Cap´ıtulo 3

Anillos Hemos utilizado estructuras en las que hay dos operaciones, como la suma y el producto en Z. El objeto m´as b´asico de este tipo es un anillo, cuyos axiomas son bastante parecidos a los axiomas aritm´eticos de los enteros, aunque ligeramente m´ as d´ebiles; y, por lo tanto, m´as generales.

3.1

Anillos

Definici´ on 3.1.1 Un anillo es un conjunto A en el que hay definidas dos operaciones binarias + y · que cumplen los axiomas siguientes: 1. (A, +) es un grupo conmutativo 2. · es asociativa 3. · es distributiva respecto a +. Las operaciones + y · se llaman suma y producto en el anillo (aunque pueden ser diferentes de la suma y producto usuales). El elemento neutro para + se representa con el s´ımbolo 0 (elemento cero) y el sim´etrico aditivo de a se escribe −a y se denomina opuesto de a. Si la operaci´ on · es conmutativa se dice que A es un anillo conmutativo. Si existe neutro para · se dice que A es un anillo unitario y el neutro se denota por el s´ımbolo 1 (elemento uno). 1. (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·), (Zm , +, ·)

Ejemplo 3.1.1

2. El conjunto de matrices 2 × 2 con coeficientes enteros (o reales) con la suma y producto de matrices. Este anillo no es conmutativo, pero s´ı es unitario. 3. (Z, ⊕, ⊗) con ⊕ y ⊗ definidas, para cada par de n´ umeros x, y por x⊕y = x+y −1, x⊗y = x+y −xy. Es un anillo conmutativo y unitario en el cual el neutro para ⊕ es el n´ umero entero 1 y el neutro para ⊗ es el n´ umero entero 0. 4. En A = {a, b, c, d, e} se define las operaciones siguientes dadas por la tablas +

a

b

c

d

e

·

a

b

c

d

e

a

a

b

c

d

e

a

a

a

a

a

a

b

b

c

d

e

a

b

a

b

c

d

e

c

c

d

e

a

b

c

a

c

e

b

d

d

d

e

a

b

c

d

a

d

b

e

c

e

e

a

b

c

d

e

a

e

d

c

b

Es un anillo finito conmutativo y unitario. El elemento a es el neutro para la suma, mientras que b es el neutro para el producto. 1

CAP´ITULO 3. ANILLOS

2 A partir de aqui, consideraremos que (A, +, ·) es un anillo. Proposici´ on 3.1.1

1. Para todo elemento a ∈ A se verifica que 0 = 0 · a = a · 0.

2. Si A es unitario y A 6= {0} entonces 0 6= 1. En efecto, para a 6= 0, a · 1 = a 6= 0 = a · 0, por lo tanto 0 6= 1. 3. (−a) · b = −(a · b) = a · (−b), ∀a, b ∈ A. 4. (−a) · (−b) = a · b, ∀a, b ∈ A. (Demostraci´ on.)

3.2

Divisores de cero y unidades

Definici´ on 3.2.1 Un elemento a de un anillo A se llama divisor de cero si existe un elemento no nulo b ∈ A tal que a · b = 0 ´ o b · a = 0. Cuando a 6= 0 se denomina divisor de cero propio. Un elemento a de un anillo unitario A se llama inversible (o unidad) si a posee inverso multiplicativo, es decir, si existe un elemento b ∈ A tal que a · b = 1 = b · a. Observaci´ on 3.2.1 Con la notaci´ on anterior, si a es unidad el elemento b es u ´nico, se denomina inverso de a y se representa por a−1 . Se denota por U (A) el conjunto de los elementos inversibles del anillo A, que es un grupo con la operaci´ on producto, llamado grupo multiplicativo de A. Ejemplo 3.2.1

1. Z no tiene divisores de cero propios y U (Z) = {1, −1}.

2. En R no hay divisores de cero propios y U (R) = R − {0}. 3. En Zm un elemento a es inversible si, y s´ olo si, m.c.d.(a, m) = 1, de lo que se deduce que U (Zm ) es un grupo de orden φ(m). Por ejemplo, U (Z8 ) = {1, 3, 5, 7}. 4. En el conjunto de matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes reales, la matriz B es un divisor de cero, y las matrices inversibles son aquellas cuyo determinante es no nulo; por ejemplo, D es inversible.

B=

„ 2 3

« 4 6

D=

„ 2 3

« 3 6

5. En el apartado 4 del Ejemplo 3.1.1, todo elemento no nulo es inversible. Proposici´ on 3.2.2 Sea a ∈ A, a 6= 0. 1. El elemento a es un divisor de cero si, y s´ olo si, a no es simplificable para el producto. 2. Si a es un elemento inversible, a no es divisor de cero. (Demostraci´ on.)

3.3.

