Taller 02 de Electromagnetismo del Segundo Semestre del 2016
Ejemplo1.31 Capacitor de placas paralelas Un capacitor de placas paralelas tiene un área A = 2.00x10-4 m2 y una separación de placa d = 1.00 m. Encontrar su capacitancia. Solución
1
Figura 1.36 (a) El capacitor cilíndrico se compone de un conductor cilíndrico de radio a y longitud rodeado por un cascarón cilíndrico coaxial de radio b (b) Vista lateral de un capacitor cilíndrico. La línea de la superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud .
Razonamiento y solución Si suponemos que es grande comparada con a y b, podemos ignorar los efectos de borde. En este caso, el campo es perpendicular a los ejes de los cilíndricos y está confinado a la región entre ellos (figura 1.36b). Debemos calcular primero la diferencia de potencial entre los dos cilíndricos, la cual está en general por b Vb Va E ds a
Figura 1.35 Una capacitor de placas paralelas se compone de dos placas paralelas cada una de área A, separadas por una distancia d. Cuando se carga el capacitor, las cargas tienen cargas iguales de signo opuesto.
De la ecuación C
0A d
, encontramos
2 12 C C 8.85 x10 N .m 2
2.00 x10 4 m 2 3 1.00 x10 m
C 1.77 x10 12 F 1.77 pF
donde E
es el campo eléctrico en la región a r b . Se demostró en ejemplo 1.18, utilizando la ley Gauss, que el campo eléctrico de un cilindro de carga por unida de longitud λ es E = 2keλ/r. El mismo resultado se aplica aquí debido a que el cilindro exterior no contribuye al campo eléctrico dentro de él. Con este resultado y notando que E está a lo largo de r en la figura 1.36b, encontramos que b
a
a
dr r
b Vb Va 2k e ln a
Ejemplo1.32 Capacitor cilíndrico Un capacitor cilíndrico de radio a y carga Q coaxial con un cascarón cilíndrico más grande de radio b y carga –Q (ver figura 1.36a). Encuentre la capacitancia de este capacitor cilíndrico si su longitud es .
b
Vb Va Er dr 2k e
Al sustituir en la ecuación que define capacitancia de un capacitor C ≡ Q/ΔV utilizando el hecho de que λ = Q/ , obtenemos
C
la y
Q Q 2k e Q b V b ln 2k e ln a a
donde │ΔV│ es la magnitud de la diferencia de potencial, dada por 2keλln(b/a), una cantidad positiva. Es decir, ΔV = Va – Vb es positiva debido a que el cilindro interior está a un potencial mayor. Nuestro resultado para C tiene sentido debido a que muestra que la capacitancia es proporcional a la longitud de los cilindros. Como podría
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esperarse, la capacitancia depende también de los radios de los dos cilindros conductores. Un cable coaxial, ejemplo, se compone de dos conductores cilíndricos concéntricos de radios a y b separados por un aislador. El cable conduce corrientes en direcciones opuesta en los conductores interior y exterior. Dicha geometría es en especial útil para proteger una señal eléctrica de influencias externas. De acuerdo con la ecuación anterior vemos que la capacitancia por unidad de longitud de un cable coaxial es
C
E 2 r E
2
0
2 ke 2 0r r
1 b 2k e ln a
Nota: a continuación se presenta el ejemplo 1.18 Ejemplo 1.18 Una distribución de una carga simétrica cilíndricamente Encuentre el campo eléctrico a una distancia r de una línea de carga positiva y uniforme de longitud infinita cuya carga por unidad de longitud es λ uniforme (ver figura 1.22) Razonamiento La simetría de la distribución de carga muestra que E debe ser perpendicular a la línea de carga y apuntar hacia afuera, como en la figura 1.22a. La vista del extremo de la línea de carga mostrada en la figura 1.22b ayuda a visualizar las direcciones de las líneas de campo eléctrico. En este caso elegimos una superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud que es coaxial con la línea de carga. Para la parte curva de esta superficie, E es constante en magnitud y perpendicular a la superficie en cada punto. Además, el flujo a través de los extremos del cilindro gaussiano es cero debido a que E es paralelo a estas superficies. Solución La carga total dentro de nuestra superficie gaussiana es λ . Al aplicar la ley de Gauss y advertir que E es paralelo a dA en todos los puntos sobre la superficie curva del cilindro, encontramos que
q e E dA E dA in
0
0
Pero el área de la superficie es A 2 r , por tanto,
Figura 1.22 (a) Una línea de carga infinita rodeada por una superficie gaussiana cilíndrica concéntrica con la línea de carga. (b) Una vista de extremo muestra que el campo sobre la superficie cilíndrica es constante en magnitud y perpendicular a la superficie.
Si la línea de carga tiene una longitud finita, el resultado para E no es el dado por la ecuación
E 2ke
r
.
Para puntos cercanos a la línea de carga y alejados de los extremos, la ecuación anterior proporciona una buena aproximación del valor del campo. Esto se traduce en que la ley de Gauss no es útil para calcular E en el caso se una línea de carga finita. Esto se debe a que la magnitud del
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campo eléctrico ya no es constante sobre la superficie del cilindro gaussiano. Además, E no es perpendicular a la superficie cilíndrica en todos los puntos. Cuando hay poca simetría la distribución de carga, como se este caso, es necesario calcular E utilizando la ley de Coulomb.
3
Sustituyendo esto en la ecuación C ≡ Q/ΔV, obtenemos
C
Q ab V k e (b a)
Nota: a continuación se presenta el ejemplo 1.16 Ejemplo1.33 esférico Un capacitor esférico de un cascarón conductor esférico de radio b y carga –Q concéntrico con una esfera conductora más pequeña de radio a y carga Q (Figura 1.37). Encuentre su capacitancia.
Ejemplo 1.16 Una distribución de carga simétrica esféricamente Una esfera aislante de radio a tiene una densidad de carga uniforme ρ y una carga positiva Q (figura 1.19), a) Calcule la magnitud del campo eléctrico en un punto fuera de esfera b) Encuentre la magnitud del campo eléctrico en un punto dentro de la esfera. Solución Puesto que la distribución de carga es simétrica esféricamente, seleccionamos también es este caso una superficie gaussiana esférica de radio r, concéntrica con esfera, como en la figura 1.18a. Siguiendo la línea de razonamiento dada en el ejemplo 1.15, encontramos que
Figura 1.37 Un capacitor esférico consta de una esfera interior de radio a rodeada por un cascarón esférico de radio b. El campo eléctrico entre las esferas apunta radialmente hacia afuera si la esfera interior está cargada positivamente.
Razonamiento y solución Como demostramos en el ejemplo 1.16 el campo eléctrico fuera de una distribución de carga simetría esféricamente es radial y está dado por keQ/r2. En este caso corresponde al campo entre las esferas (a < r < b). (El campo es cero en cualquier otro lado). De la ley de Gauss vemos que sólo la esfera interior contribuye a este campo. De este modo, la diferencia de potencial entre las esferas está dada por b
b
a
a
Vb Va E r dr k e Q
Q r2
(para r a)
Observe que este resultado es idéntico al obtenido para una carga puntual. Por tanto, concluimos que, para una esfera cargada uniformemente, el campo en la región externa a la esfera es equivalente al de una carga puntual localizada en el centro de la esfera.
b
dr 1 k Q e r r2 a
1 1 Vb Va ke Q b a La magnitud de la diferencia de potencial es
V Vb Va k e Q
E ke
(b a) ab
Figura 1.19 una esfera aislante cargada uniformemente de radio a y una carga total Q. a) El 2 campo en un punto exterior a al esfera es k eQ/r . b) el campo dentro de la esfera se debe sólo a la carga dentro de la superficie gaussiana y está dado por 3 (keQ/a )r
b) Encuentre la magnitud del campo eléctrico en un punto dentro de la esfera.
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Razonamiento y solución En este caso elegimos una superficie gaussiana con radio r < a, concéntrica con la distribución de carga (ver figura 1.19b). Expresamos el volumen de esta esfera más pequeña mediante V . Para aplicar la ley de Gauss en esta situación es importante observar que la carga qin dentro de la superficie gaussiana de volumen V es una cantidad menor que la carga total Q. Para calcular la carga qin, si usa el hecho de que qin V ,
donde es la carga por unidad de volumen y V es el volumen encerrado por la superficie gaussiana, dado por V 4 r 3 para una esfera. 3 Por tanto.
4 qin V r 3 3
Pregunta rápida 2.1
Como en el ejemplo 1.15, la magnitud del campo eléctrico es constante en cualquier punto de la superficie gaussiana esférica y es normal a la superficie en cada punto. Por consiguiente, la ley de Gauss en la región r < a se tiene
q EdA E dA E 4r 2
in
4 / 3r 3 E r 2 2 3 0 4 0 r 4 0 r qin
Q 4 / 3 0 a 3
, esto
puede expresarse de la siguiente manera
E
Q 4 0 a
3
r
¿Por qué es peligroso tocar los extremos de un condensador de alto voltaje, incluso después de desconectado de la fuente utilizada para cargar el condensador? ¿Qué puede hacerse para que sea seguro manipular el condensador después de desconectar la fuente de voltaje? Respuesta y explicación
0
Al despejar E se obtiene
Puesto que por definición
Figura 1.20 Una gráfica de E contra r para una esfera aislante cargada uniformemente: El campo dentro de la esfera (r < a) varía linealmente con r. El campo fuera de la esfera (r >a) es el mismo que el de una carga puntual Q localizada en el origen.
keQ r a3
Advierta que este resultado para E difiere del obtenido en el inciso a). Éste muestra que E→0 mediante r →0, como tal vez usted pudo haber pronosticado de acuerdo con la simetría esférica de la distribución de carga. En consecuencia, el resultado elimina la singularidad que existiría en r = 0 si E varía como 1/r2 dentro de la esfera. Es decir, si E 1 / r 2 , el campo sería infinito en r = 0, lo cual es, sin duda, una situación imposible físicamente. Una grafica de E contra r se muestra en la figura 1.20
El condensador a menudo permanece cargado mucho tiempo después de que la fuente de voltaje se desconecta. Esta carga residual puede ser mortal. El condensador puede manipularse de manera segura después de descargar las placas cortocircuitando el dispositivo con un conductor, como ejemplo un destornillador con mango aislante. Pregunta rápida 2.2 Suponga que tiene tres condensadores y una batería. ¿Cómo debe conectar los condensadores y la batería de modo que los condensadores almacenen la mayor cantidad de carga posible? Respuesta y explicación La energía almacenada en un condensador es proporcional a la capacitancia y al cuadrado de la diferencia de potencial. Por tanto, deberíamos buscar una capacitancia equivalente máxima; la diferencia de potencial es la de la batería, de modo que no tenemos control sobre ella. Podemos conseguir una capacitancia equivalente
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máxima si conectamos tres condensadores en paralelo, de que las capacitancias se sumen. Situación problémica 2.1 Se carga un condensador y a continuación se retira de la batería. El condensador consiste en conjunto de grandes placas móviles con aire entre ellas. Se retiran las placas de modo que la distancia entre ellas sea lago mayor. ¿Qué ocurre con la carga del condensador? ¿Y con la diferencia de potencial? ¿Y con la energía almacenada en el condensador? ¿Y con la capacitancia? ¿Y con el campo eléctrico existente entre las placas? ¿Se realiza trabajo al alejar las placas? Razonamiento Dado que se retira el condensador de la batería, la carga de las placas no tiene adónde ir. Por tanto, la carga del condensador permanece constante cuando se alejan las placas. Puesto que el campo eléctrico asociado a placas de gran tamaño no depende de la distancia para los campos uniformes, el campo eléctrico permanece constante. Dado que el campo eléctrico es una medida del cambio de potencial con la distancia, la diferencia de potencial entre las placas aumenta cuando aumenta la separación entre placas. Ya que se almacena la misma carga pero el potencial es mayor, la capacitancia disminuye. Puesto que la energía almacenada en el condensador aumenta. Dicha energía debe ser tansferida al sistema desde alguna parte; las placas se atraen entre sí, de modo que se realiza trabajo al alejar las placas. Pregunta rápida 2.3 El localizador eléctrico de columna de madera utilizada por los carpinteros sirve para localizar columnas de madera en algunos tipos de pared. Consta de un condensador de placas paralelas, con las placas muy cerca una de otra, como se muestra en la figura 2.1. ¿Aumenta o disminuye la capacitancia cuando el dispositivo se mueve sobre una columna de madera?
