Algebra Lineal XI: Funciones y Transformaciones Lineales Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica Facultad de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica y Electr´onica Universidad de Guanajuato email: [email protected]

1.

Funciones.

En estas notas definiremos funciones y transformaciones lineales. Definici´ on de funci´ on, transformaci´ on o mapeo. Sean A y B dos conjuntos de elementos o “puntos”. Una funci´ on, transformaci´ on o mapeo F de A en B se define como una relaci´ on o regla de ´ nico elemento b ∈ B. correspondencia1 tal que para cada elemento a ∈ A hay asociado un u El s´ımbolo F : A → B se usa para indicar que F es un mapeo de A en B. La figura 1 muestra una funci´ on entre el conjunto {a, b, c, d, e} y el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}.

Figura 1: Funci´ on entre el conjunto {a, b, c, d, e} y el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Definici´ on de igualdad entre mapeos. Dos mapeos F : A → B y G : A → B son iguales, denotado F = G si, y s´ olo si, F (a) = G(a) ∀ a ∈ A. Las figuras 2 y 3 muestran relaciones que no son funciones. La relaci´ on de la figura 2 no es una funci´ on del conjunto {a, b, c, d, e, f } al conjunto {1, 2, 3, 4, 5} pues f ∈ {a, b, c, d, e, f } no tiene imagen bajo la relaci´on. La relaci´on de la figura 3 no es una funci´ on del conjunto {a, b, c, d, e} y el conjunto {1, 2, 3, 4, 5} pues on contiene dos parejas para c ∈ {a, b, c, d, e} existen dos elementos asociados, 2 y 3. Es decir la relaci´ ordenadas (c, 2) y (c, 3), donde c es el primer elemento de la pareja ordenada. Definici´ on del dominio de un mapeo. El dominio, D, de un mapeo F sobre un subconjunto de un conjunto A es el conjunto formado por aquellos elementos, en A, para los cuales F est´a definido; es decir D = {a|a ∈ A y F (a) est´a definida} 1 Vea

´ las notas de Algebra Lineal I: Conjuntos, Relaciones y Funciones.

1

Figura 2: Una relaci´ on que no es funci´ on

Figura 3: Otra relaci´ on que no es funci´ on Ciertamente, si F est´a definida sobre todo el conjunto A, el dominio de F es todo A, la notaci´ on F : A → B se reserva para el caso en el cual el dominio de F es todo A. Definici´ on del rango de un mapeo. Sea F : A → B un mapeo, el rango de F , denominado RF , y tambi´en conocido como codominio, est´a definido como RF = {b|b ∈ B

y

b = F (a) para alg´ un a ∈ A}

La figura 4 muestra el rango de una funci´ on del conjunto {a, b, c, d, e} y el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, es evidente que RF = {1, 2, 3, 4, 5}. El elemento b a menudo se denota como b = F (a) y se denomina la imagen o el valor de F en a. Si C ⊆ A, entonces la imagen de C bajo F , denominado F (C), est´a dado por F (C) = {b|b ∈ B

y b = F (c) para alg´ un c ∈ C ⊆ A}

Ejemplo. Considere la funci´ on real de variable real, dada por F : D ⊂ (−∞, +∞) → (−∞, +∞) F (x) =

√ x

El dominio D de la funci´ on F es el conjunto de valores para los cuales lo ra´ız cuadrada arroja un resultado real, puesto que la funci´ on es real. Por lo tanto DF = {x|x ≥ 0} = [0, +∞) De manera semejante, el rango o codominio de la funci´on F es el conjunto de las im´agenes del domino, on. Es decir DF bajo la funci´ √ RF = { x|x ∈ [0, +∞)} = [0, +∞). 2

Figura 4: El rango de una funci´ on F : {a, b, c, d, e} → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Definici´ on de un mapeo inyectivo. Sea F : A → B un mapeo del conjunto A al conjunto B. F se denomina inyectiva, o uno a uno en A, siempre que a1 , a2 ∈ A satisfacen la condici´on a1 = a2 implica que F (a1 ) = F (a2 ). En palabras, un mapeo es inyectivo si diferentes elementos de A mapean sobre diferentes elementos de B. En particular, el mapeo mostrado en la figura 4 es inyectivo. Ejemplo. Considere la funci´ on real de variable real, dada por √ F (x) = x. √ √ La funci´ on F es inyectiva. Suponga que F (x1 ) = F (x2 ), entonces x1 = x2 , sin embargo, en el dominio de definici´ on de la funci´ on, DF = {x|x ≥ 0} = [0, +∞)., se tiene que √ √ x1 = x2 ⇒ x1 = x2 F : D ⊂ (−∞, +∞) → (−∞, +∞)