3.3

DOMINIOS Y CUERPOS

3

Dominios y cuerpos

Los conceptos de divisor de cero e inversible conducen a dos tipos importantes de anillos: los dominios y los cuerpos. Definici´ on 3.3.1 Un anillo conmutativo unitario A, se denomina 1. dominio de integridad (o, simplemente, dominio) si no tiene divisores de cero propios; 2. cuerpo (conmutativo) si todo elemento distinto de 0 tiene inverso (es decir, U (A) = A − {0}). Observaci´ on 3.3.1 Un cuerpo es un dominio. En efecto, si a · b = 0 con a 6= 0 en un cuerpo K entonces existe a−1 ∈ K y por tanto b = a−1 · a · b = a−1 · 0 = 0. Sin embargo, no todos los dominios son cuerpos, por ejemplo Z el anillo de los n´ umeros enteros es un dominio pero no es cuerpo ya que, por ejemplo 2 no tiene inverso multiplicativo. Proposici´ on 3.3.2 Todo dominio finito es un cuerpo. Demostraci´ on. Sea D un dominio cuyos elementos son d1 , · · · , dn . Veamos que si a 6= 0 es un elemento arbitrario distinto del 0 entonces existe su inverso multiplicativo. Observemos que los productos a.d1 , · · · , a.dn son distintos dos a dos pues si a.di = a.dj entonces a.(di − dj ) = 0 de donde se concluye que di = dj . Luego el conjunto C = {a.d1 , · · · , a.dn } tiene los mismos elementos que D. En particular, existe un i tal que 1 = adi . Como D es conmutativo tenemos que 1 = di .a y por tanto a−1 = di . Proposici´ on 3.3.3 El anillo de enteros m´ odulo n, Zn , es un cuerpo si y s´ olo si n es un n´ umero primo. Demostraci´ on. Veamos en primer lugar que Zn cuerpo implica que n es un n´ umero primo. Haremos un razonamiento por contradicci´ on. Supongamos que n no es un n´ umero primo. Si n = 1 entonces Zn = Z no es cuerpo. Si n > 1 entonces n = ab con a y b enteros estrictamente menores que n. En Zn , tenemos que [a][b] = [ab] = [n] = [0]. Si Zn fuese un cuerpo, necesariamente [a] = [0] o bien [b] = [0]. Pero eso se cumple si n | a o n | b lo que contradice la hip´ otesis. Veamos ahora que si n es primo entonces Zn , es un cuerpo. Para ello, probaremos que todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo. En efecto, consideremos [m] ∈ Zn con m < n. Por ser n primo tenemos que m y n son primos entre s´ı y por tanto existen enteros tales que 1 = am + bn, de donde [1] = [a][m] + [b][n] = [a][m] + [b][0] = [a][m]. Luego [m] tiene inverso en Zn . Ejemplo 3.3.1

1. (Q, +, ·) y (R, +, ·) son cuerpos.

2. Dado a ∈ Zm , a 6= 0, si mcd(a, m) = 1 entonces a es inversible en Zm , si mcd(a, m) 6= 1, entonces a es divisor de cero. En consecuencia, Zm es cuerpo si, y s´ olo si Zm es un dominio si, y s´ olo si, m es primo.

3.4

Subanillos y subcuerpos

Definici´ on 3.4.1 Sea (A, +, ·) un anillo (cuerpo), un subconjunto no vac´ıo S de A se dice que es un subanillo (subcuerpo) de A si (S, +, ·) (es decir, S con restricci´ on de la suma y el producto de A) es un anillo (cuerpo). Ejemplo 3.4.1 triviales).

1. Para cualquier anillo A, los conjuntos {0} y A son subanillos de A (subanillos

2. El conjunto de los enteros pares es un subanillo (aunque no unitario) de (Z, +, ·). De hecho, para cualquier entero m > 0, el conjunto < m > de los m´ ultiplos de m es un subanillo de (Z, +, ·). 3. (Z, +, ·) es subanillo de (Q, +, ·), y ´este es subcuerpo de (R, +, ·).

CAP´ITULO 3. ANILLOS

4 El resultado siguiente caracteriza los subconjuntos de A que son subanillos:

Proposici´ on 3.4.1 Sea (A, +, ·) un anillo y S un subconjunto no vac´ıo de A. 1. S es subanillo de A si, y s´ olo si, ∀x, y ∈ S se verifica (i) x − y ∈ S (equivale a que (S, +) sea subgrupo de (A, +)) y (ii) x · y ∈ S. 2. Si (A, +, ·) es un cuerpo, S es subcuerpo de S si, y s´ olo si, ∀x, y ∈ S se verifica (i) x − y ∈ S y (ii) x · y −1 ∈ S, para y 6= 0. (Demostraci´ on.) 1. El conjunto de enteros impares es un subanillo de (Z, ⊕, ⊗) (Ejemplo 1, ( 3)).   x x 2. El conjunto de las matrices de la forma es un subanillo de las matrices de orden 2 con y y coeficientes enteros. √ √ √ 3. Q y {a + b 2, a, b ∈ Q}son subcuerpos de R con (a + b 2)−1 = a/(a2 − 2b2 ) + (−b/(a2 − 2b2 )) 2.

Ejemplo 3.4.2

4. R es un subcuerpo de C.

3.5

Ideales y anillo cociente

Definici´ on 3.5.1 Sea (A, +, ·) un anillo, un subconjunto no vac´ıo I de A se llama ideal de A si 1. α − β ∈ I, ∀α, β ∈ I (equivalentemente, I es un subgrupo de (A, +)). 2. Para cada α ∈ I, y cada a ∈ A. α · a y a · α ∈ I. Observaci´ on 3.5.1 Si S es un subanillo de A, S es un subgrupo del grupo conmutativo (A, +) y, por lo tanto, la relaci´ on de equivalencia inducida por S en A es compatible con la operaci´ on +. Sin embargo, para definir el anillo cociente, se precisa una relaci´ on que tambi´en sea compatible con el producto. Si (A, +, ·) es un anillo e I un subgrupo de (A, +), la relaci´ on inducida por I en A (x ∼ y si, y s´ olo si, x − y ∈ I) es compatible con la suma. Adem´ as, ∼ es compatible con · si, y s´ olo si, I es un ideal de A. En este caso, el conjunto cociente A/I tiene estructura de anillo (llamado anillo cociente) con las operaciones suma y producto inducidas por las de A. N´ otese que [0] = I, [a] = a + I, ∀a ∈ A. Definici´ on 3.5.2 Si A es un anillo conmutativo unitario y a ∈ A, el conjunto (a) = {x · a = a · x, x ∈ A} es un ideal, llamado ideal principal generado por a. Ejemplo 3.5.1

