweitert. WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim, 2009 [3] Silk, Joseph: Die Geschichte des Kosmos. Spektrum Akademischer Verlag GmbH, Heidelberg, Berlin, 1999 [4] Barrow, John D.; Silk, Joseph: Die linke Hand der Schöpfung. Der Ursprung des Universums. Ergänzte und überarbeitete Neuauflage mit einem Vorwort von Rudolf Kippenhahn. Spektrum Akademischer Verlag GmbH, Heidelberg, Berlin, Oxford, 1995 [5] http://www.particleadventure.org/images/history-universe-08.jpg (abgerufen am 31.01.2012) [6] http://de.wikipedia.org/wiki/Rotverschiebung (abgerufen am 31.01.2012) [7] http://de.wikipedia.org/wiki/Hubble-Konstante (abgerufen am 31.01.2012) [8] de Boer, Wim: Einführung in die Kosmologie. Skript, KIT (Karlsruher Institut für Technologie), 6. Juni 2004, URL: http://www-ekp.physik.unikarlsruhe.de/~deboer/html/Lehre/kosmo_bold.pdf (abgerufen am 31.01.2012) [9] de Boer, Wim: Folien zur Vorlesung Einführung in die Kosmologie am KIT (Karlsruher Institut für Technologie) im Wintersemester 2011/2012, VL 1 Einführung, Karlsruhe, 17.10.2011 [10] Tipler, Paul A.: Physik. Spektrum Akademischer Verlag GmbH, Heidelberg, Berlin, Oxford, 2000 [11] Tipler, Paul A., Llewellyn, Ralph A.: Moderne Physik. Oldenbourg, München, Wien, 2003 [12] de Boer, Wim: Folien zur Vorlesung Einführung in die Kosmologie am KIT (Karlsruher Institut für Technologie) im Wintersemester 2011/2012, VL 5 Temperatur Entwicklung, Karlsruhe, 14.11.2011 [13] Max Planck Institute for Gravitational Physics: Lexikon, Planck-Zeit. Golm/Potsdam, 2012 URL: http://www.einstein-online.info/lexikon/planck-zeit (abgerufen am 03.02.2012) [14] CERN, 2008, URL: http://public.web.cern.ch/public/fr/LHC/Facts-fr.html (abgerufen am 01.02.2012) [15] Müller, Andreas: Lexikon der Astrophysik. GUT. August 2007, URL: http://www.wissenschaft-online.de/astrowissen/lexdt_g06.html#gutak (abgerufen am 01.02.2012)

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Literatur [16] de Boer, Wim: Folien zur Vorlesung Einführung in die Kosmologie am KIT (Karlsruher Institut für Technologie) im Wintersemester 2011/2012, VL 10 Inflation, Karlsruhe, 19.12.2011 [17] Müller, Andreas: Lexikon der Astrophysik. Inflation. August 2007, URL: http://www.wissenschaft-online.de/astrowissen/lexdt_i.html#infl (abgerufen am 01.02.2012) [18] http://www.learner.org/courses/physics/visual/img_lrg/inflatonpot.jpg fen am 01.02.2012)

(abgeru-

[19] http://de.wikipedia.org/wiki/Baryogenese (abgerufen am 01.02.2012) [20] Müller, Andreas: Lexikon der Astrophysik. Antimaterie. August 2007, URL: http://www.wissenschaft-online.de/astrowissen/lexdt_a04.html (abgerufen am 01.02.2012) [21] Feindt, Michael: Folien zur Vorlesung Moderne Experimentalphysik 3 - Kerne und Teilchen am KIT (Karlsruher Institut für Technologie) im Sommersemester 2011, Vorlesung 11 Symmetrien, 08.06.2011 [22] Feindt, Michael: Folien zur Vorlesung Moderne Experimentalphysik 3 - Kerne und Teilchen am KIT (Karlsruher Institut für Technologie) im Sommersemester 2011, Vorlesung 8 Quarks, Gluonen, Hadronen, 2011 [23] Müller, Andreas: Lexikon der Astrophysik. Quark-Ära. August 2007, URL: http://www.wissenschaft-online.de/astrowissen/lexdt_q03.html#qar (abgerufen am 01.02.2012) [24] Imamura, James N.: History of the universe. URL: http://hendrix2.uoregon.edu/~imamura/123cs/lecture-6/lecture-6.html (abgerufen am 01.02.2012) [25] http://ephemeriden.com/bigbang.py (abgerufen am 02.02.2012) [26] K. Nakamura et al. (Particle Data Group), 2011 URL: http://pdg.lbl.gov/2011/listings/rpp2011-list-n.pdf 02.02.2012)

