Publicaciones CRAIM
Tesoros de la matemática
ΜΑΤΕΜΑΤΙΧΑ
CRAIM
Las series de Fourier
Jorge M. López Departamento de Matemáticas y Ciencia de Cómputos Universidad de Puerto Rico, Río Piedras
Editor: Dr. Jorge M. López, Director CRAIM Centros Regionales de Adiestramiento en Instrucción Matemática (CRAIM) © Todos los derechos reservados
Las series de Fourier Tabla de contenido
Prologo ..................................................................................................... i
Introducción: Organización de este escrito ........................................... iii
Capítulo 0: Preliminares del análisis ....................................................... 1
Capítulo 1: Introducción a las series de Fourier ................................... 11
Capítulo 2: Convergencia puntual de las series
de Fourier ........................................................................... 27
Capítulo 3: Convoluciones y los núcleos de Dirichlet,
Fejér y Poisson ................................................................... 51
Capítulo 4: Propiedades de los coeficientes de Fourier ..........................67
Bibliografía ........................................................................................ 75
Prologo Este fascículo se ha escrito como parte de la colección Tesoros de la matemática de los Centros regionales de adiestramiento en instrucción matemática (CRAIM), con el fin de elevar el acervo matemático de los maestros del sistema escolar público y de los estudiantes talentosos de tal sistema. En este escrito, en el que se presentan los rudimentos del estudio de las series de Fourier, se ha mantenido a un mínimo los ingredientes del análisis matemático relacionados con la teoría de integración de Lebesgue y el análisis funcional (ciertamente necesarios para un estudio formal de la disciplina). Por ello, este estudio puede considerarse como uno más heurístico que formal, aunque se han presentado demostraciones “responsables” y “honestas”, siempre empleando la integral de Riemann y una dosis modesta de “imaginación”. No he intentado ser conservador en lo que se refiere al empleo de la calculadora de mano y el cálculo simbólico (mediante una instrumentación en calculadora de mano del programa Derive); evidentemente tales recursos matemáticos han llegado para quedarse. Espero que este escrito sirva para contagiar al lector de la fascinación que sintieron los matemáticos quienes gestaron esta disciplina a partir del siglo XVIII, fascinación que aún sentimos aquellos quienes nos hemos ocupado del estudio del análisis armónico.
Jorge M. López Universidad de Puerto Rico Río Piedras, Puerto Rico Agosto, 2001
Las series de Fourier, página ii
Introducción: Organización de este escrito Este escrito se ha concebido como una introducción al estudio de las series de Fourier en el que, a nuestro juicio, se ha mantenido en un mínimo aceptable el estudio de las técnicas del análisis real que caracterizan al estudio de la disciplina (teoría de integración de Lebesgue, análisis complejo, análisis funcional y espacios de funciones, etc.). Así pues, el estudio aquí presentado es uno con visos más heurísticos que formales, pero es sobre todo honesto en la medida en que es fiel a las ideas y las técnicas matemáticas que caracterizan el estudio del análisis armónico conmutativo (la generalización a grupos topológicos del estudio de las series y las transformadas de Fourier). En una presentación de esta naturaleza hay mucho que aprender de la historia de la matemática ya que, en gran medida, la misma situación de énfasis en la heurística cuando existen limitaciones teóricas formales ha caracterizado el desarrollo de las áreas más importantes del análisis (como lo evidencia, por ejemplo, el desarrollo del cálculo). La intención de este fascículo no es la presentar los detalles lógicos de los razonamientos que llevan a las aseveraciones en él presentadas, sino más bien mostrar suficiente de la estructura de la disciplina como para que el lector alcance a apreciar el poder y la belleza de esta última. Para leer este libro se necesita un semestre de la disciplina que en universidades norteamericanas y puertorriqueñas se ha venido a conocer como cálculo avanzado. En principio, el estudio de la topología métrica de la recta, de las funciones continuas y diferenciables, de la integral de Riemann y la convergencia puntual y uniforme de sucesiones y series infinitas, capacita ampliamente al lector para emprender la lectura de este fascículo. Hemos organizado el escrito en cuatro capítulos. El brevísimo Capítulo 0 presenta explícitamente los resultados del cálculo tradicional necesarios para la lectura de los capítulos siguientes. El Capítulo 1 presenta una discusión heurística del formalismo real de las series de Fourier. En él se definen los coeficientes de Fourier, se discuten las relaciones de ortogonalidad y se presentan Las series de Fourier, página iii
ejemplos informales de la expansión de funciones periódicas como series trigonométricas. El Capítulo 2 discute la teoría clásica de la convergencia puntual de las series de Fourier y su presentación tiene “sabor” clásico. En este capítulo se presentan las integrales de Dirichlet y su relación con el problema de la convergencia puntual de las series de Fourier, pero no se hace mención de palabras o frases como “convolución” o “unidades aproximadas”. En el Capítulo 3 se definen los núcleos clásicos de Fejér y Poisson, la operación de convolución y se demuestran los teoremas clásicos sobre la convergencia (C,1), tanto en L1 como en el espacio C de las funciones continuas y 2π periódicas (convergencia uniforme). Finalmente el Capítulo 4 presenta resultados clásicos sobre la naturaleza de los coeficientes de Fourier y su comportamiento asintótico (como, por ejemplo, el lema de Riemann - Lebesgue así como la unicidad de la transformada de Fourier). Al final del escrito se presenta una bibliografía para los interesados en proseguir estudios más avanzados en esta área.
Las series de Fourier, página iv
Capítulo 0: Preliminares del análisis En este capítulo presentamos la notación y los resultados que se necesitan para la lectura de los próximos capítulos. 0.1
Notación de conjuntos y los subconjuntos de la recta numérica Si A y B son conjuntos A ⊂ B denota que A es un subconjunto de B, es decir, que todo elemento de A es también elemento de B. En tal caso también decimos que A está contenido en B. Si x es uno de los elementos del conjunto A escribiremos x ∈ A . El conjunto de los números reales o la recta numérica se denotará mediante el símbolo R. Emplearemos símbolos especiales para denotar ciertos subconjuntos notables de la recta numérica: N conjunto de los números naturales, es decir, N = {1, 2, 3, ...} Z conjunto de los enteros, es decir Z = {0} ∪ N ∪ {− n|n ∈ N} = {0, ± 1, ± 2, ... }. Q conjunto de los números racionales {n / m|n , m ∈ Z y m ≠ 0} Escribimos f: A → B cuando f es una función cuyo dominio es el conjunto A y cuyos valores son elementos del conjunto B. A veces extendemos la notación para indicar la acción de la función, por ejemplo, f: R → R:: x a x 2 representa la función definida por f(x) = x 2 para cada número real x. A veces empleamos la notación para expresar la “acción” de la función sin asignarle nombre, como en el caso de R → R::x a x 2 . Una función f: A → B es inyectiva o uno uno si para todo x , y ∈ A , si f(x) = f(y), entonces x = y. De la misma manera f: A → B es suprayectiva o sobre si para todo b ∈ B existe al menos un elemento a ∈ A tal que f(a) = b. La función f: A → B es una biyección si es uno uno y sobre. Un conjunto A es enumerable si existe una biyección f: A → N , y es contable si y sólo si es finito o enumerable. El siguiente resultado es de importancia singular:
0.1.2 Proposición N, Z y Q son enumerables, pero no así R. Toda unión contable de conjuntos contables es contable. 0.1.3 Otros subconjuntos de R En los capítulos siguientes tendremos ocasión de exa-
minar intervalos. Si a y b son números reales y a < b , definimos los siguientes conjuntos como intervalos: i)
[a, b]
= {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}
ii)
[a, b)
= {x ∈ R|a ≤ x < b}
iii)
(a, b]
= {x ∈ R|a < x ≤ b}
iv)
(a, b)
= {x ∈ R|a < x < b}
v)
[a, ∞)
= {x ∈ R|a ≤ x}
vi)
(a, ∞)
= {x ∈ R|a < x}
vii)
(- ∞, b] = {x ∈ R|x ≤ b}
viii)
(- ∞, b) = {x ∈ R|x < b}
ix)
(- ∞, ∞) = R
Decimos que los conjuntos i), v) y vii) son intervalos cerrados; que iv), vi) y viii) y ix) son abiertos; que ii) y iii) son semi-abiertos y que i), ii), iii) y iv) son intervalos acotados. Esta usanza es consistente con el uso de los términos “abierto” y “cerrado” en la topología. A veces es conveniente extender la recta numérica a un nuevo conjunto, R # , la “recta numérica extendida”, la cual consiste de R y dos nuevos “objetos”, ∞ y − ∞ , de manera que ∞ es el elemento mayor de R # y − ∞ es el elemento menor. Es posible definir intervalos en R # y conjuntos como [- ∞, a) tendrían definiciones evidentes. 0.2
Convergencia de sucesiones y topología de R La recta numérica R es un ejemplo de un cuerpo ordenado completo. Aparte de las consecuencias algebraicas de esta aseveración, esto implica la existencia de cotas superiores mínimas (supremos) y cotas inferiores máximas (ínfimos). Un conjunto A está acotado superiormente [inferiormente] si existe un número real K tal que para todo elemento a de A tenemos a ≤ K [K ≤ a, respectivamente] El principio de completamiento es el siguiente:
Las series de Fourier, página 2
0.2.1 Axioma de la cota superior mínima Todo conjunto no vacío A ⊂ R con una cota superior tiene una cota superior mínima (única necesariamente), la cual denotamos por sup A. Dejamos al lector la confección del enunciado (equivalente) relativo a los conjuntos con cotas inferiores y las cotas inferiores máximas. Un segmento terminal de Z es un conjunto de la forma {n ∈ Z|n ≥ m} para algún m ∈Z. Por ejemplo, N es un segmento terminal de Z. Una sucesión es una función cuyo dominio es un segmento terminal de Z (llamado a veces el conjunto de índices) y que frecuentemente es N o N ∪ {0} . Una sucesión a está en un conjunto A si a(n) es un elemento de A para cada n en su dominio. Convencionalmente escribimos a n por a(n) y la sucesión a se escribe como
(an )n ∈I , donde I es el dominio de a.
