MATEMÁTICAII BIBLIOGRAFIA:

Guía de Trabajos de la cátedra Matemática II Profesora Mercedes Trillo Guías de aula Profesor Edgardo Di Dio Notas de Matemática II Profesora Mercedes Trillo- Profesor Edgardo Di Dio Apuntes Consulta en la web : http://espanol.groups.yahoo.com/group/Mate_matika/ Publicar mensaje: [email protected] Suscribir: [email protected] Propietario: [email protected]

BIBLIOGRAFIA DE CONSULTA 1.

REY PASTOR Julio, PI CALLEJA Pedro, TREJO Cesar A. Análisis Matemático Volúmenes I Y II , Editorial Kapelusz

2.

RABUFFETTI , Hebe T. Introducción al Análisis Matemático Cálculo I II , Ed, El Ateneo

3.

APOSTOL, Tom Calculus Volumen II Editorial Reverté México

4.

CHIANG, Alpha. Métodos fundamentales de Economía Matemática. 3a. edición, Mc Graw Hill, México.

5.

HAUSSLER, Ernest F. Matemáticas para la administración y la economía. 5a. de. Edit. Iberoamérica, México.

6.

HUANG, David .Introducción al uso de las matemáticas en el análisis económico. 6a. de. edit. Siglo XXI. México.

7.

JIMENEZ Luis y FERNANDEZ L. Métodos cuantitativos para economistas, UNALM, Perú.

8.

DNER y ARYA. Matemáticas Aplicadas. 3a. edición, Edit. Prentice Hall, México.

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YAMANE Taro. Matemáticas para economistas. 2da. edición. Edit. Ariel, España.

10. WEBER, Jean.Matemáticas para administración y economía. 4ta. edición. Edit. Harla, México 11. FERNÁNDEZ, LEONCIO .Matemáticas para Economistas .Edit. Prentice Hall, México 12. SYDSAETER, K.; HAMMOND, P.J.: Matemáticas para el análisis económico. Prentice Hall, Madrid, 1996. 13. HOFFMAN, L.D.; BRADLEY, G.L.: Cálculo aplicado a la Administración, Economía y Ciencias Sociales. McGraw-Hill, 1994. 14. LARSON, R.E.; HOSTETLER, R.P. : Cálculo, vols. I y II. Ed: McGraw-Hill. 1999. 15. SAMAMED,O. Y OTROS. Matemáticas I. Economia y Empresa. Editorial Ramon Areces. 16. SAMAMED,O. Y OTROS. Matemáticas I. Economia y Empresa.Problemas . Editorial Ramon Areces. 17. ANTON, H.: Introducción al Álgebra Lineal. Ed. Limusa, 1990. 18. GROSSMAN, S.I.: Álgebra lineal con aplicaciones. Ed. McGraw-Hill, 1996.

Matrices Introducción

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Nuestro objetivo es aprender a operar matrices y determinantes como herramientas para la gestión administrativa y económica En una organización eficaz para optimizar recursos y asignar personal y muchas aplicaciones mas para registrar información o tomar decisiones es necesario utilizar el modelo de programación lineal. Los cálculos hoy se pueden efectuar por computadora utilizando el software adecuado, pero es necesario tener un conocimiento conceptual del modelo para poder aplicar el modelo o hacer inferencias y proyecciones sobre el escenario económico o administrativo. Estas estructuras son .Matrices , Ecuaciones Lineales y el propio Modelo de Programación Lineal Veamos un ejemplo sencillo :Un verdulero acude a cierto mercado a comprar naranjas con 5000 pesos y dener la información correcta de que cantidades le conviene adquirir para obtener la mejor ganancia, sabiendo quees posible vende rtodos los cajones adquiridos . Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 5 pesos. el cajón y las de tipo B a 8 pesos. el cajón Sabiendo que dispone en su camión de espacio para transportar 700 cajones de naranjas como máximo y que piensa vender el cajón de naranjas tipo A a 5.8 pesos. y el cajón de tipo B a 9.0 pesos., contestar justificando las respuestas: ¿Cuántos cajones de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio? ¿Cuál será ese beneficio máximo? Aunque se cuente con una computadora y el software adecuado es necesario codificar la situación en un lenguaje matemático para suministrar la información a la PC. Si llamamos: a x= cajones de naranjas tipo A comprados e y= cajones de naranjas tipo B comprados.

Lógicamente las primeras condiciones deben ser Por otro lado el beneficio unitario del cajón tipo A es de 0,8 pesos y el de tipo B 1 peso , por lo que la función beneficio queda determinada por : F( x,y) = 0.8 X + Y , de la cual debemos seleccionar el máximo dentro d las cantidades posibles a adquirir en la compra. Tenemos restricciones de dinero que codificadas resultan: Y de capacidad de transporte Resolver este sencillo ejemplo implica resolver el sistema de ecuaciones lineales:

Sistema que puede escribirse como una tabla ordenada por renglones y columnas que llamaremos matriz 5 8 5000 1 1 700 La solución es de comprar 200 cajones de naranjas A y 500 cajones de naranjas B para obtener un beneficio máximo de 660 pesos. Ha utilizado toda su capacidad en cuanto a transporte e inversión. En el estudio de sistemas de ecuaciones lineales y optimización de funciones por el modelo de programación lineal empleamos los conceptos de matrices , determinantes y sistemas de ecuaciones . Teniendo en cuenta que en esta etapa del avance tecnológico en el aula aún no permite que todos los alumnos cuenten con su software de aplicaciones , estudiaremos la manera de calcular y operar de estas herramientas.

Matrices Es habitual tener que registrar la información en tablas de dobles entradas como la siguiente

2

Vemos que tiene el formato de tabla de doble entrada , en este contexto el número 2000 brinda la siguiente información : en la Región A se produjeron 2000000 Tn de soja pues esta ubicado en la fila 1 ,columna 2 . La información de la fila uno es referida a la región A y la columna dos refiere a la producción de soja, el elemento está en la posición 12.Lo indicamos de manera general como a12. Observemos que en una matriz, es una tabla ordenada por filas y columnas ,un elemento tiene atributos por su valor y por el lugar que ocupa ,por ejemplo el 700 ubicado en la segunda fila, primera columna ( a21) brinda información de la producción de trigo en la Región B ,mientras que el ubicado en la segunda fila, tercera columna ( a23) brinda información de la producción de maíz en la Región B Definición de matriz Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5. El orden de una matriz esta dada por su número de filas y su número de columnas . Dos matrices son iguales cuando tienen la mismo orden y los elementos que ocupan el mismo lugar (Homólogos) en ambas son iguales. En nuestro caso :

Es una matriz de orden 3x4 Algunos tipos de matrices Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre. Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden . X= ¡ x1, x2, …, xn ¡ Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden .

A=

-5/3 1/2 -2/3 0

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria. 4 3 3 5 Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc. De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces At es de orden n A= 1 2 3 4 5 6 At= 1 4 2 5 3 6

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Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0. 0 0 0

0

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. 5 0 0

4

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales. 2 0 0

2

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. 1 0 0

1

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Trasposición de matrices Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la 1 0 0 matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir: 3 2 0 5 7 8

Propiedades de la trasposición de matrices Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. (At)t = A. Suma de Matrices La siguiente información, corresponde a la producción en granos en miles de toneladas, en dos años consecutivos:

¿Cuál es la producción de granos en miles de toneladas durante los dos años consecutivos? Para resolver este problema, debemos sumar la producción del primer año, con la producción del segundo año. Esto equivale a sumar los elementos de la primera matriz con los elementos correspondientes de la segunda matriz:

4

Lo que respondería nuestra pregunta.

Supongamos ahora que existen muchos incentivos para incrementar la producción, condiciones climáticas favorables, etc. De tal forma que se estima que la producción para el tercer año será el triple de la producción del primero ¿Cuál será entonces, la producción estimada de este último año? En este caso, debemos multiplicar la producción del primer año por tres (recuerda que es el triple).

Luego tenemos:

Para solucionar los problemas anteriores, acabamos de utilizar dos operaciones muy importantes con matrices: la suma y la multiplicación por un escalar (un número Real).La suma de dos matrices, sean A =(aij) y B = (bij), solo es posible cuando ambas matrices tienen la misma dimensión u orden. Esto es, sean A = (aij) y B = (bij) matrices de orden (nxm) con elementos pertenecientes a los números reales.

Si sumamos A + B obtendremos una matriz C = (cij) con elementos también pertenecientes a los números reales y del mismo orden:

5

Donde los elementos de la matriz C son de la forma:

Veamos un ejemplo:

Tenemos que A + B = B + A ¿Será conmutativa la suma de matrices? En efecto:

Consideremos lo siguiente:

Tenemos que A+ ( B + C ) = ( A + B ) + C como en el caso anterior, veamos si la suma de matrices es asociativa:

Una matriz sumada a la matriz nula, da como resultado la misma matriz. O sea, la matriz nula es un elemento neutro en la suma de matrices. A+0=A+0 Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Ejemplo:

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La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A– –B) Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas. Ejemplo:

Síntesis: Propiedades de la suma de matrices A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) A + B = B + A (propiedad conmutativa) A + 0 = A (0 es la matriz nula) La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A – Producto por un escalar El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:

Ejemplo:

Entonces:

Como nos pudimos dar cuenta en el problema planteado al comienzo de este capítulo, para multiplicar una matriz por un número escalar, basta multiplicar cada uno de los elementos de la matriz por este número. Esto es, sea A una matriz de orden (nxm) con elementos pertenecientes a los números reales. Y sea k un número real (el escalar). Propiedades del producto de una matriz por un escalar k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª) (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª) k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta) 1·A = A (elemento unidad) Producto de matrices Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda. Es decir, si tenemos una matriz 2 X 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 X 5, la matriz resultante será de orden 2 X 5.