Figura 2.1 Localizador de columnas eléctrico. (a) Los materiales entre las placas del condensador son el panel de la pared y el aire. (b) Cuando el condensador se mueve sobre una columna de madera colocada en el interior de la pared, los materiales entre las placas son el panel de la pared y la columna de madera. La variación en la constante dieléctrica hace que brille una señal luminosa.
Respuesta y explicación Aumenta. Las líneas de campo eléctrico penetran en la pared. La constante dieléctrica de madera (y cualquier otro material aislante) es mayor que 1; por tanto, la capacitancia aumenta (C = kC0). Este aumento se detecta mediante un circuito especial que hace se encienda la luz. Pregunta rápida 2.4 Un condensador de placas paralelas completamente cargado se mantiene conectado a la batería mientras se introduce un dieléctrico entre placas. ¿Aumentan, disminuye, o permanecen constantes las siguientes cantidades: (a) C; (b) Q; (c) E entre las placas; (d) ΔV; (e) la energía almacenada en el condensador? Respuesta y explicación
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(a) C aumenta (C = kC0). (b) Q aumenta. Puesto que la batería mantiene una diferencia de potencial constante ΔV, Q debe aumentar si C (=Q/ΔV) aumenta. (c) E entre las placas permanece constante, puesto que ΔV = Ed, y tanto ΔV como d permanecen constantes. El campo eléctrico generado por la carga de las placas aumenta, porque hay más carga entre ellas. Las cargas inducidas en la superficie del dieléctrico crean un campo que se opone al aumento del campo debido a la mayor carga de las placas. (d) La batería mantiene una ΔV constante. (e) la energía almacenada en el condensador aumenta [U = ½C(ΔV)2]. Necesita empujar el dieléctrico hacia el interior del condensador, igual que necesitaría realizar un trabajo positivo para elevar una masa y aumentar su energía potencial gravitacional. Situación problémica 2.2 Considere un condensador de placas con un material dieléctrico entre las placas. ¿Es la capacitancia mayor en un día frío o un día cálido? Razonamiento La polarización de las en el dieléctrico hace que aumente la capacitancia cuando se introduce el dieléctrico. Si la temperatura aumenta, las moléculas polarizadas tienen un movimiento de vibración mayor. Este movimiento perturba la estructura ordenadas de las moléculas polarizadas, de modo que la polarización neta disminuye. Por tanto, cuando la temperatura aumenta, la capacitancia disminuye. Ejemplo 2.1 Capacitancia equivalente Encuentre la capacitancia equivalente entre a y b para la combinación de capacitares que se muestra en la figura 2.2a. Todas las capacitancias están en microfaradios
el
empleo
de
las
ecuaciones
C eq C1 C 2 C3 . . . C n (combinación en 1 1 1 1 1 .. . Ceq C1 C2 C3 Cn (combinación en serie), reducimos la combinación paso a paso, como se indica en la figura 2.2. paralelo)
Los capacitares de 1.0 μF y 3.0 μF están en paralelo y se combinan de acuerdo con Ceq C1 C2 . Su capacitancia equivalente es 4.0 μF. De igual modo, los capacitores de 2.0 μF y 6.0 μF están también en paralelo y tienen una capacitancia equivalente de 8.0 μF. La rama superior en la figura 2.2b consta ahora de dos capacitores de 4.0 μF en serie, los cuales se combinan de acuerdo con
1 1 1 1 1 1 C eq C1 C 2 4.0 F 4.0 F 2.0 F
C eq 2.0 F
Solución Con
Figura 2.2 Para encontrar la capacitancia equivalente de la combinación de los capacitares en a), las diversas combinaciones se reducen en pasos como se indica en b), c) y d), utilizando las reglas relativas a las combinaciones en serie y en paralelo descritas en las clases
y
De igual manera, la rama inferior en la figura 2.2b se compone de dos capacitores de 8.0 μF en serie, la cual produce un equivalente 4.0 μF. Por último, los capacitores de 2.0 μF y 4.0 μF en la figura 2.2c están en paralelo y tienen una capacitancia equivalente de 6.0 μF. Por tanto, la capacitancia equivalente del circuito es 6.0 μF, como se muestra en la figura 2.2d
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Ejemplo 2.2 Recolectado de dos capacitores cargados
Antes de cerrar los interruptores, la energía total almacenada en el capacitor es
Dos capacitores C1 y C2 (donde C1 > C2) están cargados a la misma diferencia de potencial V0 pero con polaridad opuesta. Los capacitores cargados se separan de la batería y sus placas se conectan como se indican en la figura 2.3a. Los interruptores S1 y S2 se cierran después, como en la figura 2.3b (a) Determine la diferencia de potencial final entre a y b después de que se cierran los interruptores.
U i 12 C1 V0 12 C 2 V0 2
2
1 2
C1 C 2 (V0 ) 2
Después de que los interruptores se cierran y los capacitores alcanzan una carga de equilibrio, la energía total almacenada en ellos es
U f 12 C1 V 12 C 2 V 2
2
1 2
C1 C 2 (V ) 2
2
2
C C C C U f C1 C2 1 2 (V0 ) 2 1 2 U i C1 C2 C1 C2 1 2
Por tanto, la proporción almacenada final e inicial es
C C2 1 U i C1 C 2
Uf
Figura 2.3 Ejemplo 2.2
Solución (a) Las cargas en las placas de la izquierda de los capacitores antes de que los interruptores se cierren son Q1 C1 V0 y Q2 C 2 V0 El signo negativo de Q2 es necesario porque la polaridad de este capacitor es opuesta a la del capacitor C1. Después de cerrar los interruptores, las cargas sobre las placas se redistribuyen hasta que las cargas total Q compartida por los capacitores es
Q Q1 Q2 C1 C 2 V0 Los dos capacitores están ahora en paralelo, por lo cual la diferencia de potencial final en cada en cada uno es la misma:
C C2 Q V 1 C1 C 2 C1 C 2
V0
(b) Determine la energía total almacenada en los capacitores antes y después de cerrar los interruptores. Solución
entre
la
energía
2
Esto muestra que la energía final es menor que la energía inicial. En principio, se podría pensar que la conservación de la energía se ha violado, pero éste no es el caso. Parte de la energía faltante aparece como energía térmica en los alambres de conexión, y parte se radica en forma de ondas electromagnéticas.
Ejemplo 2.3 Un capacitor relleno de papel Las placas de un capacitor de placas paralelas miden 2.0 cm x 3.0 cm y están separadas por un espesor de papel de 1.0 mm a) Determine la capacitancia de este dispositivo. Solución Puesto que k = 3.7 para el papel, obtenemos
Ck
0 A
C2 3.7 8.85 x10 12 d N .m 2
6.0 x10 4 m 2 3 1.0 x10 m
C 20 x10 12 F 20 pF b) ¿Cuál es la carga máxima que puede brindarse al capacitor? Solución La resistencia dieléctrica del papel es 16x106 V/m. Puesto que el espesor del papel es 1.0 mm, máximo voltaje que puede aplicarse antes de la ruptura dieléctrica es
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Vmáx E máx d 16 x10 6 V/m 1.0 x10 3 m
capacitor permanece igual. Por consiguiente, la energía almacenada en presencia del dieléctrico es
Vmáx 16 x10 3 V
U
Por tanto, la carga máxima es
Qmáx C Vmáx 20 x10 12 F 16 x10 3 V 0.32 C
Solución La energía almacenada en el capacitor en ausencia del dieléctrico es
U 0 12 C 0 V0 Puesto que ΔV0 expresarse como
U
U0 k
Puesto que k > 1, vemos que la energía final es menor que la energía inicial en factor 1/k. Esta energía faltante puede explicarse observando que cuando se inserta el dieléctrico dentro del capacitor, éste es atraído hacia interior del dispositivo. Un agente externo debe efectuar trabajo negativo para evitar que la placa acelere. Este trabajo es simplemente la diferencia U – U0. (Alternativamente, el trabajo positivo hecho por el sistema sobre el agente externo es U0 – U) Ejemplo 2.5 La molécula de H2O
2
= Q0/C0,
U0
Q02 2C
Pero la capacitancia en presencia del dieléctrico es C = kC0, por tanto U se convierte en
Ejemplo 2.4 Energía almacenada antes y después Un capacitor de placas paralelas se carga con una batería hasta una carga Q0, como la figura 2.4a. Después se separa la batería y una placa de material que tiene una constante dieléctrica k se inserta entre placas como se muestra figura 2.4b. Encuentre la energía almacenada en el capacitor antes y después de insertar el dieléctrico.
8
como puede
Q02 2C 0
La molécula de H2O tiene un momento de dipolo de 6.3x10-30 C.m (ver figura 2.5). Una muestra contiene 1x1021 moléculas de este tipo, cuyos momentos de dipolo están orientados en su totalidad en la dirección de un campo eléctrico de 2,5x105 N/C. ¿Cuánto trabajo se requiere para girar los dipolos a partir de esta orientación (θ = 0°) hasta una en la cual todos los momentos son perpendiculares al campo (θ = 90°)?
