Problemas de Estadística Descriptiva Tema 2 1.- Clasifica en discretas o continuas las siguientes variables: a) Número de habitantes por kilómetro cuadrado b) Número de bacterias de cierto tipo, por mililitro c) Densidad de diferentes muestras de un mismo líquido d) Número de frutos de un árbol de la misma especie e) Velocidad de un vehículo al pasar por un determinado punto f) Puntuaciones obtenidas en un test por un grupo de personas g) Superficie dedicada a cierto cultivo, por hectáreas, en un municipio h) Peso de un niño al cumplir 3 años 2.- De un examen realizado a un grupo de alumnos, cuyas notas se han evaluado del 1 al 8, se ha obtenido el siguiente cuadro estadístico: Xi ni Ni fi Fi 1 4 0'08 Se pide: 2 4 (a) Acabar de rellenar la tabla estadística. 3 16 0'16 (b) Nº de alumnos que se han examinado. 4 7 (c) Nº de alumnos que han obtenido una nota superior a 3 0'14 5 5 28 (d) % de alumnos que han sacado una nota igual a 6 6 38 (e) % de alumnos que han obtenido una nota superior a 4 7 7 45 0'14 (f) Nº de alumnos que han obtenido una nota superior a 2 8 e inferior a 5. 3.- Una fábrica empaqueta en lotes de 100 unidades los tornillos que produce. Se establece un plan de inspección por muestreo consistente en examinar, de cada lote, 20 tornillos elegidos al azar y rechazar el lote si de los 20 aparecen más de 4 defectuosos; almacenar el lote como “revisable” si el número de defectuosos es menor que 5 pero mayor que 1, y aceptarlo en otro caso. Se inspeccionan 52 lotes y resulta el siguiente número de tornillos defectuosos de cada muestra: 1 2 4 3 2 0 9 2 0 2 0 0 4 3 0 2 0 1 6 5 2 0 0 1 0 3 2 0 7 1 4 3 0 2 1 0 4 3 0 7 1 0 0 3 2 0 1 0 5 2 0 1 a) Construye la tabla de frecuencias absolutas y relativas del resultado de la inspección b) Dibuja el diagrama de barras para los resultados de la inspección c) Dibuja el diagrama acumulativo de frecuencias Agrupa los resultados por lotes: Rechazados, revisables y aceptados y: d) e) f) g) h)

Construye la tabla de frecuencias para los lotes Determina la proporción de lotes rechazados Representa la distribución de frecuencias mediante un histograma Dibuja el diagrama acumulativo de frecuencias Comenta las diferencias entre los resultados de los apartados c) y g)

Tema 2

1/1

Problemas de Estadística Descriptiva

Tema 3 1.- El salario medio por semana en miles de pesetas de 160 obreros se distribuye de la siguiente forma: Intervalos

ni

4-8 8 - 12 12 - 16 16 - 20 20 - 24 24 - 28 28 - 32 32 - 36

3 12 40 47 32 13 9 4

Se pide: (a) Calcular la media aritmética. (b) Sea Ui = (Xi-18)/4, calcular la media de la variable U y, a partir de ella, la media de la variable X (cambio de origen y escala). (c) Realizar una redistribución en la que los intervalos tengan una amplitud de 8, y con los nuevos intervalos, calcular la media aritmética. Comparar los resultados obtenidos con los del apartado (a) (d) Realizar el histograma en los dos casos.

2.- Analizar el siguiente comentario: "La mejor medida de tendencia central es la media aritmética, por eso la utilizaremos siempre salvo que no se conozcan los valores extremos de la variable" 3.- Supongamos que desde hace 5 años una empresa gasta cada Navidad la cantidad total de 100.000 ptas. en regalar presentes a sus clientes. Si los precios de ese presente han sido durante los 5 años: 400; 500; 750; 800 y 1.000 ptas respectivamente, calcular el coste promedio por cliente para el periodo de 5 años. 4.- El precio del pan sufrió los siguientes incrementos: del 7% de 1990 a 1991, del 6% de 1991 a 1992, del 4% de 1992 a 1993, del 3% de 1993 a 1994 y de 1994 a 1995. ¿Cuál es el incremento medio anual de 1990 a 1995? 5.- Si invertimos 100.000 pesetas durante 10 años a los siguientes intereses: 3%, 5%, 6%, 9%, 8%, 5%, 5%, 4%, 3%, 3%. Calcular: (a) El capital medio durante esos 10 años (b) El interés medio durante esos 10 años 6.- Dada la siguiente tabla estadística: Nº de horas de estudio:

Xi

Nº de alumnos:

ni

3

4

5

5 15 20 Se pide: 1.- Hallar las medias: a) armónica, b) geométrica, c) aritmética. 2.- Comprobar la relación: Ma ≤ Mg ≤ X

8

2

Tema 3

1

2

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Problemas de Estadística Descriptiva 7.- Con motivo de la venta de una casa, un agente inmobiliario estableció que el ingreso medio en la zona era de 2.000.000 pts, sin embargo, en una reunión de protesta de contribuyentes de la zona (donde él también reside) afirmó que el ingreso más común era de 1.200.000 pts ¿Puede explicarse esta aparente contradicción?¿es necesariamente deshonesto ese agente?

