Analysis I Dozent: Prof. Suris Wintersemester 2006/07

Analysis I Skript von Maximilian Schlund

Man beachte bitte, dass dies lediglich die LATEX-Version meiner Mitschrit ist und kein offizielles Skript des Lehrstuhls oder des Dozenten! Ohne Gew¨ ahr und ohne Anspruch auf Vollst¨ andigkeit oder Richtigkeit. (Konstruktive) Kritik/Verbesserungsvorschl¨ age/Korrekturen gerne per Mail an mich. (Nachname at in Punkt tum Punkt de)

INHALTSVERZEICHNIS

1

Inhaltsverzeichnis 0 Organisatorisches

1

1 Nat¨ urliche Zahlen

2

2 Ganze Zahlen, rationale Zahlen

4

3 Weitere Anwendungen der Induktion

8

4 Weitere Eigenschaften des K¨ orpers Q

12

5 Reelle Zahlen

14

6 Reelle Folgen und Konvergenz

22

0

Organisatorisches

Website der Vorlesung: www-lm.ma.tum.de/an1m067/

0.1

Literatur

• O. Foster, Analysis1, Vieweg • K. K¨ onigsberger, Analysis1, Springer • V. Zorich, Mathematical analysis, Vol I, Springer, 2003 • B. Gelbbaum, J. Olmsted, Counterexamples in analysis, 2003

0.2

Notation, Begriffe

a ∈ A (a ist Element von A) A ⊂ B (A ist Teilmenge von B) A ∩ B = {a | a ∈ A und a ∈ B} (Durchschnitt) A ∪ B = {a | a ∈ A oder a ∈ B} (Vereinigung) A \ B = {a | a ∈ A und a ∈ / B} (Differenz) A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} (Menge aller geordneten Paare a,b) ∀: f¨ ur alle...“, ∃: existiert...“ oder es gibt...“ ” ” ” f : A → B (Abbildung/Funktion) :=“ heißt: ist definiert durch...“ ” ” Eine Relation“ auf A ist eine Teilmenge von A × A ” N - nat¨ urliche Zahlen Z - ganze Zahlen Q - rationale Zahlen R - reelle Zahlen C - komplexe Zahlen Die Analysis besch¨ aftigt sich mit: Grenzwerten, Stetigkeit, Differentiation, Integral −→ Grenzprozesse

1 Nat¨ urliche Zahlen

1

2

Natu ¨ rliche Zahlen

N = {1, 2, 3, ...}, N0 = {0, 1, 2, 3, ...}

1.1

Peano-Axiome fu ¨ r N0 :

N0 sei eine Menge mit einem ausgezeichneten Element 0 und einer Operation (Abbildung) ν : N0 → N0 (Nachfolger-Abbildung) mit folgenden Eigenschaften: (P1) 0 ∈ / ν(N0 ) (Kein Element in N0 hat 0 als Nachfolger) (P2) x 6= y ⇒ ν(x) 6= ν(y) (Verschiedene Elemente haben verschiedene Nachfolger) (P3) Das Induktionsaxiom: Sei M ⊂ N0 eine Teilmenge mit zwei Eigenschaften: a) 0 ∈ M

b) x ∈ M ⇒ ν(x) ∈ M Dann ist M = N0 Man kann beweisen, dass alle Mengen mit diesen drei Eigenschaften gleich beschaffen (isomorph) sind. Man kann das Induktionsaxiom verwenden um: • neue Begriffe zu definieren • S¨ atze oder bestimmte Eigenschaften zu beweisen Definition 1.1 (Addition von nat¨ urlichen Zahlen) + : N0 × N0 → N0 definiert man induktiv folgendermaßen: (wir schreiben a + b statt +(a, b) ) (I1) a + 0 = a (I2) a + ν(b) = ν(a + b) Laut dem Axiom (P3) ist die Addition f¨ ur alle a, b ∈ N0 definiert. Satz 1.2 (Eigenschaften der Addition) (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ N0 (Assoziativgesetz) a + b = b + a ∀a, b ∈ N0 (Kommutativgesetz) Allgemeine Bemerkung: Um eine Aussage u urlichen Zahlen c zu beweisen, macht man zwei ¨ber alle nat¨ Schritte: (I1) Induktionsbasis: beweise die Aussage f¨ ur c = 0 (I2) Induktionsschritt: beweise, dass aus der Aussage f¨ ur c die Aussage f¨ ur ν(c) folgt

1.1 Peano-Axiome f¨ ur N0 :

Beweis:

3

Wir beweisen das Assoziativgesetz per Induktion bez¨ uglich c

(I1) (a + b) + 0 war)

Def 1.1(I1)

=

a+b

Def 1.1(I1)

=

a + (b + 0) (was f¨ ur c = 0 zu beweisen

(I2) Angenommen die Assoziativit¨at gilt f¨ ur irgendeine nat¨ urliche Zahl c ∈ N0 . Betrachte (a + b) + ν(c) a + ν(b + c)

Def 1.1(I2)

=

Def 1.1(I2)

=

IA

ν((a + b) + c) = ν(a + (b + c))

Def 1.1(I2)

=

a + (b + ν(c)) (was f¨ ur ν(c) zu beweisen war)

⇒ Das beweist das Assoziativgesetz! Beweis des Kommutativgesetzes : I Zuerst beweisen wir, dass 0 + a = a (= a + 0) per Induktion bez¨ uglich a | {z } siehe Def 1.1

(I1) 0 + 0 = 0 (laut (I1) der Definition 1.1)

(I2) Angenommen es gilt: 0 + a = a, dann: 0 + ν(a) (was zu beweisen war)

Def 1.1(I1)

=

IA

ν(0 + a) = ν(a)

Def 1.1(I2)

(1 := ν(0)) Merke: a + 1 = a + ν(0) = ν(a + 0) = ν(a) ⇒ ν(a) = a + 1 I Wir beweisen nun, dass ∀n ∈ N0 gilt:1 + a = ν(a) (= a + 1) | {z }

gerade gezeigt

Wir beweisen per Induktion bez¨ uglich a (I1) 1 + 0

Def 1.1(I1)

=

1 = ν(0)

(I2) Annahme es gilt: 1 + a = ν(a) Dann: 1 + ν(a) war)

Def 1.1(I2)

=

IA

ν(1 + a) = ν(ν(a)) = ν(a) + 1 (was zu beweisen

I Endlich beweisen wir, dass ∀a, b ∈ N0 : a + b = b + a. Dies beweisen wir per Induktion bez¨ uglich b. (I1) a + 0 = 0 + a (wurde bereits bewiesen) (I2) Angenommen es gilt a + b = b + a, dann gilt: a + ν(b) 1 + (a + b) (es wurde bereits bewiesen, dass ν(n) = 1 + n) IA

= 1 + (b + a)

Assoziativgesetz

=

Def 1.1(I2)

=

ν(a + b) =

(1 + b) + a = ν(b) + a (was zu beweisen war)

Definition 1.3 (Multiplikation) · : N0 × N0 → N0 (man schreibt a · b statt ·(a, b)) ist folgendermaßen definiert: (I1) a · 0 = 0 ∀a ∈ N0 (I2) a · ν(b) = a · b + a ∀a, b ∈ N0 ¨ Satz 1.4 (Ubliche Eigenschaften der Multiplikation) a · (b + c) = a · b + a · c ∀a, b, c ∈ N0 (1. Distributivgesetz)

2 Ganze Zahlen, rationale Zahlen

4

(a + b) · c = a · c + b · c ∀a, b, c ∈ N0 (2. Distributivgesetz) (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ N0 (Assoziativgesetz) a · 1 = 1 · a = a ∀a ∈ N0 (neutrales Element/Einselement) a · b = b · a ∀a, b ∈ N0 (Kommutativgesetz)