Figura 2.5 La molécula de agua, H2O, tiene una polarización permanente resultado de su geometría curvada. El centro de carga positiva está en el punto x
Solución Figura 2.4 Ejemplo 2.4
Después de que se quita la batería y se inserta el dieléctrico entre las placas, la carga en el
El trabajo necesario para girar una molécula en 90° es igual a la diferencia de energía potencial entre la orientación de 90° y la orientación de 0°. Con la ecuación U = -pEcosθ se obtiene
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W U 90 U 0 ( pE cos 90 0 ) ( pE cos 0)
W pE 6.3x10 30 C.m 2.5x10 5 N/C W 1.6 x10 24 J
Puesto que hay 1x1021 moléculas en la muestra, el trabajo total requerido es
Wtotal (1x10 21 )(1.6 x10 24 J) 1.6x10 -3 J Ejemplo 2.6 Un capacitor parcialmente lleno Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia C0 en ausencia de un dieléctrico. Una placa de material dieléctrico de constante dieléctrica k y espesor ⅓d se inserta dentro de las placas (Figura 2.6). ¿Cuál es la nueva capacitancia cuando está presente el dieléctrico? Rozamiento Este capacitor es equivalente a dos capacitores de placas paralelas de la misma área A conectados en serie, uno con una separación de placa d/3 (lleno de dieléctrico) y la otra con una separación de placas de 2d/3 y aire entre las placas (figura 2.6b). (Esta descomposición en dos etapas es permisible debido a que no hay diferencia de potencial entre la placa inferior de C1 y placa superior C2). De acuerdo con las ecuaciones Ck
C
0 A , las dos capacitancias son: d
k A C1 0 d /3
C2
0 A 2d / 3
0 A d
y
Figura 2.6 (a) Un capacitor de placas paralelas de separación de placas d lleno parcialmente con un dieléctrico de espesor d/3. (b) El circuito equivalente del capacitor se compone de dos capacitores conectados en serie.
Solución La capacitancia para los dos combinados en serie, se obtiene
capacitores
1 1 1 d / 3 2d / 3 C C1 C2 k 0 A 0 A 1 d 1 d 1 2k 2 C 3 0 A k 3 0 A k
3k 0 A C 2k 1 d Puesto que la capacitancia sin el dieléctrico es C0 =ε0A/d, vemos que
3k C C0 2k 1
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C
Ejemplo 2.7 Efecto de placa metálica Un capacitor de placas paralelas tiene una separación de placa d y un área de placa A. Una placa metálica descargada de espesor a se inserta en la placa en la parte media entre las dos placas, como se indica en la figura 2.7. Determine la capacitancia del dispositivo. Razonamiento Este problema puede resolverse al observar que cualquier carga que aparezca sobre una placa del capacitor debe inducir una carga igual y opuesta sobre la placa metálica, como en la figura 2.7a. En consecuencia, la carga neta sobre la placa metálica permanece igual a cero, y el campo dentro de la placa es cero. Por tanto, el capacitor es equivalente a dos capacitores en serie, cada uno con una separación de placa (d – a)/2, como en la figura 2.7b
10
0 A d a
Pregunta rápida 2.5 Considere unas series positivas y negativas que se mueven en sentido horizontal a través de las cuatro regiones mostradas en la figura 2.8. Clasifique las corrientes de estas cuatro regiones de menor a mayor.
Figura 2.8 Pregunta rápida 2.5
Respuesta y explicación d, b = c, a. La corriente en (d) es equivalente a dos cargas positivas moviéndose hacia izquierda. Los incisos (b) y (c) representan cuatro cargas moviéndose en la misma dirección, ya que las cargas negativas que se mueven hacia la izquierda son equivalentes a las cargas positivas que se mueven hacia la derecha. La corriente en (a) es equivalente a cinco cargas positivas moviéndose hacia la derecha. Situación problémica 2.3
Figura 2.7 (a) Un capacitor de placas paralelas de separación de placas d lleno parcialmente con una placa metálica de espesor a. (b) El circuito equivalente del dispositivo (a) consta de dos capacitores en serie, cada uno con una separación de placa (d – a) /2.
Solución Al usar la regla para sumar dos capacitores en serie obtenemos
1 1 1 C C1 C2
1 1 0 A 0 A (d a) / 2 (d a) / 2
Supongamos un hilo conductor por el que fluye una corriente y que tiene una cierta sección transversal que gradualmente se hace más estrecha a lo largo del cable, de modo que éste tiene la forma de un cono muy largo. ¿Cómo varía la rapidez de arrastre de los electrones a lo largo del cable? Razonamiento Cada porción del hilo transporta la misma cantidad de corriente (si no fuera así, se estaría creando o eliminando carga en algún lugar a lo largo del hilo). Por tanto, para que la ecuación se satisfaga, cuando la sección del hilo disminuya, la velocidad de arrastre debe aumentar para mantener una corriente constante. Este aumento de la rapidez de arrastre es el resultado de que las líneas de campo eléctrico en el cable tienen que distribuirse en un área menor, por lo que la magnitud del campo aumenta y, como consecuencia, aumenta la fuerza eléctrica ejercida sobre electrones. Pregunta rápida 2.6
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En la figura 2.9b, la resistencia del diodo (a) ¿aumenta o (b) disminuye cuando la diferencia de potencial positiva ΔV aumenta?
11
Los dispositivos eléctricos domésticos están diseñados para funcionar a partir de una diferencia de potencial de 120 voltios o 220 voltios. Partiendo de una de estas diferencias de potencial, la corriente en el dispositivo se puede calcular basándose en la resistencia del mismo. Una batería se puede utilizar para operar muchos dispositivos, con diferentes resistencias. Como consecuencia, la corriente en la batería variará dependiendo del dispositivo que esté operando. Pregunta rápida 2.7 En los artículos de los periódicos a menudo aparecen afirmaciones como “10 000 voltios de electricidad recorrieron el cuerpo de la victima”. ¿Qué es erróneo en esta afirmación? Respuesta y explicación
Figura 2.9 (a) Curva corriente-voltaje de un dispositivo óhmico. La curva es lineal y la pendiente (slope) proporciona la resistencia del conductor. (b) Curva corriente-voltaje no lineal para un diodo semiconductor. Este dispositivo no obedece a la ley de Ohm.
Respuesta y explicación (b) De acuerdo con la ecuación R
V , la I
resistencia es el cociente entre la diferencia de potencial en un dispositivo y la corriente que lo atraviesa. En la figura 2.9b, una línea dibujada desde el origen hasta un punto situado sobre la curva tendrá una pendiente igual a I / V , que es el inverso de la resistencia. Cuando ΔV aumenta, la pendiente de esta línea también aumenta, por lo que la resistencia disminuye. Pregunta rápida 2.7 Los dispositivos eléctricos domésticos a menudo se especifican mediante un voltaje y una corriente nominales, como por ejemplo 220 V, 5 A. Sin embargo, las baterías sólo se especifican mediante su voltaje nominal, por ejemplo 1,5 V. ¿Por qué en una batería no se indica corriente? Respuesta y explicación
Un voltaje no es algo que “recorra” un circuito. Un voltaje es una diferencia de potencial que se aplica entre los terminales de un dispositivo o circuito. Lo que atraviesa un dispositivo es el campo eléctrico, que hace que la carga fluya por el mismo, dando origen a una corriente. Por tanto, sería más correcto decir “1 coulmb de carga eléctrica recorrió el cuerpo de la victima por segundo”. Aunque esta corriente sería desastrosa para el cuerpo humano, un valor 1 amperio no suena tan excitante en artículo periodístico como un valor de 10 000 voltios. Otra posibilidad sería escribir: “10 000 voltios de diferencia de potencial fueron aplicados al cuerpo de la victima”, lo que no es aún muy impactante. Pregunta rápida 2.8 Unos alienígenas con extraños poderes visitan la Tierra y duplican las dimensiones lineales de todos los objetos que hay sobre la superficie del planeta. ¿El alambre que va desde el enchufe de la pared a la lámpara del techo tendrá ahora (a) más resistencia que antes, (b) menos resistencia o (c) la misma resistencia? ¿El filamento del foco (d) brillará más que antes, (e) brillará menos o (f) brillará igual? (Suponga que las resistividades de los materiales permanecen constantes antes y después de la duplicación) Respuesta y explicación (b), (d). La longitud del cable de línea se duplica en esta situación. Esto tendería a incrementar la resistencia del cable. Pero duplicar el radio de dicho cable dará lugar a un aumento del área transversal, que se incrementará en un factor de
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cuatro. Esto reduciría la resistencia más de lo que lo haría el duplicar su longitud. El resultado neto es un decrecimiento de la resistencia. El mismo efecto tendría lugar en el filamento de foco. Cuanto menos sea la resistencia, mayor será la corriente en el filamento, lo que causará un mayor brillo. Pregunta rápida 2.9 Para los dos focos mostrados en la figura 210, clasificar de mayor a menos las corrientes en los puntos a – f.
12
Situación problémica 2.4 Los dos focos A y B están conectados a la misma diferencia de potencial, como se muestra figura 2.10. También se muestra la potencia eléctrica suministrada a los focos. ¿Qué foco presenta la potencia mayor potencia? ¿Cuál de ellos transporta la mayor corriente? Razonamiento Dado que el voltaje en cada uno de los focos es la misma y que el ritmo de suministro de energía a una resistencia es P = (ΔV)2/R, el foco con la resistencia más pequeña presenta el mayor ritmo de transferencia de energía. En este caso, la resistencia de A es mayor que la de B. Además, dado que P = I(ΔV), vemos que la corriente en el foco B es mayor que la corriente en A. Situación problémica 2.5 ¿Cuánto es mayor el ritmo de suministro de energía a un foco, justo después de encenderlo, cuando el brillo del filamento comienza a aumentar, o después de que lleva encendido unos pocos segundos y el brillo ha alcanzado su valor permanente? Razonamiento
Figura 2.10 Pregunta problémica 2.4
rápida
2.9
y
situación
Respuesta y explicación Ia = Ib > Ic = Id > Ie = If. Las cargas que dan lugar a la corriente Ia salen de la terminal positiva de la batería y luego se dividen para fluir a través de los dos focos; por tanto, Ia = Ic + Ie. Dado que la diferencia de potencial ΔV es la misma en los dos focos y puesto que la potencia suministrada a un dispositivo es P = I(ΔV), el foco de 60 W, con mayor potencial nominal, debe transportar una mayor corriente. Dado que la carga no se acumula en los focos, sabemos que toda la carga que entra en el foco por la izquierda debe salir por la derecha; en consecuencia, Ic = Id y Ie = If. Las dos corrientes que salen de los focos se combinan de nuevo para formar la corriente que vuelve a la batería, If + Id = Ib.
