MATURA

GAZETA WYBORCZA u WWW.GAZETA.PL

3

Arkusz I Poziom podstawowy Zadanie 1. (4 pkt)

Klient kupił dwa kwadratowe dywany i zapłacił 1870 zł. Cena pierwszego dywanu była równa 30 zł/m2, a cena drugiego – 25 zł/m2. Oblicz wymiary dywanów, wiedząc, że bok pierwszego dywanu był o 3 m dłuższy od boku drugiego dywanu. Zadanie 2. (5 pkt)

W tabeli przedstawiono wyniki sondażu przeprowadzonego wśród maturzystów na temat liczby zadań maturalnych rozwiązywanych przez nich codziennie.

Liczba zadañ Liczba maturzystów

1

3

4

7

10

3

10

8

4

3

a) Przedstaw dane na diagramie słupkowym. b) Oblicz średnią liczbę zadań rozwiązywanych codziennie przez maturzystów. c) Oblicz odchylenie standardowe liczby zadań rozwiązywanych przez uczniów. d) Oblicz medianę liczby zadań. Zadanie 3. (6 pkt)

Na kole opisano trapez prostokątny ABCD ( AB ⊥ AD ) , którego podstawy mają długości A B = 12, C D = 6 . Oblicz długości ramion trapezu ABCD oraz tangens kąta ostrego trapezu. Zadanie 4. (4 pkt)

Klient zaciągnął w banku pożyczkę w wysokości 7200 zł. Spłatę rozłożył na 10 rat, z których każda następna jest mniejsza od poprzedniej o 60 zł. Oblicz wysokość pierwszej i piątej raty.

Zadanie 5. (5 pkt)

Waflowy rożek ma kształt stożka, w którym kąt rozwarcia jest równy 30°, a tworząca ma długość 15 cm. Oblicz, ile cm3 lodów można włożyć do rożka, przyjmując, że zostanie napełniony w 95%.

MATURA

4

GAZETA WYBORCZA u WWW.GAZETA.PL

Zadanie 6. (4 pkt)

Aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby 104 976 , można postąpić następująco: etap 1.

10’49’76

dzielimy daną liczbę na grupy, odliczając po dwa miejsca, począwszy od rzędu jedności;

etap 2.

104976 = 3 _ _ 10′49′76 – 9 149

szukamy liczby, której kwadrat mieści się w grupie liczb pierwszej od lewej strony – będzie to 3, bo 32 = 9. Znaleziona liczba jest pierwszą cyfrą szukanego wyniku. Od pierwszej grupy liczb odejmujemy otrzymany kwadrat i do wyniku dopisujemy kolejną grupę liczb (otrzymujemy 149);

etap 3.

104976 = 3 2 _ 10′49′76 – 9 149 – 124 2576

podwajamy liczbę znalezioną na drugim etapie (3 × 2 = 6). Do liczby 6 dopisujemy taką cyfrę, aby utworzona w ten sposób liczba pomnożona przez taką liczbę jak dopisana cyfra dała w wyniku największą liczbę mieszczącą się w 149 (62 × 2 = 124). Liczba 2 to kolejna cyfra szukanego wyniku;

etap 4.

104976 = 3 2 4 10′49′76 – 9 150 – 124 2576 – 2576 ==

podwajamy liczbę stanowiącą w tej chwili część wyniku (32) i następnie powtarzamy wszystkie czynności etapu 3. (32 × 2 = 64; 644 × 4 = 2576).

Odp.: 104976 = 324. Postępując analogicznie, oblicz pierwiastek kwadratowy z liczby 18 939 904.

Zadanie 7. (3 pkt)

Spośród odcinków o długościach 3, 4, 5, 6, 7 losujemy trzy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że z wylosowanych odcinków można zbudować trójkąt. Zadanie 8. (5 pkt)

Miejscem zerowym funkcji f(x) = 3x + b jest liczba –6. Wyznacz te argumenty x, dla których funkcja f i funkcja g(x) = –x3 + 9x2 + 5x przyjmują te same wartości.

