Algebra Lineal XX: Determinantes. Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica Facultad de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica y Electr´onica Universidad de Guanajuato email: [email protected] En estas notas mostraremos como definir la funci´ on determinante para matrices cuadradas de orden arbitrario. El estudio de los determinantes se iniciar´ a definiendo las propiedades que debe tener la funci´ on determinante. Adem´as, se mostrar´a que la funci´ on determinante de existir es u ´ nica.

1.

Definici´ on de la funci´ on determinante. El primer paso ser´ a definir las propiedades que debe satisfacer la funci´ on determinante.

Definici´ on de la funci´ on determinante. Sea Mp×p el espacio vectorial de matrices cuadradas de orden p con elementos sobre el campo K. El determinante es un mapeo de Mp×p al campo K que est´ a definido por los requerimientos sobre las columnas M1 , M2 , . . . , Mp de una matriz M ∈ Mp×p arbitraria. 1. Si la j−´esima columna 1 ≤ j ≤ p de M est´a dada por Mj + Mj∗ , se tiene que det(M1 M2 · · · Mj + Mj∗ · · · Mp ) =

det(M1 M2 · · · Mj · · · Mp ) + det(M1 M1 · · · Mj∗ · · · Mp )

2. Si la j−´esima columna 1 ≤ j ≤ p de M est´a dada por λMj , donde λ ∈ K se tiene que det(M1 M2 · · · λMj · · · Mp ) = λ det(M1 M2 · · · Mj · · · Mp ) Estas dos primeras propiedades, aseguran que el determinante es un mapeo multilineal en las columnas de la matriz M . 3. Si Mj = Mj+1 para cualquier j tal que 1 ≤ j ≤ p − 1 entonces1 det(M ) = 0. 4. Si Ip es la matriz identidad en el espacio Mp×p entonces det(Ip ) = 1. A partir de esta definici´ on, se encontrar´ an propiedades adicionales de la funci´ on determinante y se ampliar´ a el alcance de algunas de estas propiedades iniciales. on determinante sobre Mp×p . Entonces, el valor del Teorema. Sea M ∈ Mp×p y sea det la funci´ determinante de la matriz obtenida intercambiando o permutando dos columnas adyacentes de M 1 El

determinante de una matriz cuadrada M frecuentemente se representa para |M |

1

es (−1)det(M ). Prueba. Considere el determinante de la matriz 0 = 0 =

det(M1 M2 · · · Mj + Mj+1 Mj + Mj+1 · · · Mp ) det(M1 M2 · · · Mj Mj + Mj+1 · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj+1 Mj + Mj+1 · · · Mp )

0 =

det(M1 M2 · · · Mj Mj · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj Mj+1 · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj+1 Mj · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj+1 Mj+1 · · · Mp )

Sin embargo, por la propiedad n´ umero 3 de la funci´ on determinante, el primero y el u ´ltimo de los determinantes son 0, por lo tanto 0 = det(M1 M2 · · · Mj Mj+1 · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj+1 Mj · · · Mp ) por lo tanto det(M1 M2 · · · Mj+1 Mj · · · Mp ) = −det(M1 M2 · · · Mj Mj+1 · · · Mp ) = −det(M ) Corolario. Si dos columnas de M son iguales; es decir si Mi = Mj para i = j, entonces det(M ) = 0. Prueba. Suponga que i < j, entonces det(M ) = =

det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj · · · Mp ) = (−1)j−i−1 det(M1 M2 · · · Mi Mj · · · Mp ) (−1)j−i−1 det(M1 M2 · · · Mi Mi · · · Mp ) = (−1)j−i−1 (0) = 0

on determinante sobre Mp×p . Entonces, el valor del Corolario. Sea M ∈ Mp×p y sea det la funci´ determinante de la matriz obtenida intercambiando o permutando dos columnas cualesquiera de M es (−1)det(M ). Prueba. Considere el determinante de la matriz 0 =

det(M1 M2 · · · Mi + Mj · · · Mi + Mj · · · Mp )

0 = 0 =

det(M1 M2 · · · Mi · · · Mi + Mj · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj · · · Mi + Mj · · · Mp ) det(M1 M2 · · · Mi · · · Mi · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj · · · Mi · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj · · · Mj · · · Mp )

