Absorption und Emission Wir wiederholen aus V4 die Anwendung der Bose-Statistik auf ein Photonengas und beru ¨cksichtigen nun eine m¨ogliche entartung der Zust¨ande. Diese ¨außert sich im statistischen Gewicht g = (2J + 1) des Zustandes mit Gesamtdrehimpuls J. Stimmen die statistischen Gewichte des Anfangs- und Endzustandes u ¨berein, so findet man, dass die Einstein-Koeffizienten fu ¨r die induzierte Emission und Absorption gleich groß sind. Bik Aik

=

gk Bki (induz. Emission und Absorption), gi

=

8πhν 3 Bik (spont. Emission). c3

(1)

Der Vorfaktor 8πν 2/c3 der spontanen Emission ist die Anzahl der Moden des

Strahlungsfeldes pro Volumen und Frequenzintervall. Dann ist Aki/(8πν 2/c3) die Wahrscheinlichkeit, dass das Atom aus dem Zustand mit Ek spontan ein Photon der Energie hν in einen Mode emittiert. Bkihν ist die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, dass ein Photon in einem Mode die Emission eines weiteren Photons induziert. Umschreiben von Glg. 1 liefert Aik = Bik hν, 2 3 8πν /c was bedeutet, dass die spontane Emissionswahrscheinlichkeit pro Mode gleich der induzierten Emissionswahrscheinlichkeit ist, wenn das Strahlungsfeld ein Photon pro Mode enth¨alt. Enth¨alt es n Photonen pro Mode, so gilt ind. Em. Wik spont. Em. Wik

=

Bik hν = n. 3 2 Aik c /8πν

In der Figur links ist die mittlere Photonenzahl n ¯ pro Mode des Strahlungsfeldes als Funktion der Temperatur T 105 und Frequenz ν dargestellt. Offensichtlich dominiert bei Temperaturen unter 103 etwa 1000 K die spontane Emission im 102 sichtbaren Bereich (¯ n ist kleiner als 1). Durch Erzeugen von nicht-thermischen 10 Strahlungsfeldern kann dies aber umgangen werden. Hier ist insbesondere 1 108 109 1010 1011 1012 1013 1014 1015 eine Anwendung wichtig, in der die Photonen auf wenige Moden verteilt ν [s−1] werden und damit in diesen die induzierte Emission u ¨berwiegt. Das bekannteste Beispiel dafu ¨r ist der Laser, den wir n¨achste Woche behandeln wollen. 10 −

sichtbares Licht

10

0

10

=

n¯

n¯

10 −

=

1

n¯

=

n¯

=

2

10 −

10

=

n¯

n¯

=

10 2

n¯

=

10 4

n¯

=

10 6

T[K] 105

¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten fu ¨r spontane Emission Aus der Elektrodynamik wissen wir, dass ein schwingender (Hertzscher) Dipol mit einem elektrischen Dipolmoment p~ = q~r = p~o sin ωt u ¨ber alle Winkel integriert die mittlere Leistung ¯2ω 4 p 2 P¯ = 3 4π0c3 abstrahlt, wo p¯2 = p20/2. In der Quantenmechanik mu ¨ssen wir nun den Mittelwert p¯ durch den Erwartungswert ersetzen, Z h~ pi = eh~ri = e dτ ψi∗~rψi. Ein Atom, welches gerade ein Photon emittiert, ist gerade daran, vom Zustand ψi in den Zustand ψk u ¨berzugehen. Darum mu ¨ssen wir auch den Erwartungswert

¨ des Ubergangsdipolmoments Mik = hpiki bestimmen: ~ ik = e M

Z

dτ ψi∗~rψk .

Dabei gilt |Mik | = |Mki| und p¯2 = 2|Mik |2. Einsetzen in die klassische Formel liefert 4 4 ωik 2 |M | . hPik i = ik 3 3 4π0c Dru ¨cken wir dies mit dem Einsteinkoeffizienten Aik fu ¨r die Wahrscheinlichkeit pro Sekunde spontan zu emittieren, so hP i = NiAik hνik ,

wo Ni die Anzahl Atome im Zustand Ei bedeutet. Vergleich liefert Aik =

3 2 e2ωik 3 0 c 3 h

Z 2 dτ ψi∗~rψk .

Weil man die Mik als Matrix anordnen kann, heissen die einzelnen Mik Matrixelemente.