2

Ganze Zahlen, rationale Zahlen

2.1

Ganze Zahlen

Wir suchen L¨ osungen zu derartigen Gleichungen: 5+x=3 Problem: Keine L¨ osung ∈ N0 . L¨osung: Erweiterung zu den ganzen Zahlen. Wir wollen die L¨ osung als Paar von nat¨ urlichen Zahlen auffassen (das dann als −2 interpretiert werden). Ein solches Paar w¨are (3, 5) aber auch (1, 3) oder (98, 100). Wir wollen alle solchen Paare als ¨aquivalent“ deklarieren. (3, 5) ∼ (1, 3) ∼ ” (0, 2) ∼ (100, 102)... Allgemeiner: Es wird eine Relation auf der Menge N0 × N0 von Paaren von nat¨ urlichen Zahlen eingef¨ uhrt. (m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) ⇔ m1 + n2 = m2 + n1 ¨ Eine Relation heißt Aquivalenzrelation, wenn sie I reflexiv ist, d.h. (m, n) ∼ (m, n) I symmetrisch ist, d.h. (m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) ⇒ (m2 , n2 ) ∼ (m1 , n1 ) I transitiv ist, d.h. aus (m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) und (m2 , n2 ) ∼ (m3 , n3 ) folgt (m1 , n1 ) ∼ (m3 , n3 ) ¨ ¨ Sobald man eine Aquivalenzrelation ∼ auf X hat, kann man die Aquivalenzklassen der x ∈ X definieren: ¨ AK(x) = {y ∈ X, y ∼ x} Eigenschaften: ¨ ¨ ¨ ¨ I Wenn AK(x 1 ) 6= AK(x2 ) dann AK(x1 ) ∩ AK(x2 ) = ∅ ¨ I Die Vereinigung aller Aquivalenzklassen ist die ganze Menge X. In unserem Fall: X = N0 × N0 , die Relation ∼ wurde oben definiert. Definition 2.1 (Ganze Zahlen) ¨ Die Menge Z von ganzen Zahlen ist die Menge der Aquivalenzklassen von N0 ×N0 bez¨ uglich der obigen Relation (m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) ⇔ m1 + n2 = m2 + n1 Daraus folgt, dass die nat¨ urlichen Zahlen eine Teilmenge der ganzen Zahlen ¨ bilden (N0 ⊂ Z) falls man N0 3 n = AK(n, 0) identifiziert. Die negativen ¨ ganzen Zahlen definiert man als −n := AK(0, n).

2.1 Ganze Zahlen

0 1 Also:

−2 −23

5

∼ = {(0, 0), (1, 1), (2, 2) . . . } ∼ = {(1, 0), (2, 1), (3, 2) . . . } .. . ∼ = {(0, 2), (1, 3), (2, 4) . . . } .. . ∼ = {(0, 23), (1, 24), (2, 25) . . . }

Definition 2.2 (Operationen mit ganzen Zahlen) ¨ ¨ Es seien a, b ∈ Z, a = AK(m 1 , n1 ), b = AK(m2 , n2 ) Dann definiert man: ¨ a + b := AK(m 1 + m2 , n1 + n2 ) ¨ a · b := AK(m 1 m2 + n1 n2 , m1 n2 + m2 n1 ) Informelle Erkl¨arung: Man denke sich a als a = m1 − n1 und b als b = m2 − n2 Dann soll die Additon so definiert sein, dass a + b = (m1 + m2 ) − (n1 + n2 ) ergibt und die Multiplikation soll so definiert sein, dass gilt: a · b = (m1 − n1 ) · (m2 − n2 ) = (m1 m2 + n1 n2 ) − (m1 n2 + n1 m2 ) Man muss u ufen, dass die in Definition 2.2 definierten Operationen wohl definiert ¨berpr¨ sind, d.h. unabh¨ angig von der Wahl der Repr¨asentanten (m1 , n1 ) f¨ ur a und (m2 , n2 ) f¨ ur b sind. (Man zeigt z.B. dass aus (m1 , n1 ) ∼ (m f1 , n f1 ) und (m2 , n2 ) ∼ (m f2 , n f2 ) folgt, dass (m1 , n1 ) + (m2 , n2 ) ∼ (m f1 , n f1 ) + (m f2 , n f2 )) Bemerkung: Auf N0 × N0 ⊂ Z × Z stimmen die neuen“ Operationen mit ”¨ ¨ den alten“ u ur a = AK(a, 0), b = AK(b, 0) ∈ N0 hat man ¨berein, denn f¨ ” ¨ ¨ a + b = AK(a + b, 0) und a · b = AK(a · b, 0)

Satz 2.3 Die Operationen + und · haben auf Z × Z die u ¨ blichen Eigenschaften aus den S¨atzen 1.2 und 1.4: (A1) (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ Z (A2) a + b = b + a ∀a, b ∈ Z (A3) a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ Z (M1) (a · b·)c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ Z (M2) a · b = b · a ∀a, b ∈ Z (M3) a · 1 = 1 · a = a ∀a ∈ Z (D) a · (b + c) = a · b + a · c ∀a, b, c ∈ Z

2.2 Rationale Zahlen

6

Beweis: Einfach, aber langweilig... z.B. f¨ ur (A2) ¨ ¨ ¨ a = AK(m , n ), b = AK(m , n ) dann ist a + b = AK(m 1 1 2 2 1 + m2 , n1 + n2 ) = ¨ AK(m + m , n + n ) = b + a 2 1 2 1 (d.h. die Eigenschaften f¨ ur die Operationen auf Z folgen immer aus den entsprechenden Eigenschaften f¨ ur N0 ) Definition 2.4 (Die Negative) ¨ ¨ F¨ ur a = AK(m, n) setzt man: −a = AK(n, m) Satz 2.5 (Grundeigenschaft der Negativen) (A4) a + (−a) = (−a) + a = 0 ∀a ∈ Z Beweis:

¨ ¨ ¨ a + (−a) = AK(m, n) + AK(n, m) = AK(m + n, m + n) = 0 ¥

Definition 2.6 (Subtraktion) a − b := a + (−b) ∀a, b ∈ Z Diese Zahl a − b ist die (eindeutige) L¨osung der Gleichung b + x = a ¨ ¨ ¨ ¨ F¨ ur a = AK(a, 0), b = AK(b, 0) ∈ N0 gilt: a − b = AK(a, 0) + AK(0, b) = ¨ AK(a, b) ¨ a = AK(m, n) ⇔ a = m − n ¨ F¨ ur a = AK(m, n) ∈ Z gilt genau eine der 3 folgenden M¨oglichkeiten: • entweder m = n, dann a = 0 • oder: kann man m aus n durch das sukzessive Bilden von Nachfolgern gewinnen, dann schreibt man a > 0 • oder: kann man n aus m durch das sukzessive Bilden von Nachfolgern gewinnen, dann schreibt man a < 0 Satz 2.7 (Anordnung von Z) (O1) ∀a ∈ Z gilt genau eine der M¨oglichkeiten: entweder a > 0 oder a = 0 oder −a > 0 ⇒ a < 0 (O2) a > 0 und b > 0 ⇒ a + b > 0 (O2) a > 0 und b > 0 ⇒ a · b > 0

2.2

Rationale Zahlen

Wir k¨ onnen die Gleichung a · x = b a, b ∈ Z nicht immer l¨ osen. z.B.: 3x = 2 oder 5x = −2. Wir sagen, dass das Paar (2, 3) die erste, und das Paar (−2, 5) die zweite Gleichung l¨ost. hierbei soll gelten (2, 3) ∼ (4, 6) ∼ (6, 9) ∼ (−100, −150)...

