Anforderungen im Fach Mathematik für die Ergänzungsprüfung auf Niveau Fachmaturität Pädagogik (Kandidierende mit Berufs- oder Fachmaturität für die Studiengänge Primarstufe und Kindergarten-Unterstufe)

Einleitung Die Mathematik ist eine universelle Sprache, die zwar von Menschen konstruiert wurde, die jedoch die Struktur der äusseren Wirklichkeit im menschlichen Bewusstsein abzubilden versucht. Galilei formulierte das so: „Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.“ Die Übersetzung konkreter Probleme in die Sprache der Mathematik nennt man „mathematische Modellbildung“. Eigenschaften solcher Modelle geben Anlass zur Entwicklung von Theorien, welche nicht nur auf das gegebene Problem, sondern auch in ganz anderen Bereichen erfolgreich angewendet werden können. Wichtige Teilgebiete der Mathematik, welche auch in der Schule unterrichtet werden, sind: Zahlentheorie, Algebra, Geometrie, Logik, Analysis und Stochastik.

Kompetenzanforderungen Die Ergänzungsprüfung im Fach Mathematik wird in die drei Themengebiete «Arithmetik und Algebra», «Geometrie» sowie «Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung» unterteilt. Je nach Vorbildung und Vorleistungen im Fach Mathematik wird eines oder mehrere dieser Teilgebiete erlassen. Erlasse werden individuell geprüft und kommuniziert. An die Kandidatin und den Kandidaten werden in den genannten Themengebieten die nachfolgenden Anforderungen gestellt, wobei die Mathematik der Sekundarstufe I als bekannt vorausgesetzt wird.

Arithmetik und Algebra Gleichungen und Gleichungssysteme — Für Lineare Gleichungssysteme mit zwei oder drei Variablen eine Lösungsmethode kennen und anwenden — Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen graphisch interpretieren — Quadratische Gleichungen mit verschiedenen Methoden lösen (Lösungsformel, Faktorzerlegung, ...) Potenzen, Wurzeln und Logarithmen — Die Rechenregeln für Potenzen, Wurzeln und Logarithmen kennen und anwenden — Gleichungen mit Potenzen, Wurzeln oder Logarithmen lösen — Einfache Zins- und Zinseszinsaufgaben lösen Funktionen — Lineare und quadratische Funktionen kennen und in einem cartesischen Koordinatensystem darstellen — Exponentialfunktionen mit ihren Graphen kennen und auf Wachstums- und Zerfallsprozesse anwenden — Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten sowie den Exponenten –1, –2, und 1/ 2 kennen

Geometrie Stereometrie — Körper (Quader, Prisma, Pyramide, Kegel, Kugel und Zylinder) in verschiedenen Lagen skizzieren — Oberflächen und Volumen solcher Körper berechnen

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— Körper verändern: Ecken oder Kanten abschneiden bzw. Körper zusammensetzen Trigonometrie — Aufgaben in beliebigen Dreiecken mit trigonometrischen Hilfsmitteln lösen

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik — Stichprobenarten unterscheiden und entsprechende Aufgaben lösen: — Geordnete Stichproben mit und ohne Zurücklegen — Ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen Wahrscheinlichkeitsrechnung — Für ein- und mehrstufige Zufallsexperimente die Wahrscheinlichkeit von Ereignis und Gegenereignis berechnen können — Die Hilfsmittel Baumdiagramm und Pfadregeln verwenden sowie Kenntnisse aus der Kombinatorik anwenden

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Empfohlene Literatur Nachfolgende Literaturhinweise enthalten die für die Prüfung relevanten Themengebiete. — Glocke, Th.: Grundwissen Mathematik Cornelsen, Berlin, 2008, ISBN 978-3-464-41311-1 (Für Arithmetik, Algebra und Geometrie.) — Hächler, W.: Algebra in der Wirtschaftsschule, Teil 1 und 2 WHV-Verlag, Zürich, 2007, ISBN 978-3-909169-80-1 bzw. 978-3-909169-83-2 (Für Arithmetik und Algebra.) — Lambacher Schweizer: Grundlagen der Mathematik für Schweizer Maturitätsschulen 11/12 Klett und Balmer-Verlag, Zug, 2013, ISBN 978-3-264-83983-8 (Für Stochastik: Kapitel 10, 11 und 14.)