Cuando se cierra el interruptor, aparece una diferencia de potencial a través del foco. La resistencia es baja en un filamento frío. Por tanto, la corriente es alta y se suministra una cantidad de energía relativamente grande al foco por unidad de tiempo. Cuando el filamento se calienta, su resistencia aumenta y la corriente disminuye. Como resultado, el ritmo al que se suministra energía al foco disminuye. La razón por la que los focos fallan a menudo justo en el momento de encenderlos es por el pico de corriente que tiene lugar al principio del proceso. Ejemplo 2.8 Velocidad de arrastre en un alambre de cobre Un alambre de cobre de 3.00x10-6 m2 de área de sección transversal conduce una corriente de 10.0 A. Determine la velocidad de arrastre de los electrones en este alambre. La densidad del cobre es 8.95 g/cm3. Solución A partir de la tabla periódica de los elementos, encontramos que la masa atómica del cobre es
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63.5 g/mol. Recuerde que una masa atómica se cualquier sustancia contiene un número de Avogadro de átomos, 6.02x1023 átomos. Conocer la densidad del cobre nos permite calcular el volumen ocupado por 63.5 g de cobre.
V
m
63.5 g 7.09 cm3 3 8.95 g/cm
6.02x10 23 electrones n 7.09 cm 3 8.48 X 1022 electrones /cm 3
6
3
3
n 8.48x10 28 electrones/m 3 De la ecuación I
Calcule la resistencia de un cilindro de aluminio que mide 10.0 cm de largo y tiene un área de sección transversal de 2.00x10-4 m2. Repita el cálculo para un cilindro de vidrio de 3.0x1010 Ω.m de resistividad. Solución
n 8.48 x10 electrones/cm 1x10 cm / m 3
trataremos con conductores que producen corriente, una situación no electrostática. La corriente se origina debido a una diferencia de potencial aplicada entre los extremos del conductor, lo que produce un campo eléctrico interno. Así que no hay paradoja. Ejemplo conceptual 2.10 La resistencia de un conductor
Si suponemos después de esto que cada átomo de cobre aporta un electrón libre al cuerpo del material, tenemos
22
Q nqvd A , encontramos t
y como la A resistividad del aluminio a 20°C es igual a 2.82x10-8 Ω.m, entonces se calcula la resistencia del cilindro de aluminio:
Aplicando la ecuación
R
que la velocidad de arrastre es
8.48x10
28
m
3
0.10 m (2.82 x108 Ω.m) -4 2 A 2.00x10 m
De amanera similar, para el vidrio encontramos
10.0 C/s 1.6 x1019 C 3.00 x10 6 m2
R
R 1.41x10 3
I vd nqA
vd
13
R
0.10 m (3.00 x1010 Ω.m) -4 2 A 2.00x10 m
vd 2.46 x104 m/s
Ejemplo conceptual 2.9 ¿Hay paradoja? Hemos visto que un campo eléctrico debe existir en el interior de un conductor que conduce corriente. ¿Cómo es esto posible en vista del hecho de que en electrostática concluimos que el campo eléctrico es cero dentro de un conductor? Razonamiento En el caso electrostático donde las cargas están estacionarias, el campo eléctrico interno debe ser cero debido a que un campo diferente de cero produciría una corriente (interactuar con los electrones libres en el conductor), lo cual violaría la condición de equilibrio estático. En este caso
R 1.5x1013 Como usted esperaría, el aluminio tiene una resistencia mucho menor que el vidrio. Ésta es la razón por la que el aluminio se considera un buen conductor y vidrio un pobre conductor. Ejemplo conceptual 2.11 La resistencia de un alambre de nicromio (a) Calcule la resistencia por unidad de longitud de un alambre de nicromio de calibre 22, que tiene un radio de 0.321 mm. Solución El área transversal de este alambre es
A r 2 0.321x103 m 3.24 x107 m2 2
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14
La resistividad del nicromio es 1.5x10-6 Ω.m. De este modo, podemos usar la ecuación R A para encontrar la resistencia por unidad de longitud.
R 1.5 x106 .m 4.5 /m A 3.24x10 -7 m2 b) Si se mantiene una diferencia de potencial de 10 V a través de un alambre de nicromio de 1.0 m de largo, ¿cuál es la corriente en el alambre? Solución Puesto que una longitud de 1.0 m de este alambre tiene una resistencia de 4.6 Ω, la ley de Ohm produce
I
V 10 V 2.2 A R 4.8 Ω
La resistividad del alambre de nicromio (1.5x10-6 Ω.m) es casi 100 veces la del cobre (1.7x10-8 Ω.m). Por tanto, un alambre de cobre del mismo radio tendría una resistencia por unidad de longitud de sólo 0.042 Ω/m. Un alambre de cobre de 1.0 m de largo del mismo radio conduciría la misma corriente (2.2 A) con un diferencia de potencial de sólo 0.11 V. Debido a esta elevada resistividad y su resistencia a la oxidación el nicromio de emplea a menudo en elementos calefactores de tostadores, planchas y calefactores eléctricos
Ejemplo coaxial
2.12
La resistencia de un cable
Un cable coaxial consta de dos conductores cilíndricos. El entrehierro entre los conductores está lleno completamente de silicón, como se muestra en la figura 2.11a. El radio interior del conductor es α = 0.500 cm, el radio del exterior b = 1.75 cm, y su longitud es L = 15.0 cm. Calcule la resistencia total del silicón cuando se mide entre los conductores interno y externo
Figura 2.11 Ejemplo 2.12
Razonamiento En este tipo de problema debemos dividir el objeto cuya resistencia estamos calculando en elemento de espesor infinitesimal sobre los cuales el área puede considerarse constante. Comenzamos empleando la forma diferencial de la ecuación
d , la cual es dR , donde dR es la A A resistencia de una sección de silicón de espesor dℓ y área A. En este ejemplo, tomamos como nuestro elemento un cilindro hueco de espesor dr y longitud L como se muestra en la figura 2.11b. Cualquier corriente que pase entre los conductores interno y externo debe pasar radialmente a través de estos elementos y el área a través de la cual pasa dicha corriente es A = 2πrL. (Ésta es el área superficial de nuestro cilindro hueco sin tomar en cuenta el área de sus R
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entremos). Por tanto, podemos escribir la resistencia de nuestro cilindro hueco como
dR
dr 2 rL
Solución Puesto que deseamos conocer la resistencia total del silicón necesitamos integrar esta expresión sobre dr desde r = a hasta r = b. b
R dR a
b dr b ln 2L a r 2L a
Al sustituir los valores dados y usar ρ = 640 Ω.m para silicón, obtenemos
R
640 .m 1.75 cm ln 851 2 (0.150 m) 0.50 cm
15
m nq 2
donde ρ = 1.7x10-8 Ω.m para el cobre y densidad de portadores n = 8.48x1023 electrones/m3 para el alambre descrito en el ejemplo 2.8. La sustitución de estos valores en expresión anterior produce
(9.11x1031Kg) (8.48x10 28 m-3 )(1.6 x1019 C)(1.7 x108 Ω.m)
2.5x1014 s (b) Suponiendo que la velocidad promedio de los electrones libres en sobre sea 1.6x106 m/s y utilizando el resultado del inciso (a), calcule la trayectoria libre media para los electrones en el cobre. Solución
Ejemplo 2.13 Un termómetro de resistencia de platino Un termómetro de resistencia, que mide temperatura mediante la medición del cambio de resistencia de un conductor, está hecho de platino y tiene una resistencia de 50.0 Ω a 20.0 °C. Cuando se sumerge en un recipiente que contiene indio fundido, su resistencia aumenta a 76.8 Ω. ¿Cuál es el punto de fusión del indio? Solución Resolviendo la ecuación R = R0[1 + α(T –T0)], el coeficiente de temperatura (α) para el platino es igual a 3.92x10-3 (°C)-1 , encontramos a ΔT
T
R R0 76.8 - 50.0 3.92x10 -3 (C)-1 50.0 Ω 137 C R0
Puesto que T0 = 20.0 °C, encontramos que T = 157 °C. Ejemplo 2.14 Choque de electrones en cobre (a) Empleando los datos y resultados del ejemplo 2.8 y el modelo clásico de la condición de electrones calcule el tiempo promedio entre choques para electrones en cobre 20 °C. Solución De la ecuación
1
m vemos que nq 2
v 1.6 x106 m/s 2.5x1014 s
4.0 x108 m que es equivalente a 40 nm (comparada con la espaciamientos atómicos de aproximadamente 0.20 nm). Así, a pesar de que el tiempo entre colisiones es muy corto, los electrones recorren cerca de 200 distancias atómicas antes de chocar con sus átomos. Ejemplo conceptual 2.15 Dos focos eléctricos A y B se conectan a través de la misma diferencia de potencial, como en la figura 2.12. La resistencia A es dos veces la de B ¿Cuál foco eléctrico disipa más potencial? ¿Cuál conduce la mayor corriente?
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Si duplicamos el voltaje aplicado, la corriente se duplicaría pero la potencia se cuadriplicaría. Ejemplo 2.17 Valor nominal eléctrico de un foco eléctrico Un foco eléctrico se especifica en 120 V / 75 W, lo que significa que su voltaje de operación es 120 V y tiene un valor nominal de potencia de 75.0 W. El foco es activado por un suministro eléctrico de corriente directa de 120 V. Encuentre la corriente en el foco y su resistencia. Solución Puesto que el valor nominal de potencia del foco es 75.0 W y voltaje de operación es 120 V. podemos usar P = I(ΔV) para determinar la corriente :
Figura 1.12 (Ejemplo conceptual 2.15) Dos focos conectados a través de la misma diferencia de potencial
Razonamiento
I
Utilizando la ley Ohm, ΔV = RI, la resistencia se calcula como
R
Debido a que el voltaje en cada foco eléctrico es el mismo, y la potencia disipada por un conductor es
(V )2 P , el conductor con la resistencia R
más baja disipara más potencia. En este caso, la potencia disipada por B es el doble de la de A y brinda dos veces más iluminación. Además debido a que P I (V ) , vemos que la corriente conducida por B es el doble que la de A. Ejemplo 2.16 Potencia en calefactor eléctrico Un calefactor eléctrico se construye aplicando una diferencia de potencial de 110 V a un alambre de nicromio de 8.0 Ω de resistencia total. Encuentre la corriente conducida por el alambre y valor nominal de potencia del calefactor. Solución Puesto que V IR , tenemos
V 110 V I 13.8 V R 8.0 Podemos encontrar el valor nominal de potencia 2 utilizando P I R
P I 2 R (13.8 A)2 (8.0 ) 152 W
P 75.0 W 0.625 A V 120 V
Ejemplo 2.18 eléctrico
V 120 V 192 I 0.625 V El costo de operación de foco
¿Cuánto cuesta mantener encendido un foco eléctrico de 100 W durante 24 horas si la electricidad cuesta ocho centavos de dólar por kilowatt-hora? Solución Puesto que la energía consumida es igual a la potencia por el tiempo, la cantidad de energía por la que usted debe de pagar, expresada en kWh, es Energía = (0.10 kW)(24 h) = 2.4 kWh Si la energía se compra a ocho centavos de dólar 1 kWh, el costo es Costo = (2.4 kWh)($ 0.08 /kWh) = $ 0.19 Es decir, cuesta 19 centavos de dólar operar un foco durante un día. Ésta es una cantidad de pequeña, pero cuando se están usando dispositivos más grandes y complejos, el costo sube rápidamente.