Sin embargo, por el corolario anterior, el primero y el u ´ltimo de los determinantes son 0, por lo tanto 0 = det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj · · · Mp ) + det(M1 M2 · · · Mj · · · Mi · · · Mp ) por lo tanto det(M1 M2 · · · Mj · · · Mi · · · Mp ) = −det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj · · · Mp ) = −det(M ) Teorema. La adici´ on del m´ ultiplo escalar de una columna de la matriz a otra columna de la matriz deja sin cambio al valor del determinante. Prueba. Considere la matriz det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj + λMi · · · Mp ) =

det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj · · · Mp ) +

=

det(M1 M2 · · · Mi · · · λMi · · · Mp ) det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj · · · Mp ) +

=

λdet(M1 M2 · · · Mi · · · Mi · · · Mp ) det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj · · · Mp ) + 0

=

det(M1 M2 · · · Mi · · · Mj · · · Mp )

2

Teorema. Para cada p, existe cuando mucho una funci´ on determinante en Mp×p . No mostraremos este teorema para el caso general, pero mostraremos que este resultado es cierto para p = 2 y para p = 3. Unicidad del determinante para p = 2. Considere una matriz arbitraria M ∈ M2×2 , entonces   a11 a12 M= = [M1 M2 ] a21 a22 donde M1 = a11 eˆ1 + a21 eˆ2 

adem´as eˆ1 =

y

M2 = a12 eˆ1 + a22 eˆ2



1 0

 y

eˆ2 =

0 1



Entonces, expandiendo las columnas del determinante de la matriz, M , se tiene que |M | = det(M ) = det(a11 eˆ1 + a21 eˆ2 a12 eˆ1 + a22 eˆ2 ) = det(a11 eˆ1 a12 eˆ1 + a22 eˆ2 ) + det(a21 eˆ2 = det(a11 eˆ1 det(a21 eˆ2

a12 eˆ1 ) + det(a11 eˆ1 a12 eˆ1 ) + det(a21 eˆ2

= a11 a12 det(ˆ e1 e2 a21 a12 det(ˆ

eˆ1 ) + a11 a22 det(ˆ e1 eˆ1 ) + a21 a22 det(ˆ e2

= (a11 a22 − a21 a12 )det(ˆ e1

a12 eˆ1 + a22 eˆ2 )

a22 eˆ2 ) + a22 eˆ2 ) eˆ2 ) + eˆ2 )

eˆ2 ) = a11 a22 − a21 a12

Unicidad del determinante para p = 3. Considere una matriz arbitaria M ∈ M3×3 , entonces ⎤ ⎡ a11 a12 a13 M = ⎣ a21 a22 a23 ⎦ = [M1 M2 M3 ] a31 a32 a33 donde M1 = a11 eˆ1 + a21 eˆ2 + a31 eˆ3 ademas

M2 = a12 eˆ1 + a22 eˆ2 + a32 eˆ3 ⎡

⎤ 1 eˆ1 = ⎣ 0 ⎦ 0

⎡

⎤ 0 eˆ2 = ⎣ 1 ⎦ 0

M3 = a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3

⎡

⎤ 0 eˆ3 = ⎣ 0 ⎦ 1

Entonces, expandiendo las dos primeras columnas del determinante de la matriz M y eliminando los

3

determinantes cuyo valor es 0, se tiene que |M | = =

=

=

det(a11 eˆ1 + a21 eˆ2 + a31 eˆ3 a12 eˆ1 + a22 eˆ2 + a32 eˆ3 a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 ) det(a11 eˆ1 a12 eˆ1 + a22 eˆ2 + a32 eˆ3 a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 ) + det(a21 eˆ2 det(a31 eˆ3

a12 eˆ1 + a22 eˆ2 + a32 eˆ3 a12 eˆ1 + a22 eˆ2 + a32 eˆ3

det(a11 eˆ1 det(a11 eˆ1

a12 eˆ1 a22 eˆ2

a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 ) + a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 ) +

det(a11 eˆ1 det(a21 eˆ2

a32 eˆ3 a12 eˆ1

a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 ) + a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 ) +

det(a21 eˆ2 det(a21 eˆ2

a22 eˆ2 a32 eˆ3

a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 ) + a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 ) +

det(a31 eˆ3

a12 eˆ1

a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 ) +

det(a31 eˆ3 det(a31 eˆ3

a22 eˆ2 a32 eˆ3

a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 ) + a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 )

det(a11 eˆ1 det(a11 eˆ1

a22 eˆ2 a32 eˆ3

a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 ) + a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 ) +

det(a21 eˆ2 det(a21 eˆ2

a12 eˆ1 a32 eˆ3

a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 ) + a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 ) +

det(a31 eˆ3 det(a31 eˆ3

a12 eˆ1 a22 eˆ2

a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 ) + a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 )

a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 ) + a13 eˆ1 + a23 eˆ2 + a33 eˆ3 )