Definici´ on de un mapeo inverso. Sea F : A → B un mapeo inyectivo del conjunto A al conjunto B y sea RF el rango del mapeo F . El mapeo inverso F ∗ es el mapeo de RF a A definido como F ∗ : RF → A F ∗ (b) = a,

donde

a ∈ A es el u ´ nico elemento de A F (a) = b

Por lo tanto, el dominio de F ∗ es el rango de F y el rango de F es el dominio de F ∗ . Ejemplo. El mapeo inverso de la funci´ on F del ejemplo anterior est´ a dado por F ∗ : [0, +∞) → [0, +∞)

F ∗ (x) = x2 .

Definici´ on de mapeo sobreyectivo. Sea F : A → B un mapeo del conjunto A al conjunto B. F se llama sobreyectivo, o sobre B, si el rango de F es todo el conjunto B. En particular, el mapeo mostrado en la figura 4 no es sobreyectivo. Ejemplo. Considere la funci´ on real de variable real, dada por F : [0, +∞) → (−∞, +∞)F (x) =

√

x.

no es sobreyectivo, pues no hay x ∈ [0, +∞) tal que F (x) ∈ (−∞, 0). Sin embargo, si se define otra funci´ on real de variable real, como √ G : [0, +∞) → [0, +∞) G(x) = x Entonces la funci´ on, adem´ as de ser inyectiva, es tambi´en sobreyectiva. Definici´ on de mapeo biyectivo. Sea F : A → B un mapeo del conjunto A al conjunto B que es a la vez inyectivo y sobreyectivo. Entonces la funci´ on se denomina biyectiva o que establece una relaci´ on uno a uno entre los conjuntos A y B. En particular, el mapeo mostrado en la figura 1 es biyectivo. 3

2.

Transformaciones Lineales

En esta secci´on se introducir´ a el concepto de transformaci´on lineal. Definici´ on de transformaci´ on lineal. Sean V y V dos espacios vectoriales sobre un campo K. Una transformaci´ on lineal o mapeo lineal de V a V es un mapeo T : V → V tales que satisfacen dos propiedades. Para todo v1 , v2 ∈ V y para todo λ ∈ K. 1. Aditiva T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ). 2. Homog´ enea T (λv1 ) = λT (v1 ) Nada impide que el espacio vectorial V sea igual a V. En este caso la transformaci´on lineal T : V → V se denomina una transformaci´ on lineal de V sobre si mismo. Teorema. Una condici´ on necesaria para que un mapeo T : V → V sea una transformaci´on lineal es   que T (0) = 0. En otras palabras, si T es una transformaci´on lineal, entonces T (0) = 0. Prueba Se sabe que 0 = 0v , donde 0 ∈ K y v ∈ V es arbitrario. Entonces T (0) = T (0 v) = 0 T (v) = 0 pues, por los primeros teoremas de espacios vectoriales, la multiplicaci´ on por el escalar 0 de cualquier vector es el vector 0. Definici´ on mapeo Z. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. El mapeo Z se define como Z:V→V

Z(v ) = 0 ∀v ∈ V.

Teorema. El mapeo Z es una transformaci´on lineal. Teorema. Considere una transformaci´on lineal T : V → V y sea B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base del espacio vectorial V. Entonces la transformaci´on lineal T se determina de manera u ´ nica por las imagenes de los elementos de la base B con respecto al mapeo T . Estos elementos est´ an dados por T (v1 ), T (v2 ), . . . T (vn ). La unicidad significa que si hay dos mapeos “distintos”T y T  tales que T (v1 ) = T  (v1 ), T (v2 ) = T  (v2 ), . . . , T (vn ) = T  (vn ) entonces T = T  . Prueba: Sea v ∈ V un elemento arbitrario, puesto que B = {v1 , v2 , . . . vn } es una base de V, entonces existen escalares u ´ nicosλ1 , λ2 , . . . λn tales que v = λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn Entonces, aplicando las propiedades aditivas y homog´eneas de la transformaci´on lineal, se tiene que T (v ) = =

T (λ1v1 + λ2v2 + . . . + λnvn ) = T (λ1v1 ) + T (λ2v2 ) + · · · + T (λnvn ) λ1 T (v1 ) + λ2 T (v2 ) + . . . + λn T (vn ).