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La exigencia en nuestros suministros de energía ha hecho necesario estar concientes de los requerimientos de energía de nuestros dispositivos eléctricos. Esto es cierto no sólo porque es más costos operarlos sino también debido a que, con la merma de carbón y de los recursos petroleros con los que últimamente se nos está brindando la energía eléctrica, se vuelve necesaria una mayor conciencia respecto de la conservación. En cada aparato eléctrico hay una etiqueta que contiene la información que usted necesita para calcular los requerimientos de potencia del dispositivo. El consumo de potencia en watts a casos, se brindan la cantidad de corriente utilizada, por el dispositivo y el voltaje al cual opera. Esta información y la ecuación P = I(ΔV) son suficientes para calcular el costo de operación de cualquier dispositivo eléctrico. Ejemplo 2.19 Corriente en haz de electrones En cierto acelerador, los electrones emergen con energías de 40.0 MeV (1MeV = 1.6x10-13 J). Los electrones no emergen en una corriente estable, sino en pulsos que se repiten 250 veces por segundo. Esto corresponde a un tiempo entre cada pulso de 4.0 ms en la figura 2.13. Cada pulso dura 200 ns y los electrones en el pulso constituyen una corriente de 250 mA. La corriente es cero entre pulsos (a) ¿Cuántos electrones son entregados por el acelerador por cada pulso?
17
QPulso 5.0 x10 8 C Esta cantidad de carga por pulso dividida por la carga electrónica da el número de electrones por pulso.
5.0 x108 C/pulso N elect.rones por pulso o 1.6x10 -19 C/electrón N 0 electrones por pulso 3.13x1011 electrón /pulso (b) ¿Cuál es la corriente promedio entregada por el acelerador? Solución La corriente promedio está dada por la ecuación I = ΔQ/Δt. Puesto que la duración de un pulso es 4.0 ms y la carga por pulso se conoce del inciso (a) obtenemos
I pro
5.0 x10 8 C 12.5 μA t 4.0x10 -3 s Qpro
Esto representa sólo 0.0005% pico.
de la corriente
(c) ¿Cuál es la máxima potencia entregada por el haz de electrones? Solución Por definición, la potencia es la energía entregada por unidad de tiempo. De este modo, la potencia máxima es igual a la energía entregada por haz durante el periodo del pulso. P
Figura 2.13 (Ejemplo 2.19) Corriente contra tiempo para un haz de un pulso de electrones.
Solución Podemos usar la ecuación I dQ en forma dt dQ = Idt e integrar para encontrar la carga por pulso. Mientras el pulso está ocurriendo la corriente es constante, por lo que
Qpulso I dt It (250 x103A)(200 x109 s)
E t
(3.13x1011 electrón/p ulso )(40.0 MeV/electr on) 2.0 x10 7 s/pulso
P (6.26 x1019 MeV/s)(1.6x10 -19 J/MeV P 1.0 x10 7 W 10.0 MW Pregunta rápida 2.10 Si la energía transferida a una batería durante la carga es E, ¿será también igual a E la energía total transferida desde la batería a una carga eléctrica durante la operación, suponiendo que la batería se descarga completamente? Respuesta y explicación
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La energía total suministrada por la batería es menor que E. Recuerde que una batería real se puede considerar como una batería ideal sin resistencia, en serie con la resistencia interna. Durante el proceso de carga, la energía suministrada a la batería incluye la energía necesaria para cargar la batería ideal, más la energía que se invierte en aumentar la temperatura de la batería (mediante la resistencia interna). Esta última energía no está disponible durante el proceso de descarga de la batería. Durante la descarga, parte de al energía disponible se transforma en energía interna en la resistencia interna, reduciendo aún más (con respecto a E) la energía disponible. Pregunta rápida 2.11 Si al arrancar un automóvil se tienen las luces encendidas, ¿Por qué se reduce la intensidad luminosa durante el arranque? Respuesta y explicación El motor de arranque del automóvil extrae una corriente relativamente grande de la batería. Esta corriente da lugar a que aparezca una diferencia de potencial significativa entre los extremos de la resistencia interna de la batería. Como resultado, la diferencia de potencial entre los terminales de la batería se reduce y las luces se atenúan. Pregunta rápida 2.12 Si se usa un hilo para conectar los puntos b y c de la figura 2.14b ¿el brillo del foco con resistencia R1 aumenta, disminuye o permanece igual? ¿Qué ocurre con el brillo del foco con resistencia R2?
Figura 2.14 (a) Conexión en serie de dos focos con resistencias R1 y R2. (b) Esquema para el circuito de dos resistencias. La corriente en R1 es la misma que en R2. (c) Las resistencias se han reemplazado por una sola resistencia cuyo valor es Req = R1 + R2.
Respuesta y explicación El foco R1 brillaría más. Conectando el punto b con el punto c, “se cortocircuita” el foco R2, lo que varía la resistencia total del circuito, valor R1 + R2 a R1. Dado que la resistencia ha disminuido (y la diferencia de potencial suministrada batería no cambia), la corriente en la batería aumenta. Esto significa que la corriente en el foco R1 aumenta, haciéndolo brillar más. El foco R2 deja de funcionar, ya que el nuevo segmento de alambre proporciona un camino de resistencia prácticamente nula para la corriente, por lo que la corriente que atraviesa el foco R2 es prácticamente cero. Pregunta rápida 2.13 Con el interruptor del circuito de la figura 2.15a cerrado, no circula corriente a través de R2, dado que la corriente encuentra un camino alternativo de resistencia cero a través del interruptor. Sí existe corriente en R1 y esta corriente se mide con un amperímetro (un dispositivo de medida de corriente) situado en la parte derecha del circuito. Si el interruptor se abre (véase la figura 2.15b), circulará corriente a través de R2. ¿Qué ocurrirá con la lectura del amperímetro cuando se abra el
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interruptor? (a) La lectura es mayor. (b) lectura es menor. (c) La lectura no varía.
19
La
Figura 2.16 (pregunta rápida 2.14) Figura 2.15 (pregunta rápida 2.13)
Respuesta y explicación
Respuesta y explicación
(a) Cuando se abre el interruptor, las resistencias R1 y R2 quedan conectadas en paralelo, de modo que la resistencia total del circuito es menor que cuando el interruptor está abierto. Como resultado, la corriente aumenta.
(b) Cuando se abre el interruptor, las resistencias R1 y R2 están conectadas en serie, por lo que la resistencia total del circuito es mayor cuando el interruptor está cerrado. Como resultado la corriente disminuye. Pregunta rápida 2.14 Con el interruptor del circuito de la figura 2.16 abierto, no circula corriente en R2. Sin embargo, sí circula corriente en R1 y dicha corriente se mide con un amperímetro situado en la parte derecha del circuito. Si el interruptor se cierra (véase figura 2.16b), habrá flujo de corriente en R2. ¿Qué ocurre con lectura del amperímetro cuando cierra el interruptor? (a) La lectura es superior. (b) La lectura es inferior, (c) La lectura no varía.
Pregunta rápida 2.15 Se dispone de una serie de focos y una batería. Se comienza con un foco conectado a la batería y se observa su brillo. A continuación se añade otro foco y cada nuevo foco que se va añadiendo se conecta en serie con el anterior. A medida que se añaden focos. (a) ¿Qué ocurre con el brillo de los focos? (b) ¿Y con la corriente de los focos? (c) ¿Y con la potencia transferida por la batería? (d) ¿Y con el tiempo de vida de la batería? (e) ¿y con e voltaje entre los terminales de la batería? Responda a estas mismas preguntas si los focos se añaden uno por uno en paralelo con el primero.
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Respuesta y explicación
Razonamiento
Serie: (a) disminuye; (b) disminuye; (c) disminuye; (d) aumenta; (e) aumenta. A medida que se añaden más focos en serie, la resistencia total del circuito aumenta. Por tanto, la corriente en los focos disminuye, dando lugar a un menor brillo. Esta disminución de la corriente da lugar a una disminución en la potencia transferida desde la batería. Como resultado, el tiempo de vida de la batería aumenta. Cuando la corriente disminuye, el voltaje entre los terminales de la batería se aproxima cada vez más a la fuerza electromotriz de la misma.
Los focos A y B están conectados en serie con la fem de la batería y el foco C está conectado en paralelo con dicha fem. Por tanto, la fem se divide entre los focos A y B. Como resultado, el foco C brillará más que los focos A y B, los cuales brillarán del mismo modo. El foco D tiene conectado un cable en paralelo. Por tanto, no hay ninguna diferencia de potencial entre los extremos de D y éste no se encenderá nunca. Si el foco A falla, B tampoco funcionará, pero C permanecerá encendido. Si el foco C falla, no tendrá ningún efecto sobre los focos restantes. Si el foco D falla, el suceso tampoco será detectado, dado que D inicialmente no está encendido.
Paralelo: (a) disminuye; (b) disminuye; (c) aumenta; (d) disminuye; (e) disminuye. A medida que se añaden focos en paralelo, la resistencia global del circuito disminuye. La corriente que sale de la batería aumenta según se van añadiendo focos. Este aumento de corriente da lugar a un aumento de la potencia transferida desde la batería. Como resultado, el tiempo de vida de la batería disminuye. Cuando la corriente aumenta, el voltaje en los terminales de la batería disminuye por debajo de la fem de la misma. Debido a la disminución de la diferencia de potencial en los terminales, que es la que se aplica a cada foco, la corriente en cada foco disminuye, dando lugar a una reducción de su brillo. La reducción de brillo es mucho menor que en caso de añadir en serie y puede no ser apreciable hasta que se hayan añadido varios focos.
Situación problémica 2.7 En la figura 2.18 ilustra cómo se ha fabricado un foco para proporcionar tres niveles de intensidad de luz. El enchufe de la lámpara está equipado con interruptor de tres posiciones que permite seleccionar diferentes intensidades de luz. El foco tiene dos filamentos. ¿Por qué los filamentos se conectan en paralelo? Explique cómo se utilizan los dos filamentos para proporcionar tres intensidades diferentes.
Situación problémica 2.6 Compare el brillo de los cuatro focos idénticos mostrado en la figura 2.17 ¿Qué ocurre si el foco A falla, de modo que deja de conducir? ¿Qué ocurre si falla el foco C? ¿Qué ocurre si falla el foco D?