GAZETA WYBORCZA u WWW.GAZETA.PL

MATURA

5

Zadanie 9. (4 pkt)

Do szkoły wchodzi się po czterech stopniach. Każdy z nich ma 15 cm wysokości. Zaplanowano zbudowanie podjazdu dla osób niepełnosprawnych o nachyleniu 6°. Oblicz długość podjazdu. Zaokrąglij wynik do 10 cm. Zadanie 10. (5 pkt)

Przez punkt R położony wewnątrz trójkąta ABC poprowadzono trzy proste równoległe do boków trójkąta. Otrzymano w ten sposób trzy trójkąty o wspólnym wierzchołku R o polach P1, P2, P3. Uzasadnij, że P∆

ABC

=

(P+ 1

) 2

P2 + P3 .

Zadanie 11. (5 pkt)

Opisz za pomocą układu nierówności zbiór wszystkich punktów należących do pięciokąta ABCDE. Oblicz pole tego wielokąta.

MATURA

6

GAZETA WYBORCZA u WWW.GAZETA.PL

Arkusz II II Poziom rozszerzony Zadanie 12. (5 pkt)

Oblicz wartość wyrażenia:

  3− 2 3 3−2 (4 3 +8)  3 3 − 2 + + + ... 3 3   poprzednio uzasadniając, że składniki w nawiasie kwadratowym są wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego zbieżnego.

(

)

Zadanie 13. (6 pkt)

Rozwiąż nierówność: log(x – 3) x − 2 ≥ 1 . x−4

Zadanie 14. (4 pkt)

W równoległoboku dany jest kąt ostry równy 60°. Krótsza przekątna równoległoboku o długości e = 8 jest prostopadła do boków krótszych. Oblicz długość dłuższej przekątnej równoległoboku.

Zadanie 15. (7 pkt)

Zbadaj ciągłość funkcji i narysuj jej wykres:

 πx sin 2 f ( x) =  x−2 

, x ≤2 , x >2

Zadanie 16. (7 pkt)

Z pojemnika zawierającego 27 kul, wśród których znajduje się n białych kul ( n ∈ N ), losujemy trzy razy po jednej kuli ze zwracaniem. Dla jakiej liczby n prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie dwóch białych kul jest największe?

Zadanie 17. (5 pkt)

Udowodnij, że dla każdego n ∈ N + liczba (10 n + 4n – 2) jest podzielna przez 6.

MATURA

GAZETA WYBORCZA u WWW.GAZETA.PL

7

Zadanie 18. (5 pkt)

Kwadrat ABCD, gdzie A = (0, –1), B = (2, –5), C = (6, –3), D = (4, 1), przekształcono przez translację o wektor u = [2, –1] , a następnie otrzymany obraz A'B'C'D' przez jednokładność o środku O= (0, 0) i skali k = –2. Napisz równanie okręgu opisanego na czworokącie A''B''C''D'', który jest obrazem czworokąta A'B'C'D' w jednokładności.

Zadanie 19. (4 pkt)

Sporządź ilustrację graficzną i podaj wszystkie pary liczb całkowitych spełniających układ nierówności:

 y − x 2 − 3 x ≥ 0   y + x − 2 < 1 Zadanie 20. (6 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym α = 60°. Krawędź boczna graniastosłupa ma długość 8. Krótsza przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt β = 60°. Przez krótszą przekątną graniastosłupa poprowadzono płaszczyznę sieczną, która jest równoległa do dłuższej przekątnej podstawy. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Sporządź rysunek graniastosłupa i zaznacz na nim ten przekrój.

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Za każdą czynność oznaczoną l uczeń otrzymuje 1 punkt.

Zadanie 1. (4 pkt) l

l l l

Analiza warunków zadania, np. wprowadzenie i opisanie oznaczeń: x + 3 długość boku pierwszego dywanu, x długość boku drugiego dywanu. Zapisanie równania: 30(x + 3) + 25 x 2 = 1870 , D = R+ . 2

Rozwiązanie równania z uwzględnieniem dziedziny: x = 4 m. Obliczenie długości boku pierwszego dywanu: x + 3 = 7 m.

