Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

SŁAWOMIR DOROSIEWICZ JUSTYNA STASIEŃKO

ANALIZA INPUT - OUTPUT NOTATKI

Instytut Ekonometrii SGH

Strona 1 z 28

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

Strona 2 z 28

SPIS TREŚCI 1.

PRZEDMOWA TABLICA PRZEPŁYWÓW MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH

MODEL LEONTIEWA

4 7 9 11 13 14

Wprowadzenie Model Leontiewa w ujęciu kosztowym Optymalizacja i model Leontiewa Model Leontiewa w ujęciu rzeczowym Funkcja produkcji w modelu Leontiewa

14 14 19 21 22

PROBLEMY AGREGACJI BILANSÓW PRZEPŁYWÓW MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH

23

Wprowadzenie Wskaźniki efektywności gospodarczej Rozszerzona tablica przepływów międzygałęziowych Rodzaje bilansów przepływów międzygałęziowych Rodzaje bilansów przepływów międzygałęziowych 2.

3.

Wprowadzenie Agregacja bilansu przepływów międzygałęziowych 4. 5.

4

SŁOWNICZEK WAśNIEJSZYCH POJĘĆ LITERATURA

Instytut Ekonometrii SGH

23 23 27 28

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

Strona 3 z 28

PRZEDMOWA Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa Przedmowa

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

Strona 4 z 28

ROZDZIAŁ I TABLICA PRZEPŁYWÓW MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH WPROWADZENIE Analiza input - output (ang. input - output analysis), zwana także analizą przepływów międzygałęziowych lub analizą nakładów i wyników, stanowi rodzaj rachunku ekonomicznego służącego do badania stanu i struktury złożonych układów gospodarczych. Złożoność układu oznacza, że można wyróżnić w nim pewną liczbę gałęzi, z których każda wytwarza określony produkt inny niż pozostałe gałęzie. Wielkość analizowanego układu może być bardzo różna - może nim być zarówno cała gospodarka narodowa, jak również przedsiębiorstwo produkcyjne. Przykładowo analiza może dotyczyć: • w skali mikro - wielozakładowej firmy lub zespołu firm powiązanych więzami kooperacyjnymi. • w skali makro - gospodarki narodowej, w której wyróżniono takie gałęzie jak: − przemysł i rzemiosło, − rolnictwo i leśnictwo, − budownictwo, − transport i łączność, − handel i usługi. Oprócz wspomnianej wyżej gałęziowej struktury układu gospodarczego zakładamy dodatkowo, że: • układ jest zamknięty - dla każdej gałęzi środkami produkcji są produkty wytworzone w tym układzie, • układ jest statyczny - nakłady na produkcję w danym okresie są produktami wytworzonymi w tym samym okresie, • produkcja jest niesubstytucyjna produktów danej gałęzi nie można zastąpić produktami innych gałęzi, • produkcję globalną danej gałęzi (czyli ogół wytworzonych w tej gałęzi produktów) można podzielić na dwie części: część przeznaczoną na cele produkcyjne układu (przepływy międzygałęziowe) i część pozostałą - produkcję końcową (finalną). Jak zobaczymy później, część powyższych założeń można uchylić (dotyczy to w szczególności założenia o zamkniętości układu). PRZYKŁAD

Rozważmy układ gospodarczy o trzech, wzajemnie ze sobą powiązanych gałęziach (por. rysunek).

Schemat powiązań pomiędzy gałęziami rozważanego układu gospodarczego. Produkcja każdej z gałęzi może oddziaływać na wielkość produkcji pozostałych.

Załóżmy, że w pewnym okresie czasu: w gałęzi I: • w procesie produkcji zużyto własne wyroby o wartości 4 jednostek pieniężnych (j.p.) oraz przekazano na cele produkcyjne do gałęzi II i III wyroby o wartości 11 j.p. oraz 7 j.p, • wartość pozostałej produkcji gałęzi ma wartość 30 j.p. (por. poniższy rysunek);

Podział produkcji gałęzi I. Część produkcji o wartości 4+11+7=22 j.p. jest zużywana w układzie do produkcji. Pozostałe produkty tej gałęzi mają wartość 30 j.p.

w gałęzi II:

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

• w celach produkcyjnych zużyto własne wyroby o wartości 1j.p, przekazano gałęziom I i III wyroby o wartości odpowiednio 14 j.p. i 9 j.p., • wartość pozostałych produktów gałęzi jest równa 20 j.p. (por. poniższy rysunek);

Podział produkcji gałęzi I, II.

W gałęzi III: • w procesie produkcji zużyto własne wyroby o wartości 2 j.p. i przekazano gałęziom I i II produkcję o wartości odpowiednio 8 j.p. oraz 17 j.p. • pozostała produkcja tej gałęzi ma wartość 10j.p. (por. rysunek).

Strona 5 z 28

• wartość wyrobów nie zużytych w procesie produkcji, czyli wartość produkcji końcowej, kolejnych gałęzi jest równa: 30, 20 oraz 10 (j.p.); • wartość wszystkich wyrobów wytworzonych w poszczególnych gałęziach, czyli produkcja globalna gałęzi, jest równa 52=4+11+7+30, 44=14+1+9+20 oraz 37=8+17+2+10 (j.p.) odpowiednio w gałęzi I,II,III; • koszty materiałów (dalej określane mianem kosztów materiałowych) zużytych do produkcji są następujące: w gałęzi I: 4+14+8=26j.p., w gałęzi II: 11+1+17=29 j.p, w gałęzi III: 7+9+2=18 j.p.; • nadwyżka produkcji globalnej ponad koszty materiałowe, tzw. wartość dodana (na którą w głównej mierze składają się płace oraz wypracowany zysk) w poszczególnych gałęziach układu jest równa: w gałęzi I: 52-26=26 j.p, w gałęzi II: 44-29=15 j.p, w gałęzi III: 37-18=19 j.p. Informacje o wielkości przepływów międzygałęziowych, produkcji globalnej i końcowej poszczególnych gałęzi wygodnie jest przedstawiać w ujęciu tabelarycznym w postaci tablicy przepływów międzygałęziowych. W celu jej prezentacji wprowadźmy następujące oznaczenia: Xi - wartość produkcji globalnej i-tej gałęzi (j.p.), Yi - wartość produkcji końcowej i-tej gałęzi (j.p.), xij - wartość produkcji i-tej gałęzi przekazana w celach produkcyjnych do j-tej gałęzi (j.p.), Dj - wartość dodana i - tej gałęzi (suma płac xoj oraz zysków zj ) (j.p.). Schemat bilansu przepływów międzygałęziowych dla trójgałęziowego układu gospodarczego przedstawia poniższa tablica.

Podział produkcji w układzie gospodarczym.

Na podstawie powyższych informacji możemy w szczególności stwierdzić, że: • wartości wyrobów przekazywanych pomiędzy gałęziami i zużywanej w procesie produkcyjnym, czyli wartości tzw. przepływów międzygałęziowych są następujące (w j.p.): 4,11,7 (z gałęzi I), 14,1,9 (z gałęzi II), 8,17,2 (z gałęzi III);

produkcja globalna Xi X1 X2 X3 wart. dodana Dj prod. globalna Xj

przepływy międzygałęziowe xij x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33 D1 D2 D3 X1 X2 X3

produkcja końcowa Yi Y1 Y2 Y3

Tablica przepływów dla rozważanego w przykładzie układu ma następującą postać produkcja globalna 52 44 37 Dj Xj

Instytut Ekonometrii SGH

przepływy międzygałęziowe 4 14 8 26 52

11 1 17 15 44

7 9 2 19 37

produkcja końcowa 30 20 10

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

[ xij ]n × n , druga - wartości produkcji globalnej ( X i ) i końcowej ( Yi ) poszczególnych macierzy

Uogólnijmy rozważania ostatniego przykładu. Tablica przepływów międzygałęziowych dla układu gospodarczego o n gałęziach ma postać przedstawioną w poniższej tabeli. Tablica składa się z trzech zasadniczych części. Środkowa część zawiera wartości przepływów międzygałęziowych w postaci Xi X1 X2 ... Xi ... Xn xoj zj Xj

Strona 6 z 28

gałęzi układu. Ostatnia, trzecia część bilansu zawiera informacje o wartościach dodanych dla kolejnych gałęzi, z wyróżnionymi składnikami płacami (x0j) i zyskami (zj). xij

x11 x21 ... xi1 ... xn1 x01 z1 X1

x12 x22 ... xi2 ... xn2 x02 z2 X2

RÓWNANIA BILANSOWE Dla każdej z gałęzi układu zachodzi równanie bilansowe podziału produkcji: X i = xi1 + xi 2 +...+ xin + Yi , produkcja globalna gałęzi = zużycie produkcyjne wyrobów tej gałęzi + produkcja końcowa gałęzi.

... ... ... ... ... ... ... ... ...

x1j x2j ... xij ... xnj xoj zj Xj

... ... ... ... ... ... ... ...

X 1 = x11 + x 21 + ...+ x n1 + D1 , X 2 = x12 + x 22 + ...+ x n 2 + D2 , .................................... X n = x1n + x 2 n + ...+ x nn + Dn . Z równań tych otrzymujemy tzw. warunek równowagi

X 2 = x 21 + x 22 + ...+ x 2 n + Y2 , .................................... X n = x n1 + x n 2 + ...+ x nn + Yn . Z drugiej strony j - ta kolumna macierzy przepływów międzygałęziowych [ xij ] zawiera informacje o wartości nakładów na produkcję j - tej gałęzi pochodzących z kolejnych gałęzi układu (koszty materiałów). Reszta to tzw. wartość dodana D w danej gałęzi. Mamy zatem dla dowolnej gałęzi j równanie bilansowe kosztów:

X j = x1 j + x 2 j + ...+ x nj + D j , produkcja globalna = koszty materiałowe + wartość dodana. Dla całego układu mamy układ równań bilansowych podziału kosztów:

n

n

i =1

j =1

∑ Yi = ∑ D j .

Dla całego układu gospodarczego mamy układ równań bilansowych podziału produkcji:

X 1 = x11 + x12 + ...+ x1n + Y1 ,

Yi Y1 Y2 ... Yi ... Yn

x1n x2n ... xin ... xnn x0n zn Xn

Składnikami wartości dodanej są zysk i pozostałe elementy kosztów produkcji: koszty robocizny (płace), wartość zużytych środków trwałych (amortyzacja), podatki itp. Pozycje te są wyodrębnione w osobnym wierszu lub wierszach bilansu przepływów międzygałęziowych. Dla uproszczenia będziemy w większości dalszych rozważań zakładali, że wartość dodana jest sumą płac i zysku:

D j = x0 j + z j . PRZYKŁAD (źródło: Tomaszewicz Ł. [red.] Przepływy międzygałęziowe. Łódzki,1979)

Elementy

teorii.

Uniwersytet

W modelu Francois Quesnay’a z 1766 roku w gospodarce francuskiej zostały wydzielone dwa działy: • farmerzy (rolnictwo), • klasa jałowa (przemysł i usługi). Występująca ponadto w modelu klasa właścicieli jest traktowana jako grupa odbiorców produktu finalnego. W modelu tym założono, że: • rolnictwo zużywa na własne potrzeby 40% wartości swojej produkcji globalnej,

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

• produkty rolnicze o wartości 1 mld. liwrów wymagają przemysłowych środków produkcji o wartości 0,2 mld. liwrów, • produkcja przemysłu i usług o wartości 1 mld. liwrów wymaga zużycia produkcji rolniczej o wartości 1 mld. liwrów, • przemysł i usługi nie zużywają własnych produktów, • właściciele otrzymują produkt końcowy w postaci produktów rolniczych i wyrobów przemysłowych o wartości po 1 mld. liwrów. Zbudujemy odpowiadającą temu modelowi tablicę przepływów międzygałęziowych.