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(2 X 3) X (3 X 5) = (2 X 5) Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación. 3 X 5 por 2 X 3, puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda. Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz m X p y B una matriz p X n. Entonces el producto AB es la matriz m X n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B. Esto es:

También podemos expresarlo de la siguiente manera :Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz C cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de C son de la forma: Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión mX n y B dimensión nX p, la matriz C será de orden mX p. Es decir:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplos Propiedades del producto de matrices A·(B·C) = (A·B)·C El producto de matrices en general no es conmutativo. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 . El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C Consecuencias de las propiedades Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0. Si A·B=A·C no implica que B = C.

DETERMINANTES Dada una matriz cuadrada

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se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número: , con (Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i( También se suele escribir:

Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3 Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene:

En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos: L o s términos con signo + están formados por los eleme ntos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con s i g n o - están formados por los elementos de la d i a g o n a l s e c u n d a r i a y los de las d i a g o n a l e s p a r a l e l a s con su correspondiente v é r t i c e o p u e s t o .

Ejemplo

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Cálculo de un determinante por los adjuntos de una línea :Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento aij. Dada la matriz

la matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:

Menor complementario :Se llama m e n o r c o m p l e m e n t a r i o de un elemento a i j al valor del determinante de orden n-1 que s e o b t i e n e a l s u p r i m i r e n l a m a t r i z l a f i l a i y l a c o l u m n a j .

La m a t r i z a d j u n t a es aquella en la que cada elemento se sustituye por su a d j u n t o .

Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:

El signo es +

si i+j es par.

El signo es -

si i+j es i mpar.

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Ejempl o

Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de la 1ª fila se tiene:

La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a ambos lados de la igualdad. En nuestro ejemplo si queremos desarrollar el determinante por la primera fila: Det. A= 2.0+0.-3+1.3=3 el determinante por la segunda fila: Det A = 3.1+0.-3+0-2=3 Por segunda columna : Det A=0.-3+0.-3+1.3=3 Nota Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir líneas con muchos ceros

Propiedades de los determinantes

1.|At|= |A|

El deter minante de una matriz A y el de su traspuesta A t son igual es.

2. |A|=0

Si:

Posee dos líneas iguales

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Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combi nación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2

3. Un determinante triangular es igual al producto de l os element os de l a diagonal principal..

4. Si en un deter minante se ca mbi an entre sí dos lí neas paralelas su determi nante cambia de signo.

5 . S i a l o s e l e me n t o s d e u n a l í n e a s e l e s u m a n l o s e l e m e n t o s d e o t r a paralela multi plicados previa mente por un nº real el valor del determi nante no varía.

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6.

Si

se

mu l t i p l i c a

un

deter minante

por

un

nú mero

real,

queda

multi plicado por dicho nú mero cual quier líne a, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o col umna están formados por dos sumandos,

dicho

determi nante

se

descompone

en

la

suma

de

dos

determi nantes.

8. |A·B| =|A|·|B|

El

deter minante

de

un

producto

es

igual

al

producto

de

los

determi nantes.

Cálculo de determinantes

Determinante de orden uno

|a

11|

= a

11

|5 | = 5

Determinante de orden dos

= a

11

a

22

- a

12

a

21

13

Determ inante de orden tres

=

= a11 a22 a33 + a12 a23 a

31

+ a13 a21 a32 -

- a

33

- a11 a23 a32.

13

a22 a31 - a12 a21 a

=

3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -

- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado po r tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Determinante de cualquier orden

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote , que valdrá 1 ó -1 .

Seguiremos los siguientes pasos:

1 . S i a l g ú n e l e me n t o d e l d e t e r m i n a n t e v a l e l a u n i d a d , s e e l i g e u n a d e l a s dos líneas: la fila o la colu mna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el may or nú mero posi ble de elementos nulos ).

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2.En caso negativo:

1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor nú mero posi ble de elementos nul os y operaremos para que uno de los ele mentos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ).

2.Dividiendo l a línea por uno de sus ele mentos , por lo cual deberíamo s multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.

3.Tomando como referen cia el ele mento base, operare mos de modo que todos los ele mentos de l a fila o col umna , donde se encuentre, sean ceros.

4.Tomamos el

adjunto del ele mento base , con lo que obtenemos un

determi nante de orden i nferi or en una unidad al original.

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RANGO DE UNA MATRIZ : Rango de una matriz Se llama menor de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A). En una matriz cualquiera Am×n puede haber varios menores de un cierto orden p dado. Definición El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero. El rango o característica de una matriz A se representa por rg(A). Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas. Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes. Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas. Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas. El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A). Es el número de filas o columnas linealmente independientes ( ES DECIR LINEAS QUE NOS PROPORCIONALES , NI SON SUMA ALGEBRAICA ENTRE SI ), utilizando esta definición se puede calcular UTILIZANDO determinantes También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes. Cálculo del rango de una matriz por determinantes

1. Podemos descartar una línea si:. Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos líneas iguales. Una línea es proporcional a otra. Una línea es combinación lineal de otras. Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 + c2

2. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo. |2|=2≠0 3. Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

4. Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por tanto r(B) = 2. 5. Si tiene rango 3 y existe alguna submatriz de orden 4, cuyo determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4. Transformaciones elementales Son las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que su rango varíe. Es fácil comprobar que estas transformaciones no varían el rango usando las propiedades de los determinantes Si se permutan 2 filas ó 2 columnas el rango no varía. Si se multiplica o divide una línea por un número no nulo el rango no cambia. Si a una línea de una matriz se le suma o resta otra paralela multiplicada por un número no nulo el rango no varía. Se pueden suprimir las filas o columnas que sean nulas, las filas o columnas que sean que sean proporcionales a otras, sin que el rango de la matriz varíe. Método de Gauss

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El método de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a una matriz con objeto de conseguir que los elementos que están por debajo de la diagonal principal se anulen (aij = 0, I >j). Para conseguir "triangularizar" la matriz debemos dejar en la diagonal principal elementos no nulos, salvo que la fila sea nula. Una vez aplicado este proceso de triangularización, el rango de la matriz es el número de filas no nulas de la matriz obtenida. Esto es fácil probarlo usando las propiedades de los determinantes. Cálculo por el método de Gauss Podemos descartar una línea si:  Todos sus coeficientes son ceros.  Hay dos líneas iguales.  Una línea es proporcional a otra.  Una línea es combinación lineal de otras.

F3 = 2F1 F4 es nula F5 = 2F2 + F1 r(A) = 2. En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.

F2 = F2 - 3F1 F3= F3 - 2F1

Por tanto r(A) = 3 Otra manera de trabajar :

F2 = F2 - 3F1 F3= F3 - 2F1

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Esta manera de trabajar nos permitirá incluso resolver sistemas de ecuaciones.

MATRIZ INVERSA Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es regular; en caso contrario recibe el nombre de singular. Porpiedades de la inversión de matrices La matriz inversa, si existe, es única A-1A=A·A-1=I (A·B) -1=B-1A-1 (A-1) -1=A (kA) -1=(1/k·A-1 (At) –1=(A-1) t Observación Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A= I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha". Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada: Directamente Usando determinantes Por el método de Gauss-Jordan Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij). Ejemplo Si tenemos una matriz tal que det (A) es distinto de 0, se verifica:

Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas). Cálculo de la matriz inversa

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1.

Calcula mos

el

determi nante

de

la

matriz,

en

el

caso

que

el

determi nante sea nulo l a matriz no tendrá inversa.

2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada el emento se sustituye por su adjunto.

3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4. La matriz inversa es igual al i nverso del valor de su determi nante por la matriz traspuesta de la adjunta.

1. 2.

Determinar la producción total bianual , la diferencia entre lo producido entre un año y otro, las cantidades totales de cada cultivo bianuales. Si la cotización en la bolsa de cereales de los productos por tn es de: trigo de 240 dólares, soja de 500 dólares , para el maíz de 190 dólares y para la cebada de 150 dólares determinar el valor de cada cosecha anual en el segundo año en cada región para cada cultivo.

.

Para resolverlo hay que para el punto 1 establecer la diferencia entre las dos matrices y la suma de amba s Para el punto 2 ha y qu e establecer el producto entre la matriz del segundo año y la ma triz confor mada por los precios

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MATRIZ INSUMO PRODUCTO El modelo de insumo producto fue desarrollado en la década del 30 por Wassily Leontief (Profesor en Hardvard ,Premio Nobel de economía en 1973 ) culminando con la publicación, durante 1941, de las matrices de los Estados Unidos de los años 1919 y 1929. A partir de ese momento, diversos países comenzaron a elaborar los cuadros de insumo producto. En el caso de la Argentina los cuadros fueron confeccionados para el año 1950, con la intervención de la Comisión Económica para América Latina (CEPAL) y para los años 1953, 1963 y 1973, con la intervención del Banco Central de la República Argentina (BCRA). La MIP constituye una herramienta central en el análisis económico ya que permite indagar las repercusiones sectoriales frente a variaciones que son consecuencia de las decisiones de los particulares o de los responsables de la definición de la política económica. A la vez, estamos hablando de una herramienta que posibilita analizar las debilidades y fortalezas del sistema de estadísticas económicas del país. En tiempos en los que la tecnología y las comunicaciones generan una sobreabundancia de información, la matriz de insumo producto, tiene un potencial destacado ya que permite favorecer una adecuada interpretación de la diversidad estadística en base a esquemas integradores. ¿Qué es la Matriz Insumo Producto? La MIP es un registro ordenado de las transacciones entre los sectores productivos orientadas a la satisfacción de bienes para la demanda final, así como de bienes intermedios que se compran y venden entre sí. De esta manera se puede ilustrar la interrelación entre los diversos sectores productivos y los impactos directos e indirectos que tiene sobre estos un incremento en la demanda final. Así, la MIP permite cuantificar el incremento de la producción de todos los sectores, derivado del aumento de uno de ellos en particular. ¿Dónde se utiliza? - En materia de decisiones empresariales - Políticas de empleo - Proyecciones de comercio exterior - Análisis de la energía y el medio ambiente - Finalidad estadística

Tabla de transacciones intersectoriales Es un cuadro de doble entrada en donde cada sector productivo figura en las filas y en las columnas. En las filas, figuran las ventas que los sectores realizan tanto para el consumo intermedio como para la demanda final. Los bienes y servicios destinados al consumo intermedio son los que se insumen en el proceso de elaboración de otros bienes mientras que los asignados a la demanda final son los que no sufren una transformación ulterior durante el período de cómputo. Los bienes finales comprenden el consumo de las familias, el consumo del gobierno, la inversión bruta interna y las exportaciones. La suma de ambos destinos (intermedio y final) de los bienes y servicios de cada sector representa su valor de producción. Recurramos a una versión muy simplificada de la economía compuesta por tres sectores productivos: 1. Agricultores ; 2. Molinos y productores de insumos de la agricultura; 3. Panaderías. Los agricultores le

20

venden trigo a los molinos ($100) y entre productores del mismo sector se venden semillas ($10) producidas durante el mismo año. Por su parte, los molinos producen harina ($150) destinados a las panaderías y además, le venden combustibles y fertilizantes a los agricultores ($20) para que puedan generar su producción. Por último, las panaderías, con la harina comprada a los molinos obtienen pan que lo venden a las familias ($200).