8.- Suponemos que el ingreso anual disponible de los 5 millones de habitantes de cierto país tienen una media de 4.800 $ y una mediana de 3.400 $. (a) ¿Cuál es el ingreso nacional disponible total anual? (b) ¿Cuál considerarías que es el ingreso anual disponible del "habitante tipo"? 9.- La distribución de las acciones de una determinada sociedad viene dada de la siguiente forma: Número de Número de acciones accionistas 0 - 20 10 20 - 28 32 28 - 32 50 32 - 48 8 Se pide: (a) El capital aproximado de la empresa, supuesto un valor nominal para cada acción de 500 pts. (b) Nº medio de acciones por accionista (c) Paquete de acciones poseídas por un mayor número de accionistas (d) En el supuesto de que en la junta general de accionistas los votos se establecen en proporción al número de acciones poseídas, ¿qué mínimo de acciones debe tener un accionista para que su poder decisorio sea mayor al de la mitad de los socios? 10.- En una zona de Madrid, la superficie de las viviendas sigue la siguiente distribución: Superficie (m2) 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 100 100 - 120

Frecuencia relativa (%) 20 25 15 25 15

Calcular:: 1.- La superficie media por vivienda. 2.- Los tipos de vivienda que dividen la distribución en cuatro partes iguales. 3.- El tipo de vivienda más frecuente. 4.- La superficie de vivienda que no es superada por el 36% de las viviendas

Tema 3

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Problemas de Estadística Descriptiva 11.- En un supermercado, los cuatro artículos más vendidos, han originado en determinado mes los beneficios totales (en miles de pesetas) y los beneficios por unidad que se dan a continuación: Tipo de artículo vendido A B C D

Beneficios mensuales (miles de ptas.) 445’60 388’50 539’00 471’88

Beneficios por unidad (ptas/unidad) 200 222 196 188

Calcula el beneficio medio por artículo. 12.- El tiempo de espera de 322 pacientes, para ser atendidos en cierto ambulatorio médico, es el que se muestra en la siguiente tabla: Tiempo de espera (en minutos) [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40) [40, 45) [45, 50]

Número de pacientes 3 35 98 63 55 44 12 6 5 1

a) Calcula los cuartiles y los deciles 2 y 7 b) Si consideramos a los pacientes que esperan media hora o más, ¿Qué porcentaje representan del total? c) ¿Cuántos pacientes esperan entre 7 y 23 minutos?, ¿Qué porcentaje representan del total?

Tema 3

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Problemas de Estadística Descriptiva

Tema 4 1.- Un horno industrial venía operando con temperaturas que oscilaban entre los 80 y los 140º C. Con un nuevo sistema se ha conseguido incrementar las temperaturas habituales en 9º C. ¿En qué medida vendrían afectados el recorrido relativo a la media y el coeficiente de variación de Pearson?

2.- La superficie media de las explotaciones agrarias españolas, según el censo de 1982 es de 18'9 Ha y su desviación típica 121'6 Ha. En la comarca de "Los cantos" la superficie media de las explotaciones agrarias es de 8 Ha y su desviación típica de 5 Ha. Comparar las superficies de las explotaciones a nivel nacional y comarcal. 3.- En una zapatería se estiman unas ventas diarias de: 8 zapatos de hombre y 12 de mujer. La ganancia media en los zapatos de hombre es de 2000 pesetas, con una desviación típica de 500 ptas.; mientras que en los zapatos de mujer, la ganancia media es de 2500 ptas. con una desviación típica de 800 ptas.. a) Determina la ganancia media en cada par de zapatos y la desviación típica de la ganancia en cada venta de zapatos. b) Determina la ganancia media diaria en la zapatería, así como la desviación típica de la ganancia diaria. 4.- Los salarios por hora de los obreros de dos empresas A y B, son los que se dan en la siguiente tabla: Salarios [550,750) [750,1050) [1050,1550) [1550,2550)

Empresa A 10 32 57 54

Empresa B 7 20 37 78

Determinar: (a) El salario medio de las dos empresas (b) El salario más frecuente de las dos empresas (c) ¿Cuál es el salario que no es superado por el 50% en las dos empresas? (d) ¿Cuál de las dos empresas tiene mayor homogeneidad salarial?, ¿por qué? 5.- Un experto en estándares de trabajo observa el tiempo que se requiere para preparar una muestra de 10 cartas de negocios en una oficina y obtiene los siguientes resultados: 42, 5, 5, 9, 7, 5, 12, 13, 12 y 10 minutos. Se pide: (a) Determinar la media, la mediana y la moda de esos 10 tiempos (b) ¿Cuál de las tres medidas de posición central calculadas te parece más representativa en este caso? (c) ¿Dirías que esas 10 observaciones son valores dispersos? ¿por qué?