2.2 Rationale Zahlen

7

Definition 2.8 (Rationale Zahlen) ¨ Die Menge Q von rationalen Zahlen ist die Menge von Aquivalenzklassen von ¨ Paaren (m, n) mit m, n ∈ Z, n 6= 0 bez¨ uglich der neuen Aquivalenzrelation (m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) ⇔ m1 n2 = m2 n1

¨ Die Elemente m := AK(m, 1) = {(m, 1), (2m, 2), (−2m, 2), (23m, 23)...} werden mit den ganzen Zahlen Z identifiziert. Somit ist Z ⊂ Q. ¨ Eigentlich noch zu zeigen: ∼ ist eine Aquivalenzrelation! Definition 2.9 (Operationen mit rationalen Zahlen) ¨ ¨ Es seien a = AK(m 1 , n1 ), b = AK(m2 , n2 ) ∈ Q Man definiert: ¨ a + b := AK(m 1 n2 + m2 n1 , n1 n2 ) ¨ a · b := AK(m 1 m2 , n1 n2 )

Zu zeigen: Summe und Produkt sind wohl definiert d.h. unabh¨angig von der Wahl der Repr¨ asentanten (m1 , n1 ) f¨ ur a und (m2 , n2 ) f¨ ur b. Auf Z × Z ⊂ Q × Q stimmen die neuen Operationen mit den alten u ¨berein: ¨ ¨ a = AK(a, 1), b = AK(b, 1) ∈ Z, dann gilt: ¨ ¨ a + b = AK(a · 1 + 1 · b, 1 · 1) = AK(a + b, 1) ¨ ¨ a · b = AK(a · b, 1 · 1) = AK(a · b, 1) Satz 2.10 (Eigenschaften der Addition und Multiplikation auf Q) Die Operationen + : Q × Q → Q und · : Q × Q → Q haben die Eigenschaften (A1) bis (A4) und (M1) bis (M3) und (D). Beweis:

folgt direkt aus den entsprechenden Eigenschaften f¨ ur Z

Definition 2.11 ¨ (Die Inverse) F¨ ur a = AK(m, n) ∈ Q mit m 6= 0 setzen wir a−1 = ¨ AK(n, m) ∈ Q

¥ 1 a

:=

Satz 2.12 (Eigenschaften der Inversen) (M4) a · a−1 = a−1 · a = 1 ∀a ∈ Q Beweis:

¨ ¨ ¨ a · a−1 = AK(m, n) · AK(n, m) = AK(mn, mn) = 1

¥

Definition 2.13 (Division von rationalen Zahlen) a := a · b−1 ∀a ∈ Q, b ∈ Q \ {0} b Diese Zahl ist die (eindeutige) L¨osung der Gleichung b · x = a (b 6= 0) ¨ ¨ F¨ ur a = AK(a, 1) ∈ Z, b = AK(b, 1) ∈ Z \ {0} gilt: a ¨ ¨ ¨ = AK(a, 1) · AK(1, b) = AK(a, b) b m ¨ n) ∈ Q ⇔ a = Also: a = AK(m, n

Definition 2.14 (K¨ orper) Eine Menge K mit zwei bin¨aren Operationen + : K×K → K und · : K×K → K mit den Eigenschaften (A1) bis (A4), (M1) bis (M4) und (D) heißt ein K¨orper.

3 Weitere Anwendungen der Induktion

8

Q ist ein K¨ orper Definition 2.15 ¨ von a ein Paar (m, n) mit m, n ∈ N Die Zahl a ∈ Q heißt positiv, wenn die AK enth¨alt. (dann sind es unendlich viele solche Paare (lm, ln) mit l ∈ N) Satz 2.16 (Anordnung der Rationalen Zahlen) F¨ ur Q gelten die Eigenschaften (O1) bis (O3) aus dem Satz 2.7 Beweis:

selbst u ufen! ¥ ¨berpr¨

Definition 2.17 (Angeordneter K¨ orper) Ein K¨orper K heißt ein angeordneter K¨orper, falls es P ⊂ K gibt derart, dass gilt: (O1) ∀x ∈ K gilt genau eine der drei Aussagen: x ∈ P oder x = 0 oder −x ∈ P (O2) x, y ∈ P ⇒ x + y ∈ P (O3) x, y ∈ P ⇒ x · y ∈ P Somit ist Q ein angeordneter K¨orper (setze P gleich der Menge der positiven rationalen Zahlen). Schreibweise: x∈P ⇔x>0 a > b ⇔ a − b > 0 (⇔ a − b ∈ P ) a0⇔b>a a ≥ b ⇔ (a > b oder a = b) a ≤ b ⇔ (a < b oder a = b) Eigenschaften: • x > y und a > 0 ⇒ a · x > a · y • x > y und a < 0 ⇒ a · x < a · y • x2 = x · x > 0 ∀x 6= 0 (Insbesondere 1 = 1 · 1 > 0)

3

Weitere Anwendungen der Induktion

zur Erinnerung: Induktion kann benutzt werden f¨ ur: I Beweise I Definitionen Satz 3.1 ∀ n ∈ N : 1 + 2 + 3 + · · · + n = 12 n(n + 1)

3 Weitere Anwendungen der Induktion

9

Beweis: (I1) f¨ ur n = 1 : 1 = 1 (I2) n → n+1: 1+2+3+· · ·+n+(n+1) = 21 n(n+1)+(n+1) = (n+1)( 12 n+1) = 1 ur n + 1 ¥ 2 (n + 1)(n + 2), d.h. die Aussage f¨ Satz 3.2 ∀ n ∈ N, ∀x ∈ K, x 6= 1 gilt: 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn =

1−xn+1 1−x

2

Beweis: (I1) f¨ ur n = 1 : 1 + x = 1−x 1−x = 1 + x (I2) Angenommen, die Aussage gilt f¨ ur n, dann gilt auch: n+1 n+1 n+1 (1−x) n+1 +x = 1−x +x = 1+x+x2 +· · ·+xn +xn+1 = 1−x 1−x 1−x 1−xn+2 1−x ,

1−xn+1 +xn+1 +xn+2 1−x

das ist die Aussage f¨ ur n + 1 ¥

Satz 3.3 (Bernoullische Ungleichung) Sei x > −1 in einem angeordneten K¨orper K. Dann gilt ∀n ∈ N0 : (1 + x)n ≥ 1 + nx Beweis: (I1) f¨ ur n = 0 : 1 ≥ 1 (I2) n → n + 1: (1 + x)n+1 = (1 + x)n · (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + ≥0

z}|{ x + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x, mit > statt ≥, sobald x 6= 0.

Also stimmt die Ungleichung auch f¨ ur n + 1 und somit f¨ ur alle n ∈ N0 ¥ Definition 3.4 (Summen-/Produktzeichen) Es sei a : N0 → K eine Folge (man schreibt ak statt a(k)) Dann definiert man: (I1) 0 0 X Y ak := 0 ak := 1 k=1

k=1

(leere Summe, bzw. leeres Produkt) (I2) n+1 n X X ak := ( ak ) + an+1 k=1

Somit sind

Pn

k=1

k=1

ak und

Qn

k=1

n+1 Y k=1

ak := (

n Y

k=1

ak ) · an+1

ak f¨ ur alle n ∈ N0 definiert.

Definition 3.5 (Fakult¨ at)

n! :=

n Y

k=1

insbesondere ist 0! = 1 (leeres Produkt)

k

=

3 Weitere Anwendungen der Induktion

10

Definition 3.6 (Binomialkoeffizienten) fu ¨r n, m ∈ N : ¡n¢

µ ¶ m Y n n−k+1 := k m k=1

¡ n ¢ n(n−1)(n−2)...(n−m+1) Man spricht m : m aus n“. Es ist: m = ”¡n¢ ¡n ¢ ¡n¢ n(n−1) 1·2·3·····m und insbesondere 0 = 1, 1 = n, 2 = 2

¡n¢ Satz 3.7 (Kombinatorische Deutung von n! und m ) a) n! = Anzahl von verschiedenen Anordnungen einer Menge aus n Elementen. ¡n¢ b) m = Anzahl von verschiedenen m-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge.