En las filas de la tabla se pueden observar las ventas de cada sector y en las columnas, sus compras. El total de las compras de cada sector constituye el consumo intermedio. La diferencia entre el valor de la producción de cada sector con la producción comprada a otros sectores (es decir, su consumo intermedio) representa su valor agregado. La sumatoria de los valores agregados de los sectores productivos representa el PRODUCTO, que es la medida de la riqueza generada por la economía ($200). De esta manera, se evitan las duplicaciones en que se incurriría de sumarse los valores de producción de cada sector ($110+$170+$200=$480). Como se puede observar, en la intersección de la fila de valores agregados con el total de la demanda final, los valores obtenidos son coincidentes. Así, también se puede definir como PRODUCTO a los bienes finales producidos en la economía durante un determinado período. Matriz de los coeficientes técnicos Esta matriz es una derivación simple de la tabla de transacciones intersectoriales. Se obtiene dividiendo los componentes del consumo intermedio y valor agregado de cada sector por su correspondiente valor de producción. Expresa los requerimientos directos de insumos o valor agregado del sector que figura en el cabezal de la columna. Por ejemplo, el sector de los agricultores, para producir por $ 1, necesita $ 0,09 del mismo sector (semillas), $ 0,18 del sector 2 (combustibles y fertilizantes) y genera valor agregado por $ 0,73. Matriz de coeficientes La resolución global para determinar los requerimientos totales que provocan los aumentos en la demanda final en los distintos sectores se logra mediante un procedimiento matemático que transforma la matriz de coeficientes técnicos en una de requerimientos directos e indirectos. Supongamos una industria de solo dos sectores para hacer un análisis mas sencillo que indicaremos así Sector de origen / Sector destino Industria A Industria B Valor Agregado Totales

Industria A 240 360 600 1200

Industria B 500 200 800 1500

Demanda final Totales 460 1200 940 1500 -------

21

MATRIZ DE COEFICIENTES técnicos será : A=

Industria A Industria B 240/1200 500/1500 360/1200 200/1500 Industria A Industria B 1/5 1/3 3/10 2/15

Industria A Industria B 0.20 0.33 0.30 0.13

Si deseamos investigar las nuevas producciones y demandas si la demanda final varia para A=500 y B=1200 Si llamamos a XA valor total dela producción de A, XB valor total de la producción de B , por lo dicho anteriormente podemos expresar lo siguiente : XA=0.20XA+0.33XB+500 XB=0.30XA+0.13XB+1200 Si

pasamos lo escrito a lenguaje matricial siendo XA XB

X= 500 1200 X = AX + C de donde X-AX = C , por lo tanto IX – AX = C ,Siendo I Matriz identidad del mismo orden que X y A C por lo tanto X = (I-A) –1 C

(I-A) X = En

4/5 -1/3 -3/10 3/5

nuestro Caso

I- A = 130/89 59/89 45/89 120/89 (I-A)-1= 1406.49 1870.79 X= Que es la nueva producción delvos sectores con esto podemos recalcular la nueva MIP Sector de origen / Sector destino Industria A Industria B Valor Agregado Totales

Industria A 281 422 703 1406

Industria B 617 243 1010 1870

DF Totales 508 1406 1205 1870 -------

22

II VECTORES EN EL PLANO CARTESIANO EL SISTEMA DE EJES COORDENADOS CARTESIANOS ES UNA BASE ORTONORMAL QUE AL SER VECTORIAL LLAMAMOS V2 Se llama vector de dimensión a una tupla de números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión se representa como

(formado mediante el producto

cartesiano). Así, un vector perteneciente a un espacio

se representa como:

, donde Características de un vector

Coordenadas cartesianas. Un vector se puede definir por suscoordenadas, si el vector esta en el plano xy, se representa:

siendo sus coordenadas:

Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:

23

Coordenadas tridimensionales. Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar:

siendo sus coordenadas:

Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar la recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.

El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.

24

El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por el vector.

El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , ,, paralelos a los ejes de coordenadas x, y, positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

25

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay , son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales. Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma: I =[1 0 ] j =[0 1 ]

El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que todo espacio vectorial admite una base vectorial, por lo que todo vector es representable como el producto de unas componentes respecto a dicha base. Dado un vector sólo existen un número finito de componentes diferentes de cero.

Ejercicios 1 Un vector

tienen de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de A si

se conoce el extremo B(12, −3).

26

2 Dado el vector

= (2, -1), determinar dos vectores equipolentes a

,

, sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0). 3 Calcular la distancia entre los puntos:

4 Si

es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su

misma dirección y sentido. 5 Hallar un vector unitario de la misma dirección que el vector

=(8, -6).

Suma de Vectores Suma Gráfica de Vectores

Para sumar gráficamente dos vectores o mas vectores existen dos métodos, el método del paralelogramo y el método del triangulo: Método del Paralelogramo

Se representa los vectores(U,V) como puntos en el plano y en los cuales sus orígenes generalmente coincidan en el punto(0,0) del plano cartesiano; luego en el extremo o cabeza del vector U, se grafica una paralela al vector V y en el extremo del vector V se grafica una paralela del vector U. La diagonal del paralelogramo que se forma es el vector suma o la respuesta.

27

Método del Triangulo

Se pone gráficamente el vector A como continuación del vector B, es decir, el origen del vector B coincide con la cabeza o extremo final del vector A. Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos.

Para sumar más de dos vectores gráficamente con cualquiera de los dos métodos, se realiza primero la suma de dos en dos de los vectores, el vector resultante se suma a un tercero o n vectores aplicando la ley conmutativa de la suma de vectores.

28

Resta de Vectores Resta Gráfica de Vectores

Gráficamente, U - V es el vector que se forma donde su origen es el extremo de V y su extremo es el extremo de U

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UN VECTOR Ejemplos

Su suma vectorial será:

Para que la suma entre dos o más vectores sea posible, los vectores deben tener el mismo tamaño, y el vector resultante será la suma de componente a componente de cada vector. 

Ejemplo en

:

29



Ejemplo en

:

Propiedades de la Suma entre Vectores

Para la suma entre vectores se utilizan varias propiedades algebraicas provenientes de la suma entre reales. Sean U, V,W vectores en

:

Propiedad Conmutativa. Propiedad Asociativa. Todo vector sumado con cero no se verá afectado y el resultado será el mismo vector. Todo vector sumado con su opuesto da como resultado 0 Restar dos vectores es sumar al primero ,el resultado de la multiplicación por el escalar (-1) del segundo vector o más claramente su opuesto porque :

30



Ejemplo:

EJERCICIOS 1 Dado el vector

= (2, −1), determinar dos vectores equipolentes a

,

, sabiendo que A(1, −3) y D(2, 0). 2 Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector 3 Si

= (k, 3) es 5.

es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su

misma dirección y sentido. 4 Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(−3, 4) y C(−1, 3), hallar las coordenadas del baricentro. 5 Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, −2) es el punto medio de AC, A(−3, 1). 6 Averiguar si están alineados los puntos: A(−2, −3), B(1, 0) y C(6, 5). 7 Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(−1, −2), B(4, −1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo. 8 Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, −1) y B(8, −4). Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB.

31

9 Si el segmento AB de extremos A(1, 3), B(7, 5), se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división? 10 Hallar el simétrico del punto A(4, −2) respecto de M(2, 6). Respuestas a ejercicios de Vectores : Primer párrafo de vectores : Ej 1 Un vector

tienen de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de A

si se conoce el extremo B(12, −3).

Ej 2 Dado el vector

= (2, -1), determinar dos vectores equipolentes a

,

, sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0).

32

Ej 3 Calcular la distancia entre los puntos:

Ej 4 Si

es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su

misma dirección y sentido.

Ej 5 Hallar un vector unitario de la misma dirección que el vector

=(8, -6).

Segundo párrafo de vectores Ej 1 Dado el vector

= (2, −1), determinar dos vectores equipolentes a

,

, sabiendo que A(1, −3) y D(2, 0).

33

Ej 2 Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector

Ej 3 Si

= (k, 3) es 5.

es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su

misma dirección y sentido.

Ej 4 Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(−3, 4) y C(−1, 3), hallar las coordenadas del baricentro.

Ej5 Hallar

las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, −2) es el punto

medio de AC, A(−3, 1).

Ej 6 Averiguar si están alineados los puntos: A(−2, −3), B(1, 0) y C(6, 5).

Ej7Calcula

las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(−1,

−2), B(4, −1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

34

Ej8Las

coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, −1) y B(8, −4).

Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB.

Ej 9 Si

el segmento AB de extremos A(1, 3), B(7, 5), se divide en cuatro partes

iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?

35

Ej 10

Hallar el simétrico del punto A(4, −2) respecto de M(2, 6).