Si la sucesión tiene a N como dominio,
también escribimos (a n )n = 1 , y existen variantes evidentes de esta notación las ∞
cuales se reconocen fácilmente del contexto. Una sucesión (a n )n ∈I está en un conjunto A si a n ∈ A para cada n ∈ I . Decimos que una sucesión (a n )n ∈I en R converge si existe algún número real a (necesariamente único) tal que se satisface la siguiente condición: para todo ε > 0 existe un índice n 0 tal que para todos los índices n ≥ n 0 , tenemos a n − a < ε . En tal caso escribimos lim a n = a . n
A veces abusamos de la notación y escribimos lim a n = ∞ o lim a n = −∞ para n
n
denotar sucesiones que no convergen pero que exhiben ciertos comportamientos especiales. Por ejemplo, lim a n = ∞ se cumple si para todo número n
real K existe un índice n 0 tal que para todos los índices n ≥ n 0 , tenemos a n > K. Una definición similar aplica en el caso lim a n = −∞ . Suponemos que el lector n
conoce los resultados usuales de las sucesiones respecto a las sumas, productos, cocientes, etc. de sucesiones convergentes. Hay ciertos tipos especiales de sucesiones (a n )n = 1 llamadas monótonas: ∞
i)
(an )n∞= 1 es una sucesión no decreciente si an ≤ an +! para todo índice n Las series de Fourier, página 3
ii)
(an )n∞= 1 es una sucesión creciente si an < an +! para todo índice n
iii) (a n )n = 1 es una sucesión no creciente si a n ≥ a n +! para todo índice n ∞
iv) (a n )n = 1 es una sucesión decreciente a n > a n +! para todo índice n ∞
Una forma equivalente de enunciar 0.2.1 es postulando que toda sucesión
(an )n∞= 1
no decreciente acotada superiormente converge (al valor sup a n = n ∈N
= sup{a n|n ∈ N} ). En el contexto de R # se puede expresar alguna de la información presentada en forma más sucinta. Por ejemplo, todo subconjunto A de R # tiene una cota superior mínima (si A es vacío sup A = - ∞). Se puede demostrar que esta aseveración es equivalente a 0.2.1. De la misma manera las sucesiones no decrecientes (a n )n = 1 en R # “convergen” a sup a n en R # ya que claramente todas ∞
n ∈N
las sucesiones monótonas “convergen” en R # . Ésta, al igual que otras formas alternas de expresión lingüística que emplean a R # , facilitan el discurso matemático. Así pues si (a n )n = 1 es una sucesión en R las sucesiones ∞
(
∞
an sup a n e inf n≥k n ≥ k k =1
)
∞ k =1
son sucesiones no decrecientes y no crecientes (respectivamente) en R # y por consiguiente lim sup a n = inf sup a n y lim inf a n = sup inf a n existen como k
k
n≥k
n≥k
n≥k
k
k
n≥k
elementos de R # . A veces escribimos lim sup a n o lim a n , etc. n
n
( )
Una sucesión a n k
∞ k =1
es una subsucesión de (a n )n = 1 si la correspondencia ∞
N → N::k → n k es creciente. Una definición similar aplica cuando el dominio es cualquier otro segmento terminal de Z. Un límite subsucesional de una sucesión
(an )n es un valor a ∈R# tal que para alguna subsucesión (an
siguiente es un resultado básico:
Las series de Fourier, página 4
k
) , lim a k
k
nk
= a. El
0.2.2 Proposición Sea (a n )n una sucesión en R y sea a ∈R # un límite subsucesional de ésta. Entonces, i)
lim a n y lim a n son límites subsucesionales de (a n )n y lim a n ≤ a ≤ lim a n n
n
n
n
ii) a = lim a n = lim a n si y sólo si lim a n = a n
n
n
iii) lim a n = 0 si y sólo si lim a n = 0 n
0.3
n
Funciones continuas Sea A ⊂ R un conjunto no vacío, f: A → R una función y sea a 0 ∈ A . Recuerda que lim f(a) = L ∈ R significa que para todo ε > 0 existe a→a 0
un número real δ > 0 tal que si a ∈ A y 0 < a − a 0 < δ , entonces f(a) − L < ε . Existen definiciones obvias para el caso en que L = ∞ o L = - ∞, las cuales no discutiremos. Una función f: A → R es continua en un punto de su dominio a 0 , si lim f(a) = f(a 0 ) . Decimos que f es continua en A si es continua para cada a→a 0
punto de A. La función f: A → R es acotada por abajo si existe un k ∈R tal que k ≤ f(a) para todo a ∈ A ; es acotada por arriba si existe un K ∈R tal que f(a) ≤ K para todo a ∈ A . Una función es acotada si es acotada por arriba y por abajo. Claramente, f: A → R es acotada si y sólo si existe M ∈[0, ∞) tal que f(a) ≤ M para todo a ∈ A . El siguiente resultado recoge resultados clásicos de las funciones continuas. 0.3.1 Teorema Sean a < b números reales y sea f:[a , b] → R una función continua. Entonces i) f es acotada. ii) Existen x m , x M ∈R tal que f( x m ) = inf f(x) y f( x M ) = sup f(x). x ∈[ a , b ]
x ∈[ a , b ]
Las series de Fourier, página 5
iii) Si f(a)f(b) < 0, entonces existe un punto x 0 ∈(a , b) tal que f( x 0 ) = 0. El contenido de 0.3.1 i) y ii) se conoce en la literatura como el “teorema de los valores extremos”, y dice que las funciones continuas asumen sus valores extremos. El resultado 0.3.1 iii) se conoce como el “teorema del valor intermedio”. Existe una noción de límite unilateral de una función. Sea A ⊂ R un conjunto no vacío y f: A → R una función. Recuerda que lim f(a) = L ∈ R significa que a→a 0 −
para todo ε > 0 existe un número real δ > 0 tal que si a ∈ A y a 0 − δ < a < a 0 , entonces
f(a) − L < ε . También en el presente caso es posible definir
lim f(a) = L en los casos L = ∞ o L = - ∞. Similarmente se definen lim f(a) = L
a→a 0 −
a→a 0 +
y las nociones de continuidad por la izquierda y por la derecha. Un resultado importante en este contexto es: 0.3.2 Proposición Sea f: A → R una función, L ∈R # y sea a 0 ∈ A . Entonces lim f(a) = L si y sólo si lim f(a) = lim f(a) = L a→a 0 +
a→a 0 −
a→a 0 +
0.3.3 Proposición Sea f: I → R una función no decreciente definida en un intervalo no trivial I ⊂ R . Entonces f es discontinua en un punto interior x 0 si y sólo si lim f(a) < lim f(a) . Además el conjunto de discontinuidades de f es contable.
a→a 0 −
a→a 0 +
Una función f: A → R ( A ⊂ R) es uniformemente continua si para todo ε > 0 existe un número real δ > 0 tal que si a , a′ ∈ A y a − a′ < δ , entonces f(a) − f(a′) < ε. Todas las funciones uniformemente continuas son continuas pero hay funciones continuas como (0, ∞) → R:: x a 1/ x que no son uniformente continuas. Un resultado importante relativo a topología usual de la recta numérica es el siguiente: 0.3.4 Teorema Una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua.
Las series de Fourier, página 6
0.4
Diferenciación e integración de funciones reales Una función definida al menos en algún intervalo abierto de un punto x es derivable o diferenciable en x si lim(f( u) − f(x))/(u − x) existe como un número real. El límite es el valor de la u→x
derivada de f en el punto x y se denota por f ′(x). La derivada de f, f ′ , tiene pues como dominio el conjunto de todos los puntos donde f es diferenciable. Una función es diferenciable en un conjunto si es diferenciable en cada punto del conjunto. Suponemos que el lector conoce las propiedades fundamentales de la derivada, tales como su carácter lineal y las fórmulas para diferenciar cocientes, productos, composición de funciones, etc. Un resultado central del cálculo es el siguiente: 0.4.1 Teorema [de la media] Si a < b números reales, y f:[a , b] → R continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), entonces existe θ ∈(a , b) tal que f ( b) − f (a) = f ′(θ). b−a La definición de integrabilidad sobre intervalos es más complicada. Supongamos que a y b son números reales, a < b, y que f:[a , b] → R es una función acotada. Una subdivisión de [a, b] es un conjunto P = { a = x 0 < x1 < ... < x n = b } para algún entero positivo n. La suma inferior de Darboux de una función f asociada a la subdivisión P se define por n
I(f , P) = ∑ inf{ f(x)|x ∈[x i − 1 , x i ] } ⋅ (x1 − x i − 1 ) . i =1
La suma superior de Darboux, se define análogamente por n
S(f , P) = ∑ sup{ f(x)|x ∈[x i − 1 , x i ] } ⋅ (x1 − x i − 1 ) . i =1
Está claro que I(f , P) ≤ S(f , P) para toda subdivisión P de [a, b]. Decimos que f Las series de Fourier, página 7
es integrable en [a, b] si para todo ε > 0 existe una subdivisión P de [a, b] tal que S(f , P) − I(f , P) < ε. En tal caso existe un número único J tal que para toda subdivisión P de [a, b], I(f , P) ≤ J ≤ S(f , P) . Desde luego, escribimos J=
b
∫ f(x) dx . a
Suponemos al lector familiarizado con las propiedades fundamentales de la integral, su carácter lineal, etc. Algunos resultados clásicos que vinculan la noción de diferenciabilidad con la de integrabilidad son los siguientes: 0.4.2 Teorema Sean a < b números reales, y sea f:[a , b] → R una función acotada. Suponga además que f es integrable en [a, b]. x
i) Si definimos F(x) = ∫ f( u) du para todo x ∈[a , b], entonces F es una función a
continua en [a,b], y si x ∈[a , b] es un punto de continuidad para f, entonces también F ′(x) = f(x) 1 . ii) Si f es continua en [a,b], entonces existe θ ∈[a , b] tal que b
∫ f(u) du = f(θ)(b − a) . a
El resultado de i) se conoce como el “teorema fundamental de cálculo” y el resultado ii) como el “teorema de la media para integrales”.
1
Si x es uno de los extremos del intervalo el resultado es válido si se interpreta la derivada como una unilateral.
Las series de Fourier, página 8
0.5
Convergencia uniforme de funciones Si X es un conjunto no vacío y denotamos por A(X) al conjunto de todas las funciones f: X → R acotadas. Es fácil ver que A(X) es un espacio vectorial bajo la suma de funciones usual (punto a punto) y el producto de funciones por números reales. Es posible definir un norma (una función que “funge” como un “valor absoluto”) en A(X) de la siguiente manera: f
u
= sup{|f(x)||x ∈ X} para todo f ∈ A( X)
Esta es la norma de la convergencia uniforme. Dejamos al lector la verificación de las propiedades usuales: i)
f+g
ii)
a⋅f
u
≤ a⋅ f
iii) f ⋅ g
u
≤ f
u
≤ f
+ g
u
u
u
⋅ g
u
para todo f , g ∈ A( X)
para todo para todo f ∈ A( X) a ∈R
u
para todo f , g ∈ A( X)
Quizás la propiedad más notable de A(X) es que es un espacio completo, es decir, toda sucesión de Cauchy respecto a la norma así definida converge a una
( )
función en A(X). Si f n
( )
decimos que f n
n
n
es una sucesión en A(X), f ∈ A( X) y lim f n − f n
u
=0
converge uniformente a f y escribimos
lim f n = f [uniformemente ] o lim f n = f [unif ] . n
n
El siguiente resultado compila propiedades de la convergencia uniforme que necesitaremos en el resto de este escrito. 0.5.1 Teorema
( )
i) Si X ⊂ R es un conjunto no vacío, f: X → R es una función y f n
n
es una
sucesión de funciones continuas en X tal que lim f n = f [unif ] , entonces f es n
Las series de Fourier, página 9
continua en X.
( )
ii) Si f es una función integrable en [a, b] (a y b números reales y a < b), f n
n
es una sucesión de funciones integrables en [a, b] y lim f n = f [unif ] , entonn
b
b
a
a
ces lim ∫ fn (x) dx = ∫ f(x) dx . n
( )
iii) Suponga que f n
n
es una sucesión de funciones en A(X) y para cada índice
n existe un número real M n tal que f(x) ≤ M n para todo x ∈ X . Entonces, ∞
si
∑ Mn < ∞ , n =1
∞
∑f
n
converge uniformenente.
n =1
El enunciado iii) se conoce como “la prueba M de Weierstrass”.
Las series de Fourier, página 10
Capítulo 1: Introducción a las series de Fourier 1.0
Introducción En este capítulo estudiaremos algunas de las técnicas matemáticas asociadas al estudio de las series trigonométricas, y en particular, a las series de Fourier. Comenzamos por considerar la posibilidad de expresar funciones como sumas (en general infinitas) de series trigonométricas, es decir, como sumas o “expansiones” de múltiplos numéricos de senos y cosenos. Claro está, aquí la palabra “expresar” resulta un tanto ambigua ya que podría tener múltiples significados. Por ejemplo, si es de alguna manera posible “expresar” una función dada como una serie trigonométrica infinita, entonces debemos indicar cómo converge la serie trigonométrica. La serie trigonométrica podría converger sólo en algún conjunto de puntos, o en toda la recta numérica, uniformemente en algún conjunto, o (como veremos más adelante) en la norma L1 , etc. El estudiante de estas notas habrá, sin duda, visto ejemplos de la aproximación de funciones por ciertas funciones especiales, como lo son, por ejemplo, los polinomios. En el cálculo se estudian condiciones que garantizan la expresión de funciones como series de Taylor o de Maclaurin. Tales expresiones a base de polinomios son con frecuencia expansiones “locales”, en el sentido que funcionan únicamente en ciertos intervalos de la recta numérica, siendo posible que una o más de la función o la aproximación estén definidas en subconjuntos distintos de la recta numérica y que tengan valores que en general no coincidan. Así pues, antes de comenzar el estudio formal de este tema y explorar la posibilidad de aproximar funciones mediante series trigonométricas, exploramos las llamadas relaciones de ortogonalidad, las cuales, como veremos resultarán de mucha utilidad en este escrito.
1.1
Relaciones de ortogonalidad (complejas) Sean m y n números enteros y sea δ m , n el símbolo de Kronecker definido por 0 si m = n δm,n = . 1 si m ≠ n Tenemos las siguientes relaciones que recogemos en forma del siguiente
resultado. 1.2
Proposición (Relaciones de ortogonalidad complejas) Si arbitrarios, entonces
m
y
n
enteros
1 2 π i( n − m ) x e dx = δ m , n 2 π ∫0 Prueba: Es suficiente demostrar que 1 2 π kxi e dx = δ k , 0 2 π ∫0 para todo k ∈Z (Z es el conjunto de los números enteros). Si k = 0, el resultado es evidentemente cierto. Suponga entonces que k ≠ 0. Entonces, si x 0 es un número real cualquiera, 1 2 π ikx 1 2 π ik ( x − x 0 ) e dx = e dx ∫ 2π 0 2 π ∫0 . e − ikx 0 .