¨ Messung relativer Ubergangswahrscheinlichkeiten Die Ni Atome im Zustand mit Ei in Ni hPik i einer zu untersuchenden Lichtquelle emittieren ihr Licht in den vollen S (ω ) Raum. Man sammelt das Licht aus η (ω ) dem Raumwinkel dΩ in einen SpekdΩ T (ω ) trographen mit Transmission T (ω) und misst es mit einem Detektor mit spektraler Empfindlichkeit η(ω). Das Ausgangssignal S(ω) am Detektor ist dann S(ω) = Ni hPik i dΩ T (ω) η(ω). ¨ Nach den vorherigen Uberlegungen ist also das Verh¨altnis Sik /Snm der gemesse-

¨ nen Intensit¨aten zweier Spektrallinien ein Maß fu ¨r die relativen Ubergangswahrscheinlichkeiten. Sik Ni Aik ωik T (ωik )η(ωik ) = . Snm NnAnmωnm T (ωnm)η(ωnm) ¨ Diese Messung bestimmt offensichtlich nur die relativen Ubergangswahrscheinlichkeiten fu ¨r die spontante Emission.

¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten fu ¨r induzierte Emission

hν

Das elektrische Feld eines einlaufenden Photons sei durch eine ebene Welle gen¨ahert,

hν

~ =E ~ oei(~k·~r−ωt). E

Dann ist die Wahrscheinlichkeit fu ¨r die spontane Absorption durch das Atom (untere H¨alfte der Figur links) ~ · ~r|ψii|2, Wki ∝ |hψi|E ~ der also abh¨angig von der relativen Orientierung zwischen elektrischem Vektor E

Welle und Dipolmoment p~ = e~r. Ist das umgebende Strahlungsfeld isotrop, so muss u ¨ber alle Richtungen gemittelt werden. Genauere rechnungen zeigen Z 2 2π e ∗ dτ ψk~rψi . Bki = 2 3 0¯h 2 2

Der Zusammenhang zwischen spontaner und induzierter Emission ist tiefer, als er durch die Formeln weiter oben erscheinen mag. Die Quantenelektrodynamik erkl¨art das Ph¨anomen der spontanen Emission als Konsequenz einer durch immer vorhandene Vakuumfluktuationen induzierte Emission.

Auswahlregeln Wir sind nun in der Lage, die in V3 erw¨ahnten Auswahlregeln zu erkl¨aren. ¨ Nicht jeder Ubergang von einem Zustand mit Ei zu einem Zustand mit Ek wird ¨ beobachtet. Die Auswahl der “erlaubten” Uberg ¨ange wird durch die Drehimpulserhaltung und andere Symmetrieu ¨berlegungen geregelt. Wir haben bereits in V6 gesehen, dass das Photon (als Bose-Teilchen) in zirkular polarisiertem Licht (σ +-Licht) einen Drehimpuls +¯ h hat, in σ −-Licht den Drehimpuls −¯ h. In linear ¨ polarisiertem Licht (π-Licht), welches eine Uberlagerung von σ + und σ − Licht ist, ist der Erwartungswert fu ¨r den Photonendrehimpuls gleich Null. Absorbiert ein Atom ein Photon, so muss der Gesamtdrehimpuls erhalten bleiben, ¨ folglich k¨onnen nur die Uberg ¨ange erlaubt sein, fu ¨r die gilt: ∆m = 0, ±1.

Diesen Effekt hatten wir schon bei der Diskussion des Zeeman-Effektes gesehen. Dort werden in Feldrichtung nur zwei Komponenten sichtbar (σ + und σ − ) w¨ahrend senkrecht dazu linear polarisiertes Licht und damit alle drei Komponenten sichtbar sind. Nebst der Auswahlregel fu ¨r die magnetischen Quantenzahl m, folgt auch eine weitere fu ¨r die Drehimpulsquantenzahl l aus der Erhaltung des Drehimpulses. Weil jedes einzelne absorbierte oder emittierte Photon einen Drehimpuls +¯ h oder −¯h mit sich tr¨agt, muss sich l um ±1 ¨andern, ∆l = ±1. Eine weitere Konsequenz ergibt sich bei Anwendung der Drehimpulserhaltung auf q p die Spinquantenzahl S. Das Elektron hat einen Spin |~s| = 12 (1 + 12 )¯ h = 3/4¯h.