Prüfungsmodalitäten Schriftliche Prüfung Die Ergänzungsprüfung auf Niveau Fachmatur Pädagogik umfasst die drei Prüfungsteile «Arithmetik und Algebra», «Geometrie» und «Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnen». Abhängig von der Vorbildung der Kandidatin / des Kandidaten werden keine, einzelne oder alle Teile geprüft. Welche Teile geprüft werden, wird den Kandidierenden mit der Anmeldebestätigung zur Ergänzungsprüfung mitgeteilt. Dauer: Umfang: Bewertung:

40 Minuten pro Teilprüfung (max. 120 Minuten) 2-4 Aufgaben pro Teilprüfung (max. 12 Aufgaben) Jede abgelegte Teilprüfung wird gleich gewichtet, d.h. in jeder Teilprüfung kann dieselbe maximale Punktzahl erreicht werden.

Erlaubte Hilfsmittel — Eine Formelsammlung. Erlaubt sind „Formeln und Tafeln (DMK)“, „Fundamentum (DMK)“ und „Papula (Vieweg+Teubner)“ ohne handschriftliche Notizen. Markierungen mit Leuchtstift und Indexkleber sind erlaubt. — Ein Taschenrechner. Erlaubt sind ausschliesslich folgende Modelle: Alle „CASIO FX-991“-Modelle, Modell „Casio FX 85“, alle Modelle von Texas Instruments mit der Bezeichnung „TI-30“ oder „TI-34“ im Namen und „HP 300s+ Wissenschaftstaschenrechner“. — Alle Hilfsmittel werden während der Prüfung kontrolliert. Gemäss §12 der Weisung zum Aufnahmeund Immatrikulationsverfahren an der Pädagogischen Hochschule Zürich führt die Verwendung unerlaubter Mittel zum Nichtbestehen der gesamten Aufnahmeprüfung. Darstellung — Lösungsschritte und Zwischenresultate müssen dokumentiert werden.
 — Es wird Wert gelegt auf Korrektheit und Klarheit.

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Musteraufgaben Arithmetik und Algebra mit Lösungen 1.

Lineare Gleichungssysteme. Ein Behälter kann durch zwei Zuleitungen gefüllt werden, wenn die erste sechs Stunden und zugleich die zweite vier Stunden lang geöffnet ist. Verwechselt man die Öffnungszeiten, so läuft ein Sechstel des Behälterinhaltes über. Welchen Bruchteil des Behälterinhaltes liefert jede Leitung pro Stunde? In wie vielen Stunden wird der Behälter durch jede Leitung einzeln gefüllt, in wie vielen durch beide zusammen? Lösung Es seien x 1 bzw. x 2 die Bruchteile des Behälterinhaltes, die von der ersten bzw. zweiten Zuleitung pro Stunde geliefert werden. Wir erhalten somit das Gleichungssystem

Mittels Einsetzungs- oder Eliminationsmethode erhält man die eindeutige Lösung 1/

.

3/

Die erste Leitung liefert also 15 und die zweite 20 des Behälterinhaltes pro Stunde. Der Behälter wird durch die erste Leitung allein in 15 h, durch die zweite Leitung allein in 6 h 40 min und durch beide zusammen in 4 h 37 min gefüllt.

2.

Lineare Gleichungssysteme. Eine Leiter ist schräg an eine vertikale Wand gelehnt. Schiebt man ihren Fuss auf dem horizontalen Boden um 1 m gegen die Wand, so rutscht das andere Ende der Leiter um 0.4 m nach oben. Zieht man dagegen den Fuss um 1 m von der Wand weg, so rutscht das andere Ende um 0.6 m nach unten. Wie weit ist der Leiterfuss anfänglich von der Wand entfernt und wie weit das obere Ende vom Boden? Berechnen Sie ferner die Länge der Leiter. Lösung Mit x sei der anfängliche Abstand des Fusses von der Wand, mit y der anfängliche Abstand des oberen Endes vom Boden bezeichnet. Gemäss Aufgabenstellung und Pythagoras erhalten wir das folgende Gleichungssystem:

In beiden Gleichungen stimmen die quadratischen Terme links und rechts überein. Somit ergibt sich das lineare Gleichungssystem:

mit der Lösung

. Anfänglich ist der Leiterfuss also 3.1 m von der Wand und das

obere Ende 6.3 m vom Boden entfernt. Die Länge der Leiter beträgt (nach Pythagoras) ca. 7.02 m.