1 2 π ikx e dx 2 π ∫0
Aquí se ha empleado un cambio de variables evidente, así como el dato de que una función integrable de período 2π tiene la misma integral en cualquier intervalo de longitud 2π. Por consiguiente,
(1 − e
− ikx 0
) 21π ∫
2π
0
e ikx dx = 0 .
Como la función x a e − ikx :: R → C no es constante cuando k ≠ 0 (aquí R y C representan el conjunto de los números reales y el de los complejos, respectivamente), existe algún número real x 0 tal que e − ikx 0 ≠ 1. Si escogemos un tal Las series de Fourier, página 12
número real, entonces se obtiene de la última relación que 1 2 π ikx e dx = 0 2 π ∫0 Esto termina la demostración. Nosotros habremos de necesitar mayormente las llamadas “relaciones de ortogonalidad reales” las cuales recogemos en la siguiente proposición: 1.3
Proposición (Relaciones de ortogonalidad reales) Si n y m son enteros no negativos, entonces,
(i)
1 π sen(mx)cos(nx)dx = 0 π ∫−π
(ii)
2δ n , 0 1 π cos(mx)cos(nx)dx = ∫ π −π δn,m
(iii)
0 si m = 0 1 π sen mx sen nx dx = ( ) ( ) π ∫−π δ n , m si m , n ≠ 0
si m = 0 si m , n ≠ 0
Prueba: Si desarrollamos las relaciones de ortogonalidad complejas (1.2), tenemos: 1 π i i cos( nx ) + sen ( nx ) cos( mx ) − sen ( mx ) dx ( ) ( ) 2 π ∫−π (1) 1 π = (cos(nx)cos(mx) + sen(nx) sen(mx))dx 2 π ∫−π
δn,m =
+i
1 π sen(nx)cos(mx) − cos(nx) sen(mx))dx ( 1 ; continuación) ( ∫ 2 π −π Las series de Fourier, página 13
De (1) se obtienen las siguientes relaciones: 1 π (cos(nx)cos(mx) + sen(nx) sen(mx))dx 2 π ∫−π (2) 1 π sen ( nx )cos( mx ) cos( nx ) sen ( mx ) dx 0= − ( ) 2 π ∫−π
δn,m =
Como (2) es válida para todo par de enteros m y n, sustituyendo -m por m en (2) obtenemos también, 1 π (cos(nx)cos(mx) − sen(nx) sen(mx))dx 2 π ∫−π ( 3 ). 1 π 0= sen ( nx )cos( mx ) + cos( nx ) sen ( mx ) dx ( ) 2 π ∫−π
δn,m =
Sumando las primeras relaciones de (2) y (3) tenemos, 1 π cos(nx)cos(mx)dx = δ n , m + δ n , − m π ∫−π
( 4 ).
Haciendo lo propio con las segundas relaciones de (2) y (3) tenemos, 1 π sen(nx)cos(mx)dx = 0 π ∫−π
( 5 ).
Si n = m = -m, entonces n = m = 0 y 1 π cos(nx)cos(mx)dx = 2 . π ∫−π Por otra parte, si m = 0 y n ≠ -m, entonces, por (4) podemos concluir Las series de Fourier, página 14
1 π cos(nx)cos(mx)dx = 0 . π ∫−π Finalmente, si n ≠ 0 y m ≠ 0, entonces, por (4), podemos concluir 1 π cos(nx)cos(mx)dx = δ n , m , π ∫−π ya que en este caso δ n ,− m = 0. Esto termina, en efecto la demostración de (ii). Nota que si se suman las segundas relaciones de (2) y (3) se obtiene fácilmente (i). Si se restan las primeras relaciones de (2) y (3), tenemos, 1 π sen(nx) sen(mx)dx = δ n , m − δ n , − m . π ∫−π Si m = 0, la expresión de arriba vale cero; de lo contrario m ≠ 0 (y esto significa en nuestro caso que m > 0), de suerte que δ n ,− m = 0, y se obtiene (iii). 1.4
Series de Fourier Suponte que podemos escribir una función f definida en la recta numérica (y 2π - periódica) de la siguiente forma,
f(x) =
a0 ∞ + ∑ (a n cos(nx) + b n sen(nx)) , (1) 2 n =1
donde (a n )n = 0 y ( b n )n = 1 son sucesiones de coeficientes reales, y la convergencia ∞
∞
es puntual (es decir, ocurre para cada x), digamos. Si la convergencia ocurriese uniformemente, entonces podríamos integrar la expresión (1), término a término, y obtendríamos,
Las series de Fourier, página 15
1 π 1 π a0 ∞ f(x) sen(mx)dx = ∫ + ∑ (a n cos(nx) + b n sen(nx)) sen(mx)dx = ∫ −π −π π π 2 n =1
=
a0 1 π sen(mx)dx + 2 π ∫−π ∞
∑ a π ∫ 1
n
n =1
=
−π
∞
∑b δ
π
n n,m
cos(nx) sen(mx)dx + b n
1 π sen(nx) sen(mx)dx ; ∫ −π π
= bm
n =1
aquí hemos utilizado las relaciones de ortogonalidad 1.3. De manera análoga, 1 π 1 π a0 ∞ f ( x )cos( mx ) dx = + ∑ (a n cos(nx) + b n sen(nx)) cos(mx)dx = ∫ ∫ π −π π −π 2 n = 1 =
a0 1 π cos(mx)dx + 2 π ∫−π . ∞
∑ a π ∫ cos(nx)cos(mx)dx + b 1
n
n =1
π
−π
n
1 π sen(nx)cos(mx)dx ∫ −π π
∞ a0 a 2δ m , 0 ) + ∑ a n δ n , m = 0 ( 2δ m , 0 ) + a m = ( 2 2 n =1
Por las relaciones de ortogonalidad reales, 1.3, si m = 0, la parte derecha de esta última expresión es a 0 , y si m ≠ 0, la parte derecha es a m . Todo este argumento muestra que, al menos en el caso de la convergencia uniforme, si una función tiene una representación como una serie trigonométrica como en (1), entonces los coeficientes tienen valores predeterminados por la función y están dados por las expresiones que acabamos Las series de Fourier, página 16
de deducir. 1.4.1 Definición Sea f:R → R una función 2π periódica (R es el conjunto de los números reales), y suponga que f integrable en cualquier intervalo de longitud 2π. Definimos los coeficientes de Fourier de la función f mediante las siguientes relaciones: an =
1 π f(x)cos(nx)dx (n ≥ 0), π ∫−π .
bn =
1 π f(x) sen(nx)dx (n ≥ 1) π ∫−π
1.4.2 Comentarios Dicho sea de paso, existen condiciones mucho más generales que garantizan que si una función f tiene una representación como en 1.4 (1), entonces los coeficientes de la representación están dados por las relaciones enunciadas en la definición 1.4.1. Por ejemplo, lo mismo es cierto si la convergencia es acotada, es decir, si existe una función integrable g tal que |f|≤ g y la convergencia ocurre puntualmente. También resultan ciertas las relaciones de 1.4.1 para otros tipos de convergencia menos restrictivos. 1.5
Ejemplos 1. Si f(x) = x para toda x en el intervalo [-π, π) y para cualquier otro valor de x definimos f(x) de forma que f sea periódica en R. Dejamos al lector la verificación de los siguientes cálculos: an =
bn =
1 π x cos(nx)dx = 0 , para todo n ≥ 0, π ∫−π
1 π 2 ⋅ ( −1)n + 1 x sen ( nx ) dx = , para todo n ≥ 1. π ∫−π n
Así pues la serie de Fourier correspondiente esta dada por
Las series de Fourier, página 17
2( −1) f(x) ≈ ∑ n n =1 ∞
n +1
sen(nx) .
Nota que no se ha postulado ninguna condición referente a la convergencia de la serie que resulta. Empleamos el símbolo “ ≈ “ formalmente para denotar que la serie que aparece a la derecha es la serie de Fourier de la función que aparece a la izquierda, pero nada se supone sobre la convergencia en punto alguno. Hemos incluido una gráfica para la serie de Fourier tomando cinco términos; véase la Figura 1.
Figura 1 2. Definimos f(x) = x para toda x en el intervalo [0, 2π) y para cualquier otro valor de x definimos f(x) de forma que f sea periódica en R. Invitamos al lector interesado a verificar que los coeficientes de Fourier de la función así definida están dados por las siguientes relaciones:
an =
bn =
Por consiguiente,
Las series de Fourier, página 18
2 si n = 0 1 2π x cos(nx)dx = , ∫ π 0 0 si n ≥ 1
1 2π 2 x sen(nx)dx = − , para todo n ≥ 1. ∫ π 0 n
∞ 1 f(x) ≈ π − 2∑ sen(nx) . n =1 n
En la gráfica hemos tomado, primeramente tres términos y luego cinco términos de la suma indicada; véase la Figura 2.
Figura 2 3. Sea f la función de “onda cuadrada”, definida por, −1 si x ∈[−π , 0] , f(x) = 1 si x ∈(0, π] y extendemos a f a toda la recta numérica por periodicidad. Se puede verificar fácilmente que los coeficientes de Fourier de esta función están dados por: an = −
1 0 1 π cos(nx)dx + ∫ cos(nx)dx = 0 ∫ π −π π 0
bn = −
1 0 1 π sen(nx)dx + ∫ sen(nx)dx ∫ π −π π 0
=
1 + ( −1) nπ
n +1
+
1 + ( −1) nπ
para todo n ≥ 0,
n +1
Las series de Fourier, página 19
0 si n es par . = 4 nπ si n es impar
Por consiguiente, 4 ∞ 1 f(x) ≈ ∑ sen((2k + 1)x) . π k = 0 2k + 1 Si trazamos una gráfica con k = 4, se obtiene la gráfica de la Figura 3.
Figura 3 Nota que si “creemos” que la serie de veras converge, entonces la misma se debería acercar a los valores de f al menos en los puntos de continuidad, como lo es, por ejemplo, en x = π/2. Si sustituimos x = π/2 en esta última expresión obtenemos, π (2k + 1)π 4 ∞ 1 f( ) = ∑ sen( ) π k = 0 2k + 1 2 2 4 ∞ ( −1) ∑ π k = 0 2k + 1 k
1=
Las series de Fourier, página 20
Por consiguiente, π = 4
∞
(−1)k
1
1
1
∑ 2k + 1 = 1 − 3 + 5 − 7 + ... k=0
Esta relación es válida, como veremos más adelante. 4. Considera la función f(x) = |x| para toda x ∈[−π , π) , y luego extiéndela a toda la recta numérica por periodicidad. Invitamos al lector interesado a calcular los coeficientes de Fourier de esta función, los cuales presentamos a continuación: an =
1 π 2 π x cos(nx)dx = ∫ cos(nx)dx ∫ π −π π −π
π si n = 0 2 ( −1) − 1 = = 0 si n ≥ 2 es par , n2π −4 2 si n es impar n π
(
bn =
n
)
1 π x sen(nx)dx = 0 para n ≥ 1. π ∫−π
Por lo tanto, π 4 ∞ 1 f(x) ≈ − ∑ cos((2k + 1)x) . 2 π k = 0 (2k + 1)2 En la Figura 4 presentamos la gráfica de la suma de la derecha hasta k = 0, es decir, comparamos y = f(x) con y=
π 4 − cos(x) 2 π Las series de Fourier, página 21
En la Figura 5, por otra parte, presentamos la gráfica de la suma de la derecha hasta k = 2, es decir, comparamos y = f(x) con y=
π 4 − (cos(x) + cos(3x)/ 9 + cos(5x)/ 25) . 2 π
Figura 4
Figura 5 Nota que si supiésemos que la serie converge a la función para x = π, tendríamos
π=
Las series de Fourier, página 22
π 4 ∞ 1 − ∑ cos((2k + 1)π) 2 π k = 0 (2k + 1)2
∞ π2 1 . =∑ 8 k = 0 (2k + 1)2
Esta última relación es impresionante y como veremos en el futuro, también cierta. 5. Define f(x) = x 2
para x ∈[−π , π) y extiende a f por periodicidad a toda la
recta numérica. Los coeficientes de Fourier de esta función están dados por, 2π 2 1 π 3 a n = ∫ x 2 cos(nx)dx = n −π π 4( −1) n 2 bn =
si n = 0 , si n ≠ 0
1 π 2 x sen(nx)dx = 0 para n ≥ 1. π ∫−π
(Nota que la última integral vale cero pues en ella se integra una función impar sobre un intervalo simétrico en torno a cero.) Por lo tanto, ∞ π2 (−1) f(x) ≈ + 4∑ 2 cos(nx) . 3 n =1 n n
En la gráfica de la Figura 6 hemos tomado dos términos de la suma y también hemos trazado la gráfica de la función f.