Tema 4

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Problemas de Estadística Descriptiva 6.- Cierto conjunto de personas se divide en dos grupos A y B, y se mide luego la estatura de los componentes de cada grupo. La media de las estaturas y la varianza de cada grupo son las que se dan a continuación: Grupo Media Varianza A 1’76 m 0’06 m2 B 1’80 m 0’04 m2 Si la media de estaturas del conjunto de los dos grupos es de 1’77m. a) ¿En qué proporción están los tamaños de los grupos A y B b) ¿Cuál es la varianza del conjunto? 7.- Razona la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) El intervalo modal de una distribución agrupada en intervalos es aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. b) Si los precios de los productos lácteos aumentan en un 10%, la varianza de esos precios aumentará en un 21%

Tema 4

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Problemas de Estadística Descriptiva

Tema 5 1.- Los siguientes datos corresponden al número de días de trabajo perdidos por enfermedad durante el cuarto trimestre del año por los 35 empleados de una gestoría: 2 1 0 1 1 3 0 0 2 7 5 0 1 3 0 0 4 1 2 4 0 5 3 0 6 0 4 0 2 6 2 3 0 1 1 Estudiar la forma y concentración (asimetría y curtosis) de la variable que mide el número de días de trabajo perdidos por enfermedad por esos 35 empleados 2.- Un informe de 40 páginas presenta la siguiente distribución de errores de mecanografiado: Errores por página

0

1

2

3

4

5

6

Nº de páginas 3 8 9 10 7 2 1 Estudiar la forma y la concentración de la variable que mide el número de errores de mecanografiado 3.- En una empresa trabajan 20000 productores, cuyos salarios, según categorías, son: salarios (miles de ptas) 10-20 20-40 40-50 50-100 100-200 a) b) c) d) e) f)

Nº de productores 12000 6000 1000 800 200

Dibuja la curva de Lorenz y comenta la concentración en el reparto de la masa salarial Calcula el índice de concentración de Gini. ¿Qué parte de la nómina recibe el 60% de los productores peor pagados? ¿Qué parte de la nómina recibe el 5% de los productores mejor pagados? ¿Qué porcentaje de productores reciben el 81’8% de los salarios? ¿Qué porcentaje de productores reciben el 50% de los salarios?

4.- Los salarios de los 50 trabajadores de una empresa se recogen en la siguiente tabla: Salario (miles) 85 100 110 115 150 185 250 Nº trabajadores 6 7 12 11 8 4 2 a) Calcula el coeficiente de asimetría de Fisher. b) ¿La masa salarial de la empresa, está repartida de forma equitativa?, ¿por qué?

Tema 5

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Problemas de Estadística Descriptiva

5.- Una compañía de seguros ofrece determinadas coberturas, previa suscripción de la correspondiente póliza cuya prima anual está estipulada según la edad del beneficiario. En cierta comarca, el número de pólizas suscritas para cada tramo de edad es el que se da a continuación: Edad (años)

[15,25)

[25, 35)

[35, 45)

[45, 55)

[55, 65]

Nº de pólizas

34

211

332

422

194

a) Calcula la diferencia entre los percentiles 7 y 93 de la distribución de las edades de los beneficiarios de las pólizas b) Calcula la dispersión respecto a la media de las edades c) Calcula el coeficiente de asimetría de Pearson y el coeficiente de asimetría de Fisher, ¿Cuál es más fiable?, ¿por qué? 6.- Se dispone de la siguiente información respecto a las ganancias medias mensuales de los trabajadores de un sector en un determinado país: Ganancias medias mensuales (miles de u.m.) número de trabajadores (en miles)

25-30

30-40

40-50

50-60

34

211

332

422

60-80 80-100 472

194

a) Dibuja la curva de Lorenz e indica si hay concentración salarial en el sector b) ¿Qué porcentaje de la masa salarial se distribuyen el 60% de los trabajadores que menos ganan? c) ¿Qué porcentaje de los trabajadores que menos ganan, se distribuyen el 60% de la masa salarial total?

Tema 5

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Problemas de Estadística Descriptiva Tema 6 1.- En una encuesta en la que se ha entrevistado a 480 familias, se han obtenido para las mismas los siguientes datos sobre ingresos mensuales (X) y depósitos a la vista en Bancos y Cajas de Ahorros (Y): Intervalos de Y 0 - 200.000 Intervalos de X 50.000 - 100.000 100.000 - 150.000 150.000 - 250.000 250.000 - 500.000