Strona 7 z 28

• koszty materiałowe, • koszty produkcji, a także wskaźniki efektywności procesów gospodarczych: • współczynnik materiałochłonności, • rentowność. Z niektórymi z tych wielkości zetknęliśmy się w pierwszym z prezentowanych przykładów. Poniżej przedstawimy bardziej formalne definicje tych wielkości. KOSZTY MATERIAŁOWE, MATERIAŁOCHŁONNOŚĆ • Dla i - tej gałęzi koszty materiałowe wyrażają się wzorem: n

Oznaczmy symbolami X R oraz X P wartość produkcji globalnej odpowiednio rolnictwa i przemysłu (z usługami). Z zamieszczonych informacji wynika następująca postać tablicy przepływów (wszystkie wielkości wyrażone w mld. liwrów). Gałąź

produkcja globalna

rolnictwo

XR XP

przemysł

przepływy międzygałęziowe przemysł rolnictwo

0,4 X R 0,2 X R

produkcja końcowa

XP

1

0

1

Stąd XP = 2. Wartości dodane są równe D1=5-(2+1)=2, D2=2-(2+0)=0 (j.p.) i ostatecznie tablica przepływów międzygałęziowych ma następującą postać (wszystkie wartości są wyrażone w mld. liwrów):

rolnictwo 5 przemysł 2 wart. dodana produkcja globalna

przepływy międzygałęziowe rolnictwo przemysł 2 2` 1 0 2 0 5 2

n

j =1

X P = 0,2 X R + 1 . otrzymujemy X R = 5,

produkcja globalna

i =1

czyli są sumą elementów j - tej kolumny macierzy przepływów międzygałęziowych X = [xi j]. KMj jest równe wartości wyrobów zużytych w celach produkcyjnych w gałęzi j. • Koszty materiałowe KM całego układu gospodarczego są sumą kosztów materiałowych jego poszczególnych gałęzi:

KM = ∑ KM j .

Z równań bilansowych podziału produkcji wynika więc, że: X R = 0,4 X R + X P + 1 ,

Gałąź

KM j = ∑ xij ,

KM równe jest łącznej wartości wszystkich materiałów zużytych przez układ gospodarczy w procesie produkcyjnym. Z równań bilansowych wynika, że dla dowolnej gałęzi (a także dla całego układu) zachodzi związek: Produkcja globalna = koszty materiałowe + płace + zysk. • Współczynnik materiałochłonności (materiałochłonność) j - tej gałęzi oraz całego układu są odpowiednio równe

produkcja końcowa 1 1

KM j Xj oraz n

∑ KM j j =1

n

.

∑Xj j =1

WSKAŹNIKI EFEKTYWNOŚCI GOSPODARCZEJ Dane zamieszczone w tablicy przepływów międzygałęziowych umożliwiają obliczenie dodatkowych wielkości charakteryzujących cały układ gospodarczy lub jego wybrane gałęzie. Zaliczyć można do nich między innymi:

• Współczynnik materiałochłonności gałęzi (całego układu) jest równy średniemu kosztowi materiałów zużywanych w celu uzyskania w danej gałęzi (w całym układzie) produkcji o wartości jednostkowej (1 j.p). KOSZTY PRODUKCJI

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

Koszty produkcji (KP) są sumą kosztów materiałowych i płac: • dla j - tej gałęzi są równe: n

KPj = KM j + x 0 j = ∑ xij , i =0

• dla całego układu gospodarczego: n

n

Strona 8 z 28

możemy obliczyć wartości dodatkowych wskaźników charakteryzujących proces wytwarzania w danej gałęzi: • pracochłonność produkcji j - tej gałęzi wyraża się liczbą pracujących w j - tej gałęzi przypadająca na jednostkową wartość produkcji tej gałęzi:

n

Lj

KP = ∑ KPj = ∑ ∑ xij . j =1

Xj

j =1 i = 0

RENTOWNOŚĆ Rentowność jest ilorazem zysku do kosztów produkcji: • dla j - tej gałęzi:

wypracowanego

Lj

KPj • dla całego układu gospodarczego: n

∑z

• wydajność pracy j - tej gałęzi - wartość produkcji w j - tej gałęzi przypadająca na jednego zatrudnionego tam pracownika:

Xj

zj

ST j .

n

Xj

∑ KP

j

j =1

Rentowność (gałęzi, układu gospodarczego) informuje o średniej wielkości wypracowanego zysku przypadającego na jednostkę poniesionych kosztów produkcji (w gałęzi, układzie gospodarczym).

Xj

ST j Lj

• popyt produkcyjny całego układu gospodarczego jest równy sumie popytów produkcyjnych wyrobów jego gałęzi: n

∑∑ x i =1 j =1

n

ij

.

ij

j =1

n

;

• techniczne uzbrojenie pracy w j - tej gałęzi - wartość produkcyjnego majątku trwałego w j - tej gałęzi przypadająca na jednego tam zatrudnionego:

n

∑x

;

• produktywność majątku trwałego j - tej gałęzi - wartość produkcji j - tej gałęzi przypadająca na jednostkową wartość produkcyjnych środków trwałych tej gałęzi:

ST j POPYT PRODUKCYJNY Popyt produkcyjny (pośredni) na wyroby danej gałęzi jest równy wartości zużytych w procesie produkcyjnym wyrobów tej gałęzi: • popyt produkcyjny na wyroby i - tej gałęzi jest równy:

;

• majątkochłonność produkcji j - tej gałęzi - Wartość produkcyjnego majątku trwałego w j - tej gałęzi przypadająca na jednostkę produkcji tej gałęzi:

j

j =1

;

= ∑ KM j . j =1

Z równań bilansowych wynika, że dla każdej gałęzi (i całego układu) mamy równość: Produkcja globalna = popyt produkcyjny + produkcja końcowa. Jeśli dodatkowo dysponujemy informacjami o: liczbie Lj pracowników zatrudnionych w j - tej gałęzi, wartości STj produkcyjnych środków trwałych (budynki, urządzenia, itp.) w j - tej gałęzi,

PRZYKŁAD W przypadku gospodarki opisanej tablicą przepływów międzygałęziowych Xi 100 150 160 xoj zj Xj

20 25 15 20 20 100

xij 10 45 60 20 15 150

30 45 55 5 25 160

Yi 40 35 30

możemy wnioskować między innymi, że: • gałąź II zużyła w procesie produkcyjnym produkty gałęzi III o wartości 60 j.p, a gałąź I przekazała gałęzi II własne wyroby o wartości 10 j.p. • w celach produkcyjnych gałąź III zużyła wyroby gałęzi I o wartości 30 j.p., wyroby

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

gałęzi II o wartości 45 j.p. oraz własne produkty o wartości 55j.p. • Łączny zysk, równy sumie zysków w poszczególnych gałęziach, jest równy 20+15+25 = 60 (j.p). • Fundusz płac w gospodarce, równy sumie wartości płac we wszystkich gałęziach, wynosi: 20+20+5=45 (j.p). • Produkcja globalna ma wartość 100, 150 i 160 (j.p.) odpowiednio dla gałęzi I,II,III. Wartość produkcji globalnej całej gospodarki jest równa 100+150+160 = 410 (j.p). • Produkcja końcowa ma wartość 40, 35 i 30 (j.p.) odpowiednio dla gałęzi I,II,III. Wartość produkcji końcowej gospodarki jest więc równa 40+35+30=105 (j.p). • Zużycie pośrednie (produkcyjne) produktów danej gałęzi jest równe: − w gałęzi I: 20 + 10 + 30 = 60 (j.p.), − w gałęzi II: 25 + 45 + 45 = 115 (j.p.), − w gałęzi III: 15 + 60 + 55 = 130 (j.p.), − w całym układzie: 60+115+130=305 (j.p). Koszty materiałowe kształtują się na poziomie: − w gałęzi I: 20 + 25 + 15 = 60 (j.p.), − w gałęzi II: 10 + 45 + 60 = 115 (j.p.), − w gałęzi III: 30 + 45 + 55 = 130 (j.p.), − w całym układzie 60 + 115 + 130 = 305 (j.p.). Materiałochłonność jest równa: − w gałęzi I: 60/100 = 0,6, − w gałęzi II: 115/150, − w gałęzi III: 130/160, − w całym układzie 305/410. Koszty produkcji wynoszą: − w gałęzi I: 20 + 25 + 15 + 20 = 100 - 20 = 80 (j.p.), − w gałęzi II: 10 + 45 + 60 + 20 = 150 - 15 = 135 (j.p.), − w gałęzi III: 30 + 45 + 55 + 5 = 160 - 25 = 135 (j.p.), − w całym układzie 80+135+135=350 (j.p). Rentowność poszczególnych gałęzi i całego układu jest równa: − gałęzi I: 20/80 − gałęzi II: 15/135 − gałęzi III: 25/135 − całego układu: 60/350.

Strona 9 z 28

ROZSZERZONA TABLICA PRZEPŁYWÓW MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH Struktura publikowanych bilansów odnoszących się do gospodarki narodowej jest na ogół znacznie bardziej złożona niż zaprezentowana do tej pory. Przypomnijmy, że dotychczas konstruowane tablice przepływów międzygałęziowych dotyczyły układów zamkniętych (a więc takich, w których nie było wymiany towarowej z „resztą świata”). Obecnie uchylimy to założenie, dopuszczając możliwość importu oraz eksportu towarów i usług. Dokonamy bardziej dokładnego podziału produkcji końcowej i wartości dodanej otrzymując tablicę o strukturze zbliżonej do bilansów konstruowanych dla rzeczywistych układów gospodarczych. Wielkość pierwszej części tablicy, zawierającej wartości przepływów międzygałęziowych, zależy od liczby wyróżnionych w gospodarce gałęzi. Przykładowo w publikowanych w ostatnich latach przez GUS tablicach przepływów międzygałęziowych dla Polski wyróżniono 38 gałęzi. W drugiej części tablicy charakteryzującej produkcję końcową (popyt finalny) podawane są wartości jej składników: • spożycia indywidualnego (ludności z dochodów osobistych) - C, • pozostałego spożycia (spożycie zbiorowe - wydatki rządowe) - G, • nakładów inwestycyjnych - I, • przyrostu zapasów (środki obrotowe rezerwy) - ∆R, • eksportu - E. W trzeciej części tablicy charakteryzującej wartość dodaną wyróżnia się: • amortyzację - am, • import - imp, • koszty niematerialne, w tym wynagrodzenia z narzutami i pozostałe koszty niematerialne - x0, • akumulację operacyjną, w tym podatki, zyski, dopłaty i inne obciążenia - z. Schemat rozszerzonej tablicy przepływów międzygałęziowych dla gospodarki narodowej przedstawia poniższa tabela

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

Xi X1 X2 ... Xi ... Xn impj amj xoj zj Xj

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

xi j x11 x12 x21 x22 ... ... xi1 xi2 ... ... xn1 xn2 imp1 imp2 am1 am2 x01 x02 z1 z2 X1 X2

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

x1j x2j ... xij ... xnj impj amj xoj zj Xj

... ... ... ... ... ... ... ... ...