Solange die Spin-Bahn-Kopplung schwach ist, kann der Spin des Elektrons nicht ge¨andert werden, deshalb gilt ∆S = 0. Bei st¨arkerer Spin-Bahn-Kopplung muss der erhaltene Gesamtdrehimpuls einer Auswahlregel unterliegen:

∆J = 0, ±1 aber J = 0 −→ J = 0 bleibt verboten.

Zsammenfassend:

∆l = ±1 ∆L = ±1 ∆M = 0, ±1 ∆S = ∆J = 0, ±1

fu ¨r Einelektronenatome fu ¨r Mehrelektronenatome ~ S-Kopplung ~ mit L∆M = 0 fu ¨r linear polarisiertes Licht ∆M = ±1 fu ¨r zirkular-polarisiertes Licht leichte Atome schwere Atome mit starker ~ S-Kopplung ~ L-

gilt immer

Ausnahmen bei starker ~ S-Kopplung ~ LJ = 0 −→ J = 0 verboten

Lebensdauern angeregter Zust¨ ande Wird ein Atom im nicht angeregten Zustand E0 durch Absorption eines Photons hν oder durch einen Elektronenstoss in einen angeregten Zustand Ei versetzt, so geht das Atom von selbst durch Emission eines Photons hν oder durch inelastische St¨osse in einen energetisch tieferen Zustand Ej bzw. E0 u ¨ber. ¨ Man bezeichnet den Ubergang Ei → Ej unter Aussendung eines Photons als Fluoreszenz. Aij (j=0,1,2) bezeichnen hier die EinsteinKoeffizienten, d.h. die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, dass ein Atom vom angeregten Zustand Ei spontan durch Emission eines Photons hν in den energetisch tieferen Zustand Ej u ¨bergeht.

Sei Ni die Zahl der Atome, die sich im Zustand Ei befinden, so ist die Zahl der Atome, die im Zeitintervall dt spontan in den Zustand Ej u ¨begehen, gegeben durch dNi = −Aij Nidt. Definiert man X Ai = Aij j

als die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, dass das Atom vom Zustand Ei in einen beliebigen erlaubten Zustand Ej (Ei > Ej ) u ¨bergeht, ergibt sich fu ¨r die ¨ Anderung der Zahl der Atome im Zustand Ei: dNi = −AiNidt. Durch Integration erh¨alt man die zeitabh¨angige Besetzungsdichte: Ni(t) = Ni(0) · e−Ai t.

Ni(0) bezeichnet die Besetzungsdichte zum Zeitpunkt t = 0. Die Konstante 1 Ai = τi bezeichnet dann die reziproke mittlere Lebensdauer des Zustandes Ei, d.h. nach der Zeit τi ist die Besetzungsdichte des Zustandes Ei auf den 1/e ten Teil abgesunken. Durch Messung der mittleren Lebensdauer eines Zustandes Ei l¨asst sich die Summe der Einstein-Koeffizienten Ai besimmen. Daru ¨ber hinaus lassen sich ¨ durch Messung der Intensit¨aten Iik der unterschiedlichen Uberg ¨ange Ei → Ek

die entsprechenden Einstein-Koefizienten Aik bestimmen durch Iik /h · νik . Aik = Ai P j (Iij /h · νij ) Der Zustand Ei wird jedoch nicht nur durch Fluoreszenz sondern auch durch inelastische St¨osse entv¨olkert. Definiert man Ri als die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, dass ein Atom im Zustand Ei durch inelastische St¨osse in einen energetisch tieferen Zustand u ¨bergeht, dann ergibt sich analog zur bisherigen Betrachtung: dNi = −(Ai + Ri)Nidt,

Ni(t) = Ni(0) · e−(Ai +Ri)t. Die mittlere effektive Lebensdauer τief f ergibt sich dann zu τief f

1 = . Ai + Ri

Im Falle, dass das Niveau Ei der Atome A durch inelastische St¨osse mit anderen Atomen B entvo¨lkert wird, l¨asst sich Ri schreiben als Ri = nB · v AB · σiinel . Dabei ist nB die Teilchenzahldichte der Stosspartner B, v AB die mittlere Relativgeschwindigkeit und σiinel der Stossquerschnitt. v AB l¨asst sich wiederum

schreiben als

s

8kT . πµ µ ist die reduzierte Masse der beiden Stosspartner A und B v AB =

µ=

MA · MB . MA + MB

Somit ergibt sich die reziproke effektive Lebensdauer zu 1 τief f Tr¨agt l¨asst

man sich

1

ef f τi

aus

gegen dem

=

1 τispont

das

+ nB · v AB · σiinel .