40 16 8 4

200.000 - 500.000

12 48 80 40

500.000-2.000.000

2.000.000-10.000.000

8 12 92 72

4 20 24

Suponiendo que las marcas de clase son representativas de cada intervalo: (a) Calcular los valores que toman n1., n2., n.2 y n.3 (b) Expresar, en tanto por uno, los valores que toman: f12, f23, f34, f42, f2., f3., f.2 y f.4. (c) Expresar, en porcentaje, los valores que toman: f13, f21, f32, f44, f1., f3. y f.4. (d) Expresar, en tanto por uno, los valores que toman: f(X = 75.000 / Y = 350.000) f(X = 125.000 / Y = 1.250.000) f(Y = 100.000 / X = 375.000) f(Y = 350.000 / X = 200.000) (e) Expresar, en porcentaje, los valores que toman: f(X = 200.000 / Y = 1.250.000) f(X = 375.000 / Y = 6.000.000) f(Y = 350.000 / X = 375.000) f(Y = 1.250.000 / X = 200.000) 2.- Cierta fundación ha concedido 15 becas, distribuidas de la siguiente forma: Y 1 2 3 4 X 2 1 5 1 2 3 -2 3 1 X=”número de investigadores” Y=”millones de pesetas concedidos”. Calcula: a) Porcentaje de becas de becas de 3 millones y 2 investigadores b) Porcentaje de becas de 3 millones c) De las becas con 2 investigadores, porcentaje de las de 3 millones 3.- De una muestra de 24 puestos de venta en un mercado de abastos se recogía información acerca de: X = número de balanzas Y = número de vendedores. Y Obtener: 1 2 3 4 X 1 1 2 (a) Distribución de frecuencias absolutas y relativas del 3 1 2 3 1 número de balanzas (X) condicionado a que el número de 5 1 2 6 vendedores sea superior o igual a tres (Y ≥ 3) 7 2 3 (b) Calcular el número medio de balanzas con esa condición. (c) Después de una remodelación de dicho mercado, las variables X e Y han sufrido las X +1 siguientes modificaciones: X' = Y' = 2 Y 2 ¿Cómo se habrán modificado las varianzas y la covarianza? Tema 6

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Problemas de Estadística Descriptiva

4.- En una población se tomaron datos de diferentes características, siendo dos de ellas: el número de hijos y la distancia en Km. desde el domicilio familiar hasta el lugar de trabajo, para las cuales se obtuvo la siguiente tabla de frecuencias: D 0-2 2-4 4-6 H 24 4 8 0 6 1 2 1 12 2 4 2 a) Determinar el porcentaje de casos en los que una familia tiene 2 hijos y vive a más de 2 Km. de su lugar de trabajo b) Determinar el porcentaje de casos en los que una familia tiene 2 hijos, dado que vive a más de 2 Km. de su lugar de trabajo c) Determinar la distancia media al lugar de trabajo de las familias con 2 hijos d) Dibujar el histograma para la variable que se considere más conveniente. e) Determinar el valor de la mediana para ambas variables. f) Estudiar la dispersión absoluta y la dispersión relativa de las dos variables y comentar los resultados. g) ¿Es independiente la distancia desde el domicilio al lugar de trabajo del número de hijos?

5.- Se ha encuestado a 100 familias en una ciudad, sobre su gasto mensual en ocio (Y), y sus ingresos mensuales (X). Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla, donde los ingresos y los gastos están expresados en miles de pesetas. Y X [60,100] (100,150] (150,200] (200,300]

[0,2] 4 9 9 6

(2,8] 1 8 12 9

(8,20] 1 3 20 12

(20,80] 0 0 3 3

a) ¿Qué porcentaje de las familias con ingresos no superiores a 150000 pesetas, gasta en ocio más de 8000?. b) Explica cuál de las dos distribuciones marginales es más homogénea. c) Razona si X e Y son estadísticamente independientes. d) ¿Cuál es el ingreso más común? e) Calcula el coeficiente de correlación lineal entre ambas variables y explica lo que representa ese valor. f) Determina si es equitativa la distribución de los ingresos de las familias cuyo gasto en ocio es superior a 8000 pesetas. g) Obtén los valores que determinan el gasto en ocio del 70% central de las familias cuyos ingresos no superan las 200000 pesetas

Tema 6

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Problemas de Estadística Descriptiva

Tema 7 1.- En un mercado de una ciudad se han observado durante 6 días consecutivos las cantidades de sardinas vendidas en cientos de Kilogramos (C) y el precio correspondiente en ptas/kg (P). A partir de dichos datos se han elaborado los siguientes resultados: 6

∑

6

∑

Ci = 21

i= 1

6

Pi = 840

i= 1

∑

i= 1

6

Ci Pi = 2.730

∑

Ci2 = 91

i= 1

6

∑ Pi2 = 120.200 i= 1

Se pide: 1.- Calcular a y b en la recta de regresión C*= a + bP. 2.- Calcular la varianza de C y su descomposición en la varianza explicada por la regresión y varianza residual. 3.- Calcular el coeficiente de determinación . 4.- Para un precio de 100 ptas/kg, ¿qué valor estimarías para la cantidad de sardinas vendidas? 2.- Dada la siguiente tabla, correspondiente a 50 observaciones conjuntas de 2 productos sustitutivos. Se pide: (1) Calcular la covarianza y la recta de regresión de Y/X (2) Si los precios hubieran experimentado una variación del tipo Y' = 0'8 Y y X' = 10 + 1'1 X, manteniéndose la misma distribución de frecuencias, ¿cuál sería la covarianza entre X' e Y'? ¿y la recta de regresión de Y'/ X'?