Składniki rozszerzonego bilansu przepływów międzygałęziowych spełniają równania bilansowe: Produkcja globalna = zużycie produkcyjne + produkcja końcowa, czyli: n

X i = ∑ xij + Ci + Gi + I i + ∆Ri + E i j =1

oraz Produkcja globalna = koszty materiałowe + wartość dodana, n

X j = ∑ xij + amj + imp j + x0 j + z j . i =1

PRZYKŁAD W gospodarce pewnego kraju, można wyróżnić trzy gałęzie: przemysł, rolnictwo i handel/transport. Poniżej zestawiono szereg danych statystycznych charakteryzujących gospodarkę pewnego kraju. 1. Przemysł: • zużywa własne produkty o wartości 100 j.p, produkty pochodzenia rolniczego o wartości 25 j.p, • korzysta z usług handlu i transportu o wartości 10 j.p, • amortyzacja maszyn jest równa 10 j.p, • płace i pozostałe koszty niematerialne wynoszą 30 j.p, zyski 20 j.p, • podatki stanowią 10% wartości produkcji globalnej gałęzi. 2. Rolnictwo: • zużywa własną produkcję o wartości 10 j.p,

Ci C1 C2

x1n x2n ... xin Ci ... xnn Cn impn Cimp amn x0n zn Xn

Strona 10 z 28

Gi G1 G2

Yi Ii I1 I2

∆Ri R1 R2

Ei E1 E2

Gi

Ii

Ri

Ei

Gn Gimp

In Iimp

Rn ∆Rimp

En Eimp

• korzysta z usług handlu i transportu oraz produkcji przemysłowej o wartości odpowiednio 15 i 20 j.p, • płace i inne koszty niematerialne mają wartość 20 j.p, • zysk wynosi 15 j.p, a podatki 5 j.p, • koszty amortyzacji sprzętu wynoszą 5 j.p. 3. Handel/transport: • wykorzystuje wyroby przemysłowe o wartości 25% całkowitego zużycia produkcyjnego wyrobów przemysłowych w dwóch pozostałych gałęziach, • korzysta z własnych usług o wartości 10 j.p, • wartość amortyzacji jest równa połowie wartości zużytych w tej gałęzi wyrobów przemysłowych, • płace inne koszty niematerialne wynoszą 30 j.p. i są dwukrotnie większe od wypracowanego w tej gałęzi zysku, • podatki stanowi 20% kosztów materiałowych i wynoszą 10 j.p. Produkcję końcową dzielimy na spożycie (indywidualne i zbiorowe) wraz z inwestycjami i eksport. Spożycie wraz z inwestycjami stanowi w przemyśle 60%, a w pozostałych gałęziach 80% wartości produkcji końcowej. Na podstawie powyższych informacji zbudowano bilans przepływów międzygałęziowych. Przedstawia go poniższa tablica (liczby zostały zaokrąglone do pierwszego miejsca po przecinku).

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

Gałąź

Xi

xij

przemysł 216,7 rolnictwo 90 handel-trans. 110 amortyzacja płace zysk podatki Xj

przemysł

rolnictwo

handeltransport

100 25 10 10 30 20 21,7 216,7

20 10 15 5 20 15 5 90

30 10 10 15 30 15 10 110

Rozszerzona tablica przepływów międzygałęziowych pozwala między innymi na obliczenie następujących wielkości charakteryzujących rozwój gospodarczy kraju (oznaczenia takie jak w rozszerzonej tablicy przepływów międzygałęziowych): • salda handlu zagranicznego: n

SHZ = ∑ E i − A , i =1

gdzie n

A = ∑ imp j + Cimp + Gimp + I imp + ∆Rimp ; j =1

• dochodu narodowego wytworzonego: n

DNW = place + zysk = ∑ ( x 0 j + z j ) , j =1

• dochodu narodowego wytworzonego (brutto):

DNWB = DNW + amortyzacja = n

DNW + ∑ am j , j =1

• dochodu narodowego podzielonego: DNP = DNW − SHZ , • dochodu narodowego podzielonego (brutto): n DNPB = DNP + amortyzacja = DNP + ∑ am . i i =1 PRZYKŁAD Rozważmy układ gospodarczy o następującej tablicy przepływów międzygałęziowych Xi

xij

Ci+Gi+Ii+∆R

Ei

i

40 60 impj amj xoj zj Xj

20 5 2 5 6 2 40

10 30 3 6 7 4 60

7 20 4

3 5 2

Na podstawie zawartych w niej danych łatwo obliczyć dla rozważanego układu: SHZ = 3 + 5 - ( 2 + 3 + 4) = -1 (j.p.), DNW = 6 + 7 + 2 + 4 = 19 (j.p.), DNWB = 19 + 5 + 6 = 30 (j.p.),

Strona 11 z 28

spożycie + inwestycje

eksport

40,0 36 60

26,7 9 15

DNP = 19 - (-1) = 20 (j.p.), DNPB = 20 + 5 + 6 = 31 (j.p.).

RODZAJE BILANSÓW PRZEPŁYWÓW MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH Jak już wspomniano, bilanse przepływów międzygałęziowych mogą być konstruowane dla różnych układów gospodarczych. W szczególności mogą być nimi: cała gospodarka narodowa, region lub regiony kraju, grupa przedsiębiorstw lub pojedyncza firma. W wymienionych przypadkach możemy mówić o bilansach dla gospodarki narodowej, bilansach regionalnych lub międzyregionalnych, gałęziowych, czy też bilansach dla pojedynczych przedsiębiorstw. Zauważmy, że pojęcie gałęzi zależy od stopnia złożoności i charakteru badanego układu. Poniżej omówione zostaną pewne praktyczne aspekty konstruowania bilansów dla gospodarki Polski. Przede wszystkim dokładniejszego sprecyzowania wymaga pojęcie gałęzi bilansu. Przypomnijmy, uczynione na początku założenie, że każda z gałęzi produkuje sobie właściwy produkt, który nie jest substytucyjny z produktami pozostałych gałęzi. Gdyby jednak rozumieć to zbyt dosłownie, to z uwagi na olbrzymią liczbę różnych produktów, otrzymany bilans (o ile w ogóle możliwy do uzyskania) byłby zupełnie nieczytelny. Z tego względu konieczne jest dokonanie pewnej agregacji (o zagadnieniu tym będzie jeszcze mowa w części trzeciej), polegającej na tym, że pokrewne sobie produkty łączy się otrzymując ich reprezentanta. Podobnie czyni się z produkującymi te wyroby przedsiębiorstwami. GAŁĄŹ W BILANSIE PRZEPŁYWÓW MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH W praktyce konstruowania bilansów przepływów międzygałęziowych dla gospodarki narodowej można wyróżnić dwa określenia gałęzi - przez gałąź można rozumieć: • zespół przedsiębiorstw wytwarzających jednorodny produkt lub zespół

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

jednorodnych produktów takie określenie prowadzi do tzw. klasyfikacji podmiotowej; • ogół procesów technologicznych dających w efekcie jeden określony produkt (towar) - określenie to prowadzi do tzw. klasyfikacji przedmiotowej. PRAKTYCZNE ASPEKTY KONSTRUKCJI BILANSÓW PRZEPŁYWÓW MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH W bilansach konstruowanych dla gospodarki polskiej zastosowano w kolumnach klasyfikację podmiotową opartą na kryterium przeważającego rodzaju działalności produkcyjnej. Z uwagi na to, że przedsiębiorstwo rzadko kiedy produkuje jeden rodzaj wyrobu, lecz produkuje ich wiele, klasyfikację podmiotową opiera się o kryterium przeważającego rodzaju działalności produkcyjnej. Dane przedsiębiorstwo włącza się do tej gałęzi, która odpowiada głównemu rodzajowi działalności przedsiębiorstwa (taką metodę klasyfikacji nazywa się metodą przedsiębiorstw). Wiersze bilansu odpowiadają klasyfikacji przedmiotowej. Gałęzie odpowiadają produktom (a dokładniej ich zagregowanym grupom). Podstawą tak konstruowanych bilansów stanowi Europejska Klasyfikacja Działalności oraz Klasyfikacje: wyrobów, usług i obiektów budowlanych. Omawianą strukturę tablicy zawierającej wartości przepływów międzygałęziowych przedstawia schematycznie poniższa tabela Gałęzie w/g klasyfikacji przedmiotowej (klasyfikacja met. produktów)

1 2 ... n

Gałęzie w/g klasyfikacji podmiotowej (klasyfikacja met. przedsiębiorstw)

1 x11 x21 ... xn1

2 x12 x22 ... xn2

... ... ... ... ...

n x1n x2n ... xnn

Pozostałe elementy bilansu przepływów międzygałęziowych (produkcja końcowa, wartość dodana) są umieszczone w tych samych co dotychczas miejscach. PRZYKŁAD Rozpatrzmy układ gospodarczy, w którym wyróżniono trzy gałęzie: • metodą przedsiębiorstw: 1 - przemysł wydobywczy ropy naftowej (WYD), 2 budownictwo (BUD), 3 - rolnictwo (ROL); • metodą produktów: 1 - ropa naftowa i jej pochodne (ROPA), 2 - artykuły budowlane (ABUD), 3 - artykuły rolnicze (AROL).

Strona 12 z 28

Firma, której dominującym profilem działalności jest wydobycie ropy naftowej, która wytwarza dodatkowo cegły oraz grabie, w klasyfikacji podmiotowej zostałaby zaliczona do gałęzi WYD. Kolejne wyroby tej firmy w klasyfikacji przedmiotowej zostałyby uznane odpowiednio za wyroby gałęzi ROPA, ABUD, AROL. Przepływy międzygałęziowe produkcji tej firmy mogłyby dać niezerowy wkład do elementów następującej tablicy Gałęzie (metodą produktów)

Gałęzie (metodą przedsiębiorstw)

WYD

BUD

ROL

ROPA ABUD AROL

WARIANTY BILANSÓW PRZEPŁYWÓW MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH PUBLIKOWANYCH PRZEZ GUS W ostatnich latach GUS opracowuje trzy warianty rocznego bilansu gospodarki Polski różniące się sposobem ujęcia: • usług materialnych, • dóbr pochodzących z importu. Wariant pierwszy - elementy bilansu są obliczane na podstawie cen płaconych przez ostatecznych odbiorców (rynkowych cen zakupu). W ujęciu tym marża handlu i import stanowią część przepływów międzygałęziowych. Wariant drugi - elementy bilansu są obliczane na podstawie cen uzyskiwanych przez producentów, przy czym w wartości przepływów międzygałęziowych uwzględniono także wartość dóbr i usług pochodzących z importu. Wyodrębnione zostały narzuty z tytułu marży handlowej i kosztów usług transportowych. Wariant trzeci - elementy bilansu są obliczane na podstawie cen uzyskiwanych przez producentów. Ujęcie to zawiera osobno tablicę przepływów dóbr krajowych i pochodzących z importu. Do niedawna bilanse przepływów międzygałęziowych dla Polski, podobnie jak innych krajów socjalistycznych, były sporządzane w systemie bilansów materialnych (ang. Material Product System, w skrócie MPS). Bilanse powstawały na podstawie produkcji jednostek gospodarki narodowej zaliczanych do sfery produkcji materialnej. W krajach o gospodarce rynkowej stosowano system rachunków narodowych (ang. System of National Accounts, w skrócie SNA). Podstawowa różnica między tymi systemami jest zawarta w określeniu działalności produkcyjnej. W systemie MPS działalność produkcyjną stanowią działania ograniczone do

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

wytwarzania dóbr materialnych (a więc produkcja materialna i usługi materialne - np. usługi transportowe, remontowe itp). W systemie SNA mianem produkcji określa się wszelką działalność odnoszącą się do wytwarzania dóbr i usług (a więc także usługi niematerialne takie jak np. ubezpieczenia).