Beweis: a) W¨ ahle das 1. Element- es gibt n M¨oglichkeiten, dann das 2. Element aus den restlichen (n − 1), f¨ ur die Wahl des 3. Elementes stehen noch (n − 2) zur Verf¨ ugung, usw. Anzahl von verschiedenen M¨oglichkeiten: n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · · · · · 2 · 1 = n! b) Um eine m-elementige Menge zu w¨ahlen, hat man n M¨oglichkeiten f¨ ur die Wahl des 1. Elements, (n − 1) f¨ ur die Wahl des 2. Elements, usw. und schließlich (n − m + 1) M¨ oglichkeiten f¨ ur die Wahl des m-ten Elements. Jede melementige Menge wurde dabei m! mal ber¨ ucksichtigt. Die resultierende Anzahl: n(n−1)(n−2)...(n−m+1) ¥ 1·2·3·····m µ ¶ n(n − 1) . . . (n − m + 1) n n(n − 1) . . . (n − m + 1)(n − m) . . . 1 n! = = = m m! m!(n − m)! (n − m)!m! Aus dieser Darstellung sieht man die Symmetrie: µ ¶ µ ¶ n n = m n−m Hilfssatz 3.8 (Pascalsche Regel) F¨ ur 0 < n gilt: µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n−1 n−1 = + m m m−1 Beweis: µ

¶ µ ¶ (n − 1)! n−1 n−1 (n − 1)! + = + = m!(n − m − 1)! (m − 1)!(n − m)! m m−1 (n − 1)! n! ((n − m) + m) = (m − 1)!(n − m)! m!(n − m)!

3 Weitere Anwendungen der Induktion

11

→ Pascalsches Dreieck: n=0:

1

n=1:

1

n=2:

1

n=3: n=4: n = 5 : w;; 1 ww ww m=0

1

1

2 3

1 3

1

+ // 4 6 ooHH HH vv v H## {{vv 10 10 ;x; 5 ; ; ; ; x;; 5 vv vv xx xx xx xx vvv vvv m=2 m=3 m=4 m=1 µ ¶ µ ¶ µ ¶ 5 4 4 Bsp.: 10 = = + =4+6 3 3 2

1

4

Satz 3.9 (Binomischer Satz) F¨ ur x, y ∈ K und f¨ ur n ∈ N0 gilt: n

(x + y) =

n µ ¶ X n

k=0

k

1 x;; 1 xx xx m=5

xn−k y k

Beweis: (I1) n = 0: 1 = 1 (I2) n → n + 1 Angenommen, die Aussage gilt f¨ ur n, so gilt: (x + y)n+1 =(x + y)n (x + y) = (x + y)n x + (x + y)n y n µ ¶ n µ ¶ X X n n−k k n n−k k x y y x y x+ k k k=0 k=0 n µ ¶ n µ ¶ X n n−k+1 k X n n−k k+1 x y + x y k k k=0 k=0 ¶ n+1 µ n µ ¶ X n n n−k+1 k X xn−l+1 y l x y + l−1 k l=1 k=0 µ ¶ n n+1 X n Xµ n ¶ xn−k+1 y k + xn−k+1 y k k k−1 k=0 k=1 µ ¶ µ ¶¸ µ ¶ n ·µ ¶ X n n+1 n n n n+1 x + + xn−k+1 y k + y 0 k k−1 n k=1 ¶ ¶ µ ¶ µ n µ n + 1 n+1 n + 1 n+1 X n + 1 n−k+1 k y x y + x + n+1 k 0 k=1 n+1 X µn + 1¶ xn−k+1 y k k k=0

IV

= =

(k+1=l)

=

(k=l)

=

= P ascalregel

=

=

4 Weitere Eigenschaften des K¨orpers Q

12

also die Behauptung f¨ ur n + 1. Somit ist der Satz per Induktion bewiesen

¥

Weitere Eigenschaften des K¨ orpers Q

4

Definition 4.1 (Absoluter Betrag) F¨ ur ein x ∈ Q: ¾ ½ x falls x ≥ 0 = max(x, −x) |x| := −x falls x < 0 Satz 4.2 a) Es gilt: |x| ≥ 0 ∀x ∈ Q und |x| = 0 ⇔ x = 0 b) Multiplikative Eigenschaft: |x · y| = |x| · |y| ∀x, y ∈ Q c) Dreiecksungleichung: |x + y| ≤ |x| + |y| ∀x, y ∈ Q Beweis: a) folgt aus der Definition. b) Fall 1: x, y ≥ 0 ⇒ xy ≥ 0; |xy| = xy = |x| · |y| Fall 2: x≥0 y 0 existiert ein n ∈ N ¨ mit n > x. Aquivalent: F¨ ur eine beliebige positive rationale Zahl ε ∈ Q, ε > 0 existiert ein n ∈ N mit n1 < ε WARNUNG: Es gibt auch angeordnete K¨orper ohne Archimedische Eigenschaft!

Beweis:

Es sei x=

p p, q ∈ N ⇒ p > 0, q ≥ 1 q

Setze: n := p + 1 ⇒ n = p + 1 > p ≥

p q ¥

Geometrische Interpretation von rationalen Zahlen (Zahlengerade): x= −2

−1

0 1q 2q 3q 4q

. . . 1. . .

p q

p q

hier z.b. q = 10 und p = 14 Satz 4.5 (Keine L¨ ocher“ zwischen rationalen Zahlen) ” Seien x1 < x2 zwei rationale Zahlen. Dann existiert y ∈ Q zwischen x1 und x2 . Beweis: Es seien x1 = Dann gilt:

p1 q1

< x2 =

p2 q2

mit p1 , p2 ∈ Z; q1 , q2 ∈ N

p1 p1 + p2 p2 < < q1 q1 + q2 q2

Tats¨ achlich: f¨ ur die linke Ungleichung: p1 (q1 + q2 ) < q1 (p1 + p2 ) ⇔ p1 q2 < p2 q1 ⇔ was nach Voraussetzung wahr ist. (Rechte Seite analog)

p1 p2 < q1 q2 ¥

5 Reelle Zahlen

14

ABER: Nicht jeder Punkt der Zahlengeraden entspricht einer rationalen Zahl!

0

1

1

r

45◦

1 x Dieser Punkt ist keine rationale Zahl!

Nach dem Satz des Pythagoras gilt: x2 = 12 + 12 = 2 Satz 4.6 Es gibt keine rationale Zahl x ∈ Q mit x2 = 2 Beweis: Angenommen x = pq ∈ Q und x2 = 2 ⇒ p2 = 2q 2 . Nehme einen solchen Bruch mit dem kleinstm¨oglichen q (dieser existiert f¨ ur alle ¨ x ∈ Q siehe ZU7) Dann gilt: q < p < 2q. Aber dann f¨ ur x0 = 2q−p p−q gilt: (x0 )2 =

(2q − p)2 4q 2 − 4qp + p2 = (p − q)2 p2 − 2pq + q 2

(p2 =2q 2 )

=

6q 2 − 4pq =2 3q 2 − 2pq

Aber der Nenner von x0 ist p − q < q also kleiner als der Nenner von x. Widerspruch zur Annahme es gebe solch einen Bruch! ¥

