5 Laser Laser= Light amplification by stimulated emission of radiation. Der Laser feierte 2010 seinen 50. Geburtstag!

5.1 Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung Spontane Emission

Induzierte Absorption E2

Stimulierte Emission E2

hn = E2-E1

hn = E2-E1

E1

E2 hn = E2-E1

E1

E1

Abbildung 5.1: Elementare Wechselwirkungsprozesse zwischen einem Zweiniveau-System und einem Strahlungsfeld.

Betrachte elementare Wechselwirkungsprozesse zwischen einem Ensemble von ZweiniveauSystemen und einem resonantem Strahlungsfeld. • Zweiniveau-System: – Energie-Niveaus E1 < E2 – Besetzungszahldichten N1 , N2 – Entartungsgrade g1 ,g2 • Strahlungsfeld: – Photonenergie hν = E2 − E1

5-1

5 Laser – Energiedichte u(ν) Zahl der Übergange 2 → 1 durch spontane Emission: sp dN21 = N2 A21 dt.

(5.1.1)

Zahl der Übergange 1 → 2 durch induzierte Absorption: ind dN12 = N1 u(ν)B12 dt.

(5.1.2)

Zahl der Übergange 2 → 1 durch stimulierte Emission: ind = N2 u(ν)B21 dt. dN21

(5.1.3)

Einsteinkoeffizienten: A21 , B12 , B21 . Ratengleichungen für Besetzungszahldichten: dN1 = −N1 u(ν)B12 + N2 u(ν)B21 + N2 A21 . dt

(5.1.4)

dN1 dN2 =− . dt dt

(5.1.5)

Physikalische Bedeutung: A21 = 1/τsp ist die reziproke Lebensdauer des angeregten Zustands ohne äußeres Feld (u(ν) = 0).

dN2 = −N2 A21 ⇒ N2 (t) = N2 (t = 0)e−A21 t = N2 (t = 0)e−t/τsp . dt

(5.1.6)

Betrachte thermisches Gleichgewicht: dN1 dN2 =− = 0. dt dt

(5.1.7)

Besetzung der Energieniveaus ist durch Boltzmann-Verteilung gegeben: N2 g2 − E2 −E1 = e kb T . N1 g1

(5.1.8)

Die spektrale Energiedichte folgt dem Planckschen Strahlungsgesetz: u(ν, T ) =

5-2

ν3 8πh c3 e khν BT − 1

(5.1.9)

5.1 Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung -15

1.6

x 10

T=5800 K T=3000 K T=2700 K

Plancksche Energiedichte (J s m-3 )

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

2

4

6

8 -1

Frequenz (s )

10

12 14

x 10

Abbildung 5.2: Graphische Darstellung des Planckschen Strahlungsgesetzes für drei verschiedene Schwarzkörpertemperaturen.

Folgende Gleichung muss für alle Temperaturen erfüllt sein: N2 A21

ν3 8πh g1 hν = N2 3 B12 e kb T − B21 hν c e kB T − 1 g2

!

(5.1.10)

Damit: g1 B12 = g2 B21

(5.1.11)

und A21 =

8πhν 3 B21 . c3

(5.1.12)

Diese Beziehungen gelten allgemein, nicht nur im thermodynamischen Gleichgewicht.

5.1.1 Kleinsignalverstärkung im Resonator Betrachte wieder Wechselwirkung zwischen einem Ensemble von Zweiniveau-Systemen und einem resonantem Strahlungsfeld.

5-3

5 Laser Berücksichtige jetzt endliche Linienbreite ∆ν der Spektrallinie über Linienformfunktion: Z

0

∞

g(ν)dν = 1

(5.1.13)

mit 1 g(ν0 ) = gmax ; g(ν0 ± ∆ν/2) = gmax 2

(5.1.14)

ν = ν0

Linienformfunktion g(ν)

Resonator-Moden

Δν

Spektrallinie νR Frequenz (ν)

Abbildung 5.3: Schematische Darstellung der Linienformfunktion g(ν).