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Cuando estudiamos un sistema de ecuaciones lineales ( s.e.l.) debemos preguntarnos : ¿ Tiene soluciones el sistema ?, es decir, ¿ es compatible ? Si tiene soluciones ¿ cuántas y cúales son ? Visto esto, estudiar un sistema es : EVALUAR = Averiguar si un s.e.l. tiene solución, y si tiene, ver ses única o no. RESOLVER = Hallar la solución si es única, o las soluciones si son infinitas. ESTUDIAR = EVALUAR + RESOLVER Introducción La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tiene una solución. La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una

36

variable y dando valores cualesquiera a la otra. La ecuación x - 2y + 5z = 1 se llama ecuación lineal de tres variables. Sus soluciones son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras dos. En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo :

  

Las soluciones son las secuencias de números s1, s2, s3, ..., sn que hacen verdadera la igualdad [1] Si los coeficientes valen 0 y el término independiente no, la ecuación se llama incompatible. No tiene solución y también se denomina ecuación imposible, proposición falsa o igualdad absurda. Si los coeficientes y el término independiente son nulos, se dice que la ecuación es una identidad.

Sistemas de Ecuaciones Lineales : Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio). Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional así :

un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde aij son números reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son números reales, llamados términos independientes del sistema, las incógnitas xj son las variables del sistema, y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s 1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema. Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma :

37

Donde :   

Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada por los coeficientes del sistema, y la designamos por A. Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas. Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos independientes.

y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se obtiene al añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos independientes, y la denotamos por A*, es decir

Clasificación : Atendiendo a sus soluciones :

Atendiendo a sus términos independientes :

Los sistemas d e dos por dos son los mas sencillos y se pueden resolver gráficamente Recordamos las representaciones de la recta:

38

Dos rectas pueden ser paralelas o intersecarse en el plano

Tambien pueden estar una sobre la otra, superpuesta elsistema tiene infinitas soluciones

Teorema de Rouché-Fröbenius. « Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si, y sólo si, el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con la columna de los términos independientes. Si estos rangos son distintos el sistema es incompatible. »

39

Es decir, la condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que r(A) = r(A*),

  

Si el número de incógnitas n es igual al rango h , la solución es única. Si el número de incógnitas n es mayor que el rango h , el sistema tiene infinitas soluciones. Si el sistema es compatible, el rango del sistema indica el número de ecuaciones linealmente independientes.

Para los sistemas indeterminados la solución puede hallarse despejando k incógnitas principales en función de (n-h) incógnitas denominadas parámetros y que pueden tomar cualquier valor ( grados de libertad ). Al hallar el rango en matrices que provengan de s.e.l. es preciso tener en cuenta que si se intercambian columnas en la matriz de coeficientes ha de hacerse de igual forma el cambio correspondiente de incógnitas, teniendo especial cuidado con la columna de los términos independientes que conviene no moverla. En general, es aconsejable realizar todas las operaciones por filas. Ejemplo:

Caso particular : Sist. Homogéneos Como un sistema homogéneo es aquel que tiene todos sus términos independientes nulos, podemos observar que r(A) = r(A*) siempre, luego siempre son compatibles, ya que tienen al menos la solución (0, 0, 0, ... , 0) que se denomina solución trivial. Ejemplo:

40

Si un sistema homogéneo presenta una solución distinta de la trivial : (s1, s2, ... , sn) entonces se cumple que son también solución todas las proporcionales a ella : ( k·s1, k·s2, ... , k·sn) , para todo número real k.

Métodos de Resolución: Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones. Obviamente, un sistema se puede resolver cuando es compatible, es decir, lo primero que debemos hacer es discutir el sistema (teorema de Rouché-Fröbenius) para averiguar su compatibilidad. Para resolver un s.e.l. hay que hacer transformaciones en las ecuaciones hasta que todas las incógnitas queden despejadas. Estas transformaciones convierten nuestro sistema inicial en otro/s sistema/s (con aspecto distinto y más fáciles de resolver) que tienen las mismas soluciones ( = sistemas equivalentes ). Generalmente las transformaciones más habituales son : ( criterios de equivalencia ) - Intercambiar dos ecuaciones entre sí. - Suprimir una ecuación que tenga todos sus elementos nulos. - Suprimir una ecuación que sea proporcional a otra.

41

- Suprimir una ecuación que sea combinación lineal de otra/s - Multiplicar o dividir una ecuación por un número distinto de cero. - Sustituir una ecuación i de este modo : Ei = Ei + a·Ej Métodos directos :     

Método de Gauss (por reducción) Método de Cramer (por determinantes) Por inversión de la matriz Método de Gauss-Jordan (por eliminación) Por sustitución

Vamos a resolver el mismo sistema por varios de éstos métodos para apreciar mejor sus diferencias 

Método de Gauss (por reducción) Dado un sistema de "m" ecuaciones con "n" incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya 1ª ecuación tenga n incógnitas, la segunda n-1, la tercera n-2, y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación, que tendrá una sola incógnita. Hecho esto, resolvemos la última ecuación, a continuación la penúltima, y así hasta llegar a la primera. Es decir, el método de Gauss consiste en triangular la matriz de coeficientes. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema compatible determinado

Ejemplo:

42

Resolver el siguiente sistema compatible indeterminado

Ejemplo: 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 x 1 + 2x 2 - x 3 3x 1 - 2x 2 + x 3 3x 1 + 5x 2 + 3x 3 6x 1 + 3x 2 + 4x 3

- x4= 1 + 2x 4 = 0 + x 4 = -1 + x4= 1 + 2x 4 = 0

. La matriz aumentada del sistema es 2 3 4 -1  1 1 2 -1 2  0 3 -2 1 1  -1 3 5 3 1 1 6 3 4 2 0 Intercambiando la primera fila con la segunda obtenemos: 1 2 -1 2  0 2 3 4 -1  1 3 -2 1 1  -1 3 5 3 1 1 6 3 4 2 0 Restando de las filas 2da., 3ra., 4ta., y 5ª., multiplos convenientes de la 1ra., llegamos a:

1 0 0 0 0

2 -1 2  -1 6 -5  -8 4 -5  -1 6 -5  -9 10 -10 

0 1 -1 1 0

Restando de las filas 3ra., 4ta., y 5ta., multiplos convenientes de la 2da., transformamos (3.29) en 1 0 0 0 0

2 -1 2  0 -1 6 -5  1 0 -44 35 -9 0 0 0 0 0 -44 35 -9

Sumando a la 5ta. fila el negativo de la 3ra.,

43

1 2 -1 2  0 0 -1 6 -5  1 0 0 -44 35 -9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Las matrices anteriores son matrices aumentadas de sistemas de ecuaciones lineales equivalentes, lo cual se probará en la próxima sección. Por lo tanto las soluciones de son exactamente las soluciones del sistema

x1 + 2 x2 - x3 + 2x4 = 0 - x2 + 6x3 - 5x4 = 1 - 44x3 + 35x4 = - 9 En el cual se han eliminado las dos últimas filas por ser irrelevantes el sistema tiene rango 3 y cuatro incógnitas, por lo tanto tiene infinita soluciones Dando valores a x4 se hallan diferentes soluciones por sustitución regresiva. 

Método de Cramer (por determinantes) Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado y, por tanto, tiene siempre una solución única. El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.

44

Resolver el siguiente sistema compatible determinado



Por inversión de la matriz

Aplicando la matriz inversa Ejemplo: Resolver el siguiente sistema compatible determinado



Método de Gauss-Jordan

45

Es una variante del método de Gauss, y resulta ser más simple al final del proceso, ya que no es preciso despejar las variables pues la solución se obtiene directamente.Se basa en diagonalizar la matriz de coeficientes. NOTA : Si eres usuario registrado del programa Derive, puedes probar la función ROW_REDUCE(v), donde v es la matriz ampliada. Esta función de Derive

Ejemplo x1 + 2 x2 - x3 + 2x4 = 0 2 x2 + + x4 = 1 - 3x3 + 3x4 = 2 1 2 -1 2 0 0 2 0 1 1 0 0 -3 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Podemos utilizar el primer elemento diferente de 0 de izquierda a derecha de la segunda fila, 2, como pivote, logrando la matriz: F1 – F2

1 0 0 0 0

0 -1 1 2 0 1 0 -3 3 0 0 0 0 0 0

-1 1 2 0 0

y luego el primer elemento diferente de cero de la tercera fila, -3, como pivote, para lograr que cada pivote sea el único elemento diferente de cero de la columna. Lo cual es equivalente a lograr que la incógnita respectiva del sistema de ecuaciones aparezca en una sola de las ecuaciones (nos referimos a los coeficientes que fueron utilizados como pivotes en el método de Gauss). Llegando a:

F1 -(1/3) F3

1 0 0 0 0

0 0 2 0 0 -3 0 0 0 0

0 -(5/3) 1 1 3 2 0 0 0 0

Dividiendo ahora la segunda fila por 2 y la tercera fila por –3, obtenemos:

(1/2) F2 (-1/3)F3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 - 5/3 1/2 1/2 -1 -2/3 0 0

46

0

0

0

0

0

Hemos llegado a la forma de Gauss Jordan y por lo tanto al sistema de ecuaciones equivalente: x1 x2

= - 5/3 + ½ x 4 = 1/2 x3 - x4 = -2/3, de donde

x1 x2 x3

= - 5/3 = (1/2) - ½ x 4 = ( -2/3 ) + x4,

del cual se deduce facilmente que la variable x 4 se puede tomar como variable independiente y que por lo tanto el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones

Ejemplos 3x +2y + z = 1 5x +3y +4z = 2 x

+ y - z

= 1

TAMBIÈM PUEDE HACERSE :

47

Sistema compatible determinado

48

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

49

SISTEMA INCOMPATIBLE

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Para resolver un problema que involucra sistemas de ecuaciones lineales se debe tener en cuenta lo siguiente: 1. Leer y comprender el problema. 2. Determinar los datos conocidos. 3. Nombrar adecuadamente las variables de acuerdo a lo desde el punto de vista de la gestión del problema se deba resolver y se pueda decidir. 4. Establecer las relaciones existentes entre los datos conocidos y las incógnitas. 5. Determinar el sistema de ecuaciones lineales asociado a las relaciones en 4 ( Modelo Matemático a utilizar) . 6. Resolver el sistema de ecuaciones lineales resultante en 5. 7. Verificar que las respuestas obtenidas si estén de acuerdo al problema. 8. Interpretar el resultado si es posible , reformular o reconsiderar si fuera necesario . EJERCICIOS 1.- Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas estas estarán en operación 8 horas diarias. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de cada uno de los cuatro productos está dado por

Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3

Producto 1 1 2 1

Producto 2 2 0 2

Producto 3 1 1 3

Producto 4 2 1 0

Por ejemplo, en la producción de una unidad del producto 1 la máquina 1 se usa 1 hora, la máquina 2 se usa 2 horas y la máquina 3 se usa 1 hora. Encuentre el número de unidades que se deben producir de cada uno de los 4 productos un día de 8 horas completas. Solución: Sea xi el número de unidades que se deben producir del producto i que se fabrican durante las 8 horas con i = 1, 2, 3 y 4. 1x1: 2x2: 1x3: 2x4:

Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 1. Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 2. Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 3. Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 4.