1. Para todo entero m, < m > es un ideal de (Z, +, ·) y Z/ < m > = Zm n

2. En Z, (m) = {s · m, s ∈ Z} coincide con < m >, pues 2 + 2 + · · · + 2 = n · m. n

Pero, no siempre se verifica; por ejemplo, en (Q, +, ·), < 2 >= {2 + 2 + · · · + 2, n ∈ Z} mientras que (2) = {q · 2, q ∈ Q} = Q. 3. En Z todos los ideales son principales. 4. Si K es un cuerpo e I un ideal de K, entonces I = {0} o bien I = K. 5. Todo ideal es un subanillo, pero el rec´ıproco no siempre se cumple. Por ejemplo, Z es un subanillo, pero no ideal de Q.   x x 6. El conjunto de las matrices es un subanillo de las matrices de orden 2 con coeficientes y y enteros y no es un ideal.

3.6.

3.6

MORFISMOS DE ANILLOS

5

Morfismos de anillos

Definici´ on 3.6.1 Sean (A, +, ·) y (B, +, ·) anillos. Una aplicaci´ on f : A → B se denomina morfismo de anillos si ∀a1 , a2 ∈ A 1. f (a1 + a2 ) = f (a1 ) + f (a2 ) 2. f (a1 · a2 ) = f (a1 ) · f (a2 ). Proposici´ on 3.6.1

1. f (0A ) = 0B

2. f (−a) = −f (a), ∀a ∈ A. 3. Si A0 es un subanillo de A, entonces f (A0 ) es un subanillo de B 0 . En particular, Im(f ) = f (A) es un subanillo de B. 4. Si B 0 es un subanillo de B, entonces f −1 (B 0 ) es un subanillo de A. En particular, Ker(f ) = {a ∈ A, f (a) = 0B }es un subanillo de A. 5. Ker(f ) es ideal de A. 6. f es inyectiva si, y s´ olo si, Ker(f ) = {0A }. 7. Sean A un cuerpo y f : A → B un morfismo de anillos. Si f 6= 0 entonces f es inyectiva. (Demostraci´ on.) Ejemplo 3.6.1

1. f : Z → Zm , con f (x) = [x] es un epimorfismo.

2. f : Z → Z6 , definida por f (2n) = 0, f (2n + 1) = 3 es un morfismo de anillos, ambos son unitarios, pero f (1) 6= 1. 3. f : Z4 → Z8 , definida por f (a) = a2 no es un morfismo de anillos, pues conserva el producto, pero no la suma (por ejemplo, f (2 + 3) 6= f (2) + f (3)). 4. f : Z4 → Z8 , definida por f (a) = 2a no es un morfismo de anillos, pues conserva la suma, pero no el producto (por ejemplo, f (1 · 2) 6= f (1) · f (2)). Observaci´ on 3.6.2 La definici´ on de morfismo de cuerpos es la misma que la de morfismo de anillos, es decir, una aplicaci´ on entre cuerpos que conserva las operaciones. Por la Proposici´ on 3.6.1, apartado 7, todo morfismo de cuerpos es nulo o es inyectivo. Si f : K → K 0 es un morfismo no nulo, entonces f : K − {0} −→ K 0 − {0} es un morfismo de grupos (con el producto) y, en consecuencia, f (1K ) = 1K 0 y f (x−1 ) = (f (x))−1 .

3.7

Caracter´ıstica de un cuerpo

Sea (K, +, ·) un cuerpo, se llama caracter´ıstica de K al orden del elemento 1 en el grupo (K, +). Puede ocurrir que: 1. El orden del elemento 1 sea un natural n ∈ N (por ejemplo, cuando K es finito). En este caso, n es primo y ord (x) = n, ∀x ∈ K, x 6= 0. n

2. El 1 tenga orden infinito, es decir, 1+ · · · +1 6= 0, ∀n ∈ N (por ejemplo, Q, R ´o C). En este caso se dice que K es un cuerpo de caracter´ıstica 0. Ejercicio. Si K es un cuerpo de caracter´ıstica p 6= 0, (x + y)p = xp + y p . Observaci´ on 3.7.1 Si K es un cuerpo finito de caracter´ıstica p, entonces |K| = pn , para alg´ un entero positivo n. Rec´ıprocamente, para cualquier entero positivo n, existe un cuerpo finito de cardinal pn . En la construcci´ on de estos cuerpos se utilizan polinomios con coeficientes en el cuerpo Zp .