5

Reelle Zahlen

Definition 5.1 (Dedekindscher Schnitt) Eine Teilmenge R ⊂ Q, (R 6= ∅, R 6= Q) heißt eine Schnittobermenge, falls: • mit jeder Zahl r ∈ R gilt auch r0 ∈ R f¨ ur alle r0 > r, r0 ∈ Q • R enth¨alt kein minimales Element: ∀r ∈ R ∃ r∗ ∈ R mit r∗ < r Dann heißt L := Q \ R (L 6= ∅, L 6= Q) Schnittuntermenge Das Paar α := (L, R) heißt ein (Dedekindscher) Schnitt; Zahlen r ∈ R heißen Oberzahlen bei α, Zahlen l ∈ L heißen Unterzahlen bei α Merke: • es gilt: ∀r ∈ R, l ∈ L : l < r • mit jedem l ∈ L gilt auch l0 ∈ L f¨ ur alle l0 ∈ Q, l0 < l Beispiel 1: Es sei x ∈ Q. Dann ist α = (Lx , Rx ) mit Rx := {y ∈ Q; y > x} und

5 Reelle Zahlen

15

Lx := {y ∈ Q; y ≤ x} ein Schnitt, den wir der Zahl x ∈ Q zuordnen. F¨ ur solche Schnitte enth¨ alt Lx ein maximales Element (n¨amlich x). Beispiel2: R := {y ∈ Q; y 2 > 2}

L := {y ∈ Q; y ≤ 0 oder (y > 0 und y 2 < 2)} Wir zeigen, dass (L, R) ein Schnitt ist, bei dem L kein maximales Element enth¨ alt. Zu zeigen ist: • r > 0 und r2 > 2 ⇒ r0 > 0 und (r0 )2 > 2 ∀ r0 > r • zu jedem r > 0 mit r2 > 2 gibt es 0 < r∗ < r mit (r∗ )2 > 2 Wir zeigen dies, sowie: • zu jedem l > 0 mit l2 < 2 gibt es l∗ > l mit (l∗ )2 < 2 Nehme x ∈ Q, x > 0. Setze: x∗ =

x(x2 + 6) ⇒ x∗ > 0 3x2 + 2

Dann gilt: a) x∗ − x = b)(x∗ )2 − 2 =

x(x2 + 6) x(x2 + 6) − x(3x2 + 2) 2x(2 − x2 ) − x = = 3x2 + 2 3x2 + 2 3x2 + 2

x6 + 12x4 + 36x2 x6 − 6x4 + 12x2 − 8 (x2 − 2)3 − 2 = = (3x2 + 2)2 (3x2 + 2)2 (3x2 + 2)2

Also: x2 < 2 ⇒ (x∗ − x > 0 ⇔ x∗ > x) und (x∗ )2 < 2 x2 > 2 ⇒ (x∗ − x < 0 ⇔ x∗ < x) und (x∗ )2 >√2 Dieser Schnitt wird (nach der Definition 5.2) 2 heißen.

L

x α2 Eines muss gelten: sollte R1 6= R2 sein, so ∃r1 ∈ R1 mit r1 ∈ / R2 oder ∃r2 ∈ R2 mit r2 ∈ / R1 Sie schließen einander aus: angenommen α1 < α2 , d.h. r1 ∈ R1 , r1 ∈ L2 . Dann gilt f¨ ur alle r2 ∈ R2 : r1 < r2 . Das bedeutet: r2 ∈ R1 also R2 ⊂ R1 (R1 6= R2 ) Analog zu zeigen: α1 > α2 impliziert R1 ⊂ R2 (R1 6= R2 )

R1

1

R2

2

R2

2

R1 1

Satz und Definition 5.4 (Addition reeller Zahlen) Seien α1 = (L1 , R1 ) ∈ R, α2 = (L2 , R2 ) ∈ R zwei Schnitte. Dann ist: R1 + R2 := {r1 + r2 ; r1 ∈ R1 und r2 ∈ R2 } eine Schnittobermenge. Der entsprechende Schnitt heißt α1 + α2 . Beweis:

es ist zu zeigen:

• mit jeder Zahl r = r1 + r2 ∈ R1 + R2 geh¨oren auch alle r0 > r zu R1 + R2 • zu jedem r = r1 + r2 ∈ R1 + R2 gibt es r∗ ∈ R1 + R2 mit r∗ < r • R1 + R2 6= Q (offensichtlich, da l1 + l2 ∈ / R1 + R2 f¨ ur l1 ∈ L1 , l2 ∈ L2 da L1 6= ∅ = 6 L2 ) ◦ Zu der ersten Eigenschaft: Es sei r = r1 + r2 ∈ R1 + R2 und r0 ∈ Q, r0 > r. Dann sei r0 = r10 + r2 mit r10 = r1 + (r0 − r), r10 > r1 ⇒ r10 ∈ R1 ◦ Zu der zweiten Eigenschaft: Es sei r = r1 + r2 ∈ R1 + R2 . Dann gibt es r1∗ ∈ R1 , r2∗ ∈ R2 mit r1∗ < r1 , r2∗ < r2 . Es gilt: r∗ := r1∗ + r2∗ ∈ R1 + R2 und r∗ < r ¥

5 Reelle Zahlen

17

Wir zeigen nun: (A1)-(A4) gelten f¨ ur die so eingef¨ uhrte Addition. (A1),(A2) folgen unmittelbar aus den entsprechenden Eigenschaften der rationalen Zahlen. (A3) Existenz von 0 ∈ R mit: α + 0 = 0 + α = α ∀α ∈ R 0 = (L0 , R0 ), wobei L0 = {y ∈ Q; y ≤ 0} und R0 = {y ∈ Q; y > 0} ur eine beliebige Schnittobermenge R. zu zeigen: R + R0 = R f¨ Beweis:

Wir zeigen: R + R0 ⊂ R. Man nehme r + r0 ∈ R + R0 . r0 ∈ R0 ⇒ r0 > 0 ⇒ r + r0 > r ∈ R ⇒ r + r0 ∈ R

Nun zeigen wir, dass R ⊂ R + R0 . Dazu nehme man r ∈ R. Es gibt r∗ ∈ R mit r∗ < r. Damit gilt: r = |{z} r∗ + (r − r∗ ) ∈ R + R0 | {z } ∈R

∈R0

Lemma 5.5 Es sei α = (L, R) ein Schnitt, dann gilt:

∀ε > 0 (ε ∈ Q) gibt es l ∈ L und r ∈ R mit 0 < r − l < ε Beweis: Nehme l1 ∈ L, r1 ∈ R. Laut der Archimedischen Eigenschaft von Q 1 gibt es ein N ∈ N mit N > r1 −l ε . −l1 Betrachte N + 1 Zahlen xk = l1 + r1N · k, k = 0, 1, 2, . . . , N Dann gilt: x0 = l1 ∈ L und xN = r1 ∈ R. Es gibt unter xn die letzte Zahl aus L und die erste Zahl aus R. Sie sollen l bzw. r heißen. −l1 < ε. ¥ Also: 0 < r − l = r1N (A4) (−α) + α = α + (−α) = 0 Sei α = (L, R) ein Schnitt. Setze e R) e mit L e := {y ∈ Q; −y ∈ R}, R e := {y ∈ Q; −y ∈ L}, −α := (L,

falls α irrational

e := {y ∈ Q; y ≤ −x}, R e := {y ∈ Q; y > −x} falls α = x ∈ Q L e = R0 Zu zeigen: R + R e ⊂ R0 : es seien r ∈ R, re ∈ R e ⇒ re = −l mit l ∈ L. a) R + R Dann r + re = r − l > 0, d.h. r + re ∈ R0

e nach Lemma 5.5, gibt es zu jeder y ∈ R0 die Zahlen. r ∈ b) R0 ⊂ R + R: R, l ∈ L mit y1 := r − l < y. e Setze re := −l + (y − y1 ) > −l, so dass re ∈ R. Es gilt: r + re = r − l + y − y1 = y ¥

Satz und Definition 5.6 (Multiplikation positiver reeller Zahlen) Seien α1 = (L1 , R1 ), α2 = (L2 , R2 ) Schnitte, α1 > 0, α2 > 0. Dann ist R1 · R2 := {r1 · r2 ; r1 ∈ R1 , r2 ∈ R2 } eine Schnittobermenge. Der entsprechende Schnitt heißt α1 · α2