Como la máquina 1 debe ser usada 8 horas diarias, entonces tenemos que

procediendo de forma similar para las máquinas 2 y 3 obtenemos el sistemas de ecuaciones lineales siguiente

50

Aplicando eliminación de Gauss-Jordan llegamos al sistema equivalente

De donde,

Cada xi es no negativa por representar la cantidad de unidades fabricadas del producto i cada día, por lo tanto xi < 0 no tiene sentido. Si asumimos que se produce un número completo de unidades, entonces xi debe ser además un número entero para que todos los xi , sean no negativos x4 debe ser un entero menor o igual que 2, y por lo tanto las posibles soluciones son x1 x2 x3 x4 Solución 1 4 2 0 0 Solución 2 3 1 1 1 Solución 3 2 0 2 2 Por ejemplo la solución 1 significa que en un día para las máquinas estar completamente utilizadas se deben producir 4 unidades del producto 1, 2 del producto 2 y ninguna de los productos 3 y 4. Análisis de flujo de tráfico. Supongamos que tenemos una red de calles en una sola dirección en una ciudad. Se quiere analizar el flujo de tráfico en cada una de las calles. La dirección del tráfico en cada una de las calles está dado en la siguiente figura.

En varios sitios se han colocado contadores, y el número promedio de Vehículos que pasan por cada uno de ellos en el periodo de 1 hora, aparece también en la figura. Las variables representan el número de Vehículos por hora que pasan de la intersección A a la intersección B, de la intersección B a la intersección C, etc.

51

Primero determinamos los valores posibles de cada xi. Asumiendo que no hay paradas en el tráfico, el número de Vehículos que llega a una intersección debe ser igual al número de Vehículos que sale de la intersección. Con base a este supuesto obtenemos el siguiente sistema. (flujo de tráfico en la intersección A). (flujo de tráfico en la intersección B). (flujo de tráfico en la intersección C). (flujo de tráfico en la intersección F). (flujo de tráfico en la intersección E). (flujo de tráfico en la intersección D). Aplicando el método de Gauss-Jordan llegamos al sistema equivalente

como las xi son número de Vehículos por hora de una intersección a otra, no son permitidos valores negativos para las xi, ya que como las calles son en una dirección, un valor negativo de xi se interpreta como el número de Vehículos que van en contravía. Con esta restricción tenemos , es decir, . Igualmente, , es decir, . Supongamos ahora que la calle que va de D a E va a estar en reparación, por lo que se requiere que el tráfico en este espacio sea mínimo. Esto nos lleva a x7 = 50. Por consiguiente a x2 = 500 y x5 = 0. Recíprocamente si x5 = 0, tenemos x7 = 50, entonces, si cerramos la carretera entre C y D tendremos el mínimo tráfico posible entre D y E. Los flujos y no están determinados en forma única. Si toda la distancia de D a F estuviera en reparación, requeriríamos que

fuera mínimo, o sea cero. En este caso x1 = 50, x3 = 750 y x4 = 650.

3.- Aplicaciones de los Modelos de Leontief de Entrada - Salida. Recordatorio: Suponga que un sistema económico tiene n industrias distintas , cada una de las cuales tiene necesidades de entrada (materia prima, instalaciones) y una salida (productos terminados). El coeficiente de entrada dij mide la cantidad de entrada que la industria j-ésima requiere de la industria i-ésima para producir una unidad: La colección de coeficientes de entrada esta dada por la siguiente matriz n x n. Las unidades se miden en “cantidades de dólar”.

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Proveedor Usuario Esta matriz se denomina matriz de entrada – salida. Para comprender como utilizar esta matriz, imagine que los elementos de están dados en dólares. Por ejemplo, si d12 = 0.41, entonces debe utilizarse 0.41 dólares del valor del producto de la industria 1 para producir un valor de un dólar del producto de la industria 2. La cantidad total gastada por la j-ésima industria para producir un valor de un dólar de salida esta dada por la suma de los elementos de la j-ésima columna. Por tanto, para que funcione este modelo, los valores de dij deben ser tales que y la suma de los elementos de cualquier columna debe ser menor o igual que 1. El modelo de Leontief cerrado puede aplicarse a n industrias y sus propiedades básicas son: 1. La matriz D tiene componentes dij , donde 2. La suma de los componentes de cualquier columna es 1. 3. Se satisface la condición de equilibrio, es decir, que los gastos debidos al consumo son iguales a los ingresos debidos a las ventas. Suponga que una economía simple tiene tres industrias que son dependientes entre si, pero que no dependen de industrias externas (se cumple el modelo cerrado de Leontief). Aplicando este modelo resuelva una hipotética economía de tres sectores :agricultura, construcción y Textil. La fracción de cada producto que consume cada industria esta dado por: Agricultura

Construcción

Textil

Agricultura Consumo

Construcción

Textil Producción La componente dij denota la fracción de bienes producidos por la gente que trabaja en la industria j y que es consumida por la gente que trabaja en la industria i. Por ejemplo agrícola.

significa que la industria del Textil consume

del total de la producción

Supongamos que los ingresos de la industria de la agricultura, construcción y Textil son respectivamente. Determine los ingresos de cada sector de la economía. Solución:

y

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este sistema es equivalente al sistema

Usando eliminación de Gauss-Jordan podemos resolver este sistema

El sistema correspondiente a esta última matriz es

haciendo

,

t

es

un

real

no

negativo.

Asi cualquier solución es de la forma por tanto hay infinitas soluciones, sin embargo los ingresos de la industria de la agricultura, construcción y Textil están en la proporción 4:3:4. 4.- Un inversionista le afirma a su corredor de bolsa que todas sus acciones son de tres compañías Delta, Hilton y McDonald’s y que hace dos días su valor bajó $350 pero que ayer aumentó $600. El corredor recuerda que hace dos días las acciones de Delta bajó $1 por acción y las de Hilton $1.50, pero que el precio de las acciones de McDonald’s subió $0.50. También recuerda que ayer el precio de las acciones

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de Delta subió $1.50 por acción, las de Hilton bajó otros $0.5 por acción y las de McDonald’s subió $1.0 por acción. Demuestre que el corredor no tiene suficiente información para calcular el número de acciones que posee el inversionista en cada compañía, pero que si el dice que tiene 200 acciones en McDonald’s, el corredor puede calcular el número de acciones que tiene en Delta y en Hilton. Solución: Sea xD

el número de acciones en la compañía Delta.

xH el número de acciones en la compañía Hilton. xM el número de acciones en la compañía McDonald’s.

Aplicando el método de Gauss-Jordan podemos resolver el sistema

El corredor de bolsa no tiene información suficiente para determinar el número de acciones que tiene en cada compañía el inversionista, puesto que el sistema tiene mas incógnitas que ecuaciones. El sistema correspondiente a la última matriz es

Si se sabe que el inversionista tiene 200 acciones en McDonald’s, es decir, solución del sistema es

entonces la

5.- Una bolsa de 20 kilos de alimento para un criadero de perros debe tener las siguientes requerimientos mínimos de proteínas , carbohidratos y grasas:3 ,5 y 4 UDM respectivamente .utilizando 4 tipos de alimentos que se compran en bolsas de 20 kilos , cuyas especificaciones y requerimientos mínimos quedan determinados por: Alimento Proteínas Carbohidratos Grasas UDM UDM UDM Kanino 3 7 5 Royal 5 4 6 Premiun 2 2 6 Dog 3 8 2 En la composición de la mezcla final como máximo debe haber la cuarta parte de Dog , se requiere un plan para obtener una proporción de la mezcla

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Observemos que producimos en total un 0,87 de 20 kilos, mezclando 31% de Kanino, 21%de Royal, , 13% de Premiun y 22% de Dog.

Observemos que si queremos no desperdiciar la mezcla y obtener los 20 kilos debemos agregar una condición llamada de totalidad de mezcla:

La nueva solución emplea solamente los productos Premiun y Dog en una proporción de 50% cada uno. 6. Un viajero que acaba de regresar de Europa gastó $30 diarios en Inglaterra, $20 diarios en Francia y $20 diarios en España por concepto de hospedaje. En comida gastó $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y $20 diarios en España. Sus gastos adicionales fueron de $10 diarios en cada país. Los registros del viajero indican que gastó un total de $340 en hospedaje, $320 en comida y $140 en gastos adicionales durante su viaje por estos tres países. Calcule el número de días que pasó el viajero en cada país o muestre que los registros deben estar incorrectos debido a que las cantidades gastadas no son compatibles una con otra. 7. Para el control de cierta enfermedad de una planta, se usan tres productos químicos en las siguientes proporciones: 10 unidades del químico A, 12 unidades del químico B, y 8 unidades del químico C. Las marcas X, Y y Z son atomizadores comerciales que se venden en el mercado. Un galón de la marca X contiene los químicos A, B y C, en la cantidad de 1, 2 y 1 unidades respectivamente. Un galón de la marca Y contiene los químicos en la cantidad de 2, 1 y 3 unidades respectivamente; y un galón de la marca Z los contiene en la cantidad 3, 2 y 1 unidades respectivamente. ¿Qué cantidad de cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las cantidades exactas de los químicos requeridas para el control de la enfermedad? 8. El siguiente diagrama reproduce una red de calles de una sola vía con el flujo de tráfico en las direcciones indicadas. El número de Vehículos está dado como promedio de Vehículos por hora. Asumiendo que el flujo que llega a una intersección es igual al flujo que sale de ella, construya un modelo matemático del flujo de tráfico. Si la calle que va de C a A estuviera en reparación, ¿cuál sería el mínimo tráfico que se podría permitir?. ¿Cómo podría obtenerse este mínimo?