CAP´ITULO 3. ANILLOS

6

3.8

Anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo

Sea (K, +, ·) un cuerpo. Definici´ on 3.8.1 Un polinomio en la indeterminada x con coeficientes en K es una expresi´ on de la forma a(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn donde ai ∈ K, para todo 0 ≤ i ≤ n. El conjunto de polinomios en la indeterminada x con coeficientes en K se denota por K[x]. Definici´ on 3.8.2 Sea a(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn un polinomio en K[x]. 1. Si ai = 0, para todo 0 ≤ i ≤ n, a(x) se llama polinomio cero. 2. Si a(x) no es el polinomio cero, (a) el mayor entero s tal que as 6= 0 se llama grado del polinomio a(x), denotado por ∂a(x). (b) as se llama coeficiente principal y as xs t´ermino principal; (c) ai es el coeficiente de grado i (d) ai xi el t´ermino de grado i, para 0 ≤ i ≤ n. 3. Un polinomio de grado 0 se llama polinomio constante. 4. Cuando el coeficiente principal es 1, el polinomio se llama m´ onico. 5. Dos polinomios, a(x) y b(x), son iguales si tienen el mismo grado y ai = bi , para todo i, 0 ≤ i ≤ ∂a(x) = ∂b(x). 6. Los s´ımbolos x, x2 , x3 , · · · s´ olo indican las posiciones de los coeficientes, por ello, tambi´en se define un polinomio con coeficientes en un cuerpo K como una sucesi´ on finita (a0 , a1 , a2 , · · · , an ) de elementos de K o una aplicaci´ on a : N → K tal que a(n) = 0, si n > ∂a. Ejemplo 3.8.1 En (Z5 , +, ·) la expresi´ on 3x6 + 4x5 + x2 + 4x + 2 es un polinomio de grado 6, con coeficiente principal 3 y t´ermino constante 2.

3.8.1

Suma y producto en K[x]

Sean a(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn y b(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm polinomios de K[x]. Podemos suponer que n ≥ m, y si n > m ponemos bm+1 = bm+2 = · · · = bn = 0. Se define la suma a(x) + b(x) y el producto a(x)·b(x) de los polinomios de la forma siguiente: a(x) + b(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 + · · · + (an + bn )xn a(x)·b(x) = (a0 · b0 ) + (a0 · b1 + a1 · b0 )x + (a0 · b1 + a1 · b1 + a2 · b0 )x2 + · · · + an · bm xn+m Es decir, el coeficiente de xi en a(x) + b(x) es ai + bi , para cada 0 ≤ i ≤ n. El coeficiente de xi en a(x)·b(x) para 0 ≤ i ≤ n + m, es a0 · bi + a1 · bi−1 + a2 · bi−2 + · · · + ai · b0 =

i X k=0

ak · bi−k =

X

aj · bk

j+k=i

donde las sumas y productos son en K. De estas definiciones se deduce que los coeficientes de a(x) + b(x) y de a(x)·b(x) pertenecen a K, es decir, la suma y el producto son operaciones internas en K[x]. Adem´as, si a(x) + b(x) 6= 0 y a(x)·b(x) 6= 0 entonces ∂(a(x) + b(x)) ≤ max{∂a(x), ∂b(x)} y ∂(a(x)·b(x)) = ∂a(x) + ∂b(x).

3.8. ANILLO DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO Ejemplo 3.8.2

7

1. Si a(x) = 3 + 2x + 4x2 + 4x5 y b(x) = 3x + 2x2 + 4x3 en R[x],

a(x)+b(x) = (3+0)+(2+3)x+(4+2)x2 +(0+4)x3 +(4+0)x5 = 3+5x+6x2 +4x3 +4x5 a(x)·b(x) = (3·0)+(3·3+2·0)x+(3·2+2·3+4·0)x2 +· · · · · · = 16x8 +8x7 +12x6 +16x5 +16x4 +28x3 +12x2 +9x. 2. En Z5 [x], si a(x) = 3 + 2x + 4x2 + 4x5 y b(x) = 3x + 2x2 + 4x3 a(x) + b(x) = (3 + 0) + (2 + 3)x + (4 + 2)x2 + (0 + 4)x3 + (4 + 0)x5 = 3 + 1x2 + 4x3 + 4x5 a(x)·b(x) = (3·0)+(3·3+2·0)x+(3·2+2·3+4·0)x2 +· · · · · · = x8 +3x7 +2x6 +x5 +x4 +3x3 +2x2 +4x. Observaci´ on 3.8.1 Con estas operaciones (K[x], +, ·) es un anillo conmutativo unitario sin divisores de cero propios, es decir, es un dominio. Sin embargo, K[x] no es un cuerpo, los u ´nicos elementos inversibles son los polinomios constantes no nulos. En los apartados que siguen, veremos c´ omo las propiedades de divisibilidad (y los resultados que de ellas se deducen) en K[x] son las mismas que en Z.

3.8.2

Algoritmo de divisi´ on en K[x]

En cursos anteriores se aprendi´ o a dividir polinomios con coeficientes reales, se vi´o c´omo se obtiene el cociente y el resto. La misma t´ecnica se aplica cuando los coeficientes de los polinomios se toman en un cuerpo K. Proposici´ on 3.8.2 Algoritmo de divisi´ on. Sean a(x) y b(x) polinomios con coeficientes en un cuerpo K, siendo b(x) 6= 0. Se verifica que existen polinomios u ´nicos q(x), r(x) de K[x] tales que a(x) = q(x)b(x) + r(x), donde ∂r(x) < ∂b(x) ´ o r(x) = 0. Demostraci´ on. grado de a(x).

Para obtener la existencia, se considerar´a b(x) fijo y se demostrar´a por inducci´on en el