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3.

Exponential- und Logarithmusfunktion a.

Der abgebildete Graph gehört zu einer Exponentialfunktion . Bestimmen Sie a mit einer Gleichung der Form und b.

b.

Bestimmen Sie ohne Taschenrechner die Lösung der Gleichung

.

(Der Lösungsweg muss ersichtlich sein.) Lösung a.

Aus

weiss man, dass

. Aus

. Also muss b.

4.

Aus

folgt

weiss man, dass

sein.

und somit

.

Exponentielles Wachstum / exponentieller Zerfall Das bekannte Schmerzmittel Aspirin enthält als Wirkstoff Acetylsalicylsäure. Pro Stunde wird 20% der im Körper vorhandenen Menge Acetylsalicylsäure abgebaut. Eine Person nimmt um 12 Uhr eine Tablette Aspirin mit 500 Milligramm Wirkstoff. a.

Wie viele Milligramm Wirkstoff hat sie um 18.30 Uhr noch im Körper?

b.

Ab wann wird sie weniger als 5 Milligramm Wirkstoff im Körper haben?

Lösung a.

. Nach 6.5 Stunden: Um 18:30 Uhr sind ca. 117.2 mg Acetylsalicylsäure noch nicht abgebaut.

b.

Am nächsten Tag ab 08:39 Uhr wird die Person weniger als 5 Milligramm Wirkstoff im Körper haben.

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Geometrie mit Lösungen 1.

Stereometrie. Von einem regulären Tetraeder mit Kantenlänge 9 cm werden alle Ecken abgeschnitten. Die Oberfläche des Restkörpers besteht aus gleichseitigen Dreiecken und regulären Sechsecken. (Vgl. Figur.) a.

Skizzieren Sie eine Seitenfläche des Tetraeders und die darin enthaltene Seitenfläche des Restkörpers.

b.

Bestimmen Sie die Anzahl der Ecken und der Kanten des Restkörpers

c.

Berechnen Sie: i. die Oberfläche ii. das Volumen des Restkörpers.

(Geben Sie die Resultate als Wurzelterme oder als Dezimalzahlen mit 4 wesentlichen Ziffern an.) Lösung: a.

Kantenlänge des regulären Sechsecks: a = 3 cm.

b.

Der Restkörper besitzt

Ecken und

Kanten.

c.i. Die Oberfläche besteht aus vier Sechsecken und vier Dreiecken. Die Oberfläche eines Sechsecks ist sechsmal so gross ist wie diejenige eines Dreiecks. Die Fläche eines Dreiecks misst

.

Die Oberfläche des Restkörpers beträgt somit c.ii. Das Volumen des Restkörpers ist gleich dem Volumen des Tetraeders, vermindert um das Volumen der vier Ecktetraeder:

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2.

Stereogeometrie. Welche Höhe hat ein gerader Kreiskegel mit Grundkreisradius r = 3 cm, der in einer Kugel mit Radius R = 6 cm eingeschrieben ist? Wie viele Prozent des Kugelvolumens werden dann durch den Kreiskegel ausgefüllt? Lösung: 1. Lösung: Höhe grosser Kegel: Volumen Kegel: Volumen Kugel: des Kugelvolumens werden durch den Kreiskegel ausgefüllt.

2. Lösung: Höhe kleiner Kegel: Volumen Kegel: Volumen Kugel: des Kugelvolumens werden durch den Kreiskegel ausgefüllt.

3.