Expandiendo la tercera columna del determinante de la matriz M y eliminando aquellos determinantes cuyo valor sea 0, se tiene que M

=

=

det(a11 eˆ1

a22 eˆ2

a13 eˆ1 ) + det(a11 eˆ1

a22 eˆ2

a23 eˆ2 ) + det(a11 eˆ1

a22 eˆ2

a33 eˆ3 ) +

det(a11 eˆ1 det(a21 eˆ2

a32 eˆ3 a12 eˆ1

a13 eˆ1 ) + det(a11 eˆ1 a13 eˆ1 ) + det(a21 eˆ2

a32 eˆ3 a12 eˆ1

a23 eˆ2 ) + det(a11 eˆ1 a23 eˆ2 ) + det(a21 eˆ2

a32 eˆ3 a12 eˆ1

a33 eˆ3 ) + a33 eˆ3 ) +

det(a21 eˆ2 det(a31 eˆ3

a32 eˆ3 a12 eˆ1

a13 eˆ1 ) + det(a21 eˆ2 a13 eˆ1 ) + det(a31 eˆ3

a32 eˆ3 a12 eˆ1

a23 eˆ2 ) + det(a21 eˆ2 a23 eˆ2 ) + det(a31 eˆ3

a32 eˆ3 a12 eˆ1

a33 eˆ3 ) + a33 eˆ3 ) +

det(a31 eˆ3 det(a11 eˆ1

a22 eˆ2 a22 eˆ2

a13 eˆ1 ) + det(a31 eˆ3 a33 eˆ3 ) + det(a11 eˆ1

a22 eˆ2 a32 eˆ3

a23 eˆ2 ) + det(a31 eˆ3 a23 eˆ2 ) + det(a21 eˆ2

a22 eˆ2 a12 eˆ1

a33 eˆ3 ) a33 eˆ3 ) +

det(a21 eˆ2

a32 eˆ3

a13 eˆ1 ) + det(a31 eˆ3

a12 eˆ1

a23 eˆ2 ) + det(a31 eˆ3

a22 eˆ2

a13 eˆ1 ).

El paso final, consiste en realizar todas las permutaciones, cambiando el signo del determinante de manera apropiada, para que las columnas del determinante correspondan a la matriz identidad, cuyo determinante es 1. M

= = =

a11 a22 a33 det(ˆ e1

eˆ2

eˆ3 ) − a11 a32 a23 det(ˆ e1

eˆ2

eˆ3 ) − a21 a12 a33 det(ˆ e1

eˆ2

eˆ3 ) +

a21 a32 a13 det(ˆ e1

eˆ2

eˆ3 ) + a31 a12 a23 det(ˆ e1

eˆ2

eˆ3 ) − a31 a22 a13 det(ˆ e1

eˆ2

eˆ3 )

a11 a22 a33 − a11 a32 a23 − a21 a12 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 − a31 a22 a13 a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a21 a12 a33 − a31 a22 a13 .

4

2.

Problemas Resueltos

Problema 1. Empleando los m´etodos indicados en estas notas, calcule el valor del siguiente determinante de orden 2.    3 2    |M1 | =  −1 7  Soluci´ on: Empleando los vectores columna   1 eˆ1 = 0 el determinante se escribe como    3 2   = |3ˆ  e1 − eˆ2 |M1 | =  −1 7  =

eˆ1 | + 21|ˆ e1

6|ˆ e1

 y

eˆ2 =

0 1

2ˆ e1 + 7ˆ e2 | = 3|ˆ e1

eˆ2 | − 2|ˆ e2

eˆ1 | − 7|ˆ e2



2ˆ e1 + 7ˆ e2 | − |ˆ e2

2ˆ e1 + 7ˆ e2 |

eˆ2 |

Pero se sabe que |ˆ e1

eˆ1 | = |ˆ e2

eˆ2 | = 0

adem´as |ˆ e1

eˆ2 | = 1 y

|ˆ e2

eˆ1 | = −|ˆ e1

eˆ2 | = −1.

eˆ2 | − 2|ˆ e2

eˆ1 | − 7|ˆ e2

Por lo tanto |M1 | = 6|ˆ e1

eˆ1 | + 21|ˆ e1

eˆ2 |

= 6(0) + 21(1) − 2(−1) − 7(0) = 23. Problema 2. Empleando los m´etodos indicados en estas notas, calcule el valor del siguiente determinante de orden 3.    3 2 −1    |M1 | =  −1 7 0   −3 5 3  Soluci´ on: Empleando los vectores columna ⎡ ⎤ 1 eˆ1 = ⎣ 0 ⎦ 0 el determinante    |M1 | =  