X = precio del artículo A Y = precio del artículo B Y X 60 70 80

80 7 3 -

90 8 12 2

96 2 8 8

3.- En una población se ha procedido a realizar 100 observaciones sobre la pareja de variables X e Y, habiéndose obtenido los siguientes resultados. Yi

Xi

4 5 4 5 6 5 6 7 6 7

1 1 2 2 2 3 3 3 4 4

Frecuencias (ni) 3 8 2 10 18 6 12 19 6 16

Se pide: 1.- Estimar los parámetros de la recta de regresión de Y/X. 2.- Estimar los parámetros de la recta de regresión de X/Y. 3.- Calcular el coeficiente de determinación lineal simple entre X e Y. 4.- Calcular la varianza residual en la regresión de Y/X. 5.- Calcular la varianza residual en la regresión de X/Y. 6.- Representar gráficamente ambas rectas de regresión.

4.- A partir de un conjunto de datos sobre las variables X e Y se ha calculado la regresión de Y sobre X, obteniéndose los siguientes resultados: R 2 = 0'9 y X = 20 Y* = 10 + 0'45 X Estimar los parámetros de la recta de regresión de X sobre Y. Tema 7

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Problemas de Estadística Descriptiva 5.- Para un sector productivo integrado por siete empresas se han obtenido los siguientes estadísticos, referidos a las variables producción (P) medida en miles de toneladas y empleo (C) medido en cientos de trabajadores. 7

P = 63'55

C = 46'71

∑

7

∑

ci pi = 5361'06

i= 1

2 pi = 14654'78

i= 1

7

∑ ci2 = 1976'23 i= 1

Las letras mayúsculas hacen referencia a valores originales y las letras minúsculas a desviaciones respecto a las medias. a) Calcular a y b en la recta de regresión P* = a + bC. b) Representar gráficamente dicha función. c) Estimar la varianza residual. d) Estimar el coeficiente de determinación. e) Estimar la productividad marginal del sector por persona empleada. f) ¿Qué productividad media en tm/empleado estimarás para una empresa con 10.000 empleados?

6.- Supongamos que después de un análisis teórico se ha llegado a la conclusión de que el modelo que relaciona la demanda de un bien (Y) respecto a la renta disponible (X) debe tener la siguiente especificación: Yi = b Xi + ei es decir, la relación es lineal, pero sin término independiente. Para su contrastación se dispone de los siguientes datos, observados en 5 familias: Yi 3 9 11 18 24 Xi

10

20

30

40

50

Se pide: (1) Estimar b, por ajuste minimocuadrático, teniendo en cuenta en el ajuste la restricción a priori de que el término independiente sea igual a 0. (2) Cuando se introduce esta restricción en el ajuste, comprobar si se cumple: Y = Y * 2 *2 2 Yi = Yi + ei (3) Comprobar si se cumple: (4)

∑ ∑ ∑ 2 * * 2 2 Comprobar si se cumple: ∑ (Yi − Y ) = ∑ (Yi − Y ) + ∑ ei

(5) Calcular, para estudiar la bondad del ajuste, el coeficiente de determinación según: 2

R =

σ 2y

2

σ xy R = 2 2 σxσ y

*

2

y σ 2y ¿Se obtienen resultados diferentes? En caso afirmativo, ¿a qué se deben estas discrepancias?

7.- Estudiando el mercado de un cierto producto de consumo se ha reunido la siguiente información sobre los consumidores: C ( consumo en 104 pts) R ( renta en 104 pts)

1'6

1'7

2'0

2'1

2'2

2'5

2'6

2'0

2'1

2'4

2'4

2'5

2'8

3'0

Ajustar una función de consumo potencial del tipo: C* = a Rb

Tema 7

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Problemas de Estadística Descriptiva 8.- Tenemos el siguiente conjunto de datos: Xi Yi

1

1

2

3

3

120

90

85

60

85

Ajustar una función exponencial del tipo: Y* = a bX 9.- Sean dos variables X e Y, de las que conocemos σ x = 5, rxy = Y = 40. Se pide la varianza de la variable X - Y.