Figura 2.18 (Situación problémica 2.7)
Razonamiento
Figura 2.17 (Situación problémica 2.6)
Si los filamentos estuvieran conectados en serie y de ellos fallara, no circularía corriente por el foco y éste no se iluminaría, independientemente de la posición del interruptor. Sin embargo, cuando los filamentos se conectan en paralelo y uno de ellos (por ejemplo el filamento de 75 W) falla, el foco
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todavía funciona en una de las posiciones del interruptor, dado que existe corriente en el otro filamento (el de 100 W). Las tres intensidades de luz son posibles seleccionando uno de los tres valores de resistencia de filamento, utilizando un único valor de 120 V para el voltaje aplicado. El filamento 75 W ofrece un valor de resistencia, el filamento de 100 W ofrece un segundo valor y la tercera resistencia se obtiene combinando los dos filamentos en paralelo. Cuando el interruptor S1 se cierra y el interruptor S2 se abre, sólo circula corriente por el filamento de 75 W. Cuando el interruptor S1 se abre y el interruptor S2 se cierra, sólo circula corriente por el filamento de 100 W. Cuando ambos interruptores se cierran, ambos filamentos transportan corriente y la iluminación es la que corresponde a una potencia total de 175 W. Situación problémica 2.8 En muchas zonas de obra en las carreteras, se dispone de lámparas amarillas intermitentes para advertir a los automovilistas del posible peligro. ¿Qué hace que los focos se enciendan de forma intermitentes?
21
de la lámpara. Después de que el interruptor S se cierra, la batería carga el condensador de capacitancia C. Al principio, la corriente es alta y la carga en condensador es baja, por que la mayor parte de de la diferencia de potencial cae en la resistencia R. A medida que el condensador se carga, aparece una mayor diferencia de potencial en él, reflejando el hecho de que existe una menor corriente y, por tanto, una menor diferencia de potencial en los extremos de la resistencia. En un determinado momento la diferencia de potencial en el condensador alcanza un valor para el cual la lámpara conducirá, haciendo que ésta se ilumine. De este modo, se descarga el condensador a través de la lámpara y proceso de carga comienza de nuevo. El periodo de intermitencia puede ajustarse variando la constante de tiempo del circuito RC. Situación problémica 2.9 Muchos automóviles están equipados con limpiaparabrisas que se pueden utilizar de forma intermitente durante una lluvia ligera. ¿Cómo depende el funcionamiento de los limpiaparabrisas de la carga y descarga de un condensador? Razonamiento Los limpiaparabrisas son parte de un circuito RC cuya constante de tiempo puede variarse seleccionado diferentes valores de R mediante un interruptor de múltiples posiciones: El tiempo entre barridos de los limpiaparabrisas se determinan mediante el valor de la constante de tiempo del circuito.
Figura 2.19 (Situación problémica 2.8) Circuito RC en una lámpara intermitente usada para señalizar una zona de obras en una carretera. Cuando el interruptor se cierra, la carga en el condensador aumenta, hasta que la diferencia de potencial cae en el condensador ( y en la lámpara de descarga) es lo suficientemente alta como para que la lámpara se ilumine, descargando el condensador
Ejemplo 2.20 Voltaje de las terminales de una batería
Razonamiento
Solución
Un circuito típico para lámpara intermitente se muestra en la figura 2.19. La lámpara L es una lámpara de rellena de gas que actúa como un circuito abierto hasta que una diferencia de potencial grande produce una descarga eléctrica en el gas, la cual hace que se emita un brillante pulso iluminoso. Durante esta descarga, la carga eléctrica fluye a través del gas entre los electrodos
Una batería tiene una fem de 12.00 V y una resistencia interna de 0.05 Ω. Sus terminales están conectados a una resistencia de carga de 3.00Ω (a) Encuentre la corriente en el circuito y el voltaje de las terminales de la batería.
Utilizando
primero la ecuación
I
luego la V Ir , obtenemos
I
Rr
12.00V 3.93 A 3.05
Rr
y
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V Ir 12.00V (3.93 A)(0.05 A) 11.8V Para comprobar este resultado podemos calcular la caída de voltaje a través de la resistencia de carga R:
V IR (3.93 A)(3.00 Ω) 11.8 V (b) Calcule la potencia disipada en el resistor de carga, la potencia disipada por la resistencia interna de la batería y la potencia entregada por la batería.
FIGURA 2.20 (a) Diagrama de circuito de una fem ε de resistencia interna r conectada a un resistor externo R, (b) Representación gráfica que muestra cómo los cambios de potencial como el circuito en serie del inciso (a) se recorre en el sentido de las manecillas del reloj.
Solución La potencia disipada en la resistencia de carga es igual a I2R, donde I está dada por al ecuación
I
Rr
:
Solución
P I 2R
La potencia disipada por el resistor de carga es
PR I 2 R (3.93 A)2 (3.00 ) 46.3 W La potencia disipada por la resistencia interna es
Pr I 2 r (3.93 A)2 (0.05 ) 0.722 W
22
2R ( R r) 2
cuando P se gráfica contra R, como en la figura 2.21, encontramos que P alcanza un valor máximo ε2/4r en R = r. Esto puede probarse también al diferenciar P respecto de R, igualando a cero el resultado y despejando R.
Por tanto, la potencia entregada por la batería es la suma de estas cantidades, es 47.1 W. Este valor puede verificarse usando la ecuación P = Iε. Ejemplo 2.21 Igualación de la carga Demuestre que la máxima potencia disipada en la resistencia de carga R en la figura 2.20a ocurre cuando R = r , es decir, cuando la resistencia de carga iguala la resistencia interna
Figura 2.21 (Ejemplo 2.21) Gráfica de la potencia P entregada a un resistor de carga como función de R. La potencia entregada a R es un máximo cuando la resistencia de carga del circuito es igual a la resistencia interna a la batería.
Ejemplo 2.22 Determinación de la resistencia equivalente Cuando resistores se conectan como se muestra en la figura 2.22 a. (a) Encuentre la resistencia equivalente entre a y b Solución
.
El circuito puede reducirse en pasos, como se muestra en la figura 2.22. Los resistores de 8.0 Ω y 4.0 Ω están en serie, por que la resistencia equivalente entre a y b es 12 Ω (ecuación Req = R1 + R2 + R3 + . . . ).
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advertir que la corriente que circula por el resistor de 3.0 Ω es el doble de la que circula por el resistor de 6.0 Ω en vista de sus resistencia relativas y del hecho de que se les aplica a ambos el mismo voltaje. Como una verificación final, observe que ΔVbc = 6I1 = 3I2 = 6.0 V y ΔVab = 12I =36 V, por tanto, ΔVac = ΔVab + ΔVbc = 42 V , como debe ser. Ejemplo 2.23 Tres resistores en paralelo En la figura 2.23 se muestran tres resistores conectados en paralelo. Una diferencia de potencial de 18 V se mantiene entre los puntos a y b (a) Encuentre la corriente en cada resistor.
Figura 2.22 (Ejemplo 2.22). La resistencia de los cuatro resistores mostrados en (a) puede reducirse en la etapa a un resistor equivalente de 14 Ω.
Los resistores de 6.0 Ω y 3.0 Ω están en paralelo, de manera que la ecuación
1 1 1 1 . . . , encontramos que Req R1 R2 R3 la resistencia equivalente de b a c es 14 Ω. Por tanto, la resistencia equivalente de a a c es 14 Ω. (b) ¿Cuál es la corriente en cada resistor si se mantiene una diferencia de potencial de 42 V entre a y c?
Figura 2.23 (ejemplo2.23) Tres resistores conectados en paralelo. El voltaje de cada resistor es de 18 V
Solución
Solución La corriente en los resistores de 8.0 Ω y 4.0 Ω es la misma debido a que éstos están en serie. Utilizando la ley de Ohm y los resultados del inciso (a), obtenemos
Los tres resistores conectados en paralelo y la diferencia de potencial a través de ellos es de 18 V. Al aplicar ΔV = IR a cada resistor se obtiene
Vac 42 V I 3.0 A Req 14
I1
V 18 V 6.0 A R1 3.0
Cuando esta corriente entra a la unión en b se divide, y una parte pasa por el resistor de 6.0 Ω (I1) y parte por el resistor de 3.0 Ω (I2). Puesto que la diferencia de potencial a través de estos resistores, ΔVbc es la misma (están en paralelo) vemos que 6I1 = 3I2 o 2I1 = I2. Empleando este resultado y hecho que I = I1 + I2 = 3.0A, encontramos que I1 = 1.0 A e I2 = 2.0 A. Pudimos haber sugerido este resultado desde el principio al
I2
V 18 V 3.0 A R2 6.0
I3
V 18 V 2.0 A R3 9.0
(b) Calcule la potencia disipada por cada resistor y la potencia disipada por los tres resistores.
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Solución La aplicación de P = I2R en cada resistor da como resultado.
3.0 :
P1 I 2 R (6.0 A) 2 (3.0 ) 110 W
6.0 :
P1 I 2 R (3.0 A) 2 (6.0 ) 54W
9.0 :
P1 I 2 R (2.0 A) 2 (9.0 ) 36 W
Esto demuestra que el resistor más pequeño disipa la mayor potencia puesto que conduce la corriente más alta. (Advierta que es posible emplear también P = (ΔV)2/R para determinar la potencia disipada por cada resistor). La suma de las tres cantidades brinda una potencia total de 200 W. (c) Calcule la resistencia equivalente de los tres resistores. Podemos
utilizar
la
ecuación
1 1 1 1 . . . para encontrar Req Req R1 R2 R3 Solución
1 1 1 1 . Req 3.0 6.0 9.0 Req
18 Ω 1.6Ω 11
Ejemplo 2.24 Determinación de Req mediante argumento de simetría. Considere los cinco resistores conectados como se indica en la figura 2.24 a. Determine la resistencia equivalente entre los puntos a y b.
Figura 2.24 (Ejemplo 2.24) Debido a la simetría en este circuito, el resistor de 5 Ω no contribuye a la resistencia entre los puntos a y b y puede descartarse.
Solución En este tipo de problemas es convenientes suponer que una corriente entra a la unión a y aplicar después el argumento de simetría. Debido a la simetría en el circuito (todos los resistores de 1Ω en el lazo exterior) las corrientes en las ramas ac y ad deben ser iguales; por tanto, los potenciales en los puntos c y d deben ser iguales. Como Vc = Vd los puntos c y d pueden conectarse juntos, como se muestra en la figura 2.24 b, sin influir el circuito. Así, el resistor de 5 Ω puede eliminarse del circuito y éste puede reducirse, como se muestra en la figura 2.24c y 2.24d. A partir de esta reducción, vemos que la resistencia equivalente de la combinación es 1 Ω. Advierta que el resultado de 1 Ω. Independientemente de cuál resistor esté conectado entre c y d. Ejemplo 2.25 Un circuito de un solo lazo Un circuito de un solo lazo contiene dos resistores y dos baterías como se muestra en la figura 2.25 (Ignore las resistencias internas de las baterías) (a) Encontrar la corriente en el circuito
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Figura 2.25 (ejemplo 2.25) Un circuito en serie que contiene dos bacterias y dos resistores, donde las polaridades de las baterías están en oposición entre sí.
como calor en ellas, por lo que se entregaría menos potencia a la batería de 6 V.
Razonamiento
Determine las corrientes I1, I2 y I3 en el circuito mostrado en la figura 2.26.