Damit gilt für die stimulierte Absorption und Emission: ind dN12 = N1 u(ν) dν g(ν) B12 dt.

(5.1.15)

ind dN21 = N2 u(ν) dν g(ν) B21 dt.

(5.1.16)

Zeitliche Änderung der Photonendichte nγ : !

g2 dnγ = A21 N2 + u(ν) dν g(ν) B21 N2 − N1 . dt g1 Ziel für Laser: Zunahme der Photonendichte, also

dnγ dt

(5.1.17)

> 0.

Definiere Besetzungsunterschied: σ = (N2 −

5-4

g2 N1 ) g1

(5.1.18)

5.1 Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung Hinreichende Bedingung: σ > 0 ⇒ Besetzungsinversion! Starke Abweichung vom thermodynamischen Gleichgewicht. Weitere Forderung: Kohärente stimulierte Emission soll inkohärente spontante Emission deutlich überwiegen ⇒ Rückkopplung über optischen Resonator. Annahme: Resonatormoden spektral viel schärfer als Spektrallinie (δνR ≪ ∆ν). Energiedichte der Resonatormode mit Resonanzfrequenz νR = ν: uν = u(νR )δνR = hνnγ .

(5.1.19)

Zeitliche Änderung der Photonendichte in der Resonator-Mode: !

g2 dnγ = A21 N2 + (hνnγ ) g(ν) B21 N2 − N1 . dt g1

(5.1.20)

Änderung von uν beim Durchlaufen des Lasermediums bei Vernachlässigung der spontanen Emission: !

duν hν g2 = uν (z)g(ν)B21 N2 − N1 . dz c g1

(5.1.21)

Mit den Beziehungen zwischen den Einstein-Koeffizienten folgt: duν = γ(ν)uν (z) dz

(5.1.22)

mit dem Verstärkungsfaktor !

g2 c2 N − N1 . γ(ν) = g(ν) 2 8πν 2 τsp g1

(5.1.23)

γ(ν) wird auch Kleinsignalverstärkung genannt. Beispiel: Abschätzung des Verstärkungsfaktors für das Maximum der Emissionslinie eines Rubinlasers Rubin (Al2 O3 , dotiert mit Cr3+ ) ν0 = 4.326 · 1014 Hz ⇒ λ = 694.3nm τsp = 3ms n=1.78

5-5

5 Laser

−12 g(ν s  0 ) ≈ 1/∆ν  = 5 · 10 g2 17 N2 − g1 N1 = 5 · 10 cm3 mit Blitzlampe als Pumpquelle.

Damit: γ(ν) = 0.05cm−1

5.1.2 Schwellenbedingung für Laseroszillation Betrachte jetzt Intensität: Iν (z) = cuν (z).

(5.1.24)

Beschreibe Verluste (Streuung, Absorption, etc) im Lasermedium durch Verlustkonstante α(ν) Damit: Iν (z) = Iν (0) exp((γ(ν) − α(ν))z).

(5.1.25)

Betrachte jetzt Lasermedium + Resonator: • Länge des Laserkristalls: L. • Reflexionsgrade der Spiegel. R1 und R2 . L Lasermedium

R1

R2

Abbildung 5.4: Lasermedium in Fabry-Perot-Resonator.

Ein kompletter Umlauf: Iν (2L) = Iν (0) exp((γ(ν) − α(ν))2L)R1 R2 .