1 8,

CVy = 0'1, X =15,

10.- Suponer que un analista toma una muestra de 100 embarques enviados por camión de una compañía y registra la distancia en miles de km (D) y el tiempo de entrega en días (T). Realizados unos cálculos los resultados obtenidos son los siguientes: 100

∑ D =76'2 i

i =1

100

∑ T =285 i

i =1

100

∑ D T =263'7 i

i

i =1

100

∑D

i

100

2

∑T

=71'043

i =1

2 i

=997'5

i =1

Se pide: * (a) Determinar la recta de regresión minimocuadrática Ti = a + b.Di (b) Si se sabe que un embarque registra una distancia de 700 km, ¿qué valor estimarías para su tiempo de entrega? (c) Calcular el coeficiente de correlación lineal (d) Calcular el coeficiente de determinación (e) Estudiar detalladamente la veracidad de las siguientes afirmaciones (e.1) La relación entre D y T es creciente porque el coeficiente de determinación es positivo (e.2) El 10% de la varianza de la variable T no está explicado por la regresión (e.3) Si un embarque aumenta su distancia en 1.000 km, el tiempo de entrega incrementa en un 3'58% (e.4) Si se cambian las unidades de medida de la variable distancia, su media no varía (e.5) Si se cambian las unidades de medida de la variable distancia, la fiabilidad de la regresión no varía 11.- En una empresa se dispone de los siguientes datos sobre los diferentes niveles de producción y los costes de producción unitarios correspondientes a los mismos. Niveles de producción (miles de unidades) Costo unitario (pesetas) a) b) c) d)

1 3250

1,5 1250

1,8 1000

2,1 825

3 450

Ajusta a los datos, considerando el coste unitario como variable dependiente, en un modelo del tipo: Y * = a.b X . Determina la bondad de este ajuste. Comenta lo que haces y por qué. ¿Cuál será el costo unitario de producción para un nivel de producción de 2500 unidades? ¿Cuál será el incremento porcentual del costo unitario, para un nivel de producción de 2000 unidades si este nivel se incrementa en un uno por ciento?

Tema 7

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Problemas de Estadística Descriptiva 12.- Dados los siguientes datos sobre los tiempos (en minutos) empleados por 8 trabajadores en la producción de un determinado artículo, y el beneficio (en pesetas) obtenido en cada caso: Tiempo 1’0 1’2 1’6 2’0 2’5 4’0 6’0 8’0 Beneficio 8’0 7’5 7’0 6’5 6’2 6’0 5’5 5’25 b considerando el a) Ajusta a estos datos una función hiperbólica de la forma: Y = a + X beneficio como variable dependiente b) Determina el beneficio previsto para un trabajador cuyo tiempo es de 3 minutos. ¿Es fiable este resultado c) Supongamos que el empleado que tarda 2 minutos tiene un problema físico y su tiempo aumenta en un 1%, ¿En qué porcentaje variará el beneficio estimado en su caso?

13.- Después de realizar un ajuste lineal para estimar los beneficios (B) de un determinado negocio, en términos de la inversión realizada (D), utilizando regresión minimocuadrática, se han obtenido los siguientes resultados: B* = 0'3 + 1'9.D

con R 2 = 0'8595

y

D = 15

a) Determina la recta de regresión que nos indica la cuantía de la inversión para obtener un determinado beneficio. b) Para una inversión de 3 unidades, ¿cuál será el beneficio estimado? c) Si la inversión anterior, de 3 unidades, aumenta en un 1%, ¿en qué porcentaje aumentará el beneficio estimado?

Tema 7

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Problemas de Estadística Descriptiva Tema 8 1.- Las cantidades consumidas y los precios de ciertos productos lácteos son los siguientes: Precios Artículos

1.986

Cantidades 1.987

1.986

1.987

Leche 70 pts/l 75 pts/l 1.000 l 1.000 l Queso 1.000 pts/kg 1.200 pts/kg 30 kg 40 kg Mantequilla 800 pts/kg 820 pts/kg 40 kg 50 kg Calcular los índices de precios y cantidades de Laspeyres, Paasche, Edgeword y Fisher con base 1.986 2.- En unos almacenes, las cifras de ventas anuales para el periodo 1.982/1.986, expresadas en porcentajes, en relación con las del año anterior fueron: Años 1.982 1.983 1.984 1.985 1.986

t It−1

118 104 98 96 106

Sabiendo que en el año 1981 las ventas alcanzaron los 1.000 millones de pts, determinar: (a) Las cifras de ventas para 1982 a 1986 (b) El índice de ventas con base 1981

3.- Un garaje ha experimentado en los últimos cuatro meses los siguientes cambios en su clientela: 1er mes 2o mes 3er mes 4o mes C1 124 126 130 129 64 62 64 65 C2 536 524 520 530 C3 C1 ≡ Coches a pupilaje (todo el día) C2 ≡ Coches a pupilaje (excepto noches) C3 ≡ Coches por aparcamiento (a horas) Asignando pesos ponderativos de 8 para C1, 4 para C2 y 1 para C3, calcular, con base al último mes observado, el índice de la media aritmética y el de la media agregativa.

Siendo:

4.- En 1984 la producción de un mineral creció un 40% sobre la de 1983. En 1985 la producción estaba un 20% por debajo de la de 1984, pero un 16’67% por encima de la de 1986. Determina las relaciones de producción para los años, desde 1983 a 1986, tomando como base 1986.