Figura 6 Las series de Fourier, página 23
En la gráfica de la Figura 7 hemos tomado cuatro términos de la suma y también hemos trazado la gráfica de la función f. Nota como se puede apreciar que la suma parcial de la serie de Fourier en este caso es una “mejor aproximación” de la función.
Figura 7 Además, si la serie converge para x=π, entonces tendríamos, ∞ π2 (−1) π = + 4∑ 2 cos(nπ) y 3 n =1 n n
2
∞ π2 1 =∑ 2 6 n =1 n
Esta es una famosa relación descubierta por Euler. 5. Define f(x) = x 3
para x ∈[−π , π) y extiende a f por periodicidad a toda la
recta numérica. Los coeficientes de Fourier de esta función están dados por, an =
Las series de Fourier, página 24
1 π 3 x cos(nx)dx = 0 para n ≥ 0 π ∫−π
bn =
=
1 π 3 2n(n 2 π 2 − 6)( −1)n + 1 π x sen ( nx ) dx = π ∫−π π n4 2(n 2 π 2 − 6)( −1)n + 1 n3
para n ≥ 1.
Por lo tanto, ∞
f(x) ≈ 2∑
n =1
(n π 2
2
)
− 6 ( −1) n3
n +1
sen(nx) .
Las series de Fourier, página 25
Las series de Fourier, página 26
Capítulo 2: Convergencia puntual de las series de Fourier 2.1
Introducción al problema de la convergencia puntual y establecimiento de la notación El problema principal que estudiaremos en este capítulo es el de la convergencia puntual de las series de Fourier. Supongamos que f:R → R es una función 2π -periódica e integrable en cualquier intervalo de longitud 2π. Hemos visto que a cada tal función corresponde una serie de Fourier “formal” de acuerdo a la discusión en 1.4 y 1.4.1:
f(x) ≈
a0 ∞ + ∑ (a n cos(nx) + b n sen(nx)) , 2 n =1
donde los coeficientes (a n )n = 0 y ( b n )n = 1 están dados por ∞
an =
∞
1 π f(x)cos(nx)dx (n ≥ 0), π ∫−π .
bn =
1 π f(x) sen(nx)dx (n ≥ 1) π ∫−π
La sucesión de las sumas parciales de la serie de Fourier de una función f como la que estamos considerando está definida por,
s N f(x) =
a0 N + ∑ (a n cos(nx) + b n sen(nx)) (N ≥ 0). 2 n =1
Decimos que la serie de Fourier de una función converge en el punto x ∈R , si lim s N existe como un número real.
N →∞
Desde luego, hay aspectos de estas consideraciones que son especialmente interesantes, como por ejemplo, el de la determinación de condiciones que garantizan que la serie de Fourier converge en efecto a la función original en un
punto dado. En la discusión de 1.4 demostramos que si una serie trigonométrica converge uniformemente a una función f (en el intervalo [0, 2π) digamos), entonces los coeficientes de la serie trigonométrica son, en efecto, los coeficientes de Fourier de la función límite. Esta situación nos anticipa una situación más general: ciertos tipos de convergencia de una serie de Fourier (como la uniforme) dicen mucho sobre la naturaleza de la función límite y la de los coeficientes de Fourier correspondientes. El tipo de discusión que presentaremos en este capítulo es uno clásico en el sentido que no revela muy claramente la relación entre las ideas involucradas en esta discusión con otras ideas importantes del análisis armónico (como los son la idea de convolución y de identidad aproximada o núcleo). Sin embargo, en el Capítulo 3 discutiremos estas ideas y las vincularemos con la presentación que estamos a punto de comenzar. Una advertencia adicional al lector: en general el problema de “cuándo y a dónde” converge una serie de Fourier resulta ser, en general, un problema complicado. La serie de Fourier de una función no converge necesariamente en algún conjunto “razonable” de puntos, y si lo hace, el límite no es, necesariamente, la función original. Por ejemplo, hay funciones continuas, no idénticamente iguales a cero, cuyas series de Fourier convergen casi en todas partes 2 a cero. Es más fácil, por ejemplo, contestar las mismas preguntas del “cuándo y a dónde” para los promedios de las sumas parciales de la serie de Fourier (este por ejemplo es el contenido del resultado generalmente conocido como “el teorema de Fèjer”). 2.2
Una familia de teoremas de la media Los siguientes resultados son generalizaciones del resultado conocido como el “teorema de la media para integrales”.
2.3
Teorema Sean f y g funciones reales definidas en algún sub-intervalo [a, b] de la recta numérica (aquí suponemos a < b). Suponga además que f y g son integrables en [a, b] y que g no cambia paridad (es decir, signo) en el intervalo [a, b]. Entonces existe un número µ tal que
2
Es decir, convergen en algún conjunto que es subconjunto de alguna unión de intervalos con largo total tan pequeño como se quiera.
Las series de Fourier, página 28
m = inf f(x) ≤ µ ≤ sup f(x) = M y x ∈[ a , b ]
∫
b
a
x ∈[ a , b ]
b
f(x)g(x)dx = µ ∫ g(x)dx . a
Además, si f es continua, entonces existe un número real θ ∈[a , b] tal que,
∫
b
a
b
f(x)g(x)dx = f(θ)∫ g(x)dx . a
Prueba: Suponemos que g ≥ 0 en [a, b]; el caso g ≤ 0 se prueba de manera análoga. Si m y M son como en el enunciado del resultado, entonces tenemos, b
b
b
a
a
a
m ∫ g(x)dx ≤ ∫ f(x)g(x)dx ≤ M ∫ g(x)dx .
Si
b
b
a
a
∫ g(x)dx = 0 , entonces esta claro que ∫ f(x)g(x)dx = 0 y podemos tomar co-
mo valor de µ cualquier valor en el intervalo [m, M]. De lo contrario tomamos b
∫ f(x)g(x)dx . µ= ∫ g(x)dx a
b
a
Claramente µ satisface la conclusión del teorema y además µ ∈[m , M]; nota que para esta última conclusión se emplea la hipótesis g ≥ 0 en [a, b]. Si f es continua, entonces, por el teorema de los valores extremos para funciones continuas en intervalos cerrados y acotados, existen números x m , x M ∈[a , b] tales que m = f( x m ) y M = f( x M ). Además, por el teorema del valor intermedio para funciones continuas existe un número real θ entre x m y x M , tal que f( θ ) = µ. 2.4
Teorema Sean f y g funciones reales, definidas e integrables en un sub-intervalo [a, b] de la recta numérica. Suponga que f ≥ 0 en el intervalo [a, b] y que f es Las series de Fourier, página 29
además no creciente (es decir si u ≤ v para u , v ∈[a , b], entonces f(u) ≥ f(v)). Suponga además que g cambia paridad a lo sumo un número finito de veces sobre el intervalo [a, b]. Entonces existe un número real θ ∈[a , b] tal que
∫
b
a
θ
f(x)g(x)dx = f(a)∫ g(x)dx . a
Prueba: Escoja un número natural n y puntos a = a 0 < a1 < .... < a n = b tal que g no cambia paridad en ninguno de los intervalos (a i −1 , a i ) para i=1, 2, ..., n. Por el Teorema 2.3, para cada i = 1, 2, ..., n, existe un número real µ i ∈[ inf f(x), sup f(x)] ⊆ [f(a i ), f(a i − 1 )] x ∈[ a i −1 , a i ]
x ∈[ a i −1 , a i ]
tal que
∫
ai
a i −1
f(x)g(x)dx = µ i ∫
ai
a i −1
g(x)dx .
Por lo tanto,
∫
b
a
n
ai
i =1
a i −1
f(x)g(x)dx = ∑ ∫
n
ai
i =1
a i −1
f(x)g(x)dx = ∑ µ i ∫
g(x)dx (1).
Ahora defina una nueva función F mediante la relación, x
F(x) = ∫ g( u)du para toda x ∈[a , b]. a
Note que por (1) tenemos
∫
b
a
f(x)g(x)dx =
Las series de Fourier, página 30
n
∑ µ [F(a ) − F(a )]. i
i =1
i
i −1
=
=
n
n
i =1
i =1
n
n −1
∑ µ i F(a i ) − ∑ µ i F(a i − 1 ) ∑ µ F(a ) − ∑ µ i
i
i =1
i=0
F(a i )
i +1
n −1
= µ n F( b) + ∑ [µ i − µ i + 1 ]F(a i ) i =1
Nota que hemos empleado la relación F(a 0 ) = F(a) = 0 . Si definimos µ 0 = f(a), (nota que cualquier valor µ 1 ≤ µ 0 funciona, en particular el que hemos elegido) entonces tenemos
∫
n −1
f(x)g(x)dx = µ n F( b) + ∑ [µ i − µ i + 1 ]F(a i ) .
b
a
i=0
Como µ i − µ i +1 ≥ 0 para cada i = 0, 1, .. ,n-1, y como f ≥ 0 en [a, b] tenemos entonces que n −1 n −1 b inf F(a i ) µ n + ∑ [µ i − µ i + 1 ] ≤ ∫ f(x)g(x)dx ≤ sup F(a i ) µ n + ∑ [µ i − µ i + 1 ] , 0≤i≤n 0≤i≤n i=0 i=0 a
es decir, b
f(a) ⋅ inf F(a i ) ≤ ∫ f(x)g(x)dx ≤ f(a) ⋅ sup F(a i ) . 0≤i≤n
a
0≤i≤n
Como F es una función continua, por el teorema del valor intermedio, existe un número real θ ∈[a , b] tal que b
θ
a
a
∫
f(x)g(x)dx = f(a)F(θ) =f(a)∫ g(x)dx ,
Las series de Fourier, página 31
como se quería demostrar. 2.5
Corolario Sean f y g funciones reales, definidas e integrables en un subintervalo [a, b] de la recta numérica. Suponga que f ≥ 0 en el intervalo [a, b] y que f es además no decreciente (es decir si u ≤ v para u , v ∈[a , b], entonces f(u) ≤ f(v)). Suponga además que g cambia paridad a lo sumo un número finito de veces sobre el intervalo [a, b]. Entonces existe un número real θ ∈[a , b] tal que
∫
b
a
b
f(x)g(x)dx = f( b)∫ g(x)dx . θ
Prueba: Un cambio de variables en la integral muestra que, b
b−a
a
0
∫ f(x)g(x)dx = ∫
f( b − u)g( b − u)du .
Ahora podemos aplicar el Teorema 2.4 a la funciones definidas por u a f( b − u) y u a g( b − u) en el intervalo [0, b-a]; notamos que la primera función es no creciente si f es no decreciente. Dejamos los detalles al lector. 2.6
Corolario Sean f y g funciones reales, definidas e integrables en un subintervalo [a, b] de la recta numérica. Suponga que f ≥ 0 en el intervalo [a, b] y que f es además monótona (es decir no creciente o no decreciente). Suponga además que g cambia paridad a lo sumo un número finito de veces sobre el intervalo [a, b]. Entonces existe un número real θ ∈[a , b] tal que
∫
b
a
θ
b
a
θ
f(x)g(x)dx = f(a)∫ g(x)dx + f( b)∫ g(x)dx .