(5.1.26)

Schwellenbedingung für Lasertätigkeit: Iν (2L) = Iν (0)

5-6

(5.1.27)

5.1 Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung Zugehörige Schwellenverstärkung: γthr (ν) = α(ν) −

1 ln(R1 R2 ) 2L

(5.1.28)

Schwellenbedingung für Besetzungsinversion (Schawlow & Townes): σthr =

1 8πν 2 τsp α(ν) − ln(R1 R2 ) c2 g(ν) 2L 



(5.1.29)

5.1.3 Erzeugung der Besetzungsinversion Problem: Besetzungsinversion für Laserbetrieb nur schwer für 2-Niveau-System erreichbar. Lösung: 3-Niveau-Laser und 4-Niveau-Laser. (a)

(b)

3-Niveau-Laser

4-Niveau-Laser |3>

Pumpen

|3> τ32 |2> Laser

τ21

Pumpen

τ32 |2> Laser

τ21 τ10

|1>

τ20

|1> |0>

Abbildung 5.5: Energieniveaus und Raten für (a) idealen 3-Niveau-Laser und (b) idealen 4Niveau-Laser.

Ziel: Besetzungsinversion zwischen oberen Laser-Niveau |2> und unterem Laser-Niveau |1> • Durch Energiezufuhr wird ein Teil der Atome aus dem Grundzustand |0> bzw. |1> in das Pump-Niveau |3> angeregt. • Schneller Übergang in das langlebige obere Laserniveau |2>. • Laserübergang zwischen dem oberen Laser-Niveau |2> und dem unteren LaserNiveau |1>. • 4-Niveau Laser: schneller Übergang aus dem unteren Laserniveau |1> in den Grundzustand |0>. Vorteil 4-Niveau Laser: Besetzungsinversion zwischen Laser-Niveaus selbst für fast vollständige Besetzung des Grundzustands möglich ⇒ geringe Pumpleistung nötig.

5-7

5 Laser

Beispiele: • 3-Niveau-Laser: Rubin-Laser, erste Demonstration eines Lasers, T. H. Maiman, Nature 187 493 (1960). • 4-Niveau-Laser: Nd:YAG-Laser, Emissionswellenlänge λ = 1064 nm.

5.1.4 Emittierte Leistung Annahmen: g1 = g2 und τ20 ≫ τ21 . Ratengleichungen für Laserniveaus eines 4-Niveau-Lasers: dN2 N2 =− − Wi (N2 − N1 ) + R2 dt τ21

(5.1.30)

N2 N2 dN1 =− + + Wi (N2 − N1 ) + R1 dt τ10 τ21

(5.1.31)

Hierbei ist • R2 : Pumprate des oberen Laserniveaus. • R1 : parasitäre Pumprate des unteren Laserniveaus; wirkt Besetzungsinversion entgegen. • Wi =

Iν g(ν) c2 : τsp 8π hν 3

Feld-induzierte Übergangsrate.

Stationärer Zustand (dN1 /dt = dN2 /dt = 0): N2 − N1 =

R2 (1 − (τ10 /τ21 )(1 + R1 /R2 )) Wi + 1/τ21

(5.1.32)

Effektive Pumprate R = R2 (1 − (τ10 /τ21 )(1 + R1 /R2 ))

(5.1.33)

R wird durch parasitäre Pumprate R1 und endliche Lebensdauer τ10 des unteren Laserniveaus herabgesetzt. Fallunterscheidung (stationärer Zustand):

5-8

5.1 Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung • Unterhalb der Laser-Schwelle: Wi = 0 ⇒ (N2 − N1 ) = R τ21

(5.1.34)

• An der Laser-Schwelle: (N2 − N1 ) = σthr = Rthr τ21 , Wi = 0

(5.1.35)

Rthr : Pumprate um Laserschwelle zu erreichen. • Über der Laserschwelle: (N2 − N1 ) = σthr ⇒ Wi =

1 R − σthr τ21

(5.1.36)

Vom Laser-Medium durch stimulierte Emission abgegebene Leistung (im Resonator): Pe = (σthr V )Wi hν

(5.1.37)

V : Volumen der Laser-Mode. Einsetzen liefert: Pe =

(σthr V )hν τ21





Rτ21 −1 σthr

(5.1.38)

Idealer Laser: τ21 = τsp und N2 ≫ N1 ⇒ Leistung die durch spontane Emission an der Laserschwelle emittiert wird: Ps =

