Sea f, g dos funciones tal que para todo valor x en [a, b]. Entonces, el área A entre sus gráficas en el intervalo [a, b] es: 𝑛
𝐴 = lim
𝑓𝑖 𝑥 − 𝑔𝑖 (𝑥) ∆𝑥𝑖
𝑛→∞ 𝑖=1
b
A f ( x) g ( x)dx a b
A gráfica arriba - gráfica abajo dx a
ÁREA ENTRE DOS CURVAS
16/03/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
2 de 20
Ejemplo 1 • Calcule el área entre y x y y x . • Solución: • Paso 1 – Grafique ambas funciones e identifique cuál es la función que está por encima. 2
16/03/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
3 de 20
Ejemplo 1 … • Paso 2: Determine puntos de intersección
y x2
x x2
y x
x 0,1
• Evalúe el integral definido: 1
A
x x 2 dx
0
1
1 3 2 x x x 3 0 3 2 1 3 3 16/03/2014
1 3
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
4 de 20
Ejemplo 2 • Aproxime el área entre y e , y x y por la rectas verticales x = 0 y x = 1 a la diez milésima más cercana. 1 x A e • Solución: x dx x
0 1
1 2 e x 2 0 3 e 2 1.218281828 x
1.2183 16/03/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
5 de 20
Ejercicio #1 2 • Calcule el área entre y 2 x y y x . • Solución:
16/03/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
6 de 20
Ejercicio #1 2 • Calcule el área entre y 2 x y y x . • Solución:
x 2 10 x y g ( x) x2 2 x 3x3 x 2 10 x x 2 2 x 3x 3 12 x 0 3x( x 2)( x 2) 0 x 2,0,2
• Solución:
A
0
2
2
0
f ( x) g ( x) dx g ( x) f ( x) dx 3x 0
A
2
3
2
12 x dx 3x 3 12 x dx 0 0
2
3x 4 3x 2 6x2 6x 4 4 0 2 4
(12) 12 24
16/03/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
8 de 20
Si A(x) representa el área de la sección transversal, entonces el volumen V está dado por: 𝑛
𝑉 = lim
𝐴𝑖 𝑥 ∆𝑥𝑖
𝑛→∞ 𝑖=1 b
V A( x)dx a
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN 16/03/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
9 de 20
Método por Discos • Se basa en que el volumen V de un disco o cilindro circular con radio r y ancho h es:
V Área del círculo altura V r 2 h • Por tanto, si un sólido se puede dividir en cilindros circulares (no necesariamente del mismo grueso), su volumen: b
b
b
a
a
a
V A( x)dx [ r ( x)]2 dx [ r ( x)]2 dx b
V [ r ( x)]2 dx a
16/03/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
10 de 20
Ejemplo 5 • Encuentre el el volumen del sólido formado al girar 2 alrededor del eje de x la gráfica de f ( x) x 4 x 5 para los valores de x entre x = 1 y x = 4 • Solución: Paso 1 – Bosqueje la gráfica.
Paso 2 –Visualice la región que se crea cuando la región se gira.
16/03/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
11 de 20
Ejemplo 5 … r ( x) x 2 4 x 5
Paso 3 – Visualice una sección transversal de la región. Paso 4 – Identifique la función que define el radio r(x). b
V [r ( x)]2 dx 4
a
4
[ x 4 x 5] dx [ x 4 8 x3 26 x 2 40 x 25]dx 2
• 16/03/2014
1
2
1
4
26 3 1 78 x5 2 x 4 x 20 x 2 25 x 3 5 5 1 Prof. José G. Rodríguez Ahumada
12 de 20
Ejercicio #1 • Encuentre el el volumen del sólido formado al girar alrededor del eje de x la gráfica de f ( x) sin x para valores de 0 x
y sin x
16/03/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
13 de 20
Ejercicio #1 • Encuentre el el volumen del sólido formado al girar alrededor del eje de x la gráfica de f ( x) sin x para valores de 0 x • Solución: b
V [r ( x)]2 dx a
V [ sin x ]2 dx 0
y sin x
[sin x] dx 0
cos x 0 cos cos 0 2
16/03/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
14 de 20
Método por Arandelas • Se basa en que el volumen V de un sólido se puede dividir por arandelas con radio interior r(x) y radio exterior R(x) de ancho. • El volumen de una arandela sería:
V R( x)2 h r ( x)2 h
• Por consiguiente, el volumen del sólido se determinaría por: b
V [ R( x)]2 [r ( x)]2 dx a
16/03/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
15 de 20
Ejemplo 6 • Encuentre el el volumen del sólido formado al girar
alrededor del eje de y la región en el cuadrante I,
x encerrada por la gráficas de f ( x) x y y 4 3
• Solución:
y3 x
x y 4
16/03/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
16 de 20
Ejemplo 6 … y3 x
x y 4
dy
V 4 y y
3 2
b
a
b
2
16 y 2 y 6 dy a
16/03/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
17 de 20
Ejemplo 6 … • Determine los puntos de intersección para determinar los límites del integral. x 2 3
x
y x 3
4 x3 x 64
x y 4
0 x x 64
x 0,8
y 2,0,2
• Los valores de y que interesan son aquellos que definen la región del cuadrante 1. Estos son: 0 y 2.
Si f(x) representa la fuerza que requiere mover un objeto a lo largo de una línea, entonces el trabajo W está dado por: 𝑛
𝑊 = lim
𝑓𝑖 𝑥 ∆𝑥𝑖
𝑛→∞ 𝑖=1
b
W f ( x) dx a
TRABAJO Trabajo es igual a fuerza por distancia Trabajo se mide en joules o newton-metros. Un newton es la fuerza que requiere darle una masa de 1 kg una aceleración de 1 metro por segundo cuadrado. 16/03/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
19 de 20
Ejemplo 7 • Si la fuerza (en newtons) requerida para mantener un resorte estirado 𝑥 pulgadas está dado por 𝐹(𝑥) = 300𝑥, determine el trabajo que se necesita para estirar el resorte 0.3 metros de su posición normal. • Solución: 0.3 𝑊= 300𝑥𝑑𝑥 0