5 Reelle Zahlen

18

Beweis: - v¨ ollig analog zum Satz 5.4 ¥ Wir beweisen, dass die Eigenschaften (M1)-(M4) und (D) f¨ ur die so eingef¨ uhrte Multiplikation erf¨ ullt sind. (M1),(M2),(D) folgen sofort aus den entsprechenden Eigenschaften von Q. (M3):

Existenz von 1 ∈ R mit α · 1 = 1 · α = α 1 := (L1 , R1 ) mit L1 := {y ∈ Q; y ≤ 1} R1 := {y ∈ Q; y > 1}

zu zeigen: R · R1 = R1 · R = R f¨ ur beliebige Schnittobermenge R einer Zahl α > 0. a) R · R1 ⊂ R: ist r ∈ R und r1 ∈ R1 ⇔ r1 > 1, so gilt r · r1 > r ⇒ r · r1 ∈ R b) R ⊂ R · R1 : ist r ∈ R, so gibt es r∗ ∈ R mit r∗ < r. Dann folgt r r r > 1 ⇔ ∗ ∈ R1 und r = r∗ · ∗ ∗ r r r

(M4): Existens der Inversen f¨ ur jedes Element: α−1 · α = α · α−1 = 1. F¨ ur jede rationale Zahl x definiert man den Schnitt e := {y ∈ Q; y > 1 } e R), e L e := {y ∈ Q; y < 1 }, R x−1 = (L, x x

F¨ ur jedes irrationale α = (L, R) ∈ R, α > 0 definiert man:

e R) e mit L e := {y ∈ Q; y ≤ 0 oder 1 ∈ L}, R e := {y ∈ Q; 1 ∈ L und y > 0} α−1 := (L, y y e = R1 Zu zeigen: R · R

e ⊂ R1 : es seien r ∈ R, re ∈ R e ⇔ ( 1 und 1 ∈ L). a) R · R r e r e Dann gilt es: l < r, deswegen r · re = rl > 1, d.h. r · re ∈ R1 .

e es sei y ∈ R1 ⇔ y > 1. W¨ahle ein l∗ ∈ L, l∗ > 0. Nach b) R1 ⊂ R · R: Lemma 5.5 gibt es r ∈ R, l ∈ L mit l > l∗ und 0 < r − l < (y − 1)l∗ . Setze re = yr . e und Dann gilt es: r − l < (y − 1)l ⇒ r < yl ⇒ yr > 1l ⇔ re > 1l ⇒ re ∈ R r · re = y. ¥

Multiplikation von nicht-positiven reellen Zahlen: α1 · α2 =

= = =

−(−α1 ) · α2 , falls α1 < 0, α2 > 0

−α1 · (−α2 ), falls α1 > 0, α2 < 0 (−α1 ) · (−α2 ), falls α1 < 0, α2 < 0

0, falls α1 = 0 oder α2 = 0.

Man u uft die Eigenschaften (M1)-(M4), (D) Fall f¨ ur Fall. ¨berpr¨

5 Reelle Zahlen

19

Satz 5.7 (Vollst¨ andigkeit reeller Zahlen) R ist ein angeordneter K¨orper, mit der Archimedischen Eigenschaft, sowie mit der folgenden Eigenschaft, die ihn von Q unterscheidet: (V) Sind A ⊂ R und B ⊂ R nichtleere Mengen mit α < β ∀α ∈ A, ∀β ∈ B so existiert γ ∈ R mit α ≤ γ ≤ β ∀α ∈ A, ∀β ∈ B










 

 

A



 

B

Abbildung 1: A und B m¨ ussen nicht unbedingt zusammenh¨angend sein

Beweis: (O1)-(O3) und Archimedische Eigenschaft sind leicht einzusehen. (bzw. wurden bereits bewiesen). Beweis von (V): [ L := {l ∈ Q; ∃α ∈ A mit l ≤ α} = Lα , L ⊂ Q, L 6= ∅, L 6= Q α∈A

R := {r ∈ Q; ∃β ∈ B mit r > β} =

[

β∈B

Rβ ,

R ⊂ Q, R 6= ∅, R 6= Q

Es gilt: l < r ∀l ∈ L, ∀r ∈ R. Wenn L ∪ R 6= Q, dann ∃c ∈ Q : (c ∈ / L und c ∈ / R). Also gilt ∀α ∈ A, ∀β ∈ B : α < c ≤ β Wenn L ∪ R = Q, dann ist γ := (L, R) ein Schnitt. Da ∀α ∈ A, ∀β ∈ B gilt: Lα ⊂ L, Rβ ⊂ R haben wir ∀α ∈ A, ∀β ∈ B : α ≤ γ ≤ β ¥ Man kann zeigen, dass es nur einen (bis auf Isomorphismen) archimedischen, angeordneten und vollst¨ andigen K¨orper gibt. Definition 5.8 (Schranke und Supremum/Infimum) a) Eine Menge A ⊂ R heißt nach oben (nach unten) beschr¨ankt, falls ∃c ∈ R mit α ≤ c (bzw. α ≥ c) ∀α ∈ A Die Zahl c heißt eine obere (eine untere) Schranke f¨ ur A.

5 Reelle Zahlen

20

b) γ ∈ R heißt Supremum, oder die kleinste obere Schranke (Infimum, oder die gr¨oßte untere Schranke) der Menge A ⊂ R, falls sie eine obere (untere) Schranke f¨ ur A ist und ∀γ 0 < γ∃α ∈ A mit α > γ 0 (bzw. ∀γ 0 > γ∃α ∈ A mit α < γ 0 ) Schreibweise: sup A oder: sup α α∈A

inf A oder: inf α α∈A

Satz 5.9 (Existenz von sup und inf ) F¨ ur jede nichtleere nach oben (nach unten) beschr¨ankte Menge A ⊂ R existiert sup A (bzw. inf A). Beweis: (f¨ ur sup A) Setze B := {β ∈ R; ∀α ∈ A : α < β} Dann sind A und B wie in (V). Aus (V) folgt: ∃γ ∈ R mit α ≤ γ ≤ β ∀α ∈ A, ∀β ∈ B, Wir zeigen: γ = sup A. Dann ist γ eine obere Schranke f¨ ur A. Sollte γ 0 < γ auch 0 0 eine obere Schranke f¨ ur A sein, d.h. α ≤ γ ∀α ∈ A so w¨ urde α < γ+γ ∀α ∈ A. 2 γ+γ 0 γ+γ 0 ¥ Das w¨ urde bedeuten 2 ∈ B und somit γ ≤ 2 . Widerspruch! Bemerkung Intervalle

sup A (inf A) kann zu A geh¨oren oder auch nicht!

sind beschr¨ ankte Mengen in R. [a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} geschlossenes Intervall (a, b) =]a, b[= {x ∈ R; a < x < b} offenes Intervall [a, b) = [a, b[= {x ∈ R; a ≤ x < b} halboffenes Intervall (a, b] =]a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b} halboffenes Intervall sup A = b, inf A = a [a, +∞) = {x ∈ R; x ≥ a} (a, +∞) = {x ∈ R; x > a} (−∞, a] = {x ∈ R; x ≤ a} (−∞, a) = {x ∈ R; x < a}

Definition 4.1 (vom Betrag) sowie Satz 4.2 mit Folgerungen gelten f¨ ur R entsprechend.