Trigonometrie. Ein Ballon C schwebt in der Höhe H über dem Boden. Zwei Beobachter A und B, welche 500 m voneinander entfernt sind, sehen ihn unter den Höhenwinkeln α = 70° bzw. β = 75°. Der Ballon befindet sich über der Verbindungslinie von A und B. a.

Wie weit ist der Ballon von A bzw. von B entfernt?

b.

Berechnen Sie die Ballonhöhe H.

(Ergebnisse auf ganze Meter runden.)

Lösung: a.

, also Die Strecke BC misst ca. 5391 m.

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also: Die Strecke AC misst ca. 5541 m. also:

b.

Der Luftballon befindet sich auf ca. 5207 m Höhe.

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Lösungen 1.

Kombinatorik a.

Papierstreifen

Der abgebildete Papierstreifen kann nur an den gestrichelten Linien zerschnitten werden. Ein Beispiel für eine Zerlegung in drei Teile ist die folgende:

46

47

48

49

50

51

52

Auf wie viele Arten kann man den Streifen in drei Teile zerlegen? b.

c.

In einer Gruppe von Politikerinnen sind 12 aus Italien, 10 aus Spanien und 9 aus der Schweiz, darunter Bundesrätin Simonetta Sommaruga. Für eine Delegation werden aus dieser Gruppe drei Frauen zufällig ausgewählt. i.

Wie viele sind möglich mit einer Italienerin, einer Spanierin und Bundesrätin Sommaruga?

ii.

Wie viele sind möglich mit mindestens einer Italienerin?

Vier Kochbücher, fünf Romane und drei Mathematikbücher sollen nebeneinander auf ein Regal gestellt werden. Auf wie viele Arten geht dies, wenn Bücher desselben Stoffgebiets nebeneinander stehen müssen?

Lösungen: a.

Man muss zwei von 6 Trennstrichen auswählen. Es gibt also

b.

Arten von solchen Zerlegungen.

12 Politikerinnen aus Italien 10 Politikerinnen aus Frankreich 9 Politikerinnen aus der Schweiz i.

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ii.

komplementär: "keine Italienerin". Keine Italienerin: Mindestens eine Italienerin:

c.

Unter sich können die Kochbücher auf 4! = 24, die Romane auf 5! = 120 und die Mathematikbücher auf 3! = 6 Arten angeordnet werden. Nun gibt es aber noch 3! = 6 Anordnungen der GeArten auf das biete. Insgesamt können diese Bücher gemäss Vorgabe auf Regal gestellt werden.

2.

Wahrscheinlichkeitsrechnung. In einer Urne befinden sich – gut gemischt – 20 rote, 30 blaue und 50 weisse Kugeln. Man zieht eine Kugel, notiert die Farbe, legt die Kugel zurück und zieht eine weitere Kugel. a.

Veranschaulichen Sie die Situation mit Hilfe eines Baumdiagrammes.

b.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: i. Beide Kugeln sind rot. ii. Keine Kugel ist rot. iii. Eine Kugel ist blau, die andere weiss.

Lösung: a.

b.

Ereignis A: Beide Kugeln sind rot: Ereignis B: Keine Kugel ist rot: Ereignis C: Eine Kugel ist blau, die andere weiss:

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3.

Wahrscheinlichkeitsrechnung. a.

b.

Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass i.

die Summe der Augenzahlen kleiner als 6 ist;

ii.

das Produkt der zwei Augenzahlen grösser als 15 ist.

Im Kunsthaus Zürich wird eine Sonderausstellung von Alberto Giacometti zu 28% von Personen, welche in der Stadt Zürich wohnen und zu 72% von Auswärtigen besucht. Von den Personen aus der Stadt Zürich sind 65% Frauen, von den Auswärtigen 48%. Wie gross ist der Anteil der Frauen an der gesamten Zahl der Besucher/innen?

Lösung: a.

i.

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

Ereignis A: Summe der Augenzahlen kleiner als 6. Die grünen Felder sind günstig:

ii.

Ereignis B: Produkt der Augenzahlen grösser als 15. Die orangen Felder sind günstig:

b.

Anteil der Frauen an der Gesamtbesucherzahl:

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