Die Geometrie des Universums

Max Camenzind Akademie Heidelberg November 2014

Komet 67P Komet 67P: Perihel: 1,2432 AE Aphel: 5,689 AE a = 3,463 AE e = 0,6412 P = 6,44 a i = 7,04 PRot = 12,4 h

67P Kometenbahn 2015

Zusammenfassung der 5 Axiome Einsteins von 1915 • Einstein1: Flache Minkowski RaumZeit wird durch Riemann Mannigfaltigkeit ersetzt, jedoch lokal in jedem Punkt Minkowski (EEP)  es existiert ein ds² zur Messung der Länge (= Eigenzeit) von Weltlinien. • Einstein2: Gravitation wird durch den metrischen Transport auf RaumZeit beschrieben ( keine Torsion). • Einstein3: Testkörper (auch Planeten, Neutronensterne, Schwarze Löcher) bewegen sich auf Geodäten: ds² > 0; Photonen auf Nullgeodäten: ds² = 0  SEP erfüllt. • Einstein4: Materieverteilung T in der RaumZeit bestimmt die Krümmung  Ricc – R g/2 = k T • Einstein5: Nicht-gravitative Kräfte (EM, QCD) verhalten sich im frei fallenden System wie in der SRT  EEP erf.

Materie & Energie krümmen die RaumZeit (Einstein 1915)

G: Newtonsche Konstante

Energie-Impuls Tensor im Ruhsystem der Materie  Matrix

r: totale Massen-Energiedichte (Baryonen, Phot) p: totaler Druck; Photonen, ns: p = rc²/3

Riemann-Tensor der RaumZeit

Ricci-Tensor der RaumZeit

+ Kosmologische Konstante 1917 Rik  2 Rgik  gik  (8G / c )Tik 4

1

Krümmung

Kosmol. Konstante

Materie

Rik Ricci Tensor mit Spur R = Rmm: folgt aus Riemann Tensor Albert Einstein 1915: Jede Form der Materie erzeugt Krümmung R (auch Photonen, Felder, Vakuum-Energie)

Ex1: RaumZeit eines Sterns  Sonne, Erde, Neutronensterne, SL Symmetrie lässt nur 2 Funktionen frei: F(r): „Gravitationspotenzial“ B(r): Krümmung des 3-Raumes B(r) > 1: Volumen größer als Euklidisch  (r,f)-Fläche

ds² = exp(2F(r)) c²dt² B²(r) dr² - r² (dq² + sin²q df²)]

 Lichtablenkung an Sonne

Gravitation krümmt den Raum

Minkowski RaumZeit

Core eines massereichen Sterns kollabiert auf SLoch

RaumZeit Sternkollaps

Bestätigung im Sonnensystem • Gravitative Rotverschiebung (30% bei NS). • Lichtablenkung an Sonne und Jupiter. • Periheldrehung der Planeten, insbesondere von Merkur: 43`` pro Jahrhundert. • Shapiro-Laufzeitverzögerung. • Diese Effekte treten verstärkt auch bei Binär-Pulsaren auf. • Binär-Pulsare zeigen, dass Gravitationswellen existieren (gibt es in Newtonscher Physik nicht).

Wie stellen Sie sich unser Universum vor? Wie groß? Wie alt? Struktur?

Antike Vorstellung

Einstein 1917 Van Gogh 1889

Das Moderne Universum

Albert Einstein Deutsch Allgemeine Relativität (1915); Statisches, geschl. Universum (1917) W. de Sitter Holländer

Vakuum-Energiegefülltes expand. Universum “de Sitter” (1917) A. Friedmann Russe

H.P. Robertson Amerikaner

A.G. Walker Britisch

Allgemeine Herleitung der Metrik eines isotropen und homogenen Universums in ART “Robertson-Walker Metrik” (1935-6)

Väter des Modernen Universums G. Lemaître Belgier

Entwicklung eines homogenen, expandierenden Universums “Friedmann Modelle” (1922/1924)

„Ur-Atom“ 1927 / 1931 hat den Big Bang erfunden

Weder Erde noch Sonne im Zentrum des Universums ! Kosmologisches Prinzip (Milne 1933)

1. Wir befinden uns an keiner ausgezeichneten Position des Universums ( kein Zentrum). 2. Das Universum ist isotrop.  Erst von 1990 - 2008 nachgewiesen!

