UNIVERSIDAD DEL CAUCA Facultad de Ciencias Naturales, Exactas y de la Educación Departamento de Matemáticas

CÁLCULO I Ejercicios

Aplicaciones de la derivada (II) Rectas tangentes 1. Sea  la curva gráfica de la ecuación  () = 2 . Encuentre la ecuación cartesiana de la recta tangente a  en cada uno de los puntos (−3 9), (0 0) y (1 1). Después de encontrar las ecuaciones, haga una representación gráfica de  (), trace las tres rectas mencionadas, resalte claramente los tres puntos mencionados y compruebe geométricamente los resultados. 2. Sea  () la función definida por  () =

1 3  − 22 + 3 + 1 3

Encuentre todos los puntos de la gráfica de  () en donde la recta tangente es horizontal. Haga una representación gráfica de  () tomando, como ventana de visualización, el rectángulo −1 ≤  ≤ 5

−2≤ ≤4

y, como unidad de escala, 2 centímetros. Resalte los puntos de la gráfica encontrados y trace las respectivas rectas horizontales que pasan por ellos. Compruebe que en efecto cada una de estas rectas es tangente a la gráfica de  () en el punto respectivo. 3. Resuelva la misma pregunta del ejercicio anterior para la función  () definida por  () =

5 − 2 2 + 1

Para representar gráficamente a  () tome, como ventana de visualización, el rectángulo −6 ≤  ≤ 6

−5≤ ≤3

y, como unidad de escala, 1 centímetro. √ √ 4. Sea  () =  + 1 − . Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de  () en un punto arbitrario (  ()) de ella. Demuestre que la recta tangente en cualquier punto de la curva siempre tiene pendiente negativa. Haga una representación gráfica de la función  (), seleccione algunos puntos de dicha gráfica, encuentre las correspondientes ecuaciones de las rectas tangentes, trace estas últimas y compruebe que todas quedan inclinadas hacia abajo. 5. Sea  () = 2 +  +  donde  y  son constantes reales dadas. Encuentre los valores de  y  de tal manera que la recta  = 3 sea tangente a la gráfica de  () en el punto (2 6). Después de resolver el problema analíticamente, haga una representación gráfica de  (), trace la recta  = 3 y compruebe geométricamente que en efecto esta recta es tangente a la gráfica de  () en el punto (2 6).

Ejercicios

6. Sean  () = 2 +  +  y  () = 3 −  donde ,  y  son constantes reales dadas. Encuentre los valores de ,  y  de tal manera que las gráficas de  () y  () se intersecten en el punto (1 2) y tengan la misma recta tangente en ese punto. Después de calcular los valores de las constantes, haga una representación gráfica de  () y  () en el mismo plano , resalte el punto (1 2), trace la recta tangente a la gráfica de  () en el punto (1 2) (para lo cual tendrá que hallar primero la ecuación de dicha tangente) y compruebe geométricamente que en efecto las dos gráficas se intersectan en el punto (1 2) y tienen la misma tangente en dicho punto. 7. Sea  () = 2 +  +  donde ,  y  son constantes reales dadas con  6= 0. Encuentre todos los puntos de la gráfica de  () en los cuales la recta tangente es perpendicular a la recta  = 2 + 3. Después de resolver el problema analíticamente, haga una representación gráfica de  (), trace las rectas tangentes en consideración y compruebe geométricamente sus resultados analíticos. 8. Demuestre que la recta  = − es tangente a la gráfica de la función  () = 3 − 62 + 8 Encuentre el punto de tangencia. Demuestre que esta recta tangente intersecta la gráfica de  () en otro punto (no necesariamente punto de tangencia). Después de realizar ambas demostraciones, represente gráficamente la función  () y la recta  = −. Tome, como ventana de visualización, el cuadrado −5 ≤  ≤ 5 −5≤ ≤5 y, como unidad de escala, 1 centímetro. Compruebe geométricamente los resultados demostrados.

9. Encuentre la ecuación cartesiana de la recta tangente a la curva plana de ecuación  3 − 3 2 + 32  − 23 − 1 = 0 en cada uno de los puntos de corte de esta curva con los ejes coordenados. La siguiente figura muestra la parte de la curva en la ventana de visualización −2 ≤  ≤ 2

−1≤ ≤3

y 3

2

1

x -2

-1

1

-1

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2

Aplicaciones de la derivada (II)

10. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación ¡ ¢  + log 1 + 2 +  2 − 1 = 0

en el punto

¡√ ¢  − 1 0 . La siguiente figura muestra la parte de la curva en la ventana de visualización −3 ≤  ≤ 3

− 2.5 ≤  ≤ 2.5

y

2

1

( e - 1,0)

x -3

-2

-1

1

2

3

-1

-2

11. Sea  la curva representada por la ecuación 23 +  23 = 23 donde  es una constante real positiva. Esta curva se denomina una astroide o también una hipocicloide de cuatro cúspides. La figura siguiente muestra una gráfica de esta curva. (Inmediatamente se entiende por qué se llama astroide. El segundo nombre se debe a que es la curva que describe un punto fijo de una circunferencia de radio 4 que rueda sin resbalar por la parte interior de otra circunferencia de radio .) Sea  = (0  0 ) un punto cualquiera de la astroide distinto de sus cuatro vértices ( 0), (0 ), (− 0) y (0 −). Demuestre que el segmento de la recta tangente a  en  , comprendido entre los ejes de coordenadas, tiene longitud . Página 3 de 5

Ejercicios

y a C

a

-a

P0 = ( x0 , y0 ) a

-a

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x

Aplicaciones de la derivada (II)

Respuestas Rectas tangentes 1.  = −6 − 9

3.

Ã

2+

=0

! √ √ 29 29 − 2  5 2

5.  = −1

=4

 = 2 − 1 Ã

2−

6.  = 1

2.

µ

1

7 3

¶

! √ √ 29 29 + 2 − 5 2 =0

(3 1) √ √ − +1 ( − ) +  () 4.  = p 2  ( + 1)

 = −1

µ ¶ 1 + 2 1 − 42 + 16 7. Solo hay un punto que cumple la condición dada: −  4 16 8. El punto de tangencia es (3 −3). La recta tangente también corta la gráfica de  () en el punto (0 0) Ã √ ! 3 4 9. Los puntos de corte de la curva con los ejes coordenados son (0 1) y −  0 . Las ecuaciones 2 √ cartesianas de las rectas tangentes son, respectivamente,  =  + 1 y  = 2 + 3 4. √ 10.  − 2 − 2  − 1 = 0

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