(σthr V ) hν τsp

(5.1.39)

Damit: Pe = Ps





R −1 Rthr

(5.1.40)

5.1.5 Einige Laser-Typen Helium-Neon-Laser Erste Publikation: A. Javan et al., Phys. Rev. Lett. 6, 106 (1961)

5-9

5 Laser N2-N1, Pe

Ps sthr

R thr

2 R thr

Pumprate R

Abbildung 5.6: Differenz der Besetzungsdichten der Laserniveaus (blau) und die durch stimulierte Emission emittierte Leistung (rot) als Funktion der Pumprate.

Gaslaser mit Helium als Pumpgas und Neon als Lasergas. Druck in Laserröhre: 100 Pa; Partialdruck Helium/Neon: 10/1. Zündspannung: 10-15 kV; Entladungsspannung nach Zündung: 1-2 kV mit 1-30 mA Strom. Pumpmechanismus: Metastabile He-Zustände werden durch Elektronenstöße angeregt; Energieübertrag auf angeregte Neon-Zustände durch Stöße 2. Art. Technisch ist vor allem die Laserlinie bei λ = 632.8 nm von Bedeutung: Interferometer, Justage-Laser.

Titan-Saphir-Laser Erste Publikation: P. F. Moulton, J. Opt. Soc. Am. B 3, 125 (1986). Festkörperlaser: Ti3+ -Ionen in AL2 O3 -Wirtskristall Kristallfeld-Effekte und Ankopplung an Phononen verbreitern Energie-Niveaus des Ti3+ Ionen. Optisches Pumpen, Absorptionsbereich: 370 nm - 670 nm. Spektral breiter Verstärkungsbereich: 670 nm - 1100 nm; Maximum bei 800 nm. Wichtige Anwendung: Erzeugung von fs-Impulsen mittels Modenkopplung.

5-10

5.1 Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung Helium

(a)

Neon

1

2 S0

2p55s

3

Stöße

Energie

2 S1

3.39 µm 5 2p 4p

2p54s

0.63µm 5 2p 3p 1.15 µm 2p53s

Elektron-Atom Anregung Rekombination durch Stöße Grundzustand

(b)

R=100%

R ~ω ≥ Eg (p- und n-Gebiet sind entartet)! Problem beim Homojunction-Laser: Großes Volumen der aktiven Zone. Daher: Hohe Stromdichten, nur gepulster Betrieb möglich, Kühlung erforderlich!

5-11

5 Laser Pump Laser

HR

P2

Ti:Sa

OC

P1

Abbildung 5.8: Schematischer Aufbau eines fs-Ti:Sa-Lasers. HR: High Reflector (R ≈ 100%), OC: Output Coupler (R ≈ 98%). Die Prismen P1 und P2 dienen zur Dispersionskontrolle. (a)

(b) p GaAs

n GaAs

R≈0.3

EFC EC

EC EG

eU

EV EFV

p

+U -

n EV

laktiv

Abbildung 5.9: (a) Bandstruktur eines Homojunction-Laser. Die Dicke der aktiven Schicht wird durch die Diffussionslängen der Minoritätsladungträger bestimmt. (b) Kantenstrahler: Die Resonatorspiegel werden durch die Endfacetten des Hl-Kristalls definiert (senkrecht zur Stromrichtung) .

Lösung: Kleineres aktives Volumen. Double-Heterojunction Laser: Ladungsträger werden durch elektrische Bandstruktur besser in der aktiven Zone gehalten; zusätzlich: optischer Wellenleitereffekt durch Brechzahlprofil ⇒ niedrige Stromdichten, CW-Betrieb. Resonatortypen: • Kantenemitter: Fabry-Perot Resonator, Bruchflächen dienen als Spiegel. • Distributed feedback laser: Rückkopplung über periodische Struktur. • Vertical cavity surface emitting laser (VCSEL): Dielektrische Spiegel (1D photonischer Kristall), Lichtemission senkrecht zu Grenzflächen. Zahlreiche Anwendungen: Telekommunikation, Pumplaser, DVDs, ...