21329050

MATURA

8

GAZETA WYBORCZA u WWW.GAZETA.PL

Zadanie 2. (5 pkt)

l

Sporządzenie diagramu słupkowego. Obliczenie średniej x = 4,39 liczby zadań rozwiązywanych przez uczniów. Napisanie wzoru na odchylenie standardowe. Obliczenie odchylenia standardowego: σ = 2,5 l. Obliczenie mediany: Me = 4.

l

Analiza zadania, np. sporządzenie rysunku.

l l l l

Zadanie 3. (6 pkt)

B

l

l l l l

Zastosowanie twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt. Zapisanie warunku: 18 = b + d, gdzie b i d – długości ramion trapezu. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i zapisanie równania: d2 + 62 = b2. Rozwiązanie równania z jedną zmienną, np. obliczenie długości ramienia b: b = 10. Obliczenie długości drugiego ramienia: d = 8. 4 Obliczenie tangensa kąta ostrego: tg α = 3

Zadanie 4. (4 pkt) l

l

Zauważenie, że kwoty rat tworzą malejący skończony ciąg arytmetyczny o różnicy r = –60, n = 10. Zastosowanie wzoru na sumę częściową i wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego 2a + 9 ⋅ (−60) i zapisanie równania: 7200 = 1 ⋅10 . 2

l

Obliczenie wysokości pierwszej raty: a1 = 990 zł. Obliczenie wysokości piątej raty: a5 = 750 zł.

l

Analiza zadania, np. sporządzenie i oznaczenie rysunku:

l

Zadanie 5. (5 pkt)

r – promień podstawy stożka h – wysokość stożka

GAZETA WYBORCZA u WWW.GAZETA.PL

l l l l

MATURA

Zapisanie związków prowadzących do obliczenia h i r:

9

h r = cos 15 o , = sin 15 o . 15 15

Obliczenie wysokości i promienia: h = 14,49cm ≈ 14,5 cm, r = 3,885 cm ≈3,9 cm. Obliczenie objętości stożka: V = 230,84 cm3. Obliczenie objętości lodów: 95%V = 219,3 cm3.

Zadanie 6. (4 pkt) l l l l

Podzielenie liczby na grupy: 18'93'99'04. Wyznaczenie pierwszej cyfry pierwiastka kwadratowego: 4. Wyznaczenie drugiej cyfry pierwiastka kwadratowego: 43. Wyznaczenie trzeciej i czwartej cyfry pierwiastka kwadratowego: 4352.

Zadanie 7. (3 pkt)

 5  3

l

Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω =   = 10 .

l

Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A: A = 9.

l

Obliczenie prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia A: P(A) =

9 . 10

Zadanie 8. (5 pkt) l l l

Wykorzystanie definicji miejsca zerowego i zapisanie równania: (–3) . 6 + b=18. Obliczenie współczynnika b: b = 18. 3 2 Zapisanie równania f ( x) = g ( x) : − x + 9 x + 5 x = 3 x + 18 .

l

Przekształcenie równania do postaci (2 − x 2 )(x − 9 ) = 0 .

l

Rozwiązanie równania: x = − 2 ∨ x = 2 ∨ x = 9 .

l

Analiza zadania, np. sporządzenie i oznaczenie rysunku:

Zadanie 9. (4 pkt)

x – długość podjazdu

MATURA

10

GAZETA WYBORCZA u WWW.GAZETA.PL

l

Obliczenie różnicy poziomów na podjeździe: AC = 60 cm . 60 = sin 6o . Zapisanie związku: x Obliczenie długości podjazdu, zaokrąglenie do 10 cm: x = 570 cm.

l

Uzasadnienie, że ∆DER ~ ∆ABC , ∆RFG ~ ∆ABC , ∆MRK ~ ∆ABC .

l

Wykorzystanie związku między polem figur podobnych i zapisanie związków:

l l

Zadanie 10. (5 pkt)

MR AB l

=

P1 P

,

DE AB

P2

=

P

,

RF AB

P3

=

P

.

Wyznaczenie długości boku AB: AB =

P1 P

⋅ AB +

P2 P

⋅ AB +

P3 P

⋅ AB .

P = P1 + P2 + P3 .

l

Przekształcenie wyrażenia i zapisanie:

l

Podniesienie obu stron równości do kwadratu i zapisanie: P =

l

Wyznaczenie równań prostych AB, BC, AE.

l

Uwzględnienie znaku nierówności nieostrej.

l

Zapisanie układu nierówności opisujących pięciokąt ABCDE:

(P + 1

) 2

P2 + P3 .

Zadanie 11. (5 pkt)

  x ≥ −2  y ≤ 4   y ≥ −x − 2  2 y ≥ x − 2 5   y ≤ −2 x + 10 l

Obliczenie długości podstawy i wysokości trójkąta ABE: EB = 7 , OA = 2 .

l

Obliczenie długości krótszej podstawy i wysokości trapezu EBCD: DC = 5 , DE = 4 .

l

Obliczenie pola pięciokąta: P = 31 [j2].