5 Reelle Zahlen

21









a

a−





a+

Epsilon-Umgebung: (a − ε, a + ε) = {x ∈ R; |x − a| < ε} = Bε (a) heißt die ε-Umgebung der Zahl a ∈ R (ε > 0) Satz und Definition 5.10 (Wurzel vom Grad m ∈ N) Zu jeder Zahl a ∈ R, a > 0 und zu jeder Zahl m ∈ N, m ≥ 2 gibt es genau eine Zahl x ∈ R mit xm = a √ √ √ Diese Zahl wird durch m a bezeichnet. 2 a = a Beweis: B := {x ∈ R; x > 0 und xm > a} B ist nach unten beschr¨ankt und nicht leer. (wenn a ≤ 1 ist 1 ∈ B und wenn a > 1 ist a ∈ B) Nach Satz 5.9 existiert c := inf B Behauptung: cm = a Es kann nicht sein, dass cm > a (d.h. c ∈ B) Denn: sollte cm > a gelten, dann g¨ abe es ein c∗ ∈ B mit c∗ < c so dass dann c keine untere Schranke mehr f¨ ur B ist. W¨ ahle (vgl. H10): 1 cm − a c∗ = c − m cm−1 ∗ Tats¨ achlich gilt: 0 < c < c und: µ ¶m 1 cm − a ∗ m (c ) − a = c − −a= m cm−1 ¶¶m µ µ 1 cm − a − a > (Bernoulli − U ngleichung) c 1− m cm cm − a )−a=0 cm < a gelten: betrachte (c + ε)m mit 0 < ε < cm (1 −

c m Ferner, sollte cm ma (a − c ), so dass: ³ ε ´m mε 1 cm 1− ≥ (Bernoulli) ≥ 1 − > 1 − (a − cm ) = c c a a

daher:

(c + ε)m =

µ

c2 − ε2 c−ε

¶m


an ∀n ∈ N • streng monoton fallend, falls an+1 < an ∀n ∈ N • monoton falls sie monoton wachsend oder monoton fallend ist Beispiel:









a1 a2

a3=a4

a5

a5=a6



a3

a2

a1

Abbildung 2: Monoton steigende und monoton fallende Folge Definition 6.3 (Beschr¨ ankte Folge) Eine Folge (an )n≥1 heißt nach oben (nach unten) beschr¨ankt, falls ∃c ∈ R mit

an ≤ c ∀n ∈ N

(bzw. an ≥ c ∀n ∈ N)

(an )n≥1 heißt beschr¨ankt, falls sie nach oben und nach unten beschr¨ankt ist.

a6 a3

a1

a4

a2

c=a 5

Abbildung 3: Nach oben beschr¨ankte Folge Definition 6.4 (Konvergenz) Eine Folge (an )n≥1 heißt konvergent gegen die Zahl c ∈ R (die dann Grenzwert von (an )n≥1 heißt), falls ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N : ∀ n ≥ N : |an − c| < ε Schreibweise: limn→∞ an = c oder an −−−−→ c n→∞

6 Reelle Folgen und Konvergenz

23

alle Glieder mit n  

 

 

 

 

 

 

 



> _ N sind hier

 



c−









c

c+

Bemerkung: N ist abh¨ angig von ε. N = N (ε), je kleiner ε desto gr¨oßer wird N . Konvergiert (an )n≥1 nicht, so heißt die Folge divergent. Satz 6.5 (Eindeutigkeit des Grenzwertes) Ist limn→∞ an = c1 und limn→∞ an = c2 , so gilt c1 = c2 Beweis:

∀ ε > 0 ∃ N1 = N1 (ε) ∈ N ∃ N2 = N2 (ε) ∈ N : |an − c1 | < ε ∀n > N1 |an − c2 | < ε ∀n > N2

F¨ ur N = N (ε) = max(N1 (ε), N2 (ε)) gelten beide Ungleichungen f¨ ur alle n > N . Dann folgt mit der Dreiecksungleichung: |c1 − c2 | ≤ |an − c1 | + |an − c2 | < 2ε ∀ n > N Sollte |c1 − c2 | > 0 gelten, so h¨atte man einen Widerspruch (z.B. bei ε = 31 |c1 − c2 |). Daher ist c1 = c2 .

¥

Satz 6.6 Jede nach oben (nach unten) beschr¨ankte, monoton wachsende (fallende) Folge konvergiert. Beweis:

Sei (an )n≥1 monoton wachsend und nach oben beschr¨ankt. Setzte c = sup an n∈N

Behauptung: c = limn→∞ an . Tats¨achlich, ist c eine obere Schranke f¨ ur [ {an } A= n∈N

Das heißt: an ≤ c. ∀ ε > 0 ist c − ε keine obere Schranke f¨ ur A mehr, d.h. ∃ N ∈ N : aN > c − ε Aber: (an )n≥1 ist monoton wachsend. Daher ist an > c − ε

∀n≥N

¥

6 Reelle Folgen und Konvergenz

24

an mit n _> N 

 

 

 



 

 

 

c− aN

c

Beispiele: • (an )n≥1 = (−1)n beschr¨ ankt, weil |an | ≤ 1 (∀n ∈ N) • (an )n≥1 =

n n+5

beschr¨ ankt, weil 0 ≤ an ≤ 1

• (an )n≥1 = 1000 n ist eine Nullfolge limn→∞ an = 0 (folgt aus der Archimedischen Eigenschaft) • (an )n≥1 = q n mit 0 < q < 1 ist eine Nullfolge limn→∞ an = 0. 1 1 1 n n q = 1 + x mit x > 0 q n = (1 + x) > 1 + nx > nx ⇔ q < nx ist eine Nullfolge, weil n2 < 2n f¨ ur n > 3 ⇒ 2nn < n1 ¢n ¡ ur n > |x| und beschr¨ankt = 1 + nx ist nach (T6) monoton f¨

• (an )n≥1 = • (an )n≥1

n 2n

1 • an+1 = an − m √ m gegen x

am n −x m−1 an

ist nach (H10) monoton, beschr¨ankt und konvergiert

Satz 6.7 Jede konvergente Folge ist beschr¨ankt Beweis:

Es sei limn→∞ = c. Nehme ε = 1 dann ∃N0 ∈ N so dass gilt: |an − c| < 1

∀n ≥ N0

also |an | < |c| + 1. Setze jetzt: C := max(|a1 |, |a2 |, . . . , |aN0 −1 |, |c| + 1) Dann sieht man |an | < C ∀n ∈ N Warnung: Nicht jede beschr¨ ankte Folge konvergiert

¥

Beispiel: an = (−1)n . Tats¨achlich, sollte limn→∞ an = c, w¨ urde |c − 1| < ε und |c + 1| < ε gelten. Widerspruch! Satz 6.8 Seien (an )n≥1 , (bn )n≥1 konvergent. Dann sind auch (an +bn )n≥1 und (an ·bn )n≥1 konvergent und es gilt: lim (an + bn ) = lim an + lim bn

n→∞

n→∞

n→∞

lim (an · bn ) = lim an · lim bn

n→∞

n→∞

n→∞

6 Reelle Folgen und Konvergenz

Beweis:

25

Es seien a = limn→∞ an und b = limn→∞ bn

I Summe: ∀ε > 0 ∃N1 = N1 ( 2ε ) ∈ N ∃N2 = N2 ( 2ε ) ∈ N : |an − a|
0 ∃ N1 = N |bn − b|
_N

b n für n > _N 

 

 

 

 



 

 

 

 

b

jedem 0 < ε < Dann gilt:

a−b 2

















 











b+

a−

a

gibt es N = N (ε) mit |an − a| < ε, |bn − b| < ε (∀n ≥ N )

an − bn > (a − ε) − (b + ε) = a − b − 2ε > 0 Widerspruch zu an < bn . Warnung: aus an < bn folgt nur a ≤ b und nicht a < b! Beispiel: an = 0, bn = n1 Satz 6.12 Sind (an )n≥1 , (bn )n≥1 zwei konvergente Folgen mit an ≤ bn ∀n ∈ N und limn→∞ an = limn→∞ bn = a, so gilt f¨ ur jede Folge (cn )n≥1 mit an ≤ cn ≤ bn : lim cn = a n→∞