5-12

5.1 Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung p AlxGa1-xAs

i

n AlxGa1-xAs

GaAs EC

EFC EC

EV EFV

EV laktiv

Abbildung 5.10: (a) Bandstruktur eines Double-Heterojunction-Laser. Die Dicke der aktiven Schicht wird durch die Dicke der mittleren HL-Schicht bestimmt.

5.1.6 Erzeugung von Laser-Pulsen Gewinnmodulation (Gain Switching) Idee: Erzeuge Laser Pulse durch eine zeitlich veränderliche Pumprate. • Für t < 0 sei die Pumprate Ra zu klein um die Laser-Schwelle zu erreichen ⇒ nγ (t) = 0. • Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Pumprate auf den Wert Rb > Rthr erhöht. Der Besetzungsunterschied σ(t) wächst an. • Sobald zum Zeitpunkt t1 der Besetzungsunterschied σ(t1 ) größer als der Schwellwert σthr wird, setzt die Lasertätigkeit ein und die Photonenzahldichte nγ (t) wächst an. • Durch stimulierte Emission wird das Anwachsen des Besetzungsunterschied verlangsamt und strebt schließlich gegen den Schwellwert σthr . • Zum Zeitpunkt t2 wird die Pumprate wieder auf den Wert Ra abgesenkt. Der Besetzungsunterschied und die Photonenzahldichte fallen wieder auf ihre ursprünglichen Werte (σa bzw 0) ab.

Gütemodulation (Q-switching) Idee: Erzeuge Laser Pulse durch eine Modulation der Resonator-Güte.

5-13

5 Laser R Rb Rthr Ra t

s sb

sthr

sa t ng

0

t1

t2

t

Abbildung 5.11: Gewinnmodulation: Besetzungsunterschied σ(t) und Photonendichte nγ (t) für eine zeitlich veränderliche Pumprate R(t).

• Für t < t1 sei die Resonator-Güte zu klein (die Resonatorverluste αa zu groß) um die Laser-Schwelle zu erreichen ( σ(t) = σa < σthr,a ⇒ nγ (t) = 0). • Zum Zeitpunkt t1 werden die Resonatorverluste auf den Wert αb erniedrigt, so dass der Besetzungsunterschied σ(t1 ) = σa über dem neuen Schwellwert σ < σthr,b liegt. • Durch die einsetzende Lasertätigkeit wächst die Photonenzahldichte nγ (t) schnell an. • Durch stimulierte Emission verringert sich der Besetzungsunterschied und fällt unter den Schwellwert σthr,b . Dadurch endet die Lasertätigkeit und die Photonenzahldichte nγ (t) fällt auf den Wert 0 ab. • Zum Zeitpunkt t2 werden die Resonatorverluste wieder auf den ursprünglichen Wert αa angehoben. Der Besetzungsunterschied wächst wieder an und strebt gegen den Ausgangswert σa .

5-14

5.1 Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung R,a

aa R

ab

t

s

sthr,a sa sthr,b t

ng

t1

t2

t

Abbildung 5.12: Besetzungsunterschied und Photonendichte für eine zeitlich veränderliche Güte des Resonators.

Modenkopplung c Ein Resonator der Länge L unterstützt longitudinale Moden mit Frequenzen νm = m 2L .

Spektraler Abstand zwischen zwei longitudinalen Moden: c . ∆ν = 2L

(5.1.42)

Im Resonator schwingen all die Moden an, für die die Schwellenbedingung (5.1.29) erfüllt ist. Im kontinuierlichen Betrieb (CW-Betrieb) schwingen die Moden unabhängig voneinander ohne feste Phasenbeziehung. Destruktive und konstruktive Interferenz der verschiedenen Moden halten sich die Waage und die Ausgangsleistung schwankt zeitlich nur geringfügig um den Mittelwert. Schwingen dagegen die Moden phasenstarr zueinander, so führt die konstruktive Interferenz der Moden zur Ausbildung eines periodischen Pulszuges. Betrachte 2N +1-Moden mit Frequenzen νm = ν0 +m∆ν, m = −N, −N +1, · · · , N −1, N , Phasendifferenz ∆ϕ = 0 und gleicher Amplitude E0 .