BILANS PRZEPŁYWÓW MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH W UJĘCIU RZECZOWYM Przy założeniu, że produkty poszczególnych gałęzi gospodarki są jednorodne, można skonstruować bilans przepływów międzygałęziowych w ujęciu rzeczowym, w którym poszczególne jego elementy wyrażone są w jednostkach naturalnych (tony, sztuki,

m 3 , itp). Z pomocą oznaczeń: Qi - wielkość (jednostki naturalne) produktu globalnego i -tej gałęzi, q ij - wielkość przepływu od gałęzi i -tej do j-tej (w jednostkach naturalnych i -tej gałęzi),

q i - wielkość produktu końcowego i -tej gałęzi (w jedn. naturalnych), możemy zapisać ogólny schemat bilansu przepływów międzygałęziowych. Przedstawia go poniższa tablica. Qi qij qi Q1 q11 q12 ... q1n q1 Q2 q21 q22 ... q2n q2 ... ... ... ... ... ... Qn qn1 qn2 ... qnn qn Dla dowolnej gałęzi i = 1,2 , ... , n zapisać można równanie bilansowe Qi 900 1500 1200

układu

0,1·900 0,3·900 0,05·900

qij 0,25·1500 0,2·1500 0,1·1500

BILANS W UJĘCIU RZECZOWYM, A BILANS W UJĘCIU WARTOŚCIOWYM Oznaczając symbolem pi cenę produktu i - tej gałęzi, możemy zapisać następujące zależności pomiędzy składnikami bilansu w ujęciu wartościowym i rzeczowym: Yi = pi q i ,

X i = pi Qi oraz

x ij = pi q ij .

Strona 13 z 28

n

Qi = ∑ q ij + q i . j =1

Zauważmy, że istnieje tylko jeden rodzaj równań bilansowych (równania podziału produkcji). Brak jest natomiast odpowiedników równań bilansowych podziału kosztów. PRZYKŁAD Zbudujemy teraz bilans przepływów międzygałęziowych w ujęciu rzeczowym dla korporacji złożonej trzech firm. 3

Firma I wytwarza 900 tys. m wyrobu A, firma II - 1500 tys. sztuk wyrobu B, a firma III 1200 t produktu C. Wzajemne powiązania pomiędzy produkcją firm I,II,III opisują zamieszczone niżej informacje. Firma I: 3 na wyprodukowanie 1 m wyrobu zużywa 0,1 3 m własnej produkcji, 0,3 sztuki wyrobu produkcji zakładu II oraz 0,05 kg produktu zakładu III. Firma II: na wytworzenie 1 sztuki wyrobu zużywa 0,25 3 m wyrobu A, 0,2 sztuki B oraz 0,1kg produktu C. Firma III: na wytworzenie 1 tony wyrobu C zużywa 0,2 3 m wyrobu A, 0,7 sztuki B oraz 0,2 t wyrobu C. Budując bilans przepływów międzygałęziowych dla rozważanego układu produkcję firm I,II,III 3 wyrazimy jest odpowiednio w tys. m , tys. sztuk oraz tonach. Gałęzie bilansu stanowić będą firmy wchodzące w skład korporacji. Wielkości produkcji globalnej i przepływów międzygałęziowych są znane bezpośrednio (uwaga na jednostki). Wielkość produkcji końcowej każdej z gałęzi została obliczona z równań bilansowych. Bilans przedstawia poniższa tablica. 0,2·1200/1000 0,7·1200/1000 0,2·1200

qi 434,76 929,16 765,00

Kontynuując rozważania z ostatniego przykładu załóżmy, że ceny wyrobów A,B,C są 3 następujące: 1 tys. m wyrobu A kosztuje 50 jednostek pieniężnych (j.p.), 1tys sztuk wyrobu B - 80 j.p, a 1t wyrobu C - 35 j.p. Pozwala to wyznaczyć dla każdej z gałęzi wartości: produkcji globalnej, końcowej i przepływów międzygałęziowych. Wartości dodane w poszczególnych gałęziach można wyznaczyć z równań bilansowych. Bilans przepływów międzygałęziowych w ujęciu wartościowym przedstawia następująca tablica

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

Xi 900—50 1500—80 1200—35 Dj Xj

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

0,1·900—50 0,3—900—80 0,05—900—35 17325 900—50

xij 0,25—1500—50 0,2—1500—80 0,1—1500—35 72000 1500—80

Strona 14 z 28

Yi 434,76—50 929,16—80 765,00—35

0,2—1200/1000—50 0,7—1200/1000—80 0,2—1200—35 33520,8 1200—35

ROZDZIAŁ II MODEL LEONTIEWA WPROWADZENIE Model Leontiewa stanowi dalsze rozszerzenie i pogłębienie metodologii konstruowania bilansów przepływów międzygałęziowych. W niniejszym rozdziale przedstawimy ideę tego modelu dla najprostszego przypadku zamkniętego układu gospodarczego - tego samego od którego rozpoczynaliśmy prezentację bilansów przepływów międzygałęziowych. Przypomnijmy poczynione wtedy założenia: • układ jest zamknięty - dla każdej gałęzi środkami produkcji są produkty wytworzone w tym układzie, • układ jest statyczny - nakłady na produkcję w danym okresie są produktami wytworzonymi w tym samym okresie, • produkcja jest niesubstytucyjna produktów danej gałęzi nie można zastąpić produktami innych gałęzi, • produkcję globalną danej gałęzi można podzielić na dwie części: część przeznaczoną na cele produkcyjne układu (przepływy międzygałęziowe) i część pozostałą - produkcję końcową. Dodatkowo założymy • stałość relacji pomiędzy nakładami a wynikami produkcji (tzw. relacji input output).

MODEL LEONTIEWA W UJĘCIU KOSZTOWYM U podstaw konstrukcji modelu Leontiewa leży założenie o stabilności relacji pomiędzy pewnymi elementami tablicy przepływów międzygałęziowych. Rozpatrzmy dowolną, na przykład j - tą gałąź tego układu. Wartość jej produkcji jest równa X j , a nakłady poniesione na tę produkcję uzyskane z kolejnych gałęzi mają wartości kolejno: x1 j , x 2 j ,..., x nj .

Założenie o stabilności relacji pomiędzy nakładami a wynikami produkcji pozwala oczekiwać, że jeśli po pewnym okresie wartość produkcji gałęzi wzrośnie p - krotnie do wartości pX j , wówczas wartość nakładów na produkcję wzrośnie także p - krotnie. Wartości zużytych produktów kolejnych gałęzi będą w tej sytuacji równe: px1 j , px 2 j ,..., px nj . Oznacza to stałą wartość w czasie każdego z ilorazów:

x1 j Xj

,

x2 j Xj

,...,

x nj Xj

.

Uczynione założenia pozwalają, jeśli znany jest bilans przepływów międzygałęziowych w momencie początkowym, wyznaczyć elementy bilansu w przyszłych okresach czasu. Pokazuje to poniższy przykład. PRZYKŁAD Rozpatrzmy układ gospodarczy opisany w roku t następującą tablicą przepływów międzygałęziowych Xi 100 150 160 xoj + zj Xj

xij 20 25 15 40 100

10 45 60 35 150

yi 30 45 15 70 160

40 35 70

Przypuśćmy, że spodziewamy się, iż po pewnym okresie, na przykład po 5 latach, wartość produkcji gałęzi I podwoi się, gałęzi II wzrośnie o 50%, a gałęzi III nie zmieni się. Zakładając stabilność relacji między nakładami a wynikami produkcji, znajdziemy przewidywaną postać bilansu dla okresu t+5. • Łatwo obliczyć, że w roku t+5 spodziewana wartość produkcji globalnej wynosi 200, 225 oraz 160 (j.p) odpowiednio w gałęzi I,II,III. • W okresie t, gdy produkcja gałęzi I miała wartość 100 j.p, w gałęzi tej zużyto w celach produkcyjnych wyroby własne oraz gałęzi II i

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

III o wartości odpowiednio 20, 25 oraz 15 (j.p). Należy spodziewać się, że w okresie t+5, gdy wartość produkcji podwoi się, podwoją się także odpowiednie nakłady (a więc elementy pierwszej kolumny macierzy przepływów międzygałęziowych [xij]. Wynika stąd, że wartość produkcji zużytej w gałęzi I będzie równa 40, 50 i 30 (j.p). Podobnie należy spodziewać się, że wartości surowców zużytych do produkcji w gałęzi II (a więc wartości elementów drugiej kolumny macierzy [xij]) wzrosną 1,5 - krotnie. Elementy drugiej kolumny macierzy przepływów międzygałęziowych będą zatem równe kolejno: 15, 67.5 oraz 90 (j.p.). Elementy trzeciej kolumny nie ulegają zmianie. Macierz przepływów międzygałęziowych [xij] dla roku t+5 ma zatem postać:

element

PRZYKŁAD Dla układu gospodarczego opisanego w poprzednim przykładzie macierz kosztów dla roku t jest równa

30   20 10 100 150 160   25 45 45  At =  , 100 150 160  60 15   15 100 150 160  zaś dla okresu t+5:

xij 40 50 30 80 200

yi

15 67.5 90 52.5 225

30 45 15 70 160

 40  200  50 =  200  30  200

At +5

• Pozostałe elementy bilansu, a więc wartości dodane i produkcje końcowe możemy łatwo wyznaczyć z pomocą równań bilansowych. Ostatecznie przewidywany dla roku t+5 bilans dla rozważanego układu ma postać przedstawioną w prezentowanej tablicy Xi

a ij jest równy wartości produkcji i - tej

gałęzi zużywanej w gałęzi j w celu wytworzenia w tej gałęzi produktu globalnego o wartości jednostkowej (1 j.p).

40 15 30 50 67.5 45 .   30 90 15

200 225 160 xoj + zj Xj

Strona 15 z 28

115 62.5 25

15 30  225 160  67.5 45  . 225 160  90 15  225 160 

Oczywiście zachodzi równość At = At +5 , która wyraża uczynione przez nas, na początku omawiania modelu Leontiewa, założenie o niezmienności relacji pomiędzy nakładami a wynikami produkcji. RÓWNANIE MODELU LEONTIEWA Przekształcając równości

aij =

W dalszej części przedstawimy równania modelu prowadzące do szybkiego wyznaczania elementów bilansu. Potrzebna nam będzie macierz struktury kosztów.

do postaci

xij Xj

,

xij = a ij X j ,

możemy układ równań bilansowych n

X i = ∑ xij + Yi

(i = 1,..., n)

MACIERZ STRUKTURY KOSZTÓW Macierzą struktury kosztów (lub krócej macierzą kosztów dla n - gałęziowego układu gospodarczego nazywamy macierz A = [aij ]n ×n o elementach zdefiniowanych

zapisać w postaci

wzorem

W notacji macierzowej układ ten ma postać:

aij =

xij Xj

.