1. Caso ∂a(x) = 0. Si ∂b(x) = 0, b(x) = b0 6= 0 y a(x) = a0 = (a0 b−1 0 )b0 + 0 y basta tomar q(x) = (a0 b−1 ) y r(x) = 0. Si ∂b(x) > 0, el resultado se cumple para q(x) = 0 y r(x) = a(x). 0 2. Paso inductivo. Supongamos ∂a(x) > 0 y que el teorema se cumple para polinomios de grado estrictamente menor que el grado de a(x). En primer lugar, observemos que si ∂a(x) < ∂b(x), el resultado se cumple para q(x) = 0 y r(x) = a(x). Veamos el caso ∂a(x) ≥ ∂b(x). Si a(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn , con an 6= 0 y b(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm , con bm 6= 0, el polinomio α(x) = a(x) − an bm−1 xn−m b(x) cumple que ∂α(x) < ∂a(x). Por hip´otesis de inducci´ on, existen polinomios γ(x), ρ(x) tales que α(x) = γ(x)b(x) + ρ(x) con ∂ρ(x) < ∂b(x), o bien ρ(x) = 0. As´ı pues, a(x) = an bm−1 xn−m b(x) + α(x) = (an bm−1 xn−m + γ(x))b(x) + ρ(x) y tomando q(x) = an bm−1 xn−m + γ(x) y r(x) = ρ(x) se obtiene a(x) = q(x)b(x) + r(x), donde ∂r(x) < ∂b(x) ´o r(x) = 0. Esto completa la inducci´on y el resultado es cierto para todos los valores de ∂a(x). Unicidad: si a(x) = q1 (x)b(x) + r1 (x) = q2 (x)b(x) + r2 (x), donde ∂ri (x) < ∂b(x) o ri (x) = 0, (i = 1, 2) entonces (q1 (x) − q2 (x))b(x) = r2 (x) − r1 (x). Si q1 (x) 6= q2 (x), ∂[(q1 (x) − q2 (x))b(x)] ≥ ∂b(x), mientras que ∂(r2 (x) − r1 (x)) ≤ max{∂r1 (x), ∂r2 (x)} < ∂b(x). Se llega as´ı a una contradicci´on y, en consecuencia, q1 (x) = q2 (x) y r1 (x) = r2 (x). Los polinomios q(x) y r(x) se llaman cociente y resto, respectivamente, de dividir a(x) por b(x). N´otese que la construcci´ on de α(x) en la demostraci´on indica la manera (algoritmo) de dividir dos polinomios. Ejemplo 3.8.3 Si a(x) = 5x4 + 2x3 + 4x2 + 3x + 2 y b(x) = 3x2 + 5 en (Z7 [x], +, ·), el cociente es c(x) = 4x2 + 3x + 4 y el resto r(x) = 2x + 3. Definici´ on 3.8.3 Al igual que en Z, si a(x) y b(x) son polinomios con coeficientes en K tales que el resto de dividir a(x) por b(x) es 0, se dice que a(x) es m´ ultiplo de b(x) o que b(x) es divisor (o factor) de a(x); es decir, a(x) = q(x)b(x) para alg´ un q(x) de K[x]. Se representa b(x) | a(x).

CAP´ITULO 3. ANILLOS

8 Ejemplo 3.8.4

1. x − 1 es divisor de x2 − 1 en R[x].

2. x + 3 es divisor de x2 + 1 en Z5 [x] pero no lo es en R[x]. Definici´ on 3.8.4 Sean a(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ∈ K[x] y α ∈ K, se llama valor del polinomio a(x) en α al elemento de K, a(α) = a0 + a1 α + a2 α2 + · · · + an αn ∈ K. Se dice que α es ra´ız de a(x) si a(α) = 0. Proposici´ on 3.8.3 Teorema del resto. Sean a(x) ∈ K[x] y α ∈ K; el resto de la divisi´ on de a(x) por x − α es a(α). Demostraci´ on. Por el teorema de divisi´ on, a(x) = (x − α)q(x) + r(x) con r = 0 o ∂r(x) < ∂(x − α) = 1. Por lo tanto, r(x) = r es un elemento de K. Si evaluamos a(x) en α se obtiene a(α) = (α−α)q(α) + r(α) = 0 + r. Proposici´ on 3.8.4 Teorema del factor. Sean a(x) ∈ K[x] y α ∈ K; x − α divide a (es un factor de) a(x) si, y s´ olo si, α es ra´ız de a(x). Demostraci´ on. x − α divide a a(x) si y s´olo si r(x) = 0 si y s´olo si a(α) = 0. Ejemplo 3.8.5 1. a(x) = −7 + 3x − x2 + 4x4 − 6x5 + x7 ∈ Q[x]. El resto de dividir a(x) por x − 2 es a(2) = −5 y el resto de dividir a(x) por x + 1 es a(−1) = −2. 2. Si se divide b(x) = 2 + 2x + x2 + x3 + 3x4 + x5 ∈ Z5 [x] por x + 4 = x − 1, el resto es b(1) = 0 en Z5 . En consecuencia, x + 4 divide a b(x), es decir, b(x) = (x + 4)q(x) con ∂q(x) = 4. El polinomio q(x) = 3 + x + 4x3 + x4 , tiene a 3 como ra´ız, y por lo tanto, tambi´en b(x), con lo cual b(x) = (x − 1)(x − 3)(x3 + 2x2 + x + 4). Observaci´ on 3.8.5 Si α ∈ K es una ra´ız de a(x), entonces a(x) = (x − α)q1 (x). Si α es de nuevo ra´ız de q1 (x), entonces q1 (x) = (x − α)q2 (x) y as´ı a(x) = (x − α)2 q2 (x). Siguiendo este proceso se llegar´ a a un m, con 1 ≤ m ≤ ∂a(x), tal que a(x) = (x − α)m qm (x) con qm (α) 6= 0 y se dice que α es ra´ız de multiplicidad m del polinomio a(x). Proposici´ on 3.8.6 Si a(x) ∈ K[x] tiene grado n ≥ 1, entonces a(x) tiene a lo sumo n ra´ıces en K (considerando cada una de ellas tantas veces como indica su multiplicidad como ra´ız de a(x)). Demostraci´ on. Por inducci´ on en ∂a(x). Ejemplo 3.8.6 1. a(x) = 9 − 6x + x2 ∈ R[x] tiene a lo sumo dos ra´ıces, en este caso 3 es ra´ız de multiplicidad 2 y a(x) = (x − 3)(x − 3) es una factorizaci´ on” de a(x). 2. a(x) = 4 + x2 ∈ R[x] no tiene ra´ıces reales, lo que no contradice la nota anterior. 3. a(x) = 4 + x2 ∈ C[x] tiene dos ra´ıces complejas, 2i y −2i, se factoriza como a(x) = (x − 2i)(x + 2i). 4. Si a(x) = 6 + 2x + x2 ∈ Z7 [x], entonces a(2) = 0, a(3) = 0 y ´estas son las u ´nicas ra´ıces del polinomio. As´ı, a(x) = (x − 2)(x − 3) = (x + 5)(x + 4). Observaci´ on 3.8.7 En general, si a(x) ∈ K[x] y α1 , α2 , · · · , αs son las ra´ıces de a(x) en K, entonces a(x) = an (x − α1 ) · · · (x − αs )q(x) donde an es el coeficiente principal de a(x) y q(x) un polinomio m´ onico sin ra´ıces. El algoritmo de divisi´ on, permite demostrar, al igual que para el anillo Z, el siguiente resultado Proposici´ on 3.8.8 Todo ideal de K[x] es un ideal principal. Demostraci´ on. Sea I un ideal de K[x]. Consideremos d(x), el polinomio m´onico de menor grado en I. Claramente, (d(x)) est´ a contenido en I. Por otra parte, si a(x) ∈ I, por el algoritmo de divisi´on a(x) = q(x)d(x) + r(x) con ∂r(x) < ∂d(x) o r(x) = 0. Pero si a(x), d(x) ∈ I, entonces r(x) = a(x) − q(x)d(x) ∈ I, y por la elecci´ on de d(x) no puede ocurrir ∂r(x) < ∂d(x). As´ı pues, r(x) = 0, es decir, a(x) ∈ (d(x)) y (d(x)) = I.