5-15

5 Laser Nur diese Moden schwingen an! Dn

Verstärkung

Longitudinale Resonator-Moden

Laserschwelle

Frequenz (ν)

Abbildung 5.13: Verstärkungsprofil.

Gesamtamplitude: E(t) =

N X

E0 ei2π(ν0 +m∆ν)t

m=−N

= E0 ei2πν0 t e−i2πN ∆νt

2N X

ei2πm∆νt

m=0

1 − ei2π(2N +1)∆νt 1 − ei2π∆νt e−iπ(2N +1)∆νt eiπ(2N +1)∆νt e−iπ(2N +1)∆νt − eiπ(2N +1)∆νt e−iπ∆νt eiπ∆νt e−iπ∆νt − e−iπ∆νt sin [(2N + 1)π∆νt] sin [π∆νt]

= E0 ei2πν0 t e−i2πN ∆νt = E0 ei2πν0 t = E0 ei2πν0 t

(5.1.43)

Zugehörige Intensität: I(t) = |E0 |2

sin2 [(2N + 1)π∆νt] sin2 [π∆νt]

(5.1.44)

Der zeitliche Abstand τr zweier Pulse des Pulszuges beträgt τr =

1 2L = . ∆ν c

(5.1.45)

τr ist die Zeit, die ein Puls für einen Umlauf („roundtrip“) im Resonator benötigt. Die Pulsbreite ist invers proportional zur spektralen Breite Spektrum des Pulses: τp =

5-16

1 . (2N + 1)∆ν

(5.1.46)

5.1 Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung Spitzenintensität des Pulses: Imax = (2N + 1)2 |E0 |2 .

(5.1.47)

Zum Vergleich: im CW-Betrieb beträgt die Intensität (2N + 1) |E0 |2 . 140

tr

120 100

I/I0

80

tp 60 40 20 0 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

t / tr

Abbildung 5.14: Intensität eines periodischen Pulszuges der sich aus der phasenrichtigen Überlagerung von 10 Moden gleicher Amplitude ergibt.

Methoden zur Modenkopplung: • Aktive Modenkopplung: Verlustmodulation (z.B. mit einem elektrooptischen Modulator) mit der Modulationsfrequenz νmod = ∆ν. Durch die Modulation der Amplitude wird die Mode mit Frequenzen ν mit ihren Seitenbändern, d.h. den Moden mit Frequenzen ν ± ∆ν, gekoppelt. Diese koppeln wiederum an ihre Seitenbänder mit Frequenzen ν ± 2∆ν, usw. Anschaulich Interpretation in der Zeitdomäne: Ein Lichtimpuls läuft im Resonator mit der Umlaufzeit τr = 1/∆ν hin und her. Der Modulator wird nur dann "freigeschaltet“ wenn der Lichtimpuls beim Modulator eintrifft. Der Lichtimpuls „sieht“ somit nur geringe Verluste und kann im Laser verstärkt werden. • Passive Modenkopplung: Verwendung eines passiven Elements (z.B. ein sättigbarer Absorber) zur Verlustmodulation.

5-17

5 Laser

5.2 Optische Impulse in dispersiven Medien Betrachte optischen Impuls mit zeitlich langsam veränderlicher Enveloppe A (0, t) und Trägerfrequenz ω0 : E (0, t) = A (0, t) e−ıω0 t .

(5.2.1)

Beschreibung des Impulses als Wellenpaket: ∞ 1 Z E (0, ω) e−ıωt dω. E (0, t) = 2π

(5.2.2)

−∞

mit E (0, ω) =

Z∞

A (0, t) eı(ω−ω0 )t dt.