Por lo tanto, el mapeo est´ a bien definido y la imagen de v ∈ V bajo la transformaci´on lineal es u ´ nica. Considere ahora los mapeos T y T  que satisfacen la condici´on dada por la ecuaci´ on (1) y sea v ∈ V arbitrario, entonces

4

T (v ) = = =

T (λ1v1 + λ2v2 + · · · + λnvn ) = λ1 T (v1 ) + λ2 T (v2 ) + · · · + λn T (vn ) λ1 T  (v1 ) + λ2 T  (v2 ) + · · · + λn T  (vn ) = T  (λ1 v1 ) + T  (λ2v2 ) + · · · + T  (λn vn ) T  (λ1v1 + λ2v2 + · · · + λnvn ) = T  (v )

Por lo tanto

T (v ) = T  (v ) ∀v ∈ V

y las dos transformaciones lineales son iguales. Este resultado implica que las transformaciones lineales son mapeos especiales en cuanto que para conocer la transformaci´on se requiere u ´ nicamente las im´ agenes, bajo la transformaci´on, de los elementos de una de las bases del espacio vectorial. Teorema. Sean V y V espacios vectoriales y sea B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base del espacio vectorial V y sean {v1 , v2 , . . . , vn } n elementos arbitrarios de V . Entonces, existe una y solo una transformaci´on lineal T : V → V tal que T (vi ) = vi ∀i = 1, 2, . . . , n Esta transformaci´on mapea

i=n 

aivi

en

i=n 

i=1

3.

aivi

i=1

Problemas

Problema 1. Considere las siguientes funciones F : R2 → V determine si las funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. F (x, y) = (y, x),

aqu´ı V = R2

F (x, y) = (x − 1, y − 1),

aqu´ı V = R2

F (x, y) = (2x − y, x + y, x − 3y), F (x, y) = x + 3y, F (x, y) = x · y,

aqu´ı V = R3

aqu´ı V = R aqu´ı V = R

Problema 2. De las funciones del problema 1, determine cuales de ellas son transformaciones lineales. Problema3. Considere la funci´ on derivada que mapea el espacio vectorial funciones continuas y diferenciables en el intervalo (−∞, +∞) sobre el espacio vectorial de funciones continuas en el intervalo (−∞, +∞). Ambos espacios est´an definidos dobre el campo de los n´ umeros reales. F : C 1 (−∞, +∞) → C 0 (−∞, +∞) F [f (x)] =

df (x) dt

¿Es, esta funci´on una transformaci´ on lineal?. Problema 4. Considere el espacio vectorial de todos los polinomios de una variable x de grado arbitrario, sobre el campo de los n´ umeros reales. Las siguientes funciones mapean ese espacio vectorial sobre si mismo. Cuales de ellas son transformaciones lineales. T [p(x)] = q(x),

donde

q(x) = p(x + 1). 5

T [p(x)] = q(x),

donde

q(x) = p(2x).

T [p(x)] = q(x),

donde

q(x) = [p(x)]2 .

Problema 5. Determine si la siguiente informaci´ on acerca de una transformaci´on lineal T : R3 = V determina, o define, de manera u ´nica la transformaci´on lineal y, si este es el caso, encuentre la regla de correspondencia T (x, y, z). T (1, 0, 0) = (1, 1, 1), T (1, 1, 0) = (1, 1, 0), T (1, 1, 1) = (1, 0, 0) T (1, 2, 3) = (3, 2, 1), T (0, 0, 1) = (1, 0, 1), T (1, 2, 0) = (2, 2, 0) T (1, 0, 0) = (1, 0), T (0, 1, 0) = (1, 1), T (1, 4, 1) = (3, −3)

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