Uwaga! Za każde poprawne rozwiązanie zadania, inne od zaproponowanego w modelu odpowiedzi, przyznaje się maksymalną liczbę punktów.

MATURA

GAZETA WYBORCZA u WWW.GAZETA.PL

11

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II Za każdą czynność oznaczoną l uczeń otrzymuje 1 punkt.

Zadanie 12. (5 pkt) l

Uzasadnienie, że składniki sumy w nawiasie kwadratowym tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q =

a a 3 tzn. 2 = 3 = const . 3 a1 a 2 3 < 1 i powołanie się na twierdzenie o nieskończonym ciągu geometrycznym zbieżnym. 3

l

Zauważenie, że

l

Obliczenie sumy składników w nawiasie kwadratowym:

l

Usunięcie niewymierności z mianownika i zapisanie wyrażenia w postaci:

.

(

(

3 3−2 3 −1

). (

)

31− 3 . 2

)

l

Obliczenie wartości wyrażenia: − 6 3 + 1 .

l

Zapisanie warunków prowadzących do wyznaczenia dziedziny

Zadanie 13. (6 pkt)

x − 3 > 0 ∧ x − 3 ≠ 1∧ x − 4 ≠ 0 ∧

x−2 >0. x−4

l

Określenie dziedziny: D = (4, ∞ ).

l

Przekształcenie nierówności do postaci:

l

Przekształcenie nierówności wymiernej i doprowadzenie do postaci:

(− x

2

x−2 ≥ x − 3. x−4

)

+ 8 x − 14 (x − 4 ) ≥ 0 .

(

l

Rozwiązanie nierówności wielomianowej: x ∈ − ∞, 4 − 2 ∪ 4,4 + 2 .

l

Uwzględnienie dziedziny i podanie odpowiedzi: x ∈ (4, 4 + 2 .

l

Analiza zadania, np. sporządzenie i oznaczenie rysunku:

Zadanie 14. (4 pkt)

d – dłuższa przekątna

l

Zapisanie związków prowadzących do wyznaczenia długości boków równoległoboku

MATURA

12

GAZETA WYBORCZA u WWW.GAZETA.PL

8 8 = sin 60° , = tg 60° . a b 16 3 8 3 , b= . 3 3

l

Obliczenie długości boków równoległoboku: a =

l

Zastosowanie twierdzenia cosinusów i obliczenie długości dłuższej przekątnej: d =

l

Stwierdzenie, że funkcja f(x) jest ciągła w przedziałach (− ∞,−2 ), (2, ∞ ), (− 2,2 ) i wskazanie punktów,

8 21 . 3

Zadanie 15. (7 pkt)

l

w których należy zbadać ciągłość funkcji: x0 = −2 , x0 = 2.. 2 , x 0 = 2 .. Obliczenie granic jednostronnych funkcji f(x) w punkcie πx lim sin = 0 , lim x − 2 = 0.. x →2 x →2 2 −

+

l

Obliczenie wartości funkcji f(x) dla argumentu 2. 2 , x0 = 2 . Stwierdzenie, że funkcja f(x) jest ciągła w punkcie

l

Obliczenie granic jednostronnych funkcji f(x) w punkcie x0 = −2 :,

l

lim x − 2 = 4 , lim+ sin (− π ) = 0 .

x → −2 −

l l

x → −2

Stwierdzenie, że funkcja f(x) nie jest ciągła w punkcie x0 = −2 ., Narysowanie wykresu funkcji f(x).