Produkt

Schnittpunkt

der

nB · v AB

Geraden

graphisch mit

der

auf,

so

Ordina-

te

1

spont τi

,

und

aus

der

Steigung

der

Stossquerschnitt

σiinel

bestim-

men. Eine solche graphische Darstellung wird Stern-Volmer-Plot genannt.

1 τief f

Fu ¨r nB gilt nach der allgemeinen Gasgleichung N p nB = = . V kT Damit erh¨alt man die Geradengleichung der reziproken effektiven Lebensdauer r 8 1 · σiinel . = spont + p · πµkT τi

als Funktion der Temperatur T und des Druckes p, welche experimentell besser zu bestimmen sind als nB und v AB .

Linienbreiten der Spektrallinien ¨ Bei einem Ubergang zwischen unterschiedlichen Niveaus eines Atoms Ei → Ej ist das ausgesandte Licht nicht streng monochomatisch. Man beobachtet vielmehr eine Verteilung der Absorptions- bzw. Emissionsfrequenzen um eine Mittenfrequenz ν0 = νij . Bezeichnet man mit Pν (ν) die spektrale Leistungsdichte, d.h. die Leistung, die von der Lichtquelle im Intervall ∆ν = 1s−1 um die Frequenz ν abgestrahlt wird, so zeigt Pν (ν − ν0) ein Linienprofil. ν1 und ν2 markieren die Frequenzen, bei denen die spektrale Leistungsdichte auf die H¨alfte des Maximalwertes abgesunken ist. Das Intervall δν = |ν1 − ν2| heisst volle Halbwertsbreite (FWHM = Full Width Half Maximum). Man bezeichnet den Bereich zwischen

ν1 und ν2 als Linienkern, ausserhalb dieser Grenzen als Linienflu ¨gel. Die endliche Linienbreite hat drei Ursachen: • Die Energienieveaus sind wegen ihrer endlichen Lebensdauer nicht beliebig scharf. D.h. die Unsch¨arfe, die sich aus ∆E · ∆t = h ergibt, bedingt auch eine Unsch¨arfe im Frequenzbereich. • Aufgrund thermischer Bewegung der einzelnen Atome kommt es zu Dopplerverschiebungen im Absorptions- und Emissionsspektrum. • Durch Wechselwirkungen zwischen Nachbaratomen kommt es zu Verschiebungen der Energieniveaus.

Natu ¨rliche Linienbreite Das angeregte Atom, welches seine Anregungsenergie durch Emission eines Photons abgibt, kann klassisch durch einen ged¨ampften harmonischen Oszillator approximiert werde. Zu l¨osen ist also folgende Differentialgleichung x ¨ + γ x˙ + ω02x = 0, wobei γ die D¨ampfungkonstante und ω0 die Eigenfrequenz ist. Mit den Anfangsbedingungen x0 = x(t = 0) und x˙ 0 = x(t ˙ = 0) = 0 erh¨alt man die reelle L¨osung: −(γ/2)t x(t) = x · e · (cos(ωt) + (γ/2ω)sin(ωt)) 0 p mit ω = ω02 − (γ/2)2.

Im allgemeinen gilt γ  ω0. Daher vereinfacht sich die L¨ osung n¨aherungsweise zu x(t) ≈ x0 · e−(γ/2)t · cos(ω0t)

Anders als bei einer zeitlich unged¨ampften Schwingung ist die Amplitude zeitlich nicht mehr konstant, und die abgestrahlte Welle ist nicht monochromatisch. Durch eine FourierTransformation erh¨alt man dazugeho¨rige Frequenzspektrum. 1 A(ω) = √ · 2π

Z

+∞ −∞

x(t) · e−iωtdt.