1998 – 2007 SDSS DR7

Isotropie der Galaxienverteilung auf Sphären

600 Mpc

420 Mpc

Jeder Punkt ist eine Galaxie

Isotropie der CMB-Strahlung

COBE 1993 – T-Anisotropien

2006

Temperaturschwankungen DT = 30 µK in der Hintergrundstrahlung, auf Skalen > 7 Grad, aufgenommen durch COBE (Mission 1989–1993)

WMAP  Photosphäre isotrop Auflösung 14´ reicht nicht ; 20´  80 Mpc

X

DT 5  10 T

Rot: wärmer Blau: kühler

DT < +-100 micro-Kelvin um = 2,725 Kelvin

Konstruktion des Universums Fortsetzung des antiken Modells ! Jeder Beobachter sieht einen andern Teil Kuiper-Gürtel Planeten-Sphären

FixsternSphären

GalaxienSphären

PhotoSphäre

Big Bang Wir sind scheinbar im Zentrum des Universums r=0 Jede KugelSchale: r = const Dr = 100 Mpc Kugelschalen expandieren mit der Zeit r  a(t) r

Kosmische Sphären Photosphäre des Universums 3000 K 2,725 K

r

GalaxienSphären

Strahlungs-Sphäre

Modernes Universum Kosmische Sphären

Photosphäre Universum  CMB 1965

r=0

?

 je tiefer umso jünger

381000 a Alter des Universums in Mrd. Jahren

0

Welche Geometrie hat Kosmos? • Wie sieht der Raum aus ds2 ? • Aus Kosmologischen Prinzip (Isotropie um jeden Punkt)  räumliche Krümmung überall konstant. •  Nur 3 Möglichkeiten: • 3-Sattel – negative Krümmung: K < 0 • 3-Sphäre – positive Krümmung: K > 0 • Flacher E3 – keine Krümmung: K = 0

RaumZeit expandierendes Universum  3 Friedmann-Lemaître Weltmodelle Streckung des 3-Raumes in der Minkowski RaumZeit: r  a(t) r ; k=0 ds² = c²dt² a²(t) [dr² + r²(dq² + sin²q df²)]

Expansion der 3-Sphäre + Erweiterung auf RaumZeit / Friedmann 1922 k = +1 ds² = c²dt² R²(t) [dc² + sin²c (dq² + sin²q df²)]

Expansion der 3-Hyperboloid-RaumZeit / Friedmann 1924 k = -1 ds² = c²dt² R²(t) [dc² + sinh²c (dq² + sin²q df²)]

Metrik ist diagonal (aus Symmetriegründen)! a(t) : Expansionsfaktor  Streckung des 3-Raumes R(t) : Radius des Universums  zeitabhängig

Die Geometrie des Universums Abstand der Kugelschalen

Kugelschalen mit Radius a(t)r

Räumliche Krümmung {+1,0,-1}

r,q,f sind co-moving Koordinaten (“Labels” für Galaxien). t: ausgezeichnete kosmische Zeit (gemessen von Atomuhren im Zentrum von Galaxienhaufen – Virgo, Coma, …). dr = a(t) dr : Distanzen gestreckt (isotrope Expansion). a(t) ist eine Funktion der Zeit und r bleibt konstant. a(t) ist als Skalenfaktor des Universums bekannt und mißt die universelle Expansionsrate des Universums. a(t0) = 1 normiert, wobei t0 die heutige Zeit (Alter d. Univ.).

Der Krümmungsparameter

Wk = - kc²/(H0²R0²) c/H0: Hubble Radius Falls R0 >> c/H0  Wk ~ 0  so erscheint das Universum fast flach!  Konsequenz aus Inflation

Das Friedmann-Universum erklärt • Dieses Friedmann-Modell des expandierenden Universums erklärt folgendes: •  1. wie Photonen im Universum propagieren  globale Lichtkegelstruktur; •  2. die kosmische Rotverschiebung z; •  3. das Hubble-Gesetz und seine nichtlineare Erweiterung für z > 0,1; •  4. Distanzen im Universum als Func(z); •  5. Winkeldurchmesser als Func(z). •  6. Alter des Universums als Func(z).

Fazit • Das Universum ist eine 4 dim. Mannigfaltigkeit, sprich RaumZeit, salopp „eine 4D Fläche“. • Die Isotropie der Materieverteilung lässt nur 3 Modelle zu: E³, 3-Sphäre & 3-Hyperboloid. Dies kann mathematisch genau erschlossen werden. •  zum sog. Krümmungsparameter k = 0,+1,-1. • Es existiert eine ausgezeichnete Zeit t, eine sog. geodätische Zeit. • Galaxien werden durch ihren Abstand r und 2 Winkel bestimmt:  Rektaszension und Deklination. • Der einzige Freiheitsgrad:  Expansionsskalar a(t)