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9. Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones, A, B y C. Los camiones están equipados para el transporte de 2 clases de maquinaria pesada. El número de máquinas de cada clase que puede transportar cada camión es Camiones

Clase 1

Tipo A 2

1

Tipo B

Clase 2

0

1

Tipo C 1

Máquinas 2

La firma consigue una orden para 32 máquinas de la clase 1 y 10 máquinas de la clase 2. Encuentre el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden, asumiendo que, cada camión debe estar completamente cargado y el número exacto de máquinas pedidas es el que se debe despachar. Si la operación de cada tipo de camión tiene el mismo costo para la firma, ¿cuál es la solución mas económica?. 10. Suponga que una economía simple tiene cuatro industrias: agricultura, construcción, Textil y transporte, y que se satisfacen las condiciones del modelo cerrado de Leontief. Los insumos y los productos están dados por la siguiente matriz.

Agricultura

Construcción

Textil

Transporte

Agricultura

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Construcción

Textil

Transporte Suponga que los ingresos a las industrias de agricultura, constr., textil y transporte son y respectivamente. Asuma que se cumple la condición de equilibrio, y determine los ingresos de cada sector de la economía. Y efectúe la matriz de insumo producto. 11. Una refinería produce gasolina con y sin azufre. Cada tonelada de gasolina sin azufre requiere 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en la planta de refinación. Por su parte, cada tonelada de gasolina con azufre requiere 4 minutos en la planta de mezclado y 2 en la planta de refinación. Si la planta de mezclado tiene 3 horas disponibles y la de refinación 2, ¿cuántas toneladas de cada gasolina se deben producir para que las plantas se utilicen al máximo?. 12. Un industrial produce dos tipos de plástico: regular y especial. Cada tonelada de plástico regular necesita 2 horas en la planta A y 5 en la planta B; cada tonelada de plástico especial necesita 2 hora en la planta A y 3 en la planta B. Si la planta A tiene disponibles 8 horas al día y la planta B 15 horas al día, ¿cuántas toneladas de cada tipo de plástico pueden fabricarse diariamente de modo que las plantas operen a toda su capacidad? 13. Un dietista esta preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada onza del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de proteína, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 2 unidad de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de proteína, 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos, ¿cuántas onzas de cada comida se necesitan? 14.- En el Haras San Jorge Sur se crían caballos de salto. Para obtener un mejor desempeño en el salto y aspecto del animal, el veterinario recomienda que cada balde de 30 kilos de comida debe contener una mezcla de 4 productos que se compran en bolsas de 30 kilogramos según estos componentes y precios : Información sobre los contenidos de los productos por bolsas de 30 kilogramos CONTENIDO Y PRECIO POR CADA 30 KG DE ALIMENTO PRODUCTO Alfalfa Proteínas Carbohidratos PRECIO ($) I 1 1 1 400 II 8 8 2 600 III 5 2 1 300 IV 1 12 17 200 Los requerimientos mínimos de cada alimentos según la dieta requerida por los especialistas es de alfalfa 5 kilos, proteínas4 kilos y carbohidratos 2 kilos . Variables de decisión :X1 producto 1, X2 producto 2, X3 producto 3 y X4 producto 4 Rest. Alfalfa: X1+8X2+5X3+X4=5 Rest. Proteína X1+8X2+2X3+12X4=4 Rest.Carbohidratos X1+2X2+X3+17X4=2 Rest. Mezcla sin desperdicios X1+X2+X3+X4=1

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15.- Pampa Metal , produce dos productos metalmecánicos el XR_90 y el XR_100, destinados a la industria agromecánica , sus beneficios marginales son idénticos. En la elaboración los productos insumen 1 y 3 horas de matrizado, 3 y 3 horas de termocuplado cada uno respectivamente . Las disponibilidades en la planta de producción son 310 horas de matrizado,360 hs de termocuplado .Determinar la cantidad posible de producción de cada modelo. Solución: Siendo X e Y nuestras variables de decisión, llamamos a x al producto XR_90 e y al producto XR_100 Variables de decisión: X cantidad a producir del producto XR_90 Y cantidad a producir del producto XR_100 X+3Y=310 3X+3Y=330 X>=0 e Y >=0

16.-Una industria láctea debe exportar a tres países su producción de 500 u ( u en miles de kilos de quesos sardos o parmesanos ) de acuerdo a las siguientes premisas , los dos últimos países forman una alianza comercial que permite exportarles una total de 300 u , mientras que los dos primeros permiten exportar un total de 400 u siempre que el doble de lo exportado al primer país sea igual a 200 u mas lo exportado al segundo país Hallar si fuera posible las cantidades que debe exportar a cada país . Rta ( 200;200;100) 17.-Un industria dedicada la fabricación de mermeladas debe adquirir su materia prima a tres distribuidores para adquirir 350 u ( u en miles de kilos de pulpa de fruta ) de acuerdo a las siguientes condiciones contractuales , los dos últimos distribuidores forman una alianza comercial que permite comprarles un total de 200 u , mientras que los dos primeros permiten adquirir un total de 300 u siempre que el doble de lo adquirido al primer distribuidor sea igual a 150 u mas lo comprado al segundo

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distribuidor .Hallar si fuera posible las cantidades que debe adquirir a cada distribuidor . Rta ( 150;150;50)

18.-Una empresa produce tres tipos de galletitas , Az, Bv y Cj, los que procesa en tres máquinas diferentes simultáneamente, mezcladora, amasadora y horno . El tiempo (en horas) requerido para procesar una unidad de cada producto por las tres máquinas está dado por la matriz: Si dispone de la mezcladora por 850 horas, de la procesadora por 1200 horas y del horno por 550 horas, cuántas unidades de cada producto deberían producirse con objeto de emplear todo el tiempo disponible las máquinas? Respuesta: 100, 150 y 200 unidades de A, B, C.

PROGRAMACIÓN LINEAL Introducción a la Programación Lineal La importancia de la Programación Lineal no solo radica en el procedimiento matemático, sino en la herramienta financiera, productiva o de asignación de recursos que sirve de soporte para la toma de decisiones en cualquier organización. Adicionalmente, vale la pena resaltar que, para el Administrador de Empresas, el Economista, el Contador, el Gerente, el financiero, y para el empresario en general, es vital manejar adecuadamente esta herramienta que es aplicable a todas las áreas que componen una organización empresarial y que permiten la asignación eficiente de los recursos, además de la ayuda que presta para globalizar la información. A pesar de los grandes intentos por que la Ciencia Administrativa genere un impacto sobre la administración de las organizaciones, aún no se ha logrado que las pequeñas, medianas y grandes empresas utilicen estas nuevas herramientas, ignorando que podrían evitarse muchos problemas si se tuvieran en cuenta los métodos utilizados por la Programación Lineal y la Investigación de operaciones. La importancia de la Programación Lineal no solo radica en el procedimiento matemático, sino en la herramienta financiera, productiva o de asignación de recursos que sirve de soporte para la toma de decisiones en cualquier organización. Para el Administrador de Empresas, el Economista, el Contador, el Gerente y para el empresario en general, es vital manejar adecuadamente esta herramienta que es aplicable a todas las áreas que componen una organización empresarial y que permiten la asignación eficiente de los recursos, además de la ayuda que presta para globalizar la información. Para hacernos una idea más clara de los problemas tipo de PL, veamos un ejemplo sencillo : Resolvamos nuestro ejercicio inicial : Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con 5000 pesos. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 5 pesos. el cajón y las de tipo B a 8 pesos. el cajón Sabiendo que dispone en su camión de espacio para transportar 700 cajones de naranjas como máximo y que piensa vender el cajón de naranjas tipo A a 5.8 pesos. y el cajón de tipo B a 9.0 pesos., contestar justificando las respuestas: ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio? ¿Cuál será ese beneficio máximo? Si llamamos: a x= kg. de naranjas tipo A comprados e y= kg. de naranjas tipo B comprados. Debemos maximizar F( x,y) = 0.8 X + Y sujeta a las restricciones :

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Primero represento a la restricción uno:

Luego la dos :

La zona de soluciones factibles es:

Los vértices son: A(0, 625),intersección de la restricción 2 y el eje coordenadas B intersección de las dos restricciones

C(700, 0) ,intersección de la restricción 1 y el eje de abscisas Y, en ellos la función objetivo toma los valores: F(0,625)=1.625=625 F(200;500)=0.8.200+1.500=660 Máximo F(700,0)=0.8.700=560 Solución: Ha de comprar 200 cajones de naranjas A y 500 cajones de naranjas B para obtener un beneficio máximo de 660 pesos. Utilizó toda su capacidad en cuanto a transporte e inversión.

Modelo de Programación Lineal Un problema de programación lineal en dos variables, tiene el siguiente modelo matemático:

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Los elementos de un problema de PL son : La función f(x,y) = ax + by + c llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las variables de decisión o básicas , mientras que a, b y c son constantes. Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a ... ( menores: < o ); como mínimo de ... (mayores: > o ) . Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos. ( Para una mejor representación las enunciaremos en filas de matrices, con la letras ri ,con las letras r,s,t,... para no utilizar subíndices o bien directamente escribiendo su ecuación o inecuación, según nos sea mas conveniente) . Al conjunto de valores de x e y ( o si es mas conveniente x1,x2)que verifican todas y cada una de las restricciones se lo denomina conjunto (o región , superficie o polígono ) factible. Todo punto de ese conjunto puede ser solución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser solución. En el apartado siguiente veremos como se determina la región factible. La solución óptima del problema será el subconjunto de pares de valores (Xi, Yi) del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor optimo.