Durch Integration erh¨alt man die komplexe Amplitudenverteilung  x0  1 1 A(ω) = √ · . + i(ω − ω) + γ/2 i(ω + ω) + γ/2 8π 0 0

Da in der Umgebung der Resonanzfrequenz |ω0 − ω|  |ω0 + ω| l¨asst sich A(ω) approximieren durch  x0  1 . A(ω) = √ · 8π i(ω0 − ω) + γ/2 Fu ¨r die abgestrahlte spektrale Leistungsdichte gilt Pω (ω) ∝ A(ω) · A∗(ω), und damit folgt Pω (ω) =

C . 2 2 (ω0 − ω) + (γ/2)

Die Konstante C wird so gew¨ahlt, dass fu ¨r die Gesamtleistung P0 gilt Z

∞

Pω (ω) = P0. 0

Man erh¨alt C = P0 · γ/2π und damit Pω (ω) = P0 ·

γ/2π . 2 2 (ω0 − ω) + (γ/2)

Dies ist ein Lorentzprofil mit der Halbwertsbreite γ = δω bzw. γ = δν · 2π. γ wird natu ¨rliche Linienbreite genannt, weil sie ohne ¨aussere Einflu ¨sse nur durch die endliche Abstrahldauer des Atoms entsteht. Sie steht in direktem Zusammenhang

mit den zuvor eingefu ¨hrten Einstein-Koeffizienten in der Form 1

1 + , γ = Ai + Aj = τi τj ¨ wobei i, j die an dem Ubergang beteiligten Niveaus indizieren.

Doppler-Verbreiterung Ein von einem angeregten Atom in Richtung des Wellenvektors ~k ausgesandtes Photon mit der Kreisfrequenz ω0 wird von einem ruhenden Beobachter registriert als ein Photon mit der Kreisfrequenz ωe = ω0 + ~k~v , wenn sich das Atom mit der Geschwindigkeit ~v = {vx, vy , vz } bewegt. Ebenso kann ein Atom, das sich mit der Geschwindigkeit ~v bewegt, nur Photonen absorbieren, welche die Bedingung ωa = ω0 + ~k~v efu ¨llen. F¨allt die Lichtwelle

(o.B.d.A) in z-Richtung auf das Atom, so gilt mit kz = 2π/λ ωa = ω0 + kz vz = ω0(1 + vz /c). Befinden sich die absorbierenden Atome im thermischen Gleichgewicht, so gilt ni(vz )dvz =

2 Ni √ · e−(vz /vw ) dvz . vw · π

Dabei ist • ni(vz )dvz die Zahl der Atome pro Volumeneinheit im absorbierenden Zustand Ei mit Geschwindigkeitskomponenten vz im Intervall vz bis vz + dvz , R +∞

• Ni = −∞ ni(vz )dvz die Gesamtzahl aller Atome im Zustand Ei pro Volumeneinheit,

p

• vw = 2kB T /m die wahrscheinlichste Geschwindigkeit als Funktion der Temperatur T und der Masse m (kB ist die Boltzmann-Konstante). Durch die Variablentransformation vz = c(ω/ω0 − 1) bzw. dvz = (c/ω0)dω erh¨alt man die Anzahl der Atome, die im Frequenzintervall zwischen ω und ω + dω absorbieren bzw. emittieren.  2 c · Ni √ · e− c(ω−ω0)/(ω0·vw ) dω. ni(ω)dω = ω0 · vw · π Die absorbierte bzw. emittierte Strahlungsleistung P (ω) ist proportional zu ni (ω). Daher ergibt sich das Profil der dopplerverbreiterten Spektrallinie zu 

P (ω) = P (ω0) · e−

c(ω−ω0 )/(ω0 ·vw )

2

.

Die volle Halbwertsbreite δωD dieser Verteilung heisst Dopplerbreite und ergibt sich zu √ δωD = 2 · ln2 · ω0 · vw /c, p bzw. mit vw = 2kB T /m zu

p δωD = (ω0/c) (8kB T · ln2)/m.

Die Dopplerbreite δωD steigt also √ linear mit ω0 an. Bei steigender Temperatur steigt δωD proportional zu T und mit √ zunehmender Masse nimmt δωD proportional zu 1/ m ab.

Stossverbreiterung von Spektrallinien Eine Ann¨aherung zweier Teilchen bis zu einem Abstand R, bei dem sie sich merklich gegenseitig beeinflussen, bezeichnet man als Stoss. Deswegen ist in diesem Zusammenhang die Rede von Stosspaaren. Durch derartige St¨osse k¨onnen die Energieniveaus eines Atoms bzw. Moleku ¨ls verschoben und das Linienprofil im Frequenzspektrum verbreitert werden. Niveauverschiebungen h¨angen zum einen von der Struktur der Elektronenhu ¨llen der interagierenden Teilchen und zum anderen von der Entfernung R ihrer Schwerpunkte ab. In der Regel sind diese Verschiebungen fu ¨r verschiedene Niveaus unterschiedlich gross und k¨onnen sowohl positiv als auch negativ sein.