Zauważmy, że gdyby produkcja globalna miała wartość jednostkową, to

Xj

a ij byłoby

równe wartości odpowiedniego przepływu międzygałęziowego. Wynika stąd następująca interpretacja elementów macierzy kosztów:

j =1

n

X i = ∑ aij X j + Yi j =1

 X1   ...  =    X n 

(i = 1,.., n) .

a11 ... a1n   X 1  Y1   ... ... ...  ⋅  ...  +  ...  ,       a n1 ... a nn   X n  Yn 

czyli

X = AX + Y , gdzie X, Y oznaczają odpowiednio wektor wartości produkcji globalnej i końcowej. Ostatnie równanie można zapisać w postaci

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

( I − A) X = Y , gdzie I oznacza macierz jednostkową stopnia n. Oznaczając L = I - A, można powyższemu równaniu nadać postać: LX = Y

Macierz L nazywamy macierzą Leontiewa układu gospodarczego. Założenie o stabilności relacji między nakładami a wynikami produkcji oznacza stabilność macierzy kosztów, a więc także macierzy Leontiewa (macierz jednostkowa stopnia n jest zawsze taka sama!). Równanie modelu Leontiewa

LΧ = Y

spełnione jest także dla przyrostów produkcji globalnej i końcowej. Sprawdźmy, że tak jest istotnie. Przypuśćmy, że w dwóch momentach czasu wektory produkcji globalnej są równe odpowiednio X 1 oraz X 2 , a wektory produkcji końcowej odpowiednio Y1 i Y2 . Założenie o stabilności macierzy Leontiewa (a więc odpowiednie elementy macierzy obliczonych dla obu momentów czasu są sobie równe) możemy zapisać równania

LX 1 = Y1 oraz

Strona 16 z 28

Wartość tego przyrostu w m - tej gałęzi jest równa ∆Ym = l mk . Oznacza to, iż wartość elementu l mk jest równa przyrostowi produkcji końcowej m - tej gałęzi spowodowaną wzrostem wartości produkcji globalnej k - tej gałęzi o jednostkę (1 j.p..), przy niezmienionej wartości produkcji globalnej w pozostałych gałęziach. Z równania L∆X = ∆Y można wyciągnąć jeszcze wiele dodatkowych wniosków. Oto niektóre z nich. • Elementy stojące w k - tej kolumnie macierzy L informują o ile zmieni się produkcja końcowa kolejnych gałęzi, jeśli produkcja globalna k - tej gałęzi wzrośnie o jednostkę przy stałej produkcji globalnej w pozostałych gałęziach. n

• Suma

∑l

elementów k -tej kolumny

mk

m =1

macierzy L jest równa przyrostowi wartości produkcji końcowej całego układu gospodarczego w wyniku wzrostu wartości produkcji globalnej k - tej gałęzi o jednostkę, przy stałej wartości produkcji globalnej w pozostałych gałęziach. n

LX 2 = Y2 .

• Suma

Odejmując je stronami otrzymujemy równość

L∆Χ = ∆Y gdzie ∆X = X 2 − X 1 oraz ∆Y = Y2 − Y1

oznaczają wektory przyrostów odpowiednio produkcji globalnej i końcowej układu. Powyższe równanie pozwala zinterpretować elementy macierzy Leontiewa. Przypuśćmy, że celem jest zinterpretowanie elementu l mk znajdującego się w m - tym wierszu i k - tej kolumnie macierzy Leontiewa. Podstawiając w powyższym równaniu wektor przyrostu produkcji globalnej ∆X o współrzędnych

1 gdy i = k , ∆X i =  0 gdy i ≠ k , otrzymujemy przyrosty wartości produkcji końcowej w poszczególnych gałęziach układu.

 20  1 0 0  100 25 L = 0 1 0 −   100 0 0 1  15  100

10 150 45 150 60 150

∑l

mk

elementów m - tego wiersza

k =1

macierzy L jest równa przyrostowi produkcji końcowej m - tej gałęzi w wyniku jednoczesnego wzrostu wartości produkcji globalnej w każdej z gałęzi o jednostkę (1 j.p). PRZYKŁAD Macierz Leontiewa dla układu gospodarczego opisanego następującą tablicą przepływów międzygałęziowych Xi 100 150 160 xoj+ zj Xj

20 25 15 40 100

xij 10 45 60 35 150

jest równa

30   80 160   100 45   25  = − 160   100 55   15 − 160   100

W szczególności wynika z tego, że:

Instytut Ekonometrii SGH

10 150 105 150 60 − 150

−

30  160  45  . − 160  105  160  −

30 45 55 30 160

yi 40 35 30

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

• Wzrost wartości produkcji globalnej w I gałęzi o jednostkę, przy stałej produkcji pozostałych gałęzi (II oraz III), spowoduje wzrost wartości produkcji końcowej I gałęzi o 0,8 j.p.. W tej sytuacji wartość produkcji końcowej II oraz III gałęzi zmniejszy się odpowiednio o 0,25 j.p. oraz 0,15 j.p. Wartość produkcji końcowej całego układu zwiększy się o

80 − 25 − 15 = 0,4 (j.p). 100

Podstawiając w ostatnim równaniu wektor ∆Y o przyrostu produkcji globalnej współrzędnych

1 gdy i = k , ∆Yi =  0 gdy i ≠ k , otrzymujemy przyrosty wartości produkcji końcowej w poszczególnych gałęziach układu. Wartość tego przyrostu w m - tej gałęzi jest równa

∆X m = l ( −1) mk , ( −1)

• Wzrost wartości produkcji globalnej II gałęzi o 1 j.p, przy stałym jej poziomie w gałęziach I i III, spowoduje zmniejszenie się wartości produkcji końcowej w I

1 j.p, zwiększenie wartości 15 105 produkcji w II gałęzi o j.p. i jej 150 60 zmniejszenie w gałęzi III o j.p. 150

gałęzi o

Wartość układu

Strona 17 z 28

produkcji końcowej całego zwiększy się o

−10 + 105 − 60 35 = (j.p). 150 150 Jeśli macierz Leontiewa jest nieosobliwa, to prawdziwa jest równość:

L−1Y = X .

−1

gdzie l mk oznacza element macierzy L znajdujący się w m - tym wierszu i k - tej kolumnie. ( −1)

• Oznacza to, iż wartość l mk jest równa przyrostowi produkcji globalnej m - tej gałęzi koniecznemu do zwiększenia wartości produkcji końcowej k -tej gałęzi o jednostkę (1 j.p.), przy nie zmienionej wartości produkcji końcowej w pozostałych gałęziach. n

• Suma

∑l

L−1 ∆Y = ∆X , gdzie ∆X oraz ∆Y oznaczają wektory przyrostów odpowiednio produkcji globalnej i końcowej układu. Można udowodnić (tę przyjemność zostawimy Czytelnikom), że jeśli suma elementów w każdej kolumnie macierzy kosztów A jest mniejsza od 1, to macierz L=I-A jest nieosobliwa. Warunek ten jest spełniony dla wszystkich realnie istniejących układów gospodarczych.

mk

elementów k -tej kolumny

m =1 −1

macierzy L jest równa przyrostowi wartości produkcji globalnej całego układu gospodarczego koniecznemu do zwiększenia wartości produkcji końcowej k tej gałęzi o jednostkę, przy stałej wartości produkcji końcowej w pozostałych gałęziach. n

Oczywiście łatwo zapisać odpowiednik powyższego równania dla przyrostów produkcji globalnej i końcowej. Mamy:

( −1)

• Suma

∑l

( −1)

mk

elementów m - tego

k =1

wiersza jest równa przyrostowi produkcji globalnej m - tej gałęzi koniecznej do zwiększenia produkcji końcowej w każdej gałęzi układu o 1 j.p. PRZYKŁAD Rozpatrzmy układ gospodarczy z poprzedniego przykładu. Łatwe choć żmudne rachunki prowadzą do wniosku, że macierz odwrotna do macierzy Leontiewa dla tego układu jest równa

1110 380 480    1,54 0,53 0,67  1  660 1590 870  ≈ 0,92 2,21 1,21 . L−1 =  721  5216     0 , 91 1 , 46 2 , 41   656 1056 3  W szczególności możemy stąd wnioskować, że: • w celu zwiększenia wartości produkcji końcowej I gałęzi o 1 j.p. konieczny jest

wzrost produkcji globalnej tej gałęzi o około 1,54 j.p, a produkcji globalnej gałęzi II oraz III odpowiednio o 0,92 j.p. oraz 0,91 j.p.;

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

• do zwiększenia produkcji końcowej gałęzi III o 1 j.p. niezbędny jest wzrost wartości produkcji globalnej II gałęzi o około 1,21 j.p; • aby produkcja końcowa II gałęzi wzrosła o 1 j.p, wartość produkcji globalnej całego układu musi wzrosnąć o około 0,53+2,21+1,46=4,20 (j.p.). Zauważmy, że wszystkie elementy macierzy

L−1 są nieujemne, a na głównej przekątnej są liczby nie mniejsze od 1. Jest to regułą (jeśli suma elementów w każdej z kolumn macierzy kosztów jest mniejsza od jedności). Fakt ten jest stosunkowo łatwy do wytłumaczenia. Aby produkcja końcowa w k tej gałęzi wrosła o jednostkę (przy niezmiennej produkcji końcowej w pozostałych gałęziach), to produkcja globalna każdej z gałęzi nie może zmaleć - a na ogół wzrasta, aby pokryć zapotrzebowanie k - tej gałęzi na materiały niezbędne dla dodatkowej produkcji. Stąd

Załóżmy, że macierz Leontiewa dla pewnego układu gospodarczego jest równa

 0,8 −0,6 −0,4 L =  −0,1 0,9 −0,1 . −0,3 −0,2 0,7  • Zbadamy jaką wartość ma produkcja końcowa jeśli produkcja globalna w gałęziach I,II,III ma wartość odpowiednio 200, 150 oraz 150 j.p. Wartość produkcji końcowej (prognoza I rodzaju) można wyliczyć z równania Y = LX . Stąd

 Y1   0,8 −0,6 −0,4 200  10  Y  =  −0,1 0,9 −0,1 ⋅ 150 = 100  2       Y3  −0,3 −0,2 0,7  150  15  ,

( −1) lmk ≥ 0.

Wzrost produkcji globalnej w k -tej gałęzi musi pokryć nie tylko wzrost produkcji końcowej, ale także zapotrzebowanie produkcyjne tej gałęzi na własne wyroby. Zatem PROGNOZOWANIE LEONTIEWA Równanie lub

NA

l kk( −1) ≥ 1 .

PODSTAWIE

MODELU

LΧ = Y L∆Χ = ∆Y

może służyć do prognozowania wektora produkcji końcowej Y (lub jego przyrostu ∆Y ) dla zadanych wartości (lub zmian) produkcji globalnej. Prognozę taką nazywamy często prognozą I rodzaju. Podobnie

równanie

L−1Y = X

czyli

Y1 = 10, Y2 = 100, Y3 = 15 (j.p.).

• Jeśli produkcja globalna wzrośnie w I gałęzi o 10 j.p., w drugiej nie zmieni się, a w III zmaleje o 5 j.p., to wartość produkcji końcowej I gałęzi wzrośnie o 10 j.p., w II i III zmaleje odpowiednio o 0,5 oraz 6,5 j.p. Istotnie, z równania L∆X = ∆Y otrzymujemy:

 ∆Y1   0,8 −0,6 −0,4 10  10  ∆Y  =  −0,1 0,9 −0,1 ⋅  0  = −0,5  2        ∆Y3  −0,3 −0,2 0,7  −5 −6,5 . Dla rozważanego układu gospodarczego mamy

 1,96 1,60 1,35 L ≈  0,32 1,41 0,38 .  0,93 1,09 2,12

lub

−1

L−1 ∆Y = ∆X

można wykorzystać do prognozowania produkcji globalnej X lub jej przyrostu ∆X przy zadanym wektorze Y lub odpowiednio ∆Y . Jest to tzw. prognoza II rodzaju. W przypadku, gdy znamy wartość produkcji globalnej w niektórych gałęziach, a wartość produkcji końcowej w pozostałych (lub przyrosty tych wielkości), wówczas którekolwiek z równań LΧ = Y , bądź

L−1Y = X

może służyć do wyznaczenia pozostałych wartości. Prognozę taką rodzaju nazywamy prognozą mieszaną.