3.8. ANILLO DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO

3.8.3

9

M´ aximo com´ un divisor de polinomios.

A partir del algoritmo de divisi´ on en K[x], veremos definiciones y resultados sobre divisibilidad de polinomios an´alogos a los ya conocidos en Z. Definici´ on 3.8.5 Dados dos polimonios a(x) y b(x) de K[x], se dice que d(x) es un m´ aximo com´ un divisor de a(x) y b(x) si 1. d(x) es divisor de a(x) y b(x) 2. todo divisor de a(x) y b(x) es tambi´en divisor de d(x). 3.8.9 Seg´ un esta definici´ on, en general no existe un u ´nico mcd de dos polinomios. Si d1 (x) y d2 (x) verifican las condiciones 1 y 2, entonces d1 (x) = λd2 (x), para alguna constante λ. De esta forma, existir´ a un u ´nico m´ aximo com´ un divisor m´ onico y definiremos el mcd(a(x), b(x)) como el polinomio m´ onico que verifica las condiciones 1 y 2. Observemos que si a(x) = b(x)q(x) + r(x) entonces mcd(a(x), b(x)) = mcd(b(x), r(x)). Observaci´ on 3.8.10 Para calcular el mcd de a(x) y b(x) en K[x] imitaremos el m´etodo utilizado en Z de dividir repetidamente; ´este es el algoritmo de Euclides para K[x]. Sean a(x), b(x) ∈ K[x], supongamos ∂a(x) ≥ ∂b(x), con b(x) 6= 0. Llamamos a0 (x) = a(x), a1 (x) = b(x) y hacemos las divisiones siguientes: a0 (x) = q1 (x)a1 (x) + a2 (x) a1 (x) = q2 (x)a2 (x) + a3 (x) a2 (x) = q3 (x)a3 (x) + a4 (x) ··· as−2 (x) = qs−1 (x)as−1 (x) + as (x) as−1 (x) = qs (x)as (x) + 0

con

···

∂a2 (x) < ∂a1 (x) ∂a3 (x) < ∂a2 (x) ∂a4 (x) < ∂a3 (x) ··· ∂as (x) < ∂as−1 (x)

Dado que el grado de los restos decrece estrictamente, se llegar´ a a un resto as+1 (x) = 0. La u ´ltima ecuaci´ on indica que as (x) es divisor de as−1 (x); en consecuencia, as (x) es un mcd de as−1 (x) y as (x). Utilizando las igualdades anteriores en orden inverso se tiene: as (x) = mcd(as (x), as−1 (x)) = mcd(as−1 (x), as−2 (x)) = · · · = mcd(a2 (x), a1 (x)) = mcd(a1 (x), a0 (x)) = mcd(a(x), b(x)). Entonces el u ´ltimo resto no nulo, as (x), es un mcd de a(x) y b(x) y es un m´ ultiplo del mcd m´ onico de estos polinomios. Para obtener el mcd(a(x), b(x)) bastar´ a multiplicar as (x) por el inverso de su coeficiente principal. Por substituciones sucesivas en las ecuaciones, podemos expresar as (x) de la forma λ(x)a(x) + µ(x)b(x), donde λ(x) y µ(x) son polinomios de K[x]. La existencia del mcd de dos polinomios en K[x] viene dada por el teorema de Bezout. Teorema 3.8.11 Teorema de Bezout. Sean a(x), b(x) ∈ K[x], existe d(x) = mcd(a(x), b(x)). Adem´ as existen polinomios λ(x) y µ(x) en K[x] tales que d(x) = λ(x)a(x) + µ(x)b(x). (Demostraci´ on). Ejemplo 3.8.7

1. Hallar el mcd(x3 + 2x2 + x + 1, x2 + 5) en Z7 [x]

x3 + 2x2 + x + 1 = (x + 2)(x2 + 5) + (3x + 5) x2 + 5 = (3x + 5)(5x + 1). Entonces mcd(x3 + 2x2 + x + 1, x2 + 5) = 3−1 (3x + 5) = x + 4. 2. Hallar el mcd(x4 + x3 + x2 + 1, x4 + 1) en Z2 [x] x4 + x3 + x2 + 1 = 1.(x4 + 1) + (x3 + x2 ) x4 + 1 = (x + 1)(x3 + x2 ) + (x2 + 1) x3 + x2 = (x + 1)(x2 + 1) + (x + 1) x2 + 1 = (x + 1)(x + 1) + 0. Entonces mcd(x4 + x3 + x2 + 1, x4 + 1) = x + 1.