Schematisch ist hier der Verlauf der Energien zweier Niveaus Ei und Ek als Funktion des Abstandes R zu einem Stosspartner dargestellt. Fu ¨r R → ∞ ergeben sich die ungest¨orten Niveaus. Findet nun ein strahlen¨ der Ubergang zwischen den Niveaus Ei und Ek w¨ahrend eines Stosses statt, so gilt fu ¨r die Energie des emittierten bzw. absorbierten Photons h · νik (R) = |Ek (R) − Ei(R)|. Die Abst¨ande der Teilchen in einem Gasgemisch sind statistisch verteilt um einen Mittelwert R. Dieser ist abh¨angig vom Druck p und von der Temperatur T . Daher sind auch die Energien bzw. Frequenzen νik der absorbierten bzw. emittierten Photonen um einen Mittelwert ν ik statistisch verteilt.

¨ Fu Ei → Ek ergibt ¨r einen Ubergang sich effektiv also eine Verschiebung der Mittenfrequenz im Emissions- und Absorptionsspektrum ∆νik = νik (R = ∞) − ν ik . ν ik = νik (R = Rm). Rm ist hier der Abstand, bei dem das Maximum der verschobenen Spektrallinie liegt. Daru ¨ber hinaus kommt es durch die statistisch verteilten Abst¨ande der Teilchen und der dadurch bedingten statistischen Verteilung der Emissions- und Absorptionslinien zu einer Verbreiterung des Linienprofils mit der verbreiterten vollen Halbwertsbreite δν. Wegen der Abh¨angikeit dieses Effektes vom Druck p, spricht man auch von Druckverbreiterung.

Ist die Energiedifferenz h · ∆ν = |Ek (R = ∞) − Ei(R = ∞)| − |Ek (R) − Ei(R)| positiv, so wird diese Energie in kinetische Energie der Stosspartner umgewandelt. Ist die Energiedifferenz negativ, wird die Energie durch die kinetische Energie die Stosspartner geliefert. Werden die Energieniveaus nur w¨ahrend der Wechselwirkungszeit verschoben und nehmen danach wieder ihren urspru ¨nglichen Energiewert an, so spricht man von elastischen St¨ossen. Daru ¨ber hinaus gibt es auch inelastische St¨osse, bei denen die Anregungsenergie Ei − Ek eines Atoms ganz oder teilweise in innere Energie des Stosspartners bzw. in kinetische Energie beider Stosspartner umgewandelt wird. Inelastische St¨osse verringern die Besetzungszahl des Niveaus Ei, ohne Fluoreszens-Photonen auszusenden, daher bezeichnet man sie als lo ¨schende St¨osse. Derartige Prozesse werden als stossinduzierte Relaxation bezeichnet und

fu ¨hren zu einer weiteren Verbreiterung des Linienprofils im Frequenzspektrum.

R¨ ontgenstrahlung Ro¨ntgenstrahlung ist elektromagnetische Strahlung mit Energien zwischen einigen keV bis hin zu mehreren MeV pro Photon. Dies entspricht einer Wellenl¨ange von λ ≤ 0.5nm. Entdeckt wurden sie 1895 vom Physiker Wilhelm Conrad R¨ ontgen. Ro¨ntgenstrahlen k¨ onnen ku ¨nstlich mit einer R¨ontgenr¨ ohre hergestellt werden. Aus einer Glu ¨hkathode werden durch thermische Anregung Elektronen herausgel¨ost, die mittels einer Spannung U zur Anode hin bescheunigt werden. Die Energie des Elektrons e · U wird beim Auftreffen auf Materie (in diesem Fall sind dies die Atome aus denen die

Anode besteht) ganz oder teilweise in hochfrequente elektromagnetische Strahlung umgewandelt. Dabei beobachtet man zum einen ein kontinuierliches Ro ¨ntgenspektrum, was darauf zuru ¨ckzufu ¨hren ist, dass die Elektronen im Coulombfeld der Anodenatome abgelenkt bzw. abgebremst werden. Diese Strahlung wird als Bremsstrahlung bezeichnet. Zum anderen gibt es diskrete Linien im R¨ontgenspektrum, die bestimmten ¨ atomaren Uberg ¨angen entsprechen. In diesem Zusammenhang ist von charakteristischer Ro¨ntgenstrahlung die Rede.