Tema 8

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Problemas de Estadística Descriptiva

5.- Una magnitud económica aumenta, entre el año 0 y el año 1, en un 30%, entre el año 1 y el año 2 en un 20% y ha disminuido entre el año 2 y el año 3 en un 40%. Obtener la serie de números índices para esta magnitud con base el año 0.

6.- Las siguientes series corresponden a los beneficios distribuidos por una sociedad y al índice del coste de la vida, con base 1.976. Año

Beneficios distribuidos

1.980 1.981 1.982 1.983 1.984

Indice del coste de la vida (base 1.976)

2.634.125 3.046.829 3.335.610 3.886.184 4.254.207

170 180 206 219 226

Se pide: (1) Supuesto que la fórmula del índice del coste de la vida admita la transferibilidad, expresar la serie en base 1.980. (2) Presentar los índices de beneficios con base 1.980, en términos monetarios y en términos reales.

7.- El precio medio de los automóviles de menos de 1.200 c.c., así como los índices de precios, en el período 1980-1986, fueron los siguientes: Año 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986

Precio (en 105 ptas.) 7'6 8'0 8'5 9'1 9'8 11'4 12'3

índice de precios 110 117 125 132 140 148 155

(a) Realizar un estudio comparativo de los precios de los automóviles en términos constantes de 1980. (b) Si estos automóviles sufren en 1987 un incremento en sus precios, en términos constantes, del 6%, y el índice de precios se incrementa en un 5%, ¿Cuál sería el valor de un coche en pesetas corrientes de ese año? (c) Suponiendo que en 1986 los índices cumplen la propiedad de reversibilidad de los factores, y sabiendo que el índice de valor de 1986 con base en 1980 es 168, ¿qué variación, para 1986, en % respecto a 1980, se ha producido en la cantidad de coches con menos de 1200 c.c. que salen al mercado?

Tema 8

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Problemas de Estadística Descriptiva

8.- Las tres salas de cine de una empresa presentan, de lunes a domingo, las siguientes cifras de asistencia en la tercera semana de Septiembre: Número de espectadores Sala 1 Sala 2 Sala 3

Día lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo

210 320 330 330 420 430 450

190 190 220 330 380 400 420

110 130 140 140 150 190 230

Expresar, para cada uno de los días de la semana, con base en el domingo: (a) Los índices de la media agregativa y de la media aritmética de la asistencia en los tres cines de la empresa. (b) Si el precio de la entrada es de 300 ptas. en las salas 1 y 3 y de 200 ptas. en la sala 2, calcular los índices de recaudación de la empresa.

9.- El análago al IPC español en un cierto país es, en 1986, un 8% mayor que en 1985, un 12% mayor que en 1984 y un 4% menor que en 1987. Se pide: (a) Calcular la serie de números índices de precios de 1984 a 1987 con base 1984 (b) Si el índice de valor en 1987 con base 1984 de los artículos que configuran la cesta de la compra para la realización de ese índice es 108. Calcular, suponiendo que se cumple la propiedad de reversibilidad de los factores, el porcentaje de variación de las cantidades de dichos artículos de 1984 a 1987 (c) Si un individuo cobró en 1984 1.150 u.m. y en 1987 1.300 u.m., ¿crees que dicho individuo habrá ganado poder adquisitivo? ¿por qué?

10.- En la tabla siguiente se dan los salarios anuales en miles de pesetas de cierta categoría de empleados, así como los índices de precios al consumo en el mismo periodo. Año

IPC base 79

Salarios

1988 1989 1990 1991 1992 1993

169'2 173'8 178'6 184'7 189'8 194'7

2.043 2.125 2.252 2.393 2.513 2.561

(a)

(b)

(c)

Se pide: (a) Calcular los índices, con base 1988, que miden la variación de los salarios (b) Calcular los índices de precios de consumo con base 1988 (c) Calcular los salarios en pts constantes de 1988 (d) En términos constantes, ¿cuál ha sido la variación de los salarios de 1992 a 1993?

Tema 8

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Problemas de Estadística Descriptiva

11.- Los datos de que disponemos sobre el IPC de un determinado país, son los siguientes: en 1990 era 120; en 1991, 132; en 1992 el incremento anual fue del 9%; en 1993 el incremento fue del 7% y en 1994 fue del 6%. Explicando qué propiedades de los números índices utilizas, responde a lo siguiente: a) Obtén la serie completa con base en 1990. b) Si un alquiler se pactó en 60000 u.m. en el año 1991 con una cláusula de revisión según el IPC, ¿cuánto se pagó en 1992? c) El alquiler pactado en 1991, a qué cantidad equivaldría en el año 1994? d) Si para los artículos de la cesta de la compra, el índice de valor para el año 94 con base en el año 92 es 115, ¿Cuál será el índice de cantidad en el mismo período? 12.- La siguiente tabla muestra los índices de precios en un determinado país Año IPC

1990 134’7

1991 160’1

1992 174’9

1993 183’0

1994 194’2

1995 209’3

1996 235’6

1997 268’8

a) Obtén la serie de índices de precios con base en el año 1990 b) Obtén la serie de índices de precios tomando como base (período de referencia) la media aritmética de los índices de los años 1993 a 1995 c) Determina el poder adquisitivo de una unidad monetaria cada uno de los años de este período (toma como referencia el año 1990) d) Si en 1990 se hace una inversión de 100u.m. en 1993 otra de 150u.m. y en 1995 otra de 200u.m., ¿a cuánto equivale la inversión en términos monetarios de 1997?