Zadanie 16. (7 pkt) l

l

Opisanie zdarzenia losowego, np. A – zdarzenie polegające na wylosowaniu dokładnie dwóch białych kul przy trzykrotnym losowaniu ze zwracaniem. Zauważenie, że doświadczenie losowe dotyczy n prób Bernoulliego i wyznaczenie prawdopodobieństw porażki i sukcesu: p =

n 27 − n , q= . 27 27

MATURA

GAZETA WYBORCZA u WWW.GAZETA.PL

l

13

Zastosowanie schematu Bernoulliego i zapisanie prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia A: 2

 n  27 − n   ⋅ 27  27 

 3 P(A) =    2

(

)

3 ⋅ 27 n 2 − n 3 . 27 3

l

Doprowadzenie P(A) do postaci: P(A) =

l

Obliczenie pochodnej P’(A) =

l

Rozwiązanie równania P’(A) = 0: n = 0 ∨ n = 18 . Zbadanie znaku pochodnej i wskazanie punktu, w którym funkcja P osiąga maksimum: n =18 . Uzasadnienie, że funkcja P w punkcie n =18 przyjmuje wartość największą.

l l

(54n − 3n )⋅ 2

3 . 27 3

Zadanie 17. (5 pkt) l l

Wykazanie prawdziwości twierdzenia dla n =1. Zapisanie założenia i tezy indukcyjnej:

6 10k + 4k – 2, czyli

Z: dla n = k T: dla n = k + 1 l l

l

6  10

k +1

+4

k +1

10 k + 4 k − 2 = 6c , c – liczba ca³kowita

−2

Przekształcenie wyrażenia 10 k +1 + 4 k +1 − 2 do postaci: 10 k (9 + 1)+ 4 k (3 + 1)− 2 . Wykorzystanie założenia indukcyjnego i zapisanie wyrażenia w postaci: 9 ⋅ 10 k + 3 ⋅ 4 k + 6c , gdzie c jest liczbą całkowitą. Przekształcenie wyrażenia i zapisanie w postaci:

(

)

(

)

(

)

3 3 ⋅ 10 k + 4 k + 6c = 3 3 ⋅ 2 k ⋅ 5 k + 2 2 k + 6c = 6 3 ⋅ 2 k −1 ⋅ 5 k + 2 2 k −1 + 6c =

(

= 6 3⋅ 2

k −1

⋅5 + 2 k

2 k −1

)

+ c = 6d .

Uzasadnienie, że d jest liczbą całkowitą, i stwierdzenie końca dowodu.

Zadanie 18. (5 pkt)

l

Wyznaczenie współrzędnych obrazów A', B', C', D' punktów A, B, C, D w translacji: A' = (2, –2), B' = (4, –6), C' = (8, –4), D' = (6, 0). Wyznaczenie współrzędnych obrazów A'', B'', C'', D'' punktów A', B', C', D' w jednokładności: A'' = (–4, 4), B'' = (–8, 12), C'' = (–16, 8), D'' = (–12, 0). Obliczenie współrzędnych środka S okręgu: S = (–10, 6).

l

Obliczenie promienia r okręgu: r = 160 = 2 10 .

l

Napisanie równania okręgu: (x + 10 ) + (y − 6 ) = 40 .

l

2 Wskazanie na płaszczyźnie zbioru punktów, których współrzędne spełniają nierówność: y ≥ x − 3 x .

l

l

2

2

Zadanie 19. (4 pkt) l l l

Wskazanie na płaszczyźnie zbioru punktów, których współrzędne spełniają nierówność: y < − x − 2 + 3 . Wskazanie iloczynu zbiorów. Odczytanie par liczb całkowitych spełniających układ nierówności: (0, 0), (2, 2), (3, 1), (3, 0).

MATURA

14

GAZETA WYBORCZA u WWW.GAZETA.PL

Zadanie 20. (6 pkt) l

Sporządzenie rysunku graniastosłupa i zaznaczenie na nim przekroju:

l

Uzasadnienie, że otrzymany przekrój BKD'M jest rombem.

l

Obliczenie przekątnej przekroju BD’: BD ' = d =

16 3 .oraz 3

długości odcinka SS’: SS ' = 4 .

8 3 . 3

l

Obliczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa: a =

l

Obliczenie długości krótszej przekątnej przekroju KM: KM = 8 .

l

Obliczenie pola przekroju P: P =

64 2 2 [j ]. 3

Uwaga! Za każde poprawne rozwiązanie zadania inne od zaproponowanego w modelu odpowiedzi przyznaje się maksymalną liczbę punktów. Przykładowy zestaw zadań maturalnych z matematyki przygotowały Jadwiga Brzezińska i Ewa Ludwikowska, egzaminatorki Centralnej Komisji Egzaminacyjnej, autorki „Wymagań programowych z matematyki dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum” oraz „Zestawów maturalnych – zakres podstawowy i rozszerzony” (wyd. Nowa Era)