Prueba: Para concretar supongamos que f es no creciente. En este caso, la función definida por f1 (x) = f(x) - f(b) para todo x en el intervalo [a, b], es no creciente y no negativa en el intervalo [a, b]. Por el Teorema 2.4 existe un número real θ ∈[a , b] tal que
Las series de Fourier, página 32
∫
b
a
θ
f1 (x)g(x)dx = f1 (θ)∫ g(x)dx . a
Por consiguiente,
∫
b
a
b
θ
a
a
f(x)g(x)dx − f( b)∫ g(x)dx = (f(a) − f( b))∫ g(x)dx ,
y tenemos, θ bg(x)dx − θg(x)dx ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) f x g x dx f a g x dx f b ∫a ∫a ∫a ∫a b
, θ
b
a
θ
= f(a)∫ g(x)dx + f( b)∫ g(x)dx
como se quería demostrar. 2.6 Algunas integrales especiales 2.6.1 Proposición Si x no es un múltiplo entero de 2π, entonces n sen (nx) = 2∑ cos [(2k − 1)x] . sen x k =1
Prueba: Nota que, n
n
k =1
k =1
∑ cos[(2k − 1)x] = Re ∑ e (
i 2 k − 1) x
n
( )
= Re ∑ e ix k =1
2k −1
.
Si a es un número complejo distinto de 1, entonces,
(
a + a 3 + ... + a 2 n − 1 = a 1 + a 2 + a 4 + ... + a 2 n − 2
)
Las series de Fourier, página 33
=a
1 − a2n . 1 − a2
Por consiguiente, tenemos, n
n
k =1
k =1
∑ cos[(2k − 1)x] = Re ∑ e ( n
i 2 k − 1) x
( )
= Re ∑ e ix k =1
2k −1
ix 1 − e i 2 nx = Re e 1 − ei 2x =
cos(2nx + x) − cos(2nx − x) 2(cos(2x) − 1)
=
−2 sen(2nx) sen(x) 2(cos(2x) − 1)
=
sen(2nx) sen(x) 2 sen 2 (x)
=
sen(2nx) 2sen(x)
De aquí se obtiene la relación deseada. 2.6.2 Teorema
∫
∞
0
R sen ( x ) sen (x) π dx = lim ∫ dx = . 0 R →∞ 2 x x
Las series de Fourier, página 34
Prueba: Defina para cada entero n ≥ 1, un = ∫
π/2
0
sen(2nx)cot(x)dx .
vn = ∫
π/2
0
sen(2nx) dx x
Nota que por la relación anterior,
∫
π/2
0
sen(2nx)cot(x)dx =
∫
π/2
0
sen(2nx) cos(x) dx sen(x) .
n
= 2∑ ∫ k =1
π/2
0
cos[(2k − 1)x] cos(x) dx
Por otra parte,
∫
π/2
0
1 1 cos[(2k − 1)x] cos(x) dx = − sen(kπ) = 0 4k 4(k − 1)
si k ≠ 1, y si k = 1 tenemos,
∫
π/2
0
cos[(2k − 1)x] cos(x) dx =
π . 4
Por lo tanto,
∫
π/2
0
sen(2nx)cot(x) dx =
π . 2
Todo esto dice que la sucesión de las u n es una sucesión constante, sus Las series de Fourier, página 35
términos valiendo siempre π/2. Por otra parte, observa que lim v n = lim ∫ n
n
π/2
0
n π sen( u ) ∞ sen( u ) sen(2nx) dx = lim ∫ du = ∫ du , 0 0 n x u u
donde se ha efectuado el cambio de variables (u = 2nx). (Aquí hemos utilizado el dato que el último límite de la derecha existe, prueba de lo cual dejamos al lector.) Nota que, por otra parte, un − vn = ∫
π/2
0
(1/ x − cot(x)) sen(2nx) dx .
Ahora integramos esta última relación por partes, notando que 1 − cot(x) = 0 x → 0 + x lim
y, 1 2 − cot(x) = , x→ π / 2− x π lim
de suerte que al integrar se puede considerar al integrando como una función continua en el intervalo [0, π/2]: u=
1 − cot(x) x
dv = sen(2nx) dx
x 2 − sen 2 (x) du = 2 dx x sen 2 (x)
v=−
1 cos(2nx). 2n
Tenemos así, π/2
1 1 vn − un = − − cot(x) cos(2nx) 2n x 0
Las series de Fourier, página 36
1 π / 2 x 2 − sen 2 (x) + cos(2nx) dx 2n ∫0 x 2 sen 2 (x)
=0+
1 π / 2 x 2 − sen 2 (x) cos(2nx) dx 2n ∫0 x 2 sen 2 (x) .
=
1 π/2 1 1 − cos(2nx) dx 2 2n ∫0 sen (x) x 2
El integrando de esta última expresión se podría considerar como una función continua en el intervalo de integración ya que, 1 1 1 lim − 2 cos(2nx) = , y 2 3 sen (x) x
x→0+
1 1 lim − 2 cos(2nx) = 0. 2 x → π / 2 − sen ( x ) x Tenemos que la última integral satisface, π/2 1 π/2 1 1 1 1 − 2 cos(2nx) dx ≤ ∫ − 2 dx < ∞ , 2 2 ∫ 0 2n 0 sen (x) x sen (x) x
y esta claro que lim(v n − u n ) = 0, ya que n
lim n
1 = 0. 2n
Pero entonces,
∫
∞
0
sen(x) π dx = lim v n = lim(v n − u n ) + lim u n = , x 2 n n n
por lo ya visto. Las series de Fourier, página 37
2.7
Funciones de variación acotada Las funciones de variación acotada revisten una importancia especial en la teoría de integración así como en el estudio de las series de Fourier. En esta sección presentamos las propiedades básicas de tales funciones.
2.7.1 Definición Sea f:[a , b] → R una función ( −∞ < a , b < ∞ ) y sea P una subdivisión de [a, b], digamos P = {a = a 0 < a1 < ... < a n = b} . Escribiremos Σ f (P ) para denotar la suma n
∑ f (a ) − f (a i
i =1
i −1
).
Definimos además, Vab f = sup Σ f (P ) , P
(tomando el supremo sobre todas las posibles subdivisiones de [a, b]) y defimos que esta última cantidad es la variación de la función f en el intervalo {a, b]. Decimos que f tiene variación acotada o que es una función de variación acotada, si Vab f < ∞. 2.7.2 Teorema Sea f:[a , b] → R una función ( −∞ < a , b < ∞ ). i.
Si f tiene variación acotada en [a, b] y [c, d] es un subintervalo de [a, b], entonces f tiene variación acotada en [c, d] y Vcd f ≤ Vab f .
ii.
Si definimos Vdd f = 0 para todo d ∈[a , b], entonces, para todo c ∈[a , b], f tiene variación acotada en [a, b] si y sólo si f tiene variación acotada en [a, c] y en [c, d]. En tal caso tenemos, Vab f = Vac f + Vcb f .
Las series de Fourier, página 38
iii. iv.
f tiene variación acotada en [a, b] si y sólo si existen funciones nodecrecientes en [a, b] g y h tal que f = g - h. Si f:[a , b] → R es diferenciable en (a, b), continua en [a, b] y si f ′ es acotada, entonces f es de variación acotada en [a, b].
Prueba: La aseveración i. está clara. Ahora demostramos ii. Por i., si f tiene variación acotada en [a, b], entonces f también tiene variación acotada en [a, c] y en [c, d]. Además, si f tiene variación acotada en [a, c] y en [c, d], y si P es una subdivisión de [a, b], entonces Σ f (P ) ≤ Σ f (P ∪ {c})
(
[
(¿ por qué ?)
])
(
[
])
= Σ f [a, c] ∩ P ∪ {c} + Σ f [c, b] ∩ P ∪ {c} ≤ Vac f + Vcb f.
(Nota que en este argumento podemos suponer que c ∈(a , b) ya que si c = a o c = b , entonces el resultado es trivial). Esto dice que Vab f ≤ Vac f + Vcb f . Para demostrar la desigualdad opuesta, suponemos que ε> 0 y escogemos subdivisiones P1 y P2 de [a, c] y de [c, d] respectivamente tal que, Σ f (P1 ) > Vac f − ε / 2 Σ f (P2 ) > Vcb f − ε / 2.
Entonces tenemos, Vab f = sup Σ f (P ) ≥ Σ f (P1 ∪ P2 ) = Σ f (P1 ) + Σ f (P2 ) P
Las series de Fourier, página 39
> Vac f + Vcb f − ε . Como ε es arbitrario, tenemos Vab f ≥ Vac f + Vcb f . Esto termina la demostración de ii. Para la demostración de iii suponemos primero que f es de variación acotada. Definimos para todo x ∈[a , b], g(x) = Vax f . h(x) = Vax f − f(x)
Note primeramente que g(x) y h(x) son números reales ya que f tiene variación acotada. Además, por ii., si a ≤ x1 ≤ x 2 ≤ b , entonces g(x1 ) = Vax 1 f = Vax 2 f − Vxx12 f ≤ Vax 2 f = g(x 2 ), lo cual muestra que g es no-decreciente. Además, si a ≤ x1 ≤ x 2 ≤ b , entonces h(x 2 ) = Vax 2 f − f(x 2 ) = Vax 1 f + Vxx12 f − f(x 2 ) = Vax 1 f − f(x1 ) + Vxx12 f + f(x1 ) − f(x 2 ) . ≥ V f − f(x1 ) + f(x 2 ) − f(x1 ) − (f(x 2 ) − f(x1 )) x1 a
≥ Vax 1 f − f(x1 ) = h(x1 )
Todo esto muestra que h es no-decreciente, y claramente f = g - h. Las series de Fourier, página 40
Por otra parte si f = g - h, donde g y h son funciones no decrecientes en [a, b], entonces Vab f ≤ Vab g + Vab h ≤ (g( b) − g(a)) + (h( b) − h(a)) < ∞ , lo cual dice que f es de variación acotada. Ahora demostramos iv. Sea P = {a = a 0 < a1 < ... < a n = b} una subdivisión de [a , b] . Observa que por el teorema de la media, existen números θ i ∈(a i − 1 , a i ) tal que f(a i ) − f(a i − 1 ) = f ′(θ i ) ⋅ (a i − a i − 1 ) para cada i = 1, 2, ... , n. Por lo tanto, n
n
i =1
i =1
Σ f (P ) = ∑ f(a i ) − f(a i − 1 ) = ∑ f ′(θ i ) ⋅ (a i − a i − 1 ) ≤ sup f ′(x) ( b − a) . x ∈[ a , b ]
Por lo tanto, Vab f = sup Σ f (P ) ≤ sup f ′(x) ( b − a) < ∞ , x ∈[ a , b ]
P
y f t iene variación acotada. 2.8
Integrales de Dirichlet para las sumas parciales de la series de Fourier En esta sección suponemos que f:R → R es una función 2π -periódica e integrable en cualquier intervalo de longitud 2π. Hemos visto que a cada tal función corresponde una serie de Fourier “formal” de acuerdo a la discusión en 1.4 y 1.4.1:
f(x) ≈
a0 ∞ + ∑ (a n cos(nx) + b n sen(nx)) , 2 n =1
donde los coeficientes (a n )n = 0 y ( b n )n = 1 están dados por ∞
∞
Las series de Fourier, página 41
1 π f(x)cos(nx)dx (n ≥ 0), π ∫−π
an =
. bn =
1 π f(x) sen(nx)dx (n ≥ 1) π ∫−π
Utilizaremos la notación de 2.1 para la sucesión de las sumas parciales de la serie de Fourier de la función f:
s N f(x) =
a0 N + ∑ (a n cos(nx) + b n sen(nx)) (N ≥ 0). 2 n =1
2.8.1 Proposición 1 sen (2n + 1)(x − u) 1 2π 2 du . s N f(x) = f( u) 2 π ∫0 1 sen (x − u) 2
Prueba: Observe primero que si ω ∈R y si N ≥ 0 es un entero, entonces, N
1 + 2∑ cos(nω ) = n =1
N
∑e
inω
n=−N
= Re e − iNω
=e
− iNω
2N
∑e
n=0
inω
=e
− iNω
1 − e i( 2 N + 1)ω 1 − e iω
1 − e i( 2 N + 1)ω cos[(n + 1)ω ] − cos(nω ) = . 1 − e iω cos(ω ) − 1
ω 1 1 2 sen (2n + 1)ω sen sen (2n + 1)ω 2 2 2 = = ω ω 2 sen 2 sen 2 2
Aquí hemos utilizado la fórmula para la suma de una serie geométrica y la relación cos(α − β) − cos(α + β) = 2 sen α sen β ; nota que el resultado es válido Las series de Fourier, página 42
siempre y cuando ω no sea un múltiplo entero de 2π. Ahora observa que s N f(x) =
=
a0 N + ∑ (a n cos(nx) + b n sen(nx)) 2 n =1
1 π f( u) du + 2 π ∫−π N
1
1 π f( u)cos(nu) du cos(nx) + f( u) sen(nu) du sen(nx) −π π ∫−π
∑ π ∫ n =1
π
=
n 1 π 1 2 f ( u ) cos(nu)cos(nx) + sen(nu) sen(nx) du + ∑ ∫ 2 π −π n =1
=
N 1 π ) 1 + 2 cos(n(x − u)) du f ( u ∑ ∫ 2 π −π n =1