(5.2.3)

−∞

Beispiel: Gaußscher Impuls mit Pulslänge τp und Trägerfrequenz ω0 . • Zeitdomäne Elektrisches Feld: −

E(0, t) = E0 e

2 ln(2)t2 2 τp

e−ıω0 t

(5.2.4)

Intensität: 2

−

I(0, t) ∝ |E0 | e

4 ln(2)t2 2 τp

(5.2.5)

Damit: I(0, ±τp /2) = 1/2. • Frequenzdomäne Elektrisches Feld: E(0, ω) =

s

2 2

(ω−ω0 ) τp π τp E0 e− 8 ln(2) 2 ln(2)

(5.2.6)

Spektrum: 2 −

S(0, ω) ∝ |E0 | e

2 (ω−ω0 )2 τp 4 ln(2)

Damit S(0, ω0 ± ∆ω/2) = 1/2 mit ∆ω =

5-18

(5.2.7) 4 ln(2) . τp

5.2 Optische Impulse in dispersiven Medien

• Zeit-Bandbreite-Produkt für Gaußsche Impulse τp ∆ω = 4 ln(2).

(5.2.8)

Kurze Pulslängen sind mit einem breiten Spektrum verknüpft.

1

1 0.8 |E(f)|

E(t)

2

0.5 0 -0.5 -1 -100

-50

0 t(fs)

50

0

100

340

360 380 f(THz)

400

420

340

360 380 f(THz)

400

420

1 0.8 |E(f)|

2

0.5 E(t)

0.4 0.2

1

0 -0.5 -1 -100

0.6

0.6 0.4 0.2

-50

0 t(fs)

50

100

0

Abbildung 5.15: Erste Zeile: Gaußscher Impuls mit τp = 10 fs. Zweite Zeile: Gaußscher Impuls mit τp = 100 fs. Die Trägerfrequenz beträgt jeweils ω0 = 2π × 375 THz. Die zugehörigen Spektren sind in der rechten Spalte abgebildet.

Betrachte jetzt Propagation in einem Medium. Für jede spektrale Komponente des Impulses gilt nach einer Propagationsstrecke z: E (z, ω) = E (0, ω) eık(ω)z

mit k(ω) = n(ω)ω/c0 .

(5.2.9)

5-19

5 Laser Damit: ∞ 1 Z E (0, ω) h (ω, z) e−ıωt dω E (z, t) = 2π

(5.2.10)

−∞

mit der Transferfunktion h (ω, z) = eık(ω)z . Taylorentwicklung von k(ω) um ω0 : dk k(ω) = k(ω0 ) + dω

!

d2 k dω 2

1 (ω − ω0 ) + 2 ω0

!

ω0

(ω − ω0 )2 + · · ·

(5.2.11)

Abkürzungen: dk dω

′

β0 = k(ω0 ), β =

!

′′

,β =

ω0

d2 k dω 2

!

(5.2.12)

.

ω0

Einsetzen in Transferfunktion liefert: ′

h (ω, z) = eıβ0 z eıβ (ω−ω0 )z eıβ

′′ (ω−ω )2 z 0

(5.2.13)

Betrachte separat den Einfluss der einzelnen Terme der Transferfunktion auf den propagierenden Impuls: • h (ω, z) = eıβ0 z → konstante Phasenänderung. Der Brechungsindex bei der Trägerfrequenz n(ω0 ) folgt aus n(ω0 ) =

β0 c0 . ω0

(5.2.14)

′

• h (ω, z) = eıβ (ω−ω0 )z → konstante Phasenänderung und einer Verzögerung des Impulses. ∞ 1 Z ′ E (z, t) = E (0, ω) eıβ (ω−ω0 )z e−ıωt dω 2π

(5.2.15)

Z∞

(5.2.16)

−∞

−ıβ ′ ω0 z

=

e

2π

′

E (0, ω) e−ıω(t−β z) dω

−∞

′

= e−ıβ ω0 z E (0, t − τg ) . Hierbei ist die Gruppenverzögerung durch τg = β ′ z definiert.