No hay uniones en este circuito de un solo lazo, por lo cual la corriente es la misma en todos los elementos. Supongamos que la corriente es en la dirección de los manecillas del reloj, como en la figura 2.25. Recorriendo el circuito en esta dirección, empezando en a, vemos que a→b representa un incremento de potencial de +ε1, b→c representa una disminución de potencial de –IR1, c→d representa una reducción de potencia de -ε2 y d→a representa una reducción de potencial de -IR2. Al aplicar la segunda regla de Kirchhoff se obtiene
Ejemplo 2.26 Aplicación de las reglas Kirchhoff
V 0 i
1 IR1 2 IR2 0 Solución Al despejar I y con los valores dados en la figura 2.25, obtenemos
I
1 2 R1 R2
6 V 12 V 1 A 8 10 3
El signo negativo para I indica que la dirección de la corriente es opuesta a la dirección supuesta. (b) ¿Cuál es la potencia disipada en cada resistor? Solución
P1 I 2 R1 ( 13 A) 2 (8 )
8 W 9
P2 I 2 R2 ( 13 A) 2 (10 )
10 W 9
Es consecuencia, la disipación de potencia total es P = P1 +P2 = 2 W. Advierta que la batería de 12 V entregada a los resistores Iε2 = 4 W. La mitad de esta potencia se entrega a los resistores externos. La otra mitad se entrega a la batería de 6 V, la cuál es cargada por la batería de 12 V. su hubiéramos incluido las resistencias internas de las baterías, una parte de la potencia se disiparía
Figura 2.26 (Ejemplo 2.26) Un circuito que contiene tres lazos.
Razonamiento Elegimos las direcciones de las corrientes como en la figura 2.26. La aplicación de la primera regla de Kirchhoff a la unión c produce.
I 3 I1 I 2
(1)
Hay tres lazos en el circuito, abcda, befcb y aefda (el lazo exterior). Por tanto, necesitamos dos ecuaciones de lazo para determinar las corrientes desconocidas. La tercera ecuación de lazo no brindaría nueva información. Con la aplicación de la segunda regla Kirchhoff a los lazos abcda y befcb y con el recorrido de estos lazos en la dirección de las manecillas del reloj, obtenemos las expresiones Lazo abcda: 10 V (6 ) I 2 (2 )I 3 0
(2)
Lazo befcb: 14 V 10 V (6 ) I 2 (4 )I 2 0 (3) Advierta que en el lazo befcb se obtiene un signo positivo cuando se recorre el resistor de 6 Ω debido a que la dirección de la trayectoria es opuesta a la dirección de I1. Una tercera ecuación de lazo aefda – 14 V = 2I3 + 4I2, lo cual es justamente la suma de (2) y (3)
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Solución Las expresiones (1) y (2) y (3) representa tres ecuaciones independientes con tres incógnitas. Podemos resolver el problema como sigue: Sustituyendo (1) en (2) se obtiene
10 6 I 2 2 ( I 1 I 2 ) 0 10 8 I 1 2 I 2 0 (4) Al dividir cada términos en (3) por 2 y ordenado la ecuación, obtenemos
12 3 I 1 2 I 2 (5) Al sustraer (5) de (4) se elimina I2, resultando
22 11I 1 , entonces I 1 2 A Con este valor de I1 en (5) se obtiene un valor para I2:
2 I 2 3 I 1 12 3(2) 12 6
La segunda regla de Kirchhoff aplicada a los lazos defcd y cfgbc produce
I 2 3 A Por último, I3 = I1 + I2 = -1 A. Por tanto, las corrientes tienen valores
I1 2 A
I 2 3A
I 3 1 A
El hecho que I2 e I3 sean negativas indica sólo que elegimos la dirección incorrecta para estas corrientes. Sin embargo, los valores numéricos son correctos. Ejemplo 2.27 Un circuito de lazos múltiples (a) En condiciones de estado estable, determine las corrientes desconocidas en el circuito de lazos múltiples mostrado en la figura 2.27. Razonamiento Advierta primero que el capacitor representa un circuito abierto y que, por tanto, no hay corriente a lo largo de la trayectoria ghab en condiciones de estado estable. En consecuencia, Igf = I1. Marcando las corrientes como se indica en la figura 2.27 y aplicando la primera regla de Kirchhoff a unión c, obtenemos
I 3 I1 I 2
Figura 2.27 (Ejemplo 2.27) Un circuito de lazos múltiples. Observe que la ecuación de lazo de Kirchhoff puede aplicarse a cualquier lazo cerrado, incluyendo al que contiene al capacitor.
(1)
Lazo defcd:
4 V (3 ) I 2 (5 )I 3 0 (2)
Lazo cfgbc: 8 V (5 ) I 1 (3 )I 2 0
(3)
Solución En (1) vemos que I1 = I3 – I2, la cual cuando se sustituye en (3) da
8 V (5 ) I 3 (8)I 2 0
(4)
Restando (4) de (2), eliminamos I3 y encontramos
I 2 114 A - 0.364 A Puesto que I2 es negativa, concluimos que I2 circula de c a f a través del resistor de 3.00 Ω. Usando este valor de I2 en (3) y (1), se obtienen los siguientes valores para I1 y I3:
I1 1.38 A
I 3 1.02 A
En condiciones de estado estable, el capacitor representa un circuito abierto, por lo que no hay corriente en la rama ghab. (b)¿Cuál es la carga en el capacitor?
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t q(t ) 60.01 e 4 μC
Solución Podemos aplicar la segunda regla de Kirchhoff al lazo abgha (o a cualquier otro lazo que contenga al capacitor) para determinar la diferencia de potencial ΔVc a través del capacitor
I (t ) 15.0e
t
4
μA
En las figura 2.29 se presentan gráficas de estas funciones.
8.00 V Vc 3.00 V 0
Vc 11.0 V Puesto que Q = CΔVc, la carga en el capacitor es
Q (6.00 μF)(11.0 V) 66.0 μC Ejemplo 2.28 circuito RC
Carga de un capacitor en un
Un capacitor descargado y un resistor se conectan en serie a una batería, como se muestra en la figura 2.28. Si ε =12.0 V, C = 5.00 μF y R = 8.00x105 Ω, encuentre la constante de tiempo del circuito, la carga máxima es el capacitor, la corriente máxima en el circuito y la carga y la corriente como funciones del tiempo.
Figura 2.28 (Ejemplo 2.28) El interruptor de este circuito RC en serie se cierra en t = 0.
Solución La
constante
de
tiempo
del
circuito
es
RC (8.00 x105 )( 5.00 x10 4 F) 4.00 s .La
carga
máxima
en
el
capacitor
es
Q C (5.00 x10 F)(12.0 V) 60.0 μC . 6
La
corriente
I0
máxima
en
el
circuito
es
(12.0 V) /(8.00 x10 ) 15.0 μA . 5
R
Empleando
estos
valores
y
la
ecuaciones
t t q(t ) C 1 e RC Q 1 e RC y I (t ) e R encontramos que
t
RC
,
Figura 2.29 (Ejemplo 2.228) Gráfica de (a) carga contra tiempo, y (b) corriente contra tiempo para el circuito RC mostrado en la figura 2.28 con ε =12.0 V, 5 C = 5.00 μF y R = 8.00x10 Ω
Ejemplo 2.29 Descarga de un capacitor en un circuito RC Considere un capacitor C que se está descargando a través de un resistor R, como se ve en la figura 2.30. (a) ¿Después de cuántas constantes de tiempo la carga en el capacitor es un cuarto de su valor inicial? Solución t / RC
De acuerdo con la ecuación q(t ) Qe la carga en el capacitor varía con el tiempo. Para determinar el tiempo que tarda la carga q en
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disminuir hasta un cuarto de su valor inicial, sustituimos q(t) = Q/4 en esta expresión y despejando t. 1 4
Q Qe t / RC , luego
Tomando logaritmos encontramos
en
1 4
e t / RC ambos
lados,
t , entonces t RC ln 4 1.39RC ln 4 RC
28
q 2 Q 2 2t / RC U e 2C 2C donde U0 es la energía inicial almacenada en el capacitor. Como en el inciso (a) hacemos U = U0/4 y despejamos t. 1 4
U 0 U 0 e 2t / RC , luego
1 4
e 2t / RC
Tomando de nuevo logaritmo en ambos lados y despejando t resulta
t 12 RC ln 4 0.693RC Ejemplo 2.30 resistor
Disipación de energía en un
Un capacitor de 5.00 μF se carga hasta una dirección de potencial de 800 V y después se descarga por medio de un resistor de 25.0 kΩ. ¿Cuánta energía se disipa como calentamiento Joule en el tiempo que tarda el capacitor en descargarse por completo? Solución
Figura 2.30 (a) Un capacitor cargado conectado a un resistor y a un interruptor, el cual se abre en t < 0. (b) Después de que el interruptor se cierra, se establece una corriente no estable en la dirección indicada y la carga en el capacitor disminuye exponencialmente con el tiempo.
(b) La energía almacenada en el capacitor disminuye con el tiempo a medida que se descarga. ¿Después de cuántas constantes de tiempo esta energía almacenada es un cuarto de su valor inicial?
Energía 12 C 2 12 (5.00 x10 6 F)(800V) 2 1.60J El segundo método, que es menos fácil pero quizá más instructivo, es advertir que cuando el capacitor de descarga a través del resistor, la tasa a la cual se genera calor en el resistor (o la disipación de potencia) está dada por RI2, donde I es la corriente instantánea dada por la ecuación
I (t )
Solución
Con las ecuaciones U
Resolveremos este problema por dos caminos. El primer método es tomar en cuenta que la energía inicial en el sistema es igual a la energía almacenada en el capacitor, Cε2/2. Una vez que el capacitor se ha descargado por completo, la energía almacenada es cero. Puesto que la energía se conserva, la energía inicial almacenada en el capacitor se transforma en energía térmica disipada en el resistor. Empleando los valores datos de C y ε, encontramos
2
q t / RC y q(t ) Qe 2C
podemos expresar la energía almacenada en el capacitor en un tiempo t como:
dq I 0 e t / RC dt
.
Puesto que la potencia se define como la tasa de cambio de la energía, concluimos la energía disipada en el resistor en la forma de calor debe ser igual a la integral de tiempo de RI2dt.
Taller 02 de Electromagnetismo del Segundo Semestre del 2016
Energía RI 2 dt RI 0 e 2t / RC dt
0
0
Para evaluar esta integral observamos que la corriente inicial I0 = ε/R y todos los parámetros son constantes, excepto los relacionados con t. Así, encontramos
Energía
2
R
0
e 2t / RC dt
Esta integral tiene un valor de RC/2, por lo que encontramos
Energía 12 C 2
29
2) Un cable coaxial de 50.0 cm de largo tiene un conductor interior con un diámetro de 2.58 mm que conduce una carga de 8.10 μC. El conductor circundante tiene un diámetro interior de 7.27 mm y una carga de 8.10 μC. (a) ¿Cuál es la capacitancia de este cable? (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los conductores? Suponga que la región entre los conductores es aire. 3) Cuatro capacitores muestran en la figura capacitancia equivalente (b) Calcule la carga ΔVab = 15 V.
se conectan como P2.3 (a) Encuentre entre los puntos a y en cada capacitor
se la b si
lo cual, concuerda con el planteamiento más simple, como debe ser. Recuerde que este segundo enfoque puede utilizarse para determinar la disipación de energía como calor en cualquier tiempo después de que el interruptor se cierra reemplazando simplemente el límite superior en la integral por un valor específico de t.