Strona 18 z 28

Wynika stąd między innymi, iż: • Aby wartość produkcji końcowej gałęzi I,II,III wynosiła odpowiednio 20, 40 i 30 j.p, produkcja globalna tych gałęzi powinna mieć wartość odpowiednio około 143,6 j.p, 74,4 j.p oraz 125,6 j.p (prognoza II rodzaju). Z równania

L−1Y = X obliczamy bowiem:

PRZYKŁAD

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

 Y1   1,96 1,60 1,35  20 143,6 Y  ≈ 0,32 1,41 0,38 ⋅  40 ≈  74,4   2       Y3   0,93 1,09 2,12  30 125,6 . • Aby zwiększyć wartość produkcji końcowej w każdej z gałęzi o 5 j.p., produkcja globalna powinna wzrosnąć o około: 24,5 j.p. w gałęzi I, 10,6 j.p. w gałęzi II oraz 20,7 j.p. w III gałęzi. Wnioski te otrzymujemy z równania

L−1 ∆Y = ∆X , tzn.

 ∆Y1   1,96 1,60 1,35 5  24,5 ∆Y  ≈  0,32 1,41 0,38 ⋅ 5 ≈ 10,6 .  2        ∆Y3   0,93 1,09 2,12 5  20,7 • Załóżmy, że produkcja globalna I gałęzi ma wartość 200 j.p., a produkcja końcowa II i III gałęzi odpowiednio 50 oraz 60 j.p. Rozwiązując równanie

 0,8 −0,6 −0,4 200  Y1   −0,1 0,9 −0,1 ⋅  X  = 50    2   −0,3 −0,2 0,7   X 3  60 • widzimy, że w takiej sytuacji produkcja globalna gałęzi II i III jest równa odpowiednio 100 oraz 200 j.p, a produkcja końcowa I gałęzi ma wartość 20 j.p.

OPTYMALIZACJA I MODEL LEONTIEWA Modelem Leontiewa zbudowanym dla określonego układu gospodarczego posłużyć się można do usprawniania funkcjonowania tego układu. Równanie modelu

X = AX + Y

ma nieskończenie wiele rozwiązań: zadając różną produkcję końcową Y otrzymujemy różne wartości niezbędnej dla jej uzyskania produkcji globalnej X. Innymi słowy równanie modelu określa wiele różnych rozwiązań (X,Y), które można interpretować jako wewnętrznie zgodne plany produkcji. Można więc rozważać zagadnienie wyboru takiego planu, czy planów, które są najlepsze z punktu widzenia przyjętego kryterium, na przykład maksymalizacji produkcji końcowej całego układu gospodarczego lub jego wybranych gałęzi.

Strona 19 z 28

W zamieszczonym niżej przykładzie omówimy sposób podejmowania decyzji w oparciu o model Leontiewa. Rozpoczniemy od opisu problemu decyzyjnego, następnie dokonamy jego formalizacji w postaci modelu matematycznego, który pozwoli na znalezienie decyzji optymalnych. 1. Opis problemu decyzyjnego Rozważmy kraj o dwugałęziowej, samowystarczalnej gospodarce. W założeniach rozwoju gospodarczego założono, iż zdolność wytwórcza gałęzi I wynosi 60 j.p, a gałęzi II 80 j.p. Relacje między nakładami i wynikami, określają następującą macierz kosztów:

 0,2 0,4  A=  .  0,3 0,1 Udział kosztów robocizny w globalnej wartości produkcji powinien kształtować się na poziomie 1/4 oraz 1/3 odpowiednio w gałęzi I oraz II, a łączny fundusz płac nie powinien przekroczyć 35 j.p. Problem polega na ustaleniu wartości produkcji globalnej w obu gałęziach, aby wartość produkcji końcowej gospodarki była możliwie największa. 2. Model matematyczny problemu Zmiennymi decyzyjnymi będą wartości (w j.p.) X 1 , X 2 odpowiednio produkcji globalnej pierwszej i drugiej gałęzi układu. Każdej decyzji odpowiada para liczb (X1 , X 2 ) . Znajdźmy zbiór decyzji dopuszczalnych, to znaczy spełniających sformułowane ograniczenia. ograniczenia dla maksymalnej wartości produkcji globalnej: X 1 ≤ 60 ,

X 1 ≤ 80 ; warunek samowystarczalności gospodarki oznacza, że wartości produkcji końcowej Y1 , Y2 są nieujemne:

LX ≥ 0 , gdzie L oznacza macierz Leontiewa. W rozważanym przypadku mamy  0,8 −0,4 L= , −0,3 0,9  dlatego ograniczenia mają postać

0,8 X 1 − 0,4 X 2 ≥ 0, −0,3X 1 + 0,9 X 2 ≥ 0, ograniczenia dla funduszu płac:

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

Strona 20 z 28

1 1 X 1 + X 2 ≤ 35 ; 4 3 warunki nieujemności wynikające z określenia zmiennych decyzyjnych: X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0 . Kryterium wyboru decyzji optymalnej stanowi maksymalizacja łącznej wartości produkcji końcowej Y = Y1 + Y2 . Ponieważ Y1 = 0,8 X 1 − 0,4 X 2 ,

Y2 = −0,3X 1 + 0,9 X 2 , więc

Y = 0,5 X 1 + 0,5 X 2 . Zadanie sprowadza się zatem do znalezienia pary liczb ( X 1 , X 2 ) maksymalizujących wartość wyrażenia

0,5X 1 + 0,5X 2 i spełniających warunki:

X 1 ≤ 60 , X 1 ≤ 80 ;

Graficzna interpretacja zbioru decyzji dopuszczalnych. Proste l1,...,l5 są krawędziami płaszczyzn wyznaczanych przez kolejne warunki ograniczające modelu. W przypadku dwu ostatnich warunków prostymi tymi są osie układu współrzędnych. Zakreskowany obszar, będący częścią wspólną tych płaszczyzn odpowiada zbiorowi decyzji dopuszczalnych.

Gradient funkcji celu, wskazujący kierunek najszybszego wzrostu wartości tej funkcji, ma współrzędne [ 0,5; 0,5] . Warstwice funkcji celu są prostymi prostopadłymi do tego wektora i mają równania 0,5X 1 + 0,5X 2 = c , gdzie c może być dowolną liczbą rzeczywistą.

2 X 1 − X 2 ≥ 0, − X 1 + 3X 2 ≥ 0, 1 1 X 1 + X 2 ≤ 35 , 4 3

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0. 3. Rozwiązanie zadania Rozwiążemy teraz sformułowany problem. Z uwagi na to, że mamy dwie zmienne decyzyjne, a parze liczb (X1, X2) odpowiada jednoznacznie punkt na płaszczyźnie, zadanie powyższe rozwiążemy metodą graficzną.

W celu wyznaczenia decyzji optymalnych szukamy warstwicy funkcji celu odpowiadającej możliwie największej wartości c (a więc wartości funkcji celu) i mającej ze zbiorem decyzji dopuszczalnych co najmniej jeden punkt wspólny. W tym celu przesuwamy „w górę” prostą prostopadłą do gradientu funkcji celu, to znaczy w kierunku wskazywanym przez ten wektor. Stwierdzamy, że zadanie ma jedną decyzję optymalną - jest nią ( X 1 , X 2 ) = ( 60, 60) .

Wprowadźmy na płaszczyźnie prostokątny układ współrzędnych w którym na osi odciętych będą odkładane wartości X 1 , a na osi rzędnych - wartości

X 2 . W ten sposób każdej

decyzji ( X 1 , X 2 ) odpowiada punkt na płaszczyźnie o odpowiednich współrzędnych. Każdy z warunków ograniczających wyznacza pewną półpłaszczyznę, zbiór decyzji dopuszczalnych jest zaś częścią wspólną tych półpłaszczyzn. Na rysunku podano interpretację geometryczną zbioru decyzji dopuszczalnych, zaznaczając dodatkowo krawędzie półpłaszczyzn wyznaczonych przez kolejne warunki (proste l1 , l 2 ...)

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

Strona 21 z 28

MODEL LEONTIEWA W UJĘCIU RZECZOWYM Model Leontiewa dla układu gospodarczego opisanego bilansem przepływów międzygałęziowych w ujęciu rzeczowym przedstawionym w poniższej tablicy Qi Q1 Q2 ... Qn

qij q11 q21 ... qn1

q12 q22 ... qn2

... ... ... ...

qi q1 q2 ... qn

q1n q2n ... qnn

może być skonstruowany analogicznie jak w ujęciu wartościowym, zakładając stałość relacji pomiędzy nakładami a wynikami produkcji. Wielkości Zbiór decyzji dopuszczalnych z narysowanymi przerywaną linią warstwicami funkcji celu. Wektor w=[0,5 0,5]T jest gradientem funkcji celu. Wynika stąd, ż im wyżej znajduje się warstwica, tym większej wartości funkcji odpowiada. Warstwica odpowiadająca największej wartości funkcji celu i mająca niepuste przecięcie ze zbiorem decyzji dopuszczalnych przechodzi przez punkt (60, 60).

W celu uzyskania możliwie największej wartości produkcji końcowej, przy spełnieniu określonych ograniczeń, produkcja globalna w obu gałęziach powinna mieć wartość po 60 j.p. Przy okazji zauważmy, że w takiej sytuacji: produkcja końcowa pierwszej gałęzi będzie miała wartość 0,8 ⋅ 60 − 0,4 ⋅ 60 = 24 (j.p.), a gałęzi drugiej −0,3 ⋅ 60 + 0,9 ⋅ 60 = 36 (j.p); fundusz płac w gałęzi I wyniesie 0,25 ⋅ 60 = 15 (j.p), a w gałęzi II

1 ⋅ 60 = 20 (j.p). 3

q ij

Qj i , j = 1,..., n ,

gdzie

, nazywamy

współczynnikami technicznymi. Liczba

a$ ij

wyraża wielkość produkcji i - tej gałęzi którą należy przekazać do gałęzi j, konieczną do zwiększenia wielkości produkcji globalnej j -tej gałęzi o jednostkę. Macierz

A$ = [a$ ij ] n ,n nazywamy macierzą współczynników technicznych. Przy pomocy zależności

q ij = a$ ij Q j można równania bilansowe zapisać w postaci n

Qi = ∑ a$ ij Q j + q i

(i = 1, ... , n ) .

j =1

W zapisie macierzowym powyższy układ ma postać

Bilans przepływów międzygałęziowych dla układu (w którym łączna wartość produkcji końcowej, przy podanych ograniczeniach, jest największa) ma postać Xi 60 60 xoj zj Xj

a$ ij =

xij 12 18 15 15 60

24 6 20 10 60

Yi 24 36

$ +q Q = AQ lub

(I − A$ )Q = q , Q = [Qi ] oraz q = [q i ] oznacza

gdzie odpowiednio wektor produkcji globalnej oraz wektor produkcji końcowej. Rzecz jasna analogiczne równanie wiąże przyrost produkcji globalnej i końcowej. Tak jak to miało miejsce w ujęciu kosztowym, równanie to może służyć do prognozowania wielkości produkcji globalnej (odpowiednio końcowej) przy zadanej wielkości produkcji globalnej (odpowiednio końcowej).