En ocasiones utilizaremos las siglas PL para indicar problema de programación lineal. La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio ( o ) o en sentido estricto (< o >). Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones. PL6 Método Gráfico o de las líneas de Nivel Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que la función objetivo toma el mismo valor. Si la función objetivo es f(x,y) = ax + by + c, la ecuación de las rectas de nivel es de la forma: ax + by + c = 0 ax + by = -c ax + by = K Variando K se obtienen distintos niveles para esas rectas y, en consecuencia, distintos valores para f(x,y).En el modelo de PL todas las rectas de nivel son paralelas, pues los coeficientes a y b de la recta ax + by = ki son los que determinan su pendiente. Por tanto, si k 1 es distinto de k2 , las rectas ax + by = k1 y ax + by = k2 son paralelas. Luego, trazada una cualquiera de esas rectas( por lo general hacemos C= 0 y trazamos la recta que pasa por el origen, , las demás de obtienenpor desplazamientos paralelos a ella. Si lo que se pretende es resolver un problema de programación lineal, los únicos puntos que interesan son los de la región factible, y las únicas rectas de nivel que importan son aquellas que están en contacto con dicha región. Como el nivel aumenta (o disminuye) desplazando las rectas, el máximo (o el mínimo) de f(x,y) se alcanzará en el último (o en el primer) punto de contacto de esas rectas con la región factible.

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1) Se resuelve cada inecuación por separado, es decir, se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones. Se dibuja la recta asociada a la inecuación. Esta recta divide al plano en dos regiones o semiplanos se raya la zona equivalente a esa desigualdad

.2) La región factible está formada por la intersección o región común de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones lineales pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no.

Veamos ahora como se aplica problema de programación lineal : Maximizar Z = f(x,y) = x + y sujeto a:

0

x

4

0

y

4

todo esto a la resolución de un

y x /2 1) Representamos la región factible: La recta s : x = 4 pasa por el punto (4,0) y es paralela al eje Y. Las soluciones de 0 entre el eje Y y la recta x = 4 La recta r : y = 4 pasa por el punto (0,4) y es paralela al eje X. Las soluciones de 0 entre el eje X y la recta y = 4

x

4 son los puntos

y

4 son los puntos

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La recta t : y = x/2 pasa por los puntos (0,0) y (2,1) . Las soluciones de y x /2 son los puntos de su izquierda. Resolviendo los sistemas correspondientes calculamos los vértices de la región factible: { y = x/2 , x = 0 } nos da el vértice O(0,0) { x = 4, y = x/2 } nos da el vértice A(4,2) { x = 4 , y = 4} nos da el vértice B(4,4) { y = 4 , x = 0 } nos da el vértice C(0,4) 2) Representamos las rectas de nivel :

En nuestro caso son rectas de la forma x + y = k . Inicialmente representamos K =0, es decir x + y = 0 . Trasladándola hacia la derecha, obtenemos las rectas : x + y = 2, x + y = 4, x + y = 8 , es decir aumenta el nivel.

3) Obtenemos la solución óptima: Se obtiene en el punto de la región factible que hace máximo k. En nuestro caso esto ocurre en el punto B; es el último punto de contacto de esas rectas con la región factible , para el que k = 8. Es decir existe máximo en el vértice B,el valor del máximo es 8 . VERIFICAMOS f(4,4) = 4 + 4= 8 Observación: Si dos vértices, por ejemplo en la figura siguiente C y D se encuentran en la misma recta de nivel ,de ecuación ax + by = k .Es evidente que todos los puntos del segmento CD son de esa recta; por tanto, en todos ellos f(x,y) vale k. Así pues, la solución óptima es cualquier punto de esa recta; en particular los vértices C y D.

PL7 Teorema fundamental de la programación lineal En un programa lineal con dos variables, si existe una solución única que optimice la función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible acotada, nunca en el interior de dicha región. Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos del segmento que determinan. En el caso de que la región factible no es acotada, la función lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo concreto, pero, si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región La evaluación de la función objetivo en los vértices de la región factible nos va a permitir Método abreviado de resolución Veámoslo paso a paso en el siguiente problema : En una distribuidora de almacena aceite de girasol y de soja ,con la finalidad de su posterior redistribución La utilidad , al redistribuirlos es la misma para los dos tipos de aceite (1 unidad monetaria) . Para atender a a demanda se han de tener almacenados un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de soja y, además, el número de bidones de aceite de soja no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones.. ¿Cuántos bidones de cada tipo habrá que almacenar para que la utilidad sea máxima? Paso 1º: Leer detenidamente el enunciado: determinar el objetivo, definir las variables y escribir la función objetivo.

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El objetivo es: halla cuántos bidones de cada tipo hay que almacenar para maximizar los gastos Suponemos que tal objetivo se consigue almacenado x bidones de aceite de girasol e y de aceite de soja Cómo cada bidón de aceite de girasol revendido tiene una utilidad de 1 unidad monetaria y lo mismo para uno de aceite, la utilidad será F( x,y) = x + y Luego, la función objetivo es: Maximizar la función Z = F(x,y) = x + y Paso 2º: Reordenar los datos del problema y a partir de las cantidades decididas, x e y, escribir el sistema de inecuaciones que determinan las restricciones. Un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol: x 20 Un mínimo de 40 bidones de aceite de soja: y 40 El número de bidones de aceite de soja no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol: y x/2 La capacidad total del almacén es de 150 bidones: x + y 150 Expresar el problema en la forma estándar. Siguiendo con el ejemplo, sería:

x+y 150 x

Maxmizar: f(x,y) = x + y

Paso 3º Representar marcar claramente la Para las restricciones rectas: x + y = 150 , y = la región factible que en Además, los números positivas: x 0 ; y 0

20

sujeto a: y

40

y

x/2 gráficamente las restricciones y región factible. anteriores debemos representar las x/2 , x = 20 e y = 40, obteniéndose la figura se encuentra coloreada. de bidones deben ser cantidades

Paso 4º: Hallar las coordenadas de los vértices del polígono obtenido. Resolviendo los sistemas : { x = 20, y = 40 } , { y = x/2 , y = 40 } , { y = x/2 , x + y = 150} , { x + y = 150, x = 20}; se obtienen los vértices: A(20,40) , B(80,40) , C(100, 50) , D(20,130) Paso 5º: Sustituir las coordenadas de esos puntos en la función objetivo y hallar el valor máximo o mínimo. Sustituyendo en f(x,y) = x + y, se tiene: f(20,40) = 60 , f(80,40) = 120 , f(100, 50) = 150 , f(20,130) = 150 Como el valor máximo se obtiene en los puntos C y D, puede optarse por cualquiera de los dos, o por cualquier punto perteneciente al segmento que los une. Así, por ejemplo, se obtendría la MISMA UTILIDAD con 40 bidones de aceite girasol y 110 bidones de aceite de soja; o 90 y 60 respectivamente. Paso 6º: También es conveniente representar las rectas de nivel para comprobar que la solución gráfica coincide con la encontrada. Esta conveniencia se convierte en necesidad cunado la región factible es no acotada. En nuestro caso, puede comprobarse que las rectas de nivel tienen la misma pendiente que la recta límite de la restricción x + y 150 ; por tanto, hay múltiples soluciones. Paso 7º: Por último, como en la resolución de todo problema es necesario veriticar la solución: cerciorarse de que la solución hallada es lógica y correcta. En este ejemplo, no todos los puntos del segmento CD son soluciones válidas, ya que no podemos admitir valores de x e y no enteros , como ocurriría en el punto (90.5,59.5) .Y de acuerdo a las necesidades externas al modelo de PL se puede escoger la mejor (100, 50) o (20,130) o alguna otra aproximando al entero más próximo . Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio. Sean: x= n: de trajes.

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y= n: de vestidos a= precio común del traje y el vestido. Función objetivo: Restricciones:

Zona de soluciones factibles: Vértices: A(0, 40) B intersección de r y s:

C(40, 0) Los valores de la función objetivo son:

El máximo beneficio lo obtendrá fabricando 20 trajes y 30 vestidos. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio. Sean: x= n: de trajes. y= n: de vestidos a= precio común del traje y el vestido. Función objetivo: Restricciones:

Zona de soluciones factibles: Vértices: A(0, 40) B intersección de r y s:

C(40, 0) Los valores de la función objetivo son:

El máximo beneficio lo obtendrá fabricando 20 trajes y 30 vestidos. Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 díasoperario. En la nave B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días-operario, y la nave B de 270

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días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de pesos.y de 3 millones por cada coche. ?Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias? Sea: x= n: de camiones fabricados. y= n: de coches fabricados. La función a maximizar es: f(x, y)=6x+3y La tabla de días-operario para cada nave es: Días-operario (camión)

Días-operario (coche)

Nave A

7

2

Nave B

3

3

Las restricciones:

La zona de soluciones factibles es: Siendo los vértices: A(0, 90) B intersección de r,s:

En los que la función objetivo toma los valores:

Hay que fabricar 24 camiones y 66 coches para un beneficio máximo de 342 millones de pesos. Un taller de herrería produce sortijas sencillas que vende a 450 pesos. y sortijas especiales a 600 pesos. Las máquinas condicionan la producción de modo que no pueden salir al día más de 400 sencillas, 300 especiales ni 500 en total. Suponiendo que es vendida toda la producción: ¿Cuántas de cada clase convendría producir para obtener máxima ganancia? Sean: x= n: de sortijas sencillas producidas. y= n: de sortijas especiales producidas. Función objetivo: Restricciones:

Soluciones factibles: Vértices: A(0, 300) B Intersección de :

C intersección de r,t:

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D(400, 0) Valores de la función:

Hay que producir 200 sencillas y 300 adornadas para un beneficio máximo de 270000 pesos.