1 sen (2n + 1)( u − x) 1 2 du. = f( u) ∫ −π 1 2π sen ( u − x) 2 π
Esto termina la demostración. Ahora presentamos una relación entre las integral desarrollada en 2.8.1 y las sumas parciales de las series de Fourier, la cual, eventualmente nos permitirá abordar el problema de la convergencia puntual de las series de Fourier de ciertas funciones espeicales. 2.8.2 Corolario
s N f(x) =
sen [(2n + 1)ω ] sen [(2n + 1)ω ] 1 2+2 1 − f ( x − 2ω ) dω + ∫ 2 2 f(x + 2ω ) dω ∫ π 0 senω π 0 senω π x
π x
Prueba: Nota que en virtud del teorema, para cualquier x ∈[−π , π) tenemos,
Las series de Fourier, página 43
1 sen (2n + 1)(x − u) 1 π 2 du s N f(x) = f( u) 2 π ∫−π 1 sen (x − u) 2
, 1 1 sen (2n + 1)(x − u) sen (2n + 1)(x − u) π 1 2 2 du + 1 f( u) du = f( u) ∫ ∫ −π x 2π 2π 1 1 sen (x − u) sen (x − u) 2 2 x
=
sen [(2n + 1)ω ] sen [(2n + 1)ω ] 1 2+2 1 − dω + ∫ 2 2 f(x + 2ω ) dω f ( x − 2ω ) ∫ π 0 sen ω π 0 sen ω π x
π x
En estas últimas dos integrales se hicieron las siguientes sustituciones: en el de la izquierda empleamos ω = (x − u)/ 2; dω = −1/ 2du y en el de la derecha empleamos ω = ( u − x)/ 2; dω = 1/ 2du . Las integrales de este último Corolario son ejemplos especiales de una operación llamada “convolución”, sobre la cual tendremos mucho más que decir más adelante. Además, no es muy difícil demostrar que la primera integral converge a f(x − 0)/ 2 = lim f(x − h )/ 2 mientras que la segunda h↓0
converge a f(x + 0)/ 2 = lim f(x + h )/ 2 , de suerte que en este caso tendríamos, h↓0
lim s N f(x) = N
1 [f(x − 0) + f(x − 0)] , 2
lo cual muestra que (por lo menos para funciones de variación acotada) la serie de Fourier converge al promedio de los límites unilaterales de la función. Así pues, si la función f es continua en x, entonces la serie de Fourier converge a
Las series de Fourier, página 44
f(x). 2.9
Teorema [Primera forma de las integrales de Dirichlet] Si f es una función 2π periódica e integrable en cualquier intervalo de longitud 2π, y si f es de variación acotada3 en [0, 2π], entonces, para 0 < a < b, a
i. lim ∫ f(x) n →∞ 0
b
sen (nx) π = f (0 + ) 2 x
ii. lim ∫ f(x) n →∞ a
sen (nx) =0 x
Prueba: Por 2,7.2 y las propiedades de la integral podemos suponer que f es nocreciente y (redefiniendo f en x = 0 de ser necesario) también que f es continua en x = 0, es decir, que f(0+) = f(0). Ahora demostramos que es suficiente probar las relaciones deseadas para funciones no negativas. Así pues, suponemos que f(x) ≥ 0 para todo x en el intervalo [0, a] y que conocemos la validez de i. en tal caso. Definimos g(x) = f(x) - f(a-) para todo x ∈[a , b], y notamos que g es no negativa en [a, b]. Si i. es válida, entonces, a
lim ∫ g(x) n →∞ 0
sen (nx) π dx = g(0 + ) , 2 x
es decir, a
lim ∫ f(x) n →∞ 0
a sen ( nx ) sen (nx) π π dx − f(a − ) ⋅ lim ∫ dx = f(0 + ) − f(a − ) . 0 n →∞ 2 2 x x
Como sen (nx) π dx = (¿por qué?), 0 2 x
lim ∫ n →∞
a
3
Aquí hay cierta redundancia ya que las funciones de variación acotada definidas en un intervalo cerrado y acotado, siendo continuas excepto quizás en un conjunto contable, son integrables en el sentido de Riemann.
Las series de Fourier, página 45
tenemos, a
lim ∫ f(x) n →∞ 0
sen (nx) π dx = f(0 + ) 2 x
(Dejamos al lector la verificación de ii. en general cuando se conoce para el caso f ≥ 0 en [0, a].) Ahora probamos i. en el caso especial bajo consideración. Suponga que n es un entero positivo, a > 0 y ε > 0 . Escoja δ tal que 0 < δ < a, y tal que 0 < f(0) − f(x) < ε / n para todo valor de x en el intervalo [0, δ ]; ello es posible, claro está, por la continuidad en el origen que hemos supuesto. Nota además que, en general, δ depende de n. Pero entonces tenemos,
∫
a
0
f(x)
sen (nx) dx = x
∫
δ
0
f ( 0)
a
δ sen (nx) sen (nx) dx − ∫ (f(0) − f(x)) dx 0 x x
+ ∫ f(x) δ
sen (nx) dx x
(1)
≡ I1 - I 2 + I 3 .
Nota que hemos escrito la expresión de la derecha idénticamente como I1 - I 2 + I 3 . Estimamos cada una de estas expresiones por separado. Estimación de I1 : nδ sen u sen (nx) π dx = f(0) ⋅ lim ∫ du = f(0) 0 n →∞ 0 2 x u
lim I1 = f(0) ⋅ lim ∫ n →∞
n →∞
δ
Estimación de I 2 : Como la función x a sen x:: R → {−1, 1] tiene como valor sen nx , por 2.3 existe µ ∈[− n , n] tal que x→0 x
máximo n = lim
sen (nx) ∫ (f(0) − f(x)) x dx = µ ∫ (f(0) − f(x)) dx . δ
δ
0
0
Las series de Fourier, página 46
Por lo tanto, I 2 ≤ (f(0) − f(δ ))δ µ ≤
ε ε δ µ ≤ δn = εδ ≤ εa . n n
Notamos que el lado derecho de la desigualdad no depende de δ . Por lo tanto, lim I 2 ≤ ε a . n
Estimación de I 3 : Por 2.6 para algún θ ∈[δ , a] , podemos escribir I 3 = f (δ ) ∫
θ
δ
a sen ( nx ) sen (nx) dx + f(a)∫ dx . θ x x
Observa que si 0 < k < k ′ , entonces
∫
nk ′ sen ( x ) nk ′ sen ( x ) nk sen ( x ) sen (nx) dx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ dx. nk 0 0 x x x x
k′
k
Por lo tanto, lim ∫ n
k′
k
sen (nx) dx = π / 2 − π / 2 = 0. x
Por lo tanto, está claro que lim I 3 = 0 y por (1) concluimos i. del enunciado de n
este teorema. Así pues,
lim n
∫
a
0
f(x)
sen (nx) π π dx − f(0) ≤ lim I1 − f(0) + lim I 2 + lim I 3 ≤ ε a . n n n x 2 2
Como ε es arbitrario, vemos que i. se cumple. Dejamos la fácil demostración
Las series de Fourier, página 47
de ii. al lector. 2.10 Teorema [Segunda forma de las integrales de Dirichlet] Si f es una función 2π periódica e integrable en cualquier intervalo de longitud 2π, y si f es de variación acotada en [0, 2π], entonces, para 0 < a < b < π, a
i. lim ∫ f(x) n →∞ 0
b
sen (nx) π = f (0 + ) 2 sen (x)
ii. lim ∫ f(x) n →∞ a
sen (nx) = 0. sen (x)
Prueba: Observa que [0, a] → R:: x a x / sen x es una función no decreciente, no negativa y, por lo tanto, de variación acotada. Por consiguiente, también es cierto que [0, a] → R:: x a f(x) ⋅ x / sen x es una función de variación acotada (¿por qué?). Como,
∫
a
0
f(x)
a sen (nx) x sen (nx) dx = ∫ f(x) dx 0 sen (x) sen (x) x
,
∫
b
a
f(x)
b sen (nx) x sen (nx) dx = ∫ f(x) dx a sen (x) sen (x) x
los resultados se obtienen de i. y ii. del Teorema 2.9; dejamos los detalles al lector.
2.11 Corolario Si f es una función 2π periódica e integrable en cualquier intervalo de longitud 2π, y si f es de variación acotada en [0, 2π], entonces, lim s N f(x) =
N →∞
Las series de Fourier, página 48
1 [f(x + 0) + f(x − 0)]. 2
En otras palabras, la sucesión de sumas parciales de la serie de Fourier de f,
(sn f(x))n , converge al promedio de los límites unilaterales de f en x (que existen si f es de variación acotada). En particular, si f es continua en x, entonces f(x+0) = f(x) y f(x-0) = f(x), de manera que en este caso, lim s N f(x) = f(x).
N →∞
Prueba: En 2.8.2 se demostró que,
s N f(x) =
sen [(2n + 1)ω ] sen [(2n + 1)ω ] 1 2+2 1 − f ( x − 2ω ) dω + ∫ 2 2 f(x + 2ω ) dω . ∫ π 0 senω π 0 senω π x
π x
Dejamos al lector la verificación de que las funciones R → R:: ω a f(x ± 2ω ) son π x de variación acotada en 0, ± (respectivamente) para cada número real x. 2 2 Por el Teorema vemos que, sen [(2n + 1)ω ] 1 + 1π 1 lim ∫ 2 2 f(x − 2ω ) dω = f ( x − 0) = f ( x − 0) , y 0 n π senω π2 2 π x
sen [(2n + 1)ω ] 1 − 1π 1 lim ∫ 2 2 f(x + 2ω ) dω = f ( x + 0) = f ( x + 0) . 0 n π senω π2 2 π x
El resultado entonces queda establecido.
Las series de Fourier, página 49
Las series de Fourier, página 50
Capítulo 3: Convoluciones y los núcleos de Dirichlet, Fejér y Poisson 3.1
Introducción En este capítulo denotaremos por L1 al conjunto de todas las funciones 2π periódicas definidas en R e integrables (en el sentido de Riemann) en algún intervalo de longitud 2π. Es fácil ver que L1 es cerrado baja la suma de funciones y la multiplicación de funciones por números reales. Además L1 satisface las condiciones definicionales de un espacio vectorial sobre los números reales, los cuales enunciamos explícitamente a continuación: Para todo escogido de funciones y números f , g , h ,∈ L1 y para todo α , β ∈R , i)
f + (g + h) = (f + g) + h
ii)
f + 0 = 0 + f = f, donde 0 ∈L1 es la función idénticamente igual a cero en R.
iii)
para todo k ∈L1 existe − k ∈ L1 tal que k + (-k) = -k + k =0;
iv)
aquí (-k)(x) = -k(x) para todo número real x. f+g=g+f
v)
α(βf ) = (α ⋅ β)f
vi)
(α + β)f = αf + βf
vii) α(f + g ) = αf + αg viii) 1⋅ f = f Además, si f , g ∈ L1 , entonces f ⋅ g ∈ L1 (esta es una propiedad de las funciones integrables en el sentido de Riemann). Se sabe que L1 tiene serias limitaciones para los propósitos del análisis, la más notable siendo que ciertos límites naturales de sucesiones de funciones en L1 no definen funciones en L1 . Históricamente, la corrección de esta situación requirió la invención de una nueva integral -la de Lebesgue-, pero ello queda más allá de las aspiraciones de este fascículo. Existe otro tipo de estructura en L1 que permite definir una noción de “valor absoluto”, “distancia” o “norma” en este espacio de funciones. Si f ∈ L1, defini-
mos f
1
=
1 π f(x) dx . 2 π ∫−π
Un ejercicio muy sencillo convencerá al lector de las siguientes propiedades: f+g αf
1
1
≤ f
1
+ g
= α ⋅ f
1
1
para toda par de funciones f , g ∈ L1 , y
para toda α ∈R y para toda f ∈ L1.
Una “falla” importante de esta definición de “valor absoluto” en L1 es que es muy posible tener f
1
= 0 sin que f sea la función idénticamente igual a cero.