PRZYKŁAD Proste rachunki pokazują, że macierz współczynników technicznych dla układu gospodarczego rozważanego w przykładzie ze strony 13 jest równa

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

Strona 22 z 28

 0,1 0,25 0,0002  A$ =  0,3 0,2 0,0007  .   0,05 0,1 0,2  Jeśli w kolejnym okresie (np. roku) t+1 spodziewamy się, że wielkość produkcji w każdej w kolejnych gałęziach wzrośnie o odpowiednio 2%, 3% i 4%, wtedy przy założeniu stabilności macierzy wielkość produkcji końcowej powinna być równa:

A$ ,

 0,9 −0,25 −0,0002  900 + 0,02 ⋅ 900  439,70  −0,3 0,8 −0,0007 ⋅ 1500 + 0,03 ⋅ 1500 ≈ 959,73 .  −0,05 −0,1 0,8  1200 + 0,04 ⋅ 1200 798,00 3

Załóżmy, że w roku t ceny wyrobów A,B,C są następujące: 1 tys. m wyrobu A kosztuje 50 j.p, 1tys sztuk wyrobu B - 80 j.p, a 1t wyrobu C - 35 j.p. Przypuśćmy, że w roku t+1 wszystkie ceny wzrosną o 10%. Informacje te pozwalają wyznaczyć tablicę przepływów międzygałęziowych układu dla roku t+1 zarówno w cenach bieżących jak i stałych. Bilans w cenach bieżących (cenach okresu t+1) Xi 918—55 0,1·918—55 1545—88 0,3—918—88 1248—38,5 0,05—918—38,5 Dj 19438,65 Xj 918—55

xij 0,25—1545—55 0,2—1545—88 0,1—1545—38,5 81576,00 1545—88

0,2—1248/1000—55 0,7—1248/1000—88 0,2—1248—38,5 38347,8 1248—38,5

Yi 24183,5 84455,9 30723,0

Bilans w cenach stałych (cenach okresu t) Xi 918—50

Yi 0,2—1248/1000—5 21985,0 0 1500—80 0,3—918—80 0,2—1545—80 0,7—1248/1000—8 76778,1 0 1200—35 0,05—918—35 0,1—1545—35 0,2—1248—35 27930,0 Dj 17671,50 74160,00 34861,6 Xj 918—50 1545—80 1248—35 Zakładając dla uproszczenia, że wszystkie FUNKCJA PRODUKCJI W MODELU występujące wyżej elementy macierzy kosztów LEONTIEWA są różne od zera (czyli dodatnie), otrzymujemy W neoklasycznej teorii procesów produkcji wyrażenie na maksymalną wartość produkcji j definiuje się funkcję produkcji jako - tej gałęzi przy nakładach x1 j , x 2 j ,..., x nj : mikroekonomiczną funkcję wiążącą poziom nakładów w danym sektorze z poziomem  x1 j x 2 j x nj  X j = min , ,...,  . produkcji tego sektora. W przypadku modelu a nj   a1 j a 2 j Leontiewa wielkość nakładów na produkcję j tej gałęzi można scharakteryzować przez Jest to szukana postać funkcji produkcji w wartości modelu Leontiewa. W przypadku układu x1 j , x 2 j ,..., x nj dwugałęziowego (n=2) wygląd warstwic tej funkcji przedstawia zamieszczony rysunek odpowiednich przepływów międzygałęziowych. Wartość

0,1·918—50

xij 0,25—1545—50

X j produkcji j - tej gałęzi musi

spełniać układ warunków

x1 j ≥ a1 j X j ,

x2 j ≥ a2 j X j , ................

x nj ≥ a nj X j .

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

x2 j

Strona 23 z 28

Rysunek warstwic funkcji produkcji dla i - tej gałęzi w modelu Leontiewa. Każdą warstwicę tworzą dwie wzajemnie prostopadłe półproste. Przebieg warstwic jest typowy dla przypadku, gdy czynniki produkcji nie są substytucyjne. Jest to jedno z założeń modelu Leontiewa.

Warstwice funkcji produkcji

x1 j ROZDZIAŁ III PROBLEMY AGREGACJI BILANSÓW PRZEPŁYWÓW MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH WPROWADZENIE Klasyczny model przepływów międzygałęziowych zakłada występowanie pewnej liczby gałęzi składających się na dany układ gospodarczy, z których każda wytwarza sobie właściwy, niesubstytucyjny z innymi, produkt. Skonstruowanie bilansu spełniającego ściśle ten warunek (o ile w ogóle jest możliwe) prowadziłoby do zupełnie nieczytelnej, z uwagi na olbrzymie wymiary, tablicy. Dlatego w procesie konstrukcji bilansu konieczne jest wyróżnienie mniejszej liczby gałęzi, z których każda wytwarza nie pojedynczy produkt lub usługę, lecz całą ich wiązkę. Pojawia się zatem w sposób naturalny, mający charakter ekonomiczny, problem agregacji pierwotnej, który polega na odpowiednim zdefiniowaniu pewnej liczby gałęzi wytwarzających wiązki dóbr lub usług. Obok agregacji pierwotnej wyróżniamy także agregację wtórną. Dokonuje się jej wówczas, gdy rozmiar posiadanego bilansu (np. liczba wyróżnionych gałęzi) jest zbyt duży co powoduje, że bilans jest zbyt szczegółowy, w stosunku do potrzeb przeprowadzanej w danym momencie analizy. Agregacja ta polega na konstrukcji, na podstawie istniejącego wcześniej bilansu, innego bilansu przepływów międzygałęziowych o mniejszych rozmiarach, poprzez zsumowanie odpowiednich pozycji bilansu wyjściowego. Wymaga się, aby każda gałąź bilansu wyjściowego znajdowała się tylko w

jednej gałęzi tworzonego bilansu (bilansu zagregowanego). Oczywiście takie łączenie gałęzi musi mieć jasną interpretację ekonomiczną. Dalsze rozważania poświęcimy niektórym problemom agregacji wtórnej.

AGREGACJA BILANSU PRZEPŁYWÓW MIĘDZYGAŁĘZIOWYCH Rozważania rozpoczniemy dwóch przykładów ilustrujących sposób agregowania bilansów. PRZYKŁAD Rozważmy układ gospodarczy o następującej tablicy przepływów międzygałęziowych Xi 100 150 160 xoj zj Xj

20 25 15 20 20 100

xij 10 45 60 20 15 150

30 45 55 5 25 160

yi 40 35 30

Przypuśćmy, że analiza ekonomiczna wymaga agregacji pierwszej i drugiej gałęzi. Dochodzimy w ten sposób do dwugałęziowego układu gospodarczego, którego pierwsza gałąź zawiera pierwsze dwie gałęzie wyjściowego bilansu, druga zaś gałąź pokrywa się z trzecią

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

gałęzią bilansu wyjściowego. Sumując odpowiednie elementy bilansu otrzymujemy w ten sposób następującą tablicę X h*

x hl*

100 +150 160

x0*l * l

z

X

* l

20+10+25+45 15+60 20+20

30+45 55 5

20+15

25

100+150

160

Strona 24 z 28

Po wykonaniu odpowiednich dodawań otrzymujemy zagregowaną tablicę przepływów międzygałęziowych

Yh*

X h*

40+35 30

250 160

Yh*

x hl*

x0*l

100 75 40

75 55 5

zl*

35

25

250

160

X

* l

75 30

PRZYKŁAD Dana jest tablica przepływów międzygałęziowych pewnego układu gospodarczego gałąź Prod. 1. WPrz. 2. Ubud. 3. PRol. 4. UTr. 5. WPoz. 6. UPoz. Prod. glob. końcowa 1. WPrz 1550 700 300 30 210 50 10 250 2. UBud. 860 350 100 75 120 10 5 200 3. PRol. 290 25 40 80 75 20 0 50 4.UTr. 585 240 170 70 30 20 5 50 5. WPoz. 540 150 100 25 70 80 15 100 6. UPoz. 40 5 1 5 2 7 0 20 Wart. Dodana 80 149 5 78 353 5 Prod. glob. 1550 860 290 585 540 40 Legenda: Wprz - wyroby przemysłu, Ubud - usługi budownictwa, PRol - produkcja rolnictwa, Utr - usługi transportu, Wpoz - wyroby pozostałe, UPoz - usługi materialne pozostałe. gałąź

Przypuśćmy, że należy zbadać jedynie przepływy pomiędzy działem produkcji materialnej PM (obejmującym gałęzie 1,3,5), a działem usług U (obejmującym gałęzie 2,4,6). Dokonując agregacji tych gałęzi otrzymujemy następującą tablicę przepływów międzygałęziowych dział dział

Prod. glob.

PM

U

Prod. końcowa

PM

1550+290+540

700+30+50+25+80+20+150+ 25+80

300+210+10+40+75+0 +100+70+15

250+50+100

U

860+585+40

350+75+10+240+70+20+5+5 +7 80+5+353 1550+290+540

100+120+5+170+30+5 +1+2+0 149+78+5 860+585+40

200+50+20

Wart. dodana Prod. glob.

AGREGACJA NIEWAśONA Agregacja ta dotyczy poszczególnych elementów bilansu przepływów międzygałęziowych (ale nie utworzonej na jego podstawie macierzy kosztów itp). Zbiór {1,2,...,n} numerów gałęzi bilansu wyjściowego dzielimy na r parami rozłącznych podzbiorów G1 , G2 ,..., Gr , które zawierają numery gałęzi tworzących kolejne gałęzie bilansu zagregowanego. Macierz S = [ sij ]r × n o

X * = SX , czyli

X h* =

∑X

i

, gdzie h=1,...,r;

i ∈Ah

• wektor produkcji końcowej:

Y * = SY , czyli

Yh* =

∑ Y , gdzie h=1,...,r; i

i ∈Ah

elementach

1 gdy sij =  0 gdy

• wektor produkcji globalnej:

• macierz przepływów międzygałęziowych:

j ∈ Gi

[x hl* ] = S[x ij ]S T ,

j ∉ Gi

zwana macierzą (operatorem) agregacji pozwala na wyrażenie elementów bilansu zagregowanego (oznaczanych gwiazdką) poprzez odpowiednie składniki wyjściowej tablicy przepływów międzygałęziowych:

czyli

x hl* =

∑∑x

ij

, gdzie h,l=1,...,r;

j ∈Al i ∈Ah

• płace, zyski i wartości dodane:

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

Strona 25 z 28

x 0* = Sx 0

D * = SD .

z * = Sz PRZYKŁAD Kontynuujemy rozważania rozpoczęte w pierwszym przykładzie niniejszego rozdziału. Elementy zagregowanego bilansu można otrzymać przy użyciu podanych wyżej wzorów. W rozważanej sytuacji A1 = {1,2} (pierwsza gałąź zagregowanego bilansu zawiera gałęzie 1,2 bilansu wyjściowego) oraz

A2 = {3} . Dlatego macierz agregacji ma postać:  1 1 0 S= . 0 0 1 Zgodnie z podanymi wzorami obliczamy: • produkcję globalną

100 1 1 0    250 X * = SX =  ⋅ 150 =   , 0 0 1   160 160 • przepływy międzygałęziowe

 20 10 30  1 0 1 1 0   100 75 x * = SxS T =  ⋅  25 45 45 ⋅  1 0 =  ,  75 55  0 0 1   15 60 55  0 1 • produkcję końcową

40 1 1 0     Y * = SY =   ⋅ 35 = 0 0 1     30

75 30,  

• składniki wartości dodanej - płace i zyski

20 20 1 1 0   = 40 35. [ x , z ] = S[ x 0 , z ] =  ⋅ 20 15     5 25 0 0 1     5 25  * 0

*

Wartości te tworzą zagregowaną tablicę przepływów międzygałęziowych. Macierze: agregacji S i wag W spełniają MACIERZ KOSZTÓW UKŁADU ZAGREGOWANEGO warunek SW = I r , Macierz kosztów A ∗ = [a hl∗ ] r × r układu zagregowanego można wyznaczyć bądź przy wykorzystaniu danych zagregowanej tablicy przepływów międzygałęziowych: ∗ hl

a =

x hl∗ X

∗ l

,

bądź dokonując tzw. agregacji ważonej elementów macierzy kosztów wyjściowego bilansu:

A ∗ = SAW ,

gdzie I r stopnia r.

dla i ∈ Gk

macierz

jednostkową

PRZYKŁAD Macierz kosztów dla zagregowanego bilansu otrzymanego w pierwszym przykładzie tego rozdziału możemy obliczyć bezpośrednio, dzieląc wartości przepływów przez odpowiednią produkcję globalną. Macierz ta ma postać

 100  A ∗ =  250 75   250

gdzie W = [ wik ] n × r jest macierzą wag , której elementy zdefiniowane są wzorem:

 Xi  wik =  ∑ X j  j ∈Gk  0

oznacza

75  160  . 55   160 

Wynik ten możemy uzyskać także stosując podane wzory. Mamy:

dla i ∉ Gk

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

przeciwnym wypadku mówimy o agregacji niedoskonałej.