Ejemplo:  El Consejo de Administración de una terminal portuaria de cargas ha aprobado el presupuesto para el próximo período fiscal. En el mismo se aprueba la compra de un lote de contenedores para reemplazar los que han quedado obsoletos, facultando al gerente de operaciones la toma de decisión sobre las características de la compra. 

El gerente de operaciones debe determinar la conveniencia de comprar contenedores de 8 o 12 metros de longitud. Para ello deberá tener en cuenta la siguiente información almacenada en los últimos ejercicios del sector: 1. La operación con contenedores de 12m. de longitud se factura a $150.-, y los de 8m. a $120.-. Los costos promedio de operación ascienden a $100.2. La dimensión de la playa de maniobras en el muelle de cargas es de 5850m2. Ha quedado demostrado por estudios de distribución que, en promedio, cada contenedor absorbe una superficie de 45 y 39 m2 para 8 y 12m. de longitud, respectivamente. Esto tiene en cuenta los espacios para maniobra y circulación. 3. Se dispone de 55h. semanales para la carga de los contenedores. Un contenedor grande consume 5 veces más tiempo que uno chico. 4. El tiempo promedio de carga de las bodegas de los buques es de 15h. para el tipo de calado que admite el puerto. Se considera igual tiempo para todo tipo de contenedor. 5. En la elaboración del presupuesto se incluyó un incremento de $3.300.- anuales para mantenimiento de los contenedores a reponer. Dado que los contenedores de 8m. de longitud permiten la instalación de equipos de refrigeración para transporte de mercadería perecedera, su costo de mantenimiento anual es de $300.-, tres veces superior a los de 12m. Definiendo las variables como :  X8: cantidad de contenedores de 8m. de longitud a comprar.  X12: cantidad de contenedores de 12m. de longitud a comprar. El modelo queda configurado de la siguiente manera: Función Objetivo (maximizar los beneficios) = Z = 20 $/cont. X8 + 50 $/cont. X12 sujeta a:



Restricción dada por la disponibilidad de tiempo de carga de los contenedores:

1 h sem/cont. X8+ 5 h sem/cont. X12  55 h semanales 

Restricción dada por la disponibilidad de tiempo promedio de carga de las bodegas:

1 h/cont. X8+ 1 h/cont. X12  15 h 

Restricción dada por el presupuesto anual para el mantenimiento de los contenedores:

300 $ anuales/cont. X8+ 100 $ anuales/cont. X12  3.300 $ anuales.

68



Restricción dada por la capacidad de la playa de maniobras:

45 m2/cont. X8 + 39 m2/cont. X12  5850 m2. 

Restricción de no negatividad de las variables: X8 y X12  0

Solución:

Plan de compra:

•

X12

Comprar 5 unidades de contenedores de 8 metros de longitud

•

Comprar 10 unidades de contenedores de 12 metros de longitud Beneficio máximo: $600.-

(2)

(3)

10 (1)

Zmáx= 600 5

X8

Z= 100

Luego de haber resuelto el problema, y no habiendo aún elevado el pedido de compra, el Gerente de Operaciones recibe los siguientes informes, con lo cual se desea conocer si deberá modificar la decisión adoptada: 1. Variaciones en los precios de mercado y en los costos de operación han determinado que los beneficios resultantes para ambos contenedores asciendan a $30.Modelo matemático Maximizar

Z = 30 . X8 + 30 . X12

s.a: 1. 1 . X8+ 5 . X12  55 2. 1 . X8+ 1 . X12  15 3. 300 . X8+ 100 . X12  3.300 4. 45 . X8 + 39 . X12  5.850 X8 y X12  0

69

Plan de compra: Estamos en presencia de soluciones múltiples.

X12

• Comprar

5 unidades de contenedores de 8 metros de longitud y 10 unidades de contenedores de 12 metros de longitud

• Comprar (2)

6 unidades de contenedores de 8 metros de longitud y 9 unidades de contenedores de 12 metros de longitud

(3)

Beneficio máximo: $450.-

10 (1)

Zmáx= 450 5 2.

X8

Una reciente fluctuación en el mercado asiático podría ocasionar nuevas distorsiones en los beneficios de operación de los contenedores. Pudiendo alcanzar los mismos a $10.- y $20.- respectivamente para los de 8 y 12m. Modelo matemático Maximizar

Z = 10 . X8 + 20 . X12

s.a: 1. 1 . X8+ 5 . X12  55 2. 1 . X8+ 1 . X12  15 3. 300 . X8+ 100 . X12  3.300 4. 45 . X8 + 39 . X12  5.850 5. X8 y X12  0

X1 2

Plan de compra:

• Comprar 5 unidades de contenedores de 8 metros de longitud (2)

(3)

• Comprar 10 unidades de contenedores de 12 metros de longitud Beneficio máximo: $250.-

10 (1)

Zmáx= 250

5

3.

X8

La Gerencia General emite una circular en la cual informa que los fondos no afectados del presupuesto corriente no podrán ser utilizados para el próximo ejercicio. Con lo cual deberá consumir el total de los $3.300.- para mantenimiento. Modelo matemático Maximizar

Z = 10 . X8 + 20 . X12 s.a:

1.

1 . X8+ 5 . X12  55

70

2. 1 . X8+ 1 . X12  15 3. 300 . X8+ 100 . X12 = 3.300 4. 45 . X8 + 39 . X12  5.850 X8 y X12  0

X12

6

9 4.

X8

Recibe los objetivos para el presente año del plan de mejora continua de calidad en el cual se espera llegar al final del período con un tiempo promedio de carga de las bodegas de los buques de 11h. Modelo matemático

Zmáx= 210

Maximizar

Z = 10 . X8 + 20 . X12 s.a: 1. 1 . X8+ 5 . X12  55 2. 1 . X8+ 1 . X12  11 3. 300 . X8+ 100 . X12  3.300 4. 45 . X8 + 39 . X12  5.850 5. 20 . X8 + 25 . X12 ≥ 2.000 X8 y X12  0

X1

Plan de compra:

2

• Comprar ninguna unidad de

contenedores de 8 metros de longitud (2)

(3)

• Comprar 11 unidades de contenedores de 12 metros de longitud Beneficio máximo: $220.(1)

Zmáx= 220 X8 5.

Existiría un proyecto de ley que gravaría con una tasa especial la tenencia de contenedores para financiar los déficits de las cajas de jubilaciones. De aprobarse dicho proyecto, debería pagarse anualmente $20.- por contenedor de 8m. y $25 por contenedor de 12m., no pudiendo se el aporte menor a $2000. Modelo matemático Maximizar

Z = 10 . X8 + 20 . X12

s.a: 1. 1 . X8+ 5 . X12  55 2. 1 . X8+ 1 . X12  11 3. 300 . X8+ 100 . X12  3.300 4. 45 . X8 + 39 . X12  5.850 5. 20 . X8 + 25 . X12 ≥ 2.000 X8 y X12  0

71

(4)

X12 (5)

(3)

Solución NO FACTIBLE (2)

(1)

X8 Encontrar las similitudes y diferencias entre las modificaciones en las condiciones y la solución Ejemplo: La empresa Electromed SA. Produce y vende dos tipos de nebulizadores, a pistón y ultrasónicos. Cada nebulizador a pistón fabricado y vendido le produce un beneficio de $20.- y cada ultrasónico $30.-. Ambos nebulizadores deben ser ensamblados y embalados a través de operaciones diferentes. La capacidad mensual de ensamblado y embalaje y los requerimientos para cada tipo de nebulizador se dan en la siguiente tabla: Producto \ Horas requeridas

Ensamblado

Embalaje

Nebulizador a pistón

3

1

Nebulizador ultrasónico

2

2

Capacidad mensual

2000 h.

1000 h.



Definir las variables

Xp: cantidad de nebulizadores a producir mensualmente del tipo a pistón. Xu: cantidad de nebulizadores a producir mensualmente del tipo ultrasónico. 

Plantear el modelo

F.O. (maximizar) = $/u 20 . Xp + $/u 30 . Xu s.a: Restricción dada por la capacidad de ensamblado 3h/u . Xp + 2h/u . Xu  2000 h/mes Restricción dada por la capacidad de embalaje 1h/u . Xp + 2h/u . Xu  1000 h/mes Restricción de no negatividad de las variables Xp y Xu  0 Maximizar Z = 20.Xp + 30.Xu s.a: 3.Xp + 2.Xu  2000 1.Xp + 2.Xu  1000 Xp y Xu  0

72

o

Resolución gráfica Xp Plan de producción (mensual):

•500 unidades de nebulizadores a pistón •250 unidades de nebulizadores ultrasónicos

Xp+2Xu=1000

Beneficio máximo (mensual): $17.500.-

500

Máxima Z = 20Xp+30Xu= 17500 3Xp+2Xu=200 0 250 Z = 20Xp+30Xu=6000 Xu

VARIABLES DE HOLGURA Observemos que de las horas de ensamblado primera ecuación hemos agotado todo el recurso de igual manera las horas de embalaje segunda ecuación .Los recursos de las ecuaciones que definen el vértice solución se agotan. Si hubiese otros recursos estarían sobando, en el algoritmo ssimplex se introducen para ese fin unas variables llamadas variables de holgura. Veamos un ejemplo : En una fábrica se hacen dos modelos distintos de un producto p1 y p2 usando cantidades prefijadas de materia prima, mano de obra y maquinas. La información correspondiente se conoce mediante la siguiente tabla: Insumo p1 p2 Disponibilidad Materia prima 1Kg/unid 2Kg/unid 500Kg Mano de obra 1H/unid 4h /unid 800 hs Maquina 2h /unid 1h/unid 300hs Beneficio 3 5 a) Modelo matemático Z=3X1+5X2 (MAX) s.a. X1+2X2