Diese Linien entstehen, wenn Hu ¨llenelektronen der Anodenatome von den beschleunigten Elektronen mit E = e · U in einen h¨ oheren energetischen Zustand angeregt werden. −

∗

−

0

e + Ekin + A(Ek ) ⇒ A (Ei) + e + Ekin 0

Ekin − Ekin = Ei − Ek Es wird dann beim Zuru ¨ckfallen des angeregten Elektrons in den urspru ¨nglichen nicht angeregten Zustand ein Photon mit einer charakteristischen Energie emittiert. A∗(Ei) ⇒ A(Ek ) + h · νik

Ebenso k¨onnen Anodenatome ionisiert werden, indem Elektronen aus den inneren Schalen herausgel¨ost werden. Geht nun ein Elektron aus einer h¨ oheren Bahn in das tiefere nun f reie Niveau u ¨ber, wird ebenfalls ein Photon mit einer charakteristischen Energie emittiert. A(Ek ) + e− ⇒ A+ + 2e−

Die Intensit¨atsverteilung der emittierten Bremsstrahlung ist abh¨angig von der Beschleunigungsspannung zwischen Glu ¨hkathode und Anode. Die h¨ ochste Energie Emax = h · νmax = e · U, die ein R¨ontgenquant haben kann, wird durch die angelegte Spannung bestimmt. Fu ¨r die kleinste Wellenl¨ange gilt: λmin

h·c , = e·U

λmin = 1234, 5 (U [V ])−1nm.

Effektiv ergibt sich also in der Intensit¨atsverteilung ein Linienspektrum, welches mit einem kontinuierlichen Spektrum u ¨berlagert ist. Fu ¨r das h¨aufig verwendete Anodenmaterial Wolfram steigt das Verh¨altnis von charakteristischer zu kontinuierlicher Strahlung mit zunehmender Spannung bis 250 kV an. Bei 250 kV betr¨agt das Verh¨altnis dennoch nur 0,1.

Absorption und Streuung von R¨ ontgenstrahlung F¨allt ein Bu ¨ndel elektromagnetischer Strahlung auf Materie der Dicke dx, so beobachtet man beim Austritt aus der Materie eine Abnahme dP der Strahlungsleistung im Vergleich zur Leistung P0 vor Eintritt in die Materie. Die Abnahme ist proportional zur Anfangsleistung und zur Schichtdicke dx. Diese Gesetzm¨assigkeit gilt auch fu ¨r R¨ontgenstrahlung. Es gilt: dP = −µP dx. Durch Integration folgt: P (x) = P0 · e−µ·x.

µ wird Abschw¨achungskoeffizient genannt und setzt sich zusammen aus zwei Komponenten, µ = µs + α. Dabei ist µs der Streukoeffizient und α der Absorptionskoeffizient. Neben der elastischen Streuung treten bei der Durchdringung von Materie auch Absorptionseffekte auf. Diese sind auf drei Effekte zuru ¨ckzufu ¨hren:

Photoeffekt Beim Photoeffekt ionisiert die Strahlung das absorbierende Atom, indem es ein Elektron aus der Hu ¨lle des Atoms herausschl¨agt. Die Energien der R¨ontgenquanten reichen aus, um auch Elektronenl¨ocher in kernnahen Schalen schwerer Atome zu erzeugen. Dieser Vorgang wird beschrieben durch h · ν + A(Ek ) → A+(Eion) + e−(Ekin) mit Ekin(e−) = h · ν − (Eion − Ek ).

Compton-Effekt Beim Compton-Effekt wird das absorbierende Atom ionisiert durch Herausschlagen eines Elektrons aus der ¨ausseren Schale. Die Energie des R¨ontgenquants wird dadurch herabgesetzt, jedoch nicht wie beim Photoeffekt ganz in Ausl¨ osearbeit und kinetische Energie des ausgel¨ osten Elektrons umgewandelt. Dieser vorgang wird beschrieben durch −

−

0

h · ν + e → e (Ekin) + h · ν , mit

0

h · (ν − ν ) = Ekin(e−).