Tema 8

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Problemas de Estadística Descriptiva

Tema 9 1.- El nº de viajeros que han utilizado el ferrocarril para trasladarse de las ciudades A a B durante el periodo 1964/1970 ha sido: Año Semestre 1º 2º

1964 0 58 86

1965 1 62 92

1966 2 68 96

1967 3 73 101

1968 4 78 110

1969 5 82 118

1970 6 87 123

(a) Calcula la tendencia por el método de las medias móviles (b) Con los datos agregados anuales, calcular la ecuación de la tendencia supuesta ésta lineal, mediante ajuste mínimo cuadrático. También los valores para los dos semestres de los siete años (c) Supuesto modelo multiplicativo, se ha obtenido que la tabla que contiene las componentes estacional e irregular es la siguiente: Año Semestre 1º 2º

1964 0 1'1781

1965 1 0'8212 1'1720

1966 2 0'8395 1'1532

1967 3 0'8513 1'1445

1968 4 0'8501 1'1579

1969 5 0'8367 1'1654

1970 6 0'8386 -

Obtén los índices de variación estacional e interprétalos. (d) ¿Cuál será la predicción para el 2º semestre del año 1971? 2.- Dada la siguiente tabla cronológica, halla su tendencia secular por el método de las medias móviles de orden 3 y por el ajuste a una función matemática temporal. Compara gráficamente los resultados. ti

1951

1952

1953

1954

1955

1956

1957

1968

1959

1960

Yi

19

21

17

15

14

15

14

12

14

13

3.- En la tabla que sigue se dan las ventas en una industria textil en el periodo 1975/1980: Años Tendencia

1975

1976

1977

1978

1979

1980

50.000

54.000

58.000

62.000

66.000

70.000

Se pide: (a) Determinar la ecuación lineal de tendencia anual de esta serie tomando como origen el año 1975. Estimar también el valor de la tendencia para las ventas en el año 1982 (b) Cambiar el origen de la ecuación de tendencia de 1975 a 1978 y utilizando la ecuación de tendencia modificada estimar las ventas de 1982. (c) Cambiar la ecuación de tendencia a base mensual con origen enero de 1975 y determinar el valor de tendencia para los 12 meses de 1982. (d) Suponiendo que el índice de variación estacional de junio es 1'2, ¿cuál es el valor esperado de ventas para junio de 1981?

Tema 9

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Problemas de Estadística Descriptiva 4.- Se sabe que la variable Y en el tiempo tiene una tendencia lineal, pero de ella sólo se conocen los siguientes valores: Años

1952

Y

1953

1954

4

1955

1956

8

7

1957

1958

1959

1960

10

1961

1962

11

11

Estima los valores desconocidos. 5.- Halla el coeficiente de autocorrelación de la siguiente serie cronológica: t

1

2

3

4

5

6

Y

2

0

5

4

2

3

(1) Tomando un retardo de 1 año (2) Tomando un retardo de 2 años 6.- La cuantía de las imposiciones a plazo inferior a dos años en una sucursal de Caja de Ahorros es, desde 1973: Año

t

1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Millones de pts 34 35 37 39 38 42 46 47 51 57 55 60

Se pide: (a) Calcular la ecuación de tendencia lineal anual. (b) Obtener el valor de tendencia para el segundo semestre y el segundo cuatrimestre de 1975 (c) Sabiendo que el I.P.C. del año 1983 con base 1973 es 466'4 y el I.P.C. del año 1984 con base 1983 es 111'3, obtener la cuantía de las imposiciones a plazo en pesetas constantes de 1973 para el año 1984.

7.- Detallar la validez de las siguientes afirmaciones: (a) Si el índice de salarios de 1995 respecto a 1990 es 125, el de 1990 respecto a 1995 es 80 (b) Si un índice de precios industriales, con base 1985, era en 1989 de 128 y en 1995 de 192, significa que de 1989 a 1995 ha habido un incremento del 64% (c) Si el salario de un individuo en 1992 fue de 3 millones de pts, tuvo un aumento de un 5% en 1993 y el IPC de 1993 con base 1992 fue 106, el poder adquisitivo del individuo disminuyó de 1992 a 1993 (d) Los índices de Laspeyres, Paasche y Fisher cumplen la propiedad de reversibilidad de los factores (e) La componente estacional mide la variación que experimenta la serie a largo plazo

Tema 9

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