1 1 0 S= , 0 0 1  X1  0   2 0     X1 + X 2  5 X2 3  W= 0 = 0 ,  X1 + X 2  5   X 3   0 1   0  X 3   

Następujące warunki są równoważne: 1. agregacja jest doskonała,

SA = A ∗ S , T T −1 3. SAS ( SS ) S = SA . 2.

Równoważność warunków 1 i 2 jest treścią twierdzenia Hatanaki, warunków 1 i 3 twierdzenia Ary.

a więc

 20  100  25 1 1 0    A ∗ = SAW =   0 0 1  100  15  100

10 150 45 150 60 150

30   2  160   5 45   3  160   5 55   160   0

 0  0 .   1

Ostatecznie

 100  A ∗ =  250 75   250

75  160  , 55   160 

AGREGACJA DOSKONAŁA I NIEDOSKONAŁA Przypuśćmy, że dokonano agregacji tablicy przepływów międzygałęziowych pewnego układu gospodarczego w którym wektor produkcji globalnej był równy X0. Rozważmy problem obliczenia produkcji końcowej w układzie zagregowanym w przypadku gdyby wektor produkcji globalnej w układzie wyjściowym był równy X (przy czym X nie musi * być równy X0 ). Wektor Y wartości produkcji końcowej w układzie zagregowanym można obliczyć dwoma sposobami: • agregując wektor produkcji końcowej Y odpowiadający produkcji globalnej X:

Y(∗1) = SY = S (I − A) X ; • wykorzystując macierz kosztów układu zagregowanego:

Y(∗2 ) = (I − A ∗ ) X ∗ = (I − A ∗ )SX . dowolnego

nazywamy X

doskonałą

zachodzi

∗ (1)

Y

PRZYKŁAD Zbadamy czy dokonana wyżej agregacja jest doskonała. Posłużymy się twierdzeniem Hatanaki. W rozważanym przypadku mamy:

 20 100  25 1 1 0   S= , A =   100 0 0 1  15 100

10 150 45 150 60 150

30  160  45   160  55  160 

oraz

czyli tyle samo, co poprzednio. W rozważanym wypadku wyznaczenie macierzy kosztów w bezpośredni sposób - na podstawie zagregowanej tablicy przepływów międzygałęziowych - może wydawać się znacznie prostsze. Zalety stosowania podanych wzorów wykorzystujących macierz agregacji S najłatwiej docenić w przypadku agregacji w skomplikowanych układach wielogałęziowych.

Agregację

Strona 26 z 28

jeśli

dla

∗ (2)

W

=Y .

 100  A ∗ =  250 75   250

75  160  . 55   160 

Mamy więc 2 15   45 11 15  2  100 30 32  5 ∗ 5 32  , SA =  ≠ A S= 3 2 11  3 3 11      5 32   20  10 10 32  co oznacza, że agregacja jest niedoskonała. Rzecz jasna, iż do tego samego wniosku można byłoby dojść stosując twierdzenie Ary. Niezbyt skomplikowane rachunki pokazują bowiem, że

 49  SAS T ( SS T ) −1 S = 120 11   40

49 120 11 40

15  32  ≠ SA . 11   32 

BŁĄD AGREGACJI W praktyce stosunkowo rzadko mamy do czynienia z agregacją doskonałą. W przypadku zmian produkcji globalnej poszczególnych gałęzi występują zatem na ogół różnice pomiędzy produkcją końcową obliczoną na podstawie bilansu zagregowanego a jej zagregowanymi wartościami uzyskanymi z bilansu wyjściowego. Różnica

Y(∗1) − Y(∗2 ) tych

wielkości stanowi tzw. błąd agregacji.

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

Jeśli agregacja jest doskonała, jej błąd jest równy zeru. W przypadku agregacji niedoskonałej istnieje taki wektor X, że

( SA − A * S ) X ≠ 0 . PRZYKŁAD Rozpatrzmy układ gospodarczy z przykładu ze strony 14. Jeśli produkcja globalna kolejnych gałęzi układu jest równa X 1 = 200, X 2 = 150, X 3 = 160 (j.p.), wtedy wektor produkcji końcowej powinien być równy: 10 30   80  100 − 150 − 160  200 120  25 105 45    ⋅ 150 =  10  . Y = LX = − − 160    100 150 105  160  15  − 15 − 60  100 150 160  Przypuśćmy, że dokonujemy uproszczenia bilansu dla rozważanego układu, polegającego na agregacji dwóch pierwszych gałęzi. Produkcja końcowa powinna jest zatem równa: • w gałęzi I układu zagregowanego (gałęzie 1 i 2 układu wyjściowego): 120 + 10 = 130 (j.p.), • w gałęzi II układu zagregowanego (gałąź 3 układu wyjściowego): 15 (j.p.), zatem

130 Y(*1) =   .  15  Zbadajmy jaki wynik uzyskalibyśmy prognozując produkcję końcową na podstawie bilansu zagregowanego. Wektor produkcji globalnej jest równy

200 + 150 350 X* =  , =  160  160  a macierz Leontiewa jest równa (por. przykład ze strony 25)

 150  L* = I − A ∗ =  250 75 −  250

75  160  105   160 

−

i dlatego wektor produkcji końcowej obliczony na podstawie bilansu zagregowanego jest równy:

135 Y(*2) = L* X * =   .  0  Stąd

−5 Y(*1) − Y(*2 ) =   . 15  Jak widać oba wyniki różnią się:

Y(1*) ≠ Y(*2 ) .

Obliczając dla gałęzi I,II i zadanego wektora produkcji globalnej prognozę produkcji

Strona 27 z 28

końcowej na podstawie bilansu zagregowanego, popełniamy błąd równy odpowiednio -5 j.p. oraz 15 j.p. .

SŁOWNICZEK POJĘĆ

WAśNIEJSZYCH

Akumulacja - gromadzenie środków z części dochodu narodowego nie przeznaczonej na spożycie, w celu dokonywania inwestycji i zwiększania produkcji. Może oznaczać zwiększanie środków trwałych drogą inwestycji lub tworzenia zapasów i zwiększanie zasobów środków obrotowych. Akumulacja finansowa - nadwyżka dochodów ze sprzedaży produkcji nad kosztami własnymi sprzedanej produkcji tj. Towarów i usług. Obejmuje ona także nadwyżki (niedobory) finansowe wynikające z działalności ubocznej oraz saldo zysków i strat nadzwyczajnych. Zawiera także podatek obrotowy i zysk bilansowy. Amortyzacja - proces utraty wartości użytkowanego majątku trwałego w wyniku eksploatacji środka trwałego i przenoszenia jej na wytworzone przez te środki produkty. Cła - opłata pobierana przez państwo od przywozu i wywozu towarów przez jego granice, Eksport - wywóz za granicę towarów, kapitałów, usług. Import - przywóz towarów z innych krajów, także korzystanie z usług świadczonych przez producentów zagranicznych, w celu wykorzystania ich przede wszystkim na własnym rynku. Nakłady inwestycyjne - nakłady, które zwiększają wartość majątku trwałego. Produkcja globalna (produkt globalny) wartość wszystkich dóbr i/lub usług wytworzonych w danej gałęzi. Produkcja końcowa (finalna, produkt finalny) - wartość dóbr i/lub usług wytworzonych w danej gałęzi, które nie zostały zużyte przez układ gospodarczy w procesie produkcji. Przepływy międzygałęziowe - wartości dóbr i usług przekazanych z jednej gałęzi do drugiej wykorzystana w celach produkcyjnych. Przyrost zapasów (środki obrotowe rezerwa) - przyrost zapasów materiałów, wyrobów gotowych, produkcji nie zakończonej itp. Spożycie indywidualne (z dochodów osobistych) przez ludność obejmuje:

Instytut Ekonometrii SGH

Analiza input - output. Notatki

S. Dorosiewicz, J. Stasieńko

wydatki poniesione przez ludność na zakup produktów (wyrobów i usług, wycenianych w cenach płaconych przez konsumentów); wartość spożycia naturalnego produktów rolnych pochodzących z własnej produkcji (wycenianych w cenach skupu); wartość usług mieszkaniowych. Spożycie zbiorowe obejmuje wydatki sektora instytucji rządowych oraz instytucji niezyskownych: wartość wyrobów i usług nierynkowych przekazanych nieodpłatnie lub finansowanych z funduszów społecznych na rzecz gospodarstw domowych (m.in. wartość usług oświaty i wychowania, kultury i sztuki, ochrony zdrowia itp); spożycie ogólnospołeczne spożycie wyrobów i usług nierynkowych, które nie posiadają konkretnych indywidualnych odbiorców (np. nakłady poniesione na administrację państwową, naukę bezpieczeństwo publiczne itp.). Wartość dodana - różnica pomiędzy wartością produkcji globalnej danej gałęzi a kosztami poniesionymi na zakup materiałów niezbędnych do produkcji w tej gałęzi. Zużycie produkcyjne w danej gałęzi - jest to część produktu globalnego przeznaczona do zużycia w produkcji wszystkich gałęzi.

Strona 28 z 28

LITERATURA Problematyka analizy bilansów przepływów międzygałęziowych jest szczegółowo omawiana między innymi w następujących w następujących podręcznikach 1. Dorosiewicz S, Gruszczyński M, Kuszewski T, Kołatkowski D, Podgórska M, Syczewska E, Ekonometria, SGH, 1996. 2. Miller R.E. , Blair P.D. Input - Output Analysis: Foundation and Extensions, Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, 1985. 3. Peterson W. Advances in Input-Output Analysis. Oxford University Press, New York-Oxford 1991. 4. Sadowski W. [red.] Elementy ekonometrii i programowania matematycznego. PWN, 1980 i późniejsze. 5. Tomaszewicz Ł. Metody analizy inputoutput. PWE, Warszawa 1994. 6. Tomaszewicz Ł. [red.] Przepływy międzygałęziowe. Elementy teorii. Uniwersytet Łódzki, 1979. Ponadto w ramach projektu MENTOR wydano skrypt: Gruszczyński M., Mierzejewski P., Wstęp do ekonometrii w stu oknach. Wyd. SGH, Warszawa 1998.

Instytut Ekonometrii SGH