Paarbildung Das Energie¨aquivalent zur Ruhemasse eines Elektrons (E = me · c2) betr¨agt 511 keV. Ist nun die Energie eines Ro¨ntgenquants gro ¨sser als 1022 keV, kann ein Elektron-Positron Paar erzeugt werden. Die Energiedifferenz h · ∆ν = h · ν − 1022 keV wird zu gleichen Teilen in kinetische Energie des Elektrons bzw. Positrons umgewandelt. Dieser Vorgang wird beschrieben durch h · ν → e− + e+ + 2Ekin.

Der Absorptionskoeffizient α ist definiert als Produkt aus Teilchenzahldichte der absorbierenden Atome und deren Absorptionsquerschnitt (α = na · σa). Die relativen Anteile von Photoeffekt, Compton-Effekt und Paarbildung am Absorptionskoeffizienten α h¨angen zum einen vom Targetmaterial und von der Energie der Strahlung ab. Tr¨agt man beispielsweise fu ¨r Blei als Absorbermaterial α gegen die Energie der R¨ ontgenstrahlung auf, so sieht man, dass bei Energien unter 500 keV der Photoeffekt u ¨berwiegt. Bei Energien u ¨ber 5000 keV dominiert die Paarbildung.

Fu ¨r den Absorptionsquerschnitt findet man experimentell die stu ¨ckweise geltende Beziehung σa(Z, λ) = C · Z 4 · λ3. Z ist die Kernladungszahl des Absorbermaterials und C eine materialspezifische Konstante. Tr¨agt man nun die dritte Wurzel aus σa gegen die Wellenl¨ange der R¨ontgenstrahlung auf, so erkennt man einen stu ¨ckweise linearen Verlauf mit materialspezifischen Kanten.

Bei bestimmten Wellenl¨angen reicht die Energie der R¨ ontgenstrahlung aus, um Elektronen aus tieferen Schalen in h¨ohergelegene zu versetzen bzw. das Targetatom zu ionisieren. Bei kleiner werdendem λ tragen also bei bestimmten Wellenl¨angen sprunghaft mehr Elektronen zur Absorption der Strahlung bei, was einen sprunghaften Anstieg des Absorptionsquerschnittes σa zur Folge hat.

¨ Fu zwischen den Niveaus i und k ¨r die Wellenzahl ν¯ik = νik /c eines Uberganges gilt   1 1 ν¯ik = (Z − S)2 · Ry − . 2 2 nk ni wobei (Z − S) die effektive Kernladungszahl ist, die auf das Elektron wirkt. S ist also ein Mass fu ¨r die Abschirmung der Kernladung durch die u ¨brigen Elektronen des Atoms. Fu ¨r ni = ∞ und nk = 1, also fu ¨r eine Ionisation durch Herausschlagen eines Elektrons aus der K-Schale gilt ν¯k = (Z − S)2 · Ry . Bei bekannter Kernladungszahl Z und Messung der Wellenzahl ν¯k l¨asst sich so die Abschirmkonstante S fu ¨r die K-Schale berechnen mit q S = Z − ν¯k /Ry .

Messung von R¨ ontgenwellenl¨ angen Da R¨ontgenquanten sehr kurzwellig sind (λ ≤ 0.5nm), benutzt man zur Messung der Wellenl¨angen Beugungsgitter, welche in einem Winkel ϑ zur Gitterebene bestrahlt werden. Ist d die tats¨achliche Gitterkonstante, so ergibt sich durch die schr¨age“ Bestrahlung ” eine effektive Gitterkonstante def f = d · sinϑ.

Mit Hilfe der Gittergleichung d · (sin α − sin β) = m · λ, wobei α der Einfallswinkel und β der Winkel ist, unter dem das m-te Interferenzmaximum erscheint, lassen sich Wellenl¨angen elektromagnetischer Strahlung messen. Mit den Ersetzungen ϑ = 90◦ − α und γ = 90◦ − (β + ϑ) ergibt sich d · [cos ϑ − cos(ϑ + γ)] = m · λ

Setzt man zus¨atzlich ∆ = 2 · ϑ + γ erh¨alt man schliesslich m · λ = 2d · sin

∆ γ d · sin ≈ · ∆ · γ. 2 2 2

Durch Messung der Ablenkwinkel der 0-ten und m-ten Ordnung l¨asst sich so die Wellenl¨ange der R¨ ontgenstrahlung ermitteln.