CAP´ITULO 3. ANILLOS

10

Definici´ on 3.8.6 Dados dos polimonios a(x) y b(x) de K[x], se dice que m(x) es un m´ınimo com´ un m´ ultiplo de a(x) y b(x) si 1. m(x) es m´ ultiplo de a(x) y b(x) 2. todo m´ ultiplo de a(x) y b(x) es tambi´en m´ ultiplo de m(x). 3.8.12 Al igual que para el m´ aximo com´ un divisor, si pedimos que el polinomio m(x) sea m´ onico se obtiene la unicidad; por ello, definiremos el mcm(a(x), b(x)) como el polinomio m´ onico que verifica las condiciones 1 y 2. El m´ınimo com´ un m´ ultiplo de dos polimonios a(x) y b(x) de K[x], se obtiene de la siguiente igualdad mcm(a(x), b(x)) = a(x)·b(x)/mcd(a(x), b(x)) convertido en polinomio m´ onico si es necesario.

3.8.4

Polinomios irreducibles

En el estudio de los n´ umeros enteros se vio c´omo todo entero mayor o igual que 2, puede escribirse como producto de primos de forma u ´nica. En este apartado veremos los resultados an´alogos para K[x], donde los primos ser´ an los llamados polinomios irreducibles. En primer lugar, n´ otese que la existencia de polinomios constantes no nulos permite factorizar trivialmente cualquier polinomio. Esto se debe a que una constante no nula α tiene inverso en K, que tambi´en es su inverso en K[x]; de manera que a(x) = α(α−1 (a(x)) es una factorizaci´on de a(x) en K[x]. Por ese motivo los polinomios irreducibles se definen de la forma siguiente. Definici´ on 3.8.7 Un polinomio a(x) ∈ K[x] se denomina reducible si existen polinomios b(x), c(x) ∈ K[x] con ∂b(x), ∂c(x) ≥ 1 tales que a(x) = b(x)c(x). En caso contrario, se dice que a(x) es irreducible. Observaci´ on 3.8.13 1. Como consecuencia de la definici´ on, todo polinomio de grado menor o igual que 1 es irreducible. 2. Sea a(x) ∈ K[x] con ∂a(x) ≥ 2. Si a(x) tiene alguna ra´ız en K, entonces a(x) es reducible. Si α ∈ K una ra´ız de a(x), entonces a(x) = (x − α)q(x) donde ∂q(x) = ∂a(x) − 1 ≥ 2 − 1 = 1. Por lo tanto, a(x) es reducible. 3. El rec´ıproco no siempre es cierto; por ejemplo, (x2 + 1)(x2 + 1) es reducible en R[x], pero no tiene ra´ıces en R. 4. Sin embargo, para ∂a(x) = 2 ´ o ∂a(x) = 3, a(x) es reducible en K[x] si, y s´ olo si, a(x) tiene alguna ra´ız en K (o, si se prefiere, es irreducible en K[x] si, y s´ olo si, no tiene ra´ıces en K). En efecto, si a(x)es reducible, a(x) = b(x)c(x) con ∂b(x), ∂c(x) ≥ 1. Como ∂a(x) = 2 ´ o 3, ∂b(x) = 1 o ∂c(x) = 1, por lo tanto b(x) ´ ´ o c(x) tiene una ra´ız en K (si b(x) = b0 + b1 x, entonces −b0 b−1 1 es una ra´ız de b(x) en K). Ejemplo 3.8.8 1. x2 + 1 es irreducible en Q[x] y R[x], pero x2 + 1 = (x + i)(x − i) y, por lo tanto, es reducible en C[x]. 2. En Z2 [x], a(x) = x3 + x2 + x + 1 es reducible ya que a(1) = 0, de lo que se deduce que a(x) = (x − 1)q(x). Sin embargo, b(x) = x2 + x + 1 es irreducible porque b(0), b(1) 6= 0. 3. x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 2)(x2 + 1) es reducible en R[x], aunque no tiene ra´ıces en R. 4. El polinomio x4 + 1 no tiene ra´ıces en Z3 , por lo que la u ´nica posible factorizaci´ on ser´ıa como producto de dos polinomios de grado 2, x4 + 1 = (x2 + αx + β)(x2 + µx + δ). Las ecuaciones que se obtienen de la igualdad de los polinomios anteriores, permiten calcular los coeficientes: α = 1, β = 2, µ = 2, δ = 2. Por lo tanto x4 + 1 = (x2 + x + 2)(x2 + 2x + 2) y es reducible en Z3 [x]. 5. El polinomio b(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 tampoco tiene ra´ıces en Z3 , la posible factorizaci´ on ser´ıa como producto de dos polinomios de grado 2, x4 + x3 + x2 + x + 1 = (x2 + αx + β)(x2 + µx + δ). Pero el sistema de ecuaciones que se obtiene de la igualdad de los polinomios anterior no tiene soluci´ on en Z3 , por lo que b(x) es irreducible en Z3 [x].