Beweis: ∀ε > 0 ∃ N ∈ N : |an − a| < ε und |bn − a| < ε f¨ ur alle n ≥ N Dann gilt auch: a − ε < an ≤ cn ≤ bn < a + ε f¨ ur n ≥ N also |cn − a| < ε (∀n ≥ N )

¥

Definition 6.13 (Teilfolge) Sei (an )n≥1 eine Folge und gegeben eine aufsteigende Folge nat¨ urlicher Zahlen n1 < n2 < n3 < . . . Dann heißt k 7→ an k = a(nk ) eine Teilfolge von (an )n≥1 . Bezeichnung: (an k )k≥1

6 Reelle Folgen und Konvergenz

27

Offensichtlich: jede Teilfolge einer konvergenten Folge (an )n≥1 konvergiert gegen a = limn→∞ an Definition 6.14 (H¨ aufungspunkt) k ∈ R heißt ein H¨ aufungspunkt f¨ ur die Folge (an )n≥1 , falls ∀ε > 0 gibt es unendlich viele n ∈ N f¨ ur die gilt: |an − k| < ε Bemerkung

(Unterschied zwischen Grenzwert und H¨aufungspunkt):

I Ist c der Grenzwert der Folge (an )n≥1 befinden sich alle an mit n ≥ N (ε) in der Epsilon-Umgebung von c, d.h. alle bis auf endlich viele. I Ist h ein H¨ aufungspunkt der Folge (an )n≥1 so befinden sich in der EpsilonUmgebung von h unendlich viele an , aber es k¨onnen ebenso unendlich viele an außerhalb von Bε (a) liegen. Beispiele: I an = (−1)n H¨ aufungspunkte: +1 und −1 I limn→∞ an = a ⇒ an besitzt genau einen H¨aufungspunkt, den Grenzwert a I Q ist abz¨ ahlbar (T7), d.h. es gibt eine injektive Folge a : N → Q. In jedem Intervall der reellen Achse (h−ε, h+ε) befinden sich unendlich viele Zahlen aus Q. Daher ist jede Zahl h ∈ R ein H¨aufungspunkt f¨ ur (an )n∈N . Satz 6.15 h ∈ R ist genau dann H¨aufungspunkt der Folge (an )n∈N , wenn es eine Teilfolge (an k )k∈N gibt, mit limk→∞ an k = h Beweis: I Sei h = limk→∞ an k Dann gilt: ∀ε > 0 liegen in (h − ε, h + ε) alle bis auf endlich viele Glieder der Folge (an k )k∈N , also unendlich viele Glieder der Folge (an )n∈N . I Sei h ein H¨ aufungspunkt von (an )n∈N . Sei (εk )k∈N eine Nullfolge, z.B. εk = k1 . Nehme n1 mit |an1 − h| < ε1 = 1 1 Nehme n2 mit |an2 − h| < ε2 = 2 1 Nehme n3 mit |an3 − h| < ε3 = 3 u.s.w n1 < n2 < n3 < · · · < nk sei eine Folge der Indizes mit |an k − h| < εk = Dann gilt: lim an k = h

1 k

k→∞

¥

6 Reelle Folgen und Konvergenz

28

Satz 6.16 (von Bolzano-Weierstraß) 1 Jede beschr¨ankte Folge reeller Zahlen besitzt H¨aufungspunkte. Insbesondere hat sie einen gr¨oßten H¨aufungspunkt h = lim an = lim sup an n→∞

n→∞

Limes superior

und einen kleinsten H¨aufungspunkt h = lim an = lim inf an n→∞

n→∞

Beweis:

Limes inferior

Es gelte l ≤ an ≤ r ∀n ∈ N A :={x ∈ R; es gibt unendlich viele n mit an ≥ x} B :={x ∈ R; es gibt h¨ochstens endlich viele n mit an > x}

l ∈ A, r ∈ B ⇒ A 6= ∅, B 6= ∅ a < b ∀a ∈ A, b ∈ B

a ∈ A ⇒a0 ∈ A f¨ ur alle a0 < a b ∈ B ⇒b0 ∈ B f¨ ur alle b0 > b ) x∈ /A ⇒x∈B ⇒ A∪B =R x∈ /B ⇒x∈A

Wir verwenden den Satz u ¨ber die Vollst¨andigkeit der reellen Zahlen (5.7): ∃ c ∈ R mit a ≤ c ≤ b f¨ ur alle a ∈ A, b ∈ B. Wir zeigen c = lim supn→∞ an , also: I c ist ein H¨ aufungspunkt I c0 > c ⇒ c0 ist kein H¨ aufungspunkt

F¨ ur diese Zahl c und ∀ε > 0 gilt: ( ) x∈ /A ⇒x∈B es gibt unendlich viele ⇔ x∈ /B ⇒x∈A es gibt h¨ochstens endlich viele

n n

mit an ≥ c − ε mit an > c + ε

daraus folgt: es gibt unendlich viele n mit c − ε ≤ an ≤ c + ε, d.h. c ist ein H¨ aufungspunkt f¨ ur an Nehme c0 > c. Setze ε =

c0 −c 2 .

Dann ist

c+ε=

c + c0 ∈B 2 0

also gibt es h¨ ochstens endlich viele n mit an ≥ c0 − ε = c + ε = c+c 2 , d.h. die ε–Umgebung von c0 enth¨alt h¨ochstens endlich viele an . Daher ist c0 kein H¨ aufungspunkt von (an ). Also: c = lim sup an n→∞

Beweis der Existenz von lim inf n→∞ an geht analog.

¥

1 B.Bolzano

(1781–1848) tschechischer Theologe und Mathematiker, trotz Publikationsverbot Entdecker vieler S¨ atze der Analysis, wie man nach seinem Tod herausfand. K.Weierstraß (1815–1897) bedeutender deutscher Mathmatiker, Gymnasiallehrer und sp¨ ater Universit¨ atsprofessor in Berlin

6 Reelle Folgen und Konvergenz

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Frage: Wie kann man Konvergenz einer Folge (an )n∈N feststellen, wenn der Grenzwert c unbekannt ist? Definition 6.17 (Cauchy-Folge/Fundamentalfolge) Eine Folge(an )n∈N reeller Zahlen heißt Cauchy–Folge, falls ∀ε > 0 : ∃ N = N (ε) ∈ N : |an − am | < ε f¨ ur alle m, n ≥ N Satz 6.18 (von Cauchy) Eine Folge (an )n∈N reeller Zahlen ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy–Folge ist. Beweis:

I Es sei (an ) eine konvergente Folge. limn→∞ an = c. Das bedeutet: ) |an − c| < 2ε ∀n ≥ N ∀ε > 0 ∃ N ∈ N : ⇒ |an −am | ≤ |an −c|+|am −c| < ε ∀n, m ≥ N |am − c| < 2ε ∀m ≥ N

I Es sei (an ) eine Cauchy-Folge. Wir zeigen zun¨achst, dass (an ) eine beschr¨ankte Folge ist. F¨ ur ε = 1 gibt es N1 ∈ N mit |an − am | < 1 ∀m, n ≥ N1 . Es folgt: ∀n ≥ N1 : |an − aN1 | < 1

Dreiecksungl.

⇒

|an | < |aN1 | + 1 (∀n ≥ N1 )

Jetzt gilt: ur alle n ∈ N |an | ≤ C := max(|a1 |, |a2 |, . . . , |aN1 −1 |, |aN1 + 1|) f¨ D.h. an ist beschr¨ ankt. Wir wenden den Satz von Bolzano-Weierstraß an: Es gibt eine konvergente Teilfolge (ank )k∈N mit limk→∞ ank = h (S¨atze 6.15 und 6.16) Wir zeigen:

limn→∞ an = h ∀ε > 0 ∃ N0 ∈ N : |ank − h| < ∀ε > 0 ∃ N2 ∈ N : |an − am |