⎡

⎤ 0 eˆ2 = ⎣ 1 ⎦ 0

se escribe como  3 2 −1  −1 7 0  = |3ˆ e3 e1 − eˆ2 − 3ˆ −3 5 3 

= |3ˆ e1

2ˆ e1 + 7ˆ e2 + 5ˆ e3

⎡

⎤ 0 eˆ3 = ⎣ 0 ⎦ 1

2ˆ e1 + 7ˆ e2 + 5ˆ e3

− eˆ1 + 3ˆ e3 |

− eˆ1 + 3ˆ e3 |

+| − eˆ2 2ˆ e1 + 7ˆ e2 + 5ˆ e3 − eˆ1 + 3ˆ e3 | e1 + 7ˆ e2 + 5ˆ e3 − eˆ1 + 3ˆ e3 | +| − 3ˆ e3 2ˆ = |3ˆ e1

2ˆ e1

− eˆ1 + 3ˆ e3 | + |3ˆ e1

− eˆ1 + 3ˆ e3 | + |3ˆ e1

7ˆ e2

5ˆ e3

− eˆ1 + 3ˆ e3 |

+| − eˆ2 2ˆ e1 − eˆ1 + 3ˆ e3 | + | − eˆ2 7ˆ e2 − eˆ1 + 3ˆ e3 | + | − eˆ2 5ˆ e3 − eˆ1 + 3ˆ e3 | e1 − eˆ1 + 3ˆ e3 | + | − 3ˆ e3 7ˆ e2 − eˆ1 + 3ˆ e3 | + | − 3ˆ e3 5ˆ e3 − eˆ1 + 3ˆ e3 | +| − 3ˆ e3 2ˆ Pero se sabe que si alg´ un determinante tiene dos columnas con el mismo vector unitario su valor es cero, por lo tanto |M1 | =

|3ˆ e1

7ˆ e2

+| − eˆ2

− eˆ1 + 3ˆ e3 | + |3ˆ e1 5ˆ e3

− eˆ1 + 3ˆ e3 | + | − eˆ2

5ˆ e3

− eˆ1 + 3ˆ e3 | + | − 3ˆ e3

2ˆ e1 5

2ˆ e1

− eˆ1 + 3ˆ e3 | + | − 3ˆ e3

− eˆ1 + 3ˆ e3 | 7ˆ e2

− eˆ1 + 3ˆ e3 |

Expandiendo la tercera columna se tiene que |M1 | =

|3ˆ e1 7ˆ e2 − eˆ1 | + |3ˆ e1 7ˆ e2 3ˆ e3 | + |3ˆ e1 5ˆ e3 − eˆ1 | + |3ˆ e1 5ˆ e3 3ˆ e3 | e1 − eˆ1 | + | − eˆ2 2ˆ e1 3ˆ e3 | + | − eˆ2 5ˆ e3 − eˆ1 | + | − eˆ2 5ˆ e3 +| − eˆ2 2ˆ +| − 3ˆ e3

2ˆ e1

− eˆ1 | + | − 3ˆ e3

3ˆ e3 | + | − 3ˆ e3

2ˆ e1

7ˆ e2

− eˆ1 | + | − 3ˆ e3

3ˆ e3 | 7ˆ e2

3ˆ e3 |

Nuevamente, aquellos determinantes que tienen dos columnas con el mismo vector unitario su valor es cero, por lo tanto |M1 | = =

|3ˆ e1 7ˆ e2 63|ˆ e1 eˆ2

3ˆ e3 | + | − eˆ2 2ˆ e1 3ˆ e3 | + | − eˆ2 5ˆ e3 − eˆ1 | + | − 3ˆ e3 7ˆ e2 − eˆ1 | eˆ3 | + 6|ˆ e1 eˆ2 eˆ3 | + 5|ˆ e1 eˆ2 eˆ3 | − 21|ˆ e1 eˆ2 eˆ3 | = 53|ˆ e1 eˆ2 eˆ3 | = 53

Pues se sabe que el determinante de la matrix identidad |I3 | = |ˆ e1

3.

eˆ2

eˆ3 | = 1.

Problemas Propuestos.

Problema 1. Empleando los m´etodos indicados en estas notas, calcule el valor de los siguientes determinantes de orden 2.      4 5   −1 3      |M2 | =  |M1 | =  2 7  4 3  Problema 2. Empleando los m´etodos indicados en estas notas, calcule el valor de los siguientes determinantes de orden 3.      4 5  −1 3 2  2    3 −2  |M3 | =  2 7 −3  |M4 | =  4  2 −3 4   2 −1 0 

6