(abgerufen

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[27] http://de.wikipedia.org/wiki/Dichteparameter (abgerufen am 02.02.2012) [28] http://astro.uni-wuppertal.de/~kampert/Kosmologie-Bilder/wmap_basic_resultsp17.jpg (abgerufen am 02.02.2012) [29] NASA, URL: http://map.gsfc.nasa.gov/universe/uni_fate.html (abgerufen am 03.02.2012)

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Die Entwicklung des Universums [5] Diese Graphik fasst die Entwicklung des Universums zusammen. Beginnend mit dem Urknall dehnt sich das Universums aus. Zunächst besteht es aus Strahlung und Elementarteilchen, die miteinander im Gleichgewicht sind. Die Elementarteilchen setzen sich zu Kernen und diese wiederum zu Atomen zusammen. Da die Photonen nun keine Wechselwirkungspartner mehr haben, breiten sie sich ungehindert im Hintergrund aus. Die Materie bildet im Laufe der Zeit Sterne und Galaxien. . . . . . . . . . . . . . . . . Rotverschiebung [6] Oben ist das Spektrum der Sonne zu sehen. Die Spektrallinien sind bei einem weit entfernten Galaxienhaufen (BAS11) ins Rote verschoben. Dies ist im unteren Teil der Graphik zu sehen. Man kann daraus schließen, dass sich die Sonne und BAS11 voneinander entfernen. . . . . . . . . . . . . . Schwarzkörperspektrum Hier ist das Schwarzkörperspektrum für verschiedene Temperaturen dargestellt. Mit abnehmender Temperatur sinkt die Intensität und das Maximum wird zu größeren Wellenlängen hin verschoben. . . . . . . . . . . . . . . . . Inflationspotential [18] Das Inflationspotential kann man sich wie abgebildet vorstellen. Während der Inflation geht das Universum von einem instabilen Zustand in den stabilen Zustand im Potentialminimum über. Wie eine Kugel, die eine parabelförmige Bahn herunterrollt, führt auch das Universum Schwingungen um den Gleichgewichtszustand aus, wodurch energiereiche Teilchen erzeugt werden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energiedichten in Abhängigkeit des Skalenfaktors In dieser Abbildung ist schematisch der Verlauf der Energiedichten von Strahlung und Materie in Abhängigkeit des Skalenfaktors zu sehen. Die Energiedichte der Strahlung nimmt schneller (Strahlung ∝ S −4 ) ab als die Energiedichte der Materie (M aterie ∝ S −3 ), daher schneiden sich die beiden Kurven. Am Schnittpunkt endet die strahlungsdomonierte Ära und es beginnt die materiedominierte Ära. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kosmische Hintergrundstrahlung [28] Die hier abgebildete, von der WMPA-Sonde stammende Aufnahme der kosmischen Hintergrundstrahlung zeigt, dass diese extrem homogen ist und nur leichte Fluktuationen aufweist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Zukunft des Universums [29] Die Graphik zeigt die Größe des Universums in Einheiten der heutigen Größe in Abhängigkeit seines Alters für verschiedene Modelle. Im Fall eines geschlossenen Universums wird es sich wieder zu einer Singularität zussammenziehen (gelbe Kurve). Ein offenes Universum expandiert ewig weiter (blaue Kurve). Das gleiche gilt für ein kritisches Universum, wobei die Expansion hier gegen einen bestimmten Wert konvergiert (grüne Kurve). Berücksichtigt man die dunkle Energie, so beschleunigt sich die Expansion (rote Kurve). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

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Eidesstattliche Erklärung Ich erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Bachelorarbeit selbstständig und ohne unerlaubte Hilfsmittel angefertigt, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel nicht benutzt und die den benutzen Quellen wörtlich oder inhaltlich entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht habe. Die Arbeit wurde bisher in gleicher oder ähnlicher Form oder auszugsweise noch keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegt und auch nicht veröffentlicht. Karlsruhe, Februar 2012

Alexander Bett

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