3.9. CUERPOS FINITOS

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Siguiendo el paralelismo con Z, tambi´en en K[x] todo polinomio no constante se puede expresar como producto de una constante (su coeficiente principal) por polinomios m´onicos irreducibles de una u ´nica forma, salvo el orden de los factores. Igualmente, el mcd y el mcm de polinomios puede obtenerse a partir de la factorizaci´ on de ´estos en irreducibles.

3.9

Cuerpos finitos

Se pueden construir cuerpos finitos siguiendo el mismo procedimiento que en la construcci´on de (Zp , +, ·), con p un n´ umero primo, pero partiendo del anillo de polinomios. Observaci´ on 3.9.1 Recordemos que si I = (p(x)) es un ideal de K[x] con p(x) un polinomio m´ onico de grado ∂p(x), los elementos del anillo cociente K[x]/(p(x)) son las clases de equivalencia de la relaci´ on definida en K[x] por a(x) ∼ b(x) ⇔ a(x) − b(x) ∈ (p(x)) ⇔ a(x), b(x) dan el mismo resto al dividirlos por p(x). Consideremos el subconjunto de K[x] formado por los posibles restos al dividir un polinomio por p(x), R = {a(x) ∈ K[x]/∂a(x) < ∂p(x)}. f

Consideremos la aplicaci´ on K[x]/(p(x)) → R dada por f ([a(x)]) = r(x) siendo r(x) el resto de dividir a(x) por p(x). Se verifica que f es una aplicaci´ on biyectiva. En efecto, 1. f esta bien definida: [a(x)] = [b(x)] ⇔ a(x) ∼ b(x) ⇔ a(x), b(x) tienen el mismo resto al dividirlos por p(x). Luego f ([a(x)]) = f ([b(x)]). 2. f es inyectiva: f ([a(x)]) = f ([b(x)]) ⇔ a(x), b(x) tienen el mismo resto al dividirlos por p(x) ⇔ a(x) ∼ b(x) ⇔ [a(x)] = [b(x)]. 3. f es sobreyectiva: Dado r(x) ∈ K[x]/(p(x)) consideramos la clase del propio polinomio r(x) en K[x]/(p(x)) y tenemos que f ([r(x)]) = r(x). En consecuencia K[x]/(p(x)) y R tienen el mismo cardinal y se podr´ıan identificar al conjunto K n , siendo n = ∂p(x) (usando que R = {a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an−1 xn−1 , ai ∈ K}). Al igual que sucede en Zn , los elementos de K[x]/(p(x)) son inversibles o son divisores de cero seg´ un sean primos con p(x) como pone de manifiesto la siguiente proposici´on Proposici´ on 3.9.2 Sea [a(x)] ∈ K[x]/(p(x)), se verifica que, 1. si mcd(a(x), p(x)) = 1 entonces [a(x)] es unidad en el anillo K[x]/(p(x)). 2. Si mcd(a(x), p(x)) 6= 1 entonces [a(x)] es un divisor de cero en el anillo K[x]/(p(x)). (Demostraci´ on similar al caso Zn ). Corolario 3.9.3 El anillo cociente K[x]/(q(x)) es un cuerpo si y s´ olo si q(x) es un polinomio irreducible. En ese caso, su caracter´ıstica coincide con la caracter´ıstica de K. Demostraci´ on. La primera afirmaci´ on se prueba de forma an´aloga al caso Zn . La caracter´ıstica de K[x]/(q(x)) coincide con la caracter´ıstica del cuerpo K pues para todo natural n se verifica que n · [1K ] = [0K ] si y s´olo si n · 1K = 0K . Podemos describir la construcci´ on de cuerpos finitos cuyo cardinal sea distinto de un n´ umero primo. Consideramos como cuerpo base Zp , siendo p es un n´ umero primo y q(x) un polinomio irreducible de grado n con coeficientes en Zp . Por lo visto anteriormente el anillo cociente F = Zp [x]/(q(x)) tiene estructura de cuerpo, su cardinal es pn y su caracter´ıstica es p. Todo cuerpo finito F tiene la estructura descrita en el p´arrafo anterior. Es decir, si F es un cuerpo finito, su caracteristica es un n´ umero primo p y su cardinal es un potencia de p, siendo F isomorfo a un cuerpo Zp [x]/(q(x)) con q(x) un polinomio irreducible de grado n.

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CAP´ITULO 3. ANILLOS

Ejemplo 3.9.1 1. p(x) = x2 + x + 1 es irreducible en Z2 [x], el cuerpo Z2 [x]/(p(x)) tiene 22 = 4 elementos que son de la forma ax + b con a, b ∈ Z2 , Z2 [x]/(x2 + x + 1) = {0, 1, x, 1 + x}. Teniendo en cuenta que x2 + x + 1 = 0 en el anillo cociente, se pueden facilitar los c´ alculos en el cociente. Por ejemplo, x2 + 1 = −x = x, entonces (x + 1)(x + 1) = x2 + 1 = x. 2. El mismo polinomio p(x) = x2 +x+1 no es irreducible en Z3 [x], de hecho, p(1) = 0 y p(x) = (x−1)2 . El anillo cociente Z3 [x]/(x2 + x + 1) no es un cuerpo, como lo demuestra, entre otras cosas que (x − 1)(x − 1) = p(x) = 0. Aunque algunos elementos tienen inverso, por ejemplo, (x + 1) ya que (x + 1)2x = 2x2 + 2x = 1 en Z3 [x]/(x2 + x + 1).