PREGUNTAS DE CAPACITANCIA 1) Si a usted se le dan tres capacitores diferentes de C1, C2 y C3 ¿cuántas combinaciones diferentes de capacitancias puede usted producir? 2) Explique por qué el trabajo necesario para mover una carga Q a través de una diferencia de potencial ΔV es W = Q ΔV, en tanto que la energía almacenada en capacitor cargado es U = ½ Q ΔV. ¿De dónde proviene el factor ½ ?
Figura P2.3
4) Considere el circuito mostrado en la figura P2.4, donde C1 = 6.00 μF, C2 = 3.00 μF y ΔV = 20.0 V: El capacitor C1 se carga primero cerrando el interruptor S1. Este interruptor se abre después, y el capacitor cargado se conecta al capacitor descargado al cerrar S2 Calcular la carga inicial adquirida por C1 y la carga final en cada capacitor.
3) Un capacitor lleno de aire se carga, luego desconecta del suministro de energía eléctrica y por último se conecta a un voltímetro. Explique cómo y por qué las lecturas de voltaje cambian cuando se inserta un dieléctrico entre las placas del capacitor. PROBLEMAS DE CAPACITANCIA 1) Un capacitor lleno de aire está compuesto de dos placas paralelas, cada una con área de 7.60 cm2, separadas por una distancia de 1.8 mm. Si se aplica una diferencia de potencial de 20.0 V a estas placas, calcule (a) el campo eléctrico entre las mismas (b) la densidad de carga superficial, (c) la capacitancia, y (d) la carga sobre cada placa.
Figura P2.4
5) Un placa conductora de espesor d y área A se inserta dentro del espacio entre las placas de un capacitor de placas paralelas con espaciamiento s y área superficial A, como se muestra en la figura P2.5 ¿Cuál es la capacitancia del sistema?
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Figura P2.5
Figura P2.8
6) Un capacitor de placas paralelas de 16.0 pF se carga por medio de una batería de 10.0 V. Si cada placa tiene un área de 5.00 cm2, ¿cuál es el valor de la energía almacenada en el capacitor? ¿Cuál es la densidad de energía almacenada (energía por unidad de volumen) en el campo eléctrico del capacitor si las placas están separadas por aire?
PREGUNTAS DE CORRIENTE Y RESISTENCIA
7) Un capacitor de placas paralelas tiene un área de placa de 0.64 cm2. Cuando las placas están en el vacío, la capacitancia del dispositivo es de 4.9 pF. (a) Calcule el valor de la capacitancia si el espacio entre las placas se llena con nylon. (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial máxima que puede aplicarse a las placas sin producir rompimiento dieléctrico? 8) Un capacitor se construye a partir de dos placas cuadradas de lado ℓ y separación d. Un material de constante dieléctrica k se inserta una distancia x dentro del capacitor, como en la figura P2.8 (a) Encuentre la capacitancia equivalente del dispositivo (b) Calcule la energía almacenada en el capacitor si la de potencia es ΔV. (c) Encuentre la dirección y magnitud de la fuerza ejercida sobre el dieléctrico, suponiendo una diferencia de potencial constante ΔV. Ignore la fricción y los efectos de borde. (d) Obtenga un valor numérico para la fuerza suponiendo que ℓ = 5.0 cm, ΔV = 2000 V, d = 2.0 mm, y que el dieléctrico es vidrio (k = 4.5). (Sugerencia: El sistema puede considerarse como dos capacitores conectados en paralelo).
4) ¿Qué factores afectan la resistencia de un conductor? 5) ¿Todos los conductores obedecen a la ley de Ohm? Dé ejemplos que justifiquen su respuesta. 6) ¿Cómo cambia la resistencia con la temperatura en el cobre y el silicón? ¿Por qué son diferentes? 7) Si las cargas fluyen muy lentamente por un metal, ¿por qué no se requieren varias horas para que la luz aparezca cuando usted activa un interruptor? PROBLEMAS DE CORRIENTE Y RESISTENCIA 9) Suponga que la corriente que circula por un conductor disminuye exponencialmente con el tiempo de acuerdo con
I (t ) I 0 e t / Donde I0 es al corriente inicial (en t = 0) y τ es una constante que tiene dimensiones de tiempo. Considere un punto de observación fijo dentro del conductor. (a) ¿Cuánta carga pasa por este punto entre t = 0 y t = τ? (b) ¿Cuánta carga pasa por este punto entre t = 0 y t =10 τ? (c) ¿Cuánta carga pasa entre t = 0 y t = ∞) 10) Un conductor coaxial con una longitud de 20 m está compuesto por un cilindro interior con un radio de 3.00 mm y tubo cilíndrico exterior concéntrico con un radio interior de 9.00 mm. Una corriente de fuga distribuida uniformemente de 10 μA fluye entre los dos conductores. Determine la densidad de la corriente de fuga ( en A/m2 ) a través de una superficie cilíndrica (concéntrica con los conductores) que tiene un radio de 6.0 mm.
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11) Suponga que usted desea fabricar un alambre uniforme a partir de 1.0 g de cobre. Si el alambre va a tener una resistencia de R = 0.50 Ω y se va a usar todo cobre. ¿Cuáles serán (a) la longitud y (b) el diámetro de este alambre? 12) El haz de electrones que surge de cierto acelerador de electrones de alta energía tiene una sección transversal circular de 1.00 mm de radio. (Si la corriente del haz es de 8.00 μA, encuentre la densidad de corriente en el mismo, suponiendo que es uniforme en todas partes (b) la velocidad de los electrones es tan cercana a la velocidad de la luz que puede tomarse como c = 3.00x108 m/s con error despreciable. Encuentre la densidad de electrones en el haz (c) ¿cuánto tardaría para que emergiera un número de Avogrado de electrones del acelerador? 13) ¿Cuál es el cambio fraccionario de la resistencia de un filamento de hierro cuando su temperatura cambia de 25 °C a 50 °C? 14) Si la velocidad de arrastre de los electrones libres en un alambre de cobre es 7.84x10-4 m/s, calcule el campo eléctrico en el conductor.0 15) Suponga que un sobrevoltaje produce 140 V durante un momento. ¿En qué porcentaje aumentará la salida de un foco eléctrico de 100 W y 120 V, suponiendo que su resistencia no cambia? 16) Cierto tostador tiene un elemento calefactor hecho de alambre de resistencia de nicromio. Cuando se conecta primero a una fuente de voltaje de 120 V (y el alambre está a una temperatura de 20.0 °C) la corriente inicial es de 1.80 A, pero empieza a disminuir cuando el elemento resistivo se caliente. Cuando el tostador ha alcanzado su temperatura de operación final, la corriente se ha reducido a 1.53 A (a) Determine la potencia que el tostador consume cuando se encuentra a su temperatura de operación (b) ¿Cuál es la temperatura final del elemento calefactor? 17) Un auto eléctrico se diseña para operar por medio de un banco de baterías de 12 V con un almacenamiento de energía total de 2.0x107 J (a) Si el motor eléctrico toma 8.0 kW ¿cuál es la corriente entregada al motor? (b) Si el motor eléctrico consume 8.0 kW a medida que el auto se mueve a una velocidad estable de 20 m/s.
31
¿qué distancia recorrerá el auto antes de que se le “agote el combustible”? PREGUNTAS DE CIRCUITO DE CORRIENTE CONTINUA 8) ¿Cómo podría usted conectar resistores de manera que la resistencia equivalente sea más grande que las resistencias individuales? Dé un ejemplo que incluya dos o tres resistores 9) Cuando se conectan resistores en paralelo ¿de lo siguiente qué sería igual en cada resistor: diferencia de potencia, corriente, potencia? 10) Si la corriente que circula por un cuerpo es la que determina qué tan serio será un choque eléctrico, ¿por qué vemos anuncios de peligro de alto voltaje en vez de alta corriente cerca de equipos eléctricos? PROBLEMAS DE CIRCUITO DE CORRIENTE CONTINUA 18) Dos baterías de 1.50 V (con sus terminales positivas en la misma dirección) se insertan en serie dentro del cilindro de una linterna. Una de las baterías tiene una resistencia interna de 0.255 Ω y la resistencia interna de la otra es igual a 0.153 Ω. Cuando el interruptor se cierra, se produce una corriente de 600 mA en la lámpara. (a) ¿Cuál es la resistencia de la lámpara? (b) ¿Qué fracción de la potencia disipada ocurre en las baterías? 19) Una corriente en un circuito se triplica conectada un resistor de 500 Ω en paralelo con la resistencia del circuito. Determine la resistencia del circuito en ausencia del resistor 500 Ω 20) Calcule la potencia disipada en cada resistor en el circuito de la figura P2.20
Figura P2.20
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21) En la figura P2.21, encuentre (a) la corriente en el resistor de 20 Ω y (b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b.
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24) Considere un circuito RC (figura P2.24) para el cual R = 1.00 MΩ, C = 5.00 μF y Є = 30.0 V. Encuentre (a) la constante de tiempo del circuito (b)la carga máxima en capacitor después que se cierra el interruptor (c) Si el interruptor se cierra en t = 0 , determine la corriente en el resistor 10.0 s después.
Figura P2.21
22) Determine la corriente en cada rama en la figura P2.22
Figura P2.24 25) Un resistor de 4.00 MΩ y un capacitor de 3.00
μF se conectan en serie a un suministro de potencia de 120 V. (a) ¿Cuál es la constante de tiempo del circuito (b) Exprese la corriente en el circuito y la carga en capacitor como funciones en el tiempo. 26) Cuando dos resistores desconocidos se conectan en serie con una batería, se disipan 225 W con una corriente total de 5.00 A. Para la misma corriente total, se disipan 50.0 W cuando los resistores se conectan en paralelo. Determine los valores de los dos resistores. Figura P2.22
22) Utilizando las reglas de Kirchhoff (a) encuentre la corriente en cada resistor en la figura P2.22 (b) Determine la diferencia de potencial entre los puntos c y f ¿Qué punto está al potencial más alto?
27) Los valores de las componentes en un circuito RC en serie simple que contiene un interruptor (figura P2.27) son C = 1.00 μF r = 2.00 MΩ, y Є = 10.0 V. Para el instante en que han pasado 10.0 s después de que se cierra el interruptor, calcule (a) la carga en el capacitor, (b) la corriente en el resistor, (c) la tasa a la cual se almacena la energía en el capacitor, y (d) la tasa a la cual la batería entrega energía
Figura P2.27 Figura P2.22