5-20

(5.2.17)

5.2 Optische Impulse in dispersiven Medien Die Enveloppe bewegt sich ohne Formänderung mit einer konstanten Gruppengeschwindigkeit vg : !

d 1 1 ng (ω) n(ω) + ω n(ω) = = β′ = . vg c0 dω c0

(5.2.18)

Die letzte Gleichung definiert den Gruppenindex ng . • h (ω, z) = eıβ

′′ (ω−ω )2 z 0

→ Formänderung der Enveloppe.

Betrachte Unterschied in der Gruppenverzögerung für zwei Frequenzen ω1 und ω0 ∆τg = (β ′ (ω1 ) − β ′ (ω0 )) z ! dβ ′ ′ ′ (ω1 − ω0 ) − β (ω0 ) z ≈ β (ω0 ) + dω = zβ ′′ (ω1 − ω0 ) .

(5.2.19) (5.2.20) (5.2.21)

Für β ′′ 6= 0 werden die einzelnen spektralen Komponenten des Impulses unterschiedlich verzögert ⇒ Gruppengeschwindigkeitsdisperion (GVD: group velocity dispersion). Definiere Dispersionskoeffizient: D(λ) = −

2πc0 ′′ β . λ2

(5.2.22)

Damit: ∆τg = −zD(λ)∆λ

mit

∆λ = −

∆ωλ2 2πc0

(5.2.23)

Anschauliche Bedeutung: Ein Impuls mit einer spektralen Bandbreite ∆λ wird nach der Propagationsstrecke z in einen Medium mit Dispersionskoeffizient D(λ) um ∆τg gedehnt. Beispiel: Propagation Gaußscher Impulse in BK7-Glas. • Trägerfrequenz: ω0 = 2π × 375 THz. ⇒ Zentralwellenlänge: λ0 = 800 nm. • Propagationslänge: z = 1 mm. • Brechungsindex: n(800 nm) = 1.51.

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5 Laser

• Gruppenindex: ng (800 nm) = 1.527. ⇒ Gruppenverzögerung τp = 5090 fs. • Dispersionskoeffizient: D(800 nm) = −128 ps/km × nm • Impulslänge: τp = 10 fs. ⇒ Breite des Spektrums: ∆λ = 94 nm. ⇒ ∆τg ≈ 12 fs. • Impulslänge: τp = 100 fs. ⇒ Breite des Spektrums: ∆λ = 9.4 nm. ⇒ ∆τg ≈ 1.2 fs. Der 10-fs-Impuls ist nach 1 mm BK7 Glas bereits deutlich verformt! Beim 100-fs-Impuls ergibt sich dagegen nur eine geringe zeitliche Verbreiterung.

5-22

5.2 Optische Impulse in dispersiven Medien

Dispersionskoeffizient (ps/km*nm)

1.55 Bechungsindex Gruppenindex

1.54

n

1.53 1.52 1.51 1.5 1.49 600

800

1000

λ (nm)

1200

1400

1600

1

100 0 −100 −200 −300 −400 600

800

1000

λ (nm)

1600

Nach 1 mm BK7 0.5

E(t)

0.5

E(t)

1400

1 Vor der Probe

0

−0.5

−1 −30

1200

0

−0.5

−20

−10

0 t(fs)

10

20

30

−1 5060

5070

5080

5090 t(fs)

5100

5110

5120

Abbildung 5.16: (a) Brechungs- und Gruppenindex von BK7-Glas. (b) Dispersionskoeffizient von BK7-Glas. (c) Gaußscher Impuls mit Impulslänge τp = 10 fs und Trägerfrequenz ω0 = 2π × 375 THz. (d) Der gleiche Impuls nach der Propagation durch 1 mm BK7 Glas.

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