En efecto, es posible demostrar que f
1
= 0 si y sólo si f en igual a cero casi en
todas partes, es decir en un conjunto de “medida cero”. Decimos que un conjunto es de medida cero si se puede incluir como subconjunto en una unión contable de intervalos con longitud total tan pequeña como se quiera. Por ejemplo, los conjuntos contables tienen medida cero. También recordamos al lector que un resultado del análisis clásico establece que una función acotada definida en un intervalo cerrado y acotado es integrable en el sentido de Riemann sobre tal intervalo, si y sólo si existe un conjunto de medida cero en cuyo complemento la función es continua. Aceptando este dato y recordando que las funciones monótonas sólo pueden tener un número contable de discontinuidades, vemos que todas las funciones de variación acotada definidas en intervalos cerrados y acotados son integrables en el sentido de Riemann sobre tales intervalos. Finalmente señalamos que si f ∈ L1, entonces también f ∈ L1 . Una propiedad importante que utilizaremos en varias ocasiones futuras en este escrito es la de la densidad de las funciones continuas C en el espacio L1 . Es decir, para todo ε > 0 y para todo f ∈ L1, existe g ∈C tal que f − g
1
< ε. La demostración de este
dato es directa pues las funciones integrables en el sentido de Riemann son límites de funciones escalonadas y la función característica de un intervalo se puede “aproximar” naturalmente por funciones continuas y 2π periódicas (incluso, infinitamente diferenciables si se quisiera). Por otra parte, las Las series de Fourier, página 52
funciones continuas tienen una norma (“valor absoluto”) natural propia, la uniforme, definida por f
u
= sup f(x) para toda f ∈C . x ∈[ −π , π ]
1
Otro subespacio de L de gran importancia teórica es el espacio TG que consiste de todos los polinomios trigonométricos definidos en R, es decir, de todas las funciones de la forma N
t(x) = a 0 + ∑ (a n cos(nx) + b n sen(nx)) , n =1
donde N ≥ 0 es un entero y los (a n )n = 0 , ( b n )n =1 son coeficientes reales. Un dato N
N
que reviste una importancia teórica especial en el estudio de las series de Fourier es que TG es denso en L1 . Más adelante presentaremos varias pruebas de este dato. 3.2
Definición [Producto de convolución] Sean f y g funciones 2π periódicas, acotadas e integrables en cualquier intervalo de longitud 2π. Si x ∈R y la función y a f(x − y )g( y ) es integrable, definimos la “convolución” de f y g en el punto x por la relación f ∗ g( x ) =
3.3
1 π f(x − y )g( y ) dy . 2 π ∫−π
Proposición La operación de convolución definida en 3.2 es asociativa y conmutativa. Además, si f y g son funciones continuas, f ∗ g es también una función continua. Prueba: Demostraremos la propiedad conmutativa y dejamos la asociatividad al lector. Sean f , g ∈ L1 y observe que si efectuamos el cambio de variables u = x - y, du = -dy entonces, f ∗ g( x ) =
1 π 1 x−π f(x − y )g( y ) dy = − f( u)g(x − u) du ∫ 2 π −π 2 π ∫x + π
Las series de Fourier, página 53
=
1 x+π 1 π f( u)g(x − u) du = = g(x − u)f( u) du = g ∗ f(x). ∫ 2π x − π 2 π ∫−π
Suponga ahora que f y g son continuas y sea ε > 0 arbitrario. Como f y g son uniformente continuas en [-π, π], existe δ > 0 tal que si u , v ∈[−π , π] y
(
u − v < δ entonces f( u) − f(v) < ε / 1 + g
1
) . Pero entonces, si x, y ∈[−π, π]
x − y < δ, tenemos
f ∗ g( x ) − f ∗ g( y ) =
1 π 1 x−π f(x − u)g( u) du − f( y − u)g( u) du ∫ 2 π −π 2 π ∫x + π
≤
1 x+π ε f(x − u) − f( y − u)) g( u) du = ≤ ( ∫ 2π x − π 1+ g
Nota que si si x , y ∈[−π , π] u ∈[−π , π] y
g
1
< ε.
1
x − y < δ, entonces (x − u) − ( y − u) < δ para todo
(f(x − u) − f(y − u))
(
< ε/ 1 + g
1
) . Esto termina la demostración de
la proposición. 3.4
Definición y notación Sea N un entero no negativo. Definimos i. (Núcleo de Dirichlet4 ) D N (x) = ∑ n
N
e inx = 1 + 2∑ cos(nx) . ≤N n =1
ii. (Núcleo de Fejér)
FN (x) =
1 N ∑ D n (x) . N + 1 n=0
iii. (Núcleo de Poisson) Si 0 ≤ r < 1,
4
Como veremos más adelante, el núcleo de Dirichlet no es en sentido estricto un núcleo o identidad aproximada.
Las series de Fourier, página 54
Pr (x) =
∞
∞
k = −∞
k =1
∑ r|k|eikx = 1 + 2∑ r k cos(kx) .
Para cada entero no negativo N definimos σ N f(x) = FN ∗ f(x) , y α r f(x) = Pr ∗ f(x). para todo número real x en que estén definidas las expresiones correspondientes. 3.5
Proposición Sea N un entero no negativo y sea r ∈[0, 1) . Entonces , 1 sen N + x 2 para todo x ≠ 2πk, k un i) D N (x) = 1 sen x 2 entero.
N k ii) FN (x) = 1 + 2∑ 1 − cos(kx) N + 1 k=1
2
1 sen ( N + 1)x 2 1 = para todo x ≠ 2 πk, k un entero. 1 N +1 sen x 2
1 − r2 iii) Pr (x) = 1 − 2r cos x + r 2
Las series de Fourier, página 55
iv)5 s N f(x) = D N ∗ f(x)
v) σ N f(x) =
=
1 N ∑ s k f(x) N + 1 k=0 N n 1 a0 + ∑ 1 − (an cos(nx) + bn sen(nx)) N + 1 2 n =1
∞ 1 vi) α r f(x) = a 0 + ∑ r k (a k cos(kx) + b k sen(kx)) 2 k =1
[Como señalamos anteriormente, decimos que s N f(x) es la suma parcial de orden N de la serie de Fourier de f, que σ N f(x) es la suma parcial de orden N de los promedios de la serie de Fourier de f (o la suma (C,1) de orden N de la serie de Fourier de f) y que α r f(x) es la suma de orden r de los promedios de Abel de la serie de Fourier de f -nota que la serie en vi) converge; ¿por qué?-.] Prueba: i): Nota que
D N (x) =
=
=
∑
2N
n
e inx = e − iNx ∑ e inx = e − iNx ≤N n=0
(
e i( 2 N + 1) x − 1 e ix − 1
ix / 2 e i ( N + 1/ 2 ) x − e − i ( N + 1/ 2 ) x e i( N + 1) x − e − iNx e = e ix − 1 e ix / 2 e ix / 2 − e − ix / 2
e
i ( N + 1/ 2 ) x
5
e
ix / 2
− i ( N + 1/ 2 ) x
−e − e − ix / 2
(
)
)
1 2 i sen N + x 2 = x 2 i sen 2
Todas las relaciones que involucran convoluciones son válidas casi en todas partes; véase el último párrafo de 3.1. En casos especiales (como en el de funciones continuas) es evidente que la convolución esta definida para todos los puntos, pero en general, como hemos señalado, sólo están definidas casi en todas partes. La prueba de este dato, sin embargo, emplea la teoría de integración de Lebesgue y está más allá de las metas de este escrito.
Las series de Fourier, página 56
1 sen N + x 2 , = x sen 2 lo cual es válido siempre y cuando el denominador sea distinto de cero. ii): Para probar la primera relación de ii) relación comenzamos cambiando el orden de la suma:
FN (x) =
k 1 N 1 N 1 2 D ( x ) = + cos(nx) ∑ ∑ ∑ k N + 1 k=0 N + 1 k=0 n =1
= 1+
2 N k ∑ cos(nx) ∑ N + 1 k =1 n =1
= 1+
2 N ∑ (N + 1 − j)cos( jx) N + 1 j=1 N
j cos( jx) = 1 + 2∑ 1 − N + 1 j=1 Por otra parte, por i) tenemos,
(N + 1)FN (x) sen 2
1 x = 2
=
N
∑D
N
n
(x) sen 2
n=0
N
1 x = 2 n∑ =0
1 sen n + x 2 1 sen 2 x 1 2 sen x 2
∑ sen n + 2 x sen 2 x 1
1
n=0
=
1 N 1 1 1 1 cos n + − x − cos n + + x ∑ 2 n=0 2 2 2 2 Las series de Fourier, página 57
=
1 N ∑ (cos(nx) − cos((n + 1)x)) 2 n=0
=
1 1 [1 − cos((N + 1)x)] = sen 2 (N + 1)x . 2 2
Esto termina la demostración de ii). iii) Observa que N
∑ r|n|einx =
n=−N
−1
N
N
N
n=−N
n=0
n =1
n=0
∑ r − neinx + ∑ r neinx = ∑ r ne − inx + ∑ r neinx .
Por lo tanto,
Pr (x) =
=
N
N
n =1
n=0
∑ r ne − inx + ∑ r neinx
re − ix 1 + − ix 1 − re 1 − re ix
1 − r2 = . 1 − 2r cos x + 1 iv) Observa que
D N ∗ f(x) =
=
N 1 π 1 π D ( x − y ) f ( y ) dy = 1 + 2 cos[n(x − y )] f( y ) dy ∑ N ∫ ∫ −π −π 2π 2π n =1
1 π 1 N π f ( y ) dy + ∑ (cos(nx)cos(ny) + sen(nx) sen(ny)) f(y) dy 2 π ∫−π π n = 1 ∫−π
N 1 1 π 1 π = a 0 + ∑ cos(nx) ∫ cos(ny )f( y ) dy + sen(nx) ∫ sen(ny )f( y ) dy −π −π 2 π π n =1
Las series de Fourier, página 58
N 1 a 0 + ∑ (a n cos(nx) + b n sen(nx)) = s N f(x). 2 n =1
En estas relaciones hemos empleado la definición de los coeficientes de Fourier; véase 1.4.1. Nota que N
k FN (x) = 1 + 2∑ 1 − cos(kx) N + 1 k =1 se obtiene directamente. Por otra parte, 1 N 1 N 1 N σ N f = FN ∗ f = ∑ D n ∗ f = N + 1 n∑= 0 D n ∗ f = N + 1 n∑= 0 sn ∗ f , N + 1 n=0 donde se ha empleado iv) y la propiedad distributiva de la convolución (cuya fácil demostración dejamos al lector). La verificación de la segunda igualdad en v) es directa luego de un cambio del orden de la suma. vi): Nota que ∞ 1 π 1 π k Pr ∗ f(x) = Pr (x − y )f( y ) dy = 1 + 2∑ r cos(k(x − y )) f( y ) dy ∫ ∫ −π −π 2π 2π k =1
=
1 π 1 π ∞ k f ( y ) dy r cos(kx)cos(ky ) + sen(kx) sen(ky ) f( y ) dy + ∑ ∫ ∫ 2 π −π π −π k = 1
=
1 π f( y ) dy 2 π ∫−π +
π π 1 ∞ k r cos(kx)∫ f( y )cos(ky ) dy + sen(kx) ∫ f( y ) sen(ky ) dy ∑ −π −π π k = 1
Las series de Fourier, página 59
=
∞ 1 a 0 + ∑ r k [a k cos(kx) + b k sen(kx) ] = α r f(x) 2 k =1
Nota que hemos utilizado la convergencia uniforme de la serie para intercambiar el orden de la sumatoria y la integral. 3.6
Definición Una unidad aproximada de L1 es una sucesión6 (h n )n de funciones en L1 tal que para toda f ∈ L1 tenemos lim f ∗ h n − f n →∞
3.7
1
= 0.
Teorema Si (h n )n es una sucesión de funciones en L1 tal que, i) para todo índice n, h n (x) ≥ 0 para todo x ∈R
ii) para todo índice n,
1 π h n (x) dx = 1 , y 2 π ∫−π
iii) para todo δ ∈(0, π) , lim n
∫ h n (x) dx = 0.
δ≤ x ≤ π
Entonces (h n )n es una unidad aproximada de L1 . Además, si f es continua, entonces, lim h n ∗ f − f n →∞
u
= 0,
es decir, (h n ∗ f )n converge uniformemente a f. Prueba: Demostraremos que lim h n ∗ f − f n →∞
u
= 0 para toda función f ∈ L1.
Primero suponemos que f es continua. Sea ε > 0 , y note que como toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua, existe δ tal que 0 < δ < π y f(x − y ) − f(x) < ε / 2 para todo x , y ∈R con |y|< δ 6
(1)
En ocasiones, no tenemos sucesiones pero si ciertas generalizaciones de las sucesiones llamadas redes (o filtros) para los cuales se cumple la aseveración sobre el límite.
Las series de Fourier, página 60
Ahora empleamos la propiedad iii) para escoger un índice N 0 tal que 1 ε para todo índice n ≥ N 0 h n (x) dx < ∫ 2π δ ≤ x ≤ π 4 f u +1
(
recuerda (véase 3.1) que f
u
)
= sup f(x) . Nota entonces que si x ∈[−π , π], x ∈[ −π , π ]
1 π f( x − y)h n ( y ) dy − f(x) 2 π ∫−π
f ∗ h n ( x) − f( x) =
=
1 π 1 π f(x − y )h n ( y ) dy − f(x)h n ( y ) dy ∫ 2 π −π 2 π ∫−π
≤
1 π f(x − y ) − f(x) h n ( y ) dy 2 π ∫−π
≤
1 f(x − y ) − f(x) h n ( y ) dy 2 π ∫δ ≤|y|≤ π +
≤
(2);
(
1 2 f 2π
(
≤ 2 f
u
u
1 f(x − y ) − f(x) h n ( y ) dy 2 π ∫|y|< δ
)∫
δ ≤|y|≤ π
h n ( y ) dy +
1 ε π h n ( y ) dy 2 π 2 ∫−π
) 4( f ε + 1) + 2ε < ε u
Por lo tanto, si n ≥ N 0 , tenemos h n ∗ f − f
u
≤ ε , y como ε > 0 es arbitrario, la
segunda parte del Teorema. Ahora supón que f ∈ L1 y que ε > 0 . Escoge una función g ∈C tal que
Las series de Fourier, página 61
f−g
1
≤ ε/ 3 ;
véase 3.1. Por lo ya demostrado existe un índice N 0 tal que g ∗ h n − g para todo n ≥ N 0 . Nota que también tenemos g ∗ h n − g
1
u
≤ ε/3
≤ ε/ 3 para todo n ≥
N 0 . Pero entonces, f ∗ hn − f
1
≤ f ∗ hn − g ∗ hn
1
+ g ∗ hn − g
1
+ g−f
1
(1)
Observa que
f ∗ hn − g ∗ hn
1
=
1 π 1 π (f(x − y) − g(x − y))h n (y) dy dx 2 π ∫−π 2 π ∫−π
≤
1 π 1 π f(x − y ) − g(x − y ) dx h n ( y ) dy 2 π ∫−π 2 π ∫−π
≤
1 π 1 π f(x) − g(x) dx h n ( y ) dy 2 π ∫−π 2 π ∫−π
≤
1 π f − g 1 h n ( y ) dy = f − g 1 . 2 π ∫−π
Nota que hemos intercambiado el orden de integración y hemos utilizado la propiedad ii) del enunciado del teorema. Por lo tanto, por (1) tenemos f ∗ hn − f
1
≤ g ∗ hn − g
1
+ 2 g − f 1.
Así pues, si n ≥ N 0 , tenemos f ∗ hn − f
Las series de Fourier, página 62
1
ε ε < 2 + = ε. 3 3
Esto completa la demostración.
3.8
Corolario
(FN )∞N = 0 y (Pr )0 ≤ r N, entonces a m (f ) = 0 y ciertamente se cumple lim a n (f ) = 0 en este caso. (Igual ocurre con las b n , es decir b n (f ) = 0 si n
m > N.) Ahora sea f ∈ L1, y sea ε > 0 . Escoja un polinomio trigonométrico g tal que f−g
1
=
1 π f(x) − g(x) dx < ε / 2 . 2 π ∫−π
En esta demostración emplearemos las relaciones a n (f ) ≤
1 π 1 π f ( x )cos( nx ) dx ≤ f(x) dx = 2 f π ∫−π π ∫−π
y similarmente b n (f ) ≤ 2 f
Las series de Fourier, página 68
1
(n ≥ 1) .
1
( n ≥ 0) ,
Por consiguiente, a n ( f ) = a n ( f − g ) + a n (g ) ≤ a n ( f − g ) + a n (g ) ≤ 2 f−g
1
+ a n (g ) < ε + a n (g ) .
Por lo tanto, lim sup a n (f ) ≤ ε + lim sup a n (g ) = ε, n
n
y tenemos lim sup a n (f ) ≤ ε para todo ε > 0 . Por lo tanto lim sup a n (f ) = 0 y n
n
lim a n (f ) = 0 . El caso de b n (f ) es similar. n
En la prueba de 4.2 hemos demostrado una característica importante de los coeficientes de Fourier: 4.3
Proposición Si f ∈ L1, sup a n (f ) ≤ 2 f n≥0
1
y sup b n (f ) ≤ 2 f 1 . n ≥1
En particular si ε > 0 y g es otra función en L1 tal que f − g
1
< ε , entonces
a n (f ) − a n (g ) < ε para toda n ≥ 0, y b n (f ) − b n (g ) < ε para toda n ≥ 1. Prueba: Todo es directo y se ha discutido en 4.2; nota además que a n (f ) − a n (g ) = a n (f − g ) y que b n (f ) − b n (g ) = b n (f − g ) . 4.4
Teorema [De unicidad] Si f ∈ L1 y a n (f )=0 para toda n ≥ 0 y b n (f )=0 para toda n ≥1, entonces f = 0 casi en todas partes. Las series de Fourier, página 69
Prueba: En este caso,
σ N f(x) =
N n 1 a0 + ∑ 1 − (an cos(nx) + bn sen(nx)) = 0 N + 1 2 n =1
para todo indice n y por 3.4 y 3.9 vemos que f(x) = 0 para casi todas las x en R; véase 3.1.
4.5
Traslaciones La operación de convolución está íntimamente relacionada con la estructura algebraica de los números reales, particularmente con la operación de suma. También existen relaciones estrechas entre las traslaciones y los coeficientes de Fourier. Si f ∈ L1 esta definida en todo R, definimos para a ∈R fa (x) = f(x − a) . Decimos que fa es la traslación de la función f por el número a. Algunas relaciones elementales pero importantes sobre las traslaciones son las siguientes:
4.5.1 Proposición Si f ∈ L1 tiene coeficientes de Fourier (a n (f ))n = 0 y ( b n (f ))n = 1 , y si ∞
∞
a ∈R, entonces, i) a n (fa ) = a n (f )cos(na) − b n (f ) sen(na) para todo n ≥ 1, y ii) b n (fa ) = a n (f ) sen(na) − b n (f )cos(na) para todo n ≥ 1. Prueba: Probamos la relación ii) y dejamos al lector la i), la cual tiene una demostración muy similar. Nota que
Las series de Fourier, página 70
b n (fa ) =
=
∫
π
−π
f(x − a) sen(nx) dx =
1 π−a f( u) sen[n( u + a)] du π ∫−π − a
1 π f( u)[sen(nu)cos(na) + cos(nu) sen(na)] dx π ∫−π
1 π 1 π = ∫ f( u) sen(nu) du cos(na) + ∫ f( u)cos(nu) du sen(na) π −π π −π = b n (f )cos(na) + a n (f ) sen(na). Aquí empleamos el cambio de variables u = x − a ; du = dx , y la periodicidad de la función f. Esto termina la demostración. 4.5.2 Proposición Si f , g ∈ L1 y a ∈R, entonces
(f ∗ g)a = fa ∗ g = f ∗ g a . Prueba: La demostración es directa y la dejamos al lector. Ahora estudiamos la relación entre los coeficientes de Fourier de una función y los de su derivada. 4.6
Teorema Sea f una función 2π periódica, diferenciable en R y tal que su derivada f ′ es una función integrable7 . Entonces a n (f ′) = n ⋅ b n (f ) para todo n ≥ 1 y b n (f ′) = − n ⋅ a n (f ) para todo n ≥ 1 Prueba: Integrando por partes tenemos, a n (f ′) =
7
1 π f ′(x)cos(nx) dx π ∫−π
Tales funciones se conocen como funciones absolutamente continuas.
Las series de Fourier, página 71
=
1 1 π [f(x)cos(nx)] π−π + n ∫−π f(x) sen(nx) dx π π
= nb n (f ) y b n (f ′) =
=
1 π f ′(x) sen(nx) dx π ∫−π
1 1 π f(x) sen(nx)] π−π − n ∫ f(x)cos(nx) dx [ π π −π
= − na n (f ) Esto termina la demostración. Ahora empleamos este resultado para probar el siguiente Teorema. 4.7
Teorema Suponga que f es una función 2π periódica, dos veces diferenciable en R y tal que f ′′ ∈ C. Entonces s N f(x) → f(x) uniformente y absolutamente.8 Prueba: Por 4.6 tenemos a n (f ′′) = n ⋅ b n (f ′) = − n 2 a n (f ) para todo n ≥ 1, y b n (f ′′) = − n ⋅ a n (f ′) = − n 2 b n (f ) para todo n ≥ 1. Pero entonces, por 4.3, a n cos(nx) + b n sen(nx) ≤ a n (f ) + b n (f ) = a n (f ′′)
≤ 8
4 f ′′ n
2
1
≤
4 f ′′ n
2
u
1 1 + b n (f ′′) 2 2 n n
,
Es decir, los valores absolutos de los coeficientes de Fourier también convergen.
Las series de Fourier, página 72
y tenemos por la prueba M de Weierstrass que la serie de Fourier converge uniformemente. Claramente, también tenemos ∞
∑( a
n
)
(f ) + b n (f ) ≤ 4 f ′′
n =1
∞
u
1
∑n n =1
2
0 y para toda g ∈C existe p ∈TG tal que p − g
1
< ε . Sea ε > 0 y suponga que g ∈C . Definimos
funciones
h( x ) = r ∫
x + 1/ r
k( x ) = r ∫
x + 1/ r
x
x
g( u) du (x ∈ R ) h( u) du (x ∈ R ),
donde r es un parámetro que fijaremos más adelante. Nota que como
h( x ) − g ( x ) = r ∫
x + 1/ r
x
(g(u) − g(x)) du (x ∈ R),
y g es continua, podemos escoger r suficientemente grande tal que h−g
u
< ε/ 3
(1) .
Las series de Fourier, página 73
Pero además, como h es una función continua (diferenciable en efecto) tememos que el mismo argumento nos muestra que algún valor suficientemente grande de r garantiza que además k−h
u
< ε/ 3
( 2) .
Así pues fijamos un valor de r para que estas últimas dos desigualdades se cumplan. Nota que por el Teorema Fundamental del Cálculo, k ′(x) = r[h(x + 1/ r) − h(x)] (x ∈ R ) y k ′′(x) = r 2 [g(x + 2 / r ) − 2g(x + 1/ r ) + g(x)]
[
]
= r 2 g − 2 / r (x) − 2g − 1/ r (x) + g(x) (x ∈ R ),
[
]
lo cual muestra que k ′′ = r 2 g − 2 / r − 2g − 1/ r + g es una función continua. Por 4.7 s N k(x) → k(x) uniformemente. Por consiguiente existe un índice N tal que sNk − k
u
< ε/3.
Pero entonces, por (1) y (2), para tal índice N tenemos, sNk − g
u
≤ sNk − k
u
+ k−h
u
+ h−g
Claramente s N k es el polinomio deseado.
Las series de Fourier, página 74
u
< ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε .
Bibliografía Bachman, G. Elements of Abstract Harmonic Analysis, Academic Press Inc., new York (1964) Bary, N. A. Treatise on Trigonometric Series, Vols I y II, Pergamon Press Inc., New York (1964) Carlslaw, W., Introduction to the Theory of Fourier’s Series and Integrals, Dover Publications (1930) Hewitt, E. and Ross, K. A., Abstract Harmonic Analysis, Vols I y II, Springer Verlag, Berlin (1963) Hewitt, E. and Stromberg, K., Real and Abstract Analysis, Springer Verlag, Berlin (1965) Tolstov, G. P., Fourier Series, Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, (1962) Zygmund, A. Trigonometrical Series, Vols I y II, Cambridge University Press, New York (1959)
